Artículos

4.2: Triángulos similares - Matemáticas


Se dice que dos triángulos son similares si tienen conjuntos iguales de ángulos. En la Figura ( PageIndex {1} ), ( triangle ABC ) es similar a ( triangle DEF. ) Los ángulos que son iguales se llaman ángulos correspondientes. En la Figura ( PageIndex {1} ), ( angle A ) corresponde a ( angle D ), ( angle B ) corresponde a ( angle E ) y ( ángulo C ) corresponde a ( ángulo F ). Los lados que unen los vértices correspondientes se denominan lados correspondientes. En la Figura ( PageIndex {1} ), (AB ) corresponde a (DE ), (BC ) corresponde a (EF ) y (AC ) corresponde a (DF ). El símbolo de similar es ( sim ). La declaración de similitud ( triangle ABC sim triangle DEF ) siempre se escribirá de manera que los vértices correspondientes aparezcan en el mismo orden.

Para los triángulos en la Figura ( PageIndex {1} ), también podríamos escribir ( triangle BAC sim triangle BDF ) o ( triangle ACB sim triangle DFE ) pero nunca ( triangle ABC sim triangle EDF ) ni ( triangle ACB sim triangle DEF ).

Podemos decir qué lados corresponden a partir de la declaración de similitud. Por ejemplo, si ( triangle ABC sim triangle DEF ), entonces el lado (AB ) corresponde al lado (DE ) porque ambas son las dos primeras letras. (BC ) corresponde a (EF ) porque ambas son las dos últimas letras, (AC ) corresponde a (DF ) porque ambas consisten en la primera y la última letra.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Determina si los triángulos son similares y, de ser así, escribe la declaración de similitud:

Solución

[ angle C = 180 ^ { circ} - (65 ^ { circ} + 45 ^ { circ}) = 180 ^ { circ} - 110 ^ { circ} = 70 ^ { circ} sin número]

[ angle D = 180 ^ { circ} - (65 ^ { circ} + 45 ^ { circ}) = 180 ^ { circ} - 110 ^ { circ} = 70 ^ { circ} sin número]

Por lo tanto, ambos triángulos tienen los mismos ángulos y ( triangle ABC sim triangle EFD ).

Respuesta: ( triángulo ABC sim triángulo EFD ).

El ejemplo A sugiere que para probar la similitud solo es necesario saber que dos de los ángulos correspondientes son iguales:

Teorema ( PageIndex {1} )

Dos triángulos son similares si dos ángulos de uno equivalen a dos ángulos del otro ((AA = AA) ).

En la Figura ( PageIndex {2} ), ( triangle ABC sim triangle DEF ) porque ( angle A = angle D ) y ( angle B = angle E ).

Prueba

( triángulo C = 180 ^ { circ} - ( ángulo A + ángulo B) = 180 ^ { circ} - ( ángulo D + ángulo E) = ángulo F ).

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Determina qué triángulos son similares y escribe una declaración de similitud:

Solución

( angle A = angle CDE ) porque son ángulos correspondientes de líneas paralelas. ( angle C = angle C ) debido a la identidad. Por lo tanto ( triangle ABC sim triangle DEC ) por (AA = AA ).

Respuesta: ( triángulo ABC sim triángulo DEC ).

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Determina qué triángulos son similares y escribe una declaración de similitud:

Solución

( angle A = angle A ) identidad. ( angle ACB = angle ADC = 90 ^ { circ} ). Por lo tanto

También ( angle B = angle B ), identidad, ( angle BDC = angle BCA = 90 ^ { circ} ). Por lo tanto

Respuesta: ( triángulo ABC sim triángulo ACD sim triángulo CBD ).

Los triángulos semejantes son importantes debido al siguiente teorema:

Teorema ( PageIndex {2} )

Los lados correspondientes de triángulos semejantes son proporcionales. Esto significa que si ( triangle ABC sim triangle DEF ) entonces

( dfrac {AB} {DE} = dfrac {BC} {EF} = dfrac {AC} {DF} ).

Es decir, las dos primeras letras de ( triangle ABC ) son las dos primeras letras de ( triangle DEF ) como las dos últimas letras de ( triangle ABC ) son las dos últimas letras de ( triangle DEF ) ya que la primera y la última letra de ( triangle ABC ) están a la primera y la última letra de ( triangle DEF ).

Antes de intentar demostrar el teorema ( PageIndex {2} ), daremos varios ejemplos de cómo se usa:

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Encuentra (x ):

Solución

( ángulo A = ángulo D ) y ( ángulo B = ángulo E ) entonces ( triángulo ABC sim triángulo DEF ). Según el teorema ( PageIndex {2} ),

( dfrac {AB} {DE} = dfrac {BC} {EF} = dfrac {AC} {DF} ).

Aquí ignoraremos ( dfrac {AB} {DE} ) ya que no lo sabemos y no tenemos que encontrar ni (AB ) ni (DE ).

[ begin {array} {rcl} { dfrac {BC} {EF}} & = & { dfrac {AC} {DF}} { dfrac {8} {x}} & = & { dfrac {2} {3}} {24} & = & {2x} {12} & = & {x} end {array} ]

Cheque:

Respuesta: (x = 12 ).

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Encuentra (x ):

Solución

( angle A = angle A, angle ADE = angle ABC ), entonces ( triangle ADE sim triangle ABC ) por (AA = AA ).

( dfrac {AD} {AB} = dfrac {DE} {BC} = dfrac {AE} {AC} ).

Ignoramos ( dfrac {AD} {AB} ).

