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7.6: Ejercicios de repaso del capítulo 5


Ejercicios de repaso del capítulo

Sumar y restar polinomios

Determinar el grado de polinomios

En los siguientes ejercicios, determine el tipo de polinomio.

1. (16x ^ 2−40x − 25 )

2. (5m + 9 )

Respuesta

binomio

3. (−15)

4. (y ^ 2 + 6y ^ 3 + 9y ^ 4 )

Respuesta

otro polinomio

Sumar y restar polinomios

En los siguientes ejercicios, sume o reste los polinomios.

5. (4p + 11p )

6. (- 8y ^ 3−5y ^ 3 )

Respuesta

(- 13y ^ 3 )

7. ((4a ^ 2 + 9a − 11) + (6a ^ 2−5a + 10) )

8. ((8m ^ 2 + 12m − 5) - (2m ^ 2−7m − 1) )

Respuesta

(6m ^ 2 + 19m − 4 )

9. ((y ^ 2−3y + 12) + (5y ^ 2−9) )

10. ((5u ^ 2 + 8u) - (4u − 7) )

Respuesta

(5u ^ 2 + 4u + 7 )

11. Calcula la suma de (8q ^ 3−27 ) y (q ^ 2 + 6q − 2 ).

12. Calcula la diferencia de (x ^ 2 + 6x + 8 ) y (x ^ 2−8x + 15 ).

Respuesta

(2x ^ 2−2x + 23 )

En los siguientes ejercicios, simplifique.

13. (17mn ^ 2 - (- 9mn ^ 2) + 3mn ^ 2 )

14. (18a − 7b − 21a )

Respuesta

(- 7b − 3a )

15. (2pq ^ 2−5p − 3q ^ 2 )

16. ((6a ^ 2 + 7) + (2a ^ 2−5a − 9) )

Respuesta

(8a ^ 2−5a − 2 )

17. ((3p ^ 2−4p − 9) + (5p ^ 2 + 14) )

18. ((7m ^ 2−2m − 5) - (4m ^ 2 + m − 8) )

Respuesta

(- 3m + 3 )

19. ((7b ^ 2−4b + 3) - (8b ^ 2−5b − 7) )

20. Restar ((8y ^ 2 − y + 9) ) de ((11y ^ 2−9y − 5) )

Respuesta

(3y ^ 2−8y − 14 )

21. Encuentra la diferencia de ((z ^ 2−4z − 12) ) y ((3z ^ 2 + 2z − 11) )

22. ((x ^ 3 − x ^ 2y) - (4xy ^ 2 − y ^ 3) + (3x ^ 2y − xy ^ 2) )

Respuesta

(x ^ 3 + 2x ^ 2y − 4xy ^ 2 )

23. ((x ^ 3−2x ^ 2y) - (xy ^ 2−3y ^ 3) - (x ^ 2y − 4xy ^ 2) )

Evaluar una función polinomial para un valor dado de la variable

En los siguientes ejercicios, encuentre los valores de función para cada función polinomial.

24. Para la función (f (x) = 7x ^ 2−3x + 5 ) encuentra:
una. (f (5) ) b. (f (−2) ) c. (f (0) )

Respuesta

una. 165 b. 39 c. 5

25. Para la función (g (x) = 15−16x ^ 2 ), encuentre:
una. (g (−1) ) b. (g (0) ) c. (g (2) )

26. Se deja caer un par de anteojos desde un puente a 640 pies sobre un río. La función polinomial (h (t) = - 16t ^ 2 + 640 ) da la altura de los vasos t segundos después de que se cayeran. Calcula la altura de los vasos cuando (t = 6 ).

Respuesta

La altura es de 64 pies.

27. Un fabricante de los últimos zapatos de fútbol descubrió que los ingresos obtenidos por la venta de los zapatos a un costo de (p ) dólares cada uno está dado por el polinomio (R (p) = - 5p ^ 2 + 360p ) . Encuentre los ingresos recibidos cuando (p = 110 ) dólares.

Sumar y restar funciones polinomiales

En los siguientes ejercicios, busque a. ((f + g) (x) ) b. ((f + g) (3) ) c. ((f - g) (x ) d. ((f - g) (- 2) )

28. (f (x) = 2x ^ 2−4x − 7 ) y (g (x) = 2x ^ 2 − x + 5 )

Respuesta

una. ((f + g) (x) = 4x ^ 2−5x − 2 )
B. ((f + g) (3) = 19 )
C. ((f − g) (x) = - 3x − 12 )
D. ((f − g) (- 2) = - 6 )

29. (f (x) = 4x ^ 3−3x ^ 2 + x − 1 ) y (g (x) = 8x ^ 3−1 )

Propiedades de los exponentes y notación científica

Simplificar expresiones usando las propiedades de los exponentes

En los siguientes ejercicios, simplifica cada expresión usando las propiedades de los exponentes.

30. (p ^ 3 · p ^ {10} )

Respuesta

(p ^ {13} )

31. (2·2^6)

32. (a · a ^ 2 · a ^ 3 )

Respuesta

(a ^ 6 )

33. (x · x ^ 8 )

34. (y ^ a · y ^ b )

Respuesta

(y ^ {a + b} )

35. ( dfrac {2 ^ 8} {2 ^ 2} )

36. ( dfrac {a ^ 6} {a} )

Respuesta

(a ^ 5 )

37. ( dfrac {n ^ 3} {n ^ {12}} )

38. ( dfrac {1} {x ^ 5} )

Respuesta

( dfrac {1} {x ^ 4} )

39. (3^0)

41. ((14t) ^ 0 )

42. (12a ^ 0−15b ^ 0 )

Respuesta

(−3)

Utilice la definición de un exponente negativo

En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión.

43. (6^{−2})

44. ((−10)^{−3})

Respuesta

(- dfrac {1} {1000} )

45. (5·2^{−4})

46. ​​ ((8n) ^ {- 1} )

Respuesta

( dfrac {1} {8n} )

47. (y ^ {- 5} )

48. (10^{−3})

Respuesta

( dfrac {1} {1000} )

49. ( dfrac {1} {a ^ {- 4}} )

50. ( dfrac {1} {6 ^ {- 2}} )

Respuesta

(36)

51. (−5^{−3})

52. ( left (- dfrac {1} {5} right) ^ {- 3} )

Respuesta

(- dfrac {1} {25} )

53. (−(12)^{−3})

54. ((−5)^{−3})

Respuesta

(- dfrac {1} {125} )

55. ( left ( dfrac {5} {9} right) ^ {- 2} )

56. ( left (- dfrac {3} {x} right) ^ {- 3} )

Respuesta

( dfrac {x ^ 3} {27} )

En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión usando la propiedad del producto.

57. ((y ^ 4) ^ 3 )

58. ((3^2)^5)

Respuesta

(3^{10})

59. ((a ^ {10}) ^ y )

60. (x ^ {- 3} · x ^ 9 )

Respuesta

(x ^ 5 )

61. (r ^ {- 5} · r ^ {- 4} )

62. ((uv ^ {- 3}) (u ^ {- 4} v ^ {- 2}) )

Respuesta

( dfrac {1} {u ^ 3v ^ 5} )

63. ((m ^ 5) ^ {- 1} )

64. (p ^ 5 · p ^ {- 2} · p ^ {- 4} )

Respuesta

( dfrac {1} {m ^ 5} )

En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión usando la propiedad de potencia.

65. ((k − 2) ^ {- 3} )

66. ( dfrac {q ^ 4} {q ^ {20}} )

Respuesta

( dfrac {1} {q ^ {16}} )

67. ( dfrac {b ^ 8} {b ^ {- 2}} )

68. ( dfrac {n ^ {- 3}} {n ^ {- 5}} )

Respuesta

(n ^ 2 )

En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión usando la propiedad Producto a potencia.

