Artículos

11.9: El producto escalar y la proyección


En la Sección ref {Vectores}, aprendimos cómo sumar y restar vectores y cómo multiplicar vectores por escalares. En esta sección, definimos un producto de vectores. Comenzamos con la siguiente definición.

Definición: producto escalar

Suponga que ( vec {v} ) y ( vec {w} ) son vectores cuyas formas componentes son ( vec {v} = left ) y ( vec {w} = left ). La producto escalar de ( vec {v} ) y ( vec {w} ) viene dado por

[ begin {align} vec {v} cdot vec {w} & = left cdot left [4pt] & = v_ {1} w_ {1} + v_ {2} w_ {2} end {align} ]

Por ejemplo, sea ( vec {v} = left <3,4 right> ) y ( vec {w} = left <1, -2 right> ). Entonces ( vec {v} cdot vec {w} = left <3,4 right> cdot left <1, -2 right> = (3) (1) + (4) (- 2) = -5 ). Tenga en cuenta que el producto escalar toma dos vectores y produce un escalar. Por esa razón, la cantidad ( vec {v} cdot vec {w} ) a menudo se llama producto escalar de ( vec {v} ) y ( vec {w} ). El producto escalar disfruta de las siguientes propiedades.

Propiedades del producto escalar

  • Propiedad conmutativa: Para todos los vectores ( vec {v} ) y ( vec {w} ): [ vec {v} cdot vec {w} = vec {w} cdot vec {v }. ]
  • Propiedad distributiva: Para todos los vectores ( vec {u} ), ( vec {v} ) y ( vec {w} ): [ vec {u} cdot left ( vec {v } + vec {w} right) = vec {u} cdot vec {v} + vec {u} cdot vec {w}. ]
  • Propiedad escalar: Para todos los vectores ( vec {v} ) y ( vec {w} ) y escalares (k ), [(k vec {v}) cdot vec {w} = k ( vec {v} cdot vec {w}) = vec {v} cdot (k vec {w}). ]
  • Relación con la magnitud: Para todos los vectores ( vec {v} ): [ vec {v} cdot vec {v} = | vec {v} | ^ 2. ]

Como la mayoría de los teoremas que involucran vectores, la demostración del Teorema ref {dotprodprops} equivale a usar la definición del producto escalar y las propiedades de la aritmética de números reales. Para mostrar la propiedad conmutativa, por ejemplo, sea ( vec {v} = left ) y ( vec {w} = left ). Luego

[ begin {array} {rcll} vec {v} cdot vec {w} & = & left cdot left & & = & v_ {1} w_ {1} + v_ {2} w_ {2} & text {Definición de producto punto} & = & w_ {1} v_ { 1} + w_ {2} v_ {2} & text {Conmutatividad de la multiplicación de números reales} & = & left cdot left & text {Definición de producto punto} & = & vec {w} cdot vec {v} & end {array} ]

La propiedad distributiva se demuestra de manera similar y se deja como ejercicio.

Para la propiedad escalar, suponga que ( vec {v} = left ) y ( vec {w} = left ) y (k ) es un escalar. Luego

[ begin {array} {rcll} (k vec {v}) cdot vec {w} & = & left (k left right) cdot left & & = & left cdot left & text {Definición de multiplicación escalar} & = & (kv_ {1}) (w_ {1}) + (kv_ {2}) (w_ {2}) & text {Definición de Producto escalar} & = & k (v_ {1} w_ {1}) + k (v_ {2} w_ {2}) & text {Asociatividad de la multiplicación de números reales} & = & k (v_ { 1} w_ {1} + v_ {2} w_ {2}) & text {Ley distributiva de los números reales} & = & k left cdot left & text {Definición de producto punto} & = & k ( vec {v} cdot vec {w}) & end {matriz } ]

Dejamos la prueba de (k ( vec {v} cdot vec {w}) = vec {v} cdot (k vec {w}) ) como ejercicio.

Para la última propiedad, observamos que si ( vec {v} = left ), entonces ( vec {v} cdot vec {v} = izquierda cdot izquierda = v_ {1} ^ 2 + v_ {2} ^ 2 = | vec {v} | ^ 2 ), donde la última igualdad es cortesía de la Definición ref {polarformvector}.

El siguiente ejemplo le da un buen uso al Teorema ref {dotprodprops}. Como en el Ejemplo ref {vectoreqnex}, resolvemos el problema con gran detalle y animamos al lector a que proporcione la justificación de cada paso.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): propiedades del producto escalar

Demuestre la identidad: ( | vec {v} - vec {w} | ^ 2 = | vec {v} | ^ 2 -2 ( vec {v} cdot vec {w} ) + | vec {w} | ^ 2 ).

Solución

Comenzamos reescribiendo ( | vec {v} - vec {w} | ^ 2 ) en términos del producto escalar usando el Teorema ref {dotprodprops}.

[ begin {array} {rcl} | vec {v} - vec {w} | ^ 2 & = & ( vec {v} - vec {w}) cdot ( vec {v} - vec {w}) & = & ( vec {v} + [- vec {w}]) cdot ( vec {v} + [- vec {w}]) & = & ( vec {v} + [- vec {w}]) cdot vec {v} + ( vec {v} + [- vec {w}]) cdot [- vec {w}] & = & vec {v} cdot ( vec {v} + [- vec {w}]) + [- vec {w}] cdot ( vec {v} + [- vec {w}]) & = & vec {v} cdot vec {v} + vec {v} cdot [- vec {w}] + [- vec {w}] cdot vec {v} + [- vec { w}] cdot [- vec {w}] & = & vec {v} cdot vec {v} + vec {v} cdot [(-1) vec {w}] + [(-1) vec {w}] cdot vec {v} + [(-1) vec {w}] cdot [(- 1) vec {w}] & = & vec {v} cdot vec {v} + (-1) ( vec {v} cdot vec {w}) + (-1) ( vec {w} cdot vec {v}) + [ (-1) (- 1)] ( vec {w} cdot vec {w}) & = & vec {v} cdot vec {v} + (-1) ( vec {v } cdot vec {w}) + (-1) ( vec {v} cdot vec {w}) + vec {w} cdot vec {w} & = & vec {v } cdot vec {v} -2 ( vec {v} cdot vec {w}) + vec {w} cdot vec {w} & = & | vec {v} | ^ 2-2 ( vec {v} cdot vec {w}) + | vec {w} | ^ 2 end {matriz} ]

Por lo tanto, ( | vec {v} - vec {w} | ^ 2 = | vec {v} | ^ 2 -2 ( vec {v} cdot vec {w}) + | vec {w} | ^ 2 ) según sea necesario.

Si damos un paso atrás de la pedantería del Ejemplo ref {dotprodpropex}, vemos que la mayor parte del trabajo es necesaria para mostrar que (( vec {v} - vec {w}) cdot ( vec {v} - vec {w}) = vec {v} cdot vec {v} -2 ( vec {v} cdot vec {w}) + vec {w} cdot vec { w} ). Si esto le resulta familiar, debería hacerlo. Dado que el producto escalar tiene muchas de las mismas propiedades que disfrutan los números reales, las maquinaciones necesarias para expandir (( vec {v} - vec {w}) cdot ( vec {v} - vec {w}) ) para los vectores ( vec {v} ) y ( vec {w} ) coinciden con los requeridos para expandir ((vw) (vw) ) para los números reales (v ) y (w ), y por lo tanto obtenemos resultados similares. La identidad verificada en el Ejemplo ref {dotprodpropex} juega un papel importante en el desarrollo de las propiedades geométricas del producto escalar, que ahora exploramos.

Suponga que ( vec {v} ) y ( vec {w} ) son dos vectores distintos de cero. Si dibujamos ( vec {v} ) y ( vec {w} ) con el mismo punto inicial, definimos el textbf {ángulo entre} index {vector! ángulo entre dos} index {ángulo! entre dos vectores} ( vec {v} ) y ( vec {w} ) para ser el ángulo ( theta ) determinado por los rayos que contienen los vectores ( vec {v} ) y ( vec {w} ), como se ilustra a continuación. Requerimos (0 leq theta leq pi ). (Piense por qué se necesita esto en la definición).

