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3.6: Funciones de valor absoluto - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Grafica una función de valor absoluto.
  • Resuelve una ecuación de valor absoluto.

Hasta la década de 1920, se creía que las llamadas nebulosas espirales eran nubes de polvo y gas en nuestra propia galaxia, a unas decenas de miles de años luz de distancia. Luego, el astrónomo Edwin Hubble demostró que estos objetos son galaxias por derecho propio, a distancias de millones de años luz. Hoy en día, los astrónomos pueden detectar galaxias que se encuentran a miles de millones de años luz de distancia. Las distancias en el universo se pueden medir en todas las direcciones. En esta sección, investigaremos funciones de valor absoluto.

Entendiendo el valor absoluto

Recuerde que en su forma básica (f (x) = | x | ), el valor absoluto función, es una de las funciones de nuestro kit de herramientas. Se suele pensar que la función de valor absoluto proporciona la distancia entre el número y el cero en una recta numérica. Algebraicamente, cualquiera que sea el valor de entrada, la salida es el valor sin tener en cuenta el signo.

Función de valor absoluto

La función de valor absoluto se puede definir como una función por partes

[f (x) = | x | = begin {cases} x & text {if} x { geq} 0 -x & text {if} x <0 end {cases} ]

Ejemplo ( PageIndex {1} ): determinar un número dentro de una distancia prescrita

Describe todos los valores (x ) dentro o incluyendo una distancia de 4 del número 5.

Solución

Queremos que la distancia entre (x ) y 5 sea menor o igual a 4. Podemos trazar una recta numérica, como la de en, para representar la condición que se debe cumplir.

La distancia de (x ) a 5 se puede representar usando el valor absoluto como (| x − 5 | ). Queremos los valores de (x ) que satisfagan la condición (| x − 5 | leq4 ).

Análisis

Tenga en cuenta que

[ begin {align *} -4 & { leq} x-5 & x-5 & leq4 [4pt] 1 & { leq} x & x & { leq} 9 end {align *} ]

Entonces (| x − 5 | leq4 ) es equivalente a (1 { leq} x leq9 ).

Sin embargo, los matemáticos generalmente prefieren la notación de valor absoluto.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Describe todos los valores (x ) dentro de una distancia de 3 del número 2.

Respuesta

(| x − 2 | leq3 )

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Resistencia de una resistencia

Las partes eléctricas, como resistencias y condensadores, vienen con valores específicos de sus parámetros de funcionamiento: resistencia, capacitancia, etc. Sin embargo, debido a la imprecisión en la fabricación, los valores reales de estos parámetros varían algo de una pieza a otra, incluso cuando se supone que son ser el mismo. Lo mejor que pueden hacer los fabricantes es tratar de garantizar que las variaciones se mantengan dentro de un rango especificado, a menudo ± 1%, ± 5% o ± 10%.

Suponga que tenemos una resistencia nominal de 680 ohmios, ± 5%. Utilice la función de valor absoluto para expresar el rango de valores posibles de la resistencia real.

Solución

5% de 680 ohmios es 34 ohmios. El valor absoluto de la diferencia entre la resistencia real y nominal no debe exceder la variabilidad establecida, por lo que, con la resistencia (R ) en ohmios,

[| R − 680 | leq34 nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Los estudiantes que obtengan una puntuación de 20 puntos de 80 pasarán un examen. Escribe esto como una distancia de 80 usando notación de valor absoluto.

Respuesta

Usando la variable (p ) para pasar, (| p − 80 | leq20 )

Graficar una función de valor absoluto

La característica más significativa del gráfico de valor absoluto es el punto de esquina en el que el gráfico cambia de dirección. Este punto se muestra en el origen en la Figura ( PageIndex {3} ).

La figura ( PageIndex {3} ) muestra la gráfica de (y = 2 | x – 3 | +4 ). La gráfica de (y = | x | ) se ha desplazado a la derecha 3 unidades, se ha estirado verticalmente en un factor de 2 y se ha desplazado hacia arriba 4 unidades. Esto significa que el punto de la esquina está ubicado en ((3,4) ) para esta función transformada.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): escribir una ecuación para una función de valor absoluto

Escribe una ecuación para la función graficada en la Figura ( PageIndex {5} ).

Solución

La función básica de valor absoluto cambia de dirección en el origen, por lo que este gráfico se ha desplazado hacia la derecha 3 unidades y hacia abajo 2 unidades desde la función básica del conjunto de herramientas. Vea la Figura ( PageIndex {6} ).

También notamos que el gráfico aparece estirado verticalmente, porque el ancho del gráfico final en una línea horizontal no es igual a 2 veces la distancia vertical desde la esquina a esta línea, como lo sería para una función de valor absoluto sin estirar. En cambio, el ancho es igual a 1 vez la distancia vertical como se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ).

A partir de esta información podemos escribir la ecuación

[ begin {align *} f (x) & = 2 | x-3 | -2, ; ; ; ; ; ; text {tratando el estiramiento como un estiramiento vertical, o} f (x) & = | 2 (x-3) | -2, ; ; ; text {tratando el estiramiento como una compresión horizontal.} end {align *} ]

Análisis

Tenga en cuenta que estas ecuaciones son algebraicamente equivalentes: el estiramiento de una función de valor absoluto se puede escribir indistintamente como estiramiento o compresión vertical u horizontal.

Preguntas y Respuestas

Si no pudiéramos observar la extensión de la función a partir de las gráficas, ¿podríamos determinarla algebraicamente?

