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1.9: Derivadas parciales - Matemáticas


Definición de una derivada parcial

Sea (f (x, y) ) una función de dos variables. Entonces definimos el Derivadas parciales como:

Definición: derivada parcial

[f_x = dfrac { parcial f} { parcial x} = lim_ {h to {0}} dfrac {f (x + h, y) -f (x, y)} {h} ]

[f_y = dfrac { parcial f} { parcial y} = lim_ {h to {0}} dfrac {f (x, y + h) -f (x, y)} {h} ]

si existen estos límites.

Algebraicamente, podemos pensar en la derivada parcial de una función con respecto a (x ) como la derivada de la función con (y ) constante. Geométricamente, la derivada con respecto a (x ) en un punto (P ) representa la pendiente de la curva que pasa por (P ) cuya proyección sobre el plano (xy ) es una línea horizontal (si viajas hacia el este, ¿qué tan empinada estás subiendo?)

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Dejar

[f (x, y) = 2x + 3y nonumber ]

luego

[ begin {align *} dfrac { partial f} { partial} & = lim_ {h to {0}} dfrac {(2 (x + h) + 3y) - (2x + 3y) } {h} nonumber [4pt] & = lim_ {h to {0}} dfrac {2x + 2h + 3y-2x-3y} {h} nonumber [4pt] & = lim_ {h a {0}} dfrac {2h} {h} = 2. end {alinear *} ]

También usamos la notación (f_x ) y (f_y ) para las derivadas parciales con respecto a (x ) y (y ) respectivamente.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Busque (f_y ) para la función del ejemplo anterior.

Encontrar derivadas parciales de forma fácil

Dado que una derivada parcial con respecto a (x ) es una derivada con el resto de las variables mantenidas constantes, podemos encontrar la derivada parcial tomando la derivada regular considerando el resto de las variables como constantes.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Dejar

[f (x, y) = 3xy ^ 2 - 2x ^ 2y nonumber ]

luego

[f_x = 3y ^ 2 - 4xy nonumber ]

y

[f_y = 6xy - 2x ^ 2. sin número]

Ejercicios ( PageIndex {2} )

Encuentra ambas derivadas parciales para

  1. (f (x, y) = xy sin x )
  2. (f (x, y) = dfrac {x + y} {x - y} ).

Parciales de orden superior

Al igual que con la función de una variable, podemos definir segundas derivadas para funciones de dos variables. Para funciones de dos variables, tenemos cuatro tipos: (f_ {xx} ), (f_ {xy} ), (f_ {yx} ) y (f_ {yy} ).

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Dejar

[f (x, y) = ye ^ x nonumber ]

luego

[f_x = ye ^ x nonumber ]

y

[f_y = e ^ x. sin número]

Ahora tomando los parciales de cada uno de estos obtenemos:

[f_ {xx} = ye ^ x ; ; ; f_ {xy} = e ^ x ; ; ; text {y} ; ; ; f_ {yy} = 0. sin número]

Darse cuenta de

[f_ {x, y} = f_ {yx}. nonumber ]

Teorema

Sea (f (x, y) ) una función con derivadas continuas de segundo orden, entonces

[f_ {xy} = f_ {yx}. ]

Funciones de más de dos variables

Suponer que

[f (x, y, z) = xy - 2yz nonumber ]

es una función de tres variables, entonces podemos definir las derivadas parciales de la misma manera que definimos las derivadas parciales para tres variables.

Tenemos

[f_x = y ; ; ; f_y = x-2z ; ; ; text {y} ; ; ; f_z = -2y. ]

Ejemplo ( PageIndex {4} ): la ecuación de calor

Suponga que un edificio tiene una puerta abierta durante un día de nieve. Se puede demostrar que la ecuación

[H_t = c ^ 2H_ {xx} nonumber ]

modela esta situación donde (H ) es el calor de la habitación en el punto (x ) pies de la puerta en el momento (t ). Muestra esa

[H = e ^ {- t} cos ( frac {x} {c}) nonumber ]

satisface esta ecuación diferencial.

Solución

Tenemos

[H_t = -e ^ {- t} cos ( dfrac {x} {c}) nonumber ]

[H_x = - dfrac {1} {c} e ^ {- t} sin ( frac {x} {c}) nonumber ]

[H_ {xx} = - dfrac {1} {c ^ 2} e ^ {- t} cos ( dfrac {x} {c}). sin número]

Así que eso

[c ^ 2 H_ {xx} = -e ^ {- t} cos ( dfrac {x} {c}). sin número]

Y el resultado sigue.


