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15.5: Secuencias recursivas complejas


Ahora exploraremos secuencias definidas de forma recursiva de números complejos.

Secuencia recursiva

A relación recursiva es una fórmula que relaciona el siguiente valor, (z_ {n + 1}, ) en una secuencia con el valor anterior, (z_ {n}. ) Además de la fórmula, necesitamos un valor inicial, (z_ {0} ).

La secuencia de valores producida es la secuencia recursiva.

Ejemplo 15

Dada la relación recursiva (z_ {n + 1} = z_ {n} +2, quad z_ {0} = 4, ) generar varios términos de la
secuencia recursiva.

Solución

Se nos da el valor inicial, (z_ {0} = 4. ) La fórmula recursiva es válida para cualquier valor de (n, ) así que
si (n = 0, ) entonces (z_ {n + 1} = z_ {n} +2 ) nos diría (z_ {0 + 1} = z_ {0} +2, ) o más simplemente, (z_ {1} = z_ {0} +2 )

Observe que esto define (z_ {1} ) en términos del (z_ {0}, ) conocido para que podamos calcular el valor:
(z_ {1} = z_ {0} + 2 = 4 + 2 = 6 )

Ahora, dejando (n = 1, ) la fórmula nos dice (z_ {1 + 1} = z_ {1} +2, ) o (z_ {2} = z_ {1} +2. ) De nuevo , la fórmula da el siguiente valor en la secuencia en términos del valor anterior.

(z_ {2} = z_ {1} + 2 = 6 + 2 = 8 )

Continuo,

(z_ {3} = z_ {2} + 2 = 8 + 2 = 10 )

(z_ {4} = z_ {3} + 2 = 10 + 2 = 12 )

El ejemplo anterior generó una secuencia lineal básica de números reales. El mismo proceso se puede utilizar con números complejos.

Ejemplo 16

Dada la relación recursiva (z_ {n + 1} = z_ {n} cdot i + (1-i), quad z_ {0} = 4, ) generar varios términos de la
secuencia recursiva.

Solución

Se nos da (z_ {0} = 4. ) Usando la fórmula recursiva:

(z_ {1} = z_ {0} cdot i + (1-i) = 4 cdot i + (1-i) = 1 + 3 i )

(z_ {2} = z_ {1} cdot i + (1-i) = (1 + 3 i) cdot i + (1-i) = i + 3 i ^ {2} + (1-i) = i-3 + (1-i) = - 2 )

(z_ {3} = z_ {2} cdot i + (1-i) = (- 2) cdot i + (1-i) = - 2 i + (1-i) = 1-3 i )

(z_ {4} = z_ {3} cdot i + (1-i) = (1-3 i) cdot i + (1-i) = i-3 i ^ {2} + (1-i) = i + 3 + (1-i) = 4 )

(z_ {5} = z_ {4} cdot i + (1-i) = 4 cdot i + (1-i) = 1 + 3 i )

Observe que esta secuencia muestra un patrón interesante: comenzó a repetirse.

Conjunto Mandelbrot

El conjunto de Mandelbrot es un conjunto de números definidos en base a secuencias recursivas

Conjunto Mandelbrot

Para cualquier número complejo (c, ) defina la secuencia (z_ {n + 1} = z_ {n} ^ {2} + c, quad z_ {0} = 0 )

Si esta secuencia siempre permanece cerca del origen (dentro de 2 unidades), entonces el número (c ) es parte del Conjunto Mandelbrot. Si la secuencia se aleja del origen, entonces el número (c ) no es parte del conjunto.

Ejemplo 17

Determina si (c = 1 + i ) es parte del conjunto de Mandelbrot.

Solución

Comenzamos con (z_ {0} = 0 ). Continuamos, omitiendo algún detalle de los cálculos.

(z_ {1} = z_ {0} ^ {2} + 1 + i = 0 + 1 + i = 1 + i )

(z_ {2} = z_ {1} ^ {2} + 1 + i = (1 + i) ^ {2} + 1 + i = 1 + 3 i )

(z_ {3} = z_ {2} ^ {2} + 1 + i = (1 + 3 i) ^ {2} + 1 + i = -7 + 7 i )

(z_ {4} = z_ {3} ^ {2} + 1 + i = (- 7 + 7 i) ^ {2} + 1 + i = 1-97 i )

Ya podemos ver que estos valores se están volviendo bastante grandes. No parece que (c = 1 + i ) sea parte del conjunto de Mandelbrot.

Ejemplo 18

Determine si (c = 0.5 i ) es parte del conjunto de Mandelbrot.

Solución

Comenzamos con (z_ {0} = 0 ). Continuamos, omitiendo algún detalle de los cálculos.

