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8.4: Combinaciones - Matemáticas


En muchos problemas de conteo, el orden de disposición o selección no importa. En esencia, estamos seleccionando o formando subconjuntos.

Ejemplo ( PageIndex {1} label {por ejemplo: combin-01} )

Determine el número de formas de elegir 4 valores de 1, 2, 3,…, 20, en los que el orden de selección no importa.

Solución

Sea (N ) el número de formas de elegir los 4 números. Dado que el orden en el que se seleccionan los números no importa, estos son no secuencias (en qué orden de aparición importa). Podemos cambiar una selección de 4 números en una secuencia. Los 4 números se pueden organizar de (P (4,4) = 4! ) Formas. Por lo tanto, todas estas selecciones de 4 números juntas producen secuencias (N cdot4! ). El número de secuencias de 4 números es (P (20,4) ). Por lo tanto, (N cdot4! = P (20,4) ), o equivalentemente, (N = P (20,4) / 4! ).

Definición: combinaciones

El número de (r ) - subconjuntos de elementos en un (n ) - conjunto de elementos se denota por

[C (n, r) qquad mbox {o} qquad binom {n} {r}, nonumber ]

donde ({n elige r} ) se lee como " (n ) elige (r )". Determina el número de combinaciones de (n ) objetos, tomados (r ) a la vez (sin reemplazo). En otros libros de texto se pueden encontrar notaciones alternativas como (_ nC_r ) y (C_r ^ n ). Hacer no escríbalo como (( frac {n} {r}) ); esta notación tiene un significado completamente diferente.

Recuerde que ( binom {n} {r} ) cuenta el número de formas de escoger o Seleccione (r ) objetos de un grupo de (n ) objetos en los que el orden de selección no importa. Por lo tanto, (r ) - las combinaciones son subconjuntos de tamaño (r ).

Ejemplo ( PageIndex {2} label {por ejemplo: combin-02} )

Las 2 combinaciones de (S = {a, b, c, d } ) son

[ {a, b }, quad {a, c }, quad {a, d }, quad {b, c }, quad {b, d }, quad mbox {y} quad {c, d }. sin número]

Por lo tanto ( binom {4} {2} = 6 ). ¿Cuáles son las combinaciones 1 y 3 combinaciones de (S )? ¿Qué puedes decir sobre los valores de ( binom {4} {1} ) y ( binom {4} {3} )?

Solución

Las combinaciones 1 son los conjuntos singleton ( {a } ), ( {b } ), ( {c } ) y ( {d } ). Por tanto, ( binom {4} {1} = 4 ). Las 3 combinaciones son [ {a, b, c }, quad {a, b, d }, quad {a, c, d }, quad mbox {y} quad {b, c, d }. nonumber ] Por lo tanto, ( binom {4} {3} = 4 ).

Teorema ( PageIndex {1} label {thm: combin} )

Para todos los enteros (n ) y (r ) que satisfacen (0 leq r leq n ), tenemos [ binom {n} {r} = frac {P (n, r)} {r!} = frac {n (n-1) cdots (n-r + 1)} {r!} = frac {n!} {r! , (nr)!}. sin número]

Prueba

La idea es similar a la que usamos en la demostración alternativa del teorema 8.3.2. Sea (A ) el conjunto de todas las (r ) - permutaciones y sea (B ) el conjunto de todas las (r ) - combinaciones. Defina (f: A a B ) como la función que convierte una permutación en una combinación "descifrando" su orden. Entonces (f ) es una función (r! ) - to-one porque hay (r! ) Formas de organizar (o mezclar) (r ) objetos. Por lo tanto [| A | = r! cdot | B |. nonumber ] Dado que (| A | = P (n, r) ) y (| B | = binom {n} {r} ), se sigue que ( binom {n} {r } = P (n, r) / r! ).

Ejemplo ( PageIndex {3} label {por ejemplo: combin-03} )

Hay ( binom {40} {5} ) formas de elegir 5 números, sin repeticiones, de los enteros (1,2, ldots, 40 ). Para calcular su valor numérico a mano, es más fácil si primero cancelamos los factores comunes en el numerador y el denominador. Encontramos

[ binom {40} {5} = frac {40 cdot39 cdot38 cdot37 cdot36} {5 cdot4 cdot3 cdot2 cdot1} = 13 cdot38 cdot37 cdot36, nonumber ]

lo que da ( binom {40} {5} = 658008 ).

Ejercicio práctico ( PageIndex {1} label {he: combin-01} )

Calcule ( binom {12} {3} ) a mano.

Ejercicio práctico ( PageIndex {2} label {he: combin-02} )

Se seleccionará un comité ejecutivo de tres miembros de un grupo de siete candidatos. ¿De cuántas formas se puede formar el comité?

Ejercicio práctico ( PageIndex {3} label {he: combin-03} )

¿Cuántos subconjuntos de ( {1,2, ldots, 23 } ) tienen cinco elementos?

Corolario ( PageIndex {2} )

Para (0 leq r leq n ), tenemos ( binom {n} {r} = binom {n} {n-r} ).

