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3.9: Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas


Hasta ahora, hemos aprendido a diferenciar una variedad de funciones, incluidas las funciones trigonométricas, inversas e implícitas. En esta sección, exploramos las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas. Como discutimos en Introducción a funciones y gráficos, las funciones exponenciales juegan un papel importante en el modelado del crecimiento de la población y la desintegración de materiales radiactivos. Las funciones logarítmicas pueden ayudar a cambiar la escala de grandes cantidades y son particularmente útiles para reescribir expresiones complicadas.

Derivada de la función exponencial

Al igual que cuando encontramos las derivadas de otras funciones, podemos encontrar las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas usando fórmulas. A medida que desarrollamos estas fórmulas, necesitamos hacer ciertas suposiciones básicas. Las pruebas que sostienen estos supuestos están más allá del alcance de este curso.

En primer lugar, partimos de la suposición de que la función (B (x) = b ^ x, b> 0, ) está definida para cada número real y es continua. En cursos anteriores, se definieron los valores de las funciones exponenciales para todos los números racionales, comenzando con la definición de (b ^ n ), donde (n ) es un número entero positivo, como el producto de (b ) multiplicado por sí mismo (n ) veces. Más tarde, definimos (b ^ 0 = 1, b ^ {- n} = frac {1} {b ^ n} ), para un entero positivo (n ) y (b ^ {s / t} = ( sqrt [t] {b}) ^ s ) para enteros positivos (s ) y (t ). Estas definiciones dejan abierta la cuestión del valor de br donde r es un número real arbitrario. Suponiendo la continuidad de (B (x) = b ^ x, b> 0 ), podemos interpretar (b ^ r ) como (lim_ {x → r} b ^ x ) donde los valores de (x ) como tomamos el límite son racionales. Por ejemplo, podemos ver (4 ^ π ) como el número que satisface

[4 ^ 3 <4 ^ π <4 ^ 4,4 ^ {3.1} <4 ^ π <4 ^ {3.2}, 4 ^ {3.14} <4 ^ π <4 ^ {3.15}, ]

[4 ^ {3.141} <4 ^ {π} <4 ^ {3.142}, 4 ^ {3.1415} <4 ^ {π} <4 ^ {3.1416},…. ]

Como vemos en la siguiente tabla, (4 ^ π≈77.88. )

(X) (4 ^ x )(X) (4 ^ x )
(4^3)64(4^{3.141593})77.8802710486
(4^{3.1})73.5166947198(4^{3.1416})77.8810268071
(4^{3.14})77.7084726013(4^{3.142})77.9242251944
(4^{3.141})77.8162741237(4^{3.15})78.7932424541
(4^{3.1415})77.8702309526(4^{3.2})84.4485062895
(4^{3.14159})77.8799471543(4^{4})256

Aproximación de un valor de (4 ^ π )

También asumimos que para (B (x) = b ^ x, b> 0 ), existe el valor (B ′ (0) ) de la derivada. En esta sección, mostramos que al hacer esta suposición adicional, es posible probar que la función (B (x) ) es diferenciable en todas partes.

Hacemos una suposición final: que hay un valor único de (b> 0 ) para el cual (B ′ (0) = 1 ). Definimos e como este valor único, como hicimos en Introducción a funciones y gráficos. La figura proporciona gráficos de las funciones (y = 2 ^ x, y = 3 ^ x, y = 2.7 ^ x, ) y (y = 2.8 ^ x ). Una estimación visual de las pendientes de las rectas tangentes a estas funciones en 0 proporciona evidencia de que el valor de e se encuentra entre 2,7 y 2,8. La función (E (x) = e ^ x ) se llama función exponencial natural. Su inverso, (L (x) = log_ex = lnx ) se llama función logarítmica natural.

Figura ( PageIndex {1} ): La gráfica de (E (x) = e ^ x ) está entre (y = 2 ^ x ) y (y = 3 ^ x ).

Para una mejor estimación de (e ), podemos construir una tabla de estimaciones de (B ′ (0) ) para funciones de la forma (B (x) = b ^ x ). Antes de hacer esto, recuerde que

(B ′ (0) = lim_ {x → 0} frac {b ^ x − b ^ 0} {x − 0} = lim_ {x → 0} frac {b ^ x − 1} {x} ≈ frac {b ^ x − 1} {x} )

para valores de (x ) muy cercanos a cero. Para nuestras estimaciones, elegimos (x = 0.00001 ) y (x = −0.00001 )

para obtener el presupuesto

( frac {b ^ {- 0.00001} −1} {- 0.00001}

Consulte la siguiente tabla.