(z_ {1} = z_ {0} ^ {2} +0.5 i = 0 + 0.5 i = 0.5 i )

(z_ {2} = z_ {1} ^ {2} +0.5 i = (0.5 i) ^ {2} +0.5 i = -0.25 + 0.5 i )

(z_ {3} = z_ {2} ^ {2} +0.5 i = (- 0.25 + 0.5 i) ^ {2} +0.5 i = -0.1875 + 0.25 i )

(z_ {4} = z_ {3} ^ {2} +0.5 i = (- 0.1875 + 0.25 i) ^ {2} +0.5 i = -0.02734 + 0.40625 i )

Si bien no es definitivo con estas pocas iteraciones, parece que este valor sigue siendo pequeño, lo que sugiere que (0.5 i ) es parte del conjunto de Mandelbrot.

Pruébelo ahora 5

Determina si (c = 0.4 + 0.3 i ) es parte del conjunto de Mandelbrot.

Respuesta

(z_ {1} = z_ {0} ^ {2} + 0.4 + 0.3 i = 0 + 0.4 + 0.3 i = 0.4 + 0.3 i )

(z_ {2} = z_ {1} ^ {2} + 0.4 + 0.3 i = (0.4 + 0.3 i) ^ {2} + 0.4 + 0.3 i = 0.47 + 0.54 i )

(z_ {3} = z_ {2} ^ {2} +0.5 i = (- 0.25 + 0.5 i) ^ {2} +0.5 i = -0.1875 + 0.25 i )

(z_ {4} = z_ {3} ^ {2} +0.5 i = (- 0.1875 + 0.25 i) ^ {2} +0.5 i = -0.02734 + 0.40625 i )

Si se prueban todos los números complejos y graficamos cada número que está en el conjunto de Mandelbrot en el plano complejo, obtenemos la forma de la derecha [1].

El límite de esta forma exhibe una casi auto-semejanza, en el sentido de que las porciones se parecen mucho al conjunto.

Además de colorear el conjunto de Mandelbrot en sí mismo de negro, es común el color de los puntos en el plano complejo que rodea al conjunto. Para crear una coloración significativa, a menudo las personas cuentan el número de iteraciones de la secuencia recursiva que se requieren para que un punto se aleje más de 2 unidades del origen. Por ejemplo, usando (c = 1 + i ) arriba, la secuencia estaba a una distancia 2 del origen después de solo dos recursiones.

Para algunos otros números, pueden ser necesarias decenas o cientos de iteraciones para que la secuencia se aleje del origen. Los números que crecen rápidamente se colorean en un tono, mientras que los colores que crecen lentamente se colorean en otro tono. Por ejemplo, en la imagen de abajo [2], el azul claro se usa para los números que crecen rápidamente, mientras que los tonos más oscuros se usan para los números que crecen más lentamente. Los verdes, rojos y púrpuras se pueden ver cuando hacemos zoom; se usan para números que crecen muy lentamente.

El conjunto de Mandelbrot, por tener una definición tan simple, exhibe una inmensa complejidad. Al acercar otras partes del conjunto, se obtienen fascinantes formas giratorias.


[1] en.Wikipedia.org/wiki/File:Mandelset_hires.png

[2] Esta serie se generó con el Explorador de conjuntos de Mandelbrot de Scott.


Pruébelo usando inducción. Si la secuencia aumenta o disminuye depende del valor de $ a_1 $. Observe que $ a_n le a_ implica 4a_n + 3 le 4a_ + 3 implica a_ le a_$ y de manera similar $ a_n ge a_ implica 4a_n + 3 ge 4a_ + 3 implica a_ ge a_. $ Por lo tanto, si $ a_1 le a_2 $ la secuencia completa no es decreciente y si $ a_1 ge a_2 $ la secuencia completa no es creciente.

Si asume que existe el límite, entonces $ L = lim_a_n $ debe satisfacer: $ L ^ 2 = 4L + 3, qquad L geq 0, $ por lo tanto, el límite, si existe, es $ 2 + sqrt <7> $. Considere ahora que la respuesta de @Umberto P. da que la secuencia $ _<>> $ es monótono.

Por la continuidad de nuestra definición recursiva: si esta secuencia converge a un límite $ a $, entonces ese límite será una solución a la ecuación $ a = sqrt <4a + 3> $ Entonces, despejando $ a $, tenemos $ a ^ 2 - 4a - 3 = 0 implica a = frac <4 pm sqrt <4 ^ 2 +4 cdot 3 >> <2> = 2 pm sqrt <7> $ Conectando En la ecuación original, encontramos que $ 2 - sqrt <7> $ es una raíz extraña, por lo que la única posibilidad sería $ a = 2 + sqrt <7> $.

Queda por demostrar que la secuencia, de hecho, converge a este límite (que han cubierto las otras respuestas).

Una idea para agregar a sus intentos: intente usar el hecho de que $ a_n $ siempre estará en un intervalo de la forma $ (a, a + epsilon) $.


Ejemplos rápidos de Qt: animación

Animación es una colección de pequeños ejemplos QML relacionados con la animación. Cada ejemplo es un pequeño archivo QML que enfatiza un tipo o característica en particular.

Ejecutando el ejemplo

Para ejecutar el ejemplo de Qt Creator, abra el Bienvenidos modo y seleccione el ejemplo de Ejemplos de. Para obtener más información, visite Creación y ejecución de un ejemplo.

ColorAnimación

ColorAnimación utiliza animaciones en color para difuminar el cielo del día a la noche.

