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1.1: Revisión de funciones


Objetivos de aprendizaje

  • Utilice la notación funcional para evaluar una función.
  • Determina el dominio y el rango de una función.
  • Dibuja la gráfica de una función.
  • Encuentra los ceros de una función.
  • Reconoce una función de una tabla de valores.
  • Crea nuevas funciones a partir de dos o más funciones dadas.
  • Describe las propiedades de simetría de una función.

En esta sección, proporcionamos una definición formal de una función y examinamos varias formas en las que se representan las funciones, es decir, a través de tablas, fórmulas y gráficos. Estudiamos notación formal y términos relacionados con funciones. También definimos la composición de funciones y propiedades de simetría. La mayor parte de este material será una revisión para usted, pero le servirá como una referencia útil para recordarle algunas de las técnicas algebraicas útiles para trabajar con funciones.

Funciones

Dados dos conjuntos (A ) y (B ) un conjunto con elementos que son pares ordenados ((x, y) ) donde (x ) es un elemento de (A ) y (y ) es un elemento de (B, ) es una relación de (A ) a (B ). Una relación de (A ) a (B ) define una relación entre esos dos conjuntos. Una función es un tipo especial de relación en la que cada elemento del primer conjunto está relacionado con exactamente un elemento del segundo conjunto. El elemento del primer conjunto se llama aporte; el elemento del segundo conjunto se llama producción. Las funciones se utilizan todo el tiempo en matemáticas para describir relaciones entre dos conjuntos. Para cualquier función, cuando conocemos la entrada, la salida está determinada, por lo que decimos que la salida es una función de la entrada. Por ejemplo, el área de un cuadrado está determinada por la longitud de su lado, por lo que decimos que el área (la salida) es una función de la longitud de su lado (la entrada). La velocidad de una pelota lanzada al aire se puede describir como una función de la cantidad de tiempo que la pelota está en el aire. El costo de enviar un paquete por correo es una función del peso del paquete. Dado que las funciones tienen tantos usos, es importante tener definiciones y terminología precisas para estudiarlas.

Definición: Funciones

A función (f ) consta de un conjunto de entradas, un conjunto de salidas y una regla para asignar cada entrada a exactamente una salida. El conjunto de entradas se llama dominio de la función. El conjunto de salidas se llama distancia de El función.

Por ejemplo, considere la función (f ), donde el dominio es el conjunto de todos los números reales y la regla es elevar al cuadrado la entrada. Luego, la entrada (x = 3 ) se asigna a la salida (3 ^ 2 = 9 ).

Dado que todo número real no negativo tiene una raíz cuadrada de valor real, todo número no negativo es un elemento del rango de esta función. Dado que no hay un número real con un cuadrado que sea negativo, los números reales negativos no son elementos del rango. Concluimos que el rango es el conjunto de números reales no negativos.

Para una función general (f ) con dominio (D ), a menudo usamos (x ) para denotar la entrada y (y ) para denotar la salida asociada con (x ). Al hacerlo, nos referimos a (x ) como el variable independiente y (y ) como variable dependiente, porque depende de (x ). Usando la notación de función, escribimos (y = f (x) ), y leemos esta ecuación como " (y ) es igual a (f ) de (x." ) Para la función de elevación al cuadrado descrita anteriormente, escribimos (f (x) = x ^ 2 ).

El concepto de una función se puede visualizar usando Figuras ( PageIndex {1} ) - ( PageIndex {3} ).

También podemos visualizar una función trazando puntos ((x, y) ) en el plano de coordenadas donde (y = f (x) ). La gráfica de una función es el conjunto de todos estos puntos. Por ejemplo, considere la función (f ), donde el dominio es el conjunto (D = {1,2,3 } ) y la regla es (f (x) = 3 − x ). En la Figura ( PageIndex {4} ), trazamos una gráfica de esta función.

Cada función tiene un dominio. Sin embargo, a veces una función se describe mediante una ecuación, como en (f (x) = x ^ 2 ), sin un dominio específico dado. En este caso, el dominio se toma como el conjunto de todos los números reales (x ) para los cuales (f (x) ) es un número real. Por ejemplo, dado que cualquier número real se puede elevar al cuadrado, si no se especifica ningún otro dominio, consideramos que el dominio de (f (x) = x ^ 2 ) es el conjunto de todos los números reales. Por otro lado, la función de raíz cuadrada (f (x) = sqrt {x} ) solo da una salida real si (x ) no es negativa. Por lo tanto, el dominio de la función (f (x) = sqrt {x} ) es el conjunto de números reales no negativos, a veces llamado dominio natural.

Para las funciones (f (x) = x ^ 2 ) y (f (x) = sqrt {x} ), los dominios son conjuntos con un número infinito de elementos. Claramente, no podemos enumerar todos estos elementos. Cuando se describe un conjunto con un número infinito de elementos, a menudo es útil utilizar el generador de conjuntos o la notación de intervalo. Cuando usamos la notación del constructor de conjuntos para describir un subconjunto de todos los números reales, denotado (R ), escribimos

[ {x , | , textit {x tiene alguna propiedad} }. ]

Leemos esto como el conjunto de números reales (x ) tal que (x ) tiene alguna propiedad. Por ejemplo, si estuviéramos interesados ​​en el conjunto de números reales que son mayores que uno pero menores que cinco, podríamos denotar este conjunto usando la notación del constructor de conjuntos escribiendo

[ {x , | , 1

Un conjunto como este, que contiene todos los números mayores que (a ) y menores que (b, ) también se puede denotar usando el notación de intervalos ((a, b) ). Por lo tanto,