[ begin {array} {rcl} { dfrac {DE} {BC}} & = & { dfrac {AE} {AC}} { dfrac {5} {15}} & = & { dfrac {10} {10 + x}} {5 (10 + x)} & = & {15 (10)} {50 + 5x} & = & {150} {5x} & = & {150 - 50} {5x} & = & {100} {x} & = & {20} end {array} ]

Cheque:

Respuesta: (x = 20 ).

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Encuentra (x ):

Solución

( angle A = angle CDE ) porque son ángulos correspondientes de líneas paralelas. Por lo tanto ( triangle ABC sim triangle DEC ) por (AA = AA ).

( dfrac {AB} {DE} = dfrac {BC} {EC} = dfrac {AC} {DC} )

Ignoramos ( dfrac {BC} {EC} ):

[ begin {array} {rcl} { dfrac {AB} {DE}} & = & { dfrac {AC} {DC}} { dfrac {x + 5} {4}} & = & { dfrac {x + 3} {3}} {(x + 5) (3)} & = & {(4) (x + 3)} {3x + 15} & = & {4x + 12} {15 - 12} & = & {4x - 3x} {3} & = & {x} end {array} ]

Cheque:

Respuesta: (x = 3 ).

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Encuentra (x ):

Solución

( ángulo A = ángulo A ), ( ángulo ACB = ángulo ADC = 90 ^ { circ} ), ( triángulo ABC sim triángulo ACD ).

[ begin {array} {rcl} { dfrac {AB} {AC}} & = & { dfrac {AC} {AD}} { dfrac {x + 12} {8}} & = & { dfrac {8} {x}} {(x + 12) (x)} & = & {(8) (8)} {x ^ 2 + 12x} & = & {64} {x ^ 2 + 12x - 64} & = & {0} {(x - 4) (x + 16)} & = & {0} {x = 4 x } & = & {-16} end {matriz} ]

Rechazamos la respuesta (x = -16 ) porque (AD = x ) no puede ser negativo.

Compruebe, (x = 4 )

Respuesta: (x = 4 ).

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Un árbol proyecta una sombra de 12 pies de largo al mismo tiempo que un hombre de 6 pies proyecta una sombra de 4 pies de largo. ¿Cuál es la altura del árbol?

Solución

En el diagrama (AB ) y (DE ) son rayos del sol paralelos. Por lo tanto ( angle A = angle D ) porque son ángulos correspondientes de líneas paralelas con respecto a la transversal (AF ). Dado que también ( angle C = angle F = 90 ^ { circ} ), tenemos ( triangle ABC sim triangle DEF ) por (AA = AA ).

[ begin {array} {rcl} { dfrac {AC} {DF}} & = & { dfrac {BC} {EF}} { dfrac {4} {12}} & = & { dfrac {6} {x}} {4x} & = & {72} {x} & = & {18} end {array} ]

Respuesta: (x = 18 ) pies.

Prueba del teorema ( PageIndex {2} ) ("Los lados correspondientes de triángulos semejantes son proporcionales"):

Ilustramos la prueba usando los triángulos del Ejemplo ( PageIndex {4} ) (Figura ( PageIndex {3} )). La prueba de otros triángulos similares sigue el mismo patrón. Aquí demostraremos que (x = 12 ) de modo que ( dfrac {2} {3} = dfrac {8} {x} ).

Primero dibuje líneas paralelas a los lados de ( triangle ABC ) y ( triangle DEF ) como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ). Los ángulos correspondientes de estas líneas paralelas son iguales y cada uno de los paralelogramos con un lado igual a 1 tiene su lado opuesto igual a 1. Por lo tanto, todos los triángulos pequeños con un lado igual a 1 son congruentes por (AAS = AAS ). Los lados correspondientes de estos triángulos forman el lado (BC = 8 ) de ( triangle ABC ) (ver Figura ( PageIndex {5} )). Por lo tanto, cada uno de estos lados debe ser igual a 4 y (x = EF = 4 + 4 + 4 = 12 ) (Figura ( PageIndex {6} )).

(Nota para el instructor: esta demostración se puede realizar siempre que las longitudes de los lados de los triángulos sean números racionales. Sin embargo, dado que los números irracionales pueden aproximarse tanto como sea necesario mediante los racionales, la demostración se extiende también a ese caso).

Nota histórica

Tales (c. 600 a.C.) usó la proporcionalidad de los lados de triángulos similares para medir las alturas de las pirámides en Egipto. Su método era muy parecido al que usamos en el Ejemplo ( PageIndex {8} ) para medir la altura de los árboles.

En la Figura ( PageIndex {7} ), (DE ) representa la altura de la pirámide y (CE ) es la longitud de su sombra. (BC ) representa un palo vertical y (AC ) es la longitud de su sombra. Tenemos ( triangle ABC sim triangle CDE ). Thales pudo medir directamente las longitudes (AC, BC ) y (CE ). Sustituyendo estos valores en la proporción ( dfrac {BC} {DE} = dfrac {AC} {CE} ), pudo encontrar la altura (DE ).

Problemas

1 - 6. Determina qué triángulos son similares y escribe el enunciado de similitud:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7 - 22. Para cada uno de los siguientes

(1) escribe la declaración de similitud

(2) escribe la proporción entre los lados correspondientes

(3) resuelva para (x ) o (x ) y (y ).

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23. Un asta de bandera proyecta una sombra de 80 pies de largo al mismo tiempo que un niño de 5 pies proyecta una sombra de 4 pies de largo. ¿Qué tan alto es el asta de la bandera?

24. Calcula el ancho (AB ) del río:


Guías y consejos en línea para SAT / ACT Prep

Las preguntas triangulares representan menos del 10% de todas las preguntas de matemáticas del SAT. Dicho esto, aún desea responder bien esas preguntas, por lo que debe estar preparado para conocer todos los tipos de triángulos: triángulos rectángulos, triángulos isósceles, triángulos rectángulos isósceles; el SAT podría evaluarlo en cualquiera de ellos. Dado que los problemas de triángulos solo representan un pequeño porcentaje de las preguntas de matemáticas del SAT, no debes dedicar todo tu tiempo de estudio a los triángulos.

