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3.3: Funciones de potencia y funciones polinomiales - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Identificar funciones de poder.
  • Identificar el comportamiento final de las funciones de potencia.
  • Identificar funciones polinomiales.
  • Identificar el grado y el coeficiente principal de funciones polinomiales.

Supongamos que cierta especie de ave prospera en una pequeña isla. Su población durante los últimos años se muestra en la Tabla ( PageIndex {1} ).

Tabla ( PageIndex {1} )
Año20092010201120122013
Población de aves8008979921,0831,169

La población se puede estimar usando la función (P (t) = - 0.3t ^ 3 + 97t + 800 ), donde (P (t) ) representa la población de aves en la isla (t ) años después 2009. Podemos usar este modelo para estimar la población máxima de aves y cuándo ocurrirá. También podemos utilizar este modelo para predecir cuándo desaparecerá la población de aves de la isla. En esta sección, examinaremos las funciones que podemos usar para estimar y predecir este tipo de cambios.

Identificación de funciones de potencia

Para comprender mejor el problema de las aves, necesitamos comprender un tipo específico de función. Una función de potencia es una función con un solo término que es el producto de un número real, un coeficiente y una variable elevada a un número real fijo. (Un número que multiplica una variable elevada a un exponente se conoce como coeficiente).

Como ejemplo, considere las funciones de área o volumen. La función para el área de un círculo con radio (r ) es

[A (r) = { pi} r ^ 2 nonumber ]

y la función para el volumen de una esfera con radio (r ) es

[V (r) = dfrac {4} {3} { pi} r ^ 3 nonumber ]

Ambos son ejemplos de funciones de potencia porque consisten en un coeficiente, ({ pi} ) o ( dfrac {4} {3} { pi} ), multiplicado por una variable (r ) elevado a un poder.

Definición: función de potencia

A función de potencia es una función que se puede representar en la forma

[f (x) = kx ^ p label {poder} ]

donde (k ) y (p ) son números reales, y (k ) se conoce como coeficiente.

Preguntas y respuestas: ¿Es (f (x) = 2 ^ x ) una función de potencia?

No. Una función de potencia contiene una base variable elevada a una potencia fija (Ecuación ref {potencia}). Esta función tiene una base constante elevada a una potencia variable. Esto se llama función exponencial, no función de potencia. Esta función se discutirá más adelante.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): identificación de funciones de potencia

¿Cuáles de las siguientes funciones son funciones de potencia?

[ begin {align *} f (x) & = 1 & text {Función constante} f (x) & = x & text {Identificar función} f (x) & = x ^ 2 & text {Función cuadrática} f (x) & = x ^ 3 & text {Función cúbica} f (x) & = dfrac {1} {x} & text {Función recíproca} f (x) & = dfrac {1} {x ^ 2} & text {Función recíproca al cuadrado} f (x) & = sqrt {x} & text {Función de raíz cuadrada} f (x) & = sqrt [3] {x} & text {Función raíz cúbica} end {align *} ]

Solución

Todas las funciones enumeradas son funciones de potencia.

Las funciones constante e identidad son funciones de potencia porque se pueden escribir como (f (x) = x ^ 0 ) y (f (x) = x ^ 1 ) respectivamente.

Las funciones cuadráticas y cúbicas son funciones de potencia con potencias de números enteros (f (x) = x ^ 2 ) y (f (x) = x ^ 3 ).

La recíproco y las funciones recíprocas al cuadrado son funciones de potencia con potencias de números enteros negativos porque se pueden escribir como (f (x) = x ^ {- 1} ) y (f (x) = x ^ {- 2} ).

La plaza y raíz cúbica las funciones son funciones de potencia con potencias fraccionarias porque se pueden escribir como (f (x) = x ^ {1/2} ) o (f (x) = x ^ {1/3} ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

¿Qué funciones son funciones de potencia?

  • (f (x) = 2x ^ 2⋅4x ^ 3 )
  • (g (x) = - x ^ 5 + 5x ^ 3−4x )
  • (h (x) = frac {2x ^ 5−1} {3x ^ 2 + 4} )
Respuesta

(f (x) ) es una función de potencia porque se puede escribir como (f (x) = 8x ^ 5 ). Las otras funciones no son funciones de potencia.

Identificación del comportamiento final de las funciones de potencia

La figura ( PageIndex {2} ) muestra las gráficas de (f (x) = x ^ 2 ), (g (x) = x ^ 4 ) y (h (x) = x ^ 6 ), que son todas funciones de potencia con potencias de números enteros pares. Observe que estas gráficas tienen formas similares, muy parecidas a las de la función cuadrática en el juego de herramientas. Sin embargo, a medida que aumenta la potencia, los gráficos se aplanan un poco cerca del origen y se vuelven más pronunciados lejos del origen.

Para describir el comportamiento a medida que los números se hacen cada vez más grandes, usamos la idea de infinito. Usamos el símbolo ( infty ) para infinito positivo y (- infty ) para infinito negativo. Cuando decimos que "x se acerca al infinito", que puede escribirse simbólicamente como (x { rightarrow} infty ), estamos describiendo un comportamiento; estamos diciendo que (x ) aumenta sin límite.

Con la función de potencia par, a medida que la entrada aumenta o disminuye sin límite, los valores de salida se vuelven números positivos muy grandes. De manera equivalente, podríamos describir este comportamiento diciendo que a medida que (x ) se acerca al infinito positivo o negativo, los valores de (f (x) ) aumentan sin límite. En forma simbólica, podríamos escribir

[ text {as} x { rightarrow} { pm} { infty}, ; f (x) { rightarrow} { infty} nonumber ]

La figura ( PageIndex {3} ) muestra las gráficas de (f (x) = x ^ 3 ), (g (x) = x ^ 5 ) y (h (x) = x ^ 7 ), que son todas funciones de potencia con potencias de números enteros impares. Observe que estos gráficos se parecen a la función cúbica del kit de herramientas. Nuevamente, a medida que aumenta la potencia, los gráficos se aplanan cerca del origen y se vuelven más pronunciados lejos del origen.