[(1,5) = {x , | , 1

Los números (1 ) y (5 ) se denominan puntos finales de este conjunto. Si queremos considerar el conjunto que incluye los puntos finales, denotaríamos este conjunto escribiendo

[[1,5] = {x , | , 1

Podemos usar una notación similar si queremos incluir uno de los puntos finales, pero no el otro. Para denotar el conjunto de números reales no negativos, usaríamos la notación del constructor de conjuntos

[ {x , | , x ge 0 }. ]

El número más pequeño de este conjunto es cero, pero este conjunto no tiene un número mayor. Usando notación de intervalo, usaríamos el símbolo (∞, ) que se refiere al infinito positivo, y escribiríamos el conjunto como

[[0, ∞) = {x , | , x ge 0 }. ]

Es importante notar que (∞ ) no es un número real. Se usa aquí simbólicamente para indicar que este conjunto incluye todos los números reales mayores o iguales a cero. De manera similar, si quisiéramos describir el conjunto de todos los números no positivos, podríamos escribir

[(- ∞, 0] = {x , | , x≤0 }. ]

Aquí, la notación (- ∞ ) se refiere al infinito negativo e indica que estamos incluyendo todos los números menores o iguales a cero, sin importar cuán pequeños sean. El conjunto

[(- ∞, ∞) = { textit {x} , | , textit {x es cualquier número real} } ]

se refiere al conjunto de todos los números reales. Algunas funciones se definen utilizando diferentes ecuaciones para diferentes partes de su dominio. Estos tipos de funciones se conocen como funciones definidas por partes. Por ejemplo, supongamos que queremos definir una función (f ) con un dominio que es el conjunto de todos los números reales tales que (f (x) = 3x + 1 ) para (x≥2 ) y (f (x) = x ^ 2 ) para (x <2 ). Denotamos esta función escribiendo

[f (x) = begin {cases} 3x + 1, & text {if} x≥2 x ^ 2, & text {if} x <2 end {cases} ]

Al evaluar esta función para una entrada (x ), la ecuación a usar depende de si (x≥2 ) o (x <2 ). Por ejemplo, desde (5> 2 ), usamos el hecho de que (f (x) = 3x + 1 ) para (x≥2 ) y vemos que (f (5) = 3 (5 ) + 1 = 16 ). Por otro lado, para (x = −1 ), usamos el hecho de que (f (x) = x ^ 2 ) para (x <2 ) y vemos que (f (−1) = 1 ).

Ejemplo ( PageIndex {1} ): evaluación de funciones

Para la función (f (x) = 3x ^ 2 + 2x − 1 ), evalúa:

  1. (f (−2) )
  2. (f ( sqrt {2}) )
  3. (f (a + h) )

Solución

Sustituye (x ) por el valor dado en la fórmula para (f (x) ).

  1. (f (−2) = 3 (−2 ^) 2 + 2 (−2) −1 = 12−4−1 = 7 )
  2. (f ( sqrt {2}) = 3 ( sqrt {2}) ^ 2 + 2 sqrt {x} −1 = 6 + 2 sqrt {2} −1 = 5 + 2 sqrt {2} )
  3. (f (a + h) = 3 (a + h) ^ 2 + 2 (a + h) −1 = 3 (a ^ 2 + 2ah + h ^ 2) + 2a + 2h − 1 ) (= 3a ^ 2 + 6ah + 3h ^ 2 + 2a + 2h − 1 )

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Para (f (x) = x ^ 2−3x + 5 ), evalúe (f (1) ) y (f (a + h) ).

Insinuación

Sustituye (1 ) y (a + h ) por (x ) en la fórmula para (f (x) ).

Respuesta

(f (1) = 3 ) y (f (a + h) = a ^ 2 + 2ah + h ^ 2−3a − 3h + 5 )

Ejemplo ( PageIndex {2} ): búsqueda de dominio y rango

Para cada una de las siguientes funciones, determine la i. dominio y ii. distancia.

  1. (f (x) = (x − 4) ^ 2 + 5 )
  2. (f (x) = sqrt {3x + 2} −1 )
  3. (f (x) = 3x − 2 )

Solución

1. Considere (f (x) = (x − 4) ^ 2 + 5. )

1.Dado que (f (x) = (x − 4) ^ 2 + 5 ) es un número real para cualquier número real (x ), el dominio de (f ) es el intervalo ((- ∞, ∞) ).

2. Como ((x − 4) ^ 2≥0 ), sabemos (f (x) = (x − 4) ^ 2 + 5≥5 ). Por lo tanto, el rango debe ser un subconjunto de ( {y , | , y≥5 }. ) Para mostrar que todos los elementos de este conjunto están en el rango, necesitamos mostrar que para un ( y ) en ese conjunto, hay un número real (x ) tal que (f (x) = (x − 4) ^ 2 + 5 = y ). Resolviendo esta ecuación para (x, ) vemos que necesitamos (x ) tal que

((x − 4) ^ 2 = y − 5. )

Esta ecuación se satisface siempre que exista un número real (x ) tal que

(x − 4 = ± sqrt {y − 5} )

Dado que (y≥5 ), la raíz cuadrada está bien definida. Concluimos que para (x = 4 ± sqrt {y − 5}, ) (f (x) = y, ) y por lo tanto el rango es ( {y , | , y≥5 }. )

2. Considere (f (x) = sqrt {3x + 2} −1 ).

1.Para encontrar el dominio de (f ), necesitamos la expresión (3x + 2≥0 ). Resolviendo esta desigualdad, llegamos a la conclusión de que el dominio es ( {x , | , x≥ − 2/3 }. )

