Artículos

8.2: Mensurabilidad de funciones reales extendidas - Matemáticas


De ahora en adelante presuponemos un espacio medible ((S, mathcal {M}), ) donde ( mathcal {M} ) es un ( sigma ) - anillo en (S. ) Nuestro objetivo es para demostrar el siguiente teorema básico, que a menudo se usa como definición, para funciones reales extendidas (f: S rightarrow E ^ {*}. )

Teorema ( PageIndex {1} )

(A ) función (f: S rightarrow E ^ {*} ) es medible en un conjunto (A in mathcal {M} ) sif (it ) satisface una de las siguientes condiciones equivalentes (de ahí todos ellos):

[
begin {array} {ll} { left ( mathfrak {i} ^ {*} right) left ( forall a in E ^ {*} right) A (f> a) in mathcal {M};} & { left ( mathrm {ii} ^ {*} right) left ( forall a in E ^ {*} right) A (f geq a) in mathcal { METRO}}; { left ( mathrm {iii} ^ {*} right) left ( forall a in E ^ {*} right) A (f ]

Primero probamos la equivalencia de estas condiciones mostrando que ( left ( mathrm {i} ^ {*} right) Rightarrow ) ( left ( mathrm {ii} ^ {*} right) Derecha left ( mathrm {iii} ^ {*} right) Rightarrow left ( mathrm {i} v ^ {*} right) Rightarrow left ( mathrm {i} ^ {*} right ), ) cerrando el "círculo".

( left ( mathrm {i} ^ {*} right) Rightarrow left ( mathrm {ii} ^ {*} right). ) Suponga ( left ( mathrm {i} ^ { *} right). ) Si (a = - infty ),

[
A (f geq a) = A in mathcal {M}
]

por suposición. Si (a = + infty ),

[
A (f geq a) = A (f = infty) = bigcap_ {n = 1} ^ { infty} A (f> n) in mathcal {M}
]

por ( left ( mathrm {i} ^ {*} right). ) Y si (a in E ^ {1} ),

[
A (f geq a) = bigcap_ {n = 1} ^ { infty} A left (f> a- frac {1} {n} right).
]

(¡Verificar!) Por ( left ( mathrm {i} ^ {*} right) ),

[
A left (f> a- frac {1} {n} right) in mathcal {M};
]

entonces (A (f geq a) in mathcal {M} ( text {a} sigma text {-ring!}) ).

( left ( mathrm {ii} ^ {*} right) Rightarrow left ( mathrm {iii} ^ {*} right). ) Para ( left ( mathrm {i} ^ { *} right) ) y (A in mathcal {M} ) implican

[
A (f ]

( left ( mathrm {iii} ^ {*} right) Rightarrow left ( mathrm {iv} ^ {*} right). ) Si (a en E ^ {1} ) ,

[
A (f leq a) = bigcap_ {n = 1} ^ { infty} A left (f ]

¿Qué pasa si (a = pm infty? )

( left ( mathrm {i} v ^ {*} right) Rightarrow left ( mathrm {i} ^ {*} right). ) De hecho, ( left ( mathrm {iv} ^ {*} right) ) y (A in mathcal {M} ) implican

[
A (f> a) = A-A (f leq a) in mathcal {M}.
]

Así, de hecho, cada uno de ( left ( mathrm {i} ^ {*} right) ) a ( left ( mathrm {iv} ^ {*} right) ) implica a los demás. Para terminar, necesitamos dos lemas que son de interés por derecho propio.

Lema ( PageIndex {1} )

Si los mapas (f_ {m}: S rightarrow E ^ {*} (m = 1,2, ldots) ) satisfacen las condiciones ( left ( mathrm {i} ^ {*} right) - ) ( left ( mathrm {iv} ^ {*} right), ) también lo hacen las funciones

[
sup f_ {m}, inf f_ {m}, overline { lim} f_ {m}, text {y} underline { lim} f_ {m},
]

puntual definido, es decir,

[
izquierda ( sup f_ {m} derecha) (x) = sup f_ {m} (x),
]

y lo mismo para los demás.

Prueba

Sea (f = sup f_ {m}. ) Entonces

[
A (f leq a) = bigcap_ {m = 1} ^ { infty} A left (f_ {m} leq a right) quad text {(¿Por qué?)}
]

Pero por suposición,

[
A left (f_ {m} leq a right) in mathcal {M}
]

( left (f_ {m} text {satisface} left ( mathrm {i} mathrm {v} ^ {*} right) right). ) Por lo tanto (A (f leq a) in mathcal {M} ( text {para} mathcal {M} text {es un} sigma text {-ring}) ).