Este artículo debería ser todo lo que necesita para prepararse para abordar las preguntas del triángulo SAT. Le haré saber los tipos de triángulos que aparecerán en el SAT, sus fórmulas y las estrategias que deberá aplicar al abordar una pregunta sobre triángulos. También desglosaré las preguntas de práctica de matemáticas del SAT y explicaré cómo eliminar las preguntas triangulares del parque.


Problemas de triángulos similares con soluciones

  • BA es una transversal que interseca las dos rectas paralelas A'C 'y AC, por lo tanto, los ángulos correspondientes BA'C' y BAC son congruentes. BC también es transversal a las dos líneas paralelas A'C 'y AC y, por lo tanto, los ángulos BC'A' y BCA son congruentes. Estos dos triángulos tienen dos ángulos congruentes, por lo tanto son similares y las longitudes de sus lados son proporcionales. Separemos los dos triángulos como se muestra a continuación.
  • Ahora usamos la proporcionalidad de las longitudes del lado para escribir ecuaciones que ayuden a resolver x e y.
    (30 + x) / 30 = 22/14 = (y + 15) / y
  • Una ecuación en x se puede escribir de la siguiente manera.
    (30 + x) / 30 = 22/14
  • Resuelve lo anterior para x.
    420 + 14 x = 660
    x = 17,1 (redondeado a un decimal).
  • Una ecuación en y se puede escribir de la siguiente manera.
    22/14 = (y + 15) / año
  • Resuelva lo anterior para obtener y.
    y = 26,25

Problemas 2
Un equipo de investigación desea determinar la altitud de una montaña de la siguiente manera (ver figura a continuación): utilizan una fuente de luz en L, montada en una estructura de 2 metros de altura, para hacer brillar un haz de luz a través de la parte superior de un poste P ' a través de la cima de la montaña M '. La altura del poste es de 20 metros. La distancia entre la altura de la montaña y el polo es de 1000 metros. La distancia entre el poste y el láser es de 10 metros. Suponemos que el soporte de la fuente de luz, el poste y la altitud de la montaña están en el mismo plano. Calcula la altitud h de la montaña.

  • Primero dibujamos una línea horizontal LM. PP 'y MM' son verticales al suelo y, por lo tanto, paralelos entre sí. Dado que PP 'y MM' son paralelos, los triángulos LPP 'y LMM' son similares. Por tanto, la proporcionalidad de los lados da:
    1010/10 = (h - 2) / 18
  • Resuelva para h para obtener
    h = 1820 metros.

Problemas 3
Los dos triángulos son similares y la razón de las longitudes de sus lados es igual a k: AB / A'B '= BC / B'C' = CA / C'A '= k. Calcula la razón BH / B'H 'de las longitudes de las altitudes de los dos triángulos.

  • Si los dos triángulos son similares, sus ángulos correspondientes son congruentes. Por tanto, el ángulo BAH y B'A'H son congruentes. Ahora examinamos los triángulos BAH y B'A'H '. Estos triángulos tienen dos pares de ángulos congruentes correspondientes: BAH y B'A'H 'y los triángulos rectángulos BHA y B'H'A'. Los triángulos son similares y por lo tanto:
    AB / A'B '= BH / B'H' = k

Problemas 4
BA 'y AB' son cuerdas de un círculo que se cruzan en C. Encuentre una relación entre las longitudes de los segmentos AC, BC, B'C y A'C.

  • Primero unimos los puntos B y A y B 'y A'. Los ángulos ABA 'y AB'A' en los dos triángulos son congruentes ya que interceptan el mismo arco. Los ángulos BAB 'y BA'B' también interceptan el mismo arco y, por lo tanto, son congruentes. Los dos triángulos ABC y A'B'C tienen dos ángulos congruentes correspondientes y, por lo tanto, son similares.

  • Antes de escribir la proporcionalidad de los lados, primero separamos los dos triángulos e identificamos los lados correspondientes, luego escribimos la proporcionalidad de las longitudes de los lados.
    AB / A'B '= BC / B'C = CA / CA'
  • Dado que buscamos una relación entre las longitudes de AC, BC, B'C y A'C, usamos la última ecuación y la cruzamos para obtener
    BC * CA '= B'C * CA

Problemas 5
ABC es un triángulo rectángulo. AM es perpendicular desde el vértice A a la hipotenusa BC del triángulo. ¿Cuántos triángulos semejantes hay?


Matemáticas Parte II Soluciones para matemáticas de la clase 10 Capítulo 1 - Similitud

Matemáticas Parte II Soluciones Soluciones para matemáticas de la clase 10 Capítulo 1 Similitud se proporciona aquí con explicaciones sencillas paso a paso. Estas soluciones para Similarity son extremadamente populares entre los estudiantes de la clase 10, ya que las soluciones de similitud de matemáticas son útiles para completar rápidamente su tarea y prepararse para los exámenes. Todas las preguntas y respuestas del Libro de Soluciones de Matemáticas Parte II del Capítulo 1 de Matemáticas de la Clase 10 se proporcionan aquí de forma gratuita. También le encantará la experiencia sin publicidad en las Soluciones de Soluciones de Matemáticas Parte II de Meritnation. Todas las soluciones de Matemáticas Parte II Soluciones para la clase 10 de Matemáticas están preparadas por expertos y son 100% precisas.

Página No 5:

Pregunta 1:

La base de un triángulo es 9 y la altura es 5. La base de otro triángulo es 10 y la altura es 6. Calcula la razón de las áreas de estos triángulos.