Respuesta

Si. Si no podemos determinar el estiramiento en función del ancho del gráfico, podemos resolver el factor de estiramiento ingresando un par conocido de valores para (x ) y (f (x) ).

[f (x) = a | x − 3 | −2 nonumber ]

Ahora sustituyendo en el punto ((1, 2) )

[ begin {align *} 2 & = a | 1-3 | -2 4 & = 2a a & = 2 end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Escribe la ecuación para la función de valor absoluto que se desplaza horizontalmente a la izquierda 2 unidades, se invierte verticalmente y se desplaza verticalmente 3 unidades hacia arriba.

Respuesta

(f (x) = - | x + 2 | +3 )

Preguntas y Respuestas

¿Las gráficas de funciones de valor absoluto siempre se cruzan con el eje vertical? ¿El eje horizontal?

Respuesta

Sí, siempre se cruzan con el eje vertical. El gráfico de una función de valor absoluto se intersecará con el eje vertical cuando la entrada sea cero.

No, no siempre se cruzan con el eje horizontal. El gráfico puede o no cruzarse con el eje horizontal, dependiendo de cómo se haya desplazado y reflejado el gráfico. Es posible que la función de valor absoluto cruce el eje horizontal en cero, uno o dos puntos (Figura ( PageIndex {8} )).

Resolver una ecuación de valor absoluto

Ahora que podemos graficar una función de valor absoluto, aprenderemos cómo resolver una ecuación de valor absoluto. Para resolver una ecuación como (8 = | 2x − 6 | ), notamos que el valor absoluto será igual a 8 si la cantidad dentro del valor absoluto es 8 o -8. Esto lleva a dos ecuaciones diferentes que podemos resolver de forma independiente.

[2x-6 = 8 quad text {o} quad 2x-6 = -8 nonumber ]

[ begin {align *} 2x & = 14 & 2x & = -2 x & = 7 & x & = - 1 end {align *} ]

Es útil saber cómo resolver problemas que involucran funciones de valor absoluto. Por ejemplo, es posible que necesitemos identificar números o puntos en una línea que se encuentran a una distancia específica de un punto de referencia dado.

Un ecuación de valor absoluto es una ecuación en la que la variable desconocida aparece en barras de valor absoluto. Por ejemplo,

[ begin {align *} | x | & = 4, nonumber [4pt] | 2x − 1 | & = 3, [4pt] | 5x + 2 | −4 & = 9. end {alinear *} ]

Soluciones a ecuaciones de valor absoluto

Para números reales (A ) y (B ), una ecuación de la forma (| A | = B ), con (B geq0 ), tendrá soluciones cuando (A = B ) o (A = −B ). Si (B <0 ), la ecuación (| A | = B ) no tiene solución.

Cómo ...

Dada la fórmula para una función de valor absoluto, encuentre las intersecciones horizontales de su gráfica.

  1. Aislar el término de valor absoluto.
  2. Usa (| A | = B ) para escribir (A = B ) o (- A = B ), asumiendo (B> 0 ).
  3. Solución para x).

Ejemplo ( PageIndex {4} ): encontrar los ceros de una función de valor absoluto

Para la función (f (x) = | 4x + 1 | −7 ), encuentre los valores de (x ) tales que (f (x) = 0 ).

Solución

[ begin {align *} 0 & = | 4x + 1 | -7 & & & text {Sustituye 0 por f (x).} 7 & = | 4x + 1 | & & & text {Aísla el valor absoluto en un lado de la ecuación.} 7 & = 4x + 1 & text {o} -7 & = 4x + 1 & text {Divide en dos ecuaciones separadas y resuelve.} 6 & = 4x & -8 & = 4x & x & = frac {6} {4} = 1.5 & x & = frac {-8} {4} = - 2 end {align *} ]

La función genera 0 cuando (x = 1.5 ) o (x = −2 ) (Figura ( PageIndex {9} )).

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Para la función (f (x) = | 2x − 1 | −3 ), encuentra los valores de (x ) tales que (f (x) = 0 ).

Solución

(x = −1 ) o (x = 2 )

Preguntas y Respuestas

¿Deberíamos esperar siempre dos respuestas al resolver (| A | = B )?

Respuesta

No. Es posible que encontremos una, dos o incluso ninguna respuesta. Por ejemplo, no hay solución para (2+ | 3x − 5 | = 1 ).

Cómo ...

Dada una ecuación de valor absoluto, resuélvala.

  1. Aislar el término de valor absoluto.
  2. Usa (| A | = B ) para escribir (A = B ) o (A = −B ).
  3. Solución para x).

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Resolver una ecuación de valor absoluto

Resuelve (1 = 4 | x − 2 | +2 ).

Solución

Al aislar el valor absoluto en un lado de la ecuación se obtiene lo siguiente.

[ begin {align *} 1 & = 4 | x-2 | +2 -1 & = 4 | x-2 | - frac {1} {4} & = | x-2 | end {alinear *} ]

El valor absoluto siempre devuelve un valor positivo, por lo que es imposible que el valor absoluto sea igual a un valor negativo. En este punto, notamos que esta ecuación no tiene soluciones.

Preguntas y Respuestas

En el ejemplo ( PageIndex {5} ), si (f (x) = 1 ) y (g (x) = 4 | x − 2 | +2 ) se graficaron en el mismo conjunto de ejes, ¿Se cruzarían las gráficas?