Así sup (f_ {m} ) satisface ( left (i ^ {*} right) - left (i v ^ {*} right). )

También lo hace inf (f_ {m}; ) para

[
A left ( inf f_ {m} geq a right) = bigcap_ {m = 1} ^ { infty} A left (f_ {m} geq a right) in mathcal {M} .
]

(¡Explicar!)

También lo hacen ( underline { lim} f_ {m} ) y ( overline { lim} f_ {m}; ) porque, por definición,

[
underline { lim} {t} f_ {m} = sup _ {k} g_ {k},
]

dónde

[
g_ {k} = inf _ {m geq k} f_ {m}
]

satisface ( left ( mathrm {i} ^ {*} right) - left ( mathrm {i} mathrm {v} ^ {*} right), ) como se muestra arriba; por lo tanto, también lo hace sup (g_ {k} = underline { lim} f_ {m} ).

De manera similar para ( overline { lim} f_ {m}. Square )

Lema ( PageIndex {2} )

Si (f ) satisface ( left ( mathrm {i} ^ {*} right) - left ( mathrm {iv} ^ {*} right), ) entonces

[
f = lim _ {m rightarrow infty} f_ {m} text {(uniformemente) en} A
]

para alguna secuencia de funciones finitas (f_ {m}, ) todas ( mathcal {M} ) -elemental en (A ).

Además, si (f geq 0 ) en (A, ) el (f_ {m} ) puede hacerse no negativo, con ( left {f_ {m} right } uparrow ) en un).

Prueba

Sea (H = A (f = + infty), K = A (f = - infty), ) y

[
A_ {m k} = A left ( frac {k-1} {2 ^ {m}} leq f < frac {k} {2 ^ {m}} right)
]

para (m = 1,2, ldots ) ​​y (k = 0, pm 1, pm 2, ldots, pm n, ldots )

( mathrm {Por} left ( mathrm {i} ^ {*} right) - left ( mathrm {iv} ^ {*} right) ),

[
H = A (f = + infty) = A (f geq + infty) in mathcal {M},
]

(K in mathcal {M}, ) y

[
A_ {mk} = A left (f leq frac {k-1} {2 ^ {m}} right) cap A left (f < frac {k} {2 ^ {m}} derecha) in mathcal {M}.
]

Ahora define

[
( forall m) quad f_ {m} = frac {k-1} {2 ^ {m}} text {on} A_ {m k},
]

(f_ {m} = m ) en (H, ) y (f_ {m} = - m ) en (K. ) Entonces cada (f_ {m} ) es finito y elemental en (A ) desde

[
( forall m) quad A = H cup K cup bigcup_ {k = - infty} ^ { infty} A_ {m k} (d i s j o i n t)
]

y (f_ {m} ) es constante en (H, K, ) y (A_ {m k} ).

Ahora mostramos que (f_ {m} rightarrow f ) (uniformemente) en (H, K, ) y

[
J = bigcup_ {k = - infty} ^ { infty} A_ {m k},
]

de ahí en (A ).

De hecho, en (H ) tenemos

[
lim f_ {m} = lim m = + infty = f,
]

y el límite es uniforme ya que (f_ {m} ) son constantes en (H ).

Similar,

[
f_ {m} = - m rightarrow- infty = f text {on} K.
]

Finalmente, en (A_ {m k} ) tenemos

[
(k-1) 2 ^ {- m} leq f ]

y (f_ {m} = (k-1) 2 ^ {- m}; ) por lo tanto

[
left | f_ {m} -f right | ]

Por lo tanto

[
left | f_ {m} -f right | <2 ^ {- m} rightarrow 0
]

en cada (A_ {m k}, ) en adelante

[
J = bigcup_ {k = - infty} ^ { infty} A_ {m k}.
]

Por el Teorema 1 del Capítulo 4, §12, se sigue que (f_ {m} rightarrow f ( text {uniformemente}) ) en (J ). Por lo tanto, de hecho, (f_ {m} rightarrow f ( text {uniformemente}) ) en (A ).

Si, además, (f geq 0 ) en (A, ) entonces (K = emptyset ) y (A_ {mk} = emptyset ) para (k leq 0. ) Además, al pasar de (m ) a (m + 1, ) cada (A_ {mk} (k> 0) ) se divide en dos conjuntos. En uno, (f_ {m + 1} = f_ {m}; ) en el otro, (f_ {m + 1}> f_ {m}. ) (¿Por qué?)