Prueba

De acuerdo con el teorema 8.4.1, tenemos [ binom {n} {nr} = frac {n!} {(Nr)! , (N- (nr))!} = Frac {n!} { (nr)! , r!}, nonumber ] que es precisamente ( binom {n} {r} ).

Ejemplo ( PageIndex {1} label {por ejemplo: combin-04} )

Para calcular el valor numérico de ( binom {50} {47} ), en lugar de calcular el producto de 47 factores como se indica en la definición, es mucho más rápido si usamos [ binom {50} {47} = binom {50} {3} = frac {50 cdot 49 cdot48} {3 cdot 2 cdot 1}, nonumber ] del cual obtenemos ( binom {50} {47} = 19600 ).

Ejercicio práctico ( PageIndex {4} label {he: combin-04} )

Calcule, a mano, el valor numérico de ( binom {529} {525} ).

Ahora estamos listos para ver algunos ejemplos mixtos. En todos estos ejemplos, a veces tenemos que usar permutación, otras veces tenemos que usar combinación. Muy a menudo necesitamos usar ambos, junto con los principios de suma y multiplicación. Puede preguntar, ¿cómo puedo averiguar qué hacer? Le sugerimos que se haga estas preguntas:

  1. Utilice el enfoque de construcción. Si desea enumerar todas las configuraciones que cumplen con el requisito, ¿cómo lo va a hacer de manera sistemática?
  2. ¿Hay varios casos involucrados en el problema? Si es así, debemos enumerarlos primero, antes de revisamos cada uno de ellos uno a la vez. Finalmente, agregue los resultados para obtener la respuesta final.
  3. ¿Permitimos repeticiones o reemplazos? Esta pregunta también puede tomar la forma de si los objetos son distinguibles o indistinguibles.
  4. ¿Importa el orden? Si es así, tenemos que usar la permutación. De lo contrario, use una combinación.
  5. A veces, puede ser más fácil usar el principio de multiplicación en lugar de la permutación, porque se pueden permitir repeticiones (en cuyo caso, no podemos usar la permutación, aunque todavía podemos usar el principio de multiplicación). Intente dibujar un diagrama esquemático y decida qué necesitamos de él. Si el análisis sugiere un patrón que sigue al encontrado en una permutación, puede usar la fórmula para la permutación.
  6. No lo olvides: puede ser más fácil trabajar con el complemento.

A menudo no está claro cómo empezar porque parece haber varias formas de comenzar la construcción. Por ejemplo, ¿cómo distribuiría las latas de refresco entre un grupo de estudiantes? Hay dos enfoques posibles:

  1. Desde la perspectiva de los estudiantes. Imagina que eres uno de los estudiantes, ¿qué refresco recibirías?
  2. Desde la perspectiva de las latas de refresco. Imagina que tienes una lata de refresco en la mano, ¿a quién le darías este refresco?

Dependiendo del problema real, normalmente solo uno de estos dos enfoques funcionaría.

Ejemplo ( PageIndex {5} label {por ejemplo: combin-05} )

Suponga que tenemos que distribuir 10 latas de refresco diferentes a 20 estudiantes. Está claro que es posible que algunos estudiantes no consuman refrescos. De hecho, algunos estudiantes afortunados podrían recibir más de un refresco (el problema no dice que esto no pueda suceder). Por lo tanto, es más fácil comenzar desde la perspectiva de las latas de refresco.

Solución

Podemos dar el primer refresco a cualquiera de los 20 estudiantes, y también podemos dar el segundo refresco a cualquiera de los 20 estudiantes. De hecho, siempre tenemos 20 opciones para cada refresco. Como tenemos 10 refrescos, hay ( underbrace {20 cdot20 cdots20} _ {10} = 20 ^ {10} ) formas de distribuir los refrescos.

Ejemplo ( PageIndex {6} label {por ejemplo: combin-06} )

¿De cuántas formas se puede seleccionar un equipo de tres representantes de una clase de 885 estudiantes? ¿De cuántas formas se puede seleccionar un equipo de tres representantes formado por un presidente, un vicepresidente y un secretario?

Solución

Si solo estamos interesados ​​en seleccionar tres representantes, el orden no importa. Por tanto, la respuesta sería ( binom {885} {3} ). Si nos preocupa qué cargos ocuparán estos tres representantes, entonces la respuesta debería ser (P (885,3) ).

Ejercicio práctico ( PageIndex {5} label {he: combin-05} )

Mike necesita algunas camisetas nuevas, pero solo tiene suficiente dinero para comprar cinco de las ocho que le gustan. ¿De cuántas formas puede comprar las cinco camisetas eligiéndolas al azar?

Ejercicio práctico ( PageIndex {6} label {he: combin-06} )

Mary quiere comprar cuatro camisas para sus cuatro hermanos y le gustaría que cada uno de ellos reciba una camisa diferente. Encuentra diez camisas que cree que les gustarán. ¿Puede seleccionarlos de muchas formas?

Los naipes son excelentes ejemplos de problemas de conteo. En caso de que no esté familiarizado con ellos, permítanos revisar brevemente lo que contiene una baraja de cartas.