Respuesta

No. Las gráficas de (f ) y (g ) no se intersecarían, como se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ). Esto confirma, gráficamente, que la ecuación (1 = 4 | x − 2 | +2 ) no tiene solución.

Encuentra dónde la gráfica de la función (f (x) = - | x + 2 | +3 ) interseca los ejes horizontal y vertical.

(f (0) = 1 ), entonces la gráfica interseca el eje vertical en ((0,1) ). (f (x) = 0 ) cuando (x = −5 ) y (x = 1 ) entonces la gráfica interseca el eje horizontal en ((- 5,0) ) y ((1 , 0) ).

Resolver una desigualdad de valor absoluto

Las ecuaciones de valor absoluto pueden no siempre involucrar igualdades. En cambio, es posible que necesitemos resolver una ecuación dentro de un rango de valores. Usaríamos un desigualdad de valor absoluto para resolver tal ecuación. Una desigualdad de valor absoluto es una ecuación de la forma

[| A | B, nonumber ]

o

[| A | { geq} B, nonumber ]

donde una expresión (A ) (y posiblemente, pero no habitualmente, (B )) depende de una variable (x ). Resolver la desigualdad significa encontrar el conjunto de todos (x ) que satisfacen la desigualdad. Por lo general, este conjunto será un intervalo o la unión de dos intervalos.

Hay dos enfoques básicos para resolver desigualdades de valor absoluto: gráfico y algebraico. La ventaja del enfoque gráfico es que podemos leer la solución interpretando las gráficas de dos funciones. La ventaja del enfoque algebraico es que produce soluciones que pueden ser difíciles de leer en el gráfico.

Por ejemplo, sabemos que todos los números dentro de las 200 unidades de 0 pueden expresarse como

[| x | <200 nonumber ]

o

[−200

Suponga que queremos saber todos los posibles rendimientos de una inversión si pudiéramos ganar una cantidad de dinero entre $ 200 y $ 600. Podemos resolver algebraicamente el conjunto de valores (x ) tal que la distancia entre (x ) y 600 sea menor que 200. Representamos la distancia entre (x ) y 600 como (| x − 600 | ).

[| x − 600 | <200 ]

o

[- 200

[ begin {align *} −200 + 600 <& x − 600 + 600 <200 + 600 [4pt] 400 <& x <800 end {align *} ]

Esto significa que nuestros retornos estarían entre $ 400 y $ 800.

A veces, se nos presentará un problema de desigualdad de valor absoluto en términos de una función de valor absoluto desplazada y / o estirada o comprimida, donde debemos determinar para qué valores de la entrada la salida de la función será negativa o positiva.

Cómo ...

Dada una desigualdad de valor absoluto de la forma (| x − A | { leq} B ) para números reales (a ) y (b ) donde (b ) es positivo, resuelve la desigualdad de valor absoluto algebraicamente.

  1. Encuentra los puntos fronterizos resolviendo (| x − A | = B ).
  2. Pruebe los intervalos creados por los puntos límite para determinar dónde (| x − A | { leq} B ).
  3. Escriba el intervalo o la unión de intervalos que satisfagan la desigualdad en notación de intervalo, desigualdad o generador de conjuntos.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Resolver una desigualdad de valor absoluto

Resuelve (| x −5 | { leq} 4 ).

Solución

Con ambos enfoques, primero necesitaremos saber dónde es verdadera la igualdad correspondiente. En este caso, primero encontraremos dónde (| x − 5 | = 4 ). Hacemos esto porque el valor absoluto es una función sin interrupciones, por lo que la única forma en que los valores de la función pueden cambiar de ser menores que 4 a ser mayores que 4 es pasando por donde los valores son iguales a 4. Resuelve (| x − 5 | = 4 ).

[ begin {align *} x − 5 & = 4 & text {o} ; ; ; ; ; ; ; ; x & = 9 x − 5 & = - 4 & x & = 1 end {align *} ]

Después de determinar que el valor absoluto es igual a 4 en (x = 1 ) y (x = 9 ), sabemos que la gráfica solo puede cambiar de ser menor que 4 a mayor que 4 en estos valores. Esto divide la línea numérica en tres intervalos:

[x <1, ; 1 9. sin número]

Para determinar cuándo la función es menor que 4, podríamos elegir un valor en cada intervalo y ver si la salida es menor o mayor que 4, como se muestra en la Tabla ( PageIndex {1} ).

Tabla ( PageIndex {1} )
Prueba de intervalo (x ) (f (x) ) (<4 ) o (> 4 )
(x <1 )0(|0-5|=5)Mas grande que
(1 6(|6-5|=1)Menos que
(x> 9 )11(|11-5|=6)Mas grande que

Dado que (1 { leq} x { leq} 9 ) es el único intervalo en el que la salida en el valor de prueba es menor que 4, podemos concluir que la solución a (| x − 5 | { leq } 4 ) es (1 { leq} x { leq} 9 ) o ([1,9] ).

Para usar una gráfica, podemos bosquejar la función (f (x) = | x − 5 | ). Para ayudarnos a ver dónde están las salidas 4, la línea (g (x) = 4 ) también podría dibujarse como en la Figura ( PageIndex {11} ).

Podemos ver lo siguiente:

  • Los valores de salida del valor absoluto son iguales a 4 en (x = 1 ) y (x = 9 ).
  • La gráfica de (f ) está debajo de la gráfica de (g ) en (1
  • El valor absoluto es menor o igual a 4 entre estos dos puntos, cuando (1 { leq} x leq9 ). En notación de intervalo, este sería el intervalo ([1,9] ).