Tabla: Estimación de un valor de e
B ( frac {b ^ {- 0.00001} −1} {- 0.00001} B ( frac {b ^ {- 0.00001} −1} {- 0.00001}
2 (0,693145 2.718 (1.000002
2.7 (0.993247 2.719 (1.000259
2.71 (0,996944 2.72 (1.000627
2.718 (0.999891 2.8 (1.029614
2.7182 (0.999965 3 (1.098606

La evidencia de la tabla sugiere que (2.7182

La gráfica de (E (x) = e ^ x ) junto con la línea (y = x + 1 ) se muestran en la Figura. Esta línea es tangente a la gráfica de (E (x) = e ^ x ) en (x = 0 ).

Figura ( PageIndex {2} ): La recta tangente a (E (x) = e ^ x ) en (x = 0 ) tiene pendiente 1.

Ahora que hemos establecido nuestras suposiciones básicas, comenzamos nuestra investigación explorando la derivada de (B (x) = b ^ x, b> 0 ). Recuerde que asumimos que existe (B ′ (0) ). Al aplicar la definición de límite a la derivada, concluimos que

(B ′ (0) = lim_ {h → 0} frac {b ^ {0 + h} −b ^ 0} {h} = lim_ {h → 0} frac {b ^ h − 1} {h } ).

Pasando a (B ′ (x) ), obtenemos lo siguiente.

(B ′ (x) = lim_ {h → 0} frac {b ^ {x + h} −b ^ x} {h} ) Aplicar la definición de límite de la derivada.

(= lim_ {h → 0} frac {b ^ xb ^ h − b ^ x} {h} ) Tenga en cuenta que bx + h = bxbh.

(= lim_ {h → 0} frac {b ^ x (b ^ h − 1)} {h} ) Factoriza bx.

(= b ^ xlim_ {h → 0} frac {b ^ h − 1} {h} ) Aplicar una propiedad de límites.

(= b ^ xB ′ (0) ) Utilice (B ′ (0) = lim_ {h → 0} frac {b ^ {0 + h} −b ^ 0} {h} = lim_ {h → 0} frac {b ^ h − 1} {h} ).

Vemos que sobre la base del supuesto de que (B (x) = b ^ x ) es diferenciable en (0, B (x) ) no solo es diferenciable en todas partes, sino que su derivada es

(B ′ (x) = b ^ xB ′ (0). )

Para (E (x) = e ^ x, E ′ (0) = 1. ) Por lo tanto, tenemos (E ′ (x) = e ^ x ). (El valor de (B ′ (0) ) para una función arbitraria de la forma (B (x) = b ^ x, b> 0, ) se derivará más adelante).

Derivada de la función exponencial natural

Sea (E (x) = e ^ x ) la función exponencial natural. Luego

(E ′ (x) = e ^ x. )

En general,

( frac {d} {dx} (e ^ {g (x)}) = e ^ {g (x)} g ′ (x) ).

Ejemplo ( PageIndex {1} ): derivada de una función exponencial

Encuentra la derivada de (f (x) = e ^ {tan (2x)} ).

Solución:

Usando la fórmula de la derivada y la regla de la cadena,

(f ′ (x) = e ^ {tan (2x)} frac {d} {dx} (tan (2x)) = e ^ {tan (2x)} seg ^ 2 (2x) ⋅2 ).

Ejemplo ( PageIndex {2} ): combinación de reglas de diferenciación

Encuentra la derivada de (y = frac {e ^ {x ^ 2}} {x} ).

Solución

Usa la derivada de la función exponencial natural, la regla del cociente y la regla de la cadena.

(y ′ = frac {(e ^ {x ^ 2} ⋅2) x⋅x − 1⋅e ^ {x ^ 2}} {x ^ 2} ) Aplica la regla del cociente.

(= frac {e ^ {x ^ 2} (2x ^ 2−1)} {x ^ 2} ) Simplifica.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Encuentra la derivada de (h (x) = xe ^ {2x} ).

Insinuación

No olvide utilizar la regla del producto.

Respuesta

(h ′ (x) = e ^ {2x} + 2xe ^ {2x} )

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Aplicación de la función exponencial natural

Una colonia de mosquitos tiene una población inicial de 1000. Después de (t ) días, la población viene dada por (A (t) = 1000e ^ {0.3t} ). Demuestre que la razón entre la tasa de cambio de la población, (A ′ (t) ), y la población, (A (t) ) es constante.

Solución

Primero encuentra (A ′ (t) ). Al usar la regla de la cadena, tenemos (A ′ (t) = 300e ^ {0.3t}. ) Por lo tanto, la razón entre la tasa de cambio de la población y la población está dada por

(A ′ (t) = frac {300e ^ {0.3t}} {1000e ^ {0.3t}} = 0.3. )

La razón de la tasa de cambio de la población a la población es la constante 0.3.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Si (A (t) = 1000e ^ {0.3t} ) describe la población de mosquitos después de (t ) días, como en el ejemplo anterior, ¿cuál es la tasa de cambio de (A (t) ) después de ¿4 dias?