Respuesta:

Sean ABC y PQR dos triángulos rectángulos con AB & perp BC y PQ & perp QR.
Dado:
BC = 9, AB = 5, PQ = 6 y QR = 10.
& # 8756 A & # 9651 ABC A & # 9651 PQR = AB & # 215 BC PQ & # 215 QR = 5 & # 215 9 6 & # 215 10 = 3 4

Página No 6:

Pregunta 2:

En la figura dada, BC & perp AB, AD & perp AB, BC = 4, AD = 8, luego encuentre A & # 8710 ABC A & # 8710 ADB.

Respuesta:

Página No 6:

Pregunta 3:

En la figura contigua, seg PS y perp seg RQ seg QT y perp seg PR. Si RQ = 6, PS = 6 y PR = 12, entonces encuentre QT.

Respuesta:

Dado:
PS y perpetrador RQ
QT y relaciones públicas perpetradas
RQ = 6, PS = 6 y PR = 12
Con base PR y altura QT, A & # 9651 PQR = 1 2 & # 215 PR & # 215 QT
Con base QR y altura PS, A & # 9651 PQR = 1 2 & # 215 QR & # 215 PS
& # 8756 A & # 9651 PQR A & # 9651 PQR = 1 2 & # 215 PR & # 215 QT 1 2 & # 215 QR & # 215 PS & # 8658 1 = PR & # 215 QT QR & # 215 PS & # 8658 PR y # 215 QT = QR y # 215 PS
& # 8658 QT = QR & # 215 PS PR = 6 & # 215 6 12 = 3
Por tanto, la medida del lado QT es de 3 unidades.

Página No 6:

Pregunta 4:

En figura contigua, AP & perp BC, AD || BC, luego Encuentre A (∆ABC): A (∆BCD).

Respuesta:

Dado:
AP y perpetrador BC
AD || antes de Cristo
& # 8756 A & # 9651 ABC A & # 9651 BCD = AP & # 215 BC AP & # 215 BC = 1 1
Por lo tanto, la relación de A (∆ABC) y A (∆BCD) es 1: 1.

Página No 6:

Pregunta 5:

En la figura contigua PQ & perp BC, AD & perp BC luego encuentre las siguientes razones.

Respuesta:

(I)
A & # 9651 PQB A & # 9651 PBC = PQ & # 215 BQ PQ & # 215 BC = BQ BC
(ii)
A & # 9651 PBC A & # 9651 ABC = PQ & # 215 BC AD & # 215 BC = PQ AD
(iii)
A & # 9651 ABC A & # 9651 ADC = AD & # 215 BC AD & # 215 DC = BC DC
(iv)
A & # 9651 ADC A & # 9651 PQC = AD & # 215 DC PQ & # 215 QC

Página No 13:

Pregunta 1:

A continuación se muestran algunos triángulos y longitudes de segmentos de línea. Identifique en qué figuras el rayo PM es la bisectriz de & angQPR.
(1)

Respuesta:

(1)
En & # 160 & # 9651 QMP, & # 160 QM QP = 3. 5 7 = 1 2
En & # 160 & # 9651 MRP, MR RP = 1. 5 3 = 1 2
& # 8756 QM QP = MR RP
Por el contrario del teorema de la bisectriz del ángulo, el rayo PM es la bisectriz de & angQPR.

(2)
En & # 160 & # 9651 QMP, & # 160 QM QP = 8 10 = 4 5
En & # 160 & # 9651 MRP, MR RP = 6 7
& # 8756 QM QP & # 8800 MR RP
Por lo tanto, el rayo PM no es la bisectriz de & angQPR.
(3)
En & # 160 & # 9651 QMP, & # 160 QM QP = 3. 6 9 = 2 5
En & # 160 & # 9651 MRP, MR RP = 4 10 = 2 5
& # 8756 QM QP = MR RP
Por el contrario del teorema de la bisectriz del ángulo, el rayo PM es la bisectriz de & angQPR.

Página No 13:

Pregunta 2:

En ∆PQR, PM = 15, PQ = 25 PR = 20, NR = 8. Indique si la línea NM es paralela al lado RQ. Dar una razon.

Respuesta:

Dado:
PM = 15,
PQ = 25,
PR = 20 y
NR = 8
Ahora, PN = PR y menos NR
= 20 y menos 8
= 12
Además, MQ = PQ y menos PM
= 25 y menos 15
= 10
En & # 160 & # 9651 PRQ, & # 160 PR NR = 12 8 = 3 2
Además, PM MQ = 15 10 = 3 2
& # 8756 PR NR = PM MQ
Por el contrario del teorema básico de proporcionalidad, NM es paralelo al lado RQ o NM || RQ.

Página No 14:

Pregunta 3:

En ∆MNP, NQ es una bisectriz de & angN. Si MN = 5, PN = 7 MQ = 2.5, entonces encuentre QP.

Respuesta:

Página No 14:

Pregunta 4:

Se dan las medidas de algunos ángulos en la figura. Demuestre que AP PB = AQ QC

Respuesta:

Dado:
& angAPQ = 60 ∘
& angABC = 60 ∘
Dado que, los ángulos correspondientes & angAPQ y & angAPC son iguales.
Por lo tanto, la línea PQ || ANTES DE CRISTO.
En & # 160 & # 9651 ABC, & # 160 PQ & # 8741 BC AP PB = AQ QC & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 Por & # 160 Teorema de proporcionalidad básico & # 160

Página No 14:

Pregunta 5:

En trapecio ABCD, lado AB || lado PQ || lado ∆C, AP = 15, PD = 12, QC = 14, Encuentre BQ.

Respuesta:

Construcción: Únase a BD que cruce PQ en X.