PropiedadAnimación

PropiedadAnimación utiliza animaciones numéricas para hacer rebotar un círculo hacia arriba y hacia abajo.

Animadores

Animadores utiliza animadores para hacer rebotar un icono hacia arriba y hacia abajo.

Comportamientos

Comportamientos utiliza comportamientos para mover un rectángulo al lugar donde hace clic.

Texto ondulado

Texto ondulado demuestra el uso de comportamientos más complejos para animar y mover texto mientras lo arrastra. Lo hace asignando un enlace complejo a cada letra:

Luego, usa comportamientos para animar el movimiento de cada letra:

Tenis Tv

Tenis Tv utiliza comportamientos complejos para hacer que las paletas sigan una pelota para simular un juego de tenis infinito. Una vez más, se aplica una vinculación que depende de otros valores a la posición y se proporciona un comportamiento a la animación.

Alivio de curvas

Alivio de curvas muestra todas las curvas de suavizado disponibles en las animaciones Qt Quick.

Estados

Estados demuestra cómo las propiedades de un artículo pueden variar entre estados.

Define varios estados:

Transiciones

Transiciones toma el ejemplo de States y anima los cambios de propiedad estableciendo transiciones:

PathAnimación

PathAnimación anima una imagen a lo largo de una curva Bézier usando PathAnimation.

PathInterpolator

PathInterpolator anima una imagen a lo largo de la misma curva Bézier, utilizando en su lugar un PathInterpolator.

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El mecanismo de síntesis de proteínas

Como ocurre con la síntesis de ARNm, la síntesis de proteínas se puede dividir en tres fases: iniciación, alargamiento y terminación. El proceso de traducción es similar en procariotas y eucariotas. Aquí exploramos cómo se produce la traducción en E. coli, un procariota representativo, y especificar las diferencias entre la traducción procariota y eucariota.

Inicio de la traducción

La síntesis de proteínas comienza con la formación de un complejo de iniciación. En E. coli, este complejo involucra el pequeño ribosoma 30S, la plantilla de ARNm, tres factores de iniciación (IF IF-1, IF-2 e IF-3) y un iniciador especial de ARNt, llamado ( text_f ^). El ARNt iniciador interactúa con el codón de inicio AUG (o raramente, GUG), se une a una metionina formilada llamada fMet y también puede unirse a IF-2. La metionina formilada se inserta mediante ( text - exto_f ^) al comienzo de cada cadena polipeptídica sintetizada por E. coli, pero generalmente se recorta una vez que se completa la traducción. Cuando se encuentra un AUG en marco durante el alargamiento de la traducción, se inserta una metionina no formilada mediante un Met-tRNA Met normal.

En E. coli El ARNm, una secuencia aguas arriba del primer codón AUG, llamada secuencia de Shine-Dalgarno (AGGAGG), interactúa con las moléculas de ARNr que componen el ribosoma. Esta interacción ancla la subunidad ribosómica 30S en la ubicación correcta en la plantilla de ARNm. El trifosfato de guanosina (GTP), que es un trifosfato de nucleótido de purina, actúa como fuente de energía durante la traducción y mdash, tanto al inicio de la elongación como durante la translocación del ribosoma y rsquos.

En eucariotas, se forma un complejo de iniciación similar, que comprende ARNm, la subunidad ribosómica pequeña 40S, IF y nucleósidos trifosfatos (GTP y ATP). El iniciador tRNA cargado, llamado Met-tRNAI, no se une a fMet en eucariotas, pero se diferencia de otros Met-tRNA en que puede unirse a IF.

En lugar de depositarse en la secuencia de Shine-Dalgarno, el complejo de iniciación eucariota reconoce la tapa de 7-metilguanosina en el extremo 5 'del ARNm. Una proteína de unión al casquete (CBP) y varias otras IF ayudan al movimiento del ribosoma al casquete 5 '. Una vez en el casquete, el complejo de iniciación sigue el ARNm en la dirección 5 'a 3', buscando el codón de inicio AUG. Muchos ARNm eucariotas se traducen del primer AUG, pero no siempre es así. Según las reglas de Kozak & rsquos, los nucleótidos alrededor del AUG indican si es el codón de inicio correcto. Las reglas de Kozak & rsquos establecen que la siguiente secuencia de consenso debe aparecer alrededor del AUG de genes de vertebrados: 5'-gccRccAUGG-3 '. La R (para purina) indica un sitio que puede ser A o G, pero no puede ser C o U. Esencialmente, cuanto más cerca está la secuencia de este consenso, mayor es la eficiencia de la traducción.

Una vez que se identifica el AUG apropiado, las otras proteínas y CBP se disocian y la subunidad 60S se une al complejo de Met-tRNAI, ARNm y la subunidad 40S. Este paso completa el inicio de la traducción en eucariotas.