69. ((- 5ab) ^ 3 )

70. ((- 4pq) ^ 0 )

Respuesta

(1)

71. ((- 6x ^ 3) ^ {- 2} )

72. ((3y ^ {- 4}) ^ 2 )

Respuesta

( dfrac {9} {y ^ 8} )

En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión usando la propiedad del cociente a una potencia.

73. ( left ( dfrac {3} {5x} right) ^ {- 2} )

74. ( left ( dfrac {3xy ^ 2} {z} right) ^ 4 )

Respuesta

( dfrac {81x ^ 4y ^ 8} {z ^ 4} )

75. ((4p − 3q ^ 2) ^ 2 )

En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión aplicando varias propiedades.

76. ((x ^ 2y) ^ 2 (3xy ^ 5) ^ 3 )

Respuesta

(27x ^ 7y ^ {17} )

77. ((- 3a ^ {- 2}) ^ 4 (2a ^ 4) ^ 2 (−6a ^ 2) ^ 3 )

78. ( left ( dfrac {3xy ^ 3} {4x ^ 4y ^ {- 2}} right) ^ 2 left ( dfrac {6xy ^ 4} {8x ^ 3y ^ {- 2}} derecha) ^ {- 1} )

Respuesta

( dfrac {3y ^ 4} {4x ^ 4} )

En los siguientes ejercicios, escribe cada número en notación científica.

79. (2.568)

80. (5,300,000)

Respuesta

(5.3×10^6)

81. (0.00814)

En los siguientes ejercicios, convierta cada número a forma decimal.

82. (2.9×10^4)

Respuesta

(29,000)

83. (3.75×10^{−1})

84. (9.413×10^{−5})

Respuesta

(0.00009413)

En los siguientes ejercicios, multiplique o divida como se indica. Escribe tu respuesta en forma decimal.

85. ((3×10^7)(2×10^{−4}))

86. ((1.5×10^{−3})(4.8×10^{−1}))

Respuesta

(0.00072)

87. ( dfrac {6 × 10 ^ 9} {2 × 10 ^ {- 1}} )

88. ( dfrac {9 × 10 ^ {- 3}} {1 × 10 ^ {- 6}} )

Respuesta

(9,000)

Multiplicar polinomios

Multiplicar monomios

En los siguientes ejercicios, multiplica los monomios.

89. ((- 6p ^ 4) (9p) )

90. ( left ( frac {1} {3} c ^ 2 right) (30c ^ 8) )

Respuesta

(10c ^ {10} )

91. ((8x ^ 2y ^ 5) (7xy ^ 6) )

92. ( left ( frac {2} {3} m ^ 3n ^ 6 right) left ( frac {1} {6} m ^ 4n ^ 4 right) )

Respuesta

( dfrac {m ^ 7n ^ {10}} {9} )

Multiplicar un polinomio por un monomio

En los siguientes ejercicios, multiplica.

93. (7 (10 − x) )

94. (a ^ 2 (a ^ 2−9a − 36) )

Respuesta

(a ^ 4−9a ^ 3−36a ^ 2 )

95. (- 5y (125y ^ 3−1) )

96. ((4n − 5) (2n ^ 3) )

Respuesta

(8n ^ 4−10n ^ 3 )

Multiplica un binomio por un binomio

En los siguientes ejercicios, multiplique los binomios usando:

una. la propiedad distributiva b. el método FOIL c. el método vertical.

97. ((a + 5) (a + 2) )

98. ((y − 4) (y + 12) )

Respuesta

(y ^ 2 + 8y − 48 )

99. ((3x + 1) (2x − 7) )

100. ((6p − 11) (3p − 10) )

Respuesta

(18p ^ 2−93p + 110 )

En los siguientes ejercicios, multiplica los binomios. Utilice cualquier método.

101. ((n + 8) (n + 1) )

102. ((k + 6) (k − 9) )

Respuesta

(k ^ 2−3k − 54 )

103. ((5u − 3) (u + 8) )

104. ((2y − 9) (5y − 7) )

Respuesta

(10y ^ 2−59y + 63 )

105. ((p + 4) (p + 7) )

106. ((x − 8) (x + 9) )

Respuesta

(x ^ 2 + x − 72 )

107. ((3c + 1) (9c − 4) )

108. ((10a − 1) (3a − 3) )

Respuesta

(30a ^ 2−33a + 3 )

Multiplicar un polinomio por un polinomio

En los siguientes ejercicios, multiplique usando a. el método vertical.

109. ((x + 1) (x ^ 2−3x − 21) )

110. ((5b − 2) (3b ^ 2 + b − 9) )

Respuesta

(15b ^ 3 − b ^ 2−47b + 18 )

En los siguientes ejercicios, multiplica. Utilice cualquiera de los métodos.

111. ((m + 6) (m ^ 2−7m − 30) )

112. ((4y − 1) (6y ^ 2−12y + 5) )

Respuesta

(24y ^ 2−54y ^ 2 + 32y − 5 )

Multiplica los productos especiales

En los siguientes ejercicios, cuadre cada binomio usando el patrón de cuadrados binomiales.

113. ((2x − y) ^ 2 )

114. ((x + dfrac {3} {4}) ^ 2 )

Respuesta

(x ^ 2 + dfrac {3} {2} x + dfrac {9} {16} )

115. ((8p ^ 3−3) ^ 2 )

116. ((5p + 7q) ^ 2 )

Respuesta

(25p ^ 2 + 70pq + 49q ^ 2 )

En los siguientes ejercicios, multiplique cada par de conjugados usando el Producto de conjugados.

117. ((3y + 5) (3y − 5) )

118. ((6x + y) (6x − y) )

Respuesta

(36x ^ 2 − y ^ 2 )

119. ((a + dfrac {2} 3b) (a− dfrac {2} {3} b) )

120. ((12x ^ 3−7y ^ 2) (12x ^ 3 + 7y ^ 2) )

Respuesta

(144x ^ 6−49y ^ 4 )

121. ((13a ^ 2−8b4) (13a ^ 2 + 8b ^ 4) )

Dividir monomios

Dividir monomios

En los siguientes ejercicios, divide los monomios.

122. (72p ^ {12} ÷ 8p ^ 3 )

Respuesta

(9p ^ 9 )

123. (- 26a ^ 8 ÷ (2a ^ 2) )

124. ( dfrac {45y ^ 6} {- 15y ^ {10}} )

Respuesta

(- 3y ^ 4 )

125. ( dfrac {−30x ^ 8} {- 36x ^ 9} )

126. ( dfrac {28a ^ 9b} {7a ^ 4b ^ 3} )

Respuesta

( dfrac {4a ^ 5} {b ^ 2} )

127. ( dfrac {11u ^ 6v ^ 3} {55u ^ 2v ^ 8} )

128. ( dfrac {(5m ^ 9n ^ 3) (8m ^ 3n ^ 2)} {(10mn ^ 4) (m ^ 2n ^ 5)} )

Respuesta

( dfrac {4m ^ 9} {n ^ 4} )

129. ( dfrac {(42r ^ 2s ^ 4) (54rs ^ 2)} {(6rs ^ 3) (9s)} )

Dividir un polinomio por un monomio

En los siguientes ejercicios, divide cada polinomio por el monomio

130. ((54y ^ 4−24y ^ 3) ÷ (−6y ^ 2) )

Respuesta

(- 9y ^ 2 + 4y )

131. ( dfrac {63x ^ 3y ^ 2−99x ^ 2y ^ 3−45x ^ 4y ^ 3} {9x ^ 2y ^ 2} )

132. ( dfrac {12x ^ 2 + 4x − 3} {- 4x} )

Respuesta

(- 3x − 1 + dfrac {3} {4x} )

Dividir polinomios usando división larga

En los siguientes ejercicios, divide cada polinomio por el binomio.

