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12.3: Longitud del arco en el espacio - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Determine la longitud de la trayectoria de una partícula en el espacio utilizando la función de longitud de arco.
  • Explica el significado de la curvatura de una curva en el espacio y expresa su fórmula.
  • Describe el significado de los vectores normal y binormal de una curva en el espacio.

En esta sección, estudiamos fórmulas relacionadas con curvas en dos y tres dimensiones, y vemos cómo se relacionan con varias propiedades de la misma curva. Por ejemplo, suponga que una función con valores vectoriales describe el movimiento de una partícula en el espacio. Nos gustaría determinar qué tan lejos ha viajado la partícula en un intervalo de tiempo dado, que puede describirse por la longitud del arco de la trayectoria que sigue. O bien, suponga que la función con valores vectoriales describe una carretera que estamos construyendo y queremos determinar qué tan pronunciada se curva la carretera en un punto dado. Esto se describe por la curvatura de la función en ese punto. Exploramos cada uno de estos conceptos en esta sección.

Longitud de arco para funciones vectoriales

Hemos visto cómo una función con valores vectoriales describe una curva en dos o tres dimensiones. Recuerde que la fórmula para la longitud de arco de una curva definida por las funciones paramétricas (x = x (t), y = y (t), t_1≤t≤t_2 ) está dada por

[s = int ^ {t_2} _ {t_1} sqrt {(x ′ (t)) ^ 2+ (y ′ (t)) ^ 2} dt. sin número]

De manera similar, si definimos una curva suave usando una función con valores vectoriales ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} ), donde (a≤t≤b ), la longitud del arco viene dada por la fórmula

[s = int ^ {b} _ {a} sqrt {(f ′ (t)) ^ 2+ (g ′ (t)) ^ 2} dt. sin número]

En tres dimensiones, si la función con valores vectoriales se describe mediante ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf { j}} + h (t) , hat { mathbf {k}} ) en el mismo intervalo (a≤t≤b ), la longitud del arco está dada por

[s = int ^ {b} _ {a} sqrt {(f ′ (t)) ^ 2+ (g ′ (t)) ^ 2+ (h ′ (t)) ^ 2} dt. sin número]

Teorema: fórmulas de longitud de arco para curvas planas y espaciales

Curva plana: Dada una curva suave (C ) definida por la función ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} ), donde (t ) se encuentra dentro del intervalo ([a, b] ), la longitud del arco de (C ) sobre el intervalo es

[ begin {align} s & = int ^ {b} _ {a} sqrt {[f ′ (t)] ^ 2+ [g ′ (t)] ^ 2} dt [4pt] & = int ^ {b} _ {a} | vecs r ′ (t) | dt. label {Arc2D} end {align} ]

Curva espacial: Dada una curva suave (C ) definida por la función ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} + h (t) , hat { mathbf {k}} ), donde (t ) se encuentra dentro del intervalo ([a, b] ), la longitud del arco de (C ) durante el intervalo es

[ begin {align} s & = int ^ {b} _ {a} sqrt {[f ′ (t)] ^ 2+ [g ′ (t)] ^ 2+ [h ′ (t)] ^ 2} dt [4pt] & = int ^ {b} _ {a} | vecs r ′ (t) | dt. label {Arc3D} end {align} ]

Las dos fórmulas son muy similares; difieren solo en el hecho de que una curva espacial tiene tres funciones componentes en lugar de dos. Tenga en cuenta que las fórmulas están definidas para curvas suaves: curvas donde la función con valores vectoriales ( vecs r (t) ) es diferenciable con una derivada distinta de cero. La condición de suavidad garantiza que la curva no tenga cúspides (o esquinas) que puedan hacer que la fórmula sea problemática.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Encontrar la longitud del arco

Calcule la longitud del arco para cada una de las siguientes funciones con valores vectoriales:

  1. ( vecs r (t) = (3t − 2) , hat { mathbf {i}} + (4t + 5) , hat { mathbf {j}}, quad 1≤t≤5 )
  2. ( vecs r (t) = ⟨t cos t, t sin t, 2t⟩, 0≤t≤2 pi )

Solución

  1. Usando la Ecuación ref {Arc2D}, ( vecs r ′ (t) = 3 , hat { mathbf {i}} + 4 , hat { mathbf {j}} ), entonces

    [ begin {align *} s & = int ^ {b} _ {a} | vecs r ′ (t) | dt [4pt] & = int ^ {5} _ {1} sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2} dt [4pt] & = int ^ {5} _ {1} 5 dt = 5t big | ^ {5} _ {1} = 20. end { alinear*}]

  2. Usando la Ecuación ref {Arc3D}, ( vecs r ′ (t) = ⟨ cos t − t sin t, sin t + t cos t, 2⟩ ), entonces

    [ begin {align *} s & = int ^ {b} _ {a} ∥ vecs r ′ (t) ∥dt [4pt] & = int ^ {2 pi} _ {0} sqrt {( cos t − t sin t) ^ 2 + ( sin t + t cos t) ^ 2 + 2 ^ 2} dt [4pt] & = int ^ {2 pi} _ {0} sqrt {( cos ^ 2 t − 2t sin t cos t + t ^ 2 sin ^ 2 t) + ( sin ^ 2 t + 2t sin t cos t + t ^ 2 cos ^ 2 t) +4} dt [4pt] & = int ^ {2 pi} _ {0} sqrt { cos ^ 2 t + sin ^ 2 t + t ^ 2 ( cos ^ 2 t + sin ^ 2 t) +4} dt [4pt] & = int ^ {2 pi} _ {0} sqrt {t ^ 2 + 5} dt end {align *} ]

    Aquí podemos usar una fórmula de integración de tablas

    [ int sqrt {u ^ 2 + a ^ 2} du = dfrac {u} {2} sqrt {u ^ 2 + a ^ 2} + dfrac {a ^ 2} {2} ln , izquierda | , u + sqrt {u ^ 2 + a ^ 2} , right | + C, nonumber ]

    entonces obtenemos

    [ begin {align *} int ^ {2 pi} _ {0} sqrt {t ^ 2 + 5} dt ; & = frac {1} {2} bigg (t sqrt {t ^ 2 + 5} +5 ln , left | t + sqrt {t ^ 2 + 5} right | bigg) _0 ^ {2π} [4pt] & = frac {1} {2} bigg (2π sqrt {4π ^ 2 + 5} +5 ln bigg (2π + sqrt {4π ^ 2 + 5} bigg) bigg) - frac {5} {2} ln sqrt {5} [4pt] & ≈25.343 , text {unidades}. end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Calcular la longitud del arco de la curva parametrizada

[ vecs r (t) = ⟨2t ^ 2 + 1,2t ^ 2−1, t ^ 3⟩, quad 0≤t≤3. sin número]

Insinuación

Utilice la ecuación ref {Arc3D}.