Cálculo fraccional

y desarrollar un cálculo para tales operadores generalizando el clásico.

En este contexto, el término potestades se refiere a la aplicación iterativa de un operador lineal D a una función F, es decir, componiendo repetidamente D consigo mismo, como en D n (f) = (D ∘ D ∘ D ∘ ⋯ ∘ D ⏟ n) (f) = D (D (D (⋯ D ⏟ n (f) ⋯))) < displaystyle D ^(f) = ( underbrace _) (f) = underbrace _(f) cdots)))>.

Por ejemplo, uno puede pedir una interpretación significativa de

como un análogo de la raíz cuadrada funcional para el operador de diferenciación, es decir, una expresión para algún operador lineal que cuando se aplica dos veces a cualquier función tendrá el mismo efecto que la diferenciación. De manera más general, se puede considerar la cuestión de definir un operador lineal

para cada número real a de tal manera que, cuando a toma un valor entero norte ∈ ℤ, coincide con la diferenciación habitual de n veces D si norte & gt 0, y con el (-norte) -ésima potencia de J cuando norte & lt 0.

Una de las motivaciones detrás de la introducción y el estudio de este tipo de extensiones del operador de diferenciación D es que los conjuntos de poderes del operador < D a | a ∈ ℝ> definidos de esta manera son continuo semigrupos con parámetro a, de los cuales el original discreto semigrupo de < D norte | norte ∈ ℤ> para el entero n es un subgrupo numerable: dado que los semigrupos continuos tienen una teoría matemática bien desarrollada, se pueden aplicar a otras ramas de las matemáticas.

Las ecuaciones diferenciales fraccionales, también conocidas como ecuaciones diferenciales extraordinarias, [1] son ​​una generalización de las ecuaciones diferenciales mediante la aplicación del cálculo fraccional.


Derivada parcial

Una derivada parcial es la derivada con respecto a una variable de una función multivariable. Por ejemplo, considere la función f (x, y) = sin (xy). Al analizar el efecto de una de las variables de una función multivariable, a menudo es útil fijar mentalmente las otras variables tratándolas como constantes. Si queremos medir el cambio relativo de f con respecto ax en un punto (x, y), podemos tomar la derivada solo con respecto ax mientras tratamos y como una constante para obtener:

Esta nueva función que hemos denominado como derivada parcial de f con respecto ax. De manera similar, si arreglamos xy variamos y obtenemos la derivada parcial de f con respecto a y:

Nota: al denotar derivadas parciales, fX a veces se usa en lugar de. Geométricamente, y representan las pendientes de las rectas tangentes de la gráfica de f en el punto (x, y) en la dirección de los ejes xey respectivamente.

La definición formal de la derivada parcial de la función de n variables f (x1 . Xnorte) con respecto axI es:

Nota: la frase "i ésima derivada parcial" significa.

Las derivadas parciales de f (x1. Xnorte) tales como son funciones de x1. Xnorte. Por lo tanto, podemos tomar derivadas parciales de derivadas parciales con la misma facilidad y así sucesivamente. Por ejemplo, la derivada x-parcial de, denotada, es -y 2 sin (xy). Similar:

Darse cuenta de . Resulta que este proceso de intercambiar el orden de las variables con respecto a las cuales tomamos derivadas parciales da la misma respuesta para cualquier función. Este hecho se conoce como igualdad de parciales mixtos.

Teorema: igualdad de parciales mixtos

Nota: Al escribir derivadas parciales de orden superior, normalmente usamos y en lugar de y respectivamente.