2.Para encontrar el rango de (f ), notamos que desde ( sqrt {3x + 2} ≥0, ) (f (x) = sqrt {3x + 2} −1≥ − 1 ). Por lo tanto, el rango de (f ) debe ser un subconjunto del conjunto ( {y , | , y≥ − 1 } ). Para mostrar que cada elemento de este conjunto está en el rango de (f ), necesitamos mostrar que para todo (y ) en este conjunto, existe un número real (x ) en el dominio tal que (f (x) = y. ) Sea (y≥ − 1. ) Entonces, (f (x) = y ) si y solo si

( sqrt {3x + 2} −1 = y. )

Resolviendo esta ecuación para (x, ) vemos que (x ) debe resolver la ecuación

( sqrt {3x + 2} = y + 1. )

Dado que (y≥ − 1 ), tal (x ) podría existir. Al elevar al cuadrado ambos lados de esta ecuación, tenemos (3x + 2 = (y + 1) ^ 2. )

Por lo tanto, necesitamos

(3x = (y + 1) ^ 2−2, )

lo que implica

(x = frac {1} {3} (y + 1) ^ 2− frac {2} {3}. )

Solo necesitamos verificar que (x ) está en el dominio de (f ). Dado que el dominio de (f ) consta de todos los números reales mayores o iguales que ( frac {−2} {3} ), y

( frac {1} {3} (y + 1) ^ 2- frac {2} {3} ≥− frac {2} {3}, )

existe una (x ) en el dominio de (f ). Concluimos que el rango de (f ) es ( {y , | , y≥ − 1 }. )

3. Considere (f (x) = dfrac {3} {x − 2}. )

1.Dado que (3 / (x − 2) ) se define cuando el denominador es distinto de cero, el dominio es ( {x , | , x ≠ 2 }. )

2.Para encontrar el rango de (f, ) necesitamos encontrar los valores de (y ) tales que exista un número real (x ) en el dominio con la propiedad que

( frac {3} {x} −2 = y. )

Resolviendo esta ecuación para (x, ) encontramos que

(x = frac {3} {y} +2. )

Por lo tanto, siempre que (y ≠ 0 ), existe un número real (x ) en el dominio tal que (f (x) = y ). Por lo tanto, el rango es ( {y , | , y ≠ 0 }. )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Encuentre el dominio y rango para (f (x) = sqrt {4−2x} +5. )

Insinuación

Utilice (4−2x≥0 ).

Respuesta

Dominio = ( {x , | , x≤2 } ) y rango = ( {y , | , y≥5 } )

Representar funciones

Normalmente, una función se representa mediante una o más de las siguientes herramientas:

  • Una mesa
  • Un gráfico
  • Una fórmula

Podemos identificar una función en cada formulario, pero también podemos usarlos juntos. Por ejemplo, podemos trazar en un gráfico los valores de una tabla o crear una tabla a partir de una fórmula.

Mesas

Funciones descritas mediante un tabla de valores surgen con frecuencia en aplicaciones del mundo real. Considere el siguiente ejemplo sencillo. Podemos describir la temperatura de un día determinado en función de la hora del día. Supongamos que registramos la temperatura cada hora durante un período de 24 horas a partir de la medianoche. Dejamos que nuestra variable de entrada (x ) sea el tiempo después de la medianoche, medida en horas, y la variable de salida (y ) sea la temperatura (x ) horas después de la medianoche, medida en grados Fahrenheit. Registramos nuestros datos en la Tabla ( PageIndex {1} ).

Tabla ( PageIndex {1} ): temperatura en función de la hora del día
Hora después de la medianocheTemperatura (° F)Hora después de la medianocheTemperatura (° F)
0581284
1541385
2531485
3521583
4521682
5551780
6601877
7641974
8722069
9752165
10782260
11802358

Podemos ver en la tabla que la temperatura es una función del tiempo, y la temperatura disminuye, luego aumenta y luego disminuye nuevamente. Sin embargo, no podemos obtener una imagen clara del comportamiento de la función sin graficarla.

Gráficos

Dada una función (f ) descrita por una tabla, podemos proporcionar una imagen visual de la función en forma de gráfico. Graficar las temperaturas enumeradas en la Tabla ( PageIndex {1} ) puede darnos una mejor idea de su fluctuación a lo largo del día. La figura ( PageIndex {5} ) muestra la gráfica de la función de temperatura.

A partir de los puntos trazados en el gráfico de la Figura ( PageIndex {5} ), podemos visualizar la forma general del gráfico. A menudo es útil conectar los puntos en el gráfico, que representan los datos de la tabla. En este ejemplo, aunque no podemos sacar una conclusión definitiva con respecto a cuál fue la temperatura en cualquier momento para el que no se registró la temperatura, dado el número de puntos de datos recopilados y el patrón en estos puntos, es razonable sospechar que las temperaturas en otras veces siguió un patrón similar, como podemos ver en la Figura ( PageIndex {6} ).

Fórmulas algebraicas

A veces no se nos dan los valores de una función en forma de tabla, sino que se nos dan los valores en una fórmula explícita. Las fórmulas surgen en muchas aplicaciones. Por ejemplo, el área de un círculo de radio (r ) está dada por la fórmula (A (r) = πr ^ 2 ). Cuando un objeto se lanza hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial (v_ {0} ) ft / s, su altura sobre el suelo desde el momento en que se lanza hasta que golpea el suelo viene dada por la fórmula (s ( t) = - 16t ^ 2 + v_ {0} t ). Cuando (P ) dólares se invierten en una cuenta a una tasa de interés anual (r ) compuesta continuamente, la cantidad de dinero después de (t ) años viene dada por la fórmula (A (t) = Pe ^ {rt} ). Las fórmulas algebraicas son herramientas importantes para calcular valores de funciones. A menudo también representamos estas funciones visualmente en forma de gráfico.