133. ((4x ^ 2−21x − 18) ÷ (x − 6) )

134. ((y ^ 2 + 2y + 18) ÷ (y + 5) )

Respuesta

(y − 3 + dfrac {33} {q + 6} )

135. ((n ^ 3−2n ^ 2−6n + 27) ÷ (n + 3) )

136. ((a ^ 3−1) ÷ (a + 1) )

Respuesta

(a ^ 2 + a + 1 )

Dividir polinomios usando división sintética

En los siguientes ejercicios, usa la división sintética para encontrar el cociente y el resto.

137. (x ^ 3−3x ^ 2−4x + 12 ) se divide por (x + 2 )

138. (2x ^ 3−11x ^ 2 + 11x + 12 ) se divide entre (x − 3 )

Respuesta

(2x ^ 2−5x − 4; espacio0 )

139. (x ^ 4 + x ^ 2 + 6x − 10 ) se divide entre (x + 2 )

Dividir funciones polinomiales

En los siguientes ejercicios, divida.

140. Para las funciones (f (x) = x ^ 2−15x + 45 ) y (g (x) = x − 9 ), encuentre a. ( left ( dfrac {f} {g} right) (x) )
B. ( izquierda ( dfrac {f} {g} derecha) (- 2) )

Respuesta

una. ( left ( dfrac {f} {g} right) (x) = x − 6 )
B. ( izquierda ( dfrac {f} {g} derecha) (- 2) = - 8 )

141. Para las funciones (f (x) = x ^ 3 + x ^ 2−7x + 2 ) y (g (x) = x − 2 ), encuentre a. ( left ( dfrac {f} {g} right) (3) )

Utilice el teorema del factor y del resto

En los siguientes ejercicios, use el teorema del resto para encontrar el resto.

142. (f (x) = x ^ 3−4x − 9 ) se divide por (x + 2 )

Respuesta

(−9)

143. (f (x) = 2x ^ 3−6x − 24 ) dividido por (x − 3 )

En los siguientes ejercicios, use el Teorema del factor para determinar si (x − c ) es un factor de la función polinomial.

144. Determina si (x − 2 ) es un factor de (x ^ 3−7x ^ 2 + 7x − 6 )

Respuesta

No

145. Determina si (x − 3 ) es un factor de (x ^ 3−7x ^ 2 + 11x + 3 )

Prueba de práctica del capítulo

1. Para el polinomio (8y ^ 4−3y ^ 2 + 1 )

una. ¿Es un monomio, binomio o trinomio? B. ¿Cuál es su grado?

Respuesta

una. trinomio b. 4

2. ((5a ^ 2 + 2a − 12) (9a ^ 2 + 8a − 4) )

3. ((10x ^ 2−3x + 5) - (4x ^ 2−6) )

Respuesta

(6x ^ 2−3x + 11 )

4. ( left (- dfrac {3} {4} right) ^ 3 )

5. (x ^ {- 3} x ^ 4 )

Respuesta

(X)

6. (5^65^8)

7. ((47a ^ {18} b ^ {23} c ^ 5) ^ 0 )

Respuesta

(1)

8. (4^{−1})

9. ((2y) ^ {- 3} )

Respuesta

( dfrac {1} {8y ^ 3} )

10. (p ^ {- 3} · p ^ {- 8} )

11. ( dfrac {x ^ 4} {x ^ {- 5}} )

Respuesta

(x ^ 9 )

12. ((3x ^ {- 3}) ^ 2 )

13. ( dfrac {24r ^ 3s} {6r ^ 2s ^ 7} )

Respuesta

( dfrac {4r} {s ^ 6} )

14. ((x4y9x − 3) 2 )

15. ((8xy ^ 3) (- 6x ^ 4y ^ 6) )

Respuesta

(- 48x ^ 5y ^ 9 )

16. (4u (u ^ 2−9u + 1) )

17. ((m + 3) (7m − 2) )

Respuesta

(21m ^ 2−19m − 6 )

18. ((n − 8) (n ^ 2−4n + 11) )

19. ((4x − 3) ^ 2 )

Respuesta

(16x ^ 2−24x + 9 )

20. ((5x + 2y) (5x − 2y) )

21. ((15xy ^ 3−35x ^ 2y) ÷ 5xy )

Respuesta

(3y ^ 2−7x )

22. ((3x ^ 3−10x ^ 2 + 7x + 10) ÷ (3x + 2) )

23. Usa el Teorema del factor para determinar si (x + 3 ) es un factor de (x ^ 3 + 8x ^ 2 + 21x + 18 ).

Respuesta

24. a. Convierta 112,000 a notación científica.
B. Convierte (5.25 × 10 ^ {- 4} ) a forma decimal.

En los siguientes ejercicios, simplifique y escriba su respuesta en forma decimal.

25. ((2.4×10^8)(2×10^{−5}))

Respuesta

(4.4×10^3)

26. ( dfrac {9 × 10 ^ 4} {3 × 10 ^ {- 1}} )

27. Para la función (f (x) = 6x ^ 2−3x − 9 ) encuentra:
una. (f (3) ) b. (36 ) b. (21 ) c. (- 9 )

28. Para (f (x) = 2x ^ 2−3x − 5 ) y (g (x) = 3x ^ 2−4x + 1 ), encuentra
una. ((f + g) (x) ) b. ((f + g) (1) )
C. ((f − g) (x) ) d. ((f − g) (- 2) )

29. Para las funciones (f (x) = 3x ^ 2−23x − 36 ) y (g (x) = x − 9 ), encuentre
una. ( left ( dfrac {f} {g} right) (x) ) b. ( left ( dfrac {f} {g} right) (3) )

Respuesta

una. ( left ( dfrac {f} {g} right) (x) = 3x + 4 )
B. ( left ( dfrac {f} {g} right) (3) = 13 )

30. Un excursionista deja caer un guijarro desde un puente (240 ) pies sobre un cañón. La función (h (t) = - 16t ^ 2 + 240 ) da la altura del guijarro (t ) segundos después de que se dejó caer. Encuentra la altura cuando (t = 3 ).


Capítulo 7, Ejercicios de problemas 5

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1.1 Concurrencia en todas partes