Estos ejemplos ilustran que las funciones de la forma (f (x) = x ^ n ) revelan simetría de un tipo u otro. Primero, en la Figura ( PageIndex {2} ) vemos que las funciones pares de la forma (f (x) = x ^ n ), (n ) incluso, son simétricas con respecto a (y ) -eje. En la Figura ( PageIndex {3} ) vemos que las funciones impares de la forma (f (x) = x ^ n ), (n ) impares, son simétricas con respecto al origen.

Para estas funciones de potencia impares, cuando (x ) se acerca al infinito negativo, (f (x) ) disminuye sin límite. A medida que (x ) se acerca al infinito positivo, (f (x) ) aumenta sin límite. En forma simbólica escribimos

[ begin {align *} & text {as} x { rightarrow} - { infty}, ; f (x) { rightarrow} - { infty} & text {as} x { rightarrow} { infty}, ; f (x) { rightarrow} { infty} end {align *} ]

El comportamiento de la gráfica de una función cuando los valores de entrada se vuelven muy pequeños ((x { rightarrow} - { infty}) ) y se vuelven muy grandes (x { rightarrow} { infty} ) se refiere a como el comportamiento final de la función. Podemos usar palabras o símbolos para describir el comportamiento final.

La figura ( PageIndex {4} ) muestra el comportamiento final de las funciones de potencia en la forma (f (x) = kx ^ n ) donde (n ) es un número entero no negativo que depende de la potencia y la constante.

Cómo: Dada una función de potencia (f (x) = kx ^ n ) donde (n ) es un número entero no negativo, identifica el comportamiento final.

  1. Determina si la potencia es par o impar.
  2. Determina si la constante es positiva o negativa.
  3. Utilice Figure ( PageIndex {4} ) para identificar el comportamiento final.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): identificación del comportamiento final de una función de potencia

Describe el comportamiento final de la gráfica de (f (x) = x ^ 8 ).

Solución

El coeficiente es 1 (positivo) y el exponente de la función de potencia es 8 (un número par). A medida que (x ) se acerca al infinito, la salida (valor de (f (x) )) aumenta sin límite. Escribimos como (x → ∞, ) (f (x) → ∞. ) Cuando (x ) se acerca al infinito negativo, la salida aumenta sin límite. En forma simbólica, como (x → −∞, ) (f (x) → ∞. ) Podemos representar gráficamente la función como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ).

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Identificación del comportamiento final de una función de potencia.

Describe el comportamiento final de la gráfica de (f (x) = - x ^ 9 ).

Solución

El exponente de la función de potencia es 9 (un número impar). Como el coeficiente es –1 (negativo), la gráfica es la reflexión sobre el eje (x ) - de la gráfica de (f (x) = x ^ 9 ). La figura ( PageIndex {6} ) muestra que cuando (x ) se acerca al infinito, la salida disminuye sin límite. A medida que (x ) se acerca al infinito negativo, la producción aumenta sin límite. En forma simbólica, escribiríamos

[ begin {align *} text {as} x { rightarrow} - { infty}, ; f (x) { rightarrow} { infty} text {as} x { rightarrow} { infty}, ; f (x) { rightarrow} - { infty} end {align *} ]

Análisis

Podemos verificar nuestro trabajo usando la función de tabla en una utilidad gráfica.

Tabla ( PageIndex {2} )
(X) (f (x) )
-101,000,000,000
-51,953,125
00
5-1,953,125
10-1,000,000,000

Podemos ver en la Tabla ( PageIndex {2} ) que, cuando sustituimos (x ) valores muy pequeños, la salida es muy grande, y cuando sustituimos (x ) valores muy grandes, la salida es muy pequeña (lo que significa que es un valor negativo muy grande).

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Describe en palabras y símbolos el comportamiento final de (f (x) = - 5x ^ 4 ).

Respuesta

A medida que (x ) se acerca al infinito positivo o negativo, (f (x) ) disminuye sin límite: como (x { rightarrow} { pm} { infty} ), (f (x) { rightarrow} - { infty} ) debido al coeficiente negativo.

Identificación de funciones polinomiales

Un oleoducto estalla en el Golfo de México, provocando una marea negra de forma circular. La mancha tiene actualmente un radio de 24 millas, pero ese radio aumenta en 8 millas cada semana. Queremos escribir una fórmula para el área cubierta por la mancha de aceite combinando dos funciones. El radio (r ) del derrame depende del número de semanas (w ) que hayan pasado. Esta relación es lineal.

[r (w) = 24 + 8w nonumber ]

Podemos combinar esto con la fórmula para el área A de un círculo.

[A (r) = { pi} r ^ 2 nonumber ]

La composición de estas funciones da una fórmula para el área en términos de semanas.

[ begin {align *} A (w) & = A (r (w)) & = A (24 + 8w) & = { pi} (24 + 8w) ^ 2 end {align *} ]

Multiplicar da la fórmula.

[A (w) = 576 { pi} +384 { pi} w + 64 { pi} w ^ 2 nonumber ]

Esta fórmula es un ejemplo de función polinomial. Una función polinomial consta de cero o la suma de un número finito de términos distintos de cero, cada uno de los cuales es un producto de un número, llamado coeficiente del término, y una variable elevada a una potencia entera no negativa.

Definición: funciones polinomiales

Sea (n ) un número entero no negativo. A función polinómica es una función que se puede escribir en la forma

[f (x) = a_nx ^ n + ... + a_2x ^ 2 + a_1x + a_0 label {poli} ]

A esto se le llama la forma general de una función polinomial. Cada (a_i ) es un coeficiente y puede ser cualquier número real. Cada producto (a_ix ^ i ) es un término de una función polinomial.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): identificación de funciones polinomiales

¿Cuáles de las siguientes son funciones polinomiales?