Página No 14:

Pregunta 6:

Encuentre QP usando la información dada en la figura.

Respuesta:

Página No 14:

Pregunta 7:

En la figura dada, si AB || CD || FE luego Buscar X y AE.

Respuesta:

Construcción: Únase a un CD de intersección en X.

Página No 15:

Pregunta 8:

En ∆LMN, el rayo MT se biseca y angLMN Si LM = 6, MN = 10, TN = 8, entonces encuentre LT.

Respuesta:

Página No 15:

Pregunta 9:

En ∆ABC, seg BD biseca y angABC. Si AB = X, BC = X + 5, AD = X & ndash 2, DC = X + 2, luego encuentra el valor de X.

Respuesta:

Página No 15:

Pregunta 10:

En la figura dada, X es cualquier punto en el interior del triángulo. El punto X está unido a los vértices del triángulo. Seg PQ || seg DE, seg QR || seg EF. Complete los espacios en blanco para demostrar que, seg PR || seg DF.

Respuesta:

Página No 15:

Pregunta 11:

En ∆ABC, el rayo BD biseca y angABC y el rayo CE biseca y angACB. Si seg AB & cong seg AC entonces demuestre que ED || ANTES DE CRISTO.

Respuesta:

Dado:
ray BD biseca y angABC
Ray CE biseca y angACB.
seg AB y cong seg AC

Página No 21:

Pregunta 1:

En la figura dada, & angABC = 75 & deg, & angEDC = 75 & deg indican qué dos triángulos son similares y por qué prueba? También escribe la similitud de estos dos triángulos por una correspondencia adecuada de uno a uno.

Respuesta:

Dado:
& angABC = 75 & deg, & angEDC = 75 & deg
Ahora, en △ ABC y △ EDC
& angABC = & angEDC = 75 & deg (Dado)
& angC = & angC (común)
Por prueba AA de similitud
△ ABC y sim △ EDC

Página No 21:

Pregunta 2:

¿Son similares los triángulos de la figura dada? Si es así, ¿por qué prueba?

Respuesta:

Dado:
PQ = 6
PR = 10
QR = 8
LM = 3
LN = 5
MN = 4
Ahora,
PQ LM = 6 3 = 2, QR MN = 8 4 = 2, RP NL = 10 5 = 2
& # 8756 PQ LM = QR MN = RP NL
Por prueba SSS de similitud
△ PQR y sim △ LMN

Página No 21:

Pregunta 3:

Como se muestra en la figura dada, dos postes de 8 my 4 m de altura son perpendiculares al suelo. Si la longitud de la sombra del polo más pequeño debido a la luz solar es de 6 m, ¿cuánto tiempo tendrá la sombra del polo más grande al mismo tiempo?

Respuesta:

Dado:
PR = 4
RL = 6
AC = 8
En △ PLR y △ ABC
& angPRL = & angACB (ángulos verticalmente opuestos)
& angLPR = & angBAC (los ángulos formados por la luz solar en la parte superior son congruentes)
Por prueba AA de similitud
△ PLR y sim △ ABC
& # 8756 PR AC = LR BC & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 Los lados & # 160 correspondientes & # 160 son & # 160 proporcionales & # 8658 4 8 = 6 x & # 8658 x = 12
Por lo tanto, la longitud de la sombra del polo más grande debido a la luz solar es de 12 m.

Página No 21:

Pregunta 4:

En ∆ABC, AP & perp BC, BQ & perp AC B & ndash P & ndashC, A & ndashQ & ndash C luego demuestre que, ∆CPA

∆CQB. Si AP = 7, BQ = 8, BC = 12, entonces encuentre AC.

Respuesta:

Dado:
AP y perpetrador BC
BQ y perp AC
Para demostrar: ∆CPA

∆CQB
Prueba: en ∆CPA y ∆CQB
& angCPA = & angCQB = 90 ∘ (Dado)
& angC = & angC (común)
Por prueba AA de similitud
∆CPA

Página No 22:

Pregunta 5:

Dado : En trapecio PQRS, lado PQ || lado SR, AR = 5AP, AS = 5AQ luego demuestre que, SR = 5PQ

Respuesta:

Dado:
lado PQ || lado SR
AR = 5AP,
COMO = 5AQ
Para demostrar: SR = 5PQ
Prueba: en ∆APQ y ∆ARS
& angPAQ = & angRAS (ángulos verticalmente opuestos)
& angPQA = & angRSA (ángulos alternos, lado PQ || lado SR y QS es una línea transversal)
Por prueba AA de similitud
∆APQ

Página No 22:

Pregunta 6:

En trapecio ABCD, lado AB || lado DC, las diagonales AC y BD se cruzan en el punto O. Si AB = 20, DC = 6, OB = 15, entonces encuentre OD.

Respuesta:

Dado:
lado AB || lado DC
AB = 20,
DC = 6,
OB = 15
En △ COD y △ AOB
& angCOD = & angAOB (ángulos verticalmente opuestos)
& angCDO = & angABO (ángulos alternos, CD || BA y BD es una línea transversal)
Por prueba AA de similitud
△ COD y sim △ AOB
& # 8756 CD AB = OD OB & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 Los lados & # 160 correspondientes & # 160 son & # 160 proporcionales & # 8658 6 20 = OD 15 & # 8658 OD = 4. 5

Página No 22:

Pregunta 7:

◻ABCD es un paralelogramo, el punto E está en el lado BC. La recta DE interseca al rayo AB en el punto T. Demuestre que DE & veces BE = CE & times TE.