Dada una fórmula algebraica para una función (f ), la gráfica de (f ) es el conjunto de puntos ((x, f (x)) ), donde (x ) está en el dominio de (f ) y (f (x) ) está en el rango. Para graficar una función dada por una fórmula, es útil comenzar usando la fórmula para crear una tabla de entradas y salidas. Si el dominio de (f ) consta de un número infinito de valores, no podemos enumerarlos todos, pero dado que enumerar algunas de las entradas y salidas puede ser muy útil, a menudo es una buena manera de comenzar.

Al crear una tabla de entradas y salidas, normalmente verificamos para determinar si cero es una salida. Los valores de (x ) donde (f (x) = 0 ) se llaman ceros de una función. Por ejemplo, los ceros de (f (x) = x ^ 2−4 ) son (x = ± 2 ). Los ceros determinan dónde se cruza la gráfica de (f ) con el eje (x ), lo que nos da más información sobre la forma de la gráfica de la función. Es posible que la gráfica de una función nunca se cruce con el eje (x ) -, o puede que se cruce múltiples (o incluso infinitas) veces.

Otro punto de interés es la intersección en (y ), si existe. La intersección en (y ) - está dada por ((0, f (0)) ).

Dado que una función tiene exactamente una salida para cada entrada, la gráfica de una función puede tener, como máximo, una intersección en (y ). Si (x = 0 ) está en el dominio de una función (f, ) entonces (f ) tiene exactamente una intersección en (y ). Si (x = 0 ) no está en el dominio de (f, ) entonces (f ) no tiene intersección en (y ). De manera similar, para cualquier número real (c, ) si (c ) está en el dominio de (f ), hay exactamente una salida (f (c), ) y la línea (x = c ) interseca la gráfica de (f ) exactamente una vez. Por otro lado, si (c ) no está en el dominio de (f, ) (f (c) ) no está definida y la línea (x = c ) no se cruza con la gráfica de (F). Esta propiedad se resume en la prueba de la línea vertical.

Prueba de línea vertical

Dada una función (f ), cada línea vertical que se pueda trazar interseca la gráfica de (f ) no más de una vez. Si alguna línea vertical interseca un conjunto de puntos más de una vez, el conjunto de puntos no representa una función.

Podemos usar esta prueba para determinar si un conjunto de puntos trazados representa la gráfica de una función (Figura ( PageIndex {7} )).

Ejemplo ( PageIndex {3} ): encontrar ceros y (y ) - intersecciones de una función

Considere la función (f (x) = - 4x + 2. )

  1. Encuentra todos los ceros de (f ).
  2. Encuentra la intersección en (y ) (si la hay).
  3. Dibuja una gráfica de (f ).

Solución

1.Para encontrar los ceros, resuelva (f (x) = - 4x + 2 = 0 ). Descubrimos que (f ) tiene un cero en (x = 1/2 ).

2. La intersección en (y ) - está dada por ((0, f (0)) = (0,2). )

3. Dado que (f ) es una función lineal de la forma (f (x) = mx + b ) que pasa por los puntos ((1 / 2,0) ) y ((0, 2) ), podemos dibujar la gráfica de (f ) (Figura ( PageIndex {8} )).

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Uso de ceros y (y ): intersecciones para dibujar un gráfico

Considere la función (f (x) = sqrt {x + 3} +1 ).

  1. Encuentra todos los ceros de (f ).
  2. Encuentra la intersección en (y ) (si la hay).
  3. Dibuja una gráfica de (f ).

Solución

1.Para encontrar los ceros, resuelva ( sqrt {x + 3} + 1 = 0 ). Esta ecuación implica ( sqrt {x + 3} = - 1 ). Dado que ( sqrt {x + 3} ≥0 ) para todo (x ), esta ecuación no tiene soluciones y, por lo tanto, (f ) no tiene ceros.

2. La intersección en (y ) - está dada por ((0, f (0)) = (0, sqrt {3} +1) ).

3. Para graficar esta función, hacemos una tabla de valores. Como necesitamos (x + 3≥0 ), necesitamos elegir valores de (x≥ − 3 ). Elegimos valores que hacen que la función de raíz cuadrada sea fácil de evaluar.

(X)-3-21
(f (x) )123

Haciendo uso de la tabla y sabiendo que, dado que la función es una raíz cuadrada, la gráfica de (f ) debe ser similar a la gráfica de (y = sqrt {x} ), dibujamos la gráfica (Figura ( PageIndex {9} )).

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Encuentra los ceros de (f (x) = x ^ 3−5x ^ 2 + 6x. )

Insinuación

Factoriza el polinomio.

Respuesta

(x = 0,2,3 )

Ejemplo ( PageIndex {5} ): encontrar la altura de un objeto en caída libre

Si se deja caer una pelota desde una altura de 100 pies, su altura s en el tiempo (t ) viene dada por la función (s (t) = - 16t ^ 2 + 100 ), donde s se mide en pies y (t ) se mide en segundos. El dominio está restringido al intervalo ([0, c], ) donde (t = 0 ) es el momento en que se deja caer la pelota y (t = c ) es el momento en que la pelota golpea el suelo .

  1. Crea una tabla que muestre la altura s (t) cuando (t = 0, , 0.5, , 1, , 1.5, , 2, ) y (2.5 ). Con los datos de la tabla, determine el dominio para esta función. Es decir, encuentre el tiempo (c ) cuando la pelota golpea el suelo.
  2. Dibuja una gráfica de (s ).

