Artículos

8.2: La transformada inversa de Laplace


Definición de la transformada de Laplace inversa

En la sección 8.1 definimos la transformada de Laplace de (f ) por

[F (s) = { cal L} (f) = int_0 ^ infty e ^ {- st} f (t) , dt. sin número]

También diremos que (f ) es un Transformada de Laplace inversa de (F ), y escribe

[f = { cal L} ^ {- 1} (F). sin número]

Para resolver ecuaciones diferenciales con la transformada de Laplace, debemos poder obtener (f ) a partir de su transformada (F ). Existe una fórmula para hacer esto, pero no podemos usarla porque requiere la teoría de funciones de una variable compleja. Afortunadamente, podemos usar la tabla de transformadas de Laplace para encontrar las transformaciones inversas que necesitaremos.

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

Usa la tabla de transformadas de Laplace para encontrar

  1. [{ cal L} ^ {- 1} left ({1 over s ^ 2-1} right) nonumber ]
  2. [{ cal L} ^ {- 1} left ({s over s ^ 2 + 9} right). nonumber ]

Solución a

Establecer (b = 1 ) en el par de transformación

[ sinh bt leftrightarrow {b over s ^ 2-b ^ 2} nonumber ]

muestra que

[{ cal L} ^ {- 1} left ({1 over s ^ 2-1} right) = sinh t. nonumber ]

Solución b

Estableciendo ( omega = 3 ) en el par de transformación

[ cos omega t leftrightarrow {s over s ^ 2 + omega ^ 2} nonumber ]

muestra que

[{ cal L} ^ {- 1} left ({s over s ^ 2 + 9} right) = cos3t. sin número]

El siguiente teorema nos permite encontrar transformadas inversas de combinaciones lineales de transformadas en la tabla. Omitimos la prueba.

Teorema ( PageIndex {1} ): Propiedad de linealidad

Si (F_1, ) (F_2, )… (, ) (F_n ) son transformadas de Laplace y (c_1, ) (c_2, )…, (c_n ) son constantes (,) luego

[{ cal L} ^ {- 1} (c_1F_1 + c_2F_2 + cdots + c_nF_n) = c_1 { cal L} ^ {- 1} (F_1) + c_2 { cal L} ^ {- 1} (F_2 ) + cdots + c_n { cal L} ^ {- 1} F_n. nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Encontrar

[{ cal L} ^ {- 1} left ({8 over s + 5} + {7 over s ^ 2 + 3} right). nonumber ]

Solución

De la tabla de transformadas de Laplace en la sección 8.8 ,,

[e ^ {at} leftrightarrow {1 over s-a} quad mbox {y} quad sin omega t leftrightarrow { omega over s ^ 2 + omega ^ 2}. sin número]

El teorema ( PageIndex {1} ) con (a = -5 ) y ( omega = sqrt3 ) produce

[ begin {alineado} { cal L} ^ {- 1} left ({8 over s + 5} + {7 over s ^ 2 + 3} right) & = 8 { cal L} ^ {- 1} left ({1 over s + 5} right) +7 { cal L} ^ {- 1} left ({1 over s ^ 2 + 3} right) & = 8 { cal L} ^ {- 1} left ({1 over s + 5} right) + {7 over sqrt3} { cal L} ^ {- 1} left ({ sqrt3 over s ^ 2 + 3} right) & = 8e ^ {- 5t} + {7 over sqrt3} sin sqrt3t. end {alineado} nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Encontrar

[{ cal L} ^ {- 1} left ({3s + 8 over s ^ 2 + 2s + 5} right). nonumber ]

Solución

Completando el cuadrado en el denominador se obtiene

[{3s + 8 over s ^ 2 + 2s + 5} = {3s + 8 over (s + 1) ^ 2 + 4}. Nonumber ]

Debido a la forma del denominador, consideramos los pares de transformadas

[e ^ {- t} cos 2t leftrightarrow {s + 1 over (s + 1) ^ 2 + 4} quad text {y} quad e ^ {- t} sin 2t leftrightarrow { 2 over (s + 1) ^ 2 + 4}, nonumber ]

y escribe

[ begin {alineado} { cal L} ^ {- 1} left ({3s + 8 over (s + 1) ^ 2 + 4} right) & = { cal L} ^ {- 1 } left ({3s + 3 over (s + 1) ^ 2 + 4} right) + { cal L} ^ {- 1} left ({5 over (s + 1) ^ 2 + 4 } right) & = 3 { cal L} ^ {- 1} left ({s + 1 over (s + 1) ^ 2 + 4} right) + {5 over2} { cal L} ^ {- 1} left ({2 over (s + 1) ^ 2 + 4} right) & = e ^ {- t} (3 cos 2t + {5 over2} sin 2t ). end {alineado} nonumber ]

Nota

A menudo escribimos transformadas de Laplace inversas de funciones específicas sin indicar explícitamente cómo se obtienen. En tales casos, debe consultar la tabla de transformadas de Laplace en la Sección 8.8.

Transformadas inversas de Laplace de funciones racionales

El uso de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales a menudo requiere encontrar la transformada inversa de una función racional

[F (s) = {P (s) over Q (s)}, nonumber ]

donde (P ) y (Q ) son polinomios en (s ) sin factores comunes. Dado que se puede demostrar que ( lim_ {s to infty} F (s) = 0 ) si (F ) es una transformada de Laplace, solo necesitamos considerar el caso donde ( mbox {grado} (P) < mbox {grado} (Q) ). Para obtener ({ cal L} ^ {- 1} (F) ), encontramos la expansión de fracción parcial de (F ), obtenemos transformadas inversas de los términos individuales en la expansión de la tabla de transformadas de Laplace y use la propiedad de linealidad de la transformada inversa. Los siguientes dos ejemplos ilustran esto.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Encuentre la transformada de Laplace inversa de

[ label {eq: 8.2.1} F (s) = {3s + 2 over s ^ 2-3s + 2}. ]

Solución

(Método 1)

Factorizar el denominador en la ecuación ref {eq: 8.2.1} produce

[ label {eq: 8.2.2} F (s) = {3s + 2 over (s-1) (s-2)}. ]

La forma para la expansión de la fracción parcial es

[ label {eq: 8.2.3} {3s + 2 over (s-1) (s-2)} = {A over s-1} + {B over s-2}. ]

Multiplicando esto por ((s-1) (s-2) ) se obtiene

[3s + 2 = (s-2) A + (s-1) B. sin número]

Establecer (s = 2 ) produce (B = 8 ) y establecer (s = 1 ) produce (A = -5 ). Por lo tanto

[F (s) = - {5 sobre s-1} + {8 sobre s-2} nonumber ]

y

[{ cal L} ^ {- 1} (F) = - 5 { cal L} ^ {- 1} left ({1 over s-1} right) +8 { cal L} ^ {-1} left ({1 over s-2} right) = - 5e ^ t + 8e ^ {2t}. sin número]

(Método 2) Realmente no tenemos que multiplicar la Ecuación ref {eq: 8.2.3} por ((s-1) (s-2) ) para calcular (A ) y (B ) . Podemos obtener (A ) simplemente ignorando el factor (s-1 ) en el denominador de la Ecuación ref {eq: 8.2.2} y estableciendo (s = 1 ) en otro lugar; por lo tanto,

[ label {eq: 8.2.4} A = left. {3s + 2 over s-2} right | _ {s = 1} = {3 cdot1 + 2 over 1-2} = - 5. ]

De manera similar, podemos obtener (B ) ignorando el factor (s-2 ) en el denominador de la Ecuación ref {eq: 8.2.2} y estableciendo (s = 2 ) en otro lugar; por lo tanto,

[ label {eq: 8.2.5} B = left. {3s + 2 over s-1} right | _ {s = 2} = {3 cdot2 + 2 over2-1} = 8. ]

Para justificar esto, observamos que al multiplicar la ecuación ref {eq: 8.2.3} por (s-1 ) se obtiene

[{3s + 2 over s-2} = A + (s-1) {B over s-2}, nonumber ]

y establecer (s = 1 ) conduce a la Ecuación ref {eq: 8.2.4}. De manera similar, al multiplicar la ecuación ref {eq: 8.2.3} por (s-2 ) se obtiene

[{3s + 2 over s-1} = (s-2) {A over s-2} + B nonumber ]

y establecer (s = 2 ) conduce a la Ecuación ref {eq: 8.2.5}. (No es necesario escribir las dos últimas ecuaciones. Las escribimos solo para justificar el procedimiento de atajo indicado en la Ecuación ref {eq: 8.2.4} y la Ecuación ref {eq: 8.2.5}.)