Respuesta:

Dado: ◻ABCD es un paralelogramo
Para demostrar: DE & times BE = CE & times TE
Prueba: en ∆BET y ∆CED
& angBET = & angCED (ángulos verticalmente opuestos)
& angBTE = & angCDE (ángulos alternos, AT || CD y DT es una línea transversal)
Por prueba AA de similitud
∆APUESTA Y SIM ∆CED
& # 8756 BE CE = ET ED & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 Los lados & # 160 correspondientes & # 160 son & # 160 proporcionales & # 8658 BE & # 215 ED = CE & # 215 ET
Por lo tanto probado.

Página No 22:

Pregunta 8:

En la figura dada, seg AC y seg BD se cruzan en el punto P y AP CP = BP DP. Demuestra eso, ∆ABP

Respuesta:

Dado: AP CP = BP DP
Para demostrar: ∆ABP

∆CDP
Prueba: en ∆ABP y ∆DCP
AP CP = BP DP (dado)
& angP = & angP (común)
Por prueba SAS de similitud
AP CP = BP DP

Página No 22:

Pregunta 9:

En la figura dada, en ∆ABC, el punto D en el lado BC es tal que, & angBAC = & angADC. Demuestre que, CA 2 = CB y tiempos CD

Respuesta:

Página No 25:

Pregunta 1:

La razón de los lados correspondientes de triángulos similares es 3: 5 y luego encuentra la razón de sus áreas.

Respuesta:

De acuerdo con el teorema de áreas de triángulos similares "Cuando dos triángulos son similares, la razón de las áreas de esos triángulos es igual a la razón de los cuadrados de sus lados correspondientes".
Por lo tanto, la razón de las áreas de los triángulos = 3 2 5 2
= 9 25

Página No 25:

Pregunta 2:

Respuesta:

∆PQR
AB: PQ = 2: 3
De acuerdo con el teorema de áreas de triángulos similares "Cuando dos triángulos son similares, la razón de las áreas de esos triángulos es igual a la razón de los cuadrados de sus lados correspondientes".
& # 8756 A & # 8710 ABC A & # 8710 PQR = AB 2 PQ 2 = 2 2 3 2 = & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 4 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 9 & # 160 & # 160 & # 160

Página No 25:

Pregunta 3:

Respuesta:

∆PQR
A (∆ABC) = 80
A (∆PQR) = 125
De acuerdo con el teorema de áreas de triángulos similares "Cuando dos triángulos son similares, la razón de las áreas de esos triángulos es igual a la razón de los cuadrados de sus lados correspondientes".
& # 8756 A & # 8710 ABC A & # 8710 PQR = AB 2 PQ 2 & # 8658 80125 = AB 2 PQ 2 & # 8658 16 25 = AB 2 PQ 2
& # 8658 4 2 5 2 = AB 2 PQ 2 & # 8658 AB PQ = 4 5
Por lo tanto, A & # 8710 ABC A & # 8710 PQR = 80125 & # 160 y & # 160 AB PQ = 4 5

Página No 25:

Pregunta 4:

∆PQR, 9 y multiplicado por A (∆PQR) = 16 y multiplicado por A (∆LMN). Si QR = 20, entonces encuentre MN.

Respuesta:

Página No 25:

Pregunta 5:

Las áreas de dos triángulos similares miden 225 cm2. 81 cm cuadrados. Si un lado del triángulo más pequeño mide 12 cm, encuentra el lado correspondiente del triángulo más grande.

Respuesta:

De acuerdo con el teorema de áreas de triángulos similares "Cuando dos triángulos son similares, la razón de las áreas de esos triángulos es igual a la razón de los cuadrados de sus lados correspondientes".
& # 8756 Área & # 160 de & # 160 más grande & # 160 triángulo Área & # 160 de & # 160 más pequeña & # 160 triángulo = 225 81 & # 8658 Lado & # 160 de & # 160 más grande & # 160 triángulo 2 Lado & # 160 de & # 160 más pequeño & # 160 triángulo 2 = 15 2 9 2 & # 8658 Lado & # 160 de & # 160 más grande & # 160 triángulo Lado & # 160 de & # 160 más pequeño & # 160 triángulo = 15 9
& # 8658 Lado & # 160 de & # 160 más grande & # 160 triángulo = 15 9 & # 215 Lado & # 160 de & # 160 más pequeño & # 160 triángulo & # 8658 Lado & # 160 de & # 160 más grande & # 160 triángulo = 15 9 & # 215 12 = 20

Por lo tanto, el lado correspondiente del triángulo más grande es 20.

Página No 25:

Pregunta 6:

∆ABC y ∆DEF son triángulos equiláteros. Si A (∆ABC): A (∆DEF) = 1: 2 y AB = 4, encuentre DE.

Respuesta:

Página No 25:

Pregunta 7:

En la figura 1.66 dada, seg PQ || seg DE, A (∆PQF) = 20 unidades, PF = 2 DP, luego Encuentre A (◻DPQE) completando la siguiente actividad.

Respuesta:

Dado:
seg PQ || seg DE
A (∆PQF) = 20 unidades
PF = 2 DP
Supongamos DP = X
y allí 4 PF = 2X
DF = DP + FP = x + 2 x = 3 x
En △ FDE y △ FPQ
& angFDE = & angFPQ (ángulos correspondientes)
& angFED = & angFQP (ángulos correspondientes)
Por prueba AA de similitud
△ FDE y sim △ FPQ
& # 8756 A & # 9651 FDE A & # 9651 FPQ = FD 2 FP 2 = 3 x 2 2 x 2 = 9 4 A & # 9651 FDE = 9 4 A & # 9651 FPQ = 9 4 & # 215 20 = 45
& # 8756 A & # 9633 DPQE = A & # 9651 FDE - A & # 9651 FPQ = 45 - 20 = 25

Página No 26:

Pregunta 1:

Seleccione la alternativa adecuada.
(1) En ∆ABC y ∆PQR, en una correspondencia uno a uno AB QR = BC PR = CA PQ entonces

(2) Si en ∆DEF y ∆PQR, & angD & cong & angQ, & angR & cong & angE, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

(A) EF PR = DF PQ (B) DE PQ = EF RP

(C) DE QR = DF PQ (D) EF RP = DE QR

(3) En ∆ABC y ∆DEF & angB = & angE, & angF = & angC y AB = 3DE, ¿cuál de las afirmaciones sobre los dos triángulos es verdadera?
(A) Los triángulos no son congruentes ni similares
(B) Los triángulos son similares pero no congruentes.
(C) Los triángulos son congruentes y similares.
(D) Ninguna de las afirmaciones anteriores es cierta.