Solución

(t )00.511.522.5
(S t))100968464360

Dado que la pelota golpea el suelo cuando (t = 2.5 ), el dominio de esta función es el intervalo ([0,2.5] ).

2.

Definición: creciente y decreciente en un intervalo

Decimos que una función (f ) es aumentando en el intervalo (I ) si para todo (x_ {1}, , x_ {2} ∈I, )

(f (x_ {1}) ≤f (x_ {2}) ) cuando (x_ {1}

Decimos que (f ) es estrictamente creciente en el intervalo (I ) si para todo (x_ {1}, x_ {2} ∈I, )

(f (x_ {1})

Decimos que una función (f ) es decreciente en el intervalo (I ) si para todo (x_ {1}, x_ {2} ∈I, )

(f (x_ {1}) ≥f (x_ {2}) ) si (x_ {1}

Decimos que una función (f ) es estrictamente decreciente en el intervalo (I ) si para todo (x_ {1}, x_ {2} ∈I ),

(f (x_ {1})> f (x_ {2}) ) si (x_ {1}

Por ejemplo, la función (f (x) = 3x ) aumenta en el intervalo ((- ∞, ∞) ) porque (3x_ {1} <3x_ {2} ) siempre que (x_ {1 } - x ^ 3_ {2} ) siempre que (x_ {1}

Combinar funciones

Ahora que hemos revisado las características básicas de las funciones, podemos ver qué sucede con estas propiedades cuando combinamos funciones de diferentes formas, usando operaciones matemáticas básicas para crear nuevas funciones. Por ejemplo, si el costo de fabricación de (x ) artículos para una empresa se describe mediante la función (C (x) ) y los ingresos generados por la venta de (x ) artículos se describen mediante la función (R (x) ), entonces la ganancia en la fabricación y venta de artículos (x ) se define como (P (x) = R (x) −C (x) ). Usando la diferencia entre dos funciones, creamos una nueva función.

Alternativamente, podemos crear una nueva función componiendo dos funciones. Por ejemplo, dadas las funciones (f (x) = x ^ 2 ) y (g (x) = 3x + 1 ), la función compuesta (f∘g ) se define de manera que

[(f∘g) (x) = f (g (x)) = (g (x)) ^ 2 = (3x + 1) ^ 2. ]

La función compuesta (g∘f ) se define de manera que

[(g∘f) (x) = g (f (x)) = 3f (x) + 1 = 3x ^ 2 + 1. ]

Tenga en cuenta que estas dos nuevas funciones son diferentes entre sí.

Combinar funciones con operadores matemáticos

Para combinar funciones usando operadores matemáticos, simplemente escribimos las funciones con el operador y simplificamos. Dadas dos funciones (f ) y (g ), podemos definir cuatro funciones nuevas:

((f + g) (x) = f (x) + g (x) )Suma
((f − g) (x) = f (x) −g (x) )Diferencia
((f · g) (x) = f (x) g (x) )Producto
(( frac {f} {g}) (x) = frac {f (x)} {g (x)} ) para (g (x) ≠ 0 )Cociente

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Combinar funciones usando operaciones matemáticas

Dadas las funciones (f (x) = 2x − 3 ) y (g (x) = x ^ 2−1 ), encuentre cada una de las siguientes funciones y establezca su dominio.

  1. ((f + g) (x) )
  2. ((f − g) (x) )
  3. ((f · g) (x) )
  4. ( left ( dfrac {f} {g} right) (x) )

Solución

1. ((f + g) (x) = (2x − 3) + (x ^ 2−1) = x ^ 2 + 2x − 4. )

El dominio de esta función es el intervalo ((- ∞, ∞) ).

2. ((F − g) (x) = (2x − 3) - (x ^ 2−1) = - x ^ 2 + 2x − 2. )

El dominio de esta función es el intervalo ((- ∞, ∞) ).

3. ((f · g) (x) = (2x − 3) (x ^ 2−1) = 2x ^ 3−3x ^ 2−2x + 3. )

El dominio de esta función es el intervalo ((- ∞, ∞) ).

4. ( left ( dfrac {f} {g} right) (x) = dfrac {2x − 3} {x ^ 2−1} ).

El dominio de esta función es ( {x , | , x ≠ ± 1 }. )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Para (f (x) = x ^ 2 + 3 ) y (g (x) = 2x − 5 ), encuentre ((f / g) (x) ) y establezca su dominio.

Insinuación

La nueva función ((f / g) (x) ) es un cociente de dos funciones. ¿Para qué valores de (x ) es cero el denominador?

Respuesta

( left ( dfrac {f} {g} right) (x) = frac {x ^ 2 + 3} {2x − 5}. ) El dominio es ( {x , | , x ≠ frac {5} {2} }. )

Composición de funciones

Cuando componimos funciones, tomamos una función de una función. Por ejemplo, suponga que la temperatura (T ) en un día dado se describe como una función del tiempo (t ) (medido en horas después de la medianoche) como en la Tabla. Suponga que el costo (C ) de calentar o enfriar un edificio durante 1 hora se puede describir como una función de la temperatura (T ). Combinando estas dos funciones, podemos describir el costo de calentar o enfriar un edificio en función del tiempo evaluando (C (T (t)) ). Hemos definido una nueva función, denotada (C∘T ), que se define de manera que ((C∘T) (t) = C (T (t)) ) para todo (t ) en el dominio de (T ). Esta nueva función se llama función compuesta. Observamos que dado que el costo es una función de la temperatura y la temperatura es una función del tiempo, tiene sentido definir esta nueva función ((C∘T) (t) ). No tiene sentido considerar ((T∘C) (t) ), porque la temperatura no es una función del costo.