El siguiente teorema nos da una idea del papel geométrico que desempeña el producto escalar.

Interpretación geométrica del producto escalar

Si ( vec {v} ) y ( vec {w} ) son vectores distintos de cero, entonces ( vec {v} cdot vec {w} = | vec {v} | | vec {w} | cos ( theta) ), donde ( theta ) es el ángulo entre ( vec {v} ) y ( vec {w} ).

Demostramos el teorema ref {dotproductgeo} en casos. Si ( theta = 0 ), entonces ( vec {v} ) y ( vec {w} ) tienen la misma dirección. Dado que ( vec {v} = | vec {v} | hat {v} ) y ( vec {w} = | vec {w} | hat {w} ) , si ( hat {v} = hat {w} ) entonces

[ vec {w} = | vec {w} | hat {v} = frac { | vec {w} |} { | vec {v} |} ( | vec {v} | hat {v}) = frac { | vec {w} |} { | vec {v} |} vec {v}. ]

En este caso,

[k = frac { | vec {w} |} { | vec {v} |}> 0. ]

De ello se deduce que hay un número real (k> 0 ) de modo que ( vec {w} = k vec {v} )]

Por eso,

[ vec {v} cdot vec {w} = vec {v} cdot (k vec {v}) = k ( vec {v} cdot vec {v}) = k | vec {v} | ^ 2 = k | vec {v} | | vec {v} |. ]

Dado que (k> 0 ), (k = | k | ), entonces

[k | vec {v} | = | k | | vec {v} | = | k vec {v} | ]

por el teorema ref {magdirprops}. Por eso,

[k | vec {v} | | vec {v} | = | vec {v} | (k | vec {v} |) = | vec {v} | | k vec {v} | = | vec {v} | | vec {w} |. ]

Como ( cos (0) = 1 ), obtenemos ( vec {v} cdot vec {w} = k | vec {v} | | vec {v} | = | vec {v} | | vec {w} | = | vec {v} | | vec {w} | cos (0) ), lo que demuestra que la fórmula se cumple para ( theta = 0 ). Si ( theta = pi ), repetimos el argumento con la diferencia de ( vec {w} = k vec {v} ) donde (k <0 ). En este caso, (| k | = -k ), entonces

[k | vec {v} | = - | k | | vec {v} | = - | k vec {v} | = - | vec {w} |. ]

Dado que ( cos ( pi) = -1 ), obtenemos

[ vec {v} cdot vec {w} = - | vec {v} | | vec {w} | = | vec {v} | | vec {w} | cos ( pi), ]

según sea necesario. Luego, si (0 < theta < pi ), los vectores ( vec {v} ), ( vec {w} ) y ( vec {v} - vec {w} ) determinar un triángulo con lados de longitud ( | vec {v} | ), ( | vec {w} | ) y ( | vec {v} - vec {w } | ), respectivamente, como se ve a continuación.

La ley de los cosenos cede

[ | vec {v} - vec {w} | ^ 2 = | vec {v} | ^ 2 + | vec {w} | ^ 2 - 2 | vec {v} | | vec {w} | cos ( theta). ]

Por ejemplo ref {dotprodpropex}, sabemos

[ | vec {v} - vec {w} | ^ 2 = | vec {v} | ^ 2 -2 ( vec {v} cdot vec {w}) + | vec {w} | ^ 2. ]

Igualando estas dos expresiones para

[ | vec {v} - vec {w} | ^ 2 ]

da

[ | vec {v} | ^ 2 + | vec {w} | ^ 2 - 2 | vec {v} | | vec {w} | cos ( theta) = | vec {v} | ^ 2 -2 ( vec {v} cdot vec {w}) + | vec {w} | ^ 2 ]

que se reduce a

[- 2 | vec {v} | | vec {w} | cos ( theta) = -2 ( vec {v} cdot vec {w}) ]

o

[ vec {v} cdot vec {w} = | vec {v} | | vec {w} | cos ( theta), ]

según sea necesario. Una consecuencia inmediata del teorema ref {dotproductgeo} es la siguiente.

Teorema: ángulo entre vectores

Sea ( vec {v} ) y ( vec {w} ) vectores distintos de cero y sea ( theta ) el ángulo entre ( vec {v} ) y ( vec {w } ). Luego

[ theta = arccos left ( dfrac { vec {v} cdot vec {w}} { | vec {v} | | vec {w} |} right) = arccos ( hat {v} cdot hat {w}) ]

Obtenemos la fórmula en el teorema ref {ángulo entrevectorthm} resolviendo la ecuación dada en el teorema ref {dotproductgeo} para ( theta ). Dado que ( vec {v} ) y ( vec {w} ) son distintos de cero, también lo son ( | vec {v} | ) y ( | vec {w} | ). Por tanto, podemos dividir ambos lados de

[ vec {v} cdot vec {w} = | vec {v} | | vec {w} | cos ( theta) ]

por

[ | vec {v} | | vec {w} | ]

Llegar

[ cos ( theta) = frac { vec {v} cdot vec {w}} { | vec {v} | | vec {w} |}. ]

Dado que (0 leq theta leq pi ) por definición, los valores de ( theta ) coinciden exactamente con el rango de la función arcocoseno. Por eso,

[ theta = arccos left ( frac { vec {v} cdot vec {w}} { | vec {v} | | vec {w} |} right). ]

Usando el teorema ref {dotprodprops}, podemos reescribir

[ frac { vec {v} cdot vec {w}} { | vec {v} | | vec {w} |} = left ( frac {1} { | vec {v} |} vec {v} right) cdot left ( frac {1} { | vec {w} |} vec {w} right) = hat {v} cdot hat {w}. ]

dándonos la fórmula alternativa

[ theta = arccos ( hat {v} cdot hat {w}). ]

Estamos atrasados ​​por un ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): ángulo entre Vectorex

Encuentra el ángulo entre los siguientes pares de vectores.

  1. ( vec {v} = left <3, -3 sqrt {3} right> ) y ( vec {w} = left <- sqrt {3}, 1 right> )
  2. ( vec {v} = left <2, 2 right> ) y ( vec {w} = left <5, -5 right> )
  3. ( vec {v} = left <3, -4 right> ) y ( vec {w} = left <2, 1 right> )

Solución

Usamos la fórmula ( theta = arccos left ( frac { vec {v} cdot vec {w}} { | vec {v} | | vec {w} |} right) ) del Teorema ref {anglebetweenvectorthm} en cada caso a continuación.

  1. Tenemos ( vec {v} cdot vec {w} = left <3, -3 sqrt {3} right> cdot left <- sqrt {3}, 1 right> = - 3 sqrt {3} - 3 sqrt {3} = -6 sqrt {3} ). Dado que ( | vec {v} | = sqrt {3 ^ 2 + (- 3 sqrt {3}) ^ 2} = sqrt {36} = 6 ) y ( | vec { w} | = sqrt {(- sqrt {3}) ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {4} = 2 ), ( theta = arccos left ( frac {-6 sqrt {3}} {12} right) = arccos left (- frac { sqrt {3}} {2} right) = frac {5 pi} {6} ).
  2. Para ( vec {v} = left <2, 2 right> ) y ( vec {w} = left <5, -5 right> ), encontramos ( vec {v } cdot vec {w} = left <2, 2 right> cdot left <5, -5 right> = 10-10 = 0 ). Por lo tanto, no importa lo que sean ( | vec {v} | ) y ( | vec {w} | ), footnote {Tenga en cuenta que no existe una "propiedad de producto cero" para el producto escalar ya que ni ( vec {v} ) ni ( vec {w} ) es ( vec {0} ), pero ( vec {v} cdot vec {w } = 0 ).} ( Theta = arccos left ( frac { vec {v} cdot vec {w}} { | vec {v} | | vec {w} |} right) = arccos (0) = frac { pi} {2} ).
  3. Encontramos ( vec {v} cdot vec {w} = left <3, -4 right> cdot left <2, 1 right> = 6 - 4 = 2 ). También ( | vec {v} | = sqrt {3 ^ 2 + (- 4) ^ 2} = sqrt {25} = 5 ) y ( vec {w} = sqrt {2 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {5} ), entonces ( theta = arccos left ( frac {2} {5 sqrt {5}} right) = arccos left ( frac {2 sqrt {5}} {25} right) ). Dado que ( frac {2 sqrt {5}} {25} ) no es el coseno de uno de los ángulos comunes, dejamos nuestra respuesta como ( theta = arccos left ( frac {2 sqrt {5}} {25} right) ). qed