Traslación, alargamiento y terminación

En procariotas y eucariotas, los fundamentos del alargamiento son los mismos, por lo que repasaremos el alargamiento desde la perspectiva de E. coli. La subunidad ribosomal 50S de E. coli consta de tres compartimentos: el sitio A (aminoacilo) se une a los ARNt de aminoacilo cargados entrantes. El sitio P (peptidilo) se une a los ARNt cargados que llevan aminoácidos que han formado enlaces peptídicos con la cadena polipeptídica en crecimiento pero que aún no se han disociado de su ARNt correspondiente. El sitio E (salida) libera ARNt disociados para que puedan recargarse con aminoácidos libres. Hay una excepción a esta línea de ensamblaje de ARNt: en E. coli, ( exto - exto_f ^) es capaz de ingresar al sitio P directamente sin ingresar primero al sitio A. De manera similar, el Met-tRNA eucariotaI, con la ayuda de otras proteínas del complejo de iniciación, se une directamente al sitio P. En ambos casos, esto crea un complejo de iniciación con un sitio A libre listo para aceptar el ARNt correspondiente al primer codón después del AUG.

Durante el alargamiento de la traducción, la plantilla de ARNm proporciona especificidad. A medida que el ribosoma se mueve a lo largo del ARNm, se registra cada codón de ARNm y se asegura la unión específica con el anticodón de ARNt cargado correspondiente. Si el ARNm no estuviera presente en el complejo de elongación, el ribosoma se uniría inespecíficamente a los ARNt.

La elongación procede con los ARNt cargados que entran en el sitio A y luego se desplazan al sitio P seguido del sitio E con cada codón único & ldquostep & rdquo del ribosoma. Los pasos ribosomales son inducidos por cambios conformacionales que hacen avanzar el ribosoma por tres bases en la dirección 3 '. La energía para cada paso del ribosoma es donada por un factor de elongación que hidroliza el GTP. Los enlaces peptídicos se forman entre el grupo amino del aminoácido unido al ARNt del sitio A y el grupo carboxilo del aminoácido unido al ARNt del sitio P. La formación de cada enlace peptídico es catalizada por la peptidil transferasa, una enzima basada en ARN que se integra en la subunidad ribosómica 50S. La energía para la formación de cada enlace peptídico se deriva de la hidrólisis de GTP, que es catalizada por un factor de elongación separado. El aminoácido unido al ARNt del sitio P también está unido a la cadena polipeptídica en crecimiento. A medida que el ribosoma atraviesa el ARNm, el anterior ARNt del sitio P ingresa al sitio E, se desprende del aminoácido y es expulsado (Figura ( PageIndex <2> )). Sorprendentemente, el E. coli El aparato de traducción toma solo 0.05 segundos para agregar cada aminoácido, lo que significa que una proteína de 200 aminoácidos se puede traducir en solo 10 segundos.

Figura ( PageIndex <2> ): la traducción comienza cuando un anticodón del ARNt iniciador reconoce un codón en el ARNm. La subunidad ribosómica grande se une a la subunidad pequeña y se recluta un segundo ARNt. A medida que el ARNm se mueve en relación con el ribosoma, se forma la cadena polipeptídica. La entrada de un factor de liberación en el sitio A finaliza la traducción y los componentes se disocian.

Muchos antibióticos inhiben la síntesis de proteínas bacterianas. Por ejemplo, la tetraciclina bloquea el sitio A en el ribosoma bacteriano y el cloranfenicol bloquea la transferencia de peptidilo. ¿Qué efecto específico esperaría que tenga cada uno de estos antibióticos en la síntesis de proteínas?

La tetraciclina afectaría directamente:

El cloranfenicol afectaría directamente

La terminación de la traducción ocurre cuando se encuentra un codón sin sentido (UAA, UAG o UGA). Al alinearse con el sitio A, estos codones sin sentido son reconocidos por factores de liberación en procariotas y eucariotas que instruyen a la peptidil transferasa a agregar una molécula de agua al extremo carboxilo del aminoácido del sitio P. Esta reacción obliga al aminoácido del sitio P a separarse de su ARNt y se libera la proteína recién creada. Las subunidades ribosomales pequeñas y grandes se disocian del ARNm y se reclutan entre sí casi de inmediato en otro complejo de iniciación de la traducción. Una vez que muchos ribosomas han completado la traducción, el ARNm se degrada para que los nucleótidos puedan reutilizarse en otra reacción de transcripción.


¿Cómo se escriben los primeros cinco términos de la secuencia definida recursivamente # a_1 = 3, a_ (k + 1) = 2 (a_k-1) #?

Cuando una secuencia se define de forma recursiva, el término anterior se usa para encontrar el término siguiente. Comience usando # a_1 # para encontrar # a_2 # (segundo término).

Sustituya # a_1 # por # a_k #.
#a_ (1 + 1) = 2 (a_1-1) #
# a_2 = 2 (a_1-1) #
Como # a_1 = 3 #, sustituya # a_1 # por # 3 # para encontrar # a_2 #.
# a_2 = 2 (3-1) #
# a_2 = 2 (2) #
# a_2 = 4 # ¡Este es tu segundo trimestre!