El atajo empleado en la segunda solución del Ejemplo ( PageIndex {4} ) es Método de Heaviside. El siguiente teorema establece este método formalmente. Para obtener una demostración y una extensión de este teorema, consulte Ejercicio 8.2.10.

Teorema ( PageIndex {2} )

Suponer

[ label {eq: 8.2.6} F (s) = {P (s) over (s-s_1) (s-s_2) cdots (s-s_n)}, ]

donde (s_1 ), (s_2, )… (, ) (s_n ) son distintos y (P ) es un polinomio de grado menor que (n. ) Entonces

[F (s) = {A_1 sobre s-s_1} + {A_2 sobre s-s_2} + cdots + {A_n sobre s-s_n}, nonumber ]

donde (A_i ) se puede calcular a partir de la Ecuación ref {eq: 8.2.6} ignorando el factor (s-s_i ) y estableciendo (s = s_i ) en otro lugar.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Encuentre la transformada de Laplace inversa de

[ label {eq: 8.2.7} F (s) = {6+ (s + 1) (s ^ 2-5s + 11) over s (s-1) (s-2) (s + 1 )}. ]

Solución

La expansión de fracción parcial de la Ecuación ref {eq: 8.2.7} tiene la forma

[ label {eq: 8.2.8} F (s) = {A over s} + {B over s-1} + {C over s-2} + {D over s + 1}. ]

Para encontrar (A ), ignoramos el factor (s ) en el denominador de la Ecuación ref {eq: 8.2.7} y establecemos (s = 0 ) en otro lugar. Esto produce

[A = {6+ (1) (11) over (-1) (- 2) (1)} = {17 over2}. Nonumber ]

De manera similar, los otros coeficientes vienen dados por

[B = {6+ (2) (7) over (1) (- 1) (2)} = - 10, nonumber ]

[C = {6 + 3 (5) over2 (1) (3)} = {7 over2}, nonumber ]

y

[D = {6 over (-1) (- 2) (- 3)} = - 1. sin número]

Por lo tanto

[F (s) = {17 over2} , {1 over s} - {10 over s-1} + {7 over2} , {1 over s-2} - {1 over s + 1} nonumber ]

y

[ begin {alineado} { cal L} ^ {- 1} (F) & = {17 over2} { cal L} ^ {- 1} left (1 over s right) -10 { cal L} ^ {- 1} left (1 over s-1 right) + {7 over 2} { cal L} ^ {- 1} left (1 over s-2 right) - { cal L} ^ {- 1} left (1 over s + 1 right) & = {17 over2} -10e ^ t + {7 over2} e ^ {2t} -e ^ { -t}. end {alineado} nonumber ]

Nota

No "multiplicamos" el numerador en la Ecuación ( PageIndex {7} ) antes de calcular los coeficientes en la Ecuación ( PageIndex {8} ), ya que no simplificaría los cálculos.

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Encuentre la transformada de Laplace inversa de

[ label {eq: 8.2.9} F (s) = {8- (s + 2) (4s + 10) over (s + 1) (s + 2) ^ 2}. ]

Solución

La forma para la expansión de la fracción parcial es

[ label {eq: 8.2.10} F (s) = {A over s + 1} + {B over s + 2} + {C over (s + 2) ^ 2}. ]

Debido al factor repetido ((s + 2) ^ 2 ) en la Ecuación ref {eq: 8.2.9}, el método de Heaviside no funciona. En cambio, encontramos un denominador común en la Ecuación ref {eq: 8.2.10}. Esto produce

[ label {eq: 8.2.11} F (s) = {A (s + 2) ^ 2 + B (s + 1) (s + 2) + C (s + 1) over (s + 1) ) (s + 2) ^ 2}. ]

Si la Ecuación ref {eq: 8.2.9} y la Ecuación ref {eq: 8.2.11} deben ser equivalentes, entonces

[ label {eq: 8.2.12} A (s + 2) ^ 2 + B (s + 1) (s + 2) + C (s + 1) = 8- (s + 2) (4s + 10 ). ]

Los dos lados de esta ecuación son polinomios de grado dos. Según un teorema de álgebra, serán iguales para todos (s ) si son iguales para tres valores distintos de (s ). Podemos determinar (A ), (B ) y (C ) eligiendo valores convenientes de (s ).

El lado izquierdo de la ecuación ref {eq: 8.2.12} sugiere que tomamos (s = -2 ) para obtener (C = -8 ) y (s = -1 ) para obtener ( A = 2 ). Ahora podemos elegir cualquier tercer valor de (s ) para determinar (B ). Tomando (s = 0 ) se obtiene (4A + 2B + C = -12 ). Dado que (A = 2 ) y (C = -8 ) esto implica que (B = -6 ). Por lo tanto

[F (s) = {2 over s + 1} - {6 over s + 2} - {8 over (s + 2) ^ 2} nonumber ]

y

[ begin {alineado} { cal L} ^ {- 1} (F) & = 2 { cal L} ^ {- 1} left (1 over s + 1 right) -6 { cal L} ^ {- 1} left (1 over s + 2 right) -8 { cal L} ^ {- 1} left (1 over (s + 2) ^ 2 right) & = 2e ^ {- t} -6e ^ {- 2t} -8te ^ {- 2t}. End {alineado} nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Encuentre la transformada de Laplace inversa de

[F (s) = {s ^ 2-5s + 7 over (s + 2) ^ 3}. sin número]

Solución

La forma para la expansión de la fracción parcial es

[F (s) = {A over s + 2} + {B over (s + 2) ^ 2} + {C over (s + 2) ^ 3}. sin número]

La forma más fácil de obtener (A ), (B ) y (C ) es expandir el numerador en potencias de (s + 2 ). Esto produce

[s ^ 2-5s + 7 = [(s + 2) -2] ^ 2-5 [(s + 2) -2] + 7 = (s + 2) ^ 2-9 (s + 2) + 21. sin número]

Por lo tanto

[ begin {alineado} F (s) & = {(s + 2) ^ 2-9 (s + 2) +21 over (s + 2) ^ 3} & = {1 over s + 2} - {9 over (s + 2) ^ 2} + {21 over (s + 2) ^ 3} end {alineado} nonumber ]

y

[ begin {alineado} { cal L} ^ {- 1} (F) & = { cal L} ^ {- 1} left ({1 over s + 2} right) -9 { cal L} ^ {- 1} left ({1 over (s + 2) ^ 2} right) + {21 over2} { cal L} ^ {- 1} left ({2 over ( s + 2) ^ 3} right) & = e ^ {- 2t} left (1-9t + {21 over2} t ^ 2 right). end {alineado} nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Encuentre la transformada de Laplace inversa de

[ label {eq: 8.2.13} F (s) = {1-s (5 + 3s) over s left [(s + 1) ^ 2 + 1 right]}. ]

Solución

Una forma para la expansión de fracciones parciales de (F ) es

[ label {eq: 8.2.14} F (s) = {A over s} + {Bs + C over (s + 1) ^ 2 + 1}. ]

Sin embargo, vemos en la tabla de transformadas de Laplace que la transformada inversa de la segunda fracción a la derecha de la Ecuación ref {eq: 8.2.14} será una combinación lineal de las transformadas inversas

[e ^ {- t} cos t quad mbox {y} quad e ^ {- t} sin t nonumber ]

de

[{s + 1 over (s + 1) ^ 2 + 1} quad mbox {y} quad {1 over (s + 1) ^ 2 + 1} nonumber ]

respectivamente. Por lo tanto, en lugar de la Ecuación ref {eq: 8.2.14} escribimos

[ label {eq: 8.2.15} F (s) = {A over s} + {B (s + 1) + C over (s + 1) ^ 2 + 1}. ]