Así (0 leq f_ {m} nearrow f ( text {uniformemente}) ) en (A, ) y todo queda probado. (cuadrado)

Teorema ( PageIndex {1} ) (reformulado)

(A ) función (f: S rightarrow E ^ {*} ) es medible en un conjunto (A in mathcal {M} ) sif (it ) satisface una de las siguientes condiciones equivalentes (de ahí todos ellos):

[
begin {array} {ll} { left ( mathfrak {i} ^ {*} right) left ( forall a in E ^ {*} right) A (f> a) in mathcal {M};} & { left ( mathrm {ii} ^ {*} right) left ( forall a in E ^ {*} right) A (f geq a) in mathcal { METRO}}; { left ( mathrm {iii} ^ {*} right) left ( forall a in E ^ {*} right) A (f ]

Prueba

Si (f ) es medible en (A, ) entonces, por definición, (f = lim f_ {m} ) (puntual) para algunos mapas elementales (f_ {m} ) en (A ).

Por el problema 4 (ii) en §1, todos (f_ {m} ) satisfacen (i *) - (iv *). Así también lo hace (f ) por el Lema 1, porque aquí (f = lim f_ {m} = overline { lim} f_ {m} ).

Lo contrario sigue por el Lema 2. Esto completa la demostración. (cuadrado)

Nota 1. Los lemas 1 y 2 prueban los teoremas 3 y 4 de ( $ 1, ) para (f: S rightarrow E ^ {*} ). Usando también el Teorema 2 en §1, uno extiende fácilmente esto a (f: S rightarrow E ^ {n} (C ^ {n}) ). ¡Verificar!

Corolario ( PageIndex {1} )

Si (f: S rightarrow E ^ {*} ) es medible en (A, ) entonces

[
left ( forall a in E ^ {*} right) quad A (f = a) in mathcal {M} text {y} A (f neq a) in mathcal {M} .
]

En efecto,

[
A (f = a) = A (f geq a) cap A (f leq a) in mathcal {M}
]

y

[
A (f neq a) = A-A (f = a) in mathcal {M}.
]

Corolario ( PageIndex {2} )

Si (f: S rightarrow left (T, rho ^ { prime} right) ) es medible en (A ) en ((S, mathcal {M}), ) entonces

[
A cap f ^ {- 1} [G] in mathcal {M}
]

para cada globo (G = G_ {q} ( delta) ) en ( left (T, rho ^ { prime} right) ).

Prueba

Defina (h: S rightarrow E ^ {1} ) por

[
h (x) = rho ^ { prime} (f (x), q).
]
Entonces (h ) se puede medir en (A ) mediante el problema 6 en §1. Así, por el teorema 1,
[
A (h < delta) in mathcal {M}.
]

Pero como se ve fácilmente,

[
A (h < delta) = left {x in A | rho ^ { prime} (f (x), q) < delta right } = A cap f ^ {- 1} left [G_ {q} ( delta) right].
]

De ahí el resultado. (cuadrado)

Definición

Dado (f, g: S rightarrow E ^ {*}, ) definimos los mapas (f vee g ) y (f wedge g ) en (S ) por

[
(f vee g) (x) = max {f (x), g (x) }
]

y

[
(f cuña g) (x) = min {f (x), g (x) };
]

de manera similar para (f vee g vee h, f wedge g wedge h, ) etc.

También establecemos

[
f ^ {+} = f vee 0 text {y} f ^ {-} = - f vee 0.
]

Claramente, (f ^ {+} geq 0 ) y (f ^ {-} geq 0 ) en (S. ) Además, (f = f ^ {+} - f ^ {- } ) y (| f | = f ^ {+} + f ^ {-}. )

(¿Por qué?) Ahora obtenemos el siguiente teorema.

Teorema ( PageIndex {2} )

Si las funciones (f, g: S rightarrow E ^ {*} ) son simples, elementales o medibles en (A, ), también lo son (f pm g, fg, f vee g, f cuña g, f ^ {+}, f ^ {-}, ) y (| f | ^ {a} (a neq 0) ).

Prueba

Si (f ) y (g ) son finitos, esto se sigue por el Teorema 1 de §1 al verificar que

[
f vee g = frac {1} {2} (f + g + | f-g |)
]

y

[
f cuña g = frac {1} {2} (f + g- | f-g |)
]

en (S. ) (¡Compruébalo!)

De lo contrario, considere

[
A (f = + infty), A (f = - infty), A (g = + infty), text {y} A (g = - infty).
]

Según el teorema (1, ) estos son ( mathcal {M} ) - conjuntos; por tanto, también lo es su unión (U ).

En cada uno de ellos (f vee g ) y (f wedge g ) igual a (f ) o (g; ) por lo que por el Corolario 3 en §1, (f vee g ) y (f wedge g ) tienen las propiedades deseadas en (U. ) Entonces también tienen (f ^ {+} = f vee 0 ) y (f ^ {-} = - f vee 0 ( text {tomar} g = 0) ).