Definición: funciones compuestas

Considere la función (f ) con dominio (A ) y rango (B ), y la función (g ) con dominio (D ) y rango (E ). Si (B ) es un subconjunto de (D ), entonces la función compuesta ((g∘f) (x) ) es la función con dominio (A ) tal que

[(g∘f) (x) = g (f (x)) ]

Una función compuesta (g∘f ) se puede ver en dos pasos. Primero, la función (f ) mapea cada entrada (x ) en el dominio de (f ) a su salida (f (x) ) en el rango de (f ). En segundo lugar, dado que el rango de (f ) es un subconjunto del dominio de (g ), la salida (f (x) ) es un elemento en el dominio de (g ), y por lo tanto se asigna a una salida (g (f (x)) ) en el rango de (g ). En la Figura ( PageIndex {11} ), vemos una imagen visual de una función compuesta.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Composiciones de funciones definidas por fórmulas

Considere las funciones (f (x) = x ^ 2 + 1 ) y (g (x) = 1 / x ).

  1. Encuentra ((g∘f) (x) ) e indica su dominio y rango.
  2. Evalúa ((g∘f) (4), ) ((g∘f) (- 1/2) ).
  3. Encuentra ((f∘g) (x) ) e indica su dominio y rango.
  4. Evalúa ((f∘g) (4), ) ((f∘g) (- 1/2) ).

Solución

1. Podemos encontrar la fórmula para ((g∘f) (x) ) de dos formas diferentes. Podríamos escribir

((g∘f) (x) = g (f (x)) = g (x ^ 2 + 1) = dfrac {1} {x ^ 2 + 1} ).

Alternativamente, podríamos escribir

((g∘f) (x) = g (f (x)) = dfrac {1} {f (x)} = dfrac {1} {x ^ 2 + 1}. )

Dado que (x ^ 2 + 1 ≠ 0 ) para todos los números reales (x, ) el dominio de ((g∘f) (x) ) es el conjunto de todos los números reales. Como (0 <1 / (x ^ 2 + 1) ≤1 ), el rango es, como máximo, el intervalo ((0,1] ). Para mostrar que el rango es este intervalo completo, dejamos (y = 1 / (x ^ 2 + 1) ) y resuelva esta ecuación para (x ) para mostrar que para todo (y ) en el intervalo ((0,1] ), existe un número real (x ) tal que (y = 1 / (x ^ 2 + 1) ). Resolviendo esta ecuación para (x, ) vemos que (x ^ 2 + 1 = 1 / y ), lo que implica que

(x = ± sqrt { frac {1} {y} −1} )

Si (y ) está en el intervalo ((0,1] ), la expresión debajo del radical no es negativa y, por lo tanto, existe un número real (x ) tal que (1 / (x ^ 2 +1) = y ). Concluimos que el rango de (g∘f ) es el intervalo ((0,1]. )

2. ((g∘f) (4) = g (f (4)) = g (4 ^ 2 + 1) = g (17) = frac {1} {17} )

((g∘f) (- frac {1} {2}) = g (f (- frac {1} {2})) = g ((- frac {1} {2}) ^ 2 +1) = g ( frac {5} {4}) = frac {4} {5} )

3. Podemos encontrar una fórmula para ((f∘g) (x) ) de dos formas. Primero, podríamos escribir

((f∘g) (x) = f (g (x)) = f ( frac {1} {x}) = ( frac {1} {x}) ^ 2 + 1. )

Alternativamente, podríamos escribir

((f∘g) (x) = f (g (x)) = (g (x)) ^ 2 + 1 = ( frac {1} {x}) ^ 2 + 1. )

El dominio de (f∘g ) es el conjunto de todos los números reales (x ) tales que (x ≠ 0 ). Para encontrar el rango de (f, ) necesitamos encontrar todos los valores (y ) para los cuales existe un número real (x ≠ 0 ) tal que

( left ( dfrac {1} {x} right) ^ 2 + 1 = y. )

Resolviendo esta ecuación para (x, ) vemos que necesitamos (x ) para satisfacer

( left ( dfrac {1} {x} right) ^ 2 = y − 1, )

que simplifica a

( dfrac {1} {x} = ± sqrt {y − 1} )

Finalmente, obtenemos

(x = ± dfrac {1} { sqrt {y − 1}}. )

Dado que (1 / sqrt {y − 1} ) es un número real si y solo si (y> 1, ) el rango de (f ) es el conjunto ( {y , | , y≥1 }. )

4. ((F∘g) (4) = f (g (4)) = f ( frac {1} {4}) = ( frac {1} {4}) ^ 2 + 1 = frac {17} {16} )

((f∘g) (- frac {1} {2}) = f (g (- frac {1} {2})) = f (−2) = (- 2) ^ 2 + 1 = 5 )

En el ejemplo, podemos ver que ((f∘g) (x) ≠ (g∘f) (x) ). Esto nos dice, en términos generales, que el orden en el que componimos las funciones es importante.

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Sea (f (x) = 2−5x ). Sea (g (x) = sqrt {x}. ) Encuentre ((f∘g) (x) ).

Solución

((f∘g) (x) = 2−5 sqrt {x}. )

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Composición de funciones definidas por tablas

Considere las funciones (f ) y (g ) descritas por

(X)-3-2-101234
(f (x) )0424-20-24
(X)-4-2024
(g (x) )10305
  1. Evalúa ((g∘f) (3) ), ((g∘f) (0) ).
  2. Indique el dominio y rango de ((g∘f) (x) ).
  3. Evalúe ((f∘f) (3) ), ((f∘f) (1) ).
  4. Indique el dominio y rango de ((f∘f) (x) ).