Respuesta

( vecs r ′ (t) = ⟨4t, 4t, 3t ^ 2⟩, ) entonces (s = frac {1} {27} (113 ^ {3/2} −32 ^ {3/2 }) ≈37.785 ) unidades

Ahora volvemos a la hélice presentada anteriormente en este capítulo. Una función con valores vectoriales que describe una hélice se puede escribir en la forma

[ vecs r (t) = R cos left ( dfrac {2πNt} {h} right) , hat { mathbf {i}} + R sin left ( dfrac {2πNt} { h} derecha) , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k}}, 0≤t≤h, nonumber ]

donde (R ) representa el radio de la hélice, (h ) representa la altura (distancia entre dos vueltas consecutivas) y la hélice completa (N ) vueltas. Derivemos una fórmula para la longitud del arco de esta hélice usando la Ecuación ref {Arc3D}. En primer lugar,

[ vecs r ′ (t) = - dfrac {2πNR} {h} sin left ( dfrac {2πNt} {h} right) , hat { mathbf {i}} + dfrac { 2πNR} {h} cos left ( dfrac {2πNt} {h} right) , hat { mathbf {j}} + , hat { mathbf {k}}. sin número]

Por lo tanto,

[ begin {align *} s & = int_a ^ b ‖ vecs r ′ (t) ‖dt [4pt] & = int_0 ^ h sqrt { bigg (- dfrac {2πNR} {h } sin bigg ( dfrac {2πNt} {h} bigg) bigg) ^ 2 + bigg ( dfrac {2πNR} {h} cos bigg ( dfrac {2πNt} {h} bigg) bigg) ^ 2 + 1 ^ 2} dt [4pt] & = int_0 ^ h sqrt { dfrac {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2} {h ^ 2} bigg ( sin ^ 2 bigg ( dfrac {2πNt} {h} bigg) + cos ^ 2 bigg ( dfrac {2πNt} {h} bigg) bigg) +1} dt [4pt] & = int_0 ^ h sqrt { dfrac {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2} {h ^ 2} +1} dt [4pt] & = bigg [t sqrt { dfrac {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2} {h ^ 2} +1} bigg] ^ h_0 [4pt] & = h sqrt { dfrac {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2 + h ^ 2} {h ^ 2}} [4pt] & = sqrt {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2 + h ^ 2}. end {align *} ]

Esto da una fórmula para la longitud de un cable necesaria para formar una hélice con (N ) vueltas que tiene un radio (R ) y una altura (h ).

Parametrización de la longitud del arco

Ahora tenemos una fórmula para la longitud de arco de una curva definida por una función con valores vectoriales. Vayamos un paso más allá y examinemos qué función de longitud de arco es.

Si una función con valores vectoriales representa la posición de una partícula en el espacio en función del tiempo, entonces la función de longitud de arco mide qué tan lejos viaja esa partícula en función del tiempo. La fórmula para la función de longitud de arco se deriva directamente de la fórmula para la longitud de arco:

[s = int ^ {t} _ {a} sqrt {(f ′ (u)) ^ 2+ (g ′ (u)) ^ 2+ (h ′ (u)) ^ 2} du. label {arclength2} ]

Si la curva tiene dos dimensiones, solo aparecen dos términos debajo de la raíz cuadrada dentro de la integral. La razón para usar la variable independiente tu es distinguir entre el tiempo y la variable de integración. Dado que (s (t) ) mide la distancia recorrida en función del tiempo, (s ′ (t) ) mide la velocidad de la partícula en un momento dado. Dado que tenemos una fórmula para (s (t) ) en la Ecuación ref {arclength2}, podemos diferenciar ambos lados de la ecuación:

[ begin {align *} s ′ (t) & = dfrac {d} {dt} bigg [ int ^ {t} _ {a} sqrt {(f ′ (u)) ^ 2+ ( g ′ (u)) ^ 2+ (h ′ (u)) ^ 2} du bigg] [4pt] & = dfrac {d} {dt} bigg [ int ^ {t} _ {a } ‖ Vecs r ′ (u) ‖du bigg] [4pt] & = | vecs r ′ (t) |. End {align *} ]

Si asumimos que ( vecs r (t) ) define una curva suave, entonces la longitud del arco siempre aumenta, entonces (s ′ (t)> 0 ) para (t> a ). Por último, si ( vecs r (t) ) es una curva en la que ( | vecs r ′ (t) | = 1 ) para todo (t ), entonces

[s (t) = int ^ {t} _ {a} ‖ vecs r ′ (u) ‖ , du = int ^ {t} _ {a} 1 , du = t − a, sin número]

lo que significa que (t ) representa la longitud del arco siempre que (a = 0 ).

Teorema: función de longitud de arco

Deje que ( vecs r (t) ) describa una curva suave para (t≥a ). Entonces la función de longitud de arco viene dada por

[s (t) = int ^ {t} _ {a} ‖ vecs r ′ (u) ‖ , du ]

Además,

[ dfrac {ds} {dt} = ‖ vecs r ′ (t) ‖> 0. sin número]

Si (‖ vecs r ′ (t) ‖ = 1 ) para todo (t≥a ), entonces el parámetro (t ) representa la longitud del arco desde el punto inicial en (t = a ) .