Encontrar un denominador común rinde

[ label {eq: 8.2.16} F (s) = {A left [(s + 1) ^ 2 + 1 right] + B (s + 1) s + Cs over s left [( s + 1) ^ 2 + 1 right]}. ]

Si la Ecuación ref {eq: 8.2.13} y la Ecuación ref {eq: 8.2.16} deben ser equivalentes, entonces

[A left [(s + 1) ^ 2 + 1 right] + B (s + 1) s + Cs = 1-s (5 + 3s). sin número]

Esto es cierto para todos (s ) si es cierto para tres valores distintos de (s ). Al elegir (s = 0 ), (- 1 ) y (1 ) se obtiene el sistema

[ begin {array} {rcr} 2A & = & 1 phantom {.} A-C & = & 3 phantom {.} 5A + 2B + C & = & - 7. end {matriz} nonumber ]

Resolver este sistema produce

[A = {1 over2}, quad B = - {7 over2}, quad C = - {5 over2}. sin número]

Por tanto, de la ecuación ref {eq: 8.2.15},

[F (s) = {1 over2s} - {7 over2} , {s + 1 over (s + 1) ^ 2 + 1} - {5 over2} , {1 over (s +1) ^ 2 + 1}. sin número]

Por lo tanto

[ begin {alineado} { cal L} ^ {- 1} (F) & = {1 over2} { cal L} ^ {- 1} left (1 over s right) - {7 over2} { cal L} ^ {- 1} left (s + 1 over (s + 1) ^ 2 + 1 right) - {5 over2} { cal L} ^ {- 1} izquierda (1 over (s + 1) ^ 2 + 1 right) & = {1 over2} - {7 over2} e ^ {- t} cos t- {5 over2} e ^ { -t} sin t. end {alineado} nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

Encuentre la transformada de Laplace inversa de

[ label {eq: 8.2.17} F (s) = {8 + 3s over (s ^ 2 + 1) (s ^ 2 + 4)}. ]

Solución

La forma para la expansión de la fracción parcial es

[F (s) = {A + Bs sobre s ^ 2 + 1} + {C + Ds sobre s ^ 2 + 4}. sin número]

Los coeficientes (A ), (B ), (C ) y (D ) se pueden obtener encontrando un denominador común y equiparando el numerador resultante con el numerador en la Ecuación ref {eq: 8.2. 17}. Sin embargo, dado que no hay una primera potencia de (s ) en el denominador de la ecuación ref {eq: 8.2.17}, hay una forma más fácil: la expansión de

[F_1 (s) = {1 over (s ^ 2 + 1) (s ^ 2 + 4)} nonumber ]

se puede obtener rápidamente utilizando el método de Heaviside para expandir

[{1 over (x + 1) (x + 4)} = {1 over3} left ({1 over x + 1} - {1 over x + 4} right) nonumber ]

y luego configurando (x = s ^ 2 ) para obtener

[{1 over (s ^ 2 + 1) (s ^ 2 + 4)} = {1 over3} left ({1 over s ^ 2 + 1} - {1 over s ^ 2 + 4 }derecho). sin número]

Multiplicando esto por (8 + 3s ) se obtiene

[F (s) = {8 + 3s over (s ^ 2 + 1) (s ^ 2 + 4)} = {1 over3} left ({8 + 3s over s ^ 2 + 1} - {8 + 3s over s ^ 2 + 4} right). sin número]

Por lo tanto

[{ cal L} ^ {- 1} (F) = {8 over3} sin t + cos t- {4 over3} sin 2t- cos 2t. sin número]

Usando tecnología

Algunos paquetes de software que hacen álgebra simbólica pueden encontrar expansiones de fracciones parciales muy fácilmente. Le recomendamos que utilice un paquete de este tipo si tiene uno disponible, pero solo después de haber realizado suficientes expansiones de fracciones parciales por su cuenta para dominar la técnica.


8.2: La transformada inversa de Laplace

y otras 2 personas se unieron hace un minuto.

Universidad de Mumbai & gt EXTC & gt Sem 4 & gt Señales y sistemas

La función dada se puede expresar como

El valor de k se obtiene mediante la fórmula

$ k_j = dfrac 1 dfrac X_1 (s) | _ espacio espacio espacio j = 0, 1, 2, 3… ..n - 1 ∴k_O = dfrac 1 <0!> dfrac [ dfrac 8 <(s + 4)>] | _ = dfrac 8 <(- 2 + 4)> ∴k_O = 4 ∴k_1 = dfrac 1 <1!> dfrac [ dfrac 8 <(s + 4)>] | _ = dfrac <-8> <(s + 4) ^ 2> | _ = dfrac <-8> <(- 2 + 4) ^ 2> | _ ∴k_1 = -2 ∴k_2 = dfrac 1 <2!> Dfrac [ dfrac 8 <(s + 4)>] | _ = dfrac 1 <2!> dfrac [ dfrac <-8> <(s + 4) ^ 2>] | _ = dfrac 1 <2!> [ dfrac <(8) (2)> <(s + 4) ^ 3>] | _ = dfrac 12 [ dfrac <(8) (2)> <(- 2 + 4) ^ 3>] ∴k_2 = 1 $

Sustituyendo los valores de $ k_O, k_1 $ y $ k_2 $ en la ecuación 1

(iv) Para obtener la transformada de Laplace inversa para Re (s) & gt -2

La ROC de Re (s) & gt -2 está en el lado derecho como se muestra en la siguiente figura. Por lo tanto, las señales estarán en el lado derecho.

Tomando la transformada de Laplace inversa de la ecuación 2

Usando el resultado anterior, la ecuación 3 se convierte en

$ ∴x (t) = 4 dfrac <2!> E ^ <-2t> u (t) - 2 dfrac t <1!> E ^ <-2t> u (t) + e ^ <-2t> u (t) - e ^ <-4t > u (t) ∴x (t) = 2 t ^ 2e ^ <-2t> u (t) - 2 te ^ <-2t> u (t) + e ^ <-2t> u (t) - e ^ <-4t> u (t) $

Ésta es la señal requerida en el dominio del tiempo.

(v) Para obtener la transformada de Laplace inversa para Re (s) & lt -4

La ROC de Re (s) & lt -4 está en el lado izquierdo como se muestra en la siguiente figura. Por lo tanto, las señales estarán en el lado izquierdo.

Tomando la transformada de Laplace inversa de la ecuación 2

Usando el resultado anterior, la ecuación 4 se convierte en

$ ∴x (t) = -4 dfrac <2!> E ^ <-2t> u (t) + 2 dfrac t <1!> E ^ <-2t> u (-t) -e ^ <-2t> u (t) + e ^ <- 4t> u (-t) ∴x (t) = -2 t ^ 2e ^ <-2t> u (t) + 2 te ^ <-2t> u (t) - e ^ <-2t> u ( t) + e ^ <-4t> u (-t) $

Ésta es la señal requerida en el dominio del tiempo.

(vi) Para obtener la transformada de Laplace inversa para -4 & lt Re (s) & lt -2

La ROC de -4 & lt Re (s) & lt -2 se muestra en la siguiente figura. Esta ROC también se puede expresar como Re (s) & lt -2 y Re (s) & gt -4.

Considere la función dada, es decir,

Esta función tiene dos polos.

El polo en s = -4 está al lado izquierdo de la República de China. Por lo tanto, el término correspondiente a esta República de China estará en el lado derecho, es decir,

$ L ^ <-1> dfrac 1 <(s + 4)> = e ^ <-4t> u (t) para ROC: Re (s) gt -4 $

De manera similar, el polo en s = -2 está al lado derecho de la ROC. Por lo tanto, el término correspondiente a esta República de China estará en el lado izquierdo, es decir,

$ L ^ <-1> dfrac 1 <(s + 2) ^ 3> = -e ^ <-2t> dfrac <2!> U (-t) espacio espacio para espacio espacio ROC: Re (s) lt -2 L ^ <-1> dfrac 1 <(s + 2) ^ 2> = - e ^ <-2t> dfrac t <1!> u (-t) espacio espacio para espacio espacio ROC: Re (s) lt -2 L ^ <-1> dfrac 1 <( s + 2)> = -e ^ <-2t> u (-t) espacio espacio para espacio espacio ROC: Re (s) lt -2 $


8. Respuesta transitoria de circuitos mediante transformada de Laplace y análisis y síntesis de red # 8211

Después de estudiar detenidamente este capítulo, debería poder hacer lo siguiente:

➢ Enumere los pasos para encontrar la respuesta transitoria de las redes eléctricas usando la transformada de Laplace.