Derivado direccional

Las derivadas parciales representan cómo la función f (x1,. Xnorte) cambia en la dirección de cada eje de coordenadas. Pero, ¿cómo medimos el cambio relativo en f a lo largo de una dirección arbitraria que no se alinea con ningún eje de coordenadas? Digamos que está comenzando en un punto p = (p1,. pagnorte) y desea encontrar el cambio relativo o "pendiente" en f causado por un cambio infinitesimal a lo largo de un vector unitario. Entonces la derivada direccional de Dtuf de f en la dirección u en p está dada por:

donde el subíndice p significa que estamos tomando derivadas parciales en p. Para entender por qué esto mide el cambio relativo a lo largo del vector unitario u, comience con una función de una sola variable. En ese caso, solo hay una dirección y, por lo tanto, la derivada direccional en esa dirección es la que esperamos. En dos variables, recuerda la imagen.

y observe que las rectas tangentes forman un plano que también es tangente a la curva en el punto p = (x0, y0). La ecuación del avión es:

donde & Deltax = x - x0 y & Deltay = y - y0 representan el cambio en xey de (x0, y0). Cuando (x, y) = (x0, y0), el valor z debería ser f (x0, y0). Por cada paso unitario en la dirección x positiva, el valor z debe aumentar en unidades. De manera similar, el valor z debería aumentar en unidades por cada paso unitario en la dirección y positiva. Si definimos el cambio en z como & Deltaz = z - f (x0, y0), entonces el cambio en la dirección del vector u = [& Deltax, & Deltay] T es. Podemos generalizar esto a un cambio en f (x1. Xnorte) en la dirección u = [& Deltau1. Y Deltaunorte] T para conseguir. Si requerimos que u sea un vector unitario, entonces esta expresión es nuestra definición original de una derivada direccional.

Encuentre la derivada direccional de en p = (4, 2) en la dirección.

Primero calculamos las derivadas parciales,

Luego conectamos el punto p para obtener:

Degradado

En un punto p, el gradiente & nablafpag, de f (x1,. Xnorte) se define como el vector:

Podemos expresar la derivada direccional en p en la dirección del vector unitario u como el producto escalar,

Una propiedad del producto escalar es que, donde || v || denota la magnitud o norma euclidiana, y & theta es el ángulo entre v y w cuando ambas colas están en el mismo punto. Por lo tanto,

pero || u || = 1, ya que u es un vector unitario entonces,

La derivada direccional se maximiza cuando cos (& theta) = 1 o & theta = 0 y se minimiza cuando cos (& theta) = -1 o & theta = & pi. Cuando & theta = 0, u apunta en la misma dirección que & nablafpag, y cuando & theta = & pi, u apunta en la dirección opuesta a & nablafpag. En resumen, la derivada direccional se maximiza cuando u apunta en la misma dirección que & nablafpag y minimizado cuando u apunta en la dirección opuesta de & nablafpag. Recordando que la derivada direccional mide el cambio relativo, hemos probado el siguiente teorema: El gradiente siempre apunta en la dirección del aumento más pronunciado.

Regla de cadena multivariable

Suponga que cada una de las n variables de f (x1. Xnorte) es también una función de m otras variables, w1. wmetro, entonces cada xI se puede escribir como xI(w1. wmetro). Luego tenemos el siguiente diagrama de dependencias donde cada flecha significa que la variable en la cola de la flecha controla la variable en la punta de la flecha.

Si queremos tomar la derivada parcial, debemos mirar todos los caminos posibles desde wj af, que representan todas las formas en que wj influye indirectamente f. Para un camino dado, diga wj & rarr xI & rarr f, un cambio & Deltawj en Wj produce un cambio en xI que se magnifica por un factor de. Este cambio en xI a su vez produce un cambio en f que se magnifica por un factor de. Para este camino, un cambio en wj se magnifica por un factor neto de para producir un cambio en f.

Luego sumamos los cambios de todas las posibles combinaciones de caminos para obtener el cambio total en f:

Dividiendo por & Deltawj le da el cambio en f relativo al cambio en wj, cuyo límite es la derivada parcial:

Porque encontramos sumando todos los cambios en f causados ​​por un cambio en wj, a veces se llama la derivada total de f con respecto a wj.


Primero revisemos la regla de la cadena de una sola variable. Considere la función y = f (g (x)) = sin (x²). Para obtener la derivada de esta expresión, multiplicamos la derivada de la expresión externa por la derivada de la expresión interna o "encadenamos las piezas". En otras palabras:

Por nuestro ejemplo, u = x² y y = pecado (u). Por eso:

Es bueno pensar en la regla de la cadena de una sola variable como un diagrama de operaciones que X pasa, así:

Este concepto de visualizar ecuaciones como diagramas será muy útil cuando se trate de la regla de la cadena multivariable. Además, si usa Tensorflow (o Keras) y TensorBoard, mientras crea su modelo y escribe su código de entrenamiento, puede ver un diagrama de operaciones similar a este.