  • Hay 52 naipes, cada uno de ellos está marcado con un palo y un rango.
  • Hay cuatro palos: espadas ( ( spadesuit )), corazones ( ( heartsuit )), diamantes ( ( diamondsuit )) y tréboles ( ( clubsuit )).
  • Cada palo tiene 13 rangos, etiquetados A, 2, 3,…, 9, 10, J, Q y K, donde A significa as, J significa jota, Q significa reina y K significa rey.
  • Cada rango tiene 4 palos (ver arriba).

Ejercicio práctico ( PageIndex {7} label {he: combin-07} )

Determina el número de manos de póquer de cinco cartas que se pueden repartir con una baraja de 52 cartas.

Solución

Lo único que nos importa es qué cinco cartas se pueden encontrar en una mano. Este es un problema de selección. La respuesta es ( binom {52} {5} ).

ejercicio práctico ( PageIndex {7} label {por ejemplo: combin-07} )

¿De cuántas formas se puede repartir una mano de bridge de 13 cartas de una baraja estándar de 52 cartas?

Ejemplo ( PageIndex {8} label {por ejemplo: combin-08} )

¿De cuántas formas se puede repartir una baraja de 52 cartas en un juego de bridge? (En un juego de bridge, hay cuatro jugadores designados como Norte, Este, Sur y Oeste, cada uno de ellos recibe una mano de 13 cartas).

Solución

La diferencia entre este problema y el último ejemplo es que el orden de distribución de las cuatro manos del puente marca la diferencia. Este es un problema que combina permutaciones y combinaciones. Como habíamos sugerido anteriormente, el mejor enfoque es comenzar desde cero, usando los principios de suma y / o multiplicación, junto con permutación y / o combinación siempre que parezca apropiado.

Hay ( binom {52} {13} ) formas de darle 13 cartas al primer jugador. Ahora nos quedan 39 cartas, de las cuales seleccionamos 13 para entregar al segundo jugador. Ahora, de las 26 cartas restantes, tenemos que darle 13 al tercer jugador. Finalmente, las últimas 13 cartas se entregarán al último jugador (solo hay una forma de hacerlo). El número de formas de repartir las cartas en un juego de bridge es ( binom {52} {13} binom {39} {13} binom {26} {13} ).

Podríamos haber dicho que la respuesta es [ binom {52} {13} binom {39} {13} binom {26} {13} binom {13} {13}. nonumber ] El último factor ( binom {13} {13} ) es el número de formas de dar las últimas 13 cartas al cuarto jugador. Numéricamente, ( binom {13} {13} = 1 ), por lo que las dos respuestas son iguales. No descarte este factor adicional como redundante. Tome nota del buen patrón en esta respuesta. Los números de abajo son 13, porque estamos seleccionando 13 cartas para cada jugador. Los números superiores indican cuántas tarjetas quedan disponibles para distribuir en cada etapa de la distribución. ¡El razonamiento detrás de la solución se explica por sí mismo!

Ejemplo ( PageIndex {9} label {por ejemplo: combin-09} )

Determina el número de manos de póquer de cinco cartas que contienen tres reinas. ¿Cuántos de ellos contienen, además de las tres reinas, otro par de cartas?

Solución
  1. El primer paso es elegir las tres reinas en ( binom {4} {3} ) formas, después de lo cual las dos cartas restantes se pueden seleccionar en ( binom {48} {2} ) formas. Por lo tanto, hay ( binom {4} {3} binom {48} {2} ) manos que cumplen los requisitos.
  2. Como en el inciso a), las tres reinas pueden seleccionarse de ( binom {4} {3} ) formas. A continuación, debemos seleccionar el par. Podemos seleccionar cualquier carta de las 48 cartas restantes (por lo tanto, hay 48 opciones), después de lo cual tenemos que seleccionar una de las 3 cartas restantes del mismo rango. Esto da (48 cdot3 ) opciones para el par, ¿verdad? La respuesta es NO!

La primera carta que elegimos podría ser ( heartsuit 8 ) y la segunda podría ser ( clubsuit 8 ). Sin embargo, la primera carta podría haber sido ( clubsuit 8 ) y la segunda ( heartsuit 8 ). Estas dos selecciones se cuentan como diferente selecciones, ¡pero en realidad son el mismo par! El problema es que estamos considerando las cartas "primera" y "segunda", que en efecto impone un orden entre las dos cartas, convirtiéndolas en una secuencia o una ordenado selección. Tenemos que dividir la respuesta por 2 para superar la doble contabilización. Por tanto, la respuesta es ( frac {48 cdot3} {2} ).

Esta es una mejor manera de contar el número de pares. Una pregunta importante para hacer es

¿Cuál deberíamos elegir primero: el traje o el rango?

Aquí, queremos elegir el rango primero. Hay 12 opciones (la pareja no puede ser reinas) para el rango, y entre las cuatro cartas de ese rango, podemos elegir las dos cartas de ( binom {4} {2} ) formas. Por lo tanto, la respuesta es (12 binom {4} {2} ). Numéricamente, las dos respuestas son idénticas, porque (12 binom {4} {2} = 12 cdot frac {4 cdot3} {2} = frac {48 cdot3} {2} ). En resumen: la respuesta final es ( binom {4} {3} cdot12 binom {4} {2} ).