  • (f (x) = 2x ^ 3⋅3x + 4 )
  • (g (x) = - x (x ^ 2−4) )
  • (h (x) = 5 sqrt {x} +2 )

Solución

Las dos primeras funciones son ejemplos de funciones polinomiales porque se pueden escribir en la forma de Ecuación ref {poli}, donde las potencias son números enteros no negativos y los coeficientes son números reales.

  • (f (x) ) se puede escribir como (f (x) = 6x ^ 4 + 4 ).
  • (g (x) ) se puede escribir como (g (x) = - x ^ 3 + 4x ).
  • (h (x) ) no se puede escribir de esta forma y, por lo tanto, no es una función polinomial.

Identificación del grado y coeficiente principal de una función polinomial

Debido a la forma de una función polinomial, podemos ver una variedad infinita en el número de términos y la potencia de la variable. Aunque el orden de los términos en la función polinomial no es importante para realizar operaciones, normalmente ordenamos los términos en orden descendente de potencia, o en forma general. El grado del polinomio es la potencia más alta de la variable que ocurre en el polinomio; es la potencia de la primera variable si la función está en forma general. El término principal es el término que contiene la potencia más alta de la variable, o el término con el grado más alto. El coeficiente principal es el coeficiente del término principal.

Terminología de funciones polinomiales

A menudo reorganizamos los polinomios para que las potencias sean descendentes.

Cuando un polinomio se escribe de esta manera, decimos que está en forma general.

Cómo: Dada una función polinomial, identifica el grado y el coeficiente principal

  1. Encuentra la potencia más alta de (x ) para determinar la función de grados.
  2. Identifica el término que contiene la potencia más alta de (x ) para encontrar el término principal.
  3. Identifica el coeficiente del término principal.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Identificación del grado y coeficiente principal de una función polinomial

Identifica el grado, el término principal y el coeficiente principal de las siguientes funciones polinomiales.

(f (x) = 3 + 2x ^ 2−4x ^ 3 )

(g (t) = 5t ^ 5−2t ^ 3 + 7t )

(h (p) = 6p − p ^ 3−2 )

Solución

Para la función (f (x) ), la potencia más alta de (x ) es 3, entonces el grado es 3. El término principal es el término que contiene ese grado, (- 4x ^ 3 ). El coeficiente principal es el coeficiente de ese término, −4.

Para la función (g (t) ), la potencia más alta de (t ) es 5, por lo que el grado es 5. El término principal es el término que contiene ese grado, (5t ^ 5 ). El coeficiente principal es el coeficiente de ese término, 5.

Para la función (h (p) ), la potencia más alta de (p ) es 3, por lo que el grado es 3. El término principal es el término que contiene ese grado, (- p ^ 3 ); el coeficiente principal es el coeficiente de ese término, −1.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Identifica el grado, el término principal y el coeficiente principal del polinomio (f (x) = 4x ^ 2 − x ^ 6 + 2x − 6 ).

Respuesta

El grado es (6. ) El término principal es (- x ^ 6 ). El coeficiente principal es (- 1. )

Identificación del comportamiento final de funciones polinomiales

Conocer el grado de una función polinomial es útil para ayudarnos a predecir su comportamiento final. Para determinar su comportamiento final, observe el término principal de la función polinomial. Debido a que la potencia del término inicial es la más alta, ese término crecerá significativamente más rápido que los otros términos a medida que (x ) se vuelva muy grande o muy pequeño, por lo que su comportamiento dominará la gráfica. Para cualquier polinomio, el comportamiento final del polinomio coincidirá con el comportamiento final del término de mayor grado (Table ( PageIndex {3} )).

Tabla ( PageIndex {3} )
Función polinómicaTérmino principalGráfico de la función polinomial

(f (x) = 5x4 + 2x3 − x − 4 )

(5x ^ 4 )

(f (x) = - 2x ^ 6 − x ^ 5 + 3x ^ 4 + x ^ 3 ) (- 2x ^ 6 )
(f (x) = 3x ^ 5−4x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1 ) (3x ^ 5 )

(f (x) = - 6x ^ 3 + 7x ^ 2 + 3x + 1 )

(- 6x ^ 3 )

Ejemplo ( PageIndex {6} ): identificación del comportamiento final y el grado de una función polinomial

Describe el comportamiento final y determina un posible grado de la función polinomial en la Figura ( PageIndex {8} ).

Solución

A medida que los valores de entrada (x ) se vuelven muy grandes, los valores de salida (f (x) ) aumentan sin límite. A medida que los valores de entrada (x ) se vuelven muy pequeños, los valores de salida (f (x) ) disminuyen sin límite. Podemos describir el comportamiento final simbólicamente escribiendo

[ text {as} x { rightarrow} { infty}, ; f (x) { rightarrow} { infty} nonumber ]

[ text {as} x { rightarrow} - { infty}, ; f (x) { rightarrow} - { infty} nonumber ]

En palabras, podríamos decir que cuando los valores de (x ) se acercan al infinito, los valores de la función se acercan al infinito y cuando los valores de (x ) se acercan al infinito negativo, los valores de la función se acercan al infinito negativo.

Podemos decir que este gráfico tiene la forma de una función de potencia de grado impar que no se ha reflejado, por lo que el grado del polinomio que crea este gráfico debe ser impar y el coeficiente principal debe ser positivo.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Describe el comportamiento final y determina un posible grado de la función polinomial en la Figura ( PageIndex {9} ).

Respuesta

Como (x { rightarrow} { infty} ), (f (x) { rightarrow} - { infty} ); como (x { rightarrow} - { infty} ), (f (x) { rightarrow} - { infty} ). Tiene la forma de una función de potencia de grado par con un coeficiente negativo.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): identificación del comportamiento final y el grado de una función polinomial

Dada la función (f (x) = - 3x ^ 2 (x − 1) (x + 4) ), exprese la función como un polinomio en forma general y determine el término principal, el grado y el comportamiento final del función.