¿Cómo funciona la calculadora de derivada parcial?

La derivada parcial de una función está representada por & part. Sea f (x, y) una función con variable xey

& partf / & partx significa que la función es la derivada de f con respecto a la variable x.

& partf / & party significa que la función es la derivada de f con respecto a la variable y.

Hay funciones y reglas comunes que seguimos para encontrar derivadas.

Ejemplo resuelto de derivada parcial

Encuentre el valor de la derivada parcial de 5x 3 + 2y 2 y verifíquelo usando la calculadora de derivada parcial

Solución:

Usando la multiplicación por constante y regla de potencia,

Usando la multiplicación por constante y regla de potencia,

Por lo tanto, el valor de la derivada parcial de 5x 3 + 2x 2 con respecto a xey es 15x 2 y 4x.

De manera similar, puede usar la calculadora de derivadas parciales para encontrar el valor de las derivadas parciales para lo siguiente:


1.9: Derivadas parciales - Matemáticas

Diferenciar una función de más de una variable es más complicado que diferenciar una función de una variable. Para una función de varias variables, la tasa de cambio de la función depende de la dirección. Considere la función

que se muestra como una superficie en el espacio xyz a continuación.

Supongamos que la superficie corresponde a una montaña y supongamos que somos un montañista ubicado en el pico cerca de x = 0 e y = 0. Tenga en cuenta que si viajamos en la dirección x positiva, la elevación disminuye rápidamente. La derivada en la dirección x es negativa y tiene una gran magnitud. Por otro lado, si viajamos en la dirección y positiva, la elevación cambia lentamente. Podemos viajar en cualquier dirección, no solo paralela a los ejes xey, y la derivada depende de la dirección.

Otra forma de mostrar una función de dos variables es mediante un gráfico de contorno. Has visto mapas de curvas de nivel. Los puntos con la misma elevación están unidos por líneas. Ha visto mapas meteorológicos donde los puntos con la misma temperatura están unidos por líneas (estas líneas se llaman isotermas). Una gráfica de contorno de la función z = f (x, y) consiste en una familia de curvas f (x, y) = c (llamadas curvas de nivel o de contorno) en el plano xy para varios valores de c. En la curva f (x, y) = c, z = c. A continuación se muestra un gráfico de contorno de la función del modelo:

En cada curva de la gráfica de contorno, z = f (x, y) es constante. En diferentes curvas, la constante es diferente. No hemos enumerado los valores de z en las diversas curvas anteriores. Sin embargo, al comparar la gráfica de la superficie con la gráfica de contorno, llegamos a la conclusión de que el contorno ovalado cerca del origen corresponde a un valor grande de z, por ejemplo. Tenga en cuenta que si uno se mueve en la dirección x negativa desde el origen, entonces se cruzan varias curvas de nivel en una distancia corta. Esto implica un cambio rápido en el valor de la función. Si se viaja en la dirección y, no se cruzan tantas curvas de nivel en una distancia corta, el cambio en el valor de la función es menos rápido.

Ahora estamos listos para discutir las derivadas parciales. Suponga que estamos interesados ​​en determinar la tasa de cambio de z = f (x, y) para y fija. Por ejemplo, sea y = 0 en nuestro problema modelo. Luego

z es una función de la única variable x. dg / dx se puede calcular utilizando técnicas de cálculo de una sola variable. g '(x) = 4x ^ 3 + 3x ^ 2-36x-16. En general para y arbitraria, la derivada en la dirección x se llama derivada parcial con respecto a x y está definida por

En la definición y se mantiene fijo. Para calcular la derivada parcial con respecto a x, diferenciamos con respecto a x y asumimos que y es una constante. Para el problema del modelo tenemos

De manera similar, podemos calcular la derivada parcial con respecto ay. Está definido por

Tenga en cuenta que ahora x se mantiene fijo. Para calcular la derivada parcial con respecto ay, diferenciamos con respecto ay y asumimos que x es una constante. Para el problema del modelo tenemos

Para determinar las derivadas en un punto particular del plano xy, sustituimos las coordenadas del punto en las fórmulas para f_x (x, y) y f_y (x, y). Por ejemplo, en el origen x = 0 e y = 0 y f_x (0,0) = - 16 y f_y (x, y) = 0. Estos números apoyan los argumentos basados ​​en la gráfica de la superficie y la gráfica de contorno. La función cambia más rápidamente en la dirección x que en la dirección y.