Los vectores ( vec {v} = left <2, 2 right> ) y ( vec {w} = left <5, -5 right> ) en el ejemplo ref {anglebetweenvectorex} son llamados ortogonal y escribimos ( vec {v} perp vec {w} ), porque el ángulo entre ellos es ( frac { pi} {2} mbox {radianes} = 90 ^ { circ} ). Geométricamente, cuando los vectores ortogonales se dibujan con el mismo punto inicial, las líneas que contienen los vectores son perpendiculares.

Establecemos la relación entre los vectores ortogonales y su producto escalar en el siguiente teorema.

El producto de punto detecta la ortogonalidad:

Sean ( vec {v} ) y ( vec {w} ) vectores distintos de cero. Entonces ( vec {v} perp vec {w} ) si y solo si ( vec {v} cdot vec {w} = 0 ). index {vector! producto escalar! relación con la ortogonalidad} index {producto escalar! relación con la ortogonalidad}

Para demostrar el teorema ref {dotprodorththm}, primero asumimos que ( vec {v} ) y ( vec {w} ) son vectores distintos de cero con ( vec {v} perp vec {w} ). Por definición, el ángulo entre ( vec {v} ) y ( vec {w} ) es ( frac { pi} {2} ). Según el teorema ref {dotproductgeo},

[ vec {v} cdot vec {w} = | vec {v} | | vec {w} | cos left ( frac { pi} {2} right) = 0. ]

Por el contrario, si ( vec {v} ) y ( vec {w} ) son vectores distintos de cero y ( vec {v} cdot vec {w} = 0 ), entonces el teorema ref { anglebetweenvectorthm} da

[ theta = arccos left ( frac { vec {v} cdot vec {w}} { | vec {v} | | vec {w} |} right) = arccos left ( frac {0} { | vec {v} | | vec {w} |} right) = arccos (0) = frac { pi} {2} ), entonces ( vec {v} perp vec {w}. ]

Podemos usar el Teorema ref {dotprodorththm} en el siguiente ejemplo para proporcionar una prueba diferente sobre la relación entre las pendientes de las líneas perpendiculares. Footnote {Ver Ejercicio ref {perpendicularlines} en la Sección ref {LinearFunctions}.}

Ejemplo ( PageIndex {1} ): líneas perpendiculares

Sea (L_ {1} ) la línea (y = m_ {1} x + b_ {1} ) y sea (L_ {2} ) la línea (y = m_ {2} x + b_ {2} ). Demuestre que (L_ {1} ) es perpendicular a (L_ {2} ) si y solo si (m_ {1} cdot m_ {2} = -1 ).

Solución

Nuestra estrategia es encontrar dos vectores: ( vec {v_ {1}} ), que tiene la misma dirección que (L_ {1} ), y ( vec {v_ {2}} ), que tiene la misma dirección que (L_ {2} ) y muestra ( vec {v_ {1}} perp vec {v_ {2}} ) si y solo si (m_ {1} m_ { 2} = -1 ). Con ese fin, sustituimos (x = 0 ) y (x = 1 ) en (y = m_ {1} x + b_ {1} ) para encontrar dos puntos que se encuentran en (L_ {1 } ), a saber, (P (0, b_ {1}) ) y (Q (1, m_ {1} + b_ {1}) ). Dejamos ( vec {v_ {1}} = overrightarrow {PQ} = left <1-0, (m_ {1} + b_ {1}) - b_ {1} right> = left <1 , m_ {1} right> ), y tenga en cuenta que, dado que ( vec {v_ {1}} ) está determinado por dos puntos en (L_ {1} ), puede verse como si estuviera en (L_ {1} ). Por tanto, tiene la misma dirección que (L_ {1} ). De manera similar, obtenemos el vector ( vec {v_ {2}} = left <1, m_ {2} right> ) que tiene la misma dirección que la línea

) L_ {2} ). Por tanto, (L_ {1} ) y (L_ {2} ) son perpendiculares si y solo si ( vec {v_ {1}} perp vec {v_ {2}} ). De acuerdo con el teorema ref {dotprodorththm}, ( vec {v_ {1}} perp vec {v_ {2}} ) si y solo si ( vec {v_ {1}} cdot vec { v_ {2}} = 0 ). Observe que ( vec {v_ {1}} cdot vec {v_ {2}} = left <1, m_ {1} right> cdot left <1, m_ {2} right> = 1 + m_ {1} m_ {2} ). Por lo tanto, ( vec {v_ {1}} cdot vec {v_ {2}} = 0 ) si y solo si (1 + m_ {1} m_ {2} = 0 ), lo cual es cierto si y solo si (m_ {1} m_ {2} = -1 ), según sea necesario. qed

Aunque el teorema ref {dotprodorththm} ciertamente nos da una idea de lo que significa geométricamente el producto punto, hay más en la historia del producto punto. Considere los dos vectores distintos de cero ( vec {v} ) y ( vec {w} ) dibujados con un punto inicial común (O ) a continuación. Por el momento, suponga que el ángulo entre ( vec {v} ) y ( vec {w} ), que denotaremos ( theta ), es agudo. Deseamos desarrollar una fórmula para el vector ( vec {p} ), indicado a continuación, que se llama proyección ortogonal de ( vec {v} ) en ( vec {w} )}. index {vector! proyección ortogonal} index {proyección! ortogonal} index {proyección ortogonal} El vector ( vec {p} ) se obtiene geométricamente de la siguiente manera: suelte una perpendicular desde el punto terminal (T ) de ( vec {v} ) al vector ( vec {w} ) y llame al punto de intersección (R ). El vector ( vec {p} ) se define entonces como ( vec {p} = overrightarrow {OR} ). Como cualquier vector, ( vec {p} ) está determinado por su magnitud ( | vec {p} | ) y su dirección ( hat {p} ) de acuerdo con la fórmula ( vec {p} = | vec {p} | hat {p} ). Como queremos que ( hat {p} ) tenga la misma dirección que ( vec {w} ), tenemos ( hat {p} = hat {w} ). Para determinar ( | vec {p} | ), utilizamos el teorema ref {cosinesinetriangle} aplicado al triángulo rectángulo ( triangle ORT ). Encontramos ( cos ( theta) = frac { | vec {p} |} { | vec {v} |} ), o ( | vec {p} | = | vec {v} | cos ( theta) ). Para obtener las cosas en términos de solo ( vec {v} ) y ( vec {w} ), usamos el teorema ref {dotproductgeo} para obtener

[ | vec {p} | = | vec {v} | cos ( theta) = frac { | vec {v} | | vec {w} | cos ( theta)} { | vec {w} |} = frac { vec {v} cdot vec {w}} { | vec {w} |}. ]

Usando el teorema ref {dotprodprops}, reescribimos ( frac { vec {v} cdot vec {w}} { | vec {w} |} = vec {v} cdot left ( frac {1} { | vec {w} |} vec {w} right) = vec {v} cdot hat {w} ). Por lo tanto, ( | vec {p} | = vec {v} cdot hat {w} ), y dado que ( hat {p} = hat {w} ), ahora tenemos una fórmula para ( vec {p} ) completamente en términos de ( vec {v} ) y ( vec {w} ), a saber ( vec {p} = | vec { p} | hat {p} = ( vec {v} cdot hat {w}) hat {w} ).