Ahora use # a_2 # para encontrar # a_3 # tal como usó # a_1 # para encontrar # a_2 #.
#a_ (2 + 1) = 2 (a_2-1) #
# a_3 = 2 (4-1) #
# a_3 = 2 (3) #
# a_3 = 6 # ¡Este es tu tercer trimestre!

Repita estos pasos para encontrar # a_4 # usando # a_3 #.
#a_ (3 + 1) = 2 (a_3-1) #
# a_4 = 2 (6-1) #
# a_4 = 2 (5) #
# a_4 = 10 # ¡Este es tu cuarto trimestre!

Busque # a_5 # usando # a_4 #.
#a_ (4 + 1) = 2 (a_4-1) #
# a_5 = 2 (10-1) #
# a_5 = 2 (9) #
# a_5 = 18 # ¡Este es tu quinto trimestre!

Enumere los términos de menor a mayor y sepárelos con comas.


La síntesis de proteínas comienza con la formación de un complejo de preiniciación. En E. coli, este complejo involucra el pequeño ribosoma 30S, la plantilla de ARNm, tres factores de iniciación (IFs IF-1, IF-2 e IF-3) y un tRNA iniciador especial, llamado fMet-tRNA. El iniciador tRNA pares de bases con el codón de inicio AUG (o raramente, GUG) y está unido covalentemente a una metionina formilada llamada fMet. La metionina es uno de los 21 aminoácidos utilizados en la síntesis de proteínas. La metionina formilada es una metionina a la que se ha unido covalentemente un grupo formilo (un aldehído de un carbono) en el nitrógeno amino. La metionina formilada es insertada por fMet-tRNA al comienzo de cada cadena polipeptídica sintetizada por E. coli, y generalmente se recorta una vez que se completa la traducción. Cuando se encuentra un AUG en marco durante el alargamiento de la traducción, un Met-tRNA regular inserta una metionina no formilada. En E. coli El ARNm, una secuencia aguas arriba del primer codón AUG, llamada secuencia de Shine-Dalgarno (AGGAGG), interactúa con las moléculas de ARNr que componen el ribosoma. Esta interacción ancla la subunidad ribosómica 30S en la ubicación correcta en la plantilla de ARNm.

En eucariotas, se forma un complejo de preiniciación cuando un factor de iniciación llamado eIF2 (factor de iniciación eucariota 2) se une a GTP, y el GTP-eIF2 recluta el ARNt iniciador eucariota en la subunidad ribosómica pequeña 40s. El tRNA iniciador, llamado Met-tRNAI, lleva metionina no modificada en eucariotas, no fMet, pero se diferencia de otros Met-tRNA celulares en que puede unirse a eIF y puede unirse al sitio del ribosoma P. El complejo de preiniciación eucariota luego reconoce el casquete de 7-metilguanosina en el extremo 5 & primo de un ARNm. Varios otros eIF, específicamente eIF1, eIF3 y eIF4, actúan como proteínas de unión a la tapa y ayudan al reclutamiento del complejo de preiniciación a la tapa 5 & prime. La proteína de unión poli (A) (PAB) se une tanto a la cola poli (A) del ARNm como al complejo de proteínas en la tapa y también ayuda en el proceso. Una vez en la tapa, el complejo de preiniciación sigue el ARNm en la dirección 5 & prime a 3 & prime, buscando el codón de inicio AUG. Muchos ARNm eucariotas, pero no todos, se traducen a partir de la primera secuencia AUG. Los nucleótidos alrededor del AUG indican si es el codón de inicio correcto.

Una vez que se identifica el AUG apropiado, eIF2 hidroliza GTP a GDP y potencia la entrega del tRNAI-Conseguir con el codón de inicio, donde el ARNtI pares de bases de anticodón al codón AUG. Después de esto, eIF2-GDP se libera del complejo y eIF5-GTP se une. La subunidad ribosómica 60S es reclutada para el complejo de preiniciación por eIF5-GTP, que hidroliza su GTP a GDP para impulsar el ensamblaje del ribosoma completo en el sitio de inicio de la traducción con el Met-tRNAi colocado en el sitio del ribosoma P. Los eIF restantes se disocian del ribosoma y la traducción está lista para comenzar.

En las arqueas, la iniciación de la traducción es similar a la que se observa en los eucariotas, excepto que los factores de iniciación involucrados se denominan aIF (factores de iniciación de arqueas), no eIF.

Figura ( PageIndex <1> ): Iniciación a la traducción en eucariotas.: En eucariotas, se forma un complejo de preiniciación compuesto por la pequeña subunidad 40S, el iniciador Met-tRNAi y eIF2-GTP. Este complejo de preiniciación se une a la tapa 5 & prime-m 7 G del mRNA con la ayuda de otros eIFS y PAB, que se une a la cola poli (A) del mRNA y enlaza la cola con la tapa. Una vez en la tapa, el complejo de preiniciación se desliza a lo largo del ARNm hasta que encuentra el codón iniciador AUG. Allí, el GTP es hidrolizado por eIF2 y el Met-tRNAI se carga en el AUG. A continuación, eIF5-GTP recluta la subunidad ribosomal grande 60S a la subunidad 40S en el AUG e hidroliza GTP. Esto permite que la subunidad ribosómica grande se monte encima de la subunidad pequeña, generando el ribosoma 80S intacto, y coloca el Met-tRNAi en el sitio P del ribosoma intacto. El sitio del ribosoma A se coloca sobre el segundo codón en el marco de lectura del ARNm y puede comenzar el alargamiento de la traducción.