1.3 Dos problemas clásicos de computación distribuida

Capítulo 2. Sistemas de dos procesos

2.1 Teoría de grafos elemental

2.5 Capacidad de resolución de tareas de dos procesos

Capítulo 3. Elementos de la topología combinatoria

3.3 Construcciones estándar

3.7 Aproximaciones simples y continuas

Capítulo 4. Computación incolora sin espera

4.3 El poder computacional de las instantáneas inmediatas incoloras y sin esperas

Capítulo 5. Solubilidad de tareas incoloras en diferentes modelos

5.2 t-Protocolos de instantáneas en capas resistentes

5.3 Instantáneas en capas con k-Establecer acuerdo

5.5 Protocolos de paso de mensajes

Capítulo 6. Computación incolora resistente a los bizantinos

6.2 abstracciones de la comunicación bizantina

6.3 Acuerdo conjunto bizantino

6.4 Acuerdo baricéntrico bizantino

6.5 Capacidad de solución de tareas bizantinas

6.6 Memoria compartida bizantina

Capítulo 7. Simulaciones y reducciones

Capítulo 8. Protocolos de lectura y escritura para tareas generales

Capítulo 9. Protocolos múltiples

9.2 Protocolos de instantáneas inmediatas en capas

9.3 No hay acuerdo establecido de múltiples protocolos

9.4 Acuerdo de conjuntos frente a ruptura de simetría débil

10.1 Consenso y conectividad de caminos

10.2 Conectividad y modelo de instantánea inmediata

10.3 k-Establecer acuerdo y -conectividad

10.4 Modelo de instantánea inmediata y k-conectividad

Capítulo 11. Computabilidad sin espera para tareas generales

11.1 Tareas intrínsecamente coloreadas: la tarea del reloj de arena

11.2 Solvabilidad para tareas coloreadas

11.3 El algoritmo implica mapa

11.4 Mapa implica algoritmo

11.5 Una condición topológica suficiente

Capítulo 12. Cambio de nombre y colectores orientados

12.1 Un límite superior: cambio de nombre con nombres

12.2 Ruptura de simetría débil

12.5 Un límite inferior para -renaming

Capítulo 13. Capacidad de resolución de tareas en diferentes modelos

13.4 Mapas de portadores y complejos shellables

Capítulo 14. Simulaciones y reducciones para tareas coloreadas

14.4 Instantánea en capas de lectura-escritura

14.5 Instantánea inmediata a partir de instantánea

14.6 Instantánea inmediata a partir de instantánea inmediata en capas

14.7 Instantánea de instantánea en capas

Capítulo 15. Clasificación de tareas de acuerdo de bucle

15.1 El grupo fundamental

Capítulo 16. Subdivisiones de instantáneas inmediatas

16.1 Un vistazo a la geometría discreta


Las soluciones para ejercicios seleccionados de cada capítulo se pueden encontrar a continuación. Tenga cuidado de no mirar las soluciones demasiado rápido, asegúrese de haberse dado tiempo para luchar con los conceptos que acaba de aprender antes de buscar una solución. Además, hay varias formas de resolver muchos de los ejercicios, y las soluciones solo muestran una forma posible de completar cada ejercicio.

No he incluido soluciones para los capítulos 12-14 y 18-20, porque los ejercicios para esos capítulos son realmente proyectos en sí mismos. Si tienes problemas con un ejercicio de uno de esos capítulos, considera publicarlo en Stack Overflow, r / learnpython o ponte en contacto.


Capítulo 5 Análisis de correlación canónica (CCA)

Supongamos que observamos una muestra aleatoria de (n ) observaciones bivariadas [ mathbf z_1 = (x_1, y_1) ^ top, ldots, mathbf z_n = (x_n, y_n) ^ top. ] Si estamos interesados ​​en explorar la posible dependencia entre las (x_i ) y las (y_i ), entonces una de las primeras cosas que haríamos sería obtener una gráfica de dispersión de las (x_i ) contra los (y_i ) y calcule el coeficiente de correlación. Recuerde que el coeficiente de correlación muestral está definido por [ begin r = < mathbb ombre del operador> (x, y) & amp = frac<>> < sqrt<>> sqrt<>>> & amp = frac < sum_^ n (x_i- bar) (y_i- bar)> < izquierda ( sum_^ n (x_i- bar) ^ 2 right) ^ <1/2> left ( sum_^ n (y_i- bar) ^ 2 right) ^ <1/2 >> tag <5.1> end] donde ( bar= n ^ <-1> sum_^ n x_i ) y ( bar= n ^ <-1> sum_^ n y_i ) son las medias de la muestra.

Recuerde que la correlación muestral es una medida libre de incrustaciones de la fuerza del dependencia lineal entre las (x_i ) y las (y_i ).

En este capítulo investigamos el análogo multivariado de esta pregunta. En lugar de que nuestras observaciones bivariadas sean un par de escalares, supongamos que se nos dan dos vectores aleatorios diferentes ( mathbf x ) y ( mathbf y ). En otras palabras, para cada sujeto / caso (i ) tenemos observaciones ( < mathbf x_i, mathbf y_i > _^ n. )

Las estructuras de datos multivariantes pueden entenderse mejor si observamos proyecciones de datos de baja dimensión. La pregunta es, dada una muestra ( < mathbf x_i, mathbf y_i > _^), ¿cuál es una forma sensata de evaluar y describir la fuerza de la dependencia lineal entre los dos vectores?

El análisis de correlación canónica (CCA) da una respuesta a esta pregunta en términos de las mejores proyecciones lineales de baja dimensión de las variables aleatorias ( mathbf x ) y ( mathbf y ). De manera comparable a PCA, "mejor" en CCA se define en términos de maximizar las correlaciones. La descomposición de valores singulares (SVD) que se presenta en el Capítulo 3 desempeña un papel clave.


5.6 Los principios de percepción de la Gestalt

A principios del siglo XX, Max Wertheimer publicó un artículo que demostraba que las personas percibían el movimiento en imágenes estáticas que parpadeaban rápidamente, una idea que se le ocurrió mientras usaba un taquistoscopio de juguete para niños. Wertheimer, y sus asistentes Wolfgang Köhler y Kurt Koffka, quienes luego se convirtieron en sus socios, creían que la percepción implicaba más que simplemente combinar estímulos sensoriales. Esta creencia condujo a un nuevo movimiento dentro del campo de la psicología conocido como psicología Gestalt. La palabra gestalt literalmente significa forma o patrón, pero su uso refleja la idea de que el todo es diferente de la suma de sus partes. En otras palabras, el cerebro crea una percepción que es más que la simple suma de las entradas sensoriales disponibles, y lo hace de manera predecible. Los psicólogos de la Gestalt tradujeron estas formas predecibles en principios mediante los cuales organizamos la información sensorial. Como resultado, la psicología de la Gestalt ha tenido una gran influencia en el área de la sensación y la percepción (Rock & amp Palmer, 1990).

Las perspectivas de la Gestalt en psicología representan investigaciones sobre estímulos ambiguos para determinar dónde y cómo el cerebro resuelve estas ambigüedades. También tienen como objetivo comprender la percepción sensorial y el procesamiento de la información como grupos o totalidades en lugar de conjuntos construidos a partir de muchas partes pequeñas. Esta perspectiva ha sido apoyada por la ciencia cognitiva moderna a través de la investigación de resonancia magnética funcional que demuestra que algunas partes del cerebro, específicamente el lóbulo occipital lateral y la circunvolución fusiforme, están involucradas en el procesamiento de objetos completos, a diferencia de las áreas occipitales primarias que procesan los individuos. elementos de estímulos (Kubilius, Wagemans & amp Op de Beeck, 2011).

Un principio de la Gestalt es la relación figura-fondo. Según este principio, tendemos a segmentar nuestro mundo visual en figura y fondo. La figura es el objeto o la persona que es el foco del campo visual, mientras que el suelo es el fondo. Como muestra la figura siguiente, nuestra percepción puede variar enormemente, dependiendo de lo que se perciba como figura y lo que se perciba como fondo. Presumiblemente, nuestra capacidad para interpretar información sensorial depende de lo que etiquetamos como figura y lo que etiquetamos como base en cualquier caso particular, aunque esta suposición ha sido cuestionada (Peterson & amp Gibson, 1994 Vecera & amp O’Reilly, 1998).

El concepto de relación figura-fondo explica por qué esta imagen puede percibirse como un jarrón o como un par de caras.

Otro principio de la Gestalt para organizar los estímulos sensoriales en una percepción significativa es proximidad. Este principio afirma que las cosas que están cerca unas de otras tienden a agruparse, como lo ilustra la figura siguiente.

El principio de proximidad de la Gestalt sugiere que ve (a) un bloque de puntos en el lado izquierdo y (b) tres columnas en el lado derecho.

La forma en que leemos algo proporciona otra ilustración del concepto de proximidad. Por ejemplo, leemos esta oración así, sin mencionar su sombrero. Agrupamos las letras de una palabra dada porque no hay espacios entre las letras y percibimos las palabras porque hay espacios entre cada palabra. Aquí hay algunos ejemplos más: Cany oum akes enseo ft hiss entence? ¿Qué significan estas palabras?

También podríamos usar el principio de semejanza para agrupar cosas en nuestros campos visuales. Según este principio, las cosas que son iguales tienden a agruparse (figura siguiente). Por ejemplo, cuando vemos un partido de fútbol, ​​tendemos a agrupar a las personas según los colores de sus uniformes. Al ver una unidad ofensiva, podemos tener una idea de los dos equipos simplemente agrupando a lo largo de esta dimensión.