➢ Escriba ecuaciones diferenciales de variables de circuito en el dominio del tiempo y conviértalas a la forma de transformada de Laplace.

➢ Determinar la respuesta transitoria de R - C circuito usando la transformada de Laplace y aprecie el método.

➢ Determinar la respuesta transitoria de R - L circuito que utiliza la transformada de Laplace con excitación CC.

➢ Realizar análisis de respuesta transitoria de R-L-C circuito en serie con excitación DC por el método de transformada de Laplace.

➢ Resolver problemas numéricos sobre análisis transitorio de R-C, R-L, y R-L-C circuito en serie utilizando el método de la transformada de Laplace.

➢ Realizar análisis de R-C y R-L Circuitos en serie con entrada sinusoidal por el método de transformada de Laplace.

➢ Resolver análisis numérico sobre transitorio de circuitos con voltaje de entrada sinusoidal mediante el método de transformada de Laplace y apreciar el método sobre el método de análisis en el dominio del tiempo.

8.1 PASOS PARA ENCONTRAR UNA RESPUESTA TRANSITORIA UTILIZANDO LAPLACE TRANSFORM

La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil que se utiliza para determinar la respuesta transitoria de las redes eléctricas.

El procedimiento básico en forma de pasos para encontrar la respuesta transitoria usando la transformada de Laplace se menciona a continuación:

Paso 1: escriba la ecuación diferencial del circuito en el dominio del tiempo, utilizando KVL.

Paso 2: tome la transformada de Laplace de la ecuación diferencial.

Paso 3: encontrar I(s) o V(s).

Paso 4: toma la transformada inversa de Laplace para encontrar I(t) o v(t).

Primero expresaremos los elementos del circuito en s-dominio y luego se procede a escribir la ecuación diferencial de los circuitos y se toma su transformada de Laplace.

8.2 ELEMENTOS DEL CIRCUITO EN EL s-DOMINIO

8.2.1 Resistencia en el s-dominio

Considere una resistencia R en un circuito, como se muestra en la Figura 8.1, donde la corriente y el voltaje se muestran en el dominio del tiempo como I(t) y v(t), respectivamente.

Figura 8.1 Resistencia en el dominio del tiempo

Según la ley de ohm, obtenemos la siguiente forma:

Tomando la transformada de Laplace en ambos lados, obtenemos la siguiente ecuación:

Esta ecuación muestra que el elemento de resistencia no cambia al pasar de t-dominio a s-dominio.

La s-El circuito equivalente de dominio de la Figura 8.1 se muestra en la Figura 8.2.

Figura 8.2 Resistencia en dominio s

8.2.2 Inductor en s-Dominio

Consideremos un inductor con corriente inicial I0 como se muestra en la Figura 8.3. Cuando una corriente cambiante fluye a través del inductor.

Tomando la transformada de Laplace de la ecuación, obtenemos la siguiente ecuación:

Figura 8.3 Inductor en el dominio del tiempo

Ahora, hemos asumido I(0) = I0

La ecuación (8.2) se puede implementar usando el circuito que se muestra en la Figura 8.4.

Si I0 se toma como 0, el equivalente de inductor en s-dominio será como se muestra en la Figura 8.5.

Figura 8.4 Inductor en dominio s

8.2.3 Condensador en s-Dominio

Considere un capacitor en un circuito donde el voltaje y la corriente se expresan en t-dominio, como se muestra en la Figura 8.6. Deje que el voltaje inicial en el capacitor sea v0 voltios

Figura 8.5 Inductor en dominio s bajo condición inicial cero

Ahora en t-dominio,

Figura 8.6 Condensador colocado en circuito de dominio t

Figura 8.7 Condensador en dominio s

Figura 8.8 Condensador en dominio s cuando el voltaje inicial es cero

Tomando la transformada de Laplace en ambos lados, obtenemos lo siguiente:

Esta ecuación se puede representar mediante el circuito que se muestra en la Figura 8.7.

Si el voltaje inicial del capacitor es cero, es decir, V0 = 0, entonces el circuito equivalente en el dominio s será como se muestra en la Figura 8.8.

La tabla 8.1 proporciona un resumen de la representación de los elementos del circuito en t-dominio y s-dominio.

Cuadro 8.1 Elementos del circuito

8.3 RESPUESTA DC DE R-C CIRCUITO EN SERIE

Consideremos una serie R-C circuito como se muestra en la Figura 8.9. Cuando cambia K está cerrado, la respuesta transitoria inicial estará allí. La respuesta transitoria disminuirá y existirán valores de corriente y voltaje en estado estable.

Deje que el interruptor K esté cerrado en t = 0.

Deje que el voltaje inicial del capacitor sea cero. La corriente variable en el tiempo se expresa como I(t).

Aplicando KVL, se puede obtener lo siguiente:

Figura 8.9 Circuito de la serie R-C

Tomando la transformada de Laplace en ambos lados, obtenemos lo siguiente:

Tomando la transformada inversa de Laplace, obtenemos la siguiente forma:

Esta es la respuesta transitoria requerida de la serie DC R-C circuito en el dominio del tiempo.

Ejemplo 8.1 Encuentre la respuesta actual en el dominio del tiempo I(t) del circuito que se muestra en la Figura 8.10.

Solución: Aplicando KVL, obtenemos la ecuación de la siguiente manera:

Tomando la transformada de Laplace en ambos lados, obtenemos la ecuación de la siguiente manera:

Tomando la transformada de Laplace inversa en ambos lados, se obtiene la siguiente forma:

8.4 RESPUESTA DC DE R-L CIRCUITO EN SERIE

Consideremos una serie R-L circuito como se muestra en la Figura 8.11. Deja en t = 0, cambiar s está cerrado y voltaje DC V puede ser aplicado.

Figura 8.11 Circuito de la serie R-L

Deja en t = 0, I = 0

Aplicando KVL, obtenemos la ecuación de la siguiente manera:

Tomando la transformada de Laplace de la ecuación, obtenemos la siguiente forma:

Sustituir I(0) = 0, la ecuación se escribe de la siguiente manera:

Tomando la transformada inversa de Laplace, obtenemos la siguiente forma:

Ejemplo 8.2 Una serie R-C circuito con R = 30 Ω y L = 15 H tiene un voltaje constante V = 60 V aplicados a t = 0 como se muestra en la Figura 8.12. Determinar la corriente I.

Solución: Aplicando KVL, obtenemos la ecuación de la siguiente manera:

Tomando la transformada de Laplace en ambos lados, obtenemos la ecuación de la siguiente manera:

Sustituyendo los valores de A = 2 y B = −2 en la ecuación (8.7), obtenemos lo siguiente:

Tomando la transformada inversa de Laplace se obtiene la siguiente forma:

8.5 RESPUESTA DC DE UN R-L-C CIRCUITO EN SERIE

Aplicando KVL en el circuito que se muestra en la Figura 8.13, podemos escribir la ecuación de la siguiente manera:

Figura 8.13 Circuito de la serie R-L-C

Tomando la transformada de Laplace en ambos lados, obtenemos (asumiendo que las condiciones iniciales son cero) la siguiente forma:

Tomando la transformada inversa de Laplace, la ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

Ejemplo 8.3 El circuito que se muestra en la Figura 8.14 consta de resistencia, inductancia y capacitancia en serie con una fuente constante de 100V. Cuando el interruptor se cierra en t = 0, encuentre la corriente transitoria.

Solución: Aplicando KVL, se puede obtener el siguiente formulario:

Tomando la transformada de Laplace en ambos lados, la ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

Tomando la transformada de Laplace inversa en ambos lados, se puede obtener la siguiente forma:

Usando la segunda propiedad de desplazamiento, la ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

8.6 RESPUESTA SINUSOIDAL DE R-L CIRCUITO EN SERIE

Ahora encontraremos la respuesta transitoria de los circuitos a las entradas sinusoidales.

Considera el R-L circuito que se muestra en la Figura 8.15.

