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4.8: Diferenciación implícita - Matemáticas


Como hemos visto, existe una estrecha relación entre las derivadas de (e ^ x ) y ( ln x ) porque estas funciones son inversas. En lugar de confiar en imágenes para nuestra comprensión, nos gustaría poder explotar esta relación computacionalmente. De hecho, esta técnica puede ayudarnos a encontrar derivadas en muchas situaciones, no solo cuando buscamos la derivada de una función inversa.

Comenzaremos ilustrando la técnica para encontrar lo que ya sabemos, la derivada de ( ln x ). Escribamos (y = ln x ) y luego (x = e ^ { ln x} = e ^ y ), es decir, (x = e ^ y ). Decimos que esta ecuación define la función (y = ln x ) implícitamente porque si bien no es una expresión explícita (y = ldots ), es cierto que si (x = e ^ y ) entonces (y ) es de hecho la función logaritmo natural.

Ahora, por el momento, imagina que todo lo que sabemos de (y ) es que (x = e ^ y ); ¿Qué podemos decir de los derivados? Podemos tomar la derivada de ambos lados de la ecuación:

[{d over dx} x = {d over dx} e ^ y. ]

Luego, usando la regla de la cadena en el lado derecho:

[1 = left ({d over dx} y right) e ^ y = y'e ^ y. ]

Entonces podemos resolver para (y '):

[y '= {1 sobre e ^ y} = {1 sobre x}. ]

Aquí hay una pequeña dificultad. Para usar la regla de la cadena para calcular (d / dx (e ^ y) = y'e ^ y ) necesitamos saber que la función (y ) posee un derivado. Todo lo que hemos demostrado es que Si tiene una derivada, entonces esa derivada debe ser (1 / x ). Al utilizar este método, siempre tendremos que asumir que existe la derivada deseada, pero afortunadamente esta es una suposición segura para la mayoría de estos problemas.

El ejemplo (y = ln x ) involucró una función inversa definida implícitamente, pero otras funciones pueden definirse implícitamente y, a veces, una sola ecuación puede usarse para definir implícitamente más de una función. Aquí tienes un ejemplo familiar. La ecuación (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) describe un círculo de radio (r ). El círculo no es una función (y = f (x) ) porque para algunos valores de (x ) hay dos valores correspondientes de (y ).

Si queremos trabajar con una función, podemos romper el círculo en dos partes, los semicírculos superior e inferior, cada uno de los cuales es una función. Llamemos a estos (y = U (x) ) y (y = L (x) ); de hecho, este es un ejemplo bastante simple, y es posible dar expresiones explícitas para estos:

[U (x) = sqrt {r ^ 2-x ^ 2} ]

y

[L (x) = - sqrt {r ^ 2-x ^ 2}. ]

Pero es algo más fácil, y bastante útil, ver ambas funciones implícitamente dadas por (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ): both (r ^ 2 = x ^ 2 + U (x) ^ 2 ) y (r ^ 2 = x ^ 2 + L (x) ^ 2 ) son verdaderas, y podemos pensar que (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) definen tanto (U (x) ) y (L (x) ).

Ahora podemos tomar la derivada de ambos lados como antes, recordando que (y ) no es simplemente una variable sino una función --- en este caso, (y ) es (U (x) ) o (L (x) ) pero aún no especificamos cuál. Cuando tomamos la derivada solo tenemos que recordar aplicar la regla de la cadena donde aparece (y ).

[ eqalign {{d over dx} r ^ 2 & = {d over dx} (x ^ 2 + y ^ 2) cr 0 & = 2x + 2yy ' cr y' & = {- 2x over 2y } = - {x over y}. cr} ]

Ahora tenemos una expresión para (y '), pero contiene tanto (y ) como (x ). Esto significa que si queremos calcular (y ') para algún valor particular de (x ) tendremos que conocer o calcular (y ) para ese valor de (x ) también. Es en este punto que necesitaremos saber si (y ) es (U (x) ) o (L (x) ). Ocasionalmente resultará que podemos evitar el uso explícito de (U (x) ) o (L (x) ) por la naturaleza del problema.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Encuentra la pendiente del círculo (4 = x ^ 2 + y ^ 2 ) en el punto ((1, - sqrt {3}) ).