Análisis

Para desigualdades de valor absoluto,

[| x − A | C, - C C. sin número]

El símbolo (<) o (> ) puede reemplazarse por ( leq ) o ( geq ).

Entonces, para este ejemplo, podríamos usar este enfoque alternativo.

[ begin {align *} | x − 5 | & { leq} 4 −4 & { leq} x − 5 { leq} 4 & text {Reescribe quitando las barras de valor absoluto.} −4 + 5 & { leq} x − 5 + 5 { leq} 4 + 5 & text {Aislar x.} 1 & { leq} x leq9 end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Resuelve (| x + 2 | leq 6 ).

Respuesta

(- 8 leq x leq 4 )

Cómo ...

Dada una función de valor absoluto, resuelva para el conjunto de entradas donde la salida es positiva (o negativa).

  1. Iguala la función a cero y resuelve los puntos límite del conjunto solución.
  2. Utilice puntos de prueba o un gráfico para determinar dónde la salida de la función es positiva o negativa.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Uso de un enfoque gráfico para resolver desigualdades de valor absoluto

Dada la función (f (x) = - frac {1} {2} | 4x − 5 | +3 ), determina los (x ) - valores para los cuales los valores de la función son negativos.

Solución

Estamos tratando de determinar dónde (f (x) <0 ), que es cuando (- frac {1} {2} | 4x − 5 | +3 <0 ). Comenzamos aislando el valor absoluto.

[ begin {align *} - frac {1} {2} | 4x − 5 | & <- 3 ; ; ; text {Multiplica ambos lados por –2 e invierte la desigualdad.} | 4x − 5 | &> 6 end {align *} ]

A continuación, resolvemos la igualdad (| 4x − 5 | = 6 ).

[ begin {align *} 4x-5 & = 6 & 4x-5 & = - 6 4x-6 & = 6 end {align *} ]

o

[ begin {align *} 4x & = - 1 x & = frac {11} {4} & x & = - frac {1} {4} end {align *} ]

Ahora, podemos examinar la gráfica de (f ) para observar dónde la salida es negativa. Observaremos dónde están las ramas debajo del eje (x ) -. Observe que ni siquiera es importante exactamente cómo se ve la gráfica, siempre que sepamos que cruza el eje horizontal en (x = - frac {1} {4} ) y (x = frac {11 } {4} ) y que el gráfico se ha reflejado verticalmente. Vea la Figura ( PageIndex {12} ).

Observamos que la gráfica de la función está debajo del eje (x ) - a la izquierda de (x = - frac {1} {4} ) y a la derecha de (x = frac {11} {4} ). Esto significa que los valores de la función son negativos a la izquierda de la primera intersección horizontal en (x = - frac {1} {4} ), y negativos a la derecha de la segunda intersección en (x = frac {11 } {4} ). Esto nos da la solución a la desigualdad.

[x <- frac {1} {4} text {o} x> 1 frac {1} {4} nonumber ]

En notación de intervalo, esto sería ((- infty, −0.25) cup (2.75, infty) ).

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Resuelve (- 2 | k − 4 | leq − 6 ).

Respuesta

(k leq1 ) o (k geq7 ); en notación de intervalo, esto sería ( left (- infty, 1 right] cup left [7, infty right) )

Conceptos clave

  • La función de valor absoluto se usa comúnmente para medir distancias entre puntos.
  • Los problemas aplicados, como los rangos de valores posibles, también se pueden resolver utilizando la función de valor absoluto.
  • El gráfico de la función de valor absoluto se asemeja a una letra V. Tiene un punto de esquina en el que el gráfico cambia de dirección.
  • En una ecuación de valor absoluto, una variable desconocida es la entrada de una función de valor absoluto.
  • Si el valor absoluto de una expresión se iguala a un número positivo, espere dos soluciones para la variable desconocida.
  • Una ecuación de valor absoluto puede tener una solución, dos soluciones o ninguna solución.
  • Una desigualdad de valor absoluto es similar a una ecuación de valor absoluto pero toma la forma | A | B, o | A | ≥B. Se puede resolver determinando los límites del conjunto de solución y luego probando qué segmentos están en el conjunto.
  • Las desigualdades de valor absoluto también se pueden resolver gráficamente.

Glosario

ecuación de valor absoluto
una ecuación de la forma (| A | = B ), con (B geq0 ); tendrá soluciones cuando (A = B ) o (A = −B )

desigualdad de valor absoluto
una relación en la forma (| A | B ), o (| A | { geq} B )


Cómo resolver ecuaciones de valor absoluto

Los pasos generales para resolver una ecuación de valor absoluto son:

  • Reescribe la ecuación de valor absoluto como dos ecuaciones separadas, una positiva y la otra negativa.
  • Resuelve cada ecuación por separado
  • Después de resolver, reemplace sus respuestas en la ecuación original para verificar que sus soluciones sean válidas.
  • Escriba la solución final o grafíquela según sea necesario

Siempre es más fácil entender un concepto matemático mirando algunos ejemplos, por lo tanto, revise los muchos ejemplos y practique los problemas a continuación.

Siempre puede verificar su trabajo con nuestro solucionador de ecuaciones de valor absoluto.