Solución:

1. ((g∘f) (3) = g (f (3)) = g (−2) = 0 )

((g∘f) (0) = g (4) = 5 )

2.El dominio de (g∘f ) es el conjunto ( {- 3, −2, −1,0,1,2,3,4 }. ) Dado que el rango de (f ) es el conjunto ( {- 2,0,2,4 }, ) el rango de (g∘f ) es el conjunto ( {0,3,5 }. )

3. ((f∘f) (3) = f (f (3)) = f (−2) = 4 )

((f∘f) (1) = f (f (1)) = f (−2) = 4 )

4.El dominio de (f∘f ) es el conjunto ( {- 3, −2, −1,0,1,2,3,4 }. ) Dado que el rango de (f ) es el conjunto ( {- 2,0,2,4 }, ) el rango de (f∘f ) es el conjunto ( {0,4 }. )

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Aplicación que incluye una función compuesta

Una tienda anuncia una venta del 20% de descuento en toda la mercadería. Caroline tiene un cupón que le da derecho a un 15% de descuento adicional en cualquier artículo, incluida la mercancía en oferta. Si Caroline decide comprar un artículo con un precio original de (x ) dólares, ¿cuánto terminará pagando si aplica su cupón al precio de oferta? Resuelva este problema utilizando una función compuesta.

Solución

Dado que el precio de venta es un 20% de descuento sobre el precio original, si un artículo cuesta (x ) dólares, su precio de venta viene dado por (f (x) = 0.80x ). Dado que el cupón da derecho a un individuo a un 15% de descuento en el precio de cualquier artículo, si un artículo es (y ) dólares, el precio, después de aplicar el cupón, viene dado por g (y) = 0.85y. Por lo tanto, si el precio es originalmente (x ) dólares, su precio de venta será (f (x) = 0.80x ) y luego su precio final después del cupón será (g (f (x)) = 0,85 (0,80x) = 0,68x ).

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Si los artículos están en oferta con un 10% de descuento sobre su precio original y un cliente tiene un cupón por un 30% de descuento adicional, ¿cuál será el precio final para un artículo que originalmente es de (x ) dólares, después de aplicar el cupón a el precio de venta?

Insinuación

El precio de venta de un artículo con un precio original de (x ) dólares es (f (x) = 0.90x ). El precio del cupón para un artículo que es (y ) dólares es (g (y) = 0.70y ).

Solución

((g∘f) (x) = 0.63x )

Simetría de funciones

Las gráficas de ciertas funciones tienen propiedades de simetría que nos ayudan a comprender la función y la forma de su gráfica. Por ejemplo, considere la función (f (x) = x ^ 4−2x ^ 2−3 ) que se muestra en la Figura ( PageIndex {12a} ). Si tomamos la parte de la curva que se encuentra a la derecha del eje (y ) y la volteamos sobre el eje (y ), se ubica exactamente en la parte superior de la curva a la izquierda de ( y ) - eje. En este caso, decimos que la función tiene simetría sobre el eje (y ). Por otro lado, considere la función (f (x) = x ^ 3−4x ) que se muestra en la Figura ( PageIndex {12b} ). Si tomamos la gráfica y la rotamos (180 ° ) sobre el origen, la nueva gráfica se verá exactamente igual. En este caso, decimos que la función tiene simetría sobre el origen.

Si nos dan la gráfica de una función, es fácil ver si la gráfica tiene una de estas propiedades de simetría. Pero sin una gráfica, ¿cómo podemos determinar algebraicamente si una función (f ) tiene simetría? Mirando la Figura nuevamente, vemos que dado que (f ) es simétrico con respecto al eje (y ) -, si el punto ((x, y) ) está en la gráfica, el punto ((- x , y) ) está en el gráfico. En otras palabras, (f (−x) = f (x) ). Si una función (f ) tiene esta propiedad, decimos que (f ) es una función par, que tiene simetría con respecto al eje (y ). Por ejemplo, (f (x) = x ^ 2 ) es par porque

(f (−x) = (- x) ^ 2 = x ^ 2 = f (x). )

Por el contrario, mirando la Figura nuevamente, si una función (f ) es simétrica con respecto al origen, entonces siempre que el punto ((x, y) ) está en la gráfica, el punto ((- x, −y ) ) también está en el gráfico. En otras palabras, (f (−x) = - f (x) ). Si (f ) tiene esta propiedad, decimos que (f ) es una función impar, que tiene simetría con respecto al origen. Por ejemplo, (f (x) = x ^ 3 ) es impar porque

(f (−x) = (- x) ^ 3 = −x ^ 3 = −f (x). )

Definición: funciones pares e impares

  • Si (f (x) = f (−x) ) para todo (x ) en el dominio de (f ), entonces (f ) es un incluso función. Una función par es simétrica con respecto al eje (y ).
  • Si (f (−x) = - f (x) ) para todo (x ) en el dominio de (f ), entonces (f ) es un impar función. Una función impar es simétrica con respecto al origen.

Ejemplo ( PageIndex {10} ): funciones pares e impares

Determina si cada una de las siguientes funciones es par, impar o ninguna.

  1. (f (x) = - 5x ^ 4 + 7x ^ 2−2 )
  2. (f (x) = 2x ^ 5−4x + 5 )
  3. (f (x) = frac {3x} {x ^ 2 + 1} )

Solución

Para determinar si una función es par o impar, evaluamos (f (−x) ) y la comparamos con (f (x) ) y (- f (x) ).