Insinuación

Encuentra (A ′ (4) ).

Respuesta

(996)

Derivada de la función logarítmica

Ahora que tenemos la derivada de la función exponencial natural, podemos usar la diferenciación implícita para encontrar la derivada de su inversa, la función logarítmica natural.

Definición: la derivada de la función logarítmica natural

Si (x> 0 ) y (y = lnx ), entonces

( frac {dy} {dx} = frac {1} {x} ).

De manera más general, sea (g (x) ) una función diferenciable. Para todos los valores de (x ) para los cuales (g ′ (x)> 0 ), la derivada de (h (x) = ln (g (x)) ) está dada por

(h ′ (x) = frac {1} {g (x)} g ′ (x). )

Prueba

Si (x> 0 ) y (y = lnx ), entonces (e ^ y = x. ) Diferenciar ambos lados de esta ecuación da como resultado la ecuación

(e ^ y frac {dy} {dx} = 1. )

Resolviendo para ( frac {dy} {dx} ) se obtiene

( frac {dy} {dx} = frac {1} {e ^ y} ).

Finalmente, sustituimos (x = e ^ y ) para obtener

( frac {dy} {dx} = frac {1} {x} ).

También podemos derivar este resultado aplicando el teorema de la función inversa, como sigue. Dado que (y = g (x) = lnx )

es la inversa de (f (x) = e ^ x ), aplicando el teorema de la función inversa tenemos

( frac {dy} {dx} = frac {1} {f ′ (g (x))} = frac {1} {e ^ {lnx}} = frac {1} {x} ) .

Usando este resultado y aplicando la regla de la cadena a (h (x) = ln (g (x)) ) se obtiene

(h ′ (x) = frac {1} {g (x)} g ′ (x) ).

La gráfica de (y = lnx ) y su derivada ( frac {dy} {dx} = frac {1} {x} ) se muestran en la Figura.

Figura ( PageIndex {3} ): La función (y = lnx ) aumenta en ((0, + ∞) ). Su derivada (y '= frac {1} {x} ) es mayor que cero en ((0, + ∞) )

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Obtener una derivada de un logaritmo natural

Encuentra la derivada de (f (x) = ln (x ^ 3 + 3x − 4) ).

Solución

Utilice Ecuación directamente.

(f ′ (x) = frac {1} {x ^ 3 + 3x − 4} ⋅ (3x ^ 2 + 3) ) Usa (g (x) = x ^ 3 + 3x − 4 ) en (h ′ (x) = frac {1} {g (x)} g ′ (x) ).

(= frac {3x ^ 2 + 3} {x ^ 3 + 3x − 4} ) Reescribe.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Usar propiedades de logaritmos en una derivada

Encuentra la derivada de (f (x) = ln ( frac {x ^ 2sinx} {2x + 1}) ).

Solución

A primera vista, tomar esta derivada parece bastante complicado. Sin embargo, al usar las propiedades de los logaritmos antes de encontrar la derivada, podemos simplificar mucho el problema.

(f (x) = ln ( frac {x ^ 2sinx} {2x + 1}) = 2lnx + ln (sinx) −ln (2x + 1) ) Aplicar propiedades de logaritmos.

(f ′ (x) = frac {2} {x} + cotx− frac {2} {2x + 1} ) Aplicar la regla de la suma y (h ′ (x) = frac {1} {g (x)} g ′ (x) ).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Diferenciar: (f (x) = ln (3x + 2) ^ 5 ).

Insinuación

Usa una propiedad de los logaritmos para simplificar antes de tomar la derivada.

Respuesta

(f ′ (x) = frac {15} {3x + 2} )

Ahora que podemos diferenciar la función logarítmica natural, podemos usar este resultado para encontrar las derivadas de (y = log_bx ) y (y = b ^ x ) para (b> 0, b ≠ 1 ).

Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales generales

Sea (b> 0, b ≠ 1, ) y sea (g (x) ) una función diferenciable.

I. Si, (y = log_bx ), entonces

( frac {dy} {dx} = frac {1} {xlnb} ).

De manera más general, si (h (x) = log_b (g (x)) ), entonces para todos los valores de x para los cuales (g (x)> 0 ),

(h ′ (x) = frac {g ′ (x)} {g (x) lnb} ).

ii. Si (y = b ^ x, ) entonces

( frac {dy} {dx} = b ^ xlnb ).

De manera más general, si (h (x) = b ^ {g (x)}, ) entonces

(h ′ (x) = b ^ {g (x)} g '' (x) lnb )

Prueba

Si (y = log_bx, ) entonces (b ^ y = x. ) Se sigue que (ln (b ^ y) = lnx ). Entonces (ylnb = lnx ). Resolviendo para (y ), tenemos (y = frac {lnx} {lnb} ). Diferenciando y teniendo en cuenta que (lnb ) es una constante, vemos que

( frac {dy} {dx} = frac {1} {xlnb} ).