(4) ∆ABC y ∆DEF son triángulos equiláteros, A (∆ABC): A (∆DEF) = 1: 2
Si AB = 4, ¿cuál es la longitud de DE?
(A) 2 2
(B) 4
(C) 8
(D) 4 2

(5) En la figura dada, seg XY || seg BC, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

(A) AB AC = AX AY (B) AX XB = AY AC

(C) AX YC = AY XB (D) AB YC = AC XB

Respuesta:

(1)
Dado: AB QR = BC PR = CA PQ
Por prueba SSS de similitud
∆PQR

∆CAB
Por tanto, la opción correcta es (B).

(2)
En ∆DEF y ∆PQR
& angD & cong & angQ
& angR & cong & angE
Por prueba AA de similitud
∆DEF

∆PQR
& # 8756 DE PQ = EF QR = DF PR & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 Correspondientes & # 160 lados & # 160 de & # 160 similares & # 160 triángulos & # 160 son & # 160 proporcionales
& # 8756 DE PQ & # 8800 EF RP
Por tanto, la opción correcta es (B).

(3)
En ∆ABC y ∆DEF
& angB = & angE,
& angF = & angC
Por prueba AA de similitud
∆ABC

∆DEF
Dado que no existe ningún criterio de congruencia como AA.
Por tanto, ∆ABC y ∆DEF no son congruentes.
Por tanto, la opción correcta es (B).

(4)
Dado: ∆ABC y ∆DEF son triángulos equiláteros
Construcción: Dibuja un perependicular desde el vértice A y D en AC y DF en ambos triángulos.

En ∆ABX y ∆DEY
& angB = & angC = 60 ∘ (∆ABC y ∆DEF son triángulos equiláteros)
& angAXB = & angDYB (Por construcción)
Por prueba AA de similitud
∆ABX

A & # 9651 ABC A & # 9651 DEF = 1 2 & # 8658 1 2 & # 215 AB & # 215 AX 1 2 & # 215 DE & # 215 DY = 1 2 & # 8658 AB 2 DE 2 = 1 2 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 8757 AB DE = AX DY & # 160 & # 8658 DE 2 = 32 & # 8658 DE = 4 2
Por tanto, la opción correcta es (D).

(5)
Dado: seg XY || seg BC
Por el teorema de proporcionalidad básica
AX BX = AY YC & # 8658 BX AX + 1 = YC AY + 1 & # 8658 BX + AX ​​AX = YC + AY AY
& # 8658 AB AX = AC AY & # 8658 AB AC = AX AY
Por tanto, la opción correcta es (D).

Página No 27:

Pregunta 2:

En ∆ABC, B & ndash D & ndash C y BD = 7, BC = 20 luego Encuentre las siguientes proporciones.


Cuando dos formas son similares, entonces:

Esto puede hacer la vida mucho más fácil al resolver acertijos de geometría, como en este ejemplo:

Ejemplo: ¿Cuál es la longitud que falta aquí?

Observe que el triángulo rojo tiene la mismos ángulos como el triángulo azul.

. ambos tienen uno ángulo rectoy un ángulo compartido en la esquina izquierda

De hecho, podemos darle la vuelta al triángulo rojo, rotarlo un poco, cambiar su tamaño y encajará exactamente en la parte superior del triángulo azul. Entonces ellos son triángulos similares.

Entonces, las longitudes de las líneas están en proporción:

  • El triángulo azul tiene dos lados con la relación 130/127
  • El triangulo rojo tiene pareo lados en la proporción? / 80

? = 80 y veces 130127 = 81.9

(Sin cálculos sofisticados, solo sentido común).


El triángulo QRS es similar al triángulo TUV. Escribe la ecuación, en forma pendiente-intersección, del lado del triángulo QRS que es paralelo al segmento UV. Debe mostrar todo el trabajo para recibir crédito. Se muestran los triángulos QRS y TUV. Q está en negativo 2, 1. R está en negativo 2, 7. S está en negativo 8, 1. T está en 4, 2. U está en 4, 5. V está en 1, 2.

En primer lugar, elija dos puntos en la línea para los que desea encontrar la ecuación.

Luego, encuentra la pendiente "m" usando los dos puntos.

Usando cualquiera de los dos puntos, encuentra la intersección con el eje y "b" colocando la pendiente "m" y el punto en la ecuación

La ecuación de línea requerida es:

Al observar los triángulos TUB y QRS, podemos ver que la línea que es paralela a UV es RS, por lo que necesitamos encontrar la pendiente de esa línea.

Parece que y aumenta 1 vez por cada vez que x aumenta en 1.

Ahora, también sabemos que si continuamos con este triángulo, el lado cerca de R se extendería hasta (-1, 8) y (0, 9).

Esto significa que la intersección con el eje y es 9.

Formar la ecuación en forma de pendiente intersección nos lleva .


Perspectiva de dos puntos.