Solución

Obtenga la forma general expandiendo la expresión dada para (f (x) ).

[ begin {align *} f (x) & = - 3x ^ 2 (x − 1) (x + 4) & = - 3x ^ 2 (x ^ 2 + 3x − 4) & = - 3x ^ 4−9x ^ 3 + 12x ^ 2 end {align *} ]

La forma general es (f (x) = - 3x ^ 4−9x ^ 3 + 12x ^ 2 ). El término principal es (- 3x ^ 4 ); por lo tanto, el grado del polinomio es 4. El grado es par (4) y el coeficiente principal es negativo (–3), por lo que el comportamiento final es

[ text {as} x { rightarrow} - { infty}, ; f (x) { rightarrow} - { infty} nonumber ]

[ text {as} x { rightarrow} { infty}, ; f (x) { rightarrow} - { infty} nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Dada la función (f (x) = 0.2 (x − 2) (x + 1) (x − 5) ), exprese la función como un polinomio en forma general y determine el término principal, grado y comportamiento final de la función.

Respuesta

El término principal es (0.2x ^ 3 ), por lo que es un polinomio de grado 3. Cuando (x ) se acerca al infinito positivo, (f (x) ) aumenta sin límite; a medida que (x ) se acerca al infinito negativo, (f (x) ) disminuye sin límite.

Identificación del comportamiento local de funciones polinomiales

Además del comportamiento final de las funciones polinomiales, también nos interesa lo que sucede en el "medio" de la función. En particular, estamos interesados ​​en ubicaciones donde cambia el comportamiento de los gráficos. A punto de retorno es un punto en el que los valores de la función cambian de aumentar a disminuir o de disminuir a aumentar.

También estamos interesados ​​en las intersecciones. Al igual que con todas las funciones, la intersección en (y ) es el punto en el que la gráfica se cruza con el eje vertical. El punto corresponde al par de coordenadas en el que el valor de entrada es cero. Debido a que un polinomio es una función, solo un valor de salida corresponde a cada valor de entrada, por lo que solo puede haber una intersección en (y ) ((0, a_0) ). Las intersecciones (x ) - ocurren en los valores de entrada que corresponden a un valor de salida de cero. Es posible tener más de una intersección en (x ). Vea la Figura ( PageIndex {10} ).

Definición: intersecciones y puntos de inflexión de funciones polinomiales

A punto de retorno de un gráfico es un punto en el que el gráfico cambia de dirección de aumentar a disminuir o de disminuir a aumentar. La intersección en (y ) - es el punto en el que la función tiene un valor de entrada de cero. Las intersecciones (x ) - son los puntos en los que el valor de salida es cero.

Dada una función polinomial, determina las intersecciones.

  1. Determine la intersección en (y ) - estableciendo (x = 0 ) y encontrando el valor de salida correspondiente.
  2. Determine las intersecciones en (x ) - resolviendo los valores de entrada que producen un valor de salida de cero.

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Determinación de las intersecciones de una función polinomial

Dada la función polinomial (f (x) = (x − 2) (x + 1) (x − 4) ), escrita en forma factorizada para su conveniencia, determine (y ) - y (x ) -intercepciones.

Solución

La intersección de (y ) - ocurre cuando la entrada es cero, así que sustituye 0 por (x ).

[ begin {align *} f (0) & = (0−2) (0 + 1) (0−4) & = (- 2) (1) (- 4) & = 8 fin {alinear *} ]

La intersección en (y ) - es ((0,8) ).

Las intersecciones en (x ) - ocurren cuando la salida es cero.

[0 = (x − 2) (x + 1) (x − 4) nonumber ]

[ begin {align *} x − 2 & = 0 & & text {o} & x + 1 & = 0 & & text {o} & x − 4 & = 0 x & = 2 & & text {o } & x & = - 1 & & text {o} & x & = 4 end {align *} ]

Las intersecciones en (x ) - son ((2,0) ), ((- 1,0) ) y ((4,0) ).

Podemos ver estas intersecciones en el gráfico de la función que se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ).

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Determinación de las intersecciones de una función polinomial con factorización

Dada la función polinomial (f (x) = x ^ 4−4x ^ 2−45 ), determina las intersecciones en (y ) - y (x ) -.

Solución

La intersección (y ) - ocurre cuando la entrada es cero.

[ begin {align *} f (0) & = (0) ^ 4−4 (0) ^ 2−45 [4pt] & = - 45 end {align *} ]

La intersección en (y ) - es ((0, −45) ).

Las intersecciones en (x ) - ocurren cuando la salida es cero. Para determinar cuándo la salida es cero, necesitaremos factorizar el polinomio.

[ begin {align *} f (x) & = x ^ 4−4x ^ 2−45 & = (x ^ 2−9) (x ^ 2 + 5) & = (x − 3) (x + 3) (x ^ 2 + 5)
end {alinear *} ]

[0 = (x − 3) (x + 3) (x ^ 2 + 5) nonumber ]

[ begin {align *} x − 3 & = 0 & & text {o} & x + 3 & = 0 & & text {o} & x ^ 2 + 5 & = 0 x & = 3 & & text {o} & x & = - 3 & & text {o} & text {(sin solución real)} end {align *} ]

Las intersecciones en (x ) - son ((3,0) ) y ((- 3,0) ).

Podemos ver estas intersecciones en el gráfico de la función que se muestra en la Figura ( PageIndex {12} ). Podemos ver que la función es par porque (f (x) = f (−x) ).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

( PageIndex {5} ): Dada la función polinomial (f (x) = 2x ^ 3−6x ^ 2−20x ), determina las intersecciones en (y ) - y (x ) -.