Afirmamos que los mapas (f pm g ) y (f g ) son simples (por lo tanto, elementales y medibles) en cada uno de los cuatro conjuntos mencionados anteriormente, por lo tanto en (U. )

Por ejemplo, en (A (f = + infty) ),

[
f pm g = + infty ( text {constante})
]

según nuestras convenciones ( left (2 ^ {*} right) ) en el Capítulo 4, §4. Para (fg, ) divide (A (f = + infty) ) en tres conjuntos (A_ {1}, A_ {2}, A_ {3} in mathcal {M}, ) con (g> 0 ) en (A_ {1}, g <0 ) en (A_ {2}, ) y (g = 0 ) en (A_ {3}; ) entonces (fg = + infty ) en (A_ {1}, fg = - infty ) en (A_ {2}, ) y (fg = 0 ) en (A_ {3}. ) Por tanto, (fg ) es simple en (A (f = + infty) ).

Para (| f | ^ {a}, ) use (U = A (| f | = infty). ) Nuevamente, el teorema se cumple en (U, ) y también en (AU, ) ya que (f ) y (g ) son finitos en (AU in mathcal {M}. ) Por lo tanto, se mantiene en (A = (AU) cup U ) por el Corolario 3 en § 1. ( cuadrado)

Nota 2. La inducción extiende el teorema 2 a cualquier número finito de funciones.

Nota 3. Combinando el Teorema 2 con (f = f ^ {+} - f ^ {-}, ) vemos que (f: S rightarrow E ^ {*} ) es simple (elemental, medible) sif (f ^ {+} ) y (f ^ {-} ) son. También obtenemos el siguiente resultado.

Teorema ( PageIndex {3} )

Si las funciones (f, g: S rightarrow E * ) son medibles en (A in mathcal {M}, ) entonces (A (f geq g) in mathcal {M}, A (f

Como señaló Martin Sleziak para preservar la mensurabilidad, su función debe satisfacer la propiedad de Luzin N. Permítanme demostrar que este no es el caso. Es decir, cualquier función continua no diferenciable en ninguna parte $ f $ asigna un conjunto de mapas de medida cero a un conjunto de medidas positivas.

Tenga en cuenta que para $ L & lt infty $ fijos y casi cualquier $ y en f ( mathbb) $ hay un intervalo $ [p, q] subset mathbb$ tal que $ y in f ([p, q]) $ y $ lambda (f ([p, q])) & gtL cdot lambda ([p, q]), $ entonces estás en la posición aplicar el teorema de cobertura de Vitali.

Arregle $ varepsilon & gt0 $. Aplicando el teorema de cobertura de Vitali, puede pasar a un subconjunto cerrado $ S subset mathbb$ formado por una colección finita de intervalos cerrados tales que $ lambda (f (S)) & gt (1- varepsilon) cdot lambda (f ( mathbb)) quad text quad lambda (S) & lt tfrac12 cdot lambda ( mathbb), $ donde $ lambda $ denota medida de Lebesgue.

Queda por iterar esta construcción para una secuencia $ varepsilon_n a 0 $ tal que $ prod_n (1- varepsilon_n) & gt0. $


2 respuestas 2

"Uniformemente mensurable" es lo mismo que "Bochner mensurable" cuando $ L (X) $ se considera un espacio de Banach. Pero dado que $ L (X) $ es (generalmente) no separable en la norma, esto no es "mensurabilidad" con respecto a la norma sigma-álgebra. Comentarios similares para fuertemente mensurables. Para débilmente medible: esta definición dice que las imágenes inversas de ciertos conjuntos abiertos subbásicos (y básicos) son medibles, pero por supuesto no hay razón para pensar que las imágenes inversas de uniones incontables de conjuntos abiertos básicos sean medibles. Y (dado que no necesita que sean medibles de todos modos para hacer la integración) ¿por qué querría agregar ese requisito?

Si intenta hacer las cosas utilizando su forma llamada "natural" de definir la mensurabilidad, ¡creo que se encontrará en un gran problema muy pronto!

En el contexto de la integración de Bochner, una fuerte mensurabilidad es la definición natural de mensurabilidad, porque la integral de Bochner se define como el límite de funciones simples / valoradas contablemente. Creo que la mensurabilidad débil es más natural en el contexto de la integral Pettis, pero también es una herramienta útil para demostrar una mensurabilidad sólida. La mensurabilidad débil y fuerte están relacionadas por el teorema de mensurabilidad de Pettis.

Creo que lo que llamaríais la definición natural es la mensurabilidad de Borel con respecto a la topología normal. Por lo que sé, esto se relaciona con la mensurabilidad fuerte de la misma manera que lo hace la mensurabilidad débil:

Una función $ f: Omega a X $ es fuertemente medible si y solo si $ f $ se valora separadamente y para todos los $ B en mathcal B ( Omega) $ tenemos que $ f ^ <-1> ( B) $ es medible.