Ejercicio práctico ( PageIndex {8} label {he: combin-08} )

¿Cuántas manos de bridge contienen exactamente cuatro espadas?

Ejercicio práctico ( PageIndex {9} label {he: combin-09} )

¿Cuántas manos de bridge contienen exactamente cuatro espadas y cuatro corazones?

Ejercicio práctico ( PageIndex {10} label {he: combin-10} )

¿Cuántas manos de bridge hay que contienen exactamente cuatro espadas, tres corazones, tres diamantes y tres tréboles?

Ejemplo ( PageIndex {10} label {por ejemplo: combin-10} )

¿Cuántos enteros positivos que no excedan 99999 contienen exactamente tres 7?

Solución

Considere cada entero legítimo como una secuencia de cinco dígitos, cada uno de ellos seleccionado entre 0, 1, 2,…, 9. Por ejemplo, el entero 358 se puede considerar como 00358. Tres de las cinco posiciones deben estar ocupadas por 7. Hay ( binom {5} {3} ) formas de seleccionar estos tres espacios. Las dos posiciones restantes se pueden llenar con cualquiera de los otros nueve dígitos. Por tanto, existen ( binom {5} {3} cdot 9 ^ 2 ) tales enteros.

Ejemplo ( PageIndex {11} label {por ejemplo: combin-11} )

¿Cuántos enteros positivos de cinco dígitos contienen exactamente tres 7?

Solución

A diferencia del último ejemplo, el primero de los cinco dígitos no puede ser 0. Sin embargo, la respuesta es no ( binom {5} {3} cdot 9 cdot 8 ). Sí, hay ( binom {5} {3} ) opciones para la ubicación de los tres 7, pero algunas de estas selecciones pueden haber colocado a los 7 en las últimas cuatro posiciones. Esto deja el primer dígito sin completar. Las nueve opciones contadas por 9 permiten colocar un cero en la primera posición. El resultado es, en el mejor de los casos, un número de cuatro dígitos. El enfoque correcto es considerar dos casos:

  • Caso 1. Si el primer dígito no es 7, hay ocho formas de llenar este espacio. Entre las cuatro posiciones restantes, tres de ellas deben ser 7, y la última puede ser cualquier dígito que no sea 7. Entonces hay (8 cdot binom {4} {3} cdot 9 ) enteros en esta categoría .
  • Caso 2. Si el primer dígito es 7, todavía tenemos que poner los otros dos 7 en las otras cuatro posiciones. Hay ( binom {4} {2} cdot 9 ^ 2 ) tales enteros.

Juntos, los dos casos dan un total de (8 cdot binom {4} {3} cdot 9 + binom {4} {2} cdot 9 ^ 2 = 774 ) enteros.

Ejercicio práctico ( PageIndex {11} label {he: combin-11} )

Se eligen cinco bolas de una bolsa de ocho bolas azules, seis bolas rojas y cinco bolas verdes. ¿Cuántas de estas selecciones de cinco bolas contienen exactamente dos bolas azules?

Ejemplo ( PageIndex {12} label {por ejemplo: combin-12} )

Encuentre la cantidad de formas de seleccionar cinco bolas de una bolsa de seis bolas rojas, ocho bolas azules y cuatro bolas amarillas, de modo que las selecciones de cinco bolas contengan exactamente dos bolas rojas o dos bolas azules.

Solución

La palabra clave “o” sugiere que este es un problema que involucra la unión de dos conjuntos, por lo tanto, tenemos que usar PIE para resolver el problema.

  • ¿Cuántas selecciones contienen dos bolas rojas? Siguiendo el mismo argumento usado en el último ejemplo, la respuesta es ( binom {6} {2} binom {12} {3} ).
  • ¿Cuántas selecciones contienen dos bolas azules? La respuesta es ( binom {8} {2} binom {10} {3} ).
  • Según PIE, la respuesta final es [ binom {6} {2} binom {12} {3} + binom {8} {2} binom {10} {3} - binom {6} { 2} binom {8} {2} binom {4} {1}. nonumber ] En cada término, los números superiores siempre suman 18, y la suma de los números inferiores siempre es 5. ¿Puedes explicar por qué?
  • ¿Cuántas selecciones contienen dos bolas rojas? y 2 bolas azules? La respuesta es ( binom {6} {2} binom {8} {2} binom {4} {1} ).

Ejemplo ( PageIndex {13} label {por ejemplo: combin-13} )

Tenemos 11 bolas, cinco de las cuales son azules, tres de las cuales son rojas y las tres restantes son verdes. ¿Cuántas colecciones de cuatro bolas se pueden seleccionar de manera que se seleccionen al menos dos bolas azules? Suponga que las bolas del mismo color son indistinguibles.

Solución

Las palabras clave "al menos" significan que podríamos tener dos, tres o cuatro bolas azules. Hay [ binom {5} {2} binom {6} {2} + binom {5} {3} binom {6} {1} + binom {5} {4} binom {6 } {0} nonumber ] formas de seleccionar cuatro bolas, de las cuales al menos dos son azules.