Solución

(y ) - intersección ((0,0) ); (x ) - intersecciones ((0,0) ), ((- 2,0) ) y ((5,0) )

Comparación de gráficos uniformes y continuos

El grado de una función polinomial nos ayuda a determinar el número de intersecciones en (x ) y el número de puntos de inflexión. Una función polinomial de (n ^ text {th} ) grado es el producto de (n ) factores, por lo que tendrá como máximo (n ) raíces o ceros, o (x ) - intersecciones . La gráfica de la función polinomial de grado (n ) debe tener como máximo (n – 1 ) puntos de inflexión. Esto significa que el gráfico tiene como máximo un punto de inflexión menos que el grado del polinomio o uno menos que el número de factores.

A función continua no tiene roturas en su gráfico: el gráfico se puede dibujar sin levantar el bolígrafo del papel. Una curva suave es un gráfico que no tiene esquinas afiladas. Los puntos de inflexión de un gráfico suave siempre deben ocurrir en curvas redondeadas. Las gráficas de funciones polinomiales son tanto continuas como suaves.

Intercepciones y puntos de inflexión de polinomios

Un polinomio de grado (n ) tendrá, como máximo, (n ) (x ) - intersecciones y (n − 1 ) puntos de inflexión.

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Determinación del número de intersecciones y puntos de inflexión de un polinomio

Sin graficar la función, determine el comportamiento local de la función encontrando el número máximo de intersecciones en (x ) y puntos de inflexión para (f (x) = - 3x ^ {10} + 4x ^ 7 − x ^ 4 + 2x ^ 3 ).

Solución

El polinomio tiene un grado de 10, por lo que hay como máximo (n ) (x ) - intersecciones y como máximo (n − 1 ) puntos de inflexión.

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Sin graficar la función, determine el número máximo de intersecciones de (x ) y puntos de inflexión para (f (x) = 108−13x ^ 9−8x ^ 4 + 14x ^ {12} + 2x ^ 3 )

Respuesta

Hay como máximo 12 (x ) - intersecciones y como máximo 11 puntos de inflexión.

Ejemplo ( PageIndex {11} ): sacar conclusiones sobre una función polinomial a partir del gráfico

¿Qué podemos concluir sobre el polinomio representado por el gráfico que se muestra en la Figura ( PageIndex {12} ) basado en sus intersecciones y puntos de inflexión?

Solución

El comportamiento final de la gráfica nos dice que esta es la gráfica de un polinomio de grado par. Vea la Figura ( PageIndex {14} ).

La gráfica tiene 2 (x ) - intersecciones, lo que sugiere un grado de 2 o más, y 3 puntos de inflexión, lo que sugiere un grado de 4 o más. En base a esto, sería razonable concluir que el grado es par y al menos 4.

Ejercicio ( PageIndex {7} )

¿Qué podemos concluir sobre el polinomio representado por el gráfico que se muestra en la Figura ( PageIndex {15} ) basado en sus intersecciones y puntos de inflexión?

Figura ( PageIndex {15} ).

Respuesta

Agrega textos aquí. No elimine este texto primero.

Solución

El comportamiento final indica una función polinomial de grado impar; hay 3 (x ) - intersecciones y 2 puntos de inflexión, por lo que el grado es impar y al menos 3. Debido al comportamiento final, sabemos que el coeficiente de adelanto debe ser negativo.

Ejemplo ( PageIndex {12} ): Sacar conclusiones sobre una función polinomial a partir de los factores

Dada la función (f (x) = - 4x (x + 3) (x − 4) ), determine el comportamiento local.

Solución

La intersección en (y ) - se encuentra evaluando (f (0) ).

[ begin {align *} f (0) & = - 4 (0) (0 + 3) (0−4) & = 0 end {align *} ]

La intersección en (y ) - es ((0,0) ).

Las intersecciones en (x ) - se encuentran determinando los ceros de la función.

[ begin {align *} 0 & = - 4x (x + 3) (x-4) x & = 0 & & text {o} & x + 3 & = 0 & & text {o} & x- 4 & = 0 x & = 0 & & text {o} & x & = - 3 & & text {o} & x & = 4 end {align *} ]

Las intersecciones en (x ) - son ((0,0) ), ((- 3,0) ) y ((4,0) ).

El grado es 3, por lo que el gráfico tiene como máximo 2 puntos de inflexión.

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Dada la función (f (x) = 0.2 (x − 2) (x + 1) (x − 5) ), determine el comportamiento local.

Respuesta

Las intersecciones en (x ) - son ((2,0) ), ((- 1,0) ) y ((5,0) ), la intersección en (y ) - es ((0,2) ), y la gráfica tiene como máximo 2 puntos de inflexión.

Ecuaciones clave

  • forma general de una función polinomial: (f (x) = a_nx ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} ... + a_2x ^ 2 + a_1x + a_0 )

Conceptos clave

  • Una función de potencia es una base variable elevada a una potencia numérica.
  • El comportamiento de un gráfico cuando la entrada disminuye sin límite y aumenta sin límite se denomina comportamiento final.
  • El comportamiento final depende de si la potencia es par o impar.
  • Una función polinomial es la suma de términos, cada uno de los cuales consta de una función de potencia transformada con potencia de número entero positivo.
  • El grado de una función polinomial es la potencia más alta de la variable que ocurre en un polinomio. El término que contiene la mayor potencia de la variable se denomina término principal. El coeficiente del término principal se denomina coeficiente principal.
  • El comportamiento final de una función polinomial es el mismo que el comportamiento final de la función de potencia representada por el término principal de la función.
  • Un polinomio de grado (n ) tendrá como máximo (n ) (x ) - intersecciones y como máximo (n − 1 ) puntos de inflexión.