Problemas de práctica

Ejemplo Ecuación

Problema 1

Resuelve la ecuación: |X + 5| = 3

Haga clic aquí para practicar más problemas como este, preguntas que involucran variables en un lado de la ecuación.

Problema 2

Algunas ecuaciones de valor absoluto tienen variables en ambos lados de la ecuación. Sin embargo, eso no cambiará los pasos que vamos a seguir para resolver el problema, como muestra el siguiente ejemplo:

Resuelve la ecuación: | 3X| = X & menos 21

Problema 3

Resuelva la siguiente ecuación de valor absoluto: | 5X +20| = 80

Problema 4

Resuelva la siguiente ecuación de valor absoluto: | X | + 3 = 2X

Este primer conjunto de problemas involucra valores absolutos con x en solo un lado de la ecuación (como el problema 2).


Ecuaciones que tienen signo de valor absoluto en un lado

La ecuación de valor absoluto | ax + b | = c (c & ge 0) se puede resolver reescribiendo como dos ecuaciones lineales

y luego resolviendo cada ecuación por separado.

¡LOS VALORES ABSOLUTOS SIEMPRE DAN 2 ECUACIONES!

Esta ecuación no tiene solución, ya que un valor absoluto no puede ser negativo.

Dado que 0 positivo y negativo significan lo mismo, solo necesitamos una ecuación

Ejercicio 1: resolver ecuaciones de valor absoluto

Ecuaciones que tienen signos de valor absoluto en ambos lados

Si tenemos signos de valor absoluto en ambos lados de la ecuación, podemos jugar el mismo juego con dos opciones de la siguiente manera.

3x + 4 = 2x - 3 o 3x + 4 = - (2x - 3)

3x + 4 = 2x - 3 o 3x + 4 = -2x + 3

Ejercicio 2: resolver ecuaciones de valor absoluto


Álgebra 2

Estoy trabajando en la Lección 6: Ecuaciones de valor absoluto y desigualdades Álgebra 2 A Unidad 2: Expresiones, ecuaciones y desigualdades y me siento confiado en mis primeras respuestas, pero más allá de eso, estoy perdido. ¿Me puede ayudar un poco?
** = la respuesta creo que es verdad

1.)
Los lados de un triángulo tienen una proporción de 3: 4: 5. Si el perímetro de los triángulos es de 90 cm, ¿cuál es la longitud de cada lado?
a.) 22,5 cm, 30 cm, 37,5 **
b.) 19,3, 25,7, 32,1
c.) 7.5, 11.5, 32.1
d.) 10,5, 11,5, 12,5

2.)
¿Es lo siguiente a veces, siempre o nunca cierto?

r es menor o igual a un quinto

4.)
¿Es lo siguiente a veces siempre o nunca cierto?

Creo que la respuesta es siempre cierta

5.)
Resuelve la desigualdad compuesta

Creo que la respuesta es x & lt-5 o x & gt0 b.)

Creo que la respuesta es 1 & lt = x & lt 4 c.)

7.) Resuelve la ecuación de valor absoluto

Creo que la respuesta es x = -1 o x = 4 1/3 b.)

De aquí en adelante no estoy seguro de las respuestas. Imagino que cualquiera que esté mirando las preguntas es de la academia Connections. Si estuviera tan dispuesto a ayudarme, se lo agradecería mucho. Tener un día precioso.

# 3, no enumera opciones, pero la pregunta en sí es su respuesta:
r ≤ 1/5


Soluciones para el Capítulo 3.6: FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTO

Dado que se han resuelto 42 problemas en el capítulo 3.6: FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTO, más de 49540 estudiantes han visto las soluciones completas paso a paso de este capítulo. Esta extensa guía de supervivencia de libros de texto cubre los siguientes capítulos y sus soluciones. Esta guía de supervivencia de libro de texto fue creada para el libro de texto: Álgebra universitaria, edición: 1. Álgebra universitaria fue escrita por y está asociada al ISBN: 9781938168383. El capítulo 3.6: FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTO incluye 42 soluciones completas paso a paso.

Tv = Av + ​​Vo = transformación lineal más desplazamiento.

Si son diagonalizables, comparten n vectores propios.

dim (V) = número de vectores en cualquier base para V.

La primera entrada distinta de cero (el pivote) en cada fila viene en una columna posterior al pivote de la fila anterior. Todas las filas cero son las últimas.

Una factorización de la matriz de Fourier Fn en e = log2 n matrices Si multiplicada por una permutación. Cada Si solo necesita nl2 multiplicaciones, por lo que Fnx y Fn-1c se pueden calcular con ne / 2 multiplicaciones. Revolucionario.

Las entradas Fjk = e21Cijk / n dan columnas ortogonales FT F = nI. Entonces y = Fe es la transformada discreta de Fourier (inversa) Y j = L cke21Cijk / n.

Filas independientes, al menos una solución para Ax = b, el espacio de la columna es todo Rm. Rango completo significa rango de columna completa o rango de fila completo.

La constante a lo largo de cada hij antidiagonal depende de i + j.

Matriz triangular con una diagonal adyacente adicional distinta de cero.

¡La fórmula grande para det (A) tiene una suma de n! términos, la fórmula del cofactor usa determinantes de tamaño n - 1, volumen de caja = I det (A) I.

Cada vector V en el espacio de entrada se transforma en T (v) en el espacio de salida, y la linealidad requiere T (cv + dw) = c T (v) + d T (w). Ejemplos: multiplicación de matrices A v, diferenciación e integración en el espacio funcional.