Ejercicio práctico ( PageIndex {12} label {he: combin-12} )

Jerry compró ocho latas de Pepsi, siete latas de Sprite, tres latas de Dr. Pepper y seis latas de Mountain Dew. Quiere llevar 10 latas a la casa de su amigo cuando vean el partido de baloncesto esta noche. Suponiendo que las latas sean distinguibles, digamos, con diferentes fechas de vencimiento, ¿cuántas selecciones puede hacer si quiere traer

  1. ¿Exactamente cuatro latas de Pepsi?
  2. ¿Al menos cuatro latas de Pepsi?
  3. ¿Como máximo cuatro latas de Pepsi?
  4. ¿Exactamente tres latas de Pepsi y como máximo tres latas de Sprite?

La prueba del siguiente resultado usa lo que llamamos un argumento combinatorio o de conteo. En general, un argumento combinatorio no se basa en la manipulación algebraica. Más bien, utiliza el significado combinatorio de las situaciones para resolver el problema.

Teorema ( PageIndex {3} )

Demuestre que ( sum_ {r = 0} ^ n binom {n} {r} = 2 ^ n ) para todos los enteros no negativos (n ).

Prueba

Dado que ( binom {n} {r} ) cuenta el número de (r ) - subconjuntos de elementos seleccionados de un (n ) - conjunto de elementos (S ), la suma de la izquierda es la suma del número de subconjuntos de (S ) de todas las cardinalidades posibles. En otras palabras, este es el número total de subconjuntos en (S ). Aprendimos anteriormente que (S ) tiene (2 ^ n ) subconjuntos, lo que establece la identidad de inmediato.

Resumen y revisión

  • Use la permutación si el orden es importante; de ​​lo contrario, use la combinación.
  • La disposición, secuencia y orden de las palabras clave sugieren el uso de permutación.
  • La selección, el subconjunto y el grupo de palabras clave sugieren el uso de una combinación.
  • Es mejor comenzar con una construcción. Imagina que quieres enumerar todas las posibilidades, ¿cómo empezarías?
  • Es posible que necesitemos usar tanto la permutación como la combinación, y es muy probable que también necesitemos usar los principios de suma y multiplicación.

Ejercicio ( PageIndex {1} label {ex: combin-01} )

Si los Buffalo Bills y los Cleveland Browns tienen ocho y seis jugadores, respectivamente, disponibles para intercambiar, ¿de cuántas formas pueden intercambiar tres jugadores por tres jugadores?

Ejercicio ( PageIndex {2} label {ex: combin-02} )

En el juego de Mastermind, un jugador, el creador de códigos, selecciona una secuencia de cuatro colores (el "código") seleccionados entre rojo, azul, verde, blanco, negro y amarillo.

  1. ¿Cuántos códigos diferentes se pueden formar?
  2. ¿Cuántos códigos usan cuatro colores diferentes?
  3. ¿Cuántos códigos usan un solo color?
  4. ¿Cuántos códigos usan exactamente dos colores?
  5. ¿Cuántos códigos usan exactamente tres colores?

Ejercicio ( PageIndex {3} label {ex: combin-03} )

A Becky le gusta ver DVD todas las noches. ¿Cuántos DVD debe tener si puede verlos todas las noches durante 24 noches consecutivas durante sus vacaciones de invierno?

  1. ¿Un subconjunto diferente de DVD?
  2. ¿Un subconjunto diferente de tres DVD?

Ejercicio ( PageIndex {4} label {ex: combin-04} )

Bridget tiene (n ) amigos de su club de bridge. Todos los jueves por la noche, invita a tres amigos a su casa para un juego de bridge. Ella siempre se sienta en la posición norte y decide qué amigos se van a sentar en las posiciones este, sur y oeste. Ella es capaz de hacer esto durante 200 semanas sin repetir la disposición de los asientos. ¿Cuál es el valor mínimo de (n )?

Ejercicio ( PageIndex {5} label {ex: combin-05} )

Bridget tiene (n ) amigos de su club de bridge. Puede invitar a un subconjunto diferente de tres de ellos a su casa todos los jueves por la noche durante 100 semanas. ¿Cuál es el valor mínimo de (n )?

Ejercicio ( PageIndex {6} label {ex: combin-06} )

¿Cuántos números de cinco dígitos se pueden formar a partir de los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? ¿Cuántos de ellos no tienen dígitos repetidos?

Ejercicio ( PageIndex {7} label {ex: combin-07} )

El Departamento de Matemáticas de una pequeña universidad tiene tres profesores titulares, siete profesores asociados y cuatro profesores asistentes. De cuántas formas se puede formar un comité de cuatro miembros bajo estas restricciones:

  1. No hay restricciones.
  2. Se selecciona al menos un profesor titular.
  3. El comité debe contener un profesor de cada rango.

Ejercicio ( PageIndex {8} label {ex: combin-08} )

El gerente de una tienda departamental recibe de la sede de la empresa 12 boletos de fútbol para el mismo juego (por lo tanto, pueden considerarse "idénticos"). ¿De cuántas formas puede distribuirlos a 20 empleados si nadie recibe más de un boleto? ¿Qué pasa si las entradas son para 12 juegos diferentes?