La derivada en la ecuación ahora se sigue de la regla de la cadena.

Si (y = b ^ x ). entonces (lny = xlnb. ) Usando la diferenciación implícita, nuevamente teniendo en cuenta que (lnb ) es constante, se sigue que ( frac {1} {y} frac {dy} {dx} = lnb ). Resolviendo ( frac {dy} {dx} ) y sustituyendo (y = b ^ x ), vemos que

( frac {dy} {dx} = ylnb = b ^ xlnb ).

La derivada más general (Ecuación) se sigue de la regla de la cadena.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Aplicación de fórmulas derivadas

Encuentra la derivada de (h (x) = frac {3 ^ x} {3 ^ x + 2} ).

Solución

Usa la regla del cociente y la nota.

(h ′ (x) = frac {3 ^ xln3 (3 ^ x + 2) −3 ^ xln3 (3 ^ x)} {(3 ^ x + 2) ^ 2} ) Aplica la regla del cociente.

(= frac {2⋅3 ^ xln3} {(3x + 2) ^ 2} ) Simplifica.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): encontrar la pendiente de una recta tangente

Encuentra la pendiente de la recta tangente a la gráfica de (y = log_2 (3x + 1) ) en (x = 1 ).

Solución

Para encontrar la pendiente, debemos evaluar ( frac {dy} {dx} ) en (x = 1 ). Usando la ecuación, vemos que

( frac {dy} {dx} = frac {3} {ln2 (3x + 1)} ).

Al evaluar la derivada en (x = 1 ), vemos que la recta tangente tiene pendiente

( frac {dy} {dx} ∣_ {x = 1} = frac {3} {4ln2} = frac {3} {ln16} ).

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Encuentra la pendiente de la recta tangente a (y = 3 ^ x ) en (x = 2. )

Insinuación

Evalúa la derivada en (x = 2. )

Respuesta

(9ln (3) )

Diferenciación logarítmica

En este punto, podemos tomar derivadas de funciones de la forma (y = (g (x)) ^ n ) para ciertos valores de (n ), así como funciones de la forma (y = b ^ {g (x)} ), donde (b> 0 ) y (b ≠ 1 ). Desafortunadamente, todavía no conocemos las derivadas de funciones como (y = x ^ x ) o (y = x ^ π ). Estas funciones requieren una técnica llamada diferenciación logarítmica, lo que nos permite diferenciar cualquier función de la forma (h (x) = g (x) ^ {f (x)} ). También se puede usar para convertir un problema de diferenciación muy complejo en uno más simple, como encontrar la derivada de (y = frac {x sqrt {2x + 1}} {e ^ xsin ^ 3x} ). Describimos esta técnica en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas: uso de la diferenciación logarítmica

  1. Para diferenciar (y = h (x) ) usando la diferenciación logarítmica, tome el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para obtener (lny = ln (h (x)). )
  2. Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir (ln (h (x)) ) tanto como sea posible.
  3. Diferencia ambos lados de la ecuación. A la izquierda tendremos ( frac {1} {y} frac {dy} {dx} ).
  4. Multiplica ambos lados de la ecuación por (y ) para resolver ( frac {dy} {dx} ).
  5. Reemplaza (y ) por (h (x) ).

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Uso de diferenciación logarítmica

Encuentra la derivada de (y = (2x ^ 4 + 1) ^ {tanx} ).

Solución

Usa la diferenciación logarítmica para encontrar esta derivada.

(lny = ln (2x ^ 4 + 1) ^ {tanx} ) Paso 1. Calcula el logaritmo natural de ambos lados.

(lny = tanxln (2x ^ 4 + 1) ) Paso 2. Expande usando las propiedades de los logaritmos.

( frac {1} {y} frac {dy} {dx} = sec ^ 2xln (2x ^ 4 + 1) + frac {8x ^ 3} {2x ^ 4 + 1} ⋅tanx ) Paso 3 Diferenciar ambos lados. Utilice la regla del producto a la derecha.

( frac {dy} {dx} = y⋅ (sec ^ 2xln (2x4 + 1) + frac {8x ^ 3} {2x ^ 4 + 1} ⋅tanx) ) Paso 4. Multiplica por ambos lados.

( frac {dy} {dx} = (2x ^ 4 + 1) ^ {tanx} (sec ^ 2xln (2x ^ 4 + 1) + frac {8x ^ 3} {2x ^ 4 + 1} ⋅tanx ) ) Paso 5. Sustituye (y = (2x ^ 4 + 1) ^ {tanx} ).

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Ampliación de la regla de potencia

Encuentra la derivada de (y = frac {x sqrt {2x + 1}} {e ^ xsin ^ 3x} ).