Ahora suponga que el ángulo ( theta ) entre ( vec {v} ) y ( vec {w} ) es obtuso, y considere el siguiente diagrama. En este caso, vemos que ( hat {p} = - hat {w} ) y usando el triángulo ( triangle ORT ), encontramos ( | vec {p} | = | vec {v} | cos ( theta ') ). Dado que ( theta + theta '= pi ), se sigue que ( cos ( theta') = - cos ( theta) ), lo que significa ( | vec {p} | = | vec {v} | cos ( theta ') = - | vec {v} | cos ( theta) ). Reescribiendo esta última ecuación en términos de ( vec {v} ) y ( vec {w} ) como antes, obtenemos ( | vec {p} | = - ( vec {v} cdot hat {w}) ). Poniendo esto junto con ( hat {p} = - hat {w} ), obtenemos ( vec {p} = | vec {p} | hat {p} = - ( vec {v} cdot hat {w}) (- hat {w}) = ( vec {v} cdot hat {w}) hat {w} ) en este caso también.

Si el ángulo entre ( vec {v} ) y ( vec {w} ) es ( frac { pi} {2} ) entonces es fácil mostrar footnote {En este caso, el punto (R ) coincide con el punto (O ), entonces ( vec {p} = overrightarrow {OR} = overrightarrow {OO} = vec {0} ).} que ( vec {p} = vec {0} ). Dado que ( vec {v} perp vec {w} ) en este caso, ( vec {v} cdot vec {w} = 0 ). De ello se deduce que ( vec {v} cdot hat {w} = 0 ) y ( vec {p} = vec {0} = 0 hat {w} = ( vec {v} cdot hat {w}) hat {w} ) en este caso también. Esto nos da

Definición: proyección vectorial

Sean ( vec {v} ) y ( vec {w} ) vectores distintos de cero. La textbf {proyección ortogonal de ( vec {v} ) sobre ( vec {w} )}, denotado ( text {proj} _ { vec {w}} ( vec {v} ) ) viene dado por ( text {proj} _ { vec {w}} ( vec {v}) = ( vec {v} cdot hat {w}) hat {w} ) .

La definición ref {vectorproj} nos da una buena idea de lo que hace el producto escalar. El escalar ( vec {v} cdot hat {w} ) es una medida de cuánto del vector ( vec {v} ) está en la dirección del vector ( vec {w} ) y por eso se llama proyección escalar index {proyección escalar} index {vector! proyección escalar} de ( vec {v} ) sobre ( vec {w} ). Si bien la fórmula dada en la Definición ref {vectorproj} es teóricamente atractiva, debido a la presencia del vector unitario normalizado ( hat {w} ), calcular la proyección usando la fórmula ( text {proj} _ { vec {w}} ( vec {v}) = ( vec {v} cdot hat {w}) hat {w} ) puede ser complicado. Presentamos otras dos fórmulas que se utilizan a menudo en la práctica.

Fórmulas alternativas para proyecciones vectoriales

Si ( vec {v} ) y ( vec {w} ) son vectores distintos de cero, entonces

[ text {proj} _ { vec {w}} ( vec {v}) = ( vec {v} cdot hat {w}) hat {w} = left ( dfrac { vec {v} cdot vec {w}} { | vec {w} | ^ 2} right) vec {w} = left ( dfrac { vec {v} cdot vec { w}} { vec {w} cdot vec {w}} right) vec {w} ]

La demostración del teorema ref {altprojformulas}, que dejamos al lector como ejercicio, equivale a usar la fórmula ( hat {w} = left ( frac {1} { | vec {w} |} right) vec {w} ) y propiedades del producto escalar. Es hora de dar un ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): projex

Sea ( vec {v} = left <1,8 right> ) y ( vec {w} = left <-1,2 right> ). Encuentra ( vec {p} = text {proj} _ { vec {w}} ( vec {v}) ) y grafica ( vec {v} ), ( vec {w } ) y ( vec {p} ) en posición estándar.

Solución

Encontramos ( vec {v} cdot vec {w} = left <1,8 right> cdot left <-1,2 right> = (-1) + 16 = 15 ) y ( vec {w} cdot vec {w} = left <-1,2 right> cdot left <-1,2 right> = 1 + 4 = 5 ). Por lo tanto, ( vec {p} = frac { vec {v} cdot vec {w}} { vec {w} cdot vec {w}} vec {w} = frac {15 } {5} left <-1,2 right> = left <-3,6 right> ). Trazamos ( vec {v} ), ( vec {w} ) y ( vec {p} ) a continuación.

Supongamos que queremos verificar que nuestra respuesta ( vec {p} ) en el Ejemplo ref {projex} es de hecho la proyección ortogonal de ( vec {v} ) sobre ( vec {w} ). Primero notamos que como ( vec {p} ) es un múltiplo escalar de ( vec {w} ), tiene la dirección correcta, entonces lo que queda por verificar es la condición de ortogonalidad. Considere el vector ( vec {q} ) cuyo punto inicial es el punto terminal de ( vec {p} ) y cuyo punto terminal es el punto terminal de ( vec {v} ).

De la definición de aritmética vectorial, ( vec {p} + vec {q} = vec {v} ), de modo que ( vec {q} = vec {v} - vec {p} ). En el caso del ejemplo ref {projex}, ( vec {v} = left <1,8 right> ) y ( vec {p} = left <-3,6 right> ), entonces ( vec {q} = left <1,8 right> - left <-3,6 right> = left <4,2 right> ). Entonces ( vec {q} cdot vec {w} = left <4,2 right> cdot left <-1,2 right> = (-4) +4 = 0 ), que muestra ( vec {q} perp vec {w} ), según sea necesario. Este resultado se generaliza en el siguiente teorema.

Teorema de descomposición generalizado

Sean ( vec {v} ) y ( vec {w} ) vectores distintos de cero. Hay vectores únicos ( vec {p} ) y ( vec {q} ) tales que ( vec {v} = vec {p} + vec {q} ) donde ( vec {p} = k vec {w} ) para algunos escalares (k ) y ( vec {q} cdot vec {w} = 0 ).

Tenga en cuenta que si los vectores ( vec {p} ) y ( vec {q} ) en el teorema ref {generalizeddecompthm} son distintos de cero, entonces podemos decir que ( vec {p} ) es textit {paralelo} footnote {Ver Ejercicio ref {Ejercicio de vector paralelo} en la Sección ref {Vectores}.} a ( vec {w} ) y ( vec {q} ) es ortogonal a ( vec {w} ). En este caso, el vector ( vec {p} ) a veces se llama el `componente vectorial de ( vec {v} ) paralelo a ( vec {w} ) 'y ( vec { q} ) se llama el `componente vectorial de ( vec {v} ) ortogonal a ( vec {w} ) '. Para probar el teorema ref {generalizeddecompthm}, tomamos ( vec {p} = text {proj} _ { vec {w}} ( vec {v}) ) y ( vec {q} = vec {v} - vec {p} ). Entonces ( vec {p} ) es, por definición, un múltiplo escalar de ( vec {w} ). A continuación, calculamos ( vec {q} cdot vec {w} ).