Al observar esta matriz de puntos, es probable que percibamos filas alternas de colores. Estamos agrupando estos puntos de acuerdo con el principio de similitud.

Dos principios adicionales de la Gestalt son la ley de continuidad (o buena continuación) y cierre. La ley de continuidad sugiere que es más probable que percibamos líneas fluidas continuas y suaves en lugar de líneas irregulares y discontinuas (figura siguiente). El principio de cierre establece que organizamos nuestras percepciones en objetos completos en lugar de como una serie de partes (figura siguiente).

Una buena continuación sugeriría que es más probable que percibamos esto como dos líneas superpuestas, en lugar de cuatro líneas que se encuentran en el centro.

El cierre sugiere que percibiremos un círculo y un rectángulo completos en lugar de una serie de segmentos.

Según los teóricos de la Gestalt, la percepción de patrones, o nuestra capacidad para discriminar entre diferentes figuras y formas, se produce siguiendo los principios descritos anteriormente. Probablemente se sienta bastante seguro de que su percepción coincide con precisión con el mundo real, pero no siempre es así. Nuestras percepciones se basan en hipótesis perceptivas: conjeturas fundamentadas que hacemos al interpretar la información sensorial. Estas hipótesis se basan en una serie de factores, incluidas nuestras personalidades, experiencias y expectativas. Usamos estas hipótesis para generar nuestro conjunto perceptual. Por ejemplo, la investigación ha demostrado que quienes reciben una preparación verbal producen una interpretación sesgada de figuras ambiguas complejas (Goolkasian & amp Woodbury, 2010).

Enfoque de plantilla

Ulrich Neisser (1967), autor de uno de los primeros libros de texto de psicología cognitiva sugirió que el reconocimiento de patrones se simplificaría, aunque las habilidades seguirían existiendo, si todos los patrones que experimentamos fueran idénticos. Según esta teoría, sería más fácil para nosotros reconocer algo si coincidiera exactamente con lo que habíamos percibido antes. Obviamente el entorno real es infinitamente dinámico produciendo innumerables combinaciones de orientación, tamaño. Entonces, ¿cómo es posible que todavía podamos leer una letra g, ya sea que esté en mayúscula, sin mayúscula o escrita a mano por otra persona? Neisser sugirió que la categorización de la información se realiza mediante la creación del cerebro plantillas, modelos almacenados de todos los posibles patrones categorizables (Radvansky & amp Ashcraft, 2014). Cuando una computadora lee la información de su tarjeta de deuda, está comparando la información que ingresa con una plantilla de cómo debería verse el número (tiene una cantidad específica de números, sin letras ni símbolos & # 8230). La percepción de la vista de plantilla puede explicar fácilmente cómo reconocemos partes de nuestro entorno, pero no puede explicar por qué todavía podemos reconocer cosas cuando no se ven desde el mismo ángulo, distancia o en el mismo contexto.

Para abordar las deficiencias del modelo de plantilla de percepción, el detección de características El enfoque de la percepción visual sugiere que reconocemos características específicas de lo que estamos viendo, por ejemplo, las líneas rectas en una H versus la línea curva de una letra C. En lugar de hacer coincidir un patrón completo en forma de plantilla para la letra H mayúscula, identificamos las características elementales que están presentes en el H. Varias personas han sugerido teorías de reconocimiento de patrones basado en características, una de las cuales fue descrita por Selfridge (1959) y se conoce como la pandemonio modelo que sugiere que la información que se percibe es procesada a través de varias etapas por lo que Selfridge describió como demonios mentales, quienes gritan en voz alta mientras intentan identificar patrones en los estímulos. Estos demonios de patrones se encuentran en el nivel más bajo de percepción, por lo que después de que pueden identificar patrones, los demonios computacionales analizan más las características para que coincidan con las plantillas, como líneas rectas o curvas. Finalmente, en el nivel más alto de discriminación, demonios cognitivos que permiten categorizar los estímulos en términos de contexto y otras clasificaciones de orden superior, y el demonio de decisiones decide entre todos los demonios gritando cuáles son los estímulos que mientras se seleccionan para su interpretación.

Selfridge & # 8217s pandemonium modelo que muestra los distintos niveles de demonios que hacen estimaciones y pasan la información al siguiente nivel antes de que el demonio de decisión haga la mejor estimación de cuáles son los estímulos. Adaptado de Lindsay y Norman (1972).

Aunque las ideas de Selfridges con respecto a las capas de demonios que gritan que conforman nuestra capacidad para discriminar características de nuestro entorno, el modelo en realidad incorpora varias ideas que son importantes para el reconocimiento de patrones. Primero, en su base, este modelo es un modelo de detección de características que incorpora niveles más altos de procesamiento a medida que la información se procesa a tiempo. En segundo lugar, el modelo de Selfridge de muchos demonios que gritan diferentes incorpora ideas de procesamiento paralelo, lo que sugiere que se pueden analizar y procesar muchas formas diferentes de estímulos hasta cierto punto al mismo tiempo. En tercer y último lugar, el modelo sugiere que la percepción en un sentido muy real es una serie de procedimientos de resolución de problemas en los que podemos tomar fragmentos de información y unirlos para crear algo que podamos reconocer y clasificar como algo significativo.

Además de sonar inicialmente improbable por estar basado en una serie de demonios ficticios que gritan, una de las principales críticas al modelo de detección de características de los demonios de Selfridge & # 8217 es que es principalmente un de abajo hacia arriba, o impulsado por datos sistema de procesamiento. Esto significa que la detección y el procesamiento de características para la discriminación provienen de lo que obtenemos del entorno. El progreso moderno en la ciencia cognitiva ha argumentado en contra de los modelos de procesamiento estrictamente ascendentes, lo que sugiere que el contexto juega un papel extremadamente importante en la determinación de lo que se está percibiendo y en la discriminación entre los estímulos. Para construir a partir de modelos anteriores, el científico cognitivo sugirió una De arriba hacia abajo, o impulsado conceptualmente cuenta en qué contexto y el conocimiento de nivel superior, como el contexto, tiende a ocurrir algo o las expectativas de una persona influyen en los procesos de nivel inferior.

Finalmente, las teorías más modernas que intentan describir cómo se procesa la información para nuestra percepción y discriminación se conocen como conexionista modelos. Los modelos conexionistas incorporan una enorme cantidad de cálculos matemáticos que funcionan en paralelo y en series de estructuras similares a redes interrelacionadas utilizando procesos de arriba hacia abajo y de abajo hacia arriba para delimitar cuál sería la solución más probable para la discriminación. Cada unidad en una capa conexionista está conectada masivamente en una red gigante con muchas o todas las unidades en la siguiente capa de discriminación. Dentro de estos modelos, incluso si no hay muchas características presentes en el estímulo, el número de cálculos en una sola ejecución para la discriminación se vuelve increíblemente grande debido a todas las conexiones que existen entre cada unidad y capa.

Las profundidades de la percepción: sesgos, prejuicios y factores culturales

En este capítulo, ha aprendido que la percepción es un proceso complejo. Construidas a partir de sensaciones, pero influenciadas por nuestras propias experiencias, sesgos, prejuicios y culturas, las percepciones pueden ser muy diferentes de persona a persona. La investigación sugiere que los estereotipos y prejuicios raciales implícitos afectan la percepción. Por ejemplo, varios estudios han demostrado que los participantes que no son negros identifican las armas más rápido y es más probable que identifiquen las armas que no son armas como armas cuando la imagen del arma se combina con la imagen de una persona negra (Payne, 2001 Payne, Shimizu, & amp. Jacoby, 2005). Además, las decisiones de las personas blancas de disparar a un objetivo armado en un videojuego se toman más rápidamente cuando el objetivo es negro (Correll, Park, Judd y Wittenbrink, 2002 Correll, Urland e Ito, 2006). Esta investigación es importante, considerando la cantidad de casos de muy alto perfil en las últimas décadas en los que jóvenes negros fueron asesinados por personas que afirmaron creer que los individuos desarmados estaban armados y / o representaban alguna amenaza para su seguridad personal.