Una aplicación útil de este teorema es encontrar una parametrización alternativa de una curva dada, llamada parametrización de la longitud del arco. Recuerde que cualquier función con valores vectoriales se puede volver a parametrizar mediante un cambio de variables. Por ejemplo, si tenemos una función ( vecs r (t) = ⟨3 cos t, 3 sin t⟩, 0≤t≤2π ) que parametriza un círculo de radio 3, podemos cambiar el parámetro de (t ) a (4t ), obteniendo una nueva parametrización ( vecs r (t) = ⟨3 cos 4t, 3 sin 4t⟩ ). La nueva parametrización aún define un círculo de radio 3, pero ahora solo necesitamos usar los valores (0≤t≤π / 2 ) para atravesar el círculo una vez.

Suponga que encontramos la función de longitud de arco (s (t) ) y podemos resolver esta función para (t ) como una función de (s ). Entonces podemos volver a parametrizar la función original ( vecs r (t) ) sustituyendo la expresión de (t ) nuevamente en ( vecs r (t) ). La función con valores vectoriales ahora se escribe en términos del parámetro (s ). Dado que la variable (s ) representa la longitud del arco, llamamos a esto un parametrización de la longitud del arco de la función original ( vecs r (t) ). Una ventaja de encontrar la parametrización de la longitud del arco es que la distancia recorrida a lo largo de la curva a partir de (s = 0 ) ahora es igual al parámetro (s ). La parametrización de la longitud del arco también aparece en el contexto de la curvatura (que examinamos más adelante en esta sección) y las integrales de línea.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Encontrar una parametrización de longitud de arco

Encuentre la parametrización de la longitud del arco para cada una de las siguientes curvas:

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 4 sin t , hat { mathbf {j}}, quad t≥0 )
  2. ( vecs r (t) = ⟨t + 3,2t − 4,2t⟩, quad t≥3 )

Solución

  1. Primero encontramos la función de longitud de arco usando la Ecuación ref {arclength2}:

    [ begin {align *} s (t) & = int_a ^ t ‖ vecs r ′ (u) ‖ , du [4pt] & = int_0 ^ t ‖⟨ − 4 sin u, 4 cos u⟩‖ , du [4pt] & = int_0 ^ t sqrt {(- 4 sin u) ^ 2 + (4 cos u) ^ 2} , du [4pt] & = int_0 ^ t sqrt {16 sin ^ 2 u + 16 cos ^ 2 u} , du [4pt] & = int_0 ^ t 4 , du = 4t, end {align *} ]

  2. que da la relación entre la longitud del arco (s ) y el parámetro (t ) como (s = 4t; ) entonces, (t = s / 4 ). A continuación, reemplazamos la variable (t ) en la función original ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 4 sin t , hat { mathbf {j}} ) con la expresión (s / 4 ) para obtener

    [ vecs r (s) = 4 cos left ( frac {s} {4} right) , hat { mathbf {i}} + 4 sin left ( frac {s} { 4} derecha) , hat { mathbf {j}}. sin número]

    Esta es la parametrización de la longitud del arco de ( vecs r (t) ). Dado que la restricción original en (t ) fue dada por (t≥0 ), la restricción en s se convierte en (s / 4≥0 ) o (s≥0 ).
  3. La función de longitud de arco viene dada por la Ecuación ref {arclength2}:

    [ begin {align *} s (t) & = int_a ^ t ‖ vecs r ′ (u) ‖ , du [4pt] & = int_3 ^ t ‖⟨1,2,2⟩‖ , du [4pt] & = int_3 ^ t sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 2 ^ 2} , du [4pt] & = int_3 ^ t 3 , du [ 4pt] & = 3t - 9. end {align *} ]

    Por lo tanto, la relación entre la longitud del arco (s ) y el parámetro (t ) es (s = 3t − 9 ), entonces (t = frac {s} {3} +3 ). Sustituyendo esto en la función original ( vecs r (t) = ⟨t + 3,2t − 4,2t⟩ ) da como resultado

    [ vecs r (s) = ⟨ left ( frac {s} {3} +3 right) +3, , 2 left ( frac {s} {3} +3 right) −4 , , 2 left ( frac {s} {3} +3 right)⟩ = ⟨ frac {s} {3} +6, frac {2s} {3} +2, frac {2s} {3} + 6⟩. Nonumber ]

    Esta es una parametrización de longitud de arco de ( vecs r (t) ). La restricción original en el parámetro (t ) era (t≥3 ), por lo que la restricción en (s ) es ((s / 3) + 3≥3 ), o (s≥0 ).

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Encuentra la función de longitud de arco para la hélice

[ vecs r (t) = ⟨3 cos t, 3 sin t, 4t⟩, quad t≥0. sin número]

Luego, use la relación entre la longitud del arco y el parámetro (t ) para encontrar una parametrización de la longitud del arco de ( vecs r (t) ).

Insinuación

Empiece por encontrar la función de longitud de arco.

Respuesta

(s = 5t ) o (t = s / 5 ). Sustituyendo esto en ( vecs r (t) = ⟨3 cos t, 3 sin t, 4t⟩ ) da

[ vecs r (s) = ⟨3 cos left ( frac {s} {5} right), 3 sin left ( frac {s} {5} right), frac {4s } {5}⟩, quad s≥0 nonumber ]

Curvatura

Un tema importante relacionado con la longitud del arco es la curvatura. El concepto de curvatura proporciona una forma de medir qué tan bruscamente gira una curva suave. Un círculo tiene una curvatura constante. Cuanto menor sea el radio del círculo, mayor será la curvatura.

Piense en conducir por una carretera. Suponga que la carretera se encuentra en un arco de un gran círculo. En este caso, apenas tendría que girar el volante para permanecer en la carretera. Ahora suponga que el radio es menor. En este caso, deberá girar más bruscamente para permanecer en la carretera. En el caso de una curva que no sea un círculo, a menudo es útil primero inscribir un círculo a la curva en un punto dado para que sea tangente a la curva en ese punto y "abrace" la curva lo más cerca posible en un punto. vecindad del punto (Figura ( PageIndex {1} )). La curvatura del gráfico en ese punto se define entonces como la misma que la curvatura del círculo inscrito.