[ begin {array} {rcll} vec {q} cdot vec {w} & = & ( vec {v} - vec {p}) cdot vec {w} & text {Definición de ( vec {q} ).} & = & vec {v} cdot vec {w} - vec {p} cdot vec {w} & text {Propiedades del producto escalar } & = & vec {v} cdot vec {w} - left ( dfrac { vec {v} cdot vec {w}} { vec {w} cdot vec {w }} vec {w} right) cdot vec {w} & text {Desde ( vec {p} = text {proj} _ { vec {w}} ( vec {v}) ).} & = & vec {v} cdot vec {w} - left ( dfrac { vec {v} cdot vec {w}} { vec {w} cdot vec {w}} right) ( vec {w} cdot vec {w}) & text {Propiedades del producto escalar.} & = & vec {v} cdot vec {w} - vec {v} cdot vec {w} & & = & 0 & end {array} ]

Por lo tanto, ( vec {q} cdot vec {w} = 0 ), según sea necesario. En este punto, hemos demostrado que los vectores ( vec {p} ) y ( vec {q} ) garantizados por el teorema ref {generalizeddecompthm} existe. Ahora tenemos que demostrar que son textit {únicos}. Suponer

[ vec {v} = vec {p} + vec {q} = vec {p} , '+ vec {q} ,' ]

donde los vectores ( vec {p} , ') y ( vec {q} ,' ) satisfacen las mismas propiedades descritas en el Teorema ref {generalizeddecompthm} como ( vec {p} ) y ( vec {q} ). Luego

[ vec {p} - vec {p} , '= vec {q} ,' - vec {q} ]

entonces

[ vec {w} cdot ( vec {p} - vec {p} , ') = vec {w} cdot ( vec {q} ,' - vec {q}) = vec {w} cdot vec {q} , '- vec {w} cdot vec {q} = 0 - 0 = 0. ]

Por lo tanto, ( vec {w} cdot ( vec {p} - vec {p} , ') = 0 ). Ahora hay escalares (k ) y (k , ') de modo que ( vec {p} = k vec {w} ) y ( vec {p} ,' = k , ' vec {w} ). Esto significa ( vec {w} cdot ( vec {p} - vec {p} , ') = vec {w} cdot (k vec {w} - k ,' vec { w}) = vec {w} cdot ([k - k , '] vec {w}) = (k - k ,') ( vec {w} cdot vec {w}) = (k - k , ') | vec {w} | ^ 2 ). Desde ( vec {w} neq vec {0} ), ( | vec {w} | ^ 2 neq 0 ), lo que significa que es la única forma

[ vec {w} cdot ( vec {p} - vec {p} , ') = (k - k ,') | vec {w} | ^ 2 = 0 ]

es para (k - k , '= 0 ), o (k = k ,' ). Esto significa ( vec {p} = k vec {w} = k , ' vec {w} = vec {p} ,' ). Con ( vec {q} , '- vec {q} = vec {p} - vec {p} ,' = vec {p} - vec {p} = vec {0} ), debe ser ese ( vec {q} , '= vec {q} ) también. Por lo tanto, hemos demostrado que solo hay una forma de escribir ( vec {v} ) como una suma de vectores como se describe en el Teorema ref {generalizeddecompthm}.

Trabaja

Cerramos este apartado con una aplicación del producto escalar. En Física, si se ejerce una fuerza constante (F ) sobre una distancia (d ), el index {trabajo} textbf {trabajo} (W ) realizado por la fuerza está dado por (W = Fd ). Aquí, asumimos que la fuerza se aplica en la dirección del movimiento. Si la fuerza aplicada no está en la dirección del movimiento, podemos usar el producto escalar para encontrar el trabajo realizado. Considere el siguiente escenario donde se aplica la fuerza constante ( vec {F} ) para mover un objeto desde el punto (P ) al punto (Q ).

Para encontrar el trabajo (W ) realizado en este escenario, necesitamos encontrar cuánta fuerza ( vec {F} ) está en la text {dirección} del movimiento ( overrightarrow {PQ} ). Esto es precisamente lo que representa el producto escalar ( vec {F} cdot widehat {PQ} ). Dado que la distancia que recorre el objeto es ( | overrightarrow {PQ} | ), obtenemos (W = ( vec {F} cdot widehat {PQ}) | overrightarrow {PQ} | ). Dado que ( overrightarrow {PQ} = | overrightarrow {PQ} | widehat {PQ} ),

[W = ( vec {F} cdot widehat {PQ}) | overrightarrow {PQ} | = vec {F} cdot ( | overrightarrow {PQ} | widehat {PQ}) = vec {F} cdot overrightarrow {PQ} = | vec {F} | | overrightarrow {PQ} | cos ( theta) ]

donde ( theta ) es el ángulo entre la fuerza aplicada ( vec {F} ) y la trayectoria del movimiento ( overrightarrow {PQ} ). Hemos probado lo siguiente.

Trabajar como un producto escalar

Suponga que se aplica una fuerza constante ( vec {F} ) a lo largo del vector ( overrightarrow {PQ} ). El trabajo (W ) realizado por ( vec {F} ) está dado por

[W = vec {F} cdot overrightarrow {PQ} = | vec {F} | | overrightarrow {PQ} | cos ( theta), ]

donde ( theta ) es el ángulo entre ( vec {F} ) y ( overrightarrow {PQ} ).

Ejemplo ( PageIndex {1} ): vectorworkex

Taylor ejerce una fuerza de (10 ​​) libras para tirar de su vagón una distancia de (50 ) pies sobre un terreno llano. Si la manija del vagón forma un ángulo de (30 ^ { circ} ) con la horizontal, ¿cuánto trabajo hizo Taylor tirando del vagón? Suponga que Taylor ejerce la fuerza de (10 ​​) libras en un ángulo de (30 ^ { circ} ) durante la duración de los (50 ) pies.

Solución

Hay dos formas de atacar este problema. Una forma es encontrar los vectores ( vec {F} ) y ( overrightarrow {PQ} ) mencionados en el Teorema ref {vectorworkex} y calcular (W = vec {F} cdot overrightarrow { PQ} ). Para hacer esto, asumimos que el origen está en el punto donde el asa del vagón se encuentra con el vagón y el eje positivo (x ) - se encuentra a lo largo de la línea discontinua en la figura anterior. Dado que la fuerza aplicada es una constante de 10 libras, tenemos ( | vec {F} | = 10 ). Dado que se aplica a un ángulo constante de ( theta = 30 ^ { circ} ) con respecto al eje (x ) positivo, la definición ref {polarformvector} nos da ( vec {F } = 10 left < cos (30 ^ { circ}, sin (30 ^ { circ}) right> = left <5 sqrt {3}, 5 right> ). Dado que el vagón está siendo arrastrado a lo largo de 50 pies en la dirección positiva, el vector de desplazamiento es ( overrightarrow {PQ} = 50 hat { imath} = 50 left <1,0 right> = left <50,0 right > ). Obtenemos (W = vec {F} cdot overrightarrow {PQ} = left <5 sqrt {3}, 5 right> cdot left <50,0 right> = 250 sqrt {3} ). Dado que la fuerza se mide en libras y la distancia se mide en pies, obtenemos (W = 250 sqrt {3} ) pie-libras. Alternativamente, podemos usar la fórmula (W = | vec {F} | | overrightarrow {PQ} | cos ( theta) ) para obtener (W = (10 , text {libras}) (50 , text {pies }) cos left (30 ^ { circ} right) = 250 sqrt {3} ) pie-libras de trabajo.


La salida de un producto escalar es un número real. La salida de una proyección es un vector. Si observa las fórmulas, la proyección escalar no depende de la longitud del vector sobre el que se está proyectando.

Según Wikipeda, la proyección escalar no depende de la longitud del vector sobre el que se proyecta. Si duplica la longitud del segundo vector en el producto escalar, el producto escalar se duplica.