Solución

Este problema realmente hace uso de las propiedades de los logaritmos y las reglas de diferenciación que se dan en este capítulo.

(lny = ln frac {x sqrt {2x + 1}} {e ^ xsin ^ 3x} )Paso 1. Calcula el logaritmo natural de ambos lados.
(lny = lnx + frac {1} {2} ln (2x + 1) −xlne − 3lnsinx )Paso 2. Amplíe utilizando las propiedades de los logaritmos.
( frac {1} {y} frac {dy} {dx} = frac {1} {x} + frac {1} {2x + 1} −1−3 frac {cosx} {sinx} )Paso 3. Diferenciar ambos lados.
( frac {dy} {dx} = y ( frac {1} {x} + frac {1} {2x + 1} −1−3cotx) )Paso 4. Multiplica por (y ) en ambos lados.
( frac {dy} {dx} = frac {x sqrt {2x + 1}} {e ^ xsin ^ 3x} ( frac {1} {x} + frac {1} {2x + 1} −1−3cotx) )Paso 5. Sustituye (y = frac {x sqrt {2x + 1}} {e ^ xsin ^ 3x}. )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Usa la diferenciación logarítmica para encontrar la derivada de (y = x ^ x ).

Insinuación

Siga la estrategia de resolución de problemas.

Respuesta

Solución: ( frac {dy} {dx} = x ^ x (1 + lnx) )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Encuentra la derivada de (y = (tanx) ^ π ).

Insinuación

Utilice el resultado de Example.

Respuesta

(y ′ = π (tanx) ^ {π − 1} seg ^ 2x )

Conceptos clave

  • Partiendo del supuesto de que la función exponencial (y = b ^ x, b> 0 ) es continua en todas partes y diferenciable en 0, esta función es diferenciable en todas partes y existe una fórmula para su derivada.
  • Podemos usar una fórmula para encontrar la derivada de (y = lnx ), y la relación (log_bx = frac {lnx} {lnb} ) nos permite extender nuestras fórmulas de diferenciación para incluir logaritmos con bases arbitrarias.
  • La diferenciación logarítmica nos permite diferenciar funciones de la forma (y = g (x) ^ {f (x)} ) o funciones muy complejas tomando el logaritmo natural de ambos lados y explotando las propiedades de los logaritmos antes de diferenciar.

Ecuaciones clave

  • Derivada de la función exponencial natural

( frac {d} {dx} (e ^ {g (x)}) = e ^ {g (x)} g ′ (x) )

  • Derivada de la función logarítmica natural

( frac {d} {dx} (lng (x)) = frac {1} {g (x)} g ′ (x) )

  • Derivada de la función exponencial general

( frac {d} {dx} (b ^ {g (x)}) = b ^ {g (x)} g ′ (x) lnb )

  • Derivada de la función logarítmica general

( frac {d} {dx} (log_bg (x)) = frac {g ′ (x)} {g (x) lnb} )

Glosario

diferenciación logarítmica
es una técnica que nos permite diferenciar una función tomando primero el logaritmo natural de ambos lados de una ecuación, aplicando propiedades de los logaritmos para simplificar la ecuación y diferenciando implícitamente

Colaboradores

  • Gilbert Strang (MIT) y Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) con muchos autores contribuyentes. Este contenido de OpenStax tiene una licencia CC-BY-SA-NC 4.0. Descárguelo gratis en http://cnx.org.


3.9: Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

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Calculadas derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.

La derivada del logaritmo natural

Todavía no tenemos una fórmula de acceso directo para la derivada del logaritmo natural, así que comencemos por la definición. Colocar .

Es decir, el límite dentro del logaritmo está un poco más allá de lo que podemos manejar en este momento, por lo que, a menos que podamos idear una estrategia diferente, estamos atascados.

¿Qué sabemos de este logaritmo? Sabemos que la función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial. Es decir, dado que estamos tratando de encontrar la derivada de, eso significa que estamos tratando de encontrar. En lugar de trabajar con la versión logarítmica de, intentemos trabajar con su versión exponencial. Empezaremos tomando la derivada de ambos lados. El lado derecho es fácil, pero ¿qué pasa con el lado izquierdo? Si pensamos en solo una función de, entonces el lado izquierdo es el exponencial con el reemplazado por una función. Es un problema de la regla de la cadena, cuando pensamos que tiene una función externa y una función interna. Por regla de cadena,. Juntemos todo esto.

Notamos una vez más eso, entonces. Esto da nuestra fórmula derivada.

La derivada de exponenciales y logaritmos con otras bases

Hemos encontrado fórmulas derivadas para la función exponencial natural y la función logaritmo natural, pero aún no hemos explorado otras bases. Ese será nuestro enfoque durante el resto de la sección.

Para exponenciales, recordamos que cualquier número puede escribirse en la forma para algún valor específico de. Para determinar el, resolvemos la ecuación así. Es decir, .