Aquí $ X $ es un espacio de Banach y $ Omega $ es un espacio medible. Ryan ofrece una buena descripción general en el libro "Introducción a los productos tensoriales de los espacios de Banach", pero la prueba es errónea. Estas notas de clase son la única referencia que pude encontrar donde se prueba esta proposición. No he comprobado esta prueba a fondo todavía.

Por lo tanto, la mensurabilidad fuerte no es la mensurabilidad de Borel con respecto a la topología fuerte.


8.2: Mensurabilidad de funciones reales extendidas - Matemáticas

Instructor: Nikola Petrov, 802 PHSC, (405) 325-4316, npetrov AT math.ou.edu

Horario de atención: lunes 1: 30-2: 30 p.m., miércoles 1: 30-2: 30 p.m., o con cita previa.

Requisito previo: 4433 (Introducción al Análisis I) o permiso del instructor.

Descripción del catálogo de cursos: Teoría de la medida e integración de Lebesgue, funciones absolutamente continuas, espacios métricos. (F)

Texto: G. B. Folland, Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones, 2da edición, Wiley-Interscience, 1999.

  • Tarea 1, vence el jueves 4 de septiembre.
  • Tarea 2, vence el jueves 11 de septiembre.
  • Tarea 3, vence el jueves 18 de septiembre.
  • Tarea 4, vence el jueves 25 de septiembre.
  • Tarea 5, vence el jueves 2 de octubre.
  • Tarea 6, vence el jueves 9 de octubre.
  • Tarea 6a, NO debe entregarse el martes 14 de octubre.
  • Tarea 7, vence el jueves 23 de octubre.
  • Tarea 8, hasta el jueves 30 de octubre.
  • Tarea 9, vence el jueves 6 de noviembre.
  • Tarea 10, vence el jueves 13 de noviembre.
  • Tarea 10a, NO debe entregarse el jueves 27 de noviembre.
  • Tarea 11, NO vence el jueves 11 de diciembre.

El examen de la hora 3 será el jueves 29 de noviembre en clase.
No se permiten hojas de fórmulas ni calculadoras.

    Conferencia 1 (martes 26 de agosto):Introducción: motivación - integrales de Riemann y Lebesgue, idea de medida, incompatibilidad de condiciones (paradoja de Banach-Tarski). (Sección 1.1).
    y sigma-álgebras: definición de un & sigma-álgebra (& sigma-campo), ejemplos elementales de & sigma-álgebras (página 21 de la sección 1.2).

Asistencia: Se requiere que asista a clase en los días en los que se está dando un examen. También se espera asistencia durante otros períodos de clase. Usted es totalmente responsable del material cubierto en cada clase, asista o no. Se darán reparaciones por los exámenes perdidos solo si hay un razón convincente de la ausencia, que yo conozco antemano y puede documentar independientemente de su testimonio (por ejemplo, a través de una nota o una llamada telefónica de un médico o un padre).

Cuestionarios: Se darán breves pruebas sorpresa en clase en momentos aleatorios y se eliminará la calificación más baja de la prueba. A menudo, los cuestionarios utilizarán material que se ha cubierto muy recientemente (incluso en la lección anterior), por lo que debe hacer todo lo posible para mantenerse al día con el material y estudiar las secciones correspondientes del libro justo después de que se hayan cubierto en clase. .

Tarea: Las asignaciones de tareas semanales se anunciarán en clase y se publicarán en la página web del curso. Poco después de la fecha de vencimiento, publicaré las soluciones en la biblioteca de química y matemáticas. Espero que trabaje en los problemas usted mismo o junto con otros estudiantes cuando sean asignados. Estaré encantado de discutir cualquier aspecto de la tarea con usted durante el horario de oficina o con cita previa. Después de haber trabajado en los problemas usted mismo, debería comparar su trabajo con las soluciones sugeridas para los problemas de las tareas cuando se publiquen. Toda la tarea debe estar escrita en un papel de 8.5 "& times11" con su nombre claramente escrito y debe estar engrapada. Por favor, tómese la tarea muy en serio. La resolución de problemas es una parte esencial del proceso de aprendizaje.

Exámenes: Habrá dos exámenes parciales en clase y una final (completa).
Tentativo Las fechas de las elecciones parciales son el 30 de septiembre y el 11 de noviembre.
La final está programada para el 19 de diciembre (viernes) de 8:00 a 10:00 a.m.
Todas las pruebas deben tomarse en los horarios programados, excepto en circunstancias extraordinarias.
No organice planes de viaje que le impidan realizar alguno de los exámenes a la hora programada.

Calificación: Su calificación será determinada por su desempeño en los siguientes cursos:

Trabajo de curso Peso
Cuestionarios 15%
Tarea 9%
Examen 1 22%
Examen 2 22%
Examen final 32%

Calendario académico para Otoño de 2008.