Figura 8.15 Respuesta transitoria del circuito R-L a la entrada sinusoidal

Aplicando KVL, se obtiene la siguiente ecuación:

Tomando la transformada de Laplace en ambos lados, obtenemos la ecuación de la siguiente manera:

Ahora, usando las fracciones parciales, obtenemos la ecuación de la siguiente manera:

Sustituyendo los valores de A, B y C en la ecuación (8.10), obtenemos la siguiente ecuación:

Tomando la transformada de Laplace inversa de la ecuación en ambos lados, se obtienen las siguientes formas:

Sustituir , obtenemos la siguiente ecuación de la siguiente manera:

Más,

sustituyendo , obtenemos la siguiente ecuación:

Ésta es la expresión de la respuesta transitoria.

8.7 RESPUESTA SINUSOIDAL DE R-C CIRCUITO EN SERIE

Considera el R-C circuito con entrada sinusoidal como se muestra en la Figura 8.16.

Figura 8.16 Circuito de la serie R-C con entrada sinusoidal

Aplicando KVL, obtenemos el siguiente formulario:

Tomando la transformada de Laplace en ambos lados, la ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

En primer lugar, encontremos los valores de A, B y C

Ahora, sustituyendo los valores de A, B y C en la ecuación (8.12), se puede obtener la siguiente forma:

Tomando la transformada de Laplace inversa en ambos lados, se puede obtener la siguiente ecuación:

Podemos escribir la siguiente ecuación de la siguiente manera:

Sustituir , obtenemos la ecuación de la siguiente manera:

La ecuación es la respuesta transitoria de R-C circuito en serie a entrada sinusoidal.

Ejemplo 8.4 Encuentre la corriente a través del resistor y el capacitor usando la transformada de Laplace para el circuito que se muestra en la figura 8.17. El interruptor se cierra en t = 0 y el cambio inicial en el condensador es cero.

Solución: Aplicando KVL al circuito dado, se puede obtener la siguiente ecuación:

Tomando la transformada de Laplace en ambos lados, obtenemos la ecuación de la siguiente manera:

Tomando la transformada inversa de Laplace, la ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

Ejemplo 8.5 Para el circuito dado (como se muestra en la figura 8.18), encuentre la solución completa para la corriente I(t) utilizando la transformación de Laplace. Suponga carga cero en el condensador antes de cambiar.

Solución: Al aplicar KVL, la ecuación se escribe de la siguiente manera:

Tomando la transformada de Laplace en ambos lados, se puede obtener la siguiente forma:

Utilizando la fracción parcial de la ecuación, se obtiene la siguiente forma:

Encontremos los valores de A, B y C.

Al comparar ambos lados, obtenemos la siguiente ecuación:

Sustituyendo B = −A (de la ecuación (8.15)) en la ecuación (8.16), la ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

Al resolver las ecuaciones (8.15) y (8.18), obtenemos la siguiente forma:

De la ecuación (8.17), obtenemos el valor de C.

Además, de la ecuación (8.15), el valor de B se da de la siguiente manera:

Sustituyendo los valores de A, B y C en la ecuación (8.14), la ecuación se escribe de la siguiente manera:

Tomando la transformada inversa de Laplace, obtenemos la siguiente forma:

Ejemplo 8.6 En el circuito que se muestra en la Figura 8.19, el interruptor está cerrado en t = 0. Encuentra la corriente en el circuito en cualquier momento t usando la transformada de Laplace.

Solución: Aplicando KVL al circuito, obtenemos la siguiente forma:

Sustituyendo los valores, obtenemos

Tomando la transformada de Laplace en ambos lados, la ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

Usando las fracciones parciales de la ecuación, obtenemos la siguiente forma:

Sustituyendo los valores de A y B en la ecuación de I(s), obtenemos la ecuación de la siguiente manera:

Tomando la transformada inversa de Laplace, la ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

Ejemplo 8.7 En el circuito que se muestra en la Figura 8.20, cambie s está cerrado a las t = 0. Encuentre el voltaje a través del inductor en función del tiempo usando la transformada de Laplace.

Solución: Aplicando KVL al circuito, V se puede calcular de la siguiente manera:

Sustituyendo valores

Tomando la transformada de Laplace en ambos lados, obtenemos la siguiente forma:

Utilizando las fracciones parciales de las ecuaciones, se obtiene la siguiente ecuación:

Tomando la transformada de Laplace inversa, obtenemos la ecuación de la siguiente manera:

Ejemplo 8.8 En el circuito que se muestra en la figura 8.21, el inductor está inicialmente relajado. Encuentra la corriente que fluye en el circuito.

Solución: Deje que la corriente que fluye a través del circuito sea I(t).

Aplicando KVL, obtenemos el siguiente formulario:

Tomando la transformada de Laplace en ambos lados, la ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

1 = Rhode Island(s) + Ls I(s) [∴ La transformada de Laplace de la función de impulso es 1 entonces L[δ (t)] = 1.]

Tomando la transformada inversa de Laplace se obtiene la siguiente forma:

Ejemplo 8.9 Para el circuito como se muestra en la Figura 8.22, sea t = 0, I = 2 A.

Encuentra una expresión para I(t) por t & gt 0 utilizando el método de transformación de Laplace.

Solución: Aplicando KVL al circuito, obtenemos la siguiente forma:

Tomando la transformada de Laplace en ambos lados, la ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

Tomando la transformada de Laplace inversa, obtenemos la ecuación de la siguiente manera:

Ejemplo 8.10 En el circuito que se muestra en la Figura 8.23, cambie s está cerrado a las t = 0. Encuentre el voltaje a través de la inductancia en t & gt 0, utilizando análisis de dominio s.

Solución: El circuito se muestra en la Figura 8.24.

La s-El circuito equivalente de dominio del circuito será como se muestra en la Figura 8.25.

Ahora, la impedancia del punto de conducción de las redes dadas es la siguiente:

Ahora, la corriente se puede calcular de la siguiente manera:

Por la fórmula del divisor actual, obtenemos la siguiente forma:

Sustituyendo el valor de I(s) de la ecuación (8.19), se puede obtener lo siguiente:

Tomando la transformada de Laplace inversa, la ecuación se escribe de la siguiente manera:

Ejemplo 8.11 Para la red que se muestra en la Figura 8.26, la posición inicial del conmutador (s) es "1". Después del estado estable, si la posición del interruptor se cambia a "2", la corriente de búsqueda I(t) por t ≥ 0 utilizando la técnica de la transformada de Laplace.

Caso I: cuando la posición del interruptor 's"Es 1

Aplicando KVL, obtenemos la ecuación de la siguiente manera:

Tomando la transformada de Laplace en ambos lados, la ecuación se escribe de la siguiente manera:

Usando la fracción parcial de la ecuación, obtenemos la ecuación de la siguiente manera:

Sustituyendo los valores de A y B, se obtiene el siguiente formulario:

Tomando la transformada inversa de Laplace, obtenemos la siguiente forma:

Ahora, esta corriente de estado estable actuará como la corriente inicial para el caso II.

Caso II: cuando la posición del interruptor se cambia a la posición 2.

Ahora, aplicando KVL al circuito (como se muestra en la Figura 8.27), obtenemos la siguiente forma:

Tomando la transformada de Laplace en ambos lados, la ecuación se escribe de la siguiente manera:

Sustituir , obtenemos el siguiente formulario:

Tomando la transformada inversa de Laplace se obtiene la siguiente forma:

es la expresión final para I(t)

Ejemplo 8.12 En el circuito que se muestra en la Figura 8.28, en t = 0 +, el voltaje a través de la bobina es 120V. Encuentra el valor de la resistencia R utilizando la transformada de Laplace.

Caso I: inicialmente, el interruptor está en la posición 1, y al aplicar KVL, obtenemos la siguiente forma:

Aplicando la transformada de Laplace, la ecuación se escribe de la siguiente manera:

Tomando la transformada inversa de Laplace, la ecuación se da como sigue:

Esta corriente actuará como corriente inicial para el caso II.