Para encontrar, estamos encontrando, lo que conocemos por la regla de la cadena.

Reescribiendo a medida que encontramos nuestra fórmula derivada.

Para tratar con logaritmos de otras bases, nos basamos en la fórmula de cambio de base:

Esta fórmula nos permite reemplazar un logaritmo con una base por un logaritmo con la base que queramos. Hay una base que nos gusta más que las demás, la base. Esto significa .


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Objetivos

  • Encuentra la derivada de funciones logarítmicas.
  • Usa la diferenciación logarítmica para determinar la derivada de una función.

Resumen

Hemos establecido una regla para derivadas de funciones exponenciales con el mismo espíritu que la regla para funciones de potencia: para cualquier número real positivo (a text <,> ) if (f (x) = a ^ x text < ,> ) luego (f '(x) = a ^ x ln (a) text <.> )

Para una función exponencial (f (x) = a ^ x ) ((a gt 1) text <,> ) la gráfica de (f '(x) ) parece ser una versión escalada de la función original. En particular, un análisis cuidadoso de la gráfica de (f (x) = 2 ^ x text <,> ) sugiere que ( frac[2 ^ x] = 2 ^ x ln (2) text <,> ) que es un caso especial de la regla que establecimos en la Sección 2.1.

En lo que sigue, encontramos una fórmula para la derivada de (g (x) = ln (x) text <.> ) Para hacerlo, aprovechamos el hecho de que conocemos la derivada de la exponencial natural función, la inversa de (g text <.> ) En particular, sabemos que escribir (g (x) = ln (x) ) es equivalente a escribir (e ^ = x text <.> ) Ahora diferenciamos ambos lados de esta ecuación y observamos que

El lado derecho es simplemente (1 text <> ) aplicando la regla de la cadena al lado izquierdo, encontramos que

A continuación, resolvemos (g '(x) text <,> ) para obtener

Finalmente, recordamos que (g (x) = ln (x) text <,> ) entonces (e ^ = e ^ < ln (x)> = x text <,> ) y así

Para todos los números reales positivos (x text <,> ) ( frac[ ln (x)] = frac <1> text <.> )


3.9: Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

Hasta ahora, hemos aprendido a diferenciar una variedad de funciones, incluidas las funciones trigonométricas, inversas e implícitas. En esta sección, exploramos las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas. Como discutimos en Introducción a funciones y gráficos, las funciones exponenciales juegan un papel importante en el modelado del crecimiento de la población y la desintegración de materiales radiactivos. Las funciones logarítmicas pueden ayudar a cambiar la escala de grandes cantidades y son particularmente útiles para reescribir expresiones complicadas.

Derivada de la función exponencial

Al igual que cuando encontramos las derivadas de otras funciones, podemos encontrar las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas usando fórmulas. A medida que desarrollamos estas fórmulas, necesitamos hacer ciertas suposiciones básicas. Las pruebas que sostienen estos supuestos están más allá del alcance de este curso.

En primer lugar, partimos del supuesto de que la función se define para cada número real y es continuo. En cursos anteriores, se definieron los valores de las funciones exponenciales para todos los números racionales, comenzando con la definición de dónde es un número entero positivo, como el producto de multiplicado por sí mismo veces. Más tarde, definimos para un entero positivo y para enteros positivos y Estas definiciones dejan abierta la cuestión del valor de dónde es un número real arbitrario. Asumiendo el continuidad de podemos interpretar como donde los valores de como tomamos el límite somos racionales. Por ejemplo, podemos ver como el numero satisfactorio

Como vemos en la siguiente tabla,

Aproximando un valor de
64 77.8802710486
73.5166947198 77.8810268071
77.7084726013 77.9242251944
77.8162741237 78.7932424541
77.8702309526 84.4485062895
77.8799471543 256

También asumimos que para el valor de la derivada existe. En esta sección, mostramos que al hacer esta suposición adicional, es posible probar que la función es diferenciable en todas partes.

Hacemos una última suposición: que existe un valor único de para cual Definimos para ser este valor único, como hicimos en Introducción a funciones y gráficos. (Figura) proporciona gráficos de las funciones y Una estimación visual de las pendientes de las rectas tangentes a estas funciones en 0 proporciona evidencia de que el valor de mi se encuentra en algún lugar entre 2.7 y 2.8. La función se llama función exponencial natural. Es inverso se llama función logarítmica natural.

La gráfica de está entre y

Para una mejor estimación de podemos construir una tabla de estimaciones de para funciones de la forma Antes de hacer esto, recuerde que

para valores de muy cerca de cero. Para nuestras estimaciones, elegimos y para obtener el presupuesto

Estimando un valor de

La evidencia de la tabla sugiere que

La gráfica de junto con la línea se muestran en la (Figura). Esta recta es tangente a la gráfica de a

La recta tangente a a tiene pendiente 1.