Programa del curso para Otoño de 2008.

Política sobre calificaciones W / I : Hasta el 3 de octubre, puede darse de baja del curso con una "W" automática. Además, del 6 de octubre al 12 de diciembre, podrá retirarse y recibir una "W" o "F" según su posición en la clase. Dejarlo después del 3 de noviembre requiere una petición al decano. (Tales peticiones no se conceden a menudo. Además, incluso si se concede la petición, le daré una calificación de "Rechazado Reprobado" si de hecho está reprobando en el momento de su petición). COMPRUEBE LAS FECHAS.

La calificación de "I" (incompleta) es no destinado a servir como un sustituto benigno del grado de "F". Solo doy la calificación "I" si un estudiante ha completado la mayor parte del trabajo en el curso (por ejemplo, todo excepto el examen final), el trabajo del curso no se puede completar debido a problemas convincentes y verificables más allá del control del estudiante, y el estudiante expresa una clara intención de recuperar el trabajo perdido lo antes posible.

Mala conducta académica: Todos los casos de sospecha de mala conducta académica se remitirán al Decano de la Facultad de Artes y Ciencias para su procesamiento en virtud del Código de Mala Conducta Académica de la Universidad. Las sanciones pueden ser bastante severas. ¡No lo hagas! Para obtener más detalles sobre las políticas de la Universidad con respecto a la mala conducta académica, consulte http://www.ou.edu/provost/integrity/. Ver también el Código de mala conducta académica, que es parte del Código estudiantil y se puede encontrar en http://www.ou.edu/studentcode/.

Estudiantes con discapacidades: La Universidad de Oklahoma se compromete a proporcionar adaptaciones razonables para todos los estudiantes con discapacidades. Se solicita a los estudiantes con discapacidades que requieran adaptaciones en este curso que hablen con el instructor lo antes posible en el semestre. Los estudiantes con discapacidades deben estar registrados en la Oficina de Servicios para Discapacitados antes de recibir adaptaciones en este curso. La Oficina de Servicios para Discapacitados está ubicada en Goddard Health Center, Suite 166: teléfono 405-325-3852 o TDD solamente 405-325-4173.


2 respuestas 2

La afirmación en negrita no es cierta en la generalidad en la que la expresas. Sin embargo, algo muy parecido es cierto, si se adopta la perspectiva y la filosofía de la teoría de los grandes conjuntos cardinales y se restringen los tipos de definiciones que se consideran.

Primero, aclaremos un poco más a qué te refieres. Uno no usa axiomas formalmente en absoluto en un definición, sino más bien en una prueba. Definir un objeto significa proporcionar una declaración $ varphi (x) $ que uno y solo un objeto satisface. Lo que se quiere decir con no usar un axioma en una definición es que se puede probar, sin usar ese axioma, que existe un objeto tan único que cumple la definición. Quizás uno tenga en mente un procedimiento constructivo, pero esto es realmente solo una secuencia de tales definiciones, y tal construcción no usa el axioma de elección, si en cada paso de la construcción, la definición usada en ese paso es una definición en cualquier modelo de ZF.

Uno puede fácilmente hacer un contraejemplo, ahora, por la definición: sea $ f $ la función característica del conjunto menos no medible de reales en el universo construible $ L $, usando el ordenamiento bien definible canónico de $ L $.

Esta definición no utiliza el axioma de elección, ya que es sensible como definición en cualquier modelo de ZF y selecciona una función única sobre los reales en cualquier modelo de ZF. Pero no es necesariamente cierto en ZF que esta función sea medible, ya que si se cumple el axioma de constructibilidad, es decir, si vivimos en $ L $, entonces $ f $ definitivamente no es medible. Mientras tanto, es consistente con ZFC que el conjunto de todos los reales en $ L $ es contable en $ V $ y, en este caso, la función $ f $ es la característica de un conjunto contable y, por tanto, medible en $ V $. Entonces, la definición, que no utilizó el axioma de elección, a veces define una función medible y otras veces no, en los diversos mundos ZF.

Démosle otro contraejemplo concreto. El buen ordenamiento canónico de los reales en el universo construible $ L $, mencionado por Andrés, es un subconjunto definible del plano real $ A subset mathbb^ 2 $, que en $ L $ tiene complejidad $ Delta ^ 1_2 $ en la jerarquía proyectiva descriptiva-teórica-de-conjuntos. Por lo tanto, en nuestro universo actual $ V $, el conjunto $ A $ tiene complejidad en el peor de los casos $ Sigma ^ 1_2 $, por lo que surge de un cierto subconjunto cerrado definible de $ mathbb^ 4 $ proyectando en $ mathbb^ 3 $, tomando el complemento y luego proyectando a $ mathbb^ 2 $. Por lo tanto, $ A $ se puede definir de una manera muy concreta, sin hacer uso del axioma de elección. Sin embargo, no es necesariamente cierto que el conjunto resultante sea medible, ya que dentro del propio universo construible, el conjunto resultante no es medible en contraste, también es consistente con ZF que solo hay numerablemente muchos reales construibles, y en este caso los set $ A $ sería contable y, por tanto, medible. Entonces, la mensurabilidad del conjunto $ A $ no está determinada, a pesar de la simple definición.