Caso II: cuando el interruptor está en la posición 2, t = 0 +. Al aplicar KVL, obtenemos el siguiente formulario:

Tomando la transformada de Laplace, la ecuación se escribe de la siguiente manera:

Tomando la transformada inversa de Laplace, obtenemos la siguiente forma:

Sustituyendo los valores, R se puede calcular de la siguiente manera:

Por lo tanto, R = −120 Ω (tomando magnitud), R = 120 Ω.

Ejemplo 8.13 Una serie R-L circuito que se muestra en la figura 8.29 experimenta un voltaje exponencial v = 10mi −100t después de cerrar el interruptor en t = 0. Suponga que R = 1 Ω y L = 0.1 H. Encuentre la expresión de la corriente usando la transformada de Laplace.

Solución: Aplicando KVL, obtenemos la ecuación de la siguiente manera:

Tomando la transformada de Laplace en ambos lados, obtenemos la siguiente forma:

Usando las fracciones parciales de la ecuación, la ecuación se obtiene de la siguiente manera:

Tomando la transformada inversa de Laplace, obtenemos la siguiente forma:

Ejemplo 8.14 Se aplica un voltaje escalonado de 10 V a t = 0 en una serie R-C circuito (como se muestra en la Figura 8.30) cuando R = 1 Ω y C = 2F. La carga inicial del condensador es cero. Encontrar I(t) utilizando la transformada de Laplace.

Solución: Aplicando KVL, obtenemos el siguiente formulario:

Tomando la transformada de Laplace en ambos lados, se obtiene la siguiente ecuación:

Tomando la transformada inversa de Laplace, la ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

Ejemplo 8.15 Para un circuito dado que se muestra en la figura 8.31, encuentre la corriente que fluye en el circuito usando el método de ecuación diferencial y el método de la transformada de Laplace.

(a) Mediante el método de ecuación diferencial y aplicando KVL al circuito dado, obtenemos la siguiente forma:

Comparándolo con la ecuación de Leibnitz , se obtiene el siguiente formulario:

Por tanto, la solución requerida será la siguiente:

Aplicando la condición inicial, es decir, en t = 0 y I = 0, obtenemos la siguiente forma:

Sustituyendo C = −20, I se calcula de la siguiente manera:

(b) Usando el método de la transformada de Laplace y aplicando KVL, obtenemos la ecuación como se muestra a continuación:

Tomando la transformada de Laplace, obtenemos la siguiente forma:

Sustituyendo I(0) = 0, la ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

Tomando la transformada inversa de Laplace, la ecuación es la siguiente:

Ejemplo 8.16 Para un circuito dado que se muestra en la figura 8.32, encuentre la corriente que fluye a través del circuito usando el método de ecuación diferencial y el método de la transformada de Laplace.

Solución: Por el método de ecuación diferencial y aplicando KVL al circuito dado, obtenemos la siguiente forma:

Diferenciar ambos lados con respecto a t, la ecuación es la siguiente:

Por lo tanto, obtenemos 20 = ce 0 o C = 20 y I = 20 mi −500000t A

Por el método de la transformada de Laplace y aplicando KVL, obtenemos la siguiente forma:

Tomando la transformada de Laplace, la ecuación se escribe de la siguiente manera:

Tomando la transformada inversa de Laplace, obtenemos la siguiente forma:

Ejemplo 8.17 Determine la corriente en el circuito que se indica a continuación en t ≥ 0. La corriente inicial I(0) = 1.

Solución: Dado en t = 0 y I(0) = 1

Aplicando KVL, obtenemos la siguiente ecuación para el circuito dado.

Tomando la transformada de Laplace, obtenemos la ecuación de la siguiente manera:

Sustituyendo los valores, obtenemos la siguiente ecuación:

Usando una fracción parcial de la ecuación, obtenemos lo siguiente:

Tomando la transformada inversa de Laplace, obtenemos lo siguiente:

Ejemplo 8.18 En el circuito paralelo que se muestra, calcule las corrientes de derivación.

Solución: La impedancia equivalente de las ramas paralelas,

Sea el voltaje a través de las ramas paralelas VAB.

Usando una fracción parcial, obtenemos la siguiente ecuación:

Tomando la transformada inversa de Laplace, obtenemos lo siguiente:

Tomando la transformada inversa de Laplace, obtenemos lo siguiente:

1. Usando el método de la transformada de Laplace, encuentre la corriente que fluye en el siguiente circuito (I(0) = 0)

[Resp. 20(1 −mi −0.25t )A]

2. A coil has resistance of 1 Ω and an inductance of 1 H. When it is connected to 6V DC voltage source, calculate initial and final values of current using Laplace transform method.

[Ans. I(0) = 0 A, I(∞) = 6 A]

3. The field winding of a DC motor has 80Ω resistance and 12 H inductance. It is connected to a 240V DC source. A t = 0, the supply is disconnected and a field discharge resistance of 80Ω is connected across the field winding. Find the rate of change of current in the winding at t = 0 using the Laplace transform method.

4. A circuit has resistance of 1000Ω and capacitance of 0.1 μF. A t = 0, it is connected to a 12V battery. Find the current at t = 0, using the Laplace transform method.

5. For the following circuit, find the current flowing through circuit, voltage across resistor and capacitor using the Laplace transform method. Switch is closed at t = 0.

[Ans. 20 × 10 −6 mit/100A VR = 100 mit/100V VC = 100 (1 − mit/100 )V.]

6. Find the transient current for the following circuit when switch s is closed, using the Laplace transform method.

[Ans. 6[mi −0.5tmi −4.5t ]]

7. Find the expression for current if the switch is closed at t = 0, using Laplace transform method.

[Ans. 1.2 −250t + 1.34 sin (500t − 63.4°) A]

8. Determine the current I por t ≥ 0 if VC (0) = 4V for the circuit shown below.

[Ans. I = 4mi −2t ]

9. Determine the voltage across the resistor, v0 in the circuit shown. Assume zero initial condition.

[Ans. ]


Contenido

An integral formula for the inverse Laplace transform, called the Mellin's inverse formula, the Bromwich integral, or the Fourier–Mellin integral, is given by the line integral:

where the integration is done along the vertical line Re(s) = γ in the complex plane such that γ is greater than the real part of all singularities of F(s) y F(s) is bounded on the line, for example if contour path is in the region of convergence. If all singularities are in the left half-plane, or F(s) is an entire function , then γ can be set to zero and the above inverse integral formula becomes identical to the inverse Fourier transform.

In practice, computing the complex integral can be done by using the Cauchy residue theorem.

Post's inversion formula for Laplace transforms, named after Emil Post, [3] is a simple-looking but usually impractical formula for evaluating an inverse Laplace transform.

The statement of the formula is as follows: Let F(t) be a continuous function on the interval [0, ∞) of exponential order, i.e.

for some real number B. Then for all s & gt B, the Laplace transform for F(t) exists and is infinitely differentiable with respect to s. Furthermore, if F(s) is the Laplace transform of F(t), then the inverse Laplace transform of F(s) is given by

por t > 0, where F (k) es el k-th derivative of F with respect to s.

As can be seen from the formula, the need to evaluate derivatives of arbitrarily high orders renders this formula impractical for most purposes.

With the advent of powerful personal computers, the main efforts to use this formula have come from dealing with approximations or asymptotic analysis of the Inverse Laplace transform, using the Grunwald–Letnikov differintegral to evaluate the derivatives.

Post's inversion has attracted interest due to the improvement in computational science and the fact that it is not necessary to know where the poles of F(s) lie, which make it possible to calculate the asymptotic behaviour for big X using inverse Mellin transforms for several arithmetical functions related to the Riemann hypothesis.

    performs symbolic inverse transforms in Mathematica in Mathematica gives numerical solutions [4] performs symbolic inverse transforms in MATLAB in Matlab
  1. ^ Cohen, A. M. (2007). "Inversion Formulae and Practical Results". Numerical Methods for Laplace Transform Inversion. Numerical Methods and Algorithms. 5. pag. 23. doi:10.1007/978-0-387-68855-8_2. ISBN978-0-387-28261-9 .
  2. ^
  3. Lerch, M. (1903). "Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel". Acta Mathematica. 27: 339. doi: 10.1007/BF02421315 .
  4. ^
  5. Post, Emil L. (1930). "Generalized differentiation". Transactions of the American Mathematical Society. 32 (4): 723–723. doi: 10.1090/S0002-9947-1930-1501560-X . ISSN0002-9947.
  6. ^
  7. Abate, J. Valkó, P. P. (2004). "Multi-precision Laplace transform inversion". International Journal for Numerical Methods in Engineering. 60 (5): 979. doi:10.1002/nme.995.
  • Davies, B. J. (2002), Integral transforms and their applications (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN978-0-387-95314-4
  • Manzhirov, A. V. Polyanin, Andrei D. (1998), Handbook of integral equations, London: CRC Press, ISBN978-0-8493-2876-3
  • Boas, Mary (1983), Mathematical Methods in the physical sciences , John Wiley & Sons, p. 662, ISBN0-471-04409-1 (p. 662 or search Index for "Bromwich Integral", a nice explanation showing the connection to the Fourier transform)
  • Widder, D. V. (1946), The Laplace Transform, Princeton University Press . Bryan, Kurt. Accessed June 14, 2006.