Glosario

coeficiente

un número real distinto de cero que se multiplica por una variable elevada a un exponente (solo el factor numérico es el coeficiente)

función continua

una función cuyo gráfico se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel porque no hay cortes en el gráfico

la licenciatura

la potencia más alta de la variable que ocurre en un polinomio

comportamiento final

el comportamiento de la gráfica de una función cuando la entrada disminuye sin límite y aumenta sin límite

Coeficiente de liderazgo

el coeficiente del término principal

término principal

el término que contiene la mayor potencia de la variable

función polinómica

una función que consta de cero o la suma de un número finito de términos distintos de cero, cada uno de los cuales es un producto de un número, llamado coeficiente del término, y una variable elevada a una potencia entera no negativa.

función de potencia

una función que se puede representar en la forma (f (x) = kx ^ p ) donde (k ) es una constante, la base es una variable y el exponente, (p ), es una constante

curva suave

un gráfico sin esquinas afiladas

término de una función polinomial

cualquier (a_ix ^ i ) de una función polinomial en la forma (f (x) = a_nx ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} ... + a_2x ^ 2 + a_1x + a_0 )

punto de retorno

la ubicación en la que la gráfica de una función cambia de dirección


3.3: Funciones de potencia y funciones polinomiales - Matemáticas

Clave 3.3 Polinomios y otras funciones

Concepto clave: Saber reconocer las diversas formas de polinomios de n-ésimo grado y ser capaz de dibujar una gráfica de sus funciones.

1. Conoce lo básico polinomio de formas de grados 1, 2, 3, 4, 5 y 6

2. Sepa cómo graficar funciones polinomiales aprovechando sus simetrías

3. Sepa distinguir entre funciones pares e impares

Polinomio de grado:

Polinomio de grado:

Polinomio de grado:

Grado par Polinomio - Forma general

Graficar funciones polinomiales

1. Encuentra cualquier simetrías del gráfico (sobre el eje y o sobre el origen)

(a) simetría sobre el eje y Si f (x) = f (-x)

(B) simetría sobre el origen Si f (-x) = -f (x)

2. Encuentra intercepta (intersección con el eje y cuando x = 0 y intersecciones con x cuando y = 0)

3. Determine dónde grafica ius por encima y por debajo del eje x

4. Grafica algunos puntos es necesario

5. Dibujar el gráfico como un curva continua

Paso 1- Prueba de simetría:

(a) eje y:

(b) Origen: - ver un)

Entonces simetría sobre el Origen

Paso 2 - Intercepta, y-int es y = 0

Y las intersecciones x son x = -2, 0, 2

Paso 3 - La prueba está por encima o por debajo de cada dominio

Dominio
-5 -1 1 5 Prueba
debajo sobre debajo sobre + / -

Paso 1- Prueba de simetría:

(a) eje y:

(b) Origen: - ver un)

Entonces simetría sobre el eje y

Paso 2 - Intercepta, y-int es y = 1

Y las intersecciones x son x = -1, 1

Desde y

Paso 3 - La prueba está por encima o por debajo de cada dominio

Dominio
-5 0 5 Prueba
sobre sobre sobre + / -

Paso 1- Prueba de simetría:

(a) eje y:

(b) Origen: - ver un)

Paso 2 - Intercepta, y-int es y = 1

Y las intersecciones x son x = 1

Paso 4 - Grafica algunos puntos

X -1 0 1
y 2 1 0

Funciones pares e impares

Funciones impares tienen gráficos que son simétrico sobre el origen


Funciones de potencia - Concepto

¡Norm fue cuarto en los Nacionales de Halterofilia de Estados Unidos 2004! Todavía entrena y compite ocasionalmente, a pesar de su apretada agenda.

Una función de potencia es una función donde y = x ^ n donde n es cualquier número constante real. Muchas de nuestras funciones madre, como las funciones lineales y las funciones cuadráticas, son de hecho funciones de poder. Otras funciones de potencia incluyen y = x ^ 3, y = 1 / x y y = raíz cuadrada de x. Las funciones de potencia son algunas de las funciones más importantes en álgebra. Todas las funciones de potencia pasan por el punto (1,1) en el plano de coordenadas.

Quiero presentar la idea de una función de poder. Una función de potencia es una de la forma Y = X ^ N donde N es cualquier constante numérica real. Muchas de nuestras funciones principales son en realidad funciones de potencia, por ejemplo, Y = X. Una de nuestras funciones más simples es una función de potencia donde N es 1.
Entonces aquí N = 1. Y = X2, obviamente una función de potencia. N = 2. Y = X3. N = 3, también una función de potencia. Y = 1 / X es una función de potencia. Aquí 1 / X es lo mismo que X-1. Entonces esta es una función de potencia con N = -1. Y finalmente, Y = la raíz cuadrada de X. La raíz cuadrada de X es lo mismo que X1 / 2. Entonces esta es una función de potencia con N = 1/2.
Las funciones de potencia son realmente importantes. Y muchas de las funciones básicas que estudiamos son funciones de potencia. Por eso es importante conocer la definición. Una de las cosas que todos tienen en común es que todos pasan por el punto (1, 1). De todos modos, funciones de potencia, funciones de la forma Y = X ^ N


3.3: Funciones de potencia y funciones polinomiales - Matemáticas.

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Numerical Field Calculation for Charged Particle Optics

5.5.3 Improved Hermite Interpolation

The accuracy of the field interpolation is improved by the use of Hermite polynomials of fifth pedido. This makes sense only when the potentials at the nodes were calculated with a nine-point algorithm having a discretization error of sixth pedido. Otherwise the algorithms outlined here is still feasible but would bring only some smoothing of the results. Quite generally, it is better to determine first the partial derivatives at the nodes by sufficiently precise numerical formula and to store them before embarking on the task of interpolation because the differentiation of polynomials always causes some loss of accuracy.