Sea el punto de vista ep = [16.0, -15.0,2.0] y el punto central cp = [6.0,5.0,2.0]. Esta vez dp = [- 10,20,0] de modo que la única rotación es sobre el eje z. El eje z es paralelo al plano y = 1. La proyección perpendicular es ahora una elevación de esquina y la vista en perspectiva tiene dos puntos de fuga correspondientes a las direcciones de los ejes xey. Se indica el punto central.

Proyección de perspectiva ortogonal y de dos puntos generada por MAPLE.

Otro par de vistas se obtiene tomando el punto de vista ep = [- 6.0,5.0,9.0] y el punto central cp = [6.0,5.0,2.0]. Esta vez, las líneas horizontales son paralelas al plano de dibujo, pero las líneas verticales y en retroceso no lo son. Por lo tanto, los puntos de fuga corresponden a las direcciones vertical y de retroceso.

Otro MAPLE generó una proyección en perspectiva ortogonal y de dos puntos.


Cómo saber si los triángulos son similares

Pero no necesitamos conocer los tres lados y los tres ángulos. dos o tres de los seis suele ser suficiente.

Hay tres formas de averiguar si dos triángulos son similares: Automóvil club británico, SAS y SSS:

Automóvil club británico significa "ángulo, ángulo" y significa que los triángulos tienen dos de sus ángulos iguales.

Si dos triángulos tienen dos de sus ángulos iguales, los triángulos son similares.

Ejemplo: estos dos triángulos son similares:

Si dos de sus ángulos son iguales, entonces el tercer ángulo también debe ser igual, porque los ángulos de un triángulo siempre se suman para formar 180 °.

En este caso, el ángulo faltante es 180 grados y menos (72 grados + 35 grados) = 73 grados

Entonces AA también podría llamarse AAA (porque cuando dos ángulos son iguales, los tres ángulos deben ser iguales).

SAS significa & quotside, angle, side & quot y significa que tenemos dos triángulos donde:

  • la relación entre dos lados es la misma que la relación entre otros dos lados
  • y también sabemos que los ángulos incluidos son iguales.

Si dos triángulos tienen dos pares de lados en la misma proporción y los ángulos incluidos también son iguales, entonces los triángulos son similares.

Ejemplo:

En este ejemplo podemos ver que:

  • un par de lados tiene una relación de 21:14 = 3 : 2
  • otro par de lados está en la proporción de 15:10 = 3 : 2
  • hay un ángulo coincidente de 75 ° entre ellos

Así que hay suficiente información para decirnos que el dos triángulos son similares.

Usando trigonometría

También podríamos usar Trigonometría para calcular los otros dos lados usando la Ley de los cosenos:

Continuación del ejemplo

  • a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A
  • a 2 = 21 2 + 15 2 - 2 y tiempos 21 y tiempos 15 y tiempos Cos75 y grados
  • a 2 = 441 + 225 - 630 y multiplicado por 0,2588.
  • a 2 = 666 - 163,055.
  • a 2 = 502,944.
  • Entonces a = & radic502.94 = 22.426.
  • x 2 = y 2 + z 2 - 2yz cos X
  • x 2 = 14 2 + 10 2 - 2 y multiplicado por 14 y multiplicado por 10 y multiplicado por Cos75 y grado
  • x 2 = 196 + 100 - 280 y multiplicado por 0,2588.
  • x 2 = 296 - 72,469.
  • x 2 = 223,530.
  • Entonces x = & radic223.530. = 14.950.

Ahora comprobemos la relación de esos dos lados:

a: x = 22,426. : 14,950. = 3 : 2

Nota: también podemos usar la Ley de los senos para demostrar que los otros dos ángulos son iguales.

SSS significa & quotside, side, side & quot y significa que tenemos dos triángulos con los tres pares de lados correspondientes en la misma proporción.

If two triangles have three pairs of sides in the same ratio, then the triangles are similar.

Ejemplo:

In this example, the ratios of sides are:

These ratios are all equal, so the two triangles are similar.

Using Trigonometry

Using Trigonometry we can show that the two triangles have equal angles by using the Law of Cosines in each triangle:

  • cos A = (b 2 + c 2 - a 2 )/2bc
  • cos A = (8 2 + 4 2 - 6 2 )/(2× 8 × 4)
  • cos A = (64 + 16 - 36)/64
  • cos A = 44/64
  • cos A = 0.6875
  • So Angle A = 46.6°
  • cos X = (y 2 + z 2 - x 2 )/2yz
  • cos X = (10 2 + 5 2 - 7.5 2 )/(2× 10 × 5)
  • cos X = (100 + 25 - 56.25)/100
  • cos X = 68.75/100
  • cos X = 0.6875
  • So Angle X = 46.6°

So angles A and X are equal!

Similarly we can show that angles B and Y are equal, and angles C and Z are equal.


There are many formulas that can be used to form a set of Pythagorean triples. One such formula involves the use of two positive integers, m and n, where m > n, such that:

a = m 2 - n 2 , b = 2mn, and c = m 2 + n 2 .

For example, if m = 4 and n = 3 then,

a = 4 2 - 3 2 = 16 - 9 = 7
b = 2 × 4 × 3 = 24
c = 4 2 + 3 2 = 16 + 9 = 25

Using the equation a 2 + b 2 = c 2 ,

7 2 +24 2 = 49 + 576 = 625 = 25 2

satisfying the equation a 2 + b 2 = c, and confirming that 7, 24, 25 is a Pythagorean triple.


Revisar

Classify each triangle according to its angles.

  1. Figura ( PageIndex <13> )
  2. Figura ( PageIndex <14> )
  3. Figura ( PageIndex <15> )
  4. Figura ( PageIndex <16> )
  5. Figure (PageIndex<17>)

Classify the following triangles by looking at the sum of the angle measures.