1. (f (−x) = - 5 (−x) ^ 4 + 7 (−x) ^ 2−2 = −5x ^ 4 + 7x ^ 2−2 = f (x). ) Por lo tanto, (f ) es par.

2. (F (−x) = 2 (−x) ^ 5−4 (−x) + 5 = −2x ^ 5 + 4x + 5. ) Ahora, (f (−x) ≠ f (x ). ) Además, notando que (- f (x) = - 2x ^ 5 + 4x − 5 ), vemos que (f (−x) ≠ −f (x) ). Por lo tanto, (f ) no es par ni impar.

3. (F (−x) = 3 (−x) / ((- x) 2 + 1) ) (= - 3x / (x ^ 2 + 1) = ) (- [3x / ( x ^ 2 + 1)] = - f (x). ) Por lo tanto, (f ) es impar.

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Determina si (f (x) = 4x ^ 3−5x ) es par, impar o ninguna de las dos.

Insinuación

Compara (f (−x) ) con (f (x) ) y (- f (x) ).

Respuesta

(f (x) ) es impar.

Una función simétrica que surge con frecuencia es la función de valor absoluto, escrito como (| x | ). La función de valor absoluto se define como

[f (x) = begin {cases} -x, & text {if} x <0 x, & text {if} x≥0 end {cases} ]

Algunos estudiantes describen esta función diciendo que "hace que todo sea positivo". Por la definición de la función de valor absoluto, vemos que si (x <0 ), entonces (| x | = −x> 0, ) y si (x> 0 ), entonces (| x | = x> 0. ) Sin embargo, para (x = 0, ) (| x | = 0. ) Por lo tanto, es más exacto decir que para todas las entradas distintas de cero, la salida es positiva, pero si (x = 0 ), la salida (| x | = 0 ). We conclude that the range of the absolute value function is ({y,|,y≥0}.) In Figure (PageIndex{13}), we see that the absolute value function is symmetric about the (y)-axis and is therefore an even function.

Example (PageIndex{11}): Working with the Absolute Value Function

Find the domain and range of the function (f(x)=2|x−3|+4).

Solución

Since the absolute value function is defined for all real numbers, the domain of this function is ((−∞,∞)). Since (|x−3|≥0) for all (x), the function (f(x)=2|x−3|+4≥4). Therefore, the range is, at most, the set ({y,|,y≥4}.) To see that the range is, in fact, this whole set, we need to show that for (y≥4) there exists a real number (x) such that

(2|x−3|+4=y)

A real number (x) satisfies this equation as long as

(|x−3|=frac{1}{2}(y−4))

Since (y≥4), we know (y−4≥0), and thus the right-hand side of the equation is nonnegative, so it is possible that there is a solution. Además,

(|x−3|=egin{cases} −(x−3), & ext{if } x<3x−3, & ext{if } x≥3end{cases})

Therefore, we see there are two solutions:

(x=±frac{1}{2}(y−4)+3).

The range of this function is ({y,|,y≥4}.)

Exercise (PageIndex{11}): Domain and Range

For the function (f(x)=|x+2|−4), find the domain and range.

Insinuación

(|x+2|≥0) for all real numbers (x).

Respuesta

Domain = ((−∞,∞)), range = ({y,|,y≥−4}.)

Conceptos clave

  • A function is a mapping from a set of inputs to a set of outputs with exactly one output for each input.
  • If no domain is stated for a function (y=f(x),) the domain is considered to be the set of all real numbers (x) for which the function is defined.
  • When sketching the graph of a function (f,) each vertical line may intersect the graph, at most, once.
  • A function may have any number of zeros, but it has, at most, one (y)-intercept.
  • To define the composition (g∘f), the range of (f) must be contained in the domain of (g).
  • Even functions are symmetric about the (y)-axis whereas odd functions are symmetric about the origin.

Ecuaciones clave

  • Composition of two functions

((g∘f)(x)=gig(f(x)ig))

  • Absolute value function

(f(x)=egin{cases}−x, & ext{if } x<0x, & ext{if } x≥0end{cases})

Glosario

absolute value function
(f(x)=egin{cases}−x, & ext{if } x<0x, & ext{if } x≥0end{cases})
composite function
given two functions (f) and (g), a new function, denoted (g∘f), such that ((g∘f)(x)=g(f(x)))
decreasing on the interval (I)
a function decreasing on the interval (I) if, for all (x_1,,x_2∈I,;f(x_1)≥f(x_2)) if (x_1
dependent variable
the output variable for a function
dominio
the set of inputs for a function
even function
a function is even if (f(−x)=f(x)) for all (x) in the domain of (f)
function
a set of inputs, a set of outputs, and a rule for mapping each input to exactly one output
graph of a function
the set of points ((x,y)) such that (x) is in the domain of (f) and (y=f(x))
increasing on the interval (I)
a function increasing on the interval (I) if for all (x_1,,x_2∈I,;f(x_1)≤f(x_2)) if (x_1
independent variable
the input variable for a function
odd function
a function is odd if (f(−x)=−f(x)) for all (x) in the domain of (f)
range
the set of outputs for a function
symmetry about the origin
the graph of a function (f) is symmetric about the origin if ((−x,−y)) is on the graph of (f) whenever ((x,y)) is on the graph
symmetry about the (y)-axis
the graph of a function (f) is symmetric about the (y)-axis if ((−x,y)) is on the graph of (f) whenever ((x,y)) is on the graph
table of values
a table containing a list of inputs and their corresponding outputs
vertical line test
given the graph of a function, every vertical line intersects the graph, at most, once
zeros of a function
when a real number (x) is a zero of a function (f,;f(x)=0)


Ver el vídeo: Clase Notación de funciones (Noviembre 2021).