Ahora que hemos establecido nuestras suposiciones básicas, comenzamos nuestra investigación explorando la derivada de Recuerde que hemos asumido que existe. Al aplicar la definición de límite a la derivada, concluimos que

Cambiando obtenemos lo siguiente.

Vemos que partiendo del supuesto de que es diferenciable en no solo es diferenciable en todas partes, sino que su derivada es

Para Por lo tanto, tenemos (El valor de para una función arbitraria de la forma se derivará más adelante.)

Dejar ser la función exponencial natural. Luego

Encuentra la derivada de

Usando la fórmula de la derivada y la regla de la cadena,

Encuentra la derivada de

Usa la derivada de la función exponencial natural, la regla del cociente y la regla de la cadena.

Encuentra la derivada de

No olvide utilizar la regla del producto.

Una colonia de mosquitos tiene una población inicial de 1000. Después días, la población está dada por Demuestre que la razón de la tasa de cambio de la población, a la población, es constante.

Primero encuentra Al usar la regla de la cadena, tenemos Por lo tanto, la razón entre la tasa de cambio de la población y la población está dada por

La razón de la tasa de cambio de la población a la población es la constante 0.3.

Si describe la población de mosquitos después días, como en el ejemplo anterior, ¿cuál es la tasa de cambio de después de 4 días?

Encontrar

Derivada de la función logarítmica

Ahora que tenemos la derivada de la función exponencial natural, podemos usar la diferenciación implícita para encontrar la derivada de su inversa, la función logarítmica natural.

Si y luego

De manera más general, dejemos ser una función diferenciable. Para todos los valores de para cual la derivada de es dado por

Prueba

Si y luego Diferenciar ambos lados de esta ecuación da como resultado la ecuación

Resolviendo para rendimientos

Finalmente, sustituimos para obtener

También podemos derivar este resultado aplicando el teorema de la función inversa, como sigue. Desde es el inverso de aplicando el teorema de la función inversa tenemos

Usando este resultado y aplicando la regla de la cadena a rendimientos

La gráfica de y su derivado se muestran en la (Figura).

está aumentando en Su derivado es mayor que cero en

Encuentra la derivada de

Encuentra la derivada de

A primera vista, tomar esta derivada parece bastante complicado. Sin embargo, al usar las propiedades de los logaritmos antes de encontrar la derivada, podemos simplificar mucho el problema.

Diferenciar:

Usa una propiedad de los logaritmos para simplificar antes de tomar la derivada.

Ahora que podemos diferenciar la función logarítmica natural, podemos usar este resultado para encontrar las derivadas de y por

Dejar y deja ser una función diferenciable.

    Si, luego

De manera más general, si entonces para todos los valores de X para cual

De manera más general, si luego

Prueba

Si luego Resulta que Por lo tanto Resolviendo para tenemos Diferenciar y tener en cuenta que es una constante, vemos que

La derivada en (Figura) ahora se sigue de la regla de la cadena.

Si luego Usando la diferenciación implícita, nuevamente teniendo en cuenta que es constante, se sigue que Resolviendo para y sustituyendo vemos eso

La derivada más general ((Figura)) se sigue de la regla de la cadena.

Encuentra la derivada de

Utilice la regla del cociente y (Figura).

Encuentra la pendiente de la recta tangente a la gráfica de a

Para encontrar la pendiente, debemos evaluar a Usando (Figura), vemos que

Al evaluar la derivada en vemos que la recta tangente tiene pendiente

Encuentra la pendiente de la recta tangente a a

Evalúe la derivada en

Diferenciación logarítmica

En este punto, podemos tomar derivadas de funciones de la forma para ciertos valores de así como funciones de la forma dónde y Desafortunadamente, todavía no conocemos las derivadas de funciones como o Estas funciones requieren una técnica llamada diferenciación logarítmica, que nos permite diferenciar cualquier función de la forma También se puede utilizar para convertir un problema de diferenciación muy complejo en uno más simple, como encontrar la derivada de Describimos esta técnica en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

  1. Para diferenciar usando la diferenciación logarítmica, tome el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para obtener
  2. Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir cuanto más se pueda.
  3. Diferencia ambos lados de la ecuación. A la izquierda tendremos
  4. Multiplica ambos lados de la ecuación por para resolver
  5. Reemplazar por

Encuentra la derivada de

Usa la diferenciación logarítmica para encontrar esta derivada.

Encuentra la derivada de

Este problema realmente hace uso de las propiedades de los logaritmos y las reglas de diferenciación que se dan en este capítulo.

Encuentra la derivada de dónde es un número real arbitrario.

El proceso es el mismo que en la (Figura), aunque con menos complicaciones.

Usa la diferenciación logarítmica para encontrar la derivada de

Siga la estrategia de resolución de problemas.