Solución

Dado que conocemos las coordenadas (x ) y (y ) del punto de interés, no necesitamos reconocer explícitamente que este punto está en (L (x) ), y no necesitamos use (L (x) ) para calcular (y ) --- pero podríamos. Usando el cálculo de (y ') de arriba,

[y '= - {x sobre y} = - {1 sobre - sqrt {3}} = {1 sobre sqrt {3}}. ]

Es instructivo comparar este enfoque con otros.

Podríamos haber reconocido al principio que ((1, - sqrt {3}) ) está en la función (y = L (x) = - sqrt {4-x ^ 2} ). Entonces podríamos tomar la derivada de (L (x) ), usando la regla de la potencia y la regla de la cadena, para obtener

[L '(x) = - {1 sobre 2} (4-x ^ 2) ^ {- 1/2} (- 2x) = {x sobre sqrt {4-x ^ 2}}. ]

Entonces podríamos calcular (L '(1) = 1 / sqrt {3} ) sustituyendo (x = 1 ).

Alternativamente, podríamos darnos cuenta de que el punto está en (L (x) ), pero use el hecho de que (y '= - x / y ). Dado que el punto está en (L (x) ) podemos reemplazar (y ) por (L (x) ) para obtener

[y '= - {x sobre L (x)} = - {x sobre sqrt {4-x ^ 2}}, ]

sin calcular la derivada de (L (x) ) explícitamente. Luego sustituimos (x = 1 ) y obtenemos la misma respuesta que antes.

En el caso del círculo, es posible encontrar las funciones (U (x) ) y (L (x) ) explícitamente, pero existen ventajas potenciales de usar la diferenciación implícita de todos modos. En algunos casos es más difícil o imposible encontrar una fórmula explícita para (y ) y la diferenciación implícita es la única forma de encontrar la derivada.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Encuentre la derivada de cualquier función definida implícitamente por (yx ^ 2 + e ^ y = x ).

Solución

Tratamos (y ) como una función no especificada y usamos la regla de la cadena:

[ eqalign {{d over dx} (yx ^ 2 + e ^ y) & = {d over dx} x cr (y cdot 2x + y ' cdot x ^ 2) + y'e ^ y & = 1 cr y'x ^ 2 + y'e ^ y & = 1-2xy cr y '(x ^ 2 + e ^ y) & = 1-2xy cr y' & = {1-2xy sobre x ^ 2 + e ^ y}. cr} ]

Podrías pensar que el paso en el que resolvemos (y ') a veces puede ser difícil; después de todo, estamos usando la diferenciación implícita aquí porque no podemos resolver la ecuación (yx ^ 2 + e ^ y = x ) para (y ), entonces tal vez después de tomar la derivada obtenemos algo que es difícil de resolver para (y ').

De echo, esto nunca sucede. Todas las apariciones (y ') provienen de la aplicación de la regla de la cadena, y siempre que se usa la regla de la cadena, deposita un solo (y' ) multiplicado por alguna otra expresión. Por lo tanto, siempre será posible agrupar los términos que contienen (y ') y factorizar (y' ), como en el ejemplo anterior. Si alguna vez tiene algo más difícil, ha cometido un error y debe solucionarlo antes de intentar continuar.

A veces ocurre que una situación conduce naturalmente a una ecuación que define implícitamente una función.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Considere todos los puntos ((x, y) ) que tienen la propiedad de que la distancia de ((x, y) ) a ((x_1, y_1) ) más la distancia de ((x, y ) ) a ((x_2, y_2) ) es (2a ) ( (a ) es una constante). Estos puntos forman una elipse, que como un círculo no es una función, pero puede verse como dos funciones pegadas juntas. Debido a que sabemos cómo escribir la distancia entre dos puntos, podemos escribir una ecuación implícita para el elipse:

[ sqrt {(x-x_1) ^ 2 + (y-y_1) ^ 2} + sqrt {(x-x_2) ^ 2 + (y-y_2) ^ 2} = 2a. ]

Luego, podemos usar la diferenciación implícita para encontrar la pendiente de la elipse en cualquier punto, aunque el cálculo es bastante complicado.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Ya hemos justificado la regla de la potencia usando la función exponencial, pero también podríamos hacerlo para exponentes racionales usando diferenciación implícita. Suponga que (y = x ^ {m / n} ), donde (m ) y (n ) son números enteros positivos. Podemos escribir esto implícitamente como (y ^ n = x ^ m ), luego, debido a que justificamos la regla de la potencia para los números enteros, podemos tomar la derivada de cada lado:

[ eqalign {ny ^ {n-1} y '& = mx ^ {m-1} cr y' & = {m sobre n} {x ^ {m-1} sobre y ^ {n- 1}} cr y '& = {m sobre n} {x ^ {m-1} sobre (x ^ {m / n}) ^ {n-1}} cr y' & = {m sobre n} x ^ {m-1- (m / n) (n-1)} cr y '& = {m sobre n} x ^ {m-1-m + (m / n)} cr y '& = {m over n} x ^ {(m / n) -1}. cr} ]


Cálculo 1

Oficina: MAR 189
Teléfono: (860) 405-9294
Horario de atención: MW 10:00 - 11:00 y con cita previa
Política de puertas abiertas: puede pasar para hablar sobre cualquier aspecto del curso, en cualquier momento, los días que estoy en el campus: lunes, miércoles y viernes.

MATH 1131 cubre los primeros 5 capítulos del libro de texto. Los temas principales son: funciones, límites, continuidad, derivadas e integrales.


Horario / lugar de reunión de la clase: lunes, miércoles 11:00 a.m. - 12:45 p.m. Aula ACD 207.

Todas las clases comienzan en ACD 2117.

Libros de texto: Obligatorio: Cálculo: Primeros trascendentales, de Briggs y Cochran

La tarea se asigna a cada clase y se recolecta todos los miércoles. Se devuelven el lunes siguiente con comentarios y se califican. El peso total de las calificaciones de las tareas es 50 puntos del total de 600 puntos del curso.

Horario del examen: Examen 1: miércoles 13 de febrero & nbsp 11:00 a.m. - 12:45 p.m., Sala: ACD 207
Examen 2: miércoles 13 de marzo, 11:00 a.m. - 12:45 p.m., Sala: ACD 207
Examen 3: miércoles 17 de abril, 11:00 a.m. - 12:45 p.m., Sala: ACD 207
Examen final: lunes 6 de mayo, 11:00 a.m. - 1:00 p.m., Sala: ACD 207

Política de calificación: Tarea: 50, Prueba: 100, Examen 1: 100, Examen 2: 100, Examen 3: 100, Examen final: 150.

Enlaces a recursos de Internet: Math 1131 ENLACES


El horario aproximado está a continuación.

Tenga en cuenta: planeo cubrir la mayoría de los capítulos 1-5.
Se supone que los estudiantes están familiarizados con el material de precálculo.



Fecha Capítulo Tema Tarea
Semana 1 Lun. 1/21
Día de Martin Luther King.

Casarse. 1/23 1.1,1.2 Revisión de funciones Representación de funciones 1.1 Ejercicios: 4,6,7,19,35,36,64
1.2 Ejercicios: 7-11,17,18,31,56





Semana 2 Lun. 1/28 1.3,1.4 Funciones inversas, exponenciales y logarítmicas. Funciones trigonométricas y sus inversas 1.3 Ejercicios: 8,10,19,20,35,36,38,67
1.4 Ejercicios: 16,17,22,30,31,35,36,57,83

Casarse. 30/1 2.1, 2.2 La idea de los límites. Definiciones de límites 2.1 Ejercicios: 7,12,13,17,22
2.2 Ejercicios: 7,10,11,18,21,30





Semana 3 Lun. 2/4 2.3, 2.4 Técnicas para calcular límites. Límites infinitos 2.3 Ejercicios: 6,12,19,20,23,30,39,40,62,74
2.4 Ejercicios: 9,12,16,18,20,23,24,39,44

Casarse. 2/6 2.5 Límites en el infinito
Examen de práctica 1 Soluciones para el examen de práctica 1
2.5 Ejercicios: 11,12,25,26,29,30,31,33,40,41,52,54





Semana 4 Lun. 2/11
Clase cancelada debido al clima

Casarse. 2/13
Examen 1





Semana 5 Lun. 2/18 2.6, 2.7 Continuidad. Definiciones precisas de límites 2.6 Ejercicios 9,10,15,16,25,26,35,36,45,46,55
2.7: Ejercicios 9,12