RESUMEN

Los teóricos de la Gestalt han sido increíblemente influyentes en las áreas de sensación y percepción. Los principios de la Gestalt como la relación figura-fondo, la agrupación por proximidad o similitud, la ley de la buena continuación y el cierre se utilizan para ayudar a explicar cómo organizamos la información sensorial. Nuestras percepciones no son infalibles y pueden verse influenciadas por sesgos, prejuicios y otros factores.

Texto de psicología de impuestos abiertos por Kathryn Dumper, William Jenkins, Arlene Lacombe, Marilyn Lovett y Marion Perlmutter con licencia CC BY v4.0. https://openstax.org/details/books/psychology

Ejercicios

Preguntas de revisión:

1. Según el principio de ________, los objetos que se encuentran cerca unos de otros tienden a agruparse.

2. Nuestra tendencia a percibir las cosas como objetos completos en lugar de como una serie de partes se conoce como el principio de ________.

3. De acuerdo con la ley de ________, es más probable que percibamos líneas que fluyen suavemente en lugar de líneas entrecortadas o irregulares.

4. El principal punto de enfoque en una pantalla visual se conoce como ________.

Pregunta de pensamiento crítico:

1. El principio central de la psicología de la Gestalt es que el todo es diferente de la suma de sus partes. ¿Qué significa esto en el contexto de la percepción?

2. Eche un vistazo a la siguiente figura. How might you influence whether people see a duck or a rabbit?

Personal Application Question:

1. Have you ever listened to a song on the radio and sung along only to find out later that you have been singing the wrong lyrics? Once you found the correct lyrics, did your perception of the song change?

Key Takeaways

Review Questions:

Critical Thinking Question:

1. This means that perception cannot be understood completely simply by combining the parts. Rather, the relationship that exists among those parts (which would be established according to the principles described in this chapter) is important in organizing and interpreting sensory information into a perceptual set.

2. Playing on their expectations could be used to influence what they were most likely to see. For instance, telling a story about Peter Rabbit and then presenting this image would bias perception along rabbit lines.

closure: organizing our perceptions into complete objects rather than as a series of parts

figure-ground relationship: segmenting our visual world into figure and ground

Gestalt psychology: field of psychology based on the idea that the whole is different from the sum of its parts

good continuation: (also, continuity) we are more likely to perceive continuous, smooth flowing lines rather than jagged, broken lines

pattern perception: ability to discriminate among different figures and shapes

perceptual hypothesis: educated guess used to interpret sensory information

principle of closure: organize perceptions into complete objects rather than as a series of parts

proximity: things that are close to one another tend to be grouped together

similarity: things that are alike tend to be grouped together

Review Questions

According to the principle of ________, objects that occur close to one another tend to be grouped together.

Our tendency to perceive things as complete objects rather than as a series of parts is known as the principle of ________.

According to the law of ________, we are more likely to perceive smoothly flowing lines rather than choppy or jagged lines.

The main point of focus in a visual display is known as the ________.

Critical Thinking Question

The central tenet of Gestalt psychology is that the whole is different from the sum of its parts. What does this mean in the context of perception?

Take a look at the following figure. How might you influence whether people see a duck or a rabbit?

Answer: Playing on their expectations could be used to influence what they were most likely to see. For instance, telling a story about Peter Rabbit and then presenting this image would bias perception along rabbit lines.

Personal Application Question

Have you ever listened to a song on the radio and sung along only to find out later that you have been singing the wrong lyrics? Once you found the correct lyrics, did your perception of the song change?

Glosario


5.1 Sensation versus Perception

What does it mean to sense something? Sensory receptors are specialized neurons that respond to specific types of stimuli. When sensory information is detected by a sensory receptor, sensation has occurred. For example, light that enters the eye causes chemical changes in cells that line the back of the eye. These cells relay messages, in the form of action potentials (as you learned when studying biopsychology), to the central nervous system. The conversion from sensory stimulus energy to action potential is known as transduction. Transduction represents the first step toward perception and is a translation process where different types of cells react to stimuli creating a signal processed by the central nervous system resulting in what we experience as a sensations. Sensations allow organisms to sense a face, and smell smoke when there is a fire.

Perceptions on the other hand, require organizing and understanding the incoming sensation information. In order for sensations to be useful, we must first add meaning to those sensations, which create our perceptions of those sensations. Sensations allow us to see a red burner, but perceptions entail the understanding and representation of the characteristic hot. Also, a sensation would be hearing a loud, shrill tone, whereas a perception would be the classification and understanding of that sounds as a fire alarm. Throughout this chapter sensations and perceptions will be discussed as separate events, whereas in reality, sensations and perceptions can be more accurately thought of as occurring along a continued where boundaries are more fluent between where a sensation ends and a perception begins.

You have probably known since elementary school that we have five senses: vision, hearing (audition), smell (olfaction), taste (gustation), and touch (somatosensation). It turns out that this notion of five senses is extremely oversimplified. We also have sensory systems that provide information about balance (the vestibular sense), body position and movement (proprioception and kinesthesia), pain (nociception), and temperature (thermoception), and each one of these sensory systems has different receptors tuned to transduce different stimuli. The vision system absorbs light using rod and cone receptors located at the back of the eyes, sound is translated via tiny hair like receptors known as cilia inside the inner ear, smell and taste work together most of the time to absorb chemicals found in airborne particles and food via chemically sensitive cilia in the nasal cavity and clusters of chemical receptors on the tongue. Touch is particularly interesting because it is made up of responses from many different types of receptors found within the skin that send signals to the central nervous system in response to temperature, pressure, vibration, and disruption of the skin such as stretching and tearing.

Free nerve endings embedded in the skin that allow humans to perceive the various differences in our immediate environment. Adapted from Pinel, 2009.

The sensitivity of a given sensory system to the relevant stimuli can be expressed as an absolute threshold. Absolute threshold refers to the minimum amount of stimulus energy that must be present for the stimulus to be detected 50% of the time. Another way to think about this is by asking how dim can a light be or how soft can a sound be and still be detected half of the time. The sensitivity of our sensory receptors can be quite amazing. It has been estimated that on a clear night, the most sensitive sensory cells in the back of the eye can detect a candle flame 30 miles away (Okawa & Sampath, 2007). Under quiet conditions, the hair cells (the receptor cells of the inner ear) can detect the tick of a clock 20 feet away (Galanter, 1962). Additionally, one teaspoon of sugar can be tasted within two gallons of water, and the human olfactory system can detect the scent of one drop of perfume throughout a six room apartment.

It is also possible for us to get messages that are presented below the threshold for conscious awareness—these are called subliminal messages. A stimulus reaches a physiological threshold when it is strong enough to excite sensory receptors and send nerve impulses to the brain: This is an absolute threshold. A message below that threshold is said to be subliminal: The message is processed, but we are not consciously aware of it. Over the years, there has been a great deal of speculation about the use of subliminal messages in advertising, rock music, and self-help audio programs to influence consumer behavior. Research has demonstrated in laboratory settings, people can process and respond to information outside of awareness. But this does not mean that we obey these messages like zombies in fact, hidden messages have little effect on behavior outside the laboratory (Kunst-Wilson & Zajonc, 1980 Rensink, 2004 Nelson, 2008 Radel, Sarrazin, Legrain, & Gobancé, 2009 Loersch, Durso, & Petty, 2013). Studies attempting to influence movie goers to purchase more popcorn, and reduced smoking habits demonstrated little to no success further suggesting subliminal messages are mostly ineffective in producing specific behavior (Karremans, Stroebe & Claus, 2006). However, neuroimaging studies have demonstrated clear neural activity related to the processing of subliminal stimuli stimuli (Koudier & Dehaene, 2007). Additionally, Krosnick, Betz, Jussim & Lynn (1992) found that participants who were presented images of dead bodies or buckets of snakes for several milliseconds (subliminal priming), were more likely to rate a neutral image of a woman with a neutral facial expression as more unlikable compared to participants who were shown more pleasant images (kittens and bridal couples). This demonstrates that although we may not be aware of the stimuli presented to us, we are processing it on a neural level, and also that although subliminal priming usually is not strong enough to force unwanted purchases, it may influence our perceptions of things we encounter in the environment following the subliminal priming.