This article incorporates material from Mellin's inverse formula on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.


1. Laplace transformation-Conditions and existence

Definitions 1. Transformation

A “Transformation” is an operation which converts a mathematical expression to a different but equivalent form

Let a function f(t) be continuous and defined for positive values of ‘t’. The Laplace transformation of f(t) associates a function s defined by the equation (ma8251 notes engineering mathematics 2 unit 5)

2. Transforms of Elementary functions-Basic Properties

2.1 Problems Based On Transforms Of Elementary Functions- Basic Properties

3. Transforms Of Derivatives And Integrals Of Functions

3.1 Transform of integrals

3.2 Derivatives of transform

3.3 Problems Based On Derivatives Of Transform (ma8251 notes engineering mathematics 2 unit 5)

4 Transforms Of Unit Step Function And Impulse Function

4.1 Problems Based On Unit Step Function (Or) Heaviside’s Unit Step Function

Define the unit step function. Solution: The unit step function, also called Heaviside’s unit function (ma8251 notes engineering mathematics 2 unit 5)

5 Transform Of Periodic Functions Definition:

(Periodic) A function f(x) is said to be “periodic” if and only if f(x+p) = f(x) is true for some value of p and every value of x. The smallest positive value of p for which this equation is true for every value of x will be called the period of the function.

6 Inverse Laplace Transform

a.If L[f(t)] = F(s), then L–1[F(s)] = f(t) where L–1 is called the inverse Laplace transform operator. b.If F1(s) and F2(s) are L.T. of f(t) and g(t) respectively then

7. Convolution theorem (ma8251 notes engineering mathematics 2 unit 5)

8. Initial and final value theorems

9. Solution of linear ODE of Second Order with constant coefficients (ma8251 notes engineering mathematics 2 unit 5)

Subject name ENGINEERING MATHEMATICS 2
Regulation 2017 Regulation

MA8251 Notes Engineering Mathematics 2 Unit 5 Click here to Download


Inverse Laplace Transforms: ay"+by′+cy=0, y(0)=0, y′(0)=0 Y(s) = Theta(s)*F(s)

. dónde a, B, C son constantes y F (t ) is a known function. We can view this problem as defining a linear system, where F (t ) is the known input and the corresponding solution y (t ) is the output. Laplace transforms of the input and output functions satisfy the multiplicative relation:

. where (displaystyle Theta(s), =, dfrac<1>) is the system transfer function.

Suppose an input F (t ) = 8t, when applied to the linear system above, produces the output:

una. Find (displaystyle Y(s), =, mathcal) and (displaystyle F(s),=, mathcal).

B. Use your answer to part (a) to find the system transfer function, (displaystyle Theta(s).)

C. The Laplace transform of the solutions is:

D. By completing the square in the denominator, we see that this is the Laplace transform of:

F. Therefore, the solution is y=:


For the second question, i got Y(s) equals (39s+126)/(s^2(s+3)^2) but it says its wrong. The first one i got the answers except i dont know what rule they are referring too. Any help would be greatly appreciated.

HallsofIvy

Miembro Elite

The Laplace transform of function f(t) is defined as (displaystyle F(s)= int_0^infty e^<-st>f(t)dt). You are given that the "input function", f(t), is 8t. So its Laplace transform is (displaystyle F(s)= 8int_0^infty e^<-st>t dt). Using "integration by parts" with (displaystyle u= t), (displaystyle dv= 8e^<-st>), (displaystyle du= dt), (displaystyle v= -frac<8>e^<-st>dt) so the integral becomes (displaystyle left[-frac<8>te^<-st> ight]_0^infty+ frac<8>int e^<-st>dt). The first term is 0 at both 0 and infinity and the second term is (displaystyle -frac<8>left[e^<-st> ight]_0^infty). The exponential is 0 at infinity and 1 at t= 0 so that is (displaystyle frac<8>). Is that what you got?

You are told that the "output function, y(t), (displaystyle 5(e^<-3t>- 1)+ t(e^<-3t>+ 14)) so that the Laplace transform, Y(s), is (displaystyle int_0^infty 5e^<-3t- st>- 5e^<-st>+ te^<-3t- st>+ 14te^<-st>dt). We can do those "one at a time": (displaystyle 5int_0^infty e^dt- 5int_0^infty e^<-st>dt+ int_0^infty te^dt+ 14int_0^infty te^<-st>dt).

(displaystyle 5int_0^infty e^dt= 5left[frac<-1>e ^ ight]_0^infty= frac<-5>).
(displaystyle -5int_0^infty e^<-st>dt= -5left[frac<-1>e^<-st> ight]_0^infty= -frac<5>)

To do the last two, which have a "t" multiplied in, use integration by parts, the first with (displaystyle u= t), (displaystyle dv= e^dt), the second with (displaystyle u= t), (displaystyle dv= e^<-st>dt).

As for the last part of the problem, you are told that (displaystyle Y(s)= Theta(s)F(s)) so, of course, the "transfer function", (displaystyle Theta(s)), is given by (displaystyle Theta(s)= frac).

HallsofIvy

Miembro Elite

The usefulness of Laplace Transforms in solving differential equations lies in the fact that the Laplace transform of a derivative of f(t) is an algebraic formula in F(s): (displaystyle L(df/dt)= F(s)- f(0)). Applying that again, (displaystyle L(d^2f/dt^2)= s^2F(s)- sf(0)- f'(0)).

In problem 2, we are given the differential equation (displaystyle frac+ 16frac

+ 80y) with initial condition y(0)= 0, y'(0)= 6. By the formulas above, taking the Laplace transform of that equation gives (displaystyle s^2 F(s)- 6+ 16sF(s)+ 80F(s)= (s^2+ 16s+ 80)F(s)- 6= 0). So (displaystyle F(s)= frac<6>). To find the "y(t)" corresponding to that we need to use a "table of Laplace transforms" and to do that, typically, we need to expand F(s) in "partial fractions". So we need to reduce the denominator. "Completing the square", (displaystyle s^2+ 16s+ 80= s^2+ 16s+ 64+ 16= (s+ 8)^2+ 4^2).

HallsofIvy

Miembro Elite

Frankly, I have never liked the "Laplace Transform Method". I have never seen a differential equation that could not be done, more simply, by easier methods. They might be useful for non-homogeneous linear equations but the only functions that can reasonably be done by Laplace Transform can typically be done with easier methods. In my opinion, the only reason "Laplace Transform Methods" are taught at all is to give engineers the feeling that they can solve such problems by "plugging into a formula and grinding"!

This problem, (displaystyle y''+ 16y'+ 80y= 0), with initial conditions y(0)= 0, y'(0)= 6 is a case in point. Its "characteristic equation" is simply (displaystyle r^2+ 16r+ 80= 0) which can be solved by "completing the square" as before: (displaystyle r^2+ 16r+ 64+ 16= (r+ 8)^2+ 16= 0). That is the same as (displaystyle (r+ 8)^2= -16) so that (displaystyle r+ 8= pm 4), (displaystyle r= -8pm 4). That tells us that the general solution to this differential equation is (displaystyle y(t)= e^<-8t>(A cos(4t)+ B sin(4t)). From that, (displaystyle y'(t)= -8e^<-8t>(A cos(4t)+ B sin(4t))+ e^<-8t>(-4A sin(4t)+ 4B cos(4t))= -8e^<8t>((A+ 4B)cos(t)+ (B- 4A)sin(t)).