Vectores x con aT x = O. El plano es perpendicular a a = 1 = O.

Una matriz cuadrada que no tiene inversa: det (A) = o.

(SVD) A = U: E VT = (ortogonal) (diag) (ortogonal) Las primeras r columnas de U y V son bases ortonormales de C (A) y C (AT), AVi = O & # 39iUi con valor singular O & # 39i & gt O. Las últimas columnas son bases ortonormales de espacios nulos.


Ejemplo 1: f es una función dada por

  1. Encuentra las intersecciones en x e y de la gráfica de f.
  2. Encuentre el dominio y rango de f.
  3. Dibuja la gráfica de f.

Solución al ejemplo 1

  • a - La intersección con el eje y viene dada por
    (0, f (0)) = (0, | -2 |) = (0, 2)
  • La coordenada x de las intersecciones x es igual a la solución de la ecuación
    | x - 2 | = 0
    cual es
    x = 2
  • La intersección x está en el punto (2, 0)
  • b - El dominio de f es el conjunto de todos los números reales
    Dado que | x - 2 | es positivo o cero para x = 2 el rango de f viene dado por el intervalo [0, + infinito).
  • c - Para dibujar la gráfica de f (x) = | x - 2 |, primero dibujamos la gráfica de y = x - 2 y luego tomamos el valor absoluto de y.
    La gráfica de y = x - 2 es una línea con intersección en x (2, 0) e intersección en y (0, -2). (ver gráfico a continuación)

  • A continuación, usamos la definición del valor absoluto para graficar f (x) = | x - 2 | = | y |.
    Si y> = 0 entonces | y | = y, si y & lt0 entonces | y | = -y.
  • Para valores de x para los que y es positivo, la gráfica de | y | es el mismo que el de y = x - 2. Para valores de x para los que y es negativo, la gráfica de | y | es una reflexión sobre el eje x de la gráfica de y. El gráfico de y = x - 2 anterior tiene y negativo en el intervalo (-infinito, 2) y es esta parte del gráfico la que debe reflejarse en el eje x. (ver gráfico a continuación).

Ejemplo 2: f es una función dada por

  1. Encuentra las intersecciones en x e y de la gráfica de f.
  2. Encuentre el dominio y rango de f.
  3. Dibuja la gráfica de f.

Solución al ejemplo 2

  • a - La intersección con el eje y viene dada por
    (0, f (0)) = (0, (- 2) 2 - 4) = (0, 0)
  • Las coordenadas x de las intersecciones x son iguales a las soluciones de la ecuación
    | (x - 2) 2 - 4 | = 0
    que esta resuelto
    (x - 2) 2 = 4
    Que da las soluciones
    x = 0 y x = 4
  • La intersección x está en el punto (0, 0) y (4, 0)
  • b - El dominio de f es el conjunto de todos los números reales
    Dado que | (x - 2) 2 - 4 | es positivo o cero para x = 4 y x = 0 el rango de f está dado por el intervalo [0, + infinito).
  • c - Para trazar la gráfica de f (x) = | (x - 2) 2 - 4 |, primero trazamos la gráfica de y = (x - 2) 2 - 4 y luego tomamos el valor absoluto de y.
    La gráfica de y = (x - 2) 2 - 4 es una parábola con vértice en (2, -4), x intersecciones (0, 0) y (4, 0) y una intersección y (0, 0). (ver gráfico a continuación)

  • La gráfica de f se da al reflejar en la parte del eje x de la gráfica de y = (x - 2) 2 - 4 para la cual y es negativa. (ver gráfico a continuación).


¿Cómo podemos encontrar el valor absoluto usando la función abs ()?

La función abs () en Python se usa para obtener la Valor absoluto de Python o el valor positivo de un número.

Podemos obtener el valor absoluto de un número entero, complejo o flotante usando la función abs (). Si el argumento x (valor integral) es flotante o entero, entonces el valor absoluto resultante será un número entero o flotante respectivamente.

Si el argumento x (valor integral) es un número complejo, el valor de retorno solo será la parte de magnitud que puede ser un punto flotante.


3.6: Funciones de valor absoluto - Matemáticas

El siguiente conjunto de funciones que queremos ver son funciones exponenciales y logaritmos. Las funciones exponenciales y logaritmos más comunes en un curso de cálculo son la función exponencial natural, (<< bf> ^ x> ), y la función logaritmo natural, ( ln left (x right) ). Sin embargo, adoptaremos un enfoque más general y veremos la función general exponencial y logarítmica.

Funciones exponenciales

Empezaremos mirando la función exponencial,

Queremos diferenciar esto. La regla de la potencia que analizamos hace un par de secciones no funcionará, ya que requería que el exponente fuera un número fijo y la base una variable. Eso es exactamente lo contrario de lo que tenemos con esta función. Entonces, tendremos que comenzar con la definición de la derivada.

Ahora el () no se ve afectado por el límite, ya que no tiene (h ) y, por lo tanto, es una constante en lo que respecta al límite. Por lo tanto, podemos factorizar esto fuera del límite. Esto da,

Ahora observemos que el límite que tenemos arriba es exactamente la definición de la derivada de (f left (x right) = ) en (x = 0 ), es decir. (f ' left (0 right) ). Por lo tanto, la derivada se convierte en,

[f ' left (x right) = f' left (0 right)]

Entonces, estamos un poco estancados. ¡Necesitamos saber la derivada para obtener la derivada!