Casarse. 20/2 3.1, 3.2 Introduciendo la derivada. Reglas de diferenciación. 3.1 Ejercicios: 11,12,23,24,29,33,41,47,65,66
3.2 Ejercicios 10,12,17,18,21,22,37,38





Semana 6 Lun. 2/25 3.3, 3.4 Las reglas de producto y cociente. Derivadas de funciones trigonométricas. 3.3: Ejercicios 7,8,17,18,19,20,31,32,49,50
3.4 Ejercicios 8,9,10,11,16,17,18,19,44,45

Casarse. 27/2 3.5, 3.6 Derivados como tasas de cambio. La regla de la cadena 3.5: Ejercicios 12,17,18,24,32,35
3.6 Ejercicios: 8,9,10,11,17,18,19,20,21,22,37,38





Semana 7 Lun. 3/4 3.7, 3.8 Diferenciación implícita. Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales 3.7 Ejercicios 12,13,14,15,28,29,35,36
3.8: Ejercicios 10,11,39,40,47,48

Casarse. 3/6 3.9, 3.10 Derivadas de funciones trigonométricas inversas. Tarifas relacionadas 3.9 Ejercicios 9,10,11,12,13,14,15,16
3.10: Ejercicios 13,17,23,40





Semana 8 Lun. 3/11
Revisión del examen 2. Examen de práctica 2 Soluciones para el examen de práctica 2

Casarse. 3/13
Examen 2





Semana 9 Lun. 18/3
Receso de primavera.

Casarse. 20/3
Receso de primavera.





Semana 10 Lun. 3/25 4.1 Máximos y Mínimos 4.1 Ejercicios: 15,16,31,32,33,34,37,38,68

Casarse. 27/3 4.2 Qué nos dicen los derivados 4.2 Ejercicios: 11,12,29,30,33,34,57,58





Semana 11 Lun. 4/1 4.3, 4.4 Funciones gráficas. Problemas de optimización 4.3 Ejercicios: 10,11,16,20,28,29
4.4 Ejercicios: 7,8,11,15

Casarse. 4/3 4.5 Aproximación lineal y diferenciales. 4.5 Ejercicios: 9,10,11,12,19,20,21,22,26





Semana 12 Lun. 4/8 4.5,4.6 Teorema del valor medio 4.6 Ejercicios: 7,8,17,18,23

Casarse. 4/10 4.7, 4.8 Regla de L'Hopital. Antiderivadas 4.7 Ejercicios: 15,16,19,20,27,28,31,32,42,44
4.8 Ejercicios: 11,12,13,16,19,20,33,34,35,36





Semana 13 Lun. 15/4
Revisión para el examen 3. Examen de práctica 3 Soluciones para el examen de práctica 3

Casarse. 17/4
Examen 3





Semana 14 Lun. 22/4 5.1 Integrales definidas Aproximación de áreas bajo curvas 5.1 Ejercicios: 15,16,17,18,27,28,32 (a, d)
Casarse. 24/4 5.2, 5.3 Integrales definidas 5.2 Ejercicios: 19,20,25,26,27,28,40





Semana 15 Lun. 29/4 5.3 Teorema fundamental del cálculo 5.3 Ejercicios: 25,26,27,28,31,32,33,34,51,53
Casarse. 5/1
Revisar. Practique el examen final Soluciones para practicar el examen final