Definición: curvatura

Sea (C ) una curva suave en el plano o en el espacio dado por ( vecs r (s) ), donde (s ) es el parámetro de longitud del arco. La curvatura (κ ) en (s ) es

[κ = bigg { |} dfrac {d vecs {T}} {ds} bigg { |} = ‖ vecs T ′ (s) ‖. ]

Visite este video para obtener más información sobre la curvatura de una curva espacial.

La fórmula en la definición de curvatura no es muy útil en términos de cálculo. En particular, recuerde que ( vecs T (t) ) representa el vector unitario tangente a una función vectorial determinada ( vecs r (t) ), y la fórmula para ( vecs T (t) ) es

[ vecs T (t) = frac { vecs r ′ (t)} {∥ vecs r ′ (t) ∥}. ]

Para usar la fórmula de la curvatura, primero es necesario expresar ( vecs r (t) ) en términos del parámetro de longitud de arco (s ), luego encontrar el vector unitario tangente ( vecs T (s ) ) para la función ( vecs r (s) ), luego toma la derivada de ( vecs T (s) ) con respecto a (s ). Este es un proceso tedioso. Afortunadamente, existen fórmulas equivalentes para la curvatura.

Teorema: fórmulas alternativas de curvatura

Si (C ) es una curva suave dada por ( vecs r (t) ), entonces la curvatura (κ ) de (C ) en (t ) está dada por

[κ = dfrac {‖ vecs T ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖}. label {EqK2} ]

Si (C ) es una curva tridimensional, entonces la curvatura puede estar dada por la fórmula

[κ = dfrac {‖ vecs r ′ (t) × vecs r ′ ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖ ^ 3}. label {EqK3} ]

Si (C ) es la gráfica de una función (y = f (x) ) y existen tanto (y ′ ) como (y '' ), entonces la curvatura (κ ) en el punto ((x, y) ) viene dado por

[κ = dfrac {| y '' |} {[1+ (y ′) ^ 2] ^ {3/2}}. label {EqK4} ]

Prueba

La primera fórmula se deriva directamente de la regla de la cadena:

[ dfrac {d vecs {T}} {dt} = dfrac {d vecs {T}} {ds} dfrac {ds} {dt}, nonumber ]

donde (s ) es la longitud del arco a lo largo de la curva (C ). Dividiendo ambos lados por (ds / dt ) y tomando la magnitud de ambos lados se obtiene

[ bigg { |} dfrac {d vecs {T}} {ds} bigg { |} = left lVert frac { vecs T ′ (t)} { dfrac {ds} { dt}} right rVert. nonumber ]

Dado que (ds / dt = ‖ vecs r ′ (t) ‖ ), esto da la fórmula para la curvatura (κ ) de una curva (C ) en términos de cualquier parametrización de (C ) :

[κ = dfrac {‖ vecs T ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖}. nonumber ]

En el caso de una curva tridimensional, partimos de las fórmulas ( vecs T (t) = ( vecs r ′ (t)) / ‖ vecs r ′ (t) ‖ ) y (ds / dt = ‖ vecs r ′ (t) ‖ ). Por lo tanto, ( vecs r ′ (t) = (ds / dt) vecs T (t) ). Podemos tomar la derivada de esta función usando la fórmula del producto escalar:

[ vecs r ″ (t) = dfrac {d ^ 2s} {dt ^ 2} vecs T (t) + dfrac {ds} {dt} vecs T ′ (t). nonumber ]

Usando estas dos últimas ecuaciones obtenemos

[ begin {align *} vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) & = dfrac {ds} {dt} vecs T (t) × bigg ( dfrac {d ^ 2s} {dt ^ 2} vecs T (t) + dfrac {ds} {dt} vecs T ′ (t) bigg) [4pt] & = dfrac {ds} {dt} dfrac {d ^ 2s} {dt ^ 2} vecs T (t) × vecs T (t) + ( dfrac {ds} {dt}) ^ 2 vecs T (t) × vecs T ′ (t). end {alinear *} ]

Dado que ( vecs T (t) × vecs T (t) = 0 ), esto se reduce a

[ vecs r ′ (t) × vecs r ′ ′ (t) = left ( dfrac {ds} {dt} right) ^ 2 vecs T (t) × vecs T ′ (t). sin número]

Dado que ( vecs T ′ ) es paralelo a ( vecs N ), y ( vecs T ) es ortogonal a ( vecs N ), se sigue que ( vecs T ) y ( vecs T ′ ) son ortogonales. Esto significa que (‖ vecs T × vecs T′‖ = ‖ vecs T‖‖ vecs T′‖ sin (π / 2) = ‖ vecs T′‖ ), entonces

[ | vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) | = left ( dfrac {ds} {dt} right) ^ 2‖ vecs T ′ (t) ‖. nonumber ]

Ahora resolvemos esta ecuación para (‖ vecs T ′ (t) ‖ ) y usamos el hecho de que (ds / dt = ‖ vecs r ′ (t) ‖ ):

[‖ Vecs T ′ (t) ‖ = dfrac {‖ vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖ ^ 2}. Nonumber ]

Luego, dividimos ambos lados por (‖ vecs r ′ (t) ‖ ). Esto da

[κ = dfrac {‖ vecs T ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖} = dfrac {‖ vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) ‖} {‖ Vecs r ′ (t) ‖ ^ 3}. Nonumber ]

Esto prueba ( ref {EqK3} ). Para demostrar ( ref {EqK4} ), partimos del supuesto de que la curva (C ) está definida por la función (y = f (x) ). Entonces, podemos definir ( vecs r (t) = x , hat { mathbf {i}} + f (x) , hat { mathbf {j}} + 0 , hat { mathbf {k}} ). Usando la fórmula anterior para la curvatura:

[ begin {align *} vecs r ′ (t) & = , hat { mathbf {i}} + f ′ (x) , hat { mathbf {j}} [4pt] vecs r ″ (t) & = f ″ (x) , hat { mathbf {j}} [4pt] vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) & = begin { vmatrix} hat { mathbf {i}} & hat { mathbf {j}} & hat { mathbf {k}} 1 & f ′ (x) & 0 0 & f ″ (x ) & 0 end {vmatrix} = f ″ (x) , hat { mathbf {k}}. end {alinear *} ]

Por lo tanto,

[κ = dfrac {‖ vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖ ^ 3} = dfrac {| f ″ (x) |} {(1+ [f ′ (x)] ^ 2) ^ {3/2}} nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Encontrar curvatura

Encuentre la curvatura para cada una de las siguientes curvas en el punto dado:

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 4 sin t , hat { mathbf {j}} + 3t , hat { mathbf { k}}, quad t = dfrac {4π} {3} )
  2. ( mathrm {f (x) = sqrt {4x − x ^ 2}, x = 2} )

Solución

  1. Esta función describe una hélice.

La curvatura de la hélice en (t = (4π) / 3 ) se puede encontrar usando ( ref {EqK2} ). Primero, calcula ( vecs T (t) ):

[ begin {align *} vecs T (t) & = dfrac { vecs r ′ (t)} {‖ vecs r ′ (t) ‖} [4pt] & = dfrac {⟨− 4 sin t, 4 cos t, 3⟩} { sqrt {(- 4 sin t) ^ 2 + (4 cos t) ^ 2 + 3 ^ 2}} [4pt] & = ⟨− dfrac {4} {5} sin t, dfrac {4} {5} cos t, dfrac {3} {5}⟩. end {alinear *} ]

Luego, calcula ( vecs T ′ (t): )

[ vecs T ′ (t) = ⟨− dfrac {4} {5} cos t, - dfrac {4} {5} sin t, 0⟩. sin número]

Por último, aplique ( ref {EqK2} ):

[ begin {align *} κ & = dfrac {‖ vecs T ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖} = dfrac {‖⟨− dfrac {4} {5} cos t, - dfrac {4} {5} sin t, 0⟩‖} {‖⟨ − 4 sin t, 4 cos t, 3⟩‖} [4pt] & = dfrac { sqrt {(- dfrac {4} {5} cos t) ^ 2 + (- dfrac {4} {5} sin t) ^ 2 + 0 ^ 2}} { sqrt {(- 4 sin t) ^ 2 + (4 cos t) ^ 2 + 3 ^ 2}} [4pt] & = dfrac {4/5} {5} = dfrac {4} {25}. end {alinear *} ]

La curvatura de esta hélice es constante en todos los puntos de la hélice.

  1. Esta función describe un semicírculo.

Para encontrar la curvatura de esta gráfica, debemos usar ( ref {EqK4} ). Primero, calculamos (y ′ ) y (y ″: )

[ begin {align *} y & = sqrt {4x − x ^ 2} = (4x − x ^ 2) ^ {1/2} [4pt] y ′ & = dfrac {1} {2 } (4x − x ^ 2) ^ {- 1/2} (4−2x) = (2 − x) (4x − x ^ 2) ^ {- 1/2} [4pt] y ″ & = - (4x − x ^ 2) ^ {- 1/2} + (2 − x) (- dfrac {1} {2}) (4x − x ^ 2) ^ {- 3/2} (4−2x) [4pt] & = - dfrac {4x − x ^ 2} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} - dfrac {(2 − x) ^ 2} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} [4pt] & = dfrac {x ^ 2−4x− (4−4x + x ^ 2)} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} [4pt] & = - dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}}. end {alinear *} ]

Luego, aplicamos ( ref {EqK4} ):

[ begin {align *} κ & = dfrac {| y '' |} {[1+ (y ′) ^ 2] ^ {3/2}} [4pt] & = dfrac { bigg | - dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} bigg |} { bigg [1 + ((2 − x) (4x − x ^ 2) ^ {- 1/2 }) ^ 2 bigg] ^ {3/2}} = dfrac { bigg | dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} bigg |} { bigg [1+ dfrac {(2 − x) ^ 2} {4x − x ^ 2} bigg ] ^ {3/2}} [4pt] & = dfrac { bigg | dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} bigg |} { bigg [ dfrac {4x − x ^ 2 + x ^ 2−4x + 4} {4x − x ^ 2} bigg] ^ {3/2}} = bigg | dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} bigg | ⋅ dfrac {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} {8} [4pt] & = dfrac {1} {2}. end {alinear *} ]

La curvatura de este círculo es igual al recíproco de su radio. Hay un problema menor con el valor absoluto en ( ref {EqK4} ); sin embargo, una mirada más cercana al cálculo revela que el denominador es positivo para cualquier valor de (x ).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Encuentra la curvatura de la curva definida por la función

[y = 3x ^ 2−2x + 4 nonumber ]

en el punto (x = 2 ).

Insinuación

Utilice ( ref {EqK4} ).

Respuesta

(κ ; = frac {6} {101 ^ {3/2}} ≈0.0059 )

Los vectores normal y binormal

Hemos visto que la derivada ( vecs r ′ (t) ) de una función con valores vectoriales es un vector tangente a la curva definida por ( vecs r (t) ), y el vector tangente unitario ( vecs T (t) ) se puede calcular dividiendo ( vecs r ′ (t) ) por su magnitud. Al estudiar el movimiento en tres dimensiones, otros dos vectores son útiles para describir el movimiento de una partícula a lo largo de una trayectoria en el espacio: el vector normal unitario principal y el vector binormal.

Definición: vectores binormales

Sea (C ) un tridimensional liso curva representada por ( vecs r ) sobre un intervalo abierto (I ). Si ( vecs T ′ (t) ≠ vecs 0 ), entonces el vector normal unitario principal en (t ) se define como

[ vecs N (t) = dfrac { vecs T ′ (t)} {‖ vecs T ′ (t) ‖}. label {EqNormal} ]

El vector binormal en (t ) se define como

[ vecs B (t) = vecs T (t) × vecs N (t), label {EqBinormal} ]

donde ( vecs T (t) ) es el vector unitario tangente.