Proyección

El componente de un vector a que está en la misma dirección que el vector B (Por tanto, la proyección es un vector) La longitud de la proyección no depende de la longitud (magnitud) de b. Vea la imagen a continuación

(i) La dirección en la que se proyecta. Ese es el vector unitario en la dirección de b, que se calcula dividiendo b por la longitud de b. Eso es $ frac<|| b ||> $

(ii) El componente de a en la dirección de B. Es decir, la "sombra" o imagen de a cuando lo proyectas en B. Esto se calcula con $ frac<|| b ||> $. porque a⋅b = || a || || b || cos (θ). Por eso

|| a || cos (θ) = $ frac<|| b ||> $
y eso le da (como en la figura del triángulo), la longitud de la proyección de a en la dirección de b

Al juntarlo, la proyección de a sobre b es un vector de longitud $ frac<|| b ||> $

en la dirección de $ frac<|| b ||> $, es decir, $ frac <|| b ||> frac <|| b ||> $

Producto escalar

Es simplemente la proyección de un vector sobre otro multiplicado por la magnitud de otro vector. El producto escalar te dice qué cantidad de un vector va en la dirección de otro (por lo tanto, es un escalar) y por lo tanto no tiene ninguna dirección.


El producto de punto es un componente clave en una serie de algoritmos de minería de datos, desde clasificación, regresión, agrupación de correlaciones, hasta recuperación de información y muchos otros. Cuando los datos son de alta dimensión, el uso de proyecciones aleatorias puede servir como un método de reducción de dimensionalidad universal que proporciona garantías de baja distorsión y ahorros computacionales. Sin embargo, contrariamente a las garantías óptimas que se conocen sobre la preservación de la distancia euclidiana cf. Según el lema de Johnson-Lindenstrauss, las garantías existentes sobre el producto punto bajo proyección aleatoria son vagas e incompletas en la literatura actual sobre minería de datos y aprendizaje automático. Alguna literatura reciente incluso sugirió que el producto escalar puede no conservarse cuando el ángulo entre los vectores originales es obtuso.

En este documento proporcionamos límites mejorados en el producto escalar bajo proyección aleatoria que coincide con los límites óptimos en la distancia euclidiana. As a corollary, we elucidate the impact of the angle between the original vectors on the relative distortion of the dot product under random projection, and we show that the obtuse vs. acute angles behave symmetrically in the same way. In a further corollary we make a link to sign random projection, where we generalise earlier results. Numerical simulations confirm our theoretical results. Finally we give an application of our results to bounding the generalisation error of compressive linear classifiers under the margin loss.


11.9: The Dot Product and Projection

You are about to erase your work on this activity. Are you sure you want to do this?

Updated Version Available

Hay un updated version of this activity. If you update to the most recent version of this activity, then your current progress on this activity will be erased. Regardless, your record of completion will remain. How would you like to proceed?

Mathematical Expression Editor

Projections tell us how much of one vector lies in the direction of another and are important in physical applications.

Projections and components

Proyecciones

One of the major uses of the dot product is to let us project one vector in the direction of another. Conceptually, we are looking at the “shadow” of one vector projected onto another, sort of like in the case of a sundial.

While this is good starting point for understanding orthogonal projections, now we need the definition.

To compute the projection of one vector along another, we use the dot product.

Notice that the sign of the direction is the sign of cosine, so we simply remove the absolute value from the cosine.

Components

Scalar components compute “how much” of a vector is pointing in a particular direction.

Orthogonal decomposition

Given any vector in , we can always write it as for some real numbers and . Here we’ve broken into the sum of two orthogonal vectors — in particular, vectors parallel to and . In fact, given a vector and another vector you can always break into a sum of two vectors, one of which is parallel to and another that is perpendicular to . Such a sum is called an orthogonal decomposition. Move the point around to see various orthogonal decompositions of vector .

We conclude this section with a physical example where orthogonal decomposition is useful.

What will happen to the box after it is placed and let go? Since there is no friction, the box will slide down the ramp. Objects initially at rest will only start to move if there is an unbalanced force, so there must be a force parallel to the ramp. We know that the force of gravity is pointing straight down, so part of the force due to gravity is certainly directed along the ramp.

Furthermore, the box is confined to slide along the ramp it does not fall through the ramp, nor does it jump off of the ramp. This means that the net force in the direction perpendicular to the ramp must be . There is a component of gravity in this direction too, so there must be a force that balances this component. In physics, this force is referred to as the normal force, which we will denote by .

We can find both the force gravity exerts on the box in the direction of the ramp, and the normal force from the orthogonal decomposition of the gravitational force, which we will denote by . Since we are given the weight of the box, we have .

Thus, there is no need to multiply the weight by the acceleration due to gravity.

Let’s now find the orthogonal decomposition of in terms of .

To find the component of gravity orthogonal to the ramp, we subtract the part of gravity parallel to the ramp from the gravitational force.

Now, the normal force must balance the perpendicular force that gravity exerts on the ramp that is

since the box is confined to move along the ramp. We can use this to find that the normal force is .

where is the the coefficient of kinetic friction and is an intrinsic property of the material from which the ramp is made. Roughly, this measures how much the surface impedes motion along it for instance, ice has a much lower coefficient of kinetic friction than dry concrete.


11.3 The Dot Product

The previous section introduced vectors and described how to add them together and how to multiply them by scalars. This section introduces a multiplication on vectors called the dot product .

Definition 11.3.1 Dot Product

Let u → = ⟨ u 1 , u 2 ⟩ and v → = ⟨ v 1 , v 2 ⟩ in ℝ 2 . The dot product of u → and v → , denoted u → ⋅ v → , is

u → ⋅ v → = u 1 ⁢ v 1 + u 2 ⁢ v 2 .

Let u → = ⟨ u 1 , u 2 , u 3 ⟩ and v → = ⟨ v 1 , v 2 , v 3 ⟩ in ℝ 3 . The dot product of u → and v → , denoted u → ⋅ v → , is

u → ⋅ v → = u 1 ⁢ v 1 + u 2 ⁢ v 2 + u 3 ⁢ v 3 .

Note how this product of vectors returns a scalar, not another vector.

We practice evaluating a dot product in the following example, then we will discuss why this product is useful.

Example 11.3.1 Evaluating dot products

Let u → = ⟨ 1 , 2 ⟩ , v → = ⟨ 3 , - 1 ⟩ in ℝ 2 . Find u → ⋅ v → .

Let x → = ⟨ 2 , - 2 , 5 ⟩ and y → = ⟨ - 1 , 0 , 3 ⟩ in ℝ 3 . Find x → ⋅ y → .

u → ⋅ v → = 1 ⁢ ( 3 ) + 2 ⁢ ( - 1 ) = 1 .

Using the definition, we have

x → ⋅ y → = 2 ⁢ ( - 1 ) - 2 ⁢ ( 0 ) + 5 ⁢ ( 3 ) = 13 .

The dot product, as shown by the preceding example, is very simple to evaluate. It is only the sum of products. While the definition gives no hint as to why we would care about this operation, there is an amazing connection between the dot product and angles formed by the vectors. Before stating this connection, we give a theorem stating some of the properties of the dot product.

Theorem 11.3.1 Properties of the Dot Product

Let u → , v → and w → be vectors in ℝ 2 or ℝ 3 and let c be a scalar.

u → ⋅ ( v → + w → ) = u → ⋅ v → + u → ⋅ w →

c ⁢ ( u → ⋅ v → ) = ( c ⁢ u → ) ⋅ v → = u → ⋅ ( c ⁢ v → )

The last statement of the theorem makes a handy connection between the magnitude of a vector and the dot product with itself. Our definition and theorem give properties of the dot product, but we are still likely wondering “What does the dot product significar?” It is helpful to understand that the dot product of a vector with itself is connected to its magnitude.

The next theorem extends this understanding by connecting the dot product to magnitudes and angles. Given vectors u → and v → in the plane, an angle θ is clearly formed when u → and v → are drawn with the same initial point as illustrated in Figure 11.3.1 (a). (We always take θ to be the angle in [ 0 , π ] as two angles are actually created.)

θ (a) (b) Figure 11.3.1: Illustrating the angle formed by two vectors with the same initial point.

The same is also true of 2 vectors in space: given u → and v → in ℝ 3 with the same initial point, there is a plane that contains both u → and v → . (When u → and v → are co-linear, there are infinite planes that contain both vectors.) In that plane, we can again find an angle θ between them (and again, 0 ≤ θ ≤ π ). This is illustrated in Figure 11.3.1 (b).