Semana 16 Lun. 5/6
Examen final

Esta página es mantenida por Dmitriy Leykekhman
Última modificación: 28/4/2013


Tabla de contenido

1.2 Representar funciones

1.3 Funciones inversas, exponenciales y logarítmicas

1.4 Funciones trigonométricas y sus inversas

Preguntas de práctica AP

2.3 Técnicas para calcular límites

2.7 Definiciones precisas de límites

Preguntas de práctica AP

3.1 Introducción de la derivada

3.2 Trabajar con derivados

3.3 Reglas de diferenciación

3.4 Las reglas de producto y cociente

3.5 Derivadas de funciones trigonométricas

3.6 Derivados como tasas de cambio

3.8 Diferenciación implícita

3.9 Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales

3.10 Derivadas de funciones trigonométricas inversas

Preguntas de práctica AP

4. Aplicaciones de la derivada

4.2 Qué nos dicen los derivados

4.5 Aproximación lineal y diferenciales

Preguntas de práctica AP

5.2 Aproximación de áreas bajo curvas

5.4 Teorema fundamental del cálculo

5.5 Propiedades de integrales y valor medio

Preguntas de práctica AP

6. Aplicaciones de la integración

6.1 Velocidad y cambio neto

6.2 Regiones entre curvas

Preguntas de práctica AP

7. Técnicas de integración

7.5 Sustituciones trigonométricas

Preguntas de práctica AP

8. Ecuaciones diferenciales

8.2 Campos de pendiente y método de Euler & rsquos

8.3 Ecuaciones diferenciales separables

Preguntas de práctica AP

9. Secuencias y series infinitas

9.4 Las pruebas de divergencia e integrales

9.5 Las pruebas de razón, raíz y comparación

Preguntas de práctica AP

10.1 Aproximación de funciones con polinomios

10.2 Propiedades de la serie de potencias

10.4 Trabajar con Taylor Series

Preguntas de práctica AP

11. Curvas paramétricas, polares y vectoriales

11.2 Cálculo con ecuaciones paramétricas

11.4 Cálculo en coordenadas polares

11.6 Cálculo de funciones con valores vectoriales

11.7 Movimiento bidimensional

Preguntas de práctica AP

Apéndice A. Repaso de álgebra

Apéndice B. Secciones cónicas

Apéndice C.Demostraciones de teoremas seleccionados


4.8: Diferenciación implícita - Matemáticas

Libro de texto: Mathematics 1000, 1001 Course Notes por Bruce Watson.

Esquema del curso:

UNIDAD 1: LÍMITES Y CONTINUIDAD
1.1 Introducción a los límites (Sección 2.1)
1.2 ¿Qué puede salir mal con los límites? (Sección 2.4)
1.3 Reglas para los límites (Sección 2.5)
1.4 Límites infinitos, límites en el infinito, asíntotas (Secciones 2.7, 2.8)
1.5 Continuidad (Secciones 2.9, 2.11)

UNIDAD 2: DERIVADOS
2.1 Introducción a la derivada (Secciones 3.1, 3.2, 3.4)
2.2 Reglas para calcular derivados (Sección 3.5)
2.3 Derivados de orden superior (sección 3.7)
2.4 Diferenciación implícita (Sección 3.8)
2.5 Justificación de algunas reglas derivadas (Sección 10)
2.6 Tasas relacionadas (Sección 3.12)
2.7 Diferenciación logarítmica (Sección 3.14)

UNIDAD 3: APLICACIONES DE LA DIFERENCIACIÓN
3.1 Movimiento rectilíneo (sección 4.1, ejercicios 1-68)
3.2 Introducción al boceto de curvas (secciones 4.3 4.74.8)
3.3 Monotonicidad y extremas (Secciones 4.4, 4.6)
3.4 Concavidad y puntos de inflexión (Secciones 4.7)
3.5 Croquizado de curvas (Sección 4.8)
3.6 Teorema del valor medio (sección 4.10)
3.7 Problemas de optimización y extremos absolutos (Secciones 4.11, 4.12)

UNIDAD 4: INTEGRACIÓN
4.1 Antidervativos y la integral indefinida (Secciones 5.1, 5.2)
4.2 La integral definida y el teorema fundamental (Secciones 5.4, 5.5)
4.3 Área de una región entre dos curvas (Sección 5.6)

Asignaciones y pruebas de término:


Matemáticas 1551-04 Otoño de 2008

La calificación será determinada por la cantidad de puntos acumulados a través de cuestionarios, pruebas y el examen final. Se utilizará la escala de calificación habitual de 90%, 80%, 70%, 60%. Se dará crédito parcial, pero solo por las partes de la solución que conducen a la respuesta correcta. Todo el trabajo debe mostrarse por escrito con respuestas infundadas y partes de las soluciones no recibirán crédito. Todos los puntajes se publicarán en el Libro del semestre de PAWS tan pronto como estén disponibles.