Tenga en cuenta que, por definición, el vector binormal es ortogonal tanto al vector unitario tangente como al vector normal. Además, ( vecs B (t) ) es siempre un vector unitario. Esto se puede demostrar usando la fórmula para la magnitud de un producto cruzado.

[‖ Vecs B (t) ‖ = ‖ vecs T (t) × vecs N (t) ‖ = ‖ vecs T (t) ‖‖ vecs N (t) ‖ sin theta, ]

donde ( theta ) es el ángulo entre ( vecs T (t) ) y ( vecs N (t) ). Dado que ( vecs N (t) ) es la derivada de un vector unitario, la propiedad (vii) de la derivada de una función con valores vectoriales nos dice que ( vecs T (t) ) y ( vecs N (t) ) son ortogonales entre sí, entonces ( theta = π / 2 ). Además, ambos son vectores unitarios, por lo que su magnitud es 1. Por lo tanto, (‖ vecs T (t) ‖‖ vecs N (t) ‖ sin theta = (1) (1) sin (π / 2) = 1 ) y ( vecs B (t) ) es un vector unitario.

El vector normal unitario principal puede ser difícil de calcular porque el vector tangente unitario implica un cociente, y este cociente a menudo tiene una raíz cuadrada en el denominador. En el caso tridimensional, encontrar el producto cruzado del vector tangente unitario y el vector normal unitario puede ser aún más complicado. Afortunadamente, tenemos fórmulas alternativas para encontrar estos dos vectores y se presentan en Motion in Space.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Encontrar el vector normal unitario principal y el vector binormal

Para cada una de las siguientes funciones con valores vectoriales, encuentre el vector normal unitario principal. Luego, si es posible, encuentre el vector binormal.

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} - 4 sin t , hat { mathbf {j}} )
  2. ( vecs r (t) = (6t + 2) , hat { mathbf {i}} + 5t ^ 2 , hat { mathbf {j}} - 8t , hat { mathbf { k}} )

Solución

  1. Esta función describe un círculo.

Para encontrar el vector normal unitario principal, primero debemos encontrar el vector tangente unitario ( vecs T (t): )

[ begin {align *} vecs T (t) & = dfrac { vecs r ′ (t)} {‖ vecs r ′ (t) ‖} [4pt]
& = dfrac {−4 sin t , hat { mathbf {i}} - 4 cos t , hat { mathbf {j}}} { sqrt {(- 4 sin t) ^ 2 + (- 4 cos t) ^ 2}} [4pt]
& = dfrac {−4 sin t , hat { mathbf {i}} - 4 cos t , hat { mathbf {j}}} { sqrt {16 sin ^ 2 t + 16 cos ^ 2 t}} [4pt]
& = dfrac {−4 sin t , hat { mathbf {i}} - 4 cos t , hat { mathbf {j}}} { sqrt {16 ( sin ^ 2 t + cos ^ 2 t)}} [4pt]
& = dfrac {−4 sin t , hat { mathbf {i}} - 4 cos t , hat { mathbf {j}}} {4} [4pt] & = - sin t , hat { mathbf {i}} - cos t , hat { mathbf {j}}. end {align *} ]

A continuación, usamos ( ref {EqNormal} ):

[ begin {align *} vecs N (t) & = dfrac { vecs T ′ (t)} {‖ vecs T ′ (t) ‖} [4pt] & = dfrac {- cos t , hat { mathbf {i}} + sin t , hat { mathbf {j}}} { sqrt {(- cos t) ^ 2 + ( sin t) ^ 2} } [4pt]
& = dfrac {- cos t , hat { mathbf {i}} + sin t , hat { mathbf {j}}} { sqrt { cos ^ 2 t + sin ^ 2 t }} [4pt]
& = - cos t , hat { mathbf {i}} + sin t , hat { mathbf {j}}. end {alinear *} ]

Observe que el vector unitario tangente y el vector normal unitario principal son ortogonales entre sí para todos los valores de (t ):

[ begin {align *} vecs T (t) · vecs N (t) & = ⟨− sin t, - cos t⟩ · ⟨− cos t, sin t⟩ [4pt] & = sin t cos t− cos t sin t [4pt] & = 0. end {alinear *} ]

Además, el vector normal unidad principal apunta hacia el centro del círculo desde cada punto del círculo. Dado que ( vecs r (t) ) define una curva en dos dimensiones, no podemos calcular el vector binormal.

  1. Esta función tiene este aspecto:

Para encontrar el vector normal unitario principal, primero encontramos el vector tangente unitario ( vecs T (t): )

[ begin {align *} vecs T (t) & = dfrac { vecs r ′ (t)} {‖ vecs r ′ (t) ‖} [4pt]
& = dfrac {6 , hat { mathbf {i}} + 10t , hat { mathbf {j}} - 8 , hat { mathbf {k}}} { sqrt {6 ^ 2+ (10t) ^ 2 + (- 8) ^ 2}} [4pt]
& = dfrac {6 , hat { mathbf {i}} + 10t , hat { mathbf {j}} - 8 , hat { mathbf {k}}} { sqrt {36+ 100t ^ 2 + 64}} [4pt]
& = dfrac {6 , hat { mathbf {i}} + 10t , hat { mathbf {j}} - 8 , hat { mathbf {k}}} { sqrt {100 ( t ^ 2 + 1)}} [4pt]
& = dfrac {3 , hat { mathbf {i}} - 5t , hat { mathbf {j}} - 4 , hat { mathbf {k}}} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} [4pt]
& = dfrac {3} {5} (t ^ 2 + 1) ^ {- 1/2} , hat { mathbf {i}} - t (t ^ 2 + 1) ^ {- 1/2 } , hat { mathbf {j}} - dfrac {4} {5} (t ^ 2 + 1) ^ {- 1/2} , hat { mathbf {k}}. end {alinear *} ]

A continuación, calculamos ( vecs T ′ (t) ) y (‖ vecs T ′ (t) ‖ ):