Encuentra la derivada de

Conceptos clave

  • Sobre la base del supuesto de que la función exponencial es continua en todas partes y diferenciable en 0, esta función es diferenciable en todas partes y existe una fórmula para su derivada.
  • Podemos usar una fórmula para encontrar la derivada de y la relación nos permite ampliar nuestras fórmulas de diferenciación para incluir logaritmos con bases arbitrarias.
  • La diferenciación logarítmica nos permite diferenciar funciones de la forma o funciones muy complejas tomando el logaritmo natural de ambos lados y explotando las propiedades de los logaritmos antes de diferenciar.

Derivadas De Funciones Exponenciales Y Logarítmicas Problemas De Práctica Pdf

Publicado el sábado 29 de mayo de 2021, 08:31:15 a. M. Hoja de cálculo. Por Andrea Rose.

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3.9: Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

Logarítmico y exponencial

Problema: deja y

(I)

(ii)

(iii)

(iv)

Exploraremos los gráficos de nuestras nuevas funciones y exploraremos los cambios en los dominios y rangos.

Primero consideramos las gráficas de y .

Vemos de inmediato, que y .

Nos damos cuenta que parece permanecer a la derecha del eje y, y parece permanecer por encima del eje x.

Solo un pequeño pensamiento revela que, de hecho, este debe ser el caso, ya que para todos , Esto se debe al hecho de que , y así cualquier poder de también debe ser mayor que cero.

Ahora para , primero debemos notar cómo y están relacionados. Cuando hablamos de , en realidad solo estamos preguntando qué poder de es igual a . Eso es cuando

, que es ?

Por ejemplo, desde implica que Esto explica porque siempre está a la derecha del eje y, ya que para todos . Por eso, no está definido para .

Decimos que el dominio de , denotado y el rango de , denotado

Similar, y .

Ahora, , como , está siempre a la derecha del eje y.

Bueno obviamente Si , desde no está definido para .

Por eso, y .

Nosotros tampoco eso se encuentra entre los gráficos de y , but this makes sense because we are simply adding the two respective functions to form .

Now consider .

Again we see that y .

But this time the growth of eventually overtakes . Just a little thought we understand why this must be the case, since for all , y Si .

What about

Well, as expected y .

What can we guess about y , where .

This time y .

Notice: appears to be very similar to the graph . Well, we need only note that , and so , the identity function.

In this case, we say that y , and so .

Regreso


Randolph H.S. AP Calculus AB '09

Ch 5 Sect 1 45-69 odds (solutions in the e-book)

Video: Ch5 Sect 1 45-49 odd
Video: Ch5 Sect 1 49(continued)-51 odd
Video: Ch5 Sect 1 53-57 odd
Video: Ch5 Sect 1 57(continued)-59 odd

Ch 5 Sect 4 39-61 odds (solutions in the e-book)

Video: Ch5 Sect 4 39-45 odd
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Appendix: Partial Derivatives

Let's say our function depends on two inputs:

The derivative of f can be seen from x's point of view (how does f change with x?) or y's point of view (how does f change with y?). It's the same idea: we have two "independent" perspectives that we combine for the overall behavior (it's like combining the point of view of two Solipsists, who think they're the only "real" people in the universe).

If x and y depend on the same variable (like t, time), we can write the following:

It's a bit of the chain rule -- we're combining two perspectives, and for each perspective, we dive into its root cause (time).

If x and y are otherwise independent, we represent the derivative along each axis in a vector:

This is the gradient, a way to represent "From this point, if you travel in the x or y direction, here's how you'll change". We combined our 1-dimensional "points of view" to get an understanding of the entire 2d system. Whoa.


Nota: For a complex example of expanding a logarithmic expression using the laws of logarithms, see question #1 in the Additional Examples section at the bottom of the page. For an example of solving a logarithmic expression, see question #2 in the Additional Examples section.

A logaritmo natural, denoted ln rather than log, is a logarithm with base e. The irrational number e is equal to 2.718281828459. This number has important applications in calculus and the true meaning of it will be explained in the Derivatives of Logarithmic Functions section. For now, it can be taken as a special number that is approximately equal to 2.718.

The notation for natural logarithms is a bit different than the notation for regular logarithms. The natural logarithm is equal to the logarithm with the base e.

One special property of natural logarithms is that ln e = 1. This property is easily seen, since the logarithmic form of ln e is logmi e, which is always equal to 1 for any variable.

The definition of natural logarithms follows from the definition of regular logarithms, where

The cancellation equations for natural logarithms also follow from the property for regular logarithms.

The laws of logarithms can also be applied to natural logarithms by letting the base a equal e. The laws of natural logarithms are shown below. For any x,y > 0 and any real number r,


Ver el vídeo: Qué son las derivadas? (Noviembre 2021).