Fórmulas recursivas para secuencias aritméticas

A secuencia es una lista de números donde se realizan las mismas operaciones a un número para obtener el siguiente. Secuencias aritméticas se refieren específicamente a secuencias construidas sumando o restando un valor, llamado el Diferencia común para obtener el próximo trimestre.

Para hablar de manera eficiente sobre una secuencia, usamos una fórmula que construye la secuencia cuando se ingresa una lista de índices. Por lo general, estas fórmulas reciben nombres de una letra, seguidos de un parámetro entre paréntesis, y la expresión que construye el secuencia en el lado derecho.

Arriba hay un ejemplo de una fórmula para una secuencia aritmética.

Ejemplos de

Secuencia: 1, 2, 3, 4,… | Fórmula: a (n) = n + 13

Secuencia: 8, 13, 18,… | Fórmula: b (n) = 5n - 2

Una fórmula recursiva

Nota: Los matemáticos comienzan a contar en 1, por lo que por convención, n = 1 es el primer término. Entonces debemos definir cuál es el primer término. Luego tenemos que averiguar e incluir la diferencia común.

Echando un vistazo a los ejemplos de nuevo,

Secuencia: 1, 2, 3, 4,… | Fórmula: a (n) = n + 1 | Fórmula recursiva: a (n) = a (n-1) + 1, a (1) = 1

Secuencia: 3, 8, 13, 18,… | Fórmula: b (n) = 5n - 2 | Fórmula recursiva: b (n) = b (n-1) + 5, b (1) = 3

Encontrar la fórmula (dada una secuencia con el primer término)

Encontrar la fórmula (dada una secuencia sin el primer término)

Más información:

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La respuesta depende en gran medida de su implementación. Para el ejemplo que dio, hay varias soluciones posibles y yo diría que la forma ingenua de implementar una solución tiene una mayor complejidad cuando se implementa de forma iterativa. Aquí están las dos implementaciones:

En ambas implementaciones asumí una entrada correcta, es decir, n> = 1. El primer código es mucho más largo pero su complejidad es O (n) es decir, lineal, mientras que la segunda implementación es más corta pero tiene una complejidad exponencial O (fib (n)) = O (φ ^ n) (φ = (1 + √5) / 2) y por lo tanto es mucho más lento. Se puede mejorar la versión recursiva introduciendo la memorización (es decir, recordando los valores de retorno de la función que ya ha calculado). Esto generalmente se hace introduciendo una matriz donde almacena los valores. Aquí hay un ejemplo:

Aquí la complejidad del algoritmo recursivo es lineal al igual que la solución iterativa. La solución que presenté anteriormente es el enfoque de arriba hacia abajo para la solución de programación dinámica de su problema. El enfoque de abajo hacia arriba conducirá a algo muy similar a la solución que presenté como iterativa. Hay muchos artículos sobre programación dinámica incluidos en wikipedia


Algoritmo rápido de Fibonacci usando programación dinámica

El algoritmo anterior es muy lento y no muy útil en situaciones reales. Existe una alternativa a esto que es rápido y eficiente.

El algoritmo de secuencia de Fibonacci que utiliza programación dinámica es una optimización sobre la recursividad simple.

En el ejemplo recursivo, vemos que el mismo cálculo se realiza varias veces, lo que aumenta el tiempo computacional total.

La programación dinámica resuelve este problema porque almacena los cálculos anteriores de forma segura para su uso futuro.

La programación dinámica es muy fácil en comparación con la recursividad y todos la usamos la mayoría de las veces.

Algoritmo de números de Fibonacci usando programación dinámica.

La complejidad temporal de este algoritmo para encontrar números de Fibonacci usando programación dinámica es O (n).

La razón de esto es simple, solo necesitamos recorrer n veces y sumar los dos números anteriores.

Aquí hay una representación visual de cómo funciona más rápido el algoritmo de programación dinámica.

La programación dinámica almacena elementos previamente calculados

Aquí está claro que este enfoque almacena elementos calculados previamente y los usa para encontrar uno nuevo.


Impulsar las bibliotecas de C ++

Un contenedor de unión discriminado en algún conjunto de tipos se define instanciando la plantilla de clase boost :: variant con los tipos deseados. Estos tipos se llaman tipos acotados y están sujetos a los requisitos de la BoundedType concepto. Se puede especificar cualquier número de tipos delimitados, hasta un límite definido por la implementación (consulte BOOST_VARIANT_LIMIT_TYPES).