[ begin {align *} vecs T ′ (t) & = dfrac {3} {5} (- dfrac {1} {2}) (t ^ 2 + 1) ^ {- 3/2} (2t) , hat { mathbf {i}} - ((t ^ 2 + 1) ^ {- 1/2} −t ( dfrac {1} {2}) (t ^ 2 + 1) ^ {−3/2} (2t)) , hat { mathbf {j}} - dfrac {4} {5} (- dfrac {1} {2}) (t ^ 2 + 1) ^ { −3/2} (2t) , hat { mathbf {k}} [4pt]
& = - dfrac {3t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf {i}} - dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf {j}} + dfrac {4t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf {k}} [4pt] ‖ vecs T ′ (t) ‖ & = sqrt { bigg (- dfrac {3t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} bigg) ^ 2 + bigg (- dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} bigg) ^ 2 + bigg ( dfrac {4t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3 / 2}} bigg) ^ 2} [4pt]
& = sqrt { dfrac {9t ^ 2} {25 (t ^ 2 + 1) ^ 3} + dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ 3} + dfrac {16t ^ 2} { 25 (t ^ 2 + 1) ^ 3}} [4pt]
& = sqrt { dfrac {25t ^ 2 + 25} {25 (t ^ 2 + 1) ^ 3}} [4pt]
& = sqrt { dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ 2}} [4pt]
& = dfrac {1} {t ^ 2 + 1}. end {alinear *} ]

Por lo tanto, de acuerdo con ( ref {EqNormal} ):

[ begin {align *} vecs N (t) & = dfrac { vecs T ′ (t)} {‖ vecs T ′ (t) ‖} [4pt]
& = bigg (- dfrac {3t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf {i}} - dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf {j}} + dfrac {4t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf { k}} bigg) (t ^ 2 + 1) [4pt]
& = - dfrac {3t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {1/2}} , hat { mathbf {i}} - dfrac {5} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {1/2}} , hat { mathbf {j}} + dfrac {4t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {1/2}} , hat { mathbf {k} } [4pt]
& = - dfrac {3t , hat { mathbf {i}} + 5 , hat { mathbf {j}} - 4t , hat { mathbf {k}}} {5 sqrt { t ^ 2 + 1}}. end {alinear *} ]

Una vez más, el vector unitario tangente y el vector normal unitario principal son ortogonales entre sí para todos los valores de (t ):

[ begin {align *} vecs T (t) · vecs N (t) & = bigg ( dfrac {3 , hat { mathbf {i}} - 5t , hat { mathbf {j}} - 4 , hat { mathbf {k}}} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) · bigg (- dfrac {3t , hat { mathbf { i}} + 5 , hat { mathbf {j}} - 4t , hat { mathbf {k}}} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) [4pt]
& = dfrac {3 (−3t) −5t (−5) −4 (4t)} {25 (t ^ 2 + 1)} [4pt]
& = dfrac {−9t + 25t − 16t} {25 (t ^ 2 + 1)} [4pt]
& = 0. end {alinear *} ]

Por último, dado que ( vecs r (t) ) representa una curva tridimensional, podemos calcular el vector binormal usando ( ref {EqBinormal} ):

[ begin {align *} vecs B (t) & = ; vecs T (t) × vecs N (t) [4pt]
& = begin {vmatrix} hat { mathbf {i}} & hat { mathbf {j}} & hat { mathbf {k}} dfrac {3} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} y - dfrac {5t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} y - dfrac {4} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} - dfrac {3t } {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} y - dfrac {5} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} y dfrac {4t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} end {vmatrix} [4pt]
& = bigg ( bigg (- dfrac {5t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg ( dfrac {4t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) - bigg (- dfrac {4} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg (- dfrac {5} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg ) bigg) , hat { mathbf {i}}
& - bigg ( bigg ( dfrac {3} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg ( dfrac {4t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg ) - bigg (- dfrac {4} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg (- dfrac {3t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg) , hat { mathbf {j}}
& + bigg ( bigg ( dfrac {3} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg (- dfrac {5} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) - bigg (- dfrac {5t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg (- dfrac {3t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg ) bigg) , hat { mathbf {k}} [4pt]
& = bigg ( dfrac {−20t ^ 2−20} {25 (t ^ 2 + 1)} bigg) , hat { mathbf {i}} + bigg ( dfrac {−15−15t ^ 2} {25 (t ^ 2 + 1)} bigg) , hat { mathbf {k}} [4pt]
& = −20 bigg ( dfrac {t ^ 2 + 1} {25 (t ^ 2 + 1)} bigg) , hat { mathbf {i}} −15 bigg ( dfrac {t ^ 2 + 1} {25 (t ^ 2 + 1)} bigg) , hat { mathbf {k}} [4pt]
& = - dfrac {4} {5} , hat { mathbf {i}} - dfrac {3} {5} , hat { mathbf {k}}. end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Encuentre el vector normal unitario para la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) , hat { mathbf {i}} + (4t + 1) , hat { mathbf {j}} ) y evaluarlo en (t = 2 ).

Insinuación

Primero, encuentre ( vecs T (t) ), luego use ( ref {EqNormal} ).

Respuesta

( vecs N (2) = dfrac { sqrt {2}} {2} (, hat { mathbf {i}} - , hat { mathbf {j}}) )

Para cualquier curva suave en tres dimensiones definida por una función con valores vectoriales, ahora tenemos fórmulas para el vector tangente unitario ( vecs T ), el vector normal unitario ( vecs N ) y el vector binormal ( vecs B ). El vector normal unitario y el vector binormal forman un plano que es perpendicular a la curva en cualquier punto de la curva, llamado plano normal. Además, estos tres vectores forman un marco de referencia en un espacio tridimensional llamado Marco de referencia de Frenet (también llamado TNB frame) (Figura ( PageIndex {2} )). Por último, el plano determinado por los vectores ( vecs T ) y ( vecs N ) forma el plano osculante de (C ) en cualquier punto (P ) de la curva.