Tarea: La tarea se asignará después de que se cubra cada sección. Sin embargo, no se recogerán las tareas. En cambio, la tarea se acreditará a través de cuestionarios, que contendrán solo los problemas asignados como tarea. Pruebas: Habrá una serie de pruebas breves. Se eliminarán las dos puntuaciones más bajas de las pruebas y las puntuaciones restantes de las pruebas se escalarán de modo que el número total de puntos disponibles a través de las pruebas sea 100. Las pruebas no se anunciarán con anticipación y se pueden dar en cualquier momento durante la clase. Solo los problemas asignados como tarea aparecerán en las pruebas. Pruebas: Habrá 3 pruebas, cada una de las cuales proporcionará un máximo de 100 puntos. Las fechas de las pruebas de las pruebas se anunciarán con antelación. Aproximadamente un tercio de los problemas de la prueba provendrán de la tarea asignada y otro tercio de los problemas del libro que no se asignaron oficialmente como tarea. Examen final: El examen final se dará el viernes 12 de diciembre de 5:30 pm a 7:30 pm en 134 Allen Hall. El examen será completo y ofrecerá un máximo de 200 puntos. La composición de los problemas del examen final será similar a la de las pruebas.


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ISBN10: 0077235894 | ISBN13: 9780077235895

La cantidad estimada de tiempo que este producto estará en el mercado se basa en una serie de factores, incluida la aportación del profesorado al diseño instruccional y el ciclo de revisión anterior y las actualizaciones de la investigación académica, que generalmente resulta en un ciclo de revisión que varía de cada dos a cuatro años para este producto. Los precios están sujetos a cambios en cualquier momento.

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4.8: Diferenciación implícita - Matemáticas

Libro de texto: Smith y Minton, Cálculo: funciones trascendentales tempranas (Variable única, 3e), McGraw Hill Publ.

Preliminares

Evaluación ALEKS: debe completarse antes del 2 de febrero (medianoche)

Semana 1:16 al 19 de enero

Discusiones preliminares sobre el curso (incluida la sección 0.2) y la sección 0.1

    • La primera conferencia es una discusión del programa de estudios y una introducción a ALEKS y MathZone para el couirse
    • La sección de discusión cubrirá la resolución de desigualdades (el jueves)
    • La conferencia principal del viernes cubrirá líneas, polinomios, funciones racionales, etc.en Sec 0.1

    Semana 2:22 al 26 de enero

    Secciones 0.3, 0.4, 0.5 y 0.6

    • Portada de la conferencia del lunes
    • La sección de discusión del martes debe cubrir las propiedades y funciones trigonométricas básicas, y preguntas de hwk
    • La conferencia del miércoles cubrirá las funciones trigonométricas inversas.
    • La sección de discusión del jueves debe cubrir funciones exponenciales, propiedades de exponenciales y resolución de ecuaciones de funciones exponenciales, y preguntas hwk: hwk 1 se ha trasladado al martes 30 de enero
    • La conferencia del viernes cubrirá funciones logarítmicas, resolución de ecuaciones logarítmicas y funciones de transformación.

    Semana 3:29 de enero - 2 de febrero

    Secciones 1.1, 1.2, 1.3 y 1.4

    • Un primer vistazo y el concepto de límite son los temas principales de la conferencia del lunes.
    • Me gustaría que cada asistente se tomara 10 minutos para repasar con los estudiantes las páginas 63 - 67, comenzando con el ejemplo 6.4. Este material trata de traducciones y tramos de gráficos. Puede hacerlo, por ejemplo, haciendo que los estudiantes tracen pares de funciones en sus calculadoras para ver qué sucede en una traducción o escala. La asignación 2 vence el miércoles 31 de enero, por lo que las secciones de discusión deben estar listas para las preguntas. También esté preparado con algunos ejercicios adicionales de los problemas del texto de las secciones 1.1 y 1.2.
    • La conferencia del miércoles cubrirá la Sección 1.3
    • La asignación 3 vence el jueves, por lo que las secciones de discusión deben estar listas para las preguntas. Esté preparado también con algunas preguntas adicionales de 1.3
    • La conferencia del viernes cubrirá la sección 1.4.

    Semana 4: del 5 al 9 de febrero

    Secciones 1.5, 2.1 y 2.2

    1.5 Límites que involucran al infinito

      • La conferencia del lunes terminó en la Sec. 1.4 y Sec. Cubierto. 1.5 hasta el ejemplo 5.6
      • Me gustaría que cada asistente cubriera el ejemplo 4.7 en la sec. 1.4 y el ejemplo 5.5 de la sección 1.5 el martes.
      • La prueba 1 se llevará a cabo en la sesión del martes.
      • La conferencia del miércoles terminará la sección 1.5 y pasará a la sección 2.1. Todos veremos el video de la definición precisa de la derivada para que tengamos un poco de base en el rigor.
      • Me gustaría que los asistentes cubrieran el ejemplo 1.5 en la sección 2.1 el jueves
      • La conferencia del viernes cubrió toda la Sección 2.2.