Absolute thresholds are generally measured under incredibly controlled conditions in situations that are optimal for sensitivity. Sometimes, we are more interested in how much difference in stimuli is required to detect a difference between them. Esto se conoce como just noticeable difference (JND, mentioned briefly in the above study comparing color perceptions of Chinese and Dutch participants) or difference threshold. Unlike the absolute threshold, the difference threshold changes depending on the stimulus intensity. As an example, imagine yourself in a very dark movie theater. If an audience member were to receive a text message on her cell phone which caused her screen to light up, chances are that many people would notice the change in illumination in the theater. However, if the same thing happened in a brightly lit arena during a basketball game, very few people would notice. The cell phone brightness does not change, but its ability to be detected as a change in illumination varies dramatically between the two contexts. Ernst Weber proposed this theory of change in difference threshold in the 1830s, and it has become known as Weber’s law.

Webers Law: Each of the various senses has its own constant ratios determining difference thresholds.

Webers ideas about difference thresholds influenced concepts of signal detection theory which state that our abilities to detect a stimulus depends on sensory factors (like the intensity of the stimulus, or the presences of other stimuli being processed) as well as our psychological state (you are sleepy because you stayed up studying the previous night). Human factors engineers who design control consoles for planes and cars use signal detection theory all the time in order to asses situations pilots or drivers may experience such as difficulty in seeing and interpreting controls on extremely bright days.

PERCEPTION

Although are perceptions are built from sensations, not all sensations result in perception.”

While our sensory receptors are constantly collecting information from the environment, it is ultimately how we interpret that information that affects how we interact with the world. Perception refers to the way sensory information is organized, interpreted, and consciously experienced. Perception involves both bottom-up and top-down processing. Bottom-up processing refers to the fact that perceptions are built from sensory input, stimuli from the environment. On the other hand, how we interpret those sensations is influenced by our available knowledge, our experiences, and our thoughts related to the stimuli we are experiencing. This is called top-down processing.

One way to think of this concept is that sensation is a physical process, whereas perception is psychological. For example, upon walking into a kitchen and smelling the scent of baking cinnamon rolls, the sensation is the scent receptors detecting the odor of cinnamon, but the percepción may be “Mmm, this smells like the bread Grandma used to bake when the family gathered for holidays.” Sensation is a signal from any of our six senses. Perception is the brain’s response to these signals. When we see our professor speaking in the front of the room, we sense the visual and auditory signals coming from them and we perceive that they are giving a lecture about our psychology class.

Although our perceptions are built from sensations, not all sensations result in perception. In fact, we often don’t perceive stimuli that remain relatively constant over prolonged periods of time. This is known as sensory adaptation. Imagine entering a classroom with an old analog clock. Upon first entering the room, you can hear the ticking of the clock as you begin to engage in conversation with classmates or listen to your professor greet the class, you are no longer aware of the ticking. The clock is still ticking, and that information is still affecting sensory receptors of the auditory system. The fact that you no longer perceive the sound demonstrates sensory adaptation and shows that while closely associated, sensation and perception are different. Additionally, when you walk into a dark movie theater after being outside on a bright day you will notice it is initially extremely difficult to see. After a couple minutes you experience what is known as dark adaptation which tends to take about 8 minutes for cones (visual acuity and color), and about 30 minutes for the cones in your retina to adapt (light, dark, depth and distance) (Hecht & Mendelbaum, 1938 Klaver, Wolfs, Vingerling, Hoffman, & de Jong, 1998). If you are wondering why it takes so long to adapt to darkness, in order to change the sensitivity of rods and cones, they must first undergo a complex chemical change associated with protein molecules which does not happen immediately. Now that you have adapted to the darkens of the theater, you have survived marathon watching the entire Lord of the Rings series, and you are emerging from the theater a seemly short ten hours after entering the theater, you may experience the process of light adaptation, barring it is still light outside. During light adaptation, the pupils constrict to reduce the amount of light flooding onto the retina and sensitivity to light is reduced for both rods and cones which takes usually less than 10 minutes (Ludel, 1978). So why is the process of raising sensitivity to light to adapt to darkness more complex than lowering sensitivity to adapt to light? Caruso (2007) has suggested that a more gradual process is involved in darkness adaptation due to humans tendency over the course of evolution to slowly adjust to darkness as the sun sets over the horizon.

There is another factor that affects sensation and perception: attention. Attention plays a significant role in determining what is sensed versus what is perceived. Imagine you are at a party full of music, chatter, and laughter. You get involved in an interesting conversation with a friend, and you tune out all the background noise. If someone interrupted you to ask what song had just finished playing, you would probably be unable to answer that question.

One of the most interesting demonstrations of how important attention is in determining our perception of the environment occurred in a famous study conducted by Daniel Simons and Christopher Chabris (1999). In this study, participants watched a video of people dressed in black and white passing basketballs. Participants were asked to count the number of times the team in white passed the ball. During the video, a person dressed in a black gorilla costume walks among the two teams. You would think that someone would notice the gorilla, right? Nearly half of the people who watched the video didn’t notice the gorilla at all, despite the fact that he was clearly visible for nine seconds. Because participants were so focused on the number of times the white team was passing the ball, they completely tuned out other visual information. Failure to notice something that is completely visible because of a lack of attention is called inattentional blindness. More recent work evaluated inattention blindness related to cellphone use. Hyman, Boss, Wise, McKenzie & Caggiano (2010) classified participants based on whether they were walking while talking on their cell phone, listening to an MP3 player, walking without any electronics or walking as a pair. Participants were not aware that while they walked through the square a unicycling clown would ride right in front of them. After the students reached the outside of the square they were stopped and asked if they noticed the unicycling clown that rode in front of them. Cell phone users were found to walk more slowly, change directions more often, pay less attention to others around them and were also the most frequent group to report they did not noticed the unicycling clown. David Strayer and Frank Drews additionally examined cell phone use in a series of driving simulators and found that even when participants looked directly at the objects in the driving environment, they were less likely to create a durable memory of those objects if they were talking on a cell phone. This pattern was obtained for objects of both high and low relevance for their driving safety suggesting little meaningful cognitive analysis of objects in the driving environment outside the restricted focus of attention while maintaining a cell phone conversation. Additionally, in-vehicle conversations did not interfere with driving as much as cell phone conversations as Strayer and Drews suggest, drivers are better able to synchronize the processing demands of driving with in-vehicle conversations compared to cell-phone conversations. Overall it is apparent that directing the focus of our attention can lead to sometimes serious impairments of other information, and it appears cell phones can have a particularly dramatic impact on information processing while performing other tasks.

In a similar experiment to the activity above, researchers tested inattentional blindness by asking participants to observe images moving across a computer screen. They were instructed to focus on either white or black objects, disregarding the other color. When a red cross passed across the screen, about one third of subjects did not notice it (figure below) (Most, Simons, Scholl, & Chabris, 2000).