Suponga que formamos un círculo en el plano osculante de (C ) en el punto (P ) de la curva. Suponga que el círculo tiene la misma curvatura que la curva en el punto (P ) y deje que el círculo tenga un radio (r ). Entonces, la curvatura del círculo viene dada por ( frac {1} {r} ). Llamamos (r ) el radio de curvatura de la curva, y es igual al recíproco de la curvatura. Si este círculo se encuentra en el lado cóncavo de la curva y es tangente a la curva en el punto (P ), entonces este círculo se llama círculo osculante de (C ) en (P ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ).

Para obtener más información sobre los círculos osculantes, consulte esta demostración sobre curvatura y torsión, este artículo sobre círculos osculantes y esta discusión sobre las fórmulas de Serret.

Para encontrar la ecuación de un círculo osculante en dos dimensiones, necesitamos encontrar solo el centro y el radio del círculo.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): encontrar la ecuación de un círculo osculante

Encuentre la ecuación del círculo osculador de la curva definida por la función (y = x ^ 3−3x + 1 ) en (x = 1 ).

Solución

La figura ( PageIndex {4} ) muestra la gráfica de (y = x ^ 3−3x + 1 ).

Primero, calculemos la curvatura en (x = 1 ):

[κ = dfrac {| f ″ (x) |} { bigg (1+ [f ′ (x)] ^ 2 bigg) ^ {3/2}} = dfrac {| 6x |} {( 1+ [3x ^ 2−3] ^ 2) ^ {3/2}}. ]

Esto da (κ = 6 ). Por lo tanto, el radio del círculo osculante viene dado por (R = frac {1} {κ} = dfrac {1} {6} ). Next, we then calculate the coordinates of the center of the circle. When (x=1), the slope of the tangent line is zero. Therefore, the center of the osculating circle is directly above the point on the graph with coordinates ((1,−1)). The center is located at ((1,−frac{5}{6})). The formula for a circle with radius (r) and center ((h,k)) is given by ((x−h)^2+(y−k)^2=r^2). Therefore, the equation of the osculating circle is ((x−1)^2+(y+frac{5}{6})^2=frac{1}{36}). The graph and its osculating circle appears in the following graph.

Exercise (PageIndex{5})

Find the equation of the osculating circle of the curve defined by the vector-valued function (y=2x^2−4x+5) at (x=1).

Hint

Use ( ef{EqK4}) to find the curvature of the graph, then draw a graph of the function around (x=1) to help visualize the circle in relation to the graph.

Respuesta

(κ =frac{4}{[1+(4x−4)^2]^{3/2}})

At the point (x=1), the curvature is equal to (4). Therefore, the radius of the osculating circle is (frac{1}{4}).

A graph of this function appears next:

The vertex of this parabola is located at the point ((1,3)). Furthermore, the center of the osculating circle is directly above the vertex. Therefore, the coordinates of the center are ((1,frac{13}{4})). The equation of the osculating circle is

((x−1)^2+(y−frac{13}{4})^2=frac{1}{16}).

Key Concepts

  • The arc-length function for a vector-valued function is calculated using the integral formula (displaystyle s(t)=int_a^b ‖vecs r′(t)‖,dt ). This formula is valid in both two and three dimensions.
  • The curvature of a curve at a point in either two or three dimensions is defined to be the curvature of the inscribed circle at that point. The arc-length parameterization is used in the definition of curvature.
  • There are several different formulas for curvature. The curvature of a circle is equal to the reciprocal of its radius.
  • The principal unit normal vector at (t) is defined to be

    [vecs N(t)=dfrac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖}. sin número]

  • The binormal vector at (t) is defined as (vecs B(t)=vecs T(t)×vecs N(t)), where (vecs T(t)) is the unit tangent vector.
  • The Frenet frame of reference is formed by the unit tangent vector, the principal unit normal vector, and the binormal vector.
  • The osculating circle is tangent to a curve at a point and has the same curvature as the tangent curve at that point.

Key Equations

  • Arc length of space curve
    (s= {displaystyle int _a^b} sqrt{[f′(t)]^2+[g′(t)]^2+[h′(t)]^2} ,dt= {displaystyle int _a^b} ‖vecs r′(t)‖,dt)
  • Arc-length function
    (s(t)={displaystyle int _a^t} sqrt{f′(u))^2+(g′(u))^2+(h′(u))^2} ,du ; or ; s(t)={displaystyle int _a^t}‖vecs r′(u)‖,du)
  • (κ=frac{‖vecs T′(t)‖}{‖vecs r′(t)‖} ; or ; κ=frac{‖vecs r′(t)×vecs r″(t)‖}{‖vecs r′(t)‖^3} ; or ; κ=frac{|y″|}{[1+(y′)^2]^{3/2}})
  • Principal unit normal vector
    (vecs N(t)=frac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖})
  • Binormal vector
    (vecs B(t)=vecs T(t)×vecs N(t))

Glossary

arc-length function
a function (s(t)) that describes the arc length of curve (C) as a function of (t)
arc-length parameterization
a reparameterization of a vector-valued function in which the parameter is equal to the arc length
binormal vector
a unit vector orthogonal to the unit tangent vector and the unit normal vector
curvature
the derivative of the unit tangent vector with respect to the arc-length parameter
Frenet frame of reference
(TNB frame) a frame of reference in three-dimensional space formed by the unit tangent vector, the unit normal vector, and the binormal vector
normal plane
a plane that is perpendicular to a curve at any point on the curve
osculating circle
a circle that is tangent to a curve (C) at a point (P) and that shares the same curvature
osculating plane
the plane determined by the unit tangent and the unit normal vector
principal unit normal vector
a vector orthogonal to the unit tangent vector, given by the formula (frac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖})
radius of curvature
the reciprocal of the curvature
smooth
curves where the vector-valued function (vecs r(t)) is differentiable with a non-zero derivative

Contributors and Attributions

  • Gilbert Strang (MIT) and Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) with many contributing authors. This content by OpenStax is licensed with a CC-BY-SA-NC 4.0 license. Download for free at http://cnx.org.


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