Ejercicio ( PageIndex {9} label {ex: combin-09} )

Un tablero de ajedrez tiene 64 cuadrados distintos dispuestos en ocho filas y ocho columnas.

  1. ¿De cuántas formas se pueden colocar ocho fichas idénticas en el tablero de modo que dos fichas no puedan ocupar la misma fila o la misma columna?
  2. ¿De cuántas formas se pueden colocar dos damas rojas idénticas y dos damas negras idénticas en el tablero de modo que no dos fichas del mismo color puedan ocupar la misma fila o la misma columna?

Ejercicio ( PageIndex {10} label {ex: combin-10} )

Determine el número de permutaciones de ( {A, B, C, D, E } ) que satisfacen las siguientes condiciones:

  1. (A ) ocupa la primera posición.
  2. (A ) ocupa la primera posición y (B ) la segunda.
  3. (A ) aparece antes de (B ).

Ejercicio ( PageIndex {11} label {ex: combin-11} )

Una cadena binaria es una secuencia de dígitos elegidos entre 0 y 1. ¿Cuántas cadenas binarias de longitud 16 contienen exactamente siete unos?

Ejercicio ( PageIndex {12} label {ex: combin-12} )

¿De cuántas formas se puede elegir un subconjunto no vacío de personas entre ocho hombres y ocho mujeres para que cada subconjunto contenga un número igual de hombres y mujeres?

Ejercicio ( PageIndex {13} label {ex: combin-13} )

Una mano de póquer es una selección de cinco cartas elegidas de una baraja estándar de 52 cartas. ¿Cuántas manos de póquer cumplen las siguientes condiciones?

  1. No hay restricciones.
  2. La mano contiene al menos una carta de cada palo.
  3. La mano contiene exactamente un par (las otras tres cartas de diferentes rangos).
  4. La mano contiene tres de un rango (las otras dos cartas de diferentes rangos).
  5. La mano es full house (tres de un rango y un par de otro).
  6. La mano es una escalera (rangos consecutivos, como en 5, 6, 7, 8, 9, pero no todos del mismo palo).
  7. La mano es un color (todos del mismo palo, pero no una escalera).
  8. La mano es una escalera de color (tanto escalera como color).

Ejercicio ( PageIndex {14} label {ex: combin-14} )

Un restaurante de pizza local ofrece los siguientes ingredientes en sus pizzas de queso: queso extra, pepperoni, champiñones, pimientos verdes, cebollas, salchichas, jamón y anchoas.

  1. ¿Cuántos tipos de pizzas se pueden pedir?
  2. ¿Cuántos tipos de pizzas se pueden pedir con exactamente tres ingredientes?
  3. ¿Cuántos tipos de pizza vegetariana (sin pepperoni, salchicha o jamón) se pueden pedir?

Combinaciones: cálculo de los resultados de una colección de 15 monedas

Busqué mucho para encontrar algún tipo de orientación sobre cómo abordar la solución de este problema, pero no pude encontrar una respuesta en ninguna parte. Leer el libro muchas veces, todavía sin suerte El problema de la siguiente manera:

Cecil tiene una colección de 15 monedas. Cuatro monedas son cuartos, siete monedas son diez centavos, tres son cinco y una es un centavo. Para cada escenario, calcule el total de resultados posibles si Cecil selecciona al azar cinco monedas.

¿Son correctas mis respuestas a cada escenario? Si no es así, ¿qué me estoy perdiendo? Gracias de antemano por cualquier respuesta.


¿De cuántas formas diferentes podemos seleccionar 3 elementos de un conjunto de 8?

Número de k-combinaciones

El número de k-Combinaciones de un conjunto dado S de norte los elementos se pueden denotar por

Calcular el número de combinaciones

Usando la fórmula simétrica fácil de recordar

Sustituyendo nuestros valores por n = 8 y k = 3 obtenemos

Gastando factorial y cancelando

Resultado final: 56

Hay 56 (cincuenta y seis) combinaciones para elegir 3 elementos de un conjunto de 8


A sistema de ecuaciones es un conjunto de 2 (o más) ecuaciones donde las variables representan los mismos valores desconocidos. Por ejemplo, suponga que se plantan dos tipos diferentes de bambú al mismo tiempo. La planta A comienza a una altura de 6 pies y crece a una tasa constante de frac14 pies cada día. La planta B comienza a 3 pies de altura y crece a una tasa constante de frac12 pies cada día. Podemos escribir las ecuaciones y = frac14 x + 6 para la planta A e y = frac12 x +3 para la planta B, donde x representa el número de días después de la plantación e y representa la altura. Podemos escribir este sistema de ecuaciones.

empezar y = frac14 x + 6 y = frac12 x +3 end

Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar los valores de xey que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas al mismo tiempo. Una forma que hemos visto para encontrar la solución a un sistema de ecuaciones es graficar ambas líneas y encontrar el punto de intersección. El punto de intersección representa el par de valores xey que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas. Aquí hay un gráfico para el ejemplo del bambú:

La solución a este sistema de ecuaciones es (12,9), lo que significa que ambas plantas de bambú medirán 9 pies de altura después de 12 días.