Al final de su publicación, parece sugerir que, ("claramente") si una definición define un conjunto medible en algún modelo de ZF, entonces define un conjunto medible (en nuestro universo ZFC actual). Pero esto no es del todo correcto. Se puede escribir una definición $ varphi (x) $ que ZF demuestra que define un conjunto único de reales, pero el conjunto de reales definido es medible en un modelo interno y no medible en un modelo más grande.

Por último, permítame explicar el sentido en el que su atrevida declaración va por buen camino. Uno de los descubrimientos verdaderamente sorprendentes y notables de la teoría de grandes conjuntos cardinales es que la existencia de grandes cardinales tiene efectos sobre la verdad matemática fundamental en el nivel de la teoría descriptiva de conjuntos. En particular, la existencia de suficientes cardinales grandes implica que cada conjunto de reales definible proyectivamente es medible según Lebesgue. Si hay un cardenal supercompacto, y mucho menos suficiente, como se explica en el artículo Saharon Shelah, Hugh Woodin, Large Cardinals Imply That Every Reasonably Definable Set of Reals Is Lebesgue Measurable, Isreal Journal of Mathematics, vol. 70, (1990) págs. 381-394 (revisado por J. Bagaria en BSL 8: 4 (2002) págs. 543-545, según lo vincula Andrés en los comentarios), luego cada conjunto de reales en $ L ( matemáticas) $ es Lebesgue medible. El universo $ L ( mathbb) $ consta de aquellos conjuntos que son construibles en relación con los reales.

Entonces, si asume cardinales grandes y define un conjunto de reales mediante una definición que es absoluta en $ L ( mathbb) $ & mdash y este es muy probable que sea el caso si su definición funciona en ZF y no implica explícitamente la teoría de conjuntos & mdash, entonces su conjunto es medible según Lebesgue.

En particular, asumiendo que hay suficientes cardinales grandes, entonces cada conjunto proyectivo de reales es medible según Lebesgue, y esto puede proporcionar un criterio suficientemente suave. Los enunciados proyectivos son aquellos que pueden expresarse utilizando cuantificadores solo sobre los reales y los enteros, con la estructura algebraica y de orden habitual. Alternativamente, los conjuntos proyectivos son los que se obtienen al cerrar los conjuntos de Borel bajo imágenes continuas y complementos.

Permítanme señalar que este tipo de consecuencia de los grandes cardinales a menudo es señalada por los grandes teóricos de conjuntos cardinales como evidencia de que los grandes axiomas cardinales en sí mismos están en el camino correcto, ya que proporcionan una teoría de la estructura tan rica, coherente y deseable para nuestro análisis. matemáticas cotidianas. Preferimos infinitamente la suave y elegante teoría descriptiva de conjuntos de los grandes cardenales a la incómoda tierra de los contraejemplos que proporciona el axioma de la constructibilidad $ V = L $.


Matemáticas

Función medible de Lebesgue Una función ampliada de valor real F ¿Es Lebesgue medible si su dominio es medible y si satisface uno de los siguientes cinco para cada número real? α,
(a) <x: f (x) & lt α> es medible
(b) <x: f (x) & gt α> es medible
(c) <x: f (x) & # 8804 α> es medible
(d) <x: f (x) & # 8805 α> es medible
(e) <x: f (x) = α> es medible.

Casi en todas partes propiedades Si un conjunto de puntos donde no se mantiene es un conjunto de medida cero.
Si f = g, casi en todas partes si F y gramo tener el mismo dominio y metro<x: f (x)g (x) > = 0.

Función simple Una función de valor real Es función simple, si es lebesgue medible y asume solo un número finito de valores.

Mensurabilidad de Borel Una función F es Borel medible si para cada α, el conjunto <x: f (x) & gt α> es el conjunto de Borel.

Algunos resultados importantes:


Ejemplos de

En cada uno de los ejemplos siguientes, Ω se toma como un intervalo en ( mathbb ). En consecuencia, ( mathscr ) se toma como el σ-álgebra de subconjuntos medibles de Lebesgue de Ω, y μ la medida de Lebesgue restringida a ( mathscr ) .