Por ejemplo, lo siguiente declara un contenedor de unión discriminado en int y std :: string:

De forma predeterminada, una variante por defecto construye su primer tipo acotado, por lo que v inicialmente contiene int (0). Si esto no se desea, o si el primer tipo acotado no se puede construir por defecto, se puede construir una variante directamente a partir de cualquier valor convertible a uno de sus tipos acotados. De manera similar, a una variante se le puede asignar cualquier valor convertible a uno de sus tipos acotados, como se demuestra a continuación:

Ahora v contiene un std :: string igual a "hola". Podemos demostrar esto por transmisión & # 160 v a salida estándar:

Sin embargo, por lo general, nos gustaría hacer más con el contenido de una variante que con la transmisión. Por lo tanto, necesitamos alguna forma de acceder al valor contenido. Hay dos formas de lograr esto: apply_visitor, que es más seguro y muy poderoso, y get & ltT & gt, que a veces es más conveniente de usar.

Por ejemplo, supongamos que quisiéramos concatenar a la cadena contenida en v. Con recuperación de valor con get, esto se puede lograr de manera bastante simple, como se ve en lo siguiente:

Como se desee, la cadena std :: contenida por v ahora es igual a "¡hola mundo!". Nuevamente, podemos demostrar esto transmitiendo v a la salida estándar:

Si bien el uso de get es perfectamente aceptable en este ejemplo trivial, get generalmente adolece de varias deficiencias importantes. Por ejemplo, si escribiéramos una función aceptando una variante & ltint, std :: string & gt, no sabríamos si la variante pasada contiene un int o std :: string. Si insistimos en el uso continuo de get, necesitaríamos consultar la variante por su tipo contenido. La siguiente función, que "duplica" el contenido de la variante dada, demuestra este enfoque:

Sin embargo, dicho código es bastante frágil y, sin una atención cuidadosa, probablemente conducirá a la introducción de errores lógicos sutiles detectables solo en tiempo de ejecución. Por ejemplo, considere si deseamos extender times_two para operar en una variante con tipos limitados adicionales. Específicamente, agreguemos std :: complex & ltdouble & gt al conjunto. Claramente, necesitaríamos al menos cambiar la declaración de la función:

Por supuesto, se requieren cambios adicionales, ya que actualmente si la variante pasada de hecho contuviera un valor std :: complex, times_two regresaría silenciosamente, sin ninguno de los efectos secundarios deseados y sin ningún error. En este caso, la solución es obvia. Pero en programas más complicados, podría llevar un tiempo considerable identificar y localizar el error en primer lugar.

Por lo tanto, el uso de la variante en el mundo real normalmente exige un mecanismo de acceso más robusto que get. Por esta razón, la variante admite el tiempo de compilación verificado. visitación a través de apply_visitor. La visita requiere que el programador maneje (o ignore) explícitamente cada tipo limitado. Si no lo hace, se producirá un error en tiempo de compilación.

La visita a una variante requiere un objeto de visitante. A continuación, se muestra una implementación de este tipo de un visitante que implementa un comportamiento idéntico a times_two:

Con la implementación del visitante anterior, podemos aplicarlo av, como se ve a continuación:

Como era de esperar, el contenido de v ahora es un std :: string igual a "¡hola mundo! ¡Hola mundo!". (Saltaremos la verificación esta vez).

Además de la robustez mejorada, las visitas proporcionan otra ventaja importante sobre get: la capacidad de escribir visitantes genéricos. Por ejemplo, el siguiente visitante "duplicará" el contenido de ninguna & # 160 variante (siempre que sus tipos limitados cada operador de soporte + =):

Una vez más, apply_visitor pone las ruedas en movimiento:

Si bien los costos de configuración inicial de las visitas pueden exceder los requeridos para obtener, los beneficios rápidamente se vuelven significativos. Antes de concluir esta sección, debemos explorar un último beneficio de las visitas con apply_visitor: visita retrasada . Es decir, hay disponible una forma especial de apply_visitor que no aplica inmediatamente al visitante dado a ninguna variante, sino que devuelve un objeto de función que opera en cualquier variante que se le haya asignado. Este comportamiento es particularmente útil cuando se opera en secuencias de tipo variante, como se demuestra a continuación:

Temas avanzados

Esta sección analiza varias características de la biblioteca que a menudo se requieren para usos avanzados de la variante. A diferencia de la sección anterior, cada característica que se presenta a continuación es en gran medida independiente de las demás. Por consiguiente, esta sección no está destinada necesariamente a leerse linealmente o en su totalidad.

Macros de preprocesador

Si bien la lista de parámetros variables de la plantilla de clase variante simplifica enormemente el uso para instancias específicas de la plantilla, complica significativamente el uso de instancias genéricas. Por ejemplo, si bien está inmediatamente claro cómo se puede escribir una función aceptando una instanciación de variante específica, digamos variant & ltint, std :: string & gt, es menos claro cómo se podría escribir una función aceptando cualquier variante dada.

Debido a la falta de soporte para listas de parámetros de plantillas verdaderas en el estándar C ++ 98, se necesita el preprocesador. Si bien la biblioteca del preprocesador proporciona una solución general y poderosa, la necesidad de repetir BOOST_VARIANT_LIMIT_TYPES desordena innecesariamente el código que de otro modo sería simple. Por lo tanto, para casos de uso comunes, esta biblioteca proporciona su propia macro BOOST_VARIANT_ENUM_PARAMS .