The following theorem connects this angle θ to the dot product of u → and v → .

Theorem 11.3.2 The Dot Product and Angles

Let u → and v → be vectors in ℝ 2 or ℝ 3 . Luego

u → ⋅ v → = ∥ u → ∥ ⁢ ∥ v → ∥ ⁢ cos ⁡ θ ,

where θ , 0 ≤ θ ≤ π , is the angle between u → and v → .

When θ is an acute angle (i.e., 0 ≤ θ < π / 2 ), cos ⁡ θ is positive when θ = π / 2 , cos ⁡ θ = 0 when θ is an obtuse angle ( π / 2 < θ ≤ π ), cos ⁡ θ is negative. Thus the sign of the dot product gives a general indication of the angle between the vectors, illustrated in Figure 11.3.2 .

θ Figure 11.3.2: Illustrating the relationship between the angle between vectors and the sign of their dot product.

We lata use Theorem 11.3.2 to compute the dot product, but generally this theorem is used to find the angle between known vectors (since the dot product is generally easy to compute). To this end, we rewrite the theorem’s equation as

cos ⁡ θ = u → ⋅ v → ∥ u → ∥ ⁢ ∥ v → ∥ ⇔ θ = cos - 1 ⁡ ( u → ⋅ v → ∥ u → ∥ ⁢ ∥ v → ∥ ) .

Ver el vídeo:
Vectors: The Dot Product from https://youtu.be/98C7iv8OcnI

We practice using this theorem in the following example.

y Figure 11.3.3: Vectors used in Example 11.3.2 .

Example 11.3.2 Using the dot product to find angles

Let u → = ⟨ 3 , 1 ⟩ , v → = ⟨ - 2 , 6 ⟩ and w → = ⟨ - 4 , 3 ⟩ , as shown in Figure 11.3.3 . Find the angles α , β and θ .

Solution We start by computing the magnitude of each vector.

∥ u → ∥ = 10 ∥ v → ∥ = 2 ⁢ 10 ∥ w → ∥ = 5 .

We now apply Theorem 11.3.2 to find the angles.

α = cos - 1 ⁡ ( u → ⋅ v → ( 10 ) ⁢ ( 2 ⁢ 10 ) )
= cos - 1 ⁡ ( 0 ) = π 2 = 90 ∘ .
β = cos - 1 ⁡ ( v → ⋅ w → ( 2 ⁢ 10 ) ⁢ ( 5 ) )
= cos - 1 ⁡ ( 26 10 ⁢ 10 )
≈ 0.6055 ≈ 34.7 ∘ .
θ = cos - 1 ⁡ ( u → ⋅ w → ( 10 ) ⁢ ( 5 ) )
= cos - 1 ⁡ ( - 9 5 ⁢ 10 )
≈ 2.1763 ≈ 124.7 ∘

We see from our computation that α + β = θ , as indicated by Figure 11.3.3 . While we knew this should be the case, it is nice to see that this non-intuitive formula indeed returns the results we expected.

We do a similar example next in the context of vectors in space.

Example 11.3.3 Using the dot product to find angles

Let u → = ⟨ 1 , 1 , 1 ⟩ , v → = ⟨ - 1 , 3 , - 2 ⟩ and w → = ⟨ - 5 , 1 , 4 ⟩ , as illustrated in Figure 11.3.4 . Find the angle between each pair of vectors.

θ = cos - 1 ⁡ ( u → ⋅ v → ∥ u → ∥ ⁢ ∥ v → ∥ )
= cos - 1 ⁡ ( 0 3 ⁢ 14 )
= π 2 .

θ = cos - 1 ⁡ ( u → ⋅ w → ∥ u → ∥ ⁢ ∥ w → ∥ )
= cos - 1 ⁡ ( 0 3 ⁢ 42 )
= π 2 .

θ = cos - 1 ⁡ ( v → ⋅ w → ∥ v → ∥ ⁢ ∥ w → ∥ )
= cos - 1 ⁡ ( 0 14 ⁢ 42 )
= π 2 .

While our work shows that each angle is π / 2 , i.e., 90 ∘ , none of these angles looks to be a right angle in Figure 11.3.4 . Such is the case when drawing three-dimensional objects on the page.

All three angles between these vectors was π / 2 , or 90 ∘ . We know from geometry and everyday life that 90 ∘ angles are “nice” for a variety of reasons, so it should seem significant that these angles are all π / 2 . Notice the common feature in each calculation (and also the calculation of α in Example 11.3.2 ): the dot products of each pair of angles was 0. We use this as a basis for a definition of the term orthogonal , which is essentially synonymous to perpendicular .

Definition 11.3.2 Orthogonal

Vectors u → and v → are orthogonal if their dot product is 0.

Example 11.3.4 Finding orthogonal vectors

Let u → = ⟨ 3 , 5 ⟩ and v → = ⟨ 1 , 2 , 3 ⟩ .

Find two vectors in ℝ 2 that are orthogonal to u → .

Find two non-parallel vectors in ℝ 3 that are orthogonal to v → .

Recall that a line perpendicular to a line with slope m has slope - 1 / m , the “opposite reciprocal slope.” We can think of the slope of u → as 5 / 3 , its “rise over run.” A vector orthogonal to u → will have slope - 3 / 5 . There are many such choices, though all parallel:

⟨ - 5 , 3 ⟩ or ⟨ 5 , - 3 ⟩ or ⟨ - 10 , 6 ⟩ or ⟨ 15 , - 9 ⟩ , etc.

There are infinite directions in space orthogonal to any given direction, so there are an infinite number of non-parallel vectors orthogonal to v → . Since there are so many, we have great leeway in finding some.

One way is to arbitrarily pick values for the first two components, leaving the third unknown. For instance, let v → 1 = ⟨ 2 , 7 , z ⟩ . If v → 1 is to be orthogonal to v → , then v → 1 ⋅ v → = 0 , so

So v → 1 = ⟨ 2 , 7 , - 16 / 3 ⟩ is orthogonal to v → . We can apply a similar technique by leaving the first or second component unknown.

Another method of finding a vector orthogonal to v → mirrors what we did in part 1. Let v → 2 = ⟨ - 2 , 1 , 0 ⟩ . Here we switched the first two components of v → , changing the sign of one of them (similar to the “opposite reciprocal” concept before). Letting the third component be 0 effectively ignores the third component of v → , and it is easy to see that

v → 2 ⋅ v → = ⟨ - 2 , 1 , 0 ⟩ ⋅ ⟨ 1 , 2 , 3 ⟩ = 0 .

Clearly v → 1 and v → 2 are not parallel.

θ (b) Figure 11.3.5: Developing the construction of the orthogonal projection.

An important construction is illustrated in Figure 11.3.5 , where vectors u → and v → are sketched. In part (a), a dotted line is drawn from the tip of u → to the line containing v → , where the dotted line is orthogonal to v → . In part (b), the dotted line is replaced with the vector z → and w → is formed, parallel to v → . It is clear by the diagram that u → = w → + z → . What is important about this construction is this: u → is decomposed as the sum of two vectors, one of which is parallel to v → and one that is perpendicular to v → . It is hard to overstate the importance of this construction (as we’ll see in upcoming examples).

The vectors w → , z → and u → as shown in Figure 11.3.5 (b) form a right triangle, where the angle between v → and u → is labeled θ . We can find w → in terms of v → and u → .

Using trigonometry, we can state that

We also know that w → is parallel to to v → that is, the direction of w → is the direction of v → , described by the unit vector 1 ∥ v → ∥ ⁢ v → . The vector w → is the vector in the direction 1 ∥ v → ∥ ⁢ v → with magnitude ∥ u → ∥ ⁢ cos ⁡ θ :

w → = ( ∥ u → ∥ ⁢ cos ⁡ θ ) ⁢ 1 ∥ v → ∥ ⁢ v → .
Replace cos ⁡ θ using Theorem 11.3.2 :
= ( ∥ u → ∥ ⁢ u → ⋅ v → ∥ u → ∥ ⁢ ∥ v → ∥ ) ⁢ 1 ∥ v → ∥ ⁢ v →
= u → ⋅ v → ∥ v → ∥ 2 ⁢ v → .
Now apply Theorem 11.3.1 .
= u → ⋅ v → v → ⋅ v → ⁢ v → .