Nuestro primer ejemplo muestra que el teorema 3.1 es una generalización estricta de los corolarios 4.2 y 4.3 incluso en el caso de una medida finita.

Ejemplo 5.1

Sea ( Omega = [-1, 1] setminus <0 > ). Para (n in mathbb ), define (f_ : Omega flecha derecha mathbb ) por

Es fácil ver que no existe una función semi-integrable superior que domine (<>>_> ) por tanto, el Corolario 4.1 no se aplica. Además, (<>^ <+> > ) no es uniformemente integrable de hecho, para cualquier (c geq0 ) tenemos

Por tanto, el Corolario 4.2, que requiere una integrabilidad uniforme de (<>^ <+> > ), tampoco aplica. Tampoco el Corolario 4.3, ya que la equi-integrabilidad implica una integrabilidad uniforme en un espacio de medida finito siempre que ( sup_> int vert f_ vert , d mu & lt infty ), que es el caso aquí.

Por el contrario, el teorema 3.1 se aplica fácilmente. Para ver esto, tenga en cuenta que, para cada (n in mathbb ), (f_) es integrable, al igual que ( lim_ F_). Para (i in mathbb ) , dejar

Luego (<>>_> ) es un σ-secuencia agotadora finita. Dejar (<>>_> ) ser alguna secuencia en ( mathscr ) satisfaciendo (3.2) (i). Para cada (i in mathbb ), para cualquier (n geq i ), tenemos (f_ = 0 ) en (B_) y ( int _ < Omega setminus A_> f_ , d mu = int _ < Omega setminus B_> f_ , d mu = 0 ). Por tanto, el lado izquierdo de (3.1) es cero. Por tanto, la desigualdad de Fatou (1.1) se cumple con el teorema 3.1.

De hecho ( int f_ , d mu = 0 ) para todos (n in mathbb ) y ( lim_ F_ = 0 ). Por tanto, ambos lados de la desigualdad de Fatou (1.1) son iguales a cero.

En el siguiente ejemplo, μ no es finita, y la secuencia (<>> _> ) está delimitado uniformemente desde abajo.

Ejemplo 5.2

Deje ( Omega = mathbb _ <+> ). Para (n in mathbb ), define (f_ : Omega flecha derecha mathbb ) por

Es fácil ver que no existe una función semi-integrable superior que domine (<>>_> ) por tanto, el Corolario 4.1 no se aplica.

Para cualquier ( delta in (0,1) ) tenemos

Por lo tanto (<>^ <+> > ) no satisface la condición (a) en la Sección 2. Para considerar la condición (b), sea (E in mathscr ) con ( mu (E) & lt infty ). Luego

lo que implica que ( lim_ mu (E cap [n, n + 1)) = 0 ). Resulta que

Por eso (<>^ <+> > ) tampoco satisface la condición (b). Por lo tanto (<>^ <+> > ) está lejos de ser equi-integrable como consecuencia, el Corolario 4.3 no se aplica.

Para ver que se aplica el teorema 3.1, tenga en cuenta que, para cada (n in mathbb ), (f_) es integrable para cada nortey también ( lim_ F_). Para (i in mathbb ), sea (B_ = [0, i) ). Luego (<>> _> ) es un σ-secuencia agotadora finita. Llevar alguna secuencia (<>>_> ) en ( mathscr ) satisfaciendo (3.2) (i). Luego, para cada (i in mathbb ) tenemos ( int _ < Omega setminus A_> f_ , d mu = 0 ) para todos (n geq i ). Por tanto, el lado izquierdo de (3.1) es igual a cero. Por tanto, la desigualdad de Fatou (1.1) se cumple con el teorema 3.1.

De hecho, como en el ejemplo anterior, tenemos ( int f_ , d mu = 0 ) para todos (n in mathbb ) y ( lim_ F_ = 0 ) por tanto, ambos lados de la desigualdad de Fatou (1.1) son iguales a cero.


Información del autor

Afiliaciones

Instituto de Matemáticas, Universidad Jan Kochanowski en Kielce, Świętokrzyska 15, 25-406, Kielce, Polonia

Departamento de Mecánica y Matemáticas, Universidad Nacional Ivan Franko Lviv, Universytetska Str. 1, Leópolis, 79000, Ucrania

Instituto de Matemáticas, Universidad de Silesia en Katowice, Bankowa 12, 40-007, Katowice, Polonia

Departamento de Matemáticas e Informática, Universidad Nacional Yuriy Fedkovych Chernivtsity, Kotsiubynskoho 2, Chernivtsi, 58012, Ucrania


Ver el vídeo: RÚBRICAS en CLASSROOM - Crea tu GUÍA de EVALUACIÓN FÁCIL - TUTORIAL COMPLETO - Para profesores (Noviembre 2021).