We now assume equidistant grids in a u-v plane although it is certainly favorable to have equal spacings hu = hv in the two directions, this added assumption is not necessary here. For reasons of conciseness, we introduce the abbreviations

Because the interpolation polynomial and the accuracy of the FDM calculations are both of fifth order, a seven-point formula for numerical differentiation is here adequate we hence obtain

the error being of sixth order in all three cases. In the vicinity of boundaries or margins, where some of the necessary points are missing, the extrapolation rules based on symmetries, as outlined in Section 3.3.3 , must be evaluated appropriately. If this is impossible, then asymmetric formulas can be used at the price of some loss of accuracy.

We consider now the configuration shown in Fig. 5.28 . To carry out the Hermite interpolation at an arbitrary point Q inside the rectangle, we need to know the partial derivatives at the four corners. The four arrays PAG, U, V, y W are sufficient only for the bicubic interpolation, outlined in the preceding section. It is, of course, possible to extend the procedure in Eqs. (5.102) to higher orders, but this would require too much memory. An alternative way is shown in Fig. 5.29 : the rectangle of Fig. 5.28 now becomes the central one in a configuration of nine rectangles or of 16 points. The exceptional cases of marginal locations will be discussed below.

Figure 5.29 . Connection between the simplified inner labels referring to the node 0 with the global ones. The other three comers are to be treated analogously.

For reasons of symmetry and continuity, it is necessary to consider only the eight closest neighbors of each of the four inner nodes, because these remain in common with the corresponding neighboring cells. This is shown for the node (0) as an example. The nearest neighbors considered here are numbered sequentially from 1 to 8 the rigorous two-dimensional indexing must of course be used in a practical program.

The technique for determining derivatives of higher orders is quite simple. We assume that F(X) is a six times continuously differentiable function from which the function values and derivatives of first order may be given at three positions Xh, X, y X + h. We can then write down the two Taylor series expansions for X ± h, the derivatives referring to the central position, and form the following linear combinations.

By elimination of F (4) and solving for F″(X) we obtain immediately

By repeated application of this formula, we can obtain the matrix elements in the following manner:

The elements for metro ≤ 1 and norte ≤ 1 are obtained from the stored arrays, and even the multiplications with hu and hv can be saved, if the corresponding multiplied arrays are stored instead of U, V, y W. The differentiation in the u-direction gives

and similarly for the v-direction:

The labels in parentheses are those for which the corresponding elements can be calculated but are not needed. The matrix scheme is completed by

These matrix elements are so easy to calculate that it is not necessary to store them permanently.

We now reconsider the configuration of Fig. 5.29 . With respect to the interpolation and differentiation at the position Q, it is favorable to introduce the normalized coordinates

The corresponding Hermite polynomials are then given by ( Eq. 3.93 ) with

with replacement of u por t and t = tu or t = tv, respectively. For the derivatives, we introduce the notation

the power of two arising from the factor 2 in Eqs. (5.107) . The interpolation polynomials can now be written in compact form as

This kind of interpolation furnishes very smooth results as even the normal component of the gradient at the mesh lines is still continuously differentiable, which is difficult to achieve by other techniques. With slight modifications, this kind of interpolation has been used by Killes [36] , who obtained very good results with it for ray tracing in electron guns.

There remains the task of interpolation in the vicinity of boundaries. The optic axis is a special case, which is dealt with in the next section. At other symmetry lines, these particular symmetries can be exploited to determine the missing matrix elements. For example if the potential has the property PAG(− u, v) = PAG(u, v) y u = 0, j = 0 is the lower boundary line, then we know that G0,1 (1,norte) = 0 for all norte and l and Eq. (5.106a) is then to be completed by

Near an outer boundary to field-free space or to at least a homogeneous field, the missing elements should all become zero, thereby satisfying the natural boundary conditions. In the vicinity of inner boundaries, material surfaces, a precise determination is hardly possible. It is then usually sufficient to assume constant derivatives within the respective mesh and use the values that can be calculated by Eqs. (5.106) .


Increasing and Decreasing the Exponents of a Generating Function

When we have a generating function for a certain problem, we can manipulate it to solve other combinatorial problems.

Using this technique of "shift method" gives us a clean solution to the following problem:

If you select exactly one element from , how many ways are there to select a given number? Express your answer as a simplified generating function.


Introducción

Modeling of optimization problems frequently involves representing functions that are piecewise, discontinuous or nonsmooth. This includes inherently piecewise economical and physical characteristics [5, 24, 29], construction of surrogate models by sampling of simulators [15, 32, 58], and approximate or exact representation of nonconvex functions [2, 10, 37, 39, 47]. In this paper, we study the problem of efficiently representing and solving optimization problems containing piecewise polynomial (PWP) constraints. Piecewise polynomials are used in a wide range of disciplines, including efficiency curve modeling in electric-power unit commitment [40], rigid motion systems [11], image processing and data compression [44, 51], probability density estimation [61], flow networks [5, 15, 25] and in optimal control [4, 41].

We consider optimization problems where either or both of the objective function and a subset of the constraints are piecewise polynomial functions. Each polynomial may be nonconvex, and the piecewise polynomial function itself lower semi-continuous. There exist few targeted optimization methods for this class of optimization problems, while some approaches that exploit special structures of nonsmooth optimization problems are applicable, subject to certain modification methods: Womersley and Fletcher [62] developed a descent method for solving composite nonsmooth problems consisting of a finite number of smooth functions. Conn and Mongeau [8] constructed a method based on non-differentiable penalty functions for solving discontinuous piecewise linear optimization problems, sketching an extension to problems with PWP constraints. Scholtes [47] developed an active-set method for dealing with nonlinear programs (NLPs) with underlying combinatorial structure in the constraints. Li [30] used a conjugated gradient method for minimizing an unconstrained, strictly convex, quadratic spline. None of these methods are currently available in standard optimization software.