Hemos visto sistemas de ecuaciones que no tienen soluciones, una solución e infinitas soluciones.

  • Cuando las líneas no se cruzan, no hay solución. (Las líneas que no se cruzan son paralelo.)
  • Cuando las líneas se cruzan una vez, hay una solución.
  • Cuando las líneas están una encima de la otra, hay infinitas soluciones.

En lecciones futuras, veremos que algunos sistemas no se pueden resolver fácilmente graficando, pero pueden resolverse fácilmente usando álgebra.


Teorema del binomio

  • A menudo tienes que expandir polinomios como este: [ begin (x + y) ^ 4 & amp = (x + y) (x + y) (x + y) (x + y) & amp = (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) (x + y) ( x + y) & amp = (x ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + y ^ 3) (x + y) & amp = x ^ 4 + 4x ^ 3y + 6x ^ 2y ^ 2 + 4xy ^ 3 + y ^ 4 end]
    • & hellip y fue un poco doloroso.

    Teorema: Para un número entero no negativo (n ), [(x + y) ^ n = sum_^ binomx ^y ^ i ,. ] Recuerda que ( binom) es otra notación para (C (n, i) ).

    Prueba de idea: El coeficiente de (x ^y ^ i ) término proviene de las formas numéricas en que es posible elegir el primer término (n-i ) tiempo y el segundo término (i ) veces mientras se hace la expansión. Tenemos (n ) términos con los que trabajar, y debemos seleccionar (i ) de ellos para multiplicar (y ). Hay ( binom) formas de hacer esto.

    Corolario: Para un entero no negativo (n ), [ sum_^ binom= 2 ^ n ,. ]

    Prueba: Aplica el teorema del binomio con (x = y = 1 ). ∎

    • El lado izquierdo de la ecuación es el número de cadenas de bits de longitud (n ) con 0 unos, más cadenas de bits con 1 uno, con 2 unos, & hellip, (n ) unos.
    • El lado derecho es el número de cadenas de bits de longitud (n ).
    • Esas cuentan lo mismo, por lo que deben ser iguales.

    Cómo manejar las preguntas de GMAT Math sobre combinaciones y probabilidad

    La sección cuantitativa (matemáticas) del GMAT a menudo tiene preguntas que involucran conceptos de combinaciones y / o probabilidad. La serie de preparación de GMAT en MBA Crystal Ball avanza, ya que el equipo de GoGMAT cubre preguntas que cubren ambas cosas Combinaciones y probabilidad.

    Matemáticas GMAT: combinaciones y probabilidad

    El examen GMAT está diseñado para sorprenderte. No hay libros que detallen todas las preguntas exactas a las que probablemente se enfrentará, y no hay nadie que pueda entrar a un centro de pruebas con plena confianza de obtener una puntuación de 800.

    Algunas preguntas de matemáticas del GMAT son sencillas y evalúan un solo concepto matemático. Sin embargo, las preguntas más difíciles, y esas son las que más contribuyen a su puntaje, tienden a mezclar diferentes temas de matemáticas. Las preguntas que combinan combinaciones y probabilidades son un gran ejemplo. Hay ejemplos casi ilimitados, sin embargo, una vez que aprenda los principios básicos, podrá comprender rápidamente lo que requiere la pregunta.

    Desafortunadamente, este tipo de preguntas también parecen ser las más prolijas. Tenemos que aprender a apartarnos de la redacción e identificar rápidamente la información importante. Afortunadamente, esto es más fácil de lo que parece cuando se tiene una buena metodología.

    Comencemos recordándonos las fórmulas de probabilidad y combinaciones / permutaciones.

    La fórmula de la probabilidad simple:

    Probabilidad de que ocurra A = (número de veces que puede ocurrir A) / (número de veces alguna el resultado puede ocurrir)

    La fórmula de las permutaciones:

    Y la fórmula de las combinaciones:

    Recuerde: en Permutaciones, el orden importa. En combinaciones, no es así.

    Metodología:

    Hay dos pasos que lo ayudarán a lidiar con las preguntas de probabilidad GMAT y combinaciones / permutaciones de manera eficiente.

    1) Determine si la pregunta solicita combinaciones o permutaciones

    2) Escribe la ecuación y completa lo que sea necesario.

    Simplemente profundiza en la redacción y extrae la información necesaria para llegar rápidamente a la respuesta.

    Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea mayor que 10?

    A primera vista, podemos ver que esta pregunta implica la probabilidad y el cálculo de la cantidad de formas en que se puede lanzar cualquier número. Así que veamos el primer paso de nuestra metodología:

    1) Determine si la pregunta solicita combinaciones o permutaciones

    En esta pregunta es importante el orden de los números lanzados. Si sacamos un 6 en el dado uno y un 4 en el dado dos, entonces eso es diferente de un 4 en el dado uno y un 6 en el dado dos, son dos resultados diferentes, lo que naturalmente afecta nuestro cálculo de probabilidad. Por lo tanto, esta pregunta trata sobre permutaciones.

    Resolver las permutaciones de numerosos objetos similares, como los dados, es sencillo y no requiere el uso de una fórmula.