Hay un valor de (a ) con el que podemos lidiar en este punto. De vuelta en la sección Funciones exponenciales del capítulo Repaso, dijimos que (< bf> = mbox <2.71828182845905> ldots ) ​​Sin embargo, lo que no hicimos fue definir dónde ( bf) viene de. De hecho, hay una variedad de formas de definir ( bf). Aquí están tres de ellos.

Algunas definiciones de ( bf)

  1. ( Displaystyle < bf> = mathop < lim> limits_ > derecha) ^ n> )
  2. ( Displaystyle bf) es el número positivo único para el cual ( mathop < lim> limits_ frac <<<< bf> ^ h> - 1 >>= 1)
  3. ( Displaystyle < bf> = suma límites_^ infty < frac <1> <>> )

El segundo es el más importante para nosotros porque ese límite es exactamente el límite con el que estamos trabajando arriba. Entonces, esta definición conduce al siguiente hecho,

Hecho 1

Para la función exponencial natural, (f left (x right) = << bf> ^ x> ) tenemos (f ' left (0 right) = mathop < lim> limits_ frac <<<< bf> ^ h> - 1 >> = 1).

Entonces, siempre que usemos la función exponencial natural, obtenemos lo siguiente.

[f left (x right) = << bf> ^ x> hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> f ' left (x right) = << bf> ^ x> ]

En este punto, nos faltan algunos conocimientos que nos permitirán obtener fácilmente la derivada de una función general. Eventualmente seremos capaces de demostrar que para una función exponencial general tenemos,

[f left (x right) = hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> f ' left (x right) = ln left (a right) ]

Funciones de logaritmo

Ahora obtengamos brevemente las derivadas de los logaritmos. En este caso, necesitaremos comenzar con el siguiente hecho sobre funciones que son inversas entre sí.

Hecho 2

Si (f (x) ) y (g (x) ) son inversas entre sí, entonces,

Entonces, ¿de qué nos sirve este hecho? Bien, recuerde que la función exponencial natural y la función logaritmo natural son inversas entre sí y sabemos cuál es la derivada de la función exponencial natural.

Entonces, si tenemos (f left (x right) = << bf> ^ x> ) y (g left (x right) = ln x ) entonces,

El último paso solo usa el hecho de que las dos funciones son inversas entre sí.

Poniendo todo esto junto da,

Note que necesitamos requerir que (x & gt 0 ) ya que esto es requerido para el logaritmo y por lo tanto también debe ser requerido para su derivada. También se puede demostrar que,

Usando esto, todo lo que necesitamos evitar es (x = 0 ).

En este caso, a diferencia del caso de la función exponencial, en realidad podemos encontrar la derivada de la función logaritmo general. Todo lo que necesitamos es la derivada del logaritmo natural, que acabamos de encontrar, y el cambio de fórmula base. Usando la fórmula de cambio de base podemos escribir un logaritmo general como,

La diferenciación es entonces bastante simple.

Aprovechamos el hecho de que (a ) era una constante y, por lo tanto, ( ln a ) también es una constante y se puede factorizar fuera de la derivada. Poniendo todo esto junto da,

Aquí hay un resumen de las derivadas en esta sección.

Bien, ahora que tenemos las derivaciones de las fórmulas fuera del camino, calculemos un par de derivadas.

Este será el único ejemplo que no involucra las funciones de logaritmo natural y exponencial natural.

No mucho para este. Solo recuerde usar la regla del producto en el segundo término.

Tendremos que usar la regla del cociente en este caso.

Realmente no hay mucho para diferenciar logaritmos naturales y funciones exponenciales naturales en este punto, siempre que recuerde las fórmulas. En secciones posteriores, a medida que tengamos más fórmulas en nuestro haber, se volverán más complicadas.

A continuación, tenemos que resolver nuestro problema obligatorio de aplicación / interpretación para no olvidarnos de ellos.

¿El objeto deja de moverse alguna vez?

Primero, necesitaremos la derivada. Necesitamos esto para determinar si el objeto deja de moverse alguna vez, ya que en ese punto (siempre que haya uno) la velocidad será cero y recordemos que la derivada de la función de posición es la velocidad del objeto.

Entonces, necesitamos determinar si la derivada alguna vez es cero. Para hacer esto, necesitaremos resolver,

Ahora, sabemos que las funciones exponenciales nunca son cero, por lo que solo será cero en (t = - 1 ). Entonces, si vamos a permitir valores negativos de (t ), entonces el objeto dejará de moverse una vez en (t = - 1 ). Si no vamos a permitir valores negativos de (t ), el objeto nunca dejará de moverse.

Antes de pasar a la siguiente sección, debemos repasar un par de derivadas para asegurarnos de no confundir las dos. Las dos derivadas son,

Es importante tener en cuenta que con la regla de la potencia, el exponente DEBE ser una constante y la base DEBE ser una variable, mientras que necesitamos exactamente lo contrario para la derivada de una función exponencial. Para una función exponencial, el exponente DEBE ser una variable y la base DEBE ser una constante.

Es fácil quedarse encerrado en una de estas fórmulas y usarla para ambas. Tampoco hemos hablado siquiera sobre qué hacer si tanto el exponente como la base involucran variables. Veremos esta situación en una sección posterior.