From a broader perspective, applicable solution approaches to PWP optimization problems include methods based on general nonsmooth optimization, smoothing techniques and mixed integer programming (MIP). Bundle-type and subgradient methods [21], originally developed for nonsmooth convex optimization, may be applied to optimization problems with general nonsmooth structures such as PWPs through Clark’s generalized gradients [48]. These generalized methods for nonsmooth optimization are known to have poor convergence properties for nonconvex structures [47]. Smoothing techniques for nonsmooth functions encompass a variety of techniques, seeking to ensure sufficient smoothness for gradient-based methods [64]. Many of these methods are, however, designed for optimizing a nonsmooth function on a convex set, e.g [7, 38]. Meanwhile, smoothing techniques for discontinuities by means of step-function approximations (e.g. [64]) are known to be prone to numerical instabilities, particularly for increasing accuracies of the discontinuity [8, 60]. Exploitation of MIP for solving PWP optimization problems beyond complete approximative linearization [37] and direct solution as a nonconvex mixed integer nonlinear programming (MINLP) problem appears to be limited.

We adopt disjunctive representations of PWP constraints, drawing upon the extensive work on disjunctive programming (DP) formulations and representation of piecewise linear (PWL) functions [1, 39, 50, 54]. Modeling piecewise functions as disjunctions enables application of MIP techniques, or specialized branch-and-bound or branch-and-cut schemes with a set condition for representing the piecewise constraints [2, 28, 39]. While adopting MIP techniques and formulations for solving PWP-constrained optimization problems facilitates exploitation of advancements in global optimization solvers [35, 36, 57], careful constraint formulations are required to overcome the inherent problem complexity. To this end, polynomial spline formulations [49] such as the B-spline is an attractive approach. Polynomial splines are constructed from overlapping (piecewise) polynomials with local support, and embodies a versatile set of techniques for modeling PWPs with favorable smoothness and numerical properties. For decades, polynomial splines, which we simply refer to as splines in this paper, have played an important role in function approximation and geometric modeling. In particular, they have been popular as nonlinear basis functions in regression problems [12, 20], for example in kernel methods [22, 63], and in finite element methods [23]. Yet, few references [5, 15] apply splines within mathematical programming beyond the optimization of spline design parameters [45, 59], trajectory optimization [18, 34, 43], and optimization of piecewise linear splines [33].

The availability of spline-compatible optimization algorithms and codes is limited. In a recent work, [16] develop a spatial branch-and-bound (sBB) algorithm for global optimization of spline-constrained problems. While the algorithm was shown to be highly efficient, it has only support for a limited set of algebraic functions, is only available as a specialized code and requires software for spline generation [17]. To address the comparably high modeling and implementation effort required for using the specialized sBB algorithm of [14, 16] proposed an explicit constraint-formulation for continuous splines, yielding an ad-hoc mixed-integer quadratically constrained programming (MIQCP) model. In this paper, we build upon and significantly extend [14, 16] to construct a general-purpose framework for mathematical programming of piecewise polynomial constraints, subsuming spline constraints. The framework is based on an epigraph formulation and we show how it accommodates lower semi-continuous PWPs given in the monomial, Bernstein or B-spline basis. The extension to lower semi-continuous PWPs has not been explicitly covered in previous works. However, the epigraph formulation in [14] can be applied to lower semi-continuous PWPs written as B-splines.

The main advancement of our work from previous works is our representation of PWPs as a disjunction of polynomial pieces. This allows us to exploit the fact that all the polynomial pieces can be written as a linear combination of a single multivariate polynomial basis. This leads to formulations that are minimal in the number of nonlinear (non-convex) constraints. Furthermore, we exploit properties of the polynomial bases and the grid structure for bound tightening and derivation of Bernstein cuts. Exact reformulations of the DP models yield MINLP formulations, which we benchmark and compare with existing solution methods.

The remainder of the paper is organized as follows. In Sects. 2 and 3, we present background theory of Bernstein polynomials, piecewise polynomials and polynomial splines. In Sect. 4, we present DP formulations of PWPs which we in Sect. 5 reformulate to MINLP models. In Sect. 6, we present computational results of the proposed formulations, comparing the results with existing methods for optimizing PWP functions. Concluding remarks in Sect. 7 ends the paper.


3.3: Power Functions and Polynomial Functions - Mathematics

Polynomial functions are nothing more than a sum of power functions. As a result, certain properties of polynomials are very "power-like." Cuándo many different power functions are added together, however, polynomials begin to take on unique behaviors.

To understand polynomial behavior, it is important to separate the long term desde el short term. Long term behavior refers to what a polynomial does far from the origin – with inputs of large absolute value. Short term behavior refers to what a polynomial does close to the origin – with inputs of small absolute value. The terms "long," "short," "large," and "small," of course, are all relative. They depend very much on the particular polynomial.

The long term behavior of a polynomial is very simple: It is indistinguishable from a single power function. A polynomial may be composed of many power functions, but one of these power functions always, eventually, dominates all of the others. The lesser power functions become insignificant by comparison, and the polynomial settles into the long term behavior of its dominant term.

It is the short term behavior of polynomials that makes them most interesting. Near the origin, polynomials may wiggle up and down – crossing the x-axis at many roots and hitting many highs and lows – before the dominant power function can take long term control. The area around the origin is the polynomial party shack. All of a polynomial's exuberance is expressed here.

It is this exuberant wiggling that ultimately distinguishes polynomials in modeling situations:


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The Fit class is just a facade that is good enough in most scenarios, but you can always use the algorithms directly to get exactly what you need.

Fit.Polynomial: Polynomial curve fitting with high orders is a bit problematic numerically, so specialized algorithms and routines to tune/refine parameters at the end have been developed. However, Math.NET Numerics just uses a QR decomposition for now (although it is planned to replace the implementation at some point):

Fit.MultiDim on the other hand uses normal equations by default, which is much faster but less numerically robust than the QR decomposition. That's why you've seen reduced accuracy with this method.

In your case I'd try to use the MultipleRegression class directly, with either QR (if good enough) or Svd (if even more robustness is needed much slower (consider to use native provider if too slow)):


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