Nearly one third of participants in a study did not notice that a red cross passed on the screen because their attention was focused on the black or white figures. (credit: Cory Zanker)

Motivation can also affect perception. Have you ever been expecting a really important phone call and, while taking a shower, you think you hear the phone ringing, only to discover that it is not? If so, then you have experienced how motivation to detect a meaningful stimulus can shift our ability to discriminate between a true sensory stimulus and background noise. This motivational aspect of expectation in conversation additionally may be why such strong inattentional blindness has been found in relation to cell phone use. The ability to identify a stimulus when it is embedded in a distracting background is called signal detection theory.

Signal detection theory: A theory explaining explaining how various factors influence our ability to detect weak signals in our environment.

Signal detection theory also explains why a mother is awakened by a quiet murmur from her baby but not by other sounds that occur while she is asleep. This also applies to air traffic controller communication, pilot and driver control panels as discussed previously, and even the monitoring of patient vital information while a surgeon performs surgery. In the case of air traffic controllers, the controllers need to be able to detect planes among many signals (blips) that appear on the radar screen and follow those planes as they move through the sky. In fact, the original work of the researcher who developed signal detection theory was focused on improving the sensitivity of air traffic controllers to plane blips (Swets, 1964).

Our perceptions can also be affected by our beliefs, values, prejudices, expectations, and life experiences. As you will see later in this chapter, individuals who are deprived of the experience of binocular vision during critical periods of development have trouble perceiving depth (Fawcett, Wang, & Birch, 2005). The shared experiences of people within a given cultural context can have pronounced effects on perception. For example, Marshall Segall, Donald Campbell, and Melville Herskovits (1963) published the results of a multinational study in which they demonstrated that individuals from Western cultures were more prone to experience certain types of visual illusions than individuals from non-Western cultures, and vice versa. One such illusion that Westerners were more likely to experience was the Müller-Lyer illusion (figure below): The lines appear to be different lengths, but they are actually the same length.

In the Müller-Lyer illusion, lines appear to be different lengths although they are identical. (a) Arrows at the ends of lines may make the line on the right appear longer, although the lines are the same length. (b) When applied to a three-dimensional image, the line on the right again may appear longer although both black lines are the same length.

These perceptual differences were consistent with differences in the types of environmental features experienced on a regular basis by people in a given cultural context. People in Western cultures, for example, have a perceptual context of buildings with straight lines, what Segall’s study called a carpentered world (Segall et al., 1966). In contrast, people from certain non-Western cultures with an uncarpentered view, such as the Zulu of South Africa, whose villages are made up of round huts arranged in circles, are less susceptible to this illusion (Segall et al., 1999). It is not just vision that is affected by cultural factors. Indeed, research has demonstrated that the ability to identify an odor, and rate its pleasantness and its intensity, varies cross-culturally (Ayabe-Kanamura, Saito, Distel, Martínez-Gómez, & Hudson, 1998). In terms of color vision across cultures, research has found derived color terms for brown, orange and pink hues do appear to be influenced by cultural differences (Zollinger, 1988).

Children described as thrill seekers are more likely to show taste preferences for intense sour flavors (Liem, Westerbeek, Wolterink, Kok, & de Graaf, 2004), which suggests that basic aspects of personality might affect perception. Furthermore, individuals who hold positive attitudes toward reduced-fat foods are more likely to rate foods labeled as reduced fat as tasting better than people who have less positive attitudes about these products (Aaron, Mela, & Evans, 1994).

SUMMARY

Sensation occurs when sensory receptors detect sensory stimuli. Perception involves the organization, interpretation, and conscious experience of those sensations. All sensory systems have both absolute and difference thresholds, which refer to the minimum amount of stimulus energy or the minimum amount of difference in stimulus energy required to be detected about 50% of the time, respectively. Sensory adaptation, selective attention, and signal detection theory can help explain what is perceived and what is not. In addition, our perceptions are affected by a number of factors, including beliefs, values, prejudices, culture, and life experiences.

Openstax Psychology text by Kathryn Dumper, William Jenkins, Arlene Lacombe, Marilyn Lovett and Marion Perlmutter licensed under CC BY v4.0. https://openstax.org/details/books/psychology

Ejercicios

Review Questions:

1. ________ refers to the minimum amount of stimulus energy required to be detected 50% of the time.

C. just noticeable difference

2. Decreased sensitivity to an unchanging stimulus is known as ________.

D. inattentional blindness

3. ________ involves the conversion of sensory stimulus energy into neural impulses.

B. inattentional blindness

4. ________ occurs when sensory information is organized, interpreted, and consciously experienced.

Critical Thinking Question:

1. Not everything that is sensed is perceived. Do you think there could ever be a case where something could be perceived without being sensed?

2. Please generate a novel example of how just noticeable difference can change as a function of stimulus intensity.

Personal Application Question :

1. Think about a time when you failed to notice something around you because your attention was focused elsewhere. If someone pointed it out, were you surprised that you hadn’t noticed it right away?

just noticeable difference

Answers to Exercises

Review Questions:

Critical Thinking Question:

1. This would be a good time for students to think about claims of extrasensory perception. Another interesting topic would be the phantom limb phenomenon experienced by amputees.

2. There are many potential examples. One example involves the detection of weight differences. If two people are holding standard envelopes and one contains a quarter while the other is empty, the difference in weight between the two is easy to detect. However, if those envelopes are placed inside two textbooks of equal weight, the ability to discriminate which is heavier is much more difficult.

absolute threshold: minimum amount of stimulus energy that must be present for the stimulus to be detected 50% of the time

bottom-up processing: system in which perceptions are built from sensory input

inattentional blindness: failure to notice something that is completely visible because of a lack of attention

just noticeable difference: difference in stimuli required to detect a difference between the stimuli

perception: way that sensory information is interpreted and consciously experienced

sensation: what happens when sensory information is detected by a sensory receptor

sensory adaptation: not perceiving stimuli that remain relatively constant over prolonged periods of time

signal detection theory: change in stimulus detection as a function of current mental state

subliminal message: message presented below the threshold of conscious awareness

top-down processing: interpretation of sensations is influenced by available knowledge, experiences, and thoughts

transduction: conversion from sensory stimulus energy to action potential


Geometry: The Line and the Circle

Geometry: The Line and the Circle is an undergraduate text with a strong narrative that is written at the appropriate level of rigor for an upper-level survey or axiomatic course in geometry. Starting with Euclid's Elements , the book connects topics in Euclidean and non-Euclidean geometry in an intentional and meaningful way, with historical context.

The line and the circle are the principal characters driving the narrative. In every geometry considered&mdashwhich include spherical, hyperbolic, and taxicab, as well as finite affine and projective geometries&mdashthese two objects are analyzed and highlighted. Along the way, the reader contemplates fundamental questions such as: What is a straight line? What does parallel mean? What is distance? What is area?

There is a strong focus on axiomatic structures throughout the text. While Euclid is a constant inspiration and the Elements is repeatedly revisited with substantial coverage of Books I, II, III, IV, and VI, non-Euclidean geometries are introduced very early to give the reader perspective on questions of axiomatics. Rounding out the thorough coverage of axiomatics are concluding chapters on transformations and constructibility. The book is compulsively readable with great attention paid to the historical narrative and hundreds of attractive problems.

The authors have provided a supplemental book of laboratory projects offering guided explorations to accompany topics found in the book. These projects use GeoGebra, a free interactive application. Download the GeoGebra Labs and a zip file of GeoGebra Lab starter files.

Número de lectores

Undergraduate students interested in geometry.

Reseñas y respaldos

A fun and masterful road to learning what geometry is actually about. This is likely an ideal text for use in training secondary level teachers who will teach this glorious subject. From constructions to proofs of results to the larger meaning of these results within the overarching context of Geometry, this text is there to guide students and assist them in constructing their own mastery of the subject. It is a beautiful text with real depth and detail and will be of great value to anyone who wishes to know "Just what is geometry about, after all is said and done?". Highly recommended!


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