    Hay seis posibilidades diferentes en un solo dado, ya que podemos sacar 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Si tenemos dos dados, entonces el número de permutaciones es simplemente:

    6 resultados posibles en el dado uno X 6 resultados posibles en el dado dos

    6 X 6 = 36 permutaciones totales

    Ahora podemos pasar al paso 2:

    2) Escribe la ecuación y completa lo que sea necesario.

    Nuestra ecuación de probabilidad se verá así:

    Probabilidad de obtener más de 10 = (número de resultados superiores a 10) / (número total de resultados)

    Hasta ahora, solo conocemos el denominador ya que calculamos el número total de permutaciones en el paso uno. Ahora necesitamos calcular la cantidad de veces que podemos sacar un número por encima de diez. Este paso requiere algunas matemáticas básicas y pensamiento lógico. Si necesitamos sacar diez con solo dos dados, entonces el número obtenido debe ser 11 o 12. Así que ahora, necesitamos calcular el número de formas en las que podemos sacar 11 o 12.

    Podemos hacer esto de la manera más larga calculando cada permutación y su valor:


    8.4 Expresión de un vector como combinación lineal de unos pocos vectores



    2.
    Para probar que dos vectores están paralelo , debemos expresar uno de los vectores como múltiple escalar del otro vector.


    3.
    Para probar eso puntos PAG, Q y R están colineal , pruebe uno de los siguientes.

    • P Q → = k Q R → o Q R → = h P Q → • P R → = k P Q → o P Q → = h P R → • P R → = k Q R → o Q R → = h P R →

    (a) (i) AS → = AD → + DS → = AD → + AQ → ← AQ: QB = 3: 1 y DS: SC = 3: 1 ∴ AQ → = DS → = b ˜ + 6 a ˜ = 6 a ˜ + b ˜


    (a) (ii) QC → = QB → + BC → = 1 3 AQ → + AD → ← AQ: QB = 3: 1 AQQB = 3 1 ⇒ QB = 1 3 AQ y para paralelogramo, BC / / AD, BC = AD = 1 3 (6 a ˜) + b ˜ = 2 a ˜ + b ˜


    (b) QT → = QA → + AT → = QA → + 3 2 AS → ← AS = 2 STAT = 3 ST = 3 2 AS = - 6 a ˜ + 3 2 (6 a ˜ + b ˜) = 3 a ˜ + 3 2 b ˜ = 3 2 (2 a ˜ + b ˜) = 3 2 QC → ∴ Los puntos Q, C y T son colineales.


    2018 Abril (A09) Pregunta de matemáticas 36

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    Combinations without repetition

    The combinations without repetition of $n$ elements taken $k$ in $k$ are the different groups of $k$ elements that can be formed by these $n$ elements, so that two groups differ only if they have different elements (that is to say, the order does not matter). They are represented as $C_$.

    Let's consider the set $A=$ of $5$ elements. Let's observe first of all that, for example, the groups $abc$ and $cba$ are considered to be equal, since as has been said the order does not matter while the elements are the same.

    We are going to see what the different combinations without repetition of these $5$ elements are:

    • Combinations without repetition of $5$ elements taken $1$ at a time: $a$, $b$, $c$, $d$ and $e$.
    • Combinations without repetition of $5$ elements taken $2$ at a time: $ab$, $ac$, $ad$, $ae$, $bc$, $bd$, $be$, $cd$, $ce$ and $de$.
    • Combinations without repetition of $5$ elements taken $3$ at a time: $abc$, $abd$, $abe$, $acd$, $ace$, $ade$, $bcd$, $bce$, $bde$ and $cde$.
    • Combinations without repetition of $5$ elements taken $4$ at a time: $abcd$, $abce$, $abde$, $acde$ and $bcde$.
    • Combinations without repetition of $5$ elements taken $5$ at a time: The only group of $5$ elements that it is possible to form from the elements of $A$ is $abcde$.

    In this example all of the combinations could have been written. However, if $A$ had had many more elements, this would have been much more complicated.

    The following formula allows us to know how many combinations without repetition of $n$ elements taken $k$ in $k$ there are: $$displaystyle C_=inom = frac$$

    In the previous example, $n = 5$. Now, if we want to know how many combinations of $5$ elements, taken $3$ at a time there are, we use the formula and we obtain: $$displaystyle C_<5,3>=inom<5> <3>= frac<5!><3!(5-3)!>=10$$ We can check in the previous list that there are $10$ sets of $3$ elements, indeed.


    Características

    Extend students’ mathematical maturity and ability to deal with abstraction

    • Strong emphasis on reading and writing proofs – Illustrates most proofs of theorems with annotated figures to provide additional explanation and insight into the proofs.
      • EXPANDED! More than 100 new exercises have been added to the first three chapters: Sets and Logic, Proofs, and Functions, Sequences, and Relations. There are now more than 1,750 worked examples and exercises in these chapters.
      • Problem Solving Corners, a hallmark feature that helps students attack and solve problems and show them how to do proofs.

      Breadth of examples and exercises help students master introductory discrete mathematics


      Ver el vídeo: Section Permutation u0026 Combinations (Noviembre 2021).