The initial conditions are (displaystyle y(0)= A= 0) and (displaystyle y'(0)= -8(A+ 4B)= 6). Since A= 0, -32B= 6 so B= -6/32= -3/16. The solution to this "initial value problem" is (displaystyle y(t)= -frac<3><16>e^<-8t>sin(4t)).

(That is NOT exactly what I got before but I would be willing to bet I made an arithmetic error doing the Laplace Transform Method!)


13th International Symposium on Process Systems Engineering (PSE 2018)

3 Results and discussion

In Eq. (3) , variables y y z can be expressed by X, then the Laplace-Borel transform is:

Then an expanded solution is assumed in the form of

By exploiting Eq. (13) , performing an inverse Laplace transform , and setting x(0), x’(0), x”(0) to 0.1, the terms that define the time domain analytical solution can be obtained as,

After evaluating the 2 nd term in the frequency domain by 0 th and 1 st terms, it is found that the 2 nd term cannot be computationally transformed back into time domain completely. The inverses in the time domain are omitted due to the page limitations. In time domain, the 0 th term and most parts of the 1 st term consist of conjugate pairs and convergent exponential terms, which exhibit an amplitude increasing oscillation over time, indicating that the oscillation of the state point starts with an amplitude increasing vibration, which can be regarded as the superposition of a series of periodic motions in 3D phase space with gradually increasing linear velocities. Thus, the amplitude increasing oscillation can be assumed to be an instability process, which is accompanied by the onset of chaos. Fig. 3 exhibits that the 1 st term contains a diverging exponential term, which leads to a symmetry breaking in the system, which is also an instability factor.

Fig. 3 . 0 th term and sum of 0 th and 1 st terms.

It can be seen in Fig. 4 that the green line, representing the sum of 0 th and the 1 st terms, is closer to the purple line, representing the numerical method simulation, than the blue line, representing the 0 th term. The red line represents the sum of 0 th , 1 st and part of 2 nd term, so the green line still approximates the process better than the red line because of incomplete solution of the 2 nd term in the time domain.

Fig. 4 . Numerical and analytical methods.

Lyapunov exponents depict the degree that deterministic systems are affected by fluctuations in initial values. It can be seen from Fig. 5 that Lyapunov exponent of dimension X is positive, indicating that a slight fluctuation in initial value expands exponentially over time and the trajectory after a long time cannot be accurately predicted, which is a feature of chaos. To obtain the correlation dimension of this system, the phase space is first reconstructed based on the time sequence of a variable, which requires selecting the embedded dimension D and the delay time τ by seeking one point where curve is saturated in Fig. 6 and the other point at first valley of curve in Fig. 7 , in this case, D = 6 y τ = 176, then the slope of linear part of the double logarithmic curve of the correlation integral C and the radius parameter ε are calculated, whose fitting result in Fig. 8 shows that the system correlation dimension is 1.61, indicating that the system generates chaos for the dimension of this deterministic system being non-integer, which is also a feature of chaos.


8.2: The Inverse Laplace Transform

My name is Jafar. In a part of my research I need to use DE HOOG inverse Laplace transform algorithm in Python.

I found a code from this link:

I am confused about how this code works as I am not an expert in python.
For example I do not know how I can define my function in Laplace domain in this code.


Lets say I need to find the inverse Laplace transform of the below function at t=1:

The inverse Laplace transform of F(s) is : e^(t)

At t=1 the result is expected to be = e

This code starts with :

This is the code with its documentation:

The thing is I have to define my function in the Laplace domain somewhere in this code. Por ejemplo:

I don't know how I can define F(s) and extract the results for example at t=1.
Thanks in advance for your help.


when pasting, use [control] + [shift] + 'v'

yes, really don't need to see

600 lines of comments. Please post the entire Traceback error as well.

Thanks for your responses.
I do not know how familiar you are with Laplace inverse transform. First of all we need to define a function in Laplace domain like:

I have seen a lot of other python codes (based on other algorithms) and in all of them there is a certain part for defining the F(s). Por ejemplo:

But there is no part in this code that the user can define the F(s). That is why I can not even run this code. (How am I supposed to get a error when I cant run the code?!).
Could you please take a closer look at this code and figure out how we can get it to work? Thanks again for your time.


8.2: The Inverse Laplace Transform

>endstream endobj 1 0 obj > stream =G=Fk8TWWU(BBAi7L_kE%b U=X:FKI&9C2SDUF>H/Tg99s[[email protected]+k $c,.0' Tm6.W>=rZ%$7M',Kf*^T4EJ/nc+egl%[@f_dJ1N/cE3,QFjI?&Mtd.0prE)+S8*DnS+7dRSL gDR=AK:*'HAn%)*3EBAs9fT=[Paf=sV[ZfH?-j,//J`r(6)S9kq#_h3*UYdg7')r

87I,`p:b*S?`79t/#EDQLCkc_t/o >V.[46kLoXS-o28uVbFF8g.&Yn8OulXP E#?c1"%ss-)4q,b7IYO.k=%0+B`=4KNt%/`Vio'g*..%g9b[WVHhZ7XMY&XG$9mU 96 (NcJLo?`3%Y^u,$G]*Mlb0H1ma*++[XISV9A7C3rI6csBIdA3nMM LEd*g'D[faRbf!X:F()[email protected]*.*,,(57/s+fc%_o!">VcaSU7Yc2GFaRBL,K.pF#>`8U!IpKZV`] IM`'+_/S3Q4WPM9cOBu`5KQg%DuenTh6[h"BMPB-.^XN=Gh,VCpru6SXj)MJei$g `,$6SPZ5CnHO=I#(j",-pL[=J1SN?gCHZk T(bD2U6k8HokX:.d+X- T/3/VkW RBjo4'6CE54G^ q6 9']*#(5D5]7%-?f)=lKm>H0l&G!bGH6Vk:_mWepU5^*tq9l35"X=+)?lU/[email protected]%YE%E'D%QY 6juAt-(0jXP4KoUF_0b-/=QB$FZMFP:NYmU*OUa2uB`1a$q3oB/X(,d8&?FB>@]pb=WXho ahAm10(Q'N^$9M4PSdM9*9[&]tsM.bju"Z74I6`AGlnL-ZJ-m[J"Oo4YEX?I>M"%%HnHEj?GjA (JK=piFnhR5/Co4V"#Pu,naoZ9L4LAIcohjiC##uaM&CrVA h#AjRAb6CAo[:].6s>u'YA,DN=-S.$3(O2Jq.DT[mlI+>k= >ac+PdXuF0_'SGUK(5p Ne$1YOIrLPduIesf'&2?L^6:U)85,Q'/U*%)N(OV3mkk*(*le5"88(DpWg'f84V*n0A2S8J b'Gc* (]8m)4p[22(_Rd=/#bTqY[l:iQR?o7lVA8_J5J(QBP963%P6SZHjN# FlNWr.0)FjPG4T&LDRloN3=.jKH!J4!!BPHBe>!,%N,C'Du_)YPSNAFTAoEkC*Eli=/Fk'[email protected]* *1jh&]$WXV Qc06QZM'kYJ_ooKeTI

LTI System Characteristics

Stability

We saw that a condition for bounded-input bounded-output stability was:

Let's look at stability from a system function standpoint. Given a Laplace Transform H(s), we expand H(s) with Partial Fraction Expansion:

The corresponding impulse response is:

What happens to h(t) as t &rarr &infin? For a system to be stable, its impulse response must not blow up as t &rarr &infin.

Si Re<pagI>, , luego h(t) decays to 0 as t &rarr &infin and the system is stable

Therefore, the system is BIBO stable if and only if all poles of H(s) are in the left half plane of the s-plane.

If you study CONTROL THEORY, you will learn more about this. Using feedback , you can build systems to steer the poles into the left half plane and thus stabilize the system. Here is an example of such a system.

    You are given a system with impulse response

h(t) = e t u(t)

Invertibility

You can find the inverse of a system using Laplace Transforms. This is because:


Ver el vídeo: Transformada inversa de Laplace -- Aspectos teóricos (Noviembre 2021).