Ejemplo

encuentre las derivadas parciales de f con respecto axey y calcule las tasas de cambio de la función en las direcciones xey en el punto (-1,2).

Inicialmente, no especificaremos los valores de xey cuando tomamos las derivadas, solo recordaremos cuál mantendremos constante mientras tomamos la derivada. Primero, mantenga y fija y encuentre la derivada parcial de f con respecto ax:

En segundo lugar, mantenga x fija y encuentre la derivada parcial de f con respecto ay:

Ahora, inserte los valores x = -1 e y = 2 en las ecuaciones. Obtenemos f_x (-1,2) = 10 y f_y (-1,2) = 28.

Derivadas parciales para funciones de varias variables

Por supuesto, podemos tomar derivadas parciales de funciones de más de dos variables. Si f es una función de n variables x_1, x_2,. x_n, entonces para tomar la derivada parcial de f con respecto a x_i mantenemos todas las variables además de x_i constantes y tomamos la derivada.

Ejemplo

Para encontrar la derivada parcial de f con respecto a t para la función

mantenemos x, y, yz constantes y tomamos la derivada con respecto a la variable restante t. El resultado es


Contenido

Arregle un vector /> y defina una función /> por

Entonces la derivada parcial de con respecto a es igual a  :


Derivadas parciales de la regla del coseno.

Hola a todos, me preguntaba si alguien me podría ayudar con este problema. Tengo un triángulo que tiene a = 13,5 m, b = 24,6 m c, y theta = 105,6 grados.

¿Alguien puede recordarme cuál es la regla del coseno?

De la regla del coseno necesito encontrar:

  • la derivada parcial de c con respecto a a?
  • la derivada parcial de c con respecto a b?
  • la derivada parcial de c con respecto a theta?

¿Cómo encontrar las derivadas parciales?

Se agradecerá cualquier ayuda.

Klaas van Aarsen

Buscador de MHB

Hola a todos, me preguntaba si alguien me podría ayudar con este problema. Tengo un triángulo que tiene a = 13,5 m, b = 24,6 m c, y theta = 105,6 grados.

¿Alguien puede recordarme cuál es la regla del coseno?

Además (mi pregunta está aquí)
De la regla del coseno necesito encontrar


  • la derivada parcial de c con respecto a a?
    la derivada parcial de c con respecto a b?
    la derivada parcial de c con respecto a theta?

Cualquier ayuda será apreciada.

La regla del coseno es
$ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2ab cos theta $
donde $ theta $ es el ángulo entre los lados ay b.

En otras palabras,
$ c = sqrt$
Se supone que debes tomar las derivadas parciales de esta expresión.
Para evaluarlos, no necesita el valor de c.


Para una función de dos variables f (x, y), podemos definir 4 derivadas parciales de segundo orden junto con sus notaciones.

Ejemplo 1
Encuentra f xx , f aa dado que f (x, y) = sin (x y)
Solución

Ejemplo 2
Encuentra fxx, faa, fxy, fyx dado que f (x, y) = x 3 + 2 x y.
Solución

Ejemplo 3
Encuentra fxx, faa, fxy, fyx dado que f (x, y) = x 3 y 4 + x 2 y.
Solución

Fxx se calcula de la siguiente manera
Fxx = & # 8706 2 f / & # 8706x 2 = & # 8706 (& # 8706f / & # 8706x) / & # 8706x
= & # 8706 (& # 8706 [x 3 y 4 + x 2 y] / & # 8706x) / & # 8706x
= & # 8706 (3 x 2 y 4 + 2 x y) / & # 8706x
= 6x y 4 + 2y
Faa se calcula de la siguiente manera
Faa = & # 8706 2 f / & # 8706y 2 = & # 8706 (& # 8706f / & # 8706y) / & # 8706y
= & # 8706 (& # 8706 [x 3 y 4 + x 2 y] / & # 8706y) / & # 8706y
= & # 8706 (4 x 3 y 3 + x 2) / & # 8706y
= 12 x 3 y 2
Fxy se calcula de la siguiente manera
Fxy = & # 8706 2 f / & # 8706y & # 8706x = & # 8706 (& # 8706f / & # 8706x) / & # 8706y
= & # 8706 (& # 8706 [x 3 y 4 + x 2 y] / & # 8706x) / & # 8706y
= & # 8706 (3 x 2 y 4 + 2 x y) / & # 8706y
= 12 x 2 y 3 + 2 x
Fyx se calcula de la siguiente manera
Fyx = & # 8706 2 f / & # 8706x & # 8706y = & # 8706 (& # 8706f / & # 8706y) / & # 8706x
= & # 8706 (& # 8706 [x 3 y 4 + x 2 y] / & # 8706y) / & # 8706x
= & # 8706 (4 x 3 y 3 + x 2) / & # 8706x
= 12 x 2 y 3 + 2x