3.6: Funciones de valor absoluto - Matemáticas

⭐ Lección 1: เทคนิค การ ทำ ข้อสอบ ARITMÉTICA (เลขคณิต)

1.1 Basic Arithmetic Addition Subtraction, Multiplication and Division (พื้นฐานการบวก การลบ การคูณ และการหาร)

1.2 Decimals , Fractions , Ratios and Percentages (ทศนิยม เศษส่วน อัตราส่วน และ ร้อยละ)

1.4 Fraction, Ratio, Percentage Mixes (เศษส่วน อัตราส่วน และร้อยละ แบบยาก)

1.5 Powers and Square Root (เลขยกกำลังและรากที่สอง)

1.6 Negative Numbers (จำนวนลบ)

1.7 Divisibility (การหารลงตัว)

1.8 Even & Odd Numbers (จำนวนคู่และจำนวนคี่)

1.9 Absolute Value (ค่าสัมบูรณ์)

⭐ Lesson 2: เทคนิคการทำข้อสอบ GEOMETRY (เรขาคณิต)

2.1 Point , Lines and Angles (จุด เส้นตรง และ มุม)

2.2 Polygon (รูปหลายเหลี่ยม)

2.3 Triangles : 3 - Sided Polygons (รูปสามเหลี่ยม)

2.4 Quadrangles : 4 - Sided Polygons (รูปสี่เหลี่ยม)

2.6 Trigonometry (ตรีโกณมิติ)

2.7 Coordinate Geometry (เรขาคณิตในระบบพิกัดฉาก)

2.9 3 &ndash Dimensional Objects (รูปสามมิติ)

⭐ Lesson 3: เทคนิคการทำข้อสอบ ALGEBRA (พีชคณิต)

3.2 One Variable Simple Equation (สมการตัวแปรเดียว)

3.3 One Variable Inequalities (อสมการตัวแปรตัวเดียว)

3.4 Equation with Multiple Unknowns (โจทย์ปัญหาสมการ)

3.5 Equation with Powers (สมการเลขยกกำลัง)

3.6 Absolute Value Equation (สมการค่าสัมบูรณ์)

3.7 Inequalities With Absolute Value (อสมการค่าสัมบูรณ์)

3.8 Lines Equation (สมการเชิงเส้น)

3.9 Systems of Equation (ระบบสมการ)

3.10 Two Variables Inequalities (อสมการสองตัวแปร)

3.11 Proportionality (สัดส่วน)

3.13 Addition and Subtraction of Functions (การบวกและการลบของฟังก์ชัน)

3.14 Multiplication and Division of Functions (การคูณและการหารของฟังก์ชัน)

3.15 Linear Function (ฟังก์ชันเชิงเส้น)

3.16 Quadratic Functions (ฟังก์ชันกำลังสอง)

3.17 Remainder Theorem (ทฤษฎีเศษเหลือ)

3.18 Complex Number (จำนวนเชิงซ้อน)

⭐ Lesson 4: เนื้อหาข้อสอบ SAT MATH : COUNTING (การนับ)

4.1 Basic Counting (การนับเบื้องต้น)

4.2 Permutations (การเรียงสับเปลี่ยน)

4.3 Combinations (การจัดหมู่)

4.4 Independent Events (เหตุกาณ์อิสระต่อกัน)

4.5 Probability (ความน่าจะเป็น)

⭐ Lesson 5: เนื้อหาข้อสอบ SAT MATH : OTHER (อื่น ๆ)

5.2 Data Representation : Table , Pie Charts & Graphs (การนำเสนอข้อมูล : ตาราง แผนภูมิวงกลม และ กราฟ)


Common Syllabus for MATH 162

Review. Prerequisite Material from MATH 161 [1 Week]
Rapid review of differentiation rules.
More detailed review of integration (Ch. 5): areas and distances the definite integral the fundamental theorem of calculus.

Chapter 6. Applications of Integration [1.5 weeks 2 weeks if Section 6.4 is covered]
6.1 Area Between Curves
6.2 Volumes
6.3 Volumes by Cylindrical Shells
6.4 Optional:Work ( This Sections could be covered with Chapter 8)
6.5 Average Value of a Function

Chapter 7: Techniques of Integration [3 weeks]
7.1 Integration by Parts
7.2 Trigonometric Integrals
7.3 Trigonometric Substitution
7.4 Integration of Rational Functions by Partial Fractions
7.5 Strategy for Integration
7.6 Integration Using Tables and Computer Algebra Systems
7.7 Approximate Integration
7.8 Improper Integrals

Chapter 11: Infinite Sequences and Series [4 weeks]
11.1 Sequences
11.2 Series
11.3 The Integral Test and Estimates of Sums
11.4 The Comparison Tests
11.5 Alternating Series
11.6 Absolute Convergence and the Ratio and Root Tests
11.7 Strategy for Testing Series
11.8 Power Series
11.9 Representations of Functions as Power Series
11.10 Taylor and Maclauren Series
11.11 Optional: Applications of Taylor Polynomials

Chapter 10: Parametric Equations and Polar Coordinates [1-1.5 weeks]
10.1 Curves Defined by Parametric Equations
10.2 Optional: Calculus with Parametric Curves
10.3 Polar Coordinates
10.4 Optional: Areas and Lengths in Polar Coordinates
10.5 Optional: Conic Sections
10.6 Optional: COnic Sections in Polar Coordinates


Ver el vídeo: VALOR ABSOLUTO FUNCION A TROZOS Funciones Matemáticas (Noviembre 2021).