Esta macro simplifica para el usuario el proceso de declarar tipos de variantes en plantillas de funciones o especializaciones parciales explícitas de plantillas de clases, como se muestra a continuación:

Usar una secuencia de tipos para especificar tipos delimitados

Si bien es conveniente para usos típicos, la lista de parámetros de la plantilla variada de la plantilla de clase variante se limita en dos dimensiones significativas. En primer lugar, debido a la falta de compatibilidad con listas de parámetros de plantillas de variantes verdaderas en C ++, el número de parámetros debe limitarse a un máximo definido por la implementación (es decir, BOOST_VARIANT_LIMIT_TYPES). En segundo lugar, la naturaleza de las listas de parámetros en general hace que la manipulación de las listas en tiempo de compilación sea excesivamente difícil.

Para resolver estos problemas, make_variant_over & lt Secuencia & gt expone una variante cuyos tipos limitados son los elementos de Sequence (donde Sequence es cualquier tipo que cumpla con los requisitos de MPL Secuencia concepto). Por ejemplo,

Portabilidad : Unfortunately, due to standard conformance issues in several compilers, make_variant_over is not universally available. On these compilers the library indicates its lack of support for the syntax via the definition of the preprocessor symbol BOOST_VARIANT_NO_TYPE_SEQUENCE_SUPPORT .

Recursive variant types

Recursive types facilitate the construction of complex semantics from simple syntax. For instance, nearly every programmer is familiar with the canonical definition of a linked list implementation, whose simple definition allows sequences of unlimited length:

The nature of variant as a generic class template unfortunately precludes the straightforward construction of recursive variant types. Consider the following attempt to construct a structure for simple mathematical expressions:

While well-intentioned, the above approach will not compile because binary_op is still incomplete when the variant type expression is instantiated. Further, the approach suffers from a more significant logical flaw: even if C++ syntax were different such that the above example could be made to "work," expression would need to be of infinite size, which is clearly impossible.

To overcome these difficulties, variant includes special support for the boost::recursive_wrapper class template, which breaks the circular dependency at the heart of these problems. Further, boost::make_recursive_variant provides a more convenient syntax for declaring recursive variant types. Tutorials for use of these facilities is described in the section called “Recursive types with recursive_wrapper ” and the section called “Recursive types with make_recursive_variant ”.

Recursive types with recursive_wrapper

The following example demonstrates how recursive_wrapper could be used to solve the problem presented in the section called “Recursive variant types”:

Because variant provides special support for recursive_wrapper , clients may treat the resultant variant as though the wrapper were not present. This is seen in the implementation of the following visitor, which calculates the value of an expression without any reference to recursive_wrapper :

Finally, we can demonstrate expression in action:

Performance : boost::recursive_wrapper has no empty state, which makes its move constructor not very optimal. Consider using std::unique_ptr or some other safe pointer for better performance on C++11 compatible compilers.

Recursive types with make_recursive_variant

For some applications of recursive variant types, a user may be able to sacrifice the full flexibility of using recursive_wrapper with variant for the following convenient syntax:

Use of the resultant variant type is as expected:

To be clear, one might represent the resultant content of var as ( 1 ( 3 5 ) 7 ) .

Finally, note that a type sequence can be used to specify the bounded types of a recursive variant via the use of boost::make_recursive_variant_over , whose semantics are the same as make_variant_over (which is described in the section called “Using a type sequence to specify bounded types”).

Portabilidad : Unfortunately, due to standard conformance issues in several compilers, make_recursive_variant is not universally supported. On these compilers the library indicates its lack of support via the definition of the preprocessor symbol BOOST_VARIANT_NO_FULL_RECURSIVE_VARIANT_SUPPORT . Thus, unless working with highly-conformant compilers, maximum portability will be achieved by instead using recursive_wrapper , as described in the section called “Recursive types with recursive_wrapper ”.

Binary visitation

As the tutorial above demonstrates, visitation is a powerful mechanism for manipulating variant content. Binary visitation further extends the power and flexibility of visitation by allowing simultaneous visitation of the content of two different variant objects.

Notably this feature requires that binary visitors are incompatible with the visitor objects discussed in the tutorial above, as they must operate on two arguments. The following demonstrates the implementation of a binary visitor:

As expected, the visitor is applied to two variant arguments by means of apply_visitor :

Finally, we must note that the function object returned from the "delayed" form of apply_visitor also supports binary visitation, as the following demonstrates:

Multi visitation

Multi visitation extends the power and flexibility of visitation by allowing simultaneous visitation of the content of three and more different variant objects. Note that header for multi visitors shall be included separately.

Notably this feature requires that multi visitors are incompatible with the visitor objects discussed in the tutorial above, as they must operate on same amout of arguments that was passed to apply_visitor . The following demonstrates the implementation of a multi visitor for three parameters:

As expected, the visitor is applied to three variant arguments by means of apply_visitor :

Finally, we must note that multi visitation does not support "delayed" form of apply_visitor .