1.9: Derivadas parciales - Matemáticas

La imagen de la izquierda pretende mostrarle la interpretación geométrica de la derivada parcial.

El marco de alambre representa una superficie, el gráfico de una función z = f (x, y), y el punto azul representa un punto (a, b, f (a, b)). Las curvas de colores son "secciones transversales": los puntos de la superficie donde x = a (verde) y y = b (azul). El valor inicial de B es cero, por lo que cuando el subprograma se carga por primera vez, la sección transversal azul se encuentra a lo largo del X-eje.

Recordar el significado de la derivada parcial en un punto dado. (a, b), el valor del parcial con respecto a X, es decir. FX(a, b) es la pendiente de la recta tangente a la sección transversal azul. (Cambiar en z sobre el cambio en X.) En otras palabras, le dice qué tan rápido z cambios con respecto a cambios en X.

El valor de Fy(a, b), por supuesto, le dice la tasa de cambio de z con respecto a y. Esa es la pendiente de la recta tangente a la curva verde.

Ambas líneas tangentes están dibujadas en la imagen, en rojo. Haga clic y arrastre el punto azul para ver cómo cambian las derivadas parciales. Suceden muchas cosas en la imagen, así que haga clic y arrastre en otro lugar para rotarla y convencerse de que las líneas rojas son en realidad tangentes a las secciones transversales. Puede que tengas que mirarlo desde arriba para ver que las líneas rojas están en los planos. x = a y y = b!

Puede mover el punto azul para convencerse de que los vectores siempre son tangentes a las secciones transversales. También vea si puede decir dónde los parciales son más positivos y más negativos.

Un plano tangente es en realidad una aproximación lineal a una función en un punto dado. Las derivadas parciales FX(a, b) y Fy(a, b) dinos la pendiente del plano tangente en el X y y direcciones.

Dicho de otra manera, los dos vectores que describimos anteriormente, (1,0, fX(a, b))
(0,1, fy(a, b)) son ambos paralelos al plano tangente. (A menudo, por abuso del lenguaje, decimos que están "en" el plano tangente, pero eso solo es cierto si coloca las colas de estos vectores en (a, b) o algún otro punto del avión. Pregúntale a tu maestro si estás confundido sobre este punto).

La imagen de la izquierda incluye estos vectores junto con el plano tangente a la superficie en el punto azul. Una vez más, puede hacer clic y arrastrar el punto para moverlo. ¿Ves cómo los vectores están siempre en el plano?

Este es un hecho útil si estamos tratando de encontrar una ecuación paramétrica de un plano tangente: la ecuación es simplemente p (s, t) = (a, b, f (a, b)) + s * (1,0, fX(a, b)) + t * (0,1, fy(a, b)), dónde s y t ambos oscilan por encima de los números reales.


Segundas derivadas parciales

Por las mismas razones, en el caso de la expresión,

A continuación se muestran ejemplos de segundas derivadas parciales puras:

Ejemplo:

  • FX=ymi xy + yporqueX
  • Fxy=xymi xy + porqueX
  • Fy=Xmi xy + pecadoX
  • Fyx=xymi xy + porqueX
  • ambas cosas Fxy y Fyx existen para todos los puntos cercanos (X0,y0)
  • y son continuos en (X0,y0),

Las derivadas parciales de orden superior se definen de forma obvia. Y mientras exista una continuidad adecuada, es indiferente en qué orden se lleva a cabo una secuencia de diferenciación parcial. Índice de cálculo vectorial | Página principal de World Web Math


Ver el vídeo: Derivadas parciales y continuidad. (Noviembre 2021).