      Semana 5:12 al 16 de febrero

      Secciones 2.3 y examen de mitad de período 1

      2.3 Cálculo de derivadas: la regla de la potencia

      El miércoles fue un día de & quotsnow & quot


      Al final de la Conferencia ZOOM 24 el lunes 03 de mayo, el Examen 3 se publicará en la PIZARRA en EXAMENES, podrá comenzar el EXAMEN 3 en cualquier momento desde el lunes 05/03/21 a las 8:15 pm hasta el martes 05/04 / 21 a las 11:59 pm (más tarde), se le dará 4 horas para tomar el Examen 3, debe tomarlo en una sola sesión.

      El examen 3 cubrirá:

      Para prepararse para el examen 3, repase:

      La calculadora científica ESTÁ PERMITIDA.

      Calculadora científica DESMOS de nuestro sitio web ESTÁ PERMITIDO.


      Cálculo I MAT 301 & # 8211 0516

      Al final de la Conferencia ZOOM 28 el miércoles 9 de diciembre, el EXAMEN FINAL se publicará en la PIZARRA bajo EXAMENES, podrá comenzar su EXAMEN FINAL en cualquier momento desde el miércoles 12/09/20 a las 8:00 pm hasta el jueves 12/10 / 20 a las 11:59 pm (más tarde), se le dará 4 horas para tomar su EXAMEN FINAL, debe tomarse en una sola sesión.

      El EXAMEN FINAL cubrirá:

      Para prepararse para su EXAMEN FINAL, repase:

      La calculadora científica ESTÁ PERMITIDA.

      Calculadora científica DESMOS de nuestro sitio web ESTÁ PERMITIDO.

      Se grabó ZOOM Lecture 26 Calculus I MAT 301-0516

      Tema: ZOOM Lecture 26 MAT 301-0516 el 12/02/20
      Hora de inicio: 2 de diciembre de 2020 05:52 p.m.

      Se grabó ZOOM Lecture 25 Calculus I MAT 301-0516

      Tema: ZOOM Lecture 25 MAT 301-0516 el 30/11/20
      Hora de inicio: 30 de noviembre de 2020 05:53 p.m.

      Se grabó ZOOM Lecture 24 Calculus I MAT 301-0516

      Tema: ZOOM Lecture 24 MAT 301-0516 el 23/11/20
      Hora de inicio: 23 de noviembre de 2020 05:54 p.m.

      ZOOM Lecture 23 Calculus I MAT 301-0516 fue grabada

      Tema: ZOOM Lecture 23 MAT 301-0516 el 18/11/20
      Hora de inicio: 18 de noviembre de 2020 05:53 p.m.

      Examen 3

      Al final de la Conferencia ZOOM 24 el lunes 23 de noviembre, el Examen 3 se publicará en la PIZARRA en EXAMENES, podrá comenzar el EXAMEN 3 en cualquier momento desde el lunes 23/11/20 a las 8:00 pm hasta el martes 24/11 / 20 a las 11:59 pm (más tarde), se le darán 4 horas para tomar el Examen 3, debe tomarlo en una sola sesión.

      El examen 3 cubrirá:

      Para prepararse para el examen 3, repase:

      La calculadora científica ESTÁ PERMITIDA.

      Calculadora científica DESMOS de nuestro sitio web ESTÁ PERMITIDO.

      ZOOM Lecture 22 Calculus I MAT 301-0516 fue grabada

      Tema: ZOOM Lecture 22 MAT 301-0516 el 16/11/20
      Hora de inicio: 16 de noviembre de 2020 05:53 p.m.

      Se grabó ZOOM Lecture 21 Calculus I MAT 301-0516

      Tema: ZOOM Lecture 21 MAT 301-0516 el 11/11/20
      Hora de inicio: 11 de noviembre de 2020 05:58 p.m.


      Ver el vídeo: vimaths- ΠΩΣ ΔΙΑΒΑΖΩ ΘΕΩΡΙΑ (Noviembre 2021).