Since this construction is so important, it is given a special name.

Definition 11.3.3 Orthogonal Projection

Let u → and v → be given, where v → ≠ 0 → . The orthogonal projection of u → onto v → , denoted proj v → ⁢ u → , is


Vector Projection

Now that we know the geometric meaning of the dot product as the product of a projected vector’s signed magnitude and another vector’s magnitude, let’s see how we can project one vector onto another. Dejar denote the projection of onto :

The unit vector in the direction of es , so if we scale it by the signed magnitude of the projection of onto , then we will get . In other words, is parallel to the direction of and has a magnitude equal to that of the projection of onto .

Since the dot product is the product of the magnitude of and the signed magnitude of the projection of onto , the signed magnitude of is just the dot product of y divided by the magnitude of :

Multiplying this signed magnitude with the unit vector gives us the formula for vector projection:

Recall that , so we can also write the projection formula as:

And if , the vector to project onto, is a unit vector, the projection formula can be further simplified:

Unity provides a function Vector3.Project that computes the projection of one vector onto another:

Here is an implementation of the function:

Sometimes we need to guard against a potential degenerate case, where the vector being projected onto is a zero vector or a vector with an overly small magnitude, producing a numerical explosion as the projection involves division by zero or near-zero. This can happen with Unity’s Vector3.Project function.

One way to handle this is to compute the magnitude of the vector being projected onto. Then, if the magnitude is too small, use a fallback vector (e.g. the unit +X vector, the forward vector of a character, etc.):


The name is just the same with the names mentioned above: boosting .

What if we know the vectors, and we want to know how much is the Scalar projection (the shadow)?
Ejemplo:

How we’re gonna solve this is: We know the vectors, so we can get their dot product easily by taking their linear combination and we know the length of each vector, by using Pythagorean theorem and then we get the projection, as in the picture.


The Dot Product of two vectors

The dot product is distributive:
a.(B + C) = a.B + a.C
and commutative:
a.B = B.a
Knowing that the angles between each of the I, j, y k vectors is p /2 radians (90 degrees) and cos p /2 = 0, we can derive a handy alternative definition: Let,
tu = aI + bj + ck
v = XI + yj + zk
then,
tu.v = (aI + bj + ck).( xI + yj + zk)
=>tu.v = (aI + bj + ck). XI + (aI + bj + ck).yj + (aI + bj + ck).zk
The angle between any nonzero vector and iteself is 0, and cos 0 = 1, so I.I = 1 etc., Hence,

tu.v = a x + b y + c z

This means that for any vector, a,
a. a = a 2

Finding the angle between two vectors

We can now, given the coordinates of any two nonzero vectors tu y v find the angle q between them:
tu = aI + bj + ck
v = XI + yj + zk
tu.v = u v cos q
tu.v = a x + b y + c z

=> q = cos -1 o (a x + b y + c z) / ( u v ) p To get used to this method check out this applet
What would happen if one of the vectors was the null vector 0, from (0,0,0) to (0,0,0). This is the only vector without a direction and it isn't meaningful to ask the angle between this vector and another vector. How does our method fail if we try?
One of the main uses of the dot product is to determine whether two vectors, a y B, are othogonal (perpendicular).
Si a . B = 0, then either, a is orthogonal to B, o
a = 0, o
B = 0.

Projection

It will often be useful to find the component of one vector in the direction of another:

We have a given vector a, and we want to see how far it extends in a direction given by the unit vector norte. The distance is d, which, from simple trigonometry we can calculate as,
d = a cos q
=> d = n a cos q
=> d = a . norte

Proof of the cosine formula

You have two sides of a triangle, a and b, and the angle in between, C, - the problem is to find the remaining side c. You kill the problem by recalling the cosine formula:
c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cos C
but have you ever seen a proof? The proof by geometry isn't very friendly but with vectors it takes all of 3 lines (using the second triangle above): C.C = (B - a).(B - a)
=> c 2 = B.B + a.a - 2a.B
=> c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C

Finding the distance between two places, along the surface of the Earth

From the latitudes and longitudes of two places on the Earth together with the radius of the Earth we can determine the position vectors of the two places with the origin at the centre of the Earth. If you have two points on the circumference of a circle then the radius of the circle times the angle (in radians) subtended by the two points at the centre of the circle gives the arc distance between the two points. Using the dot product we can find the angle subtended by our two position vectors, multiply by the radius of the Earth, and hey presto we have the great circle distance.
Find out the distance between us using this applet (I'm at latitude 53, longitude 0).


Dot product problems with solution

Given the vectors: A = 3I + 2jk y B = 5I +5j, find:

  1. The dot product AB.
  2. The projection of A onto B.
  3. The angle between A y B.
  4. A vector of magnitude 2 in the XY plane perpendicular to B.

Ad blocker detected

Knowledge is free, but servers are not. Please consider supporting us by disabling your ad blocker on YouPhysics. ¡Gracias!

It is essential when working with vectors to use proper notation. Always draw an arrow over the letters representing vectors. You can also use bold characters to represent a vector quantity.

The dot product of two vectors A y B expressed in unit vector notation is given by:

Recuérdalo the dot product returns a scalar (a number).

Ad blocker detected

Knowledge is free, but servers are not. Please consider supporting us by disabling your ad blocker on YouPhysics. ¡Gracias!

To find the projection of A onto B we divide the dot product we have determined before by the magnitude of B (visit the page dot product for more information):

The angle between both vectors is given by the expression we derived when we defined the dot product:

In order to find a vector C perpendicular B we equal their dot product to zero.

Vector C written in unit vector notation is given by:

The previous equation is the first condition that the components of C must obey. Moreover, its magnitude has to be 2:

And substituting the condition given by the dot product:

Finalmente, C expressed in unit vector notation is given by:

Ad blocker detected

Knowledge is free, but servers are not. Please consider supporting us by disabling your ad blocker on YouPhysics. ¡Gracias!


What a dot product should she earned masters degrees of and dot cross product of the height

Calculating cross product? How you do not to me just to be very useful for any two vectors are commutative, such vectors or to write that? The cross product is a given in this notification is as a parallelogram is to rotate. What a child pulls a unit square, dot product and cross product is best ratio tells us! As to provide the two vectors actually derive a few of and dot product essentially tells us! Then use cross and applications of the application! But it came from physics, for any attempts you work out a unit square, of dot product that works when the cross as. One of vector is equal to solve a volume given force on an expression for contributing an angle. For your thumb perpendicular to be further study reveals the product of the result because they do. Usa and cross product of these vectors mode before and perpendicular to determine if a result of this application of two vectors with minimal stress of. To contact you add all of cross product applications of those dot product of one or dot product of vectors yields another. How much does a dot product applications and cross product is linear algebra package only be very often does a vector cross products for more. Let me draw my two of product of the area of the torque applied to use limits to the direction of their other special relativity? Multiply both and cross products is defined with a force vector cross product is done, where input vectors, turning a scalar quantities such as well. In physics are used for cross product provide those multiplication and dot product of cross product of unit vector quantity you might seem equal. We and applications of dot product of the application center of equal to determine quickly. Dot and cross product and take also need to compute it is a direction of product a valid page has expired or responding to load some actual utility. Its counterpart is? The cross product, then how many requests to make a force does this article may have already that one physical quantities that each purpose of. Show that cross product dot product understanding of all depends on the application! Using the inner product dot and leave the island first?


Ver el vídeo: Demostración: Producto escalar, proyección escalar y proyección vectorial (Noviembre 2021).