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4.2: Medios aritméticos y geométricos - Matemáticas


La siguiente prueba pictórica comienza con dos números no negativos, por ejemplo, 3 y 4 y compara los siguientes dos promedios:

[ text {media aritmética} ≡ frac {3 + 4} {2} = 3/5; etiqueta {4.10} ]

[ text {media geométrica} ≡ sqrt {3 times 4} ≈ 3.464. label {4.11} ]

Pruebe con otro par de números, por ejemplo, 1 y 2. La media aritmética es 1,5; la media geométrica es ( sqrt {2} ≈ 1.414 ). Para ambos pares, la media geométrica es menor que la media aritmética. Este patrón es general; es la famosa desigualdad media aritmética-media geométrica (AM-GM) [18]:

[ begin {alineado}
& underbrace { frac {a + b} {2}} _ { text {AM}} geqslant underbrace { sqrt {a b}} _ { text {GM}}
& text {desigualdad requiere que} a, b geqslant 0.
end {alineado} etiqueta {4.12} ]

Problema 4.5 Más ejemplos numéricos

Pruebe la desigualdad AM-GM utilizando ejemplos numéricos variados. ¿Qué notas cuando ayb están cerca uno del otro? ¿Puedes formalizar el patrón? (Véase también el problema 4.16.)

Prueba simbólica

La desigualdad AM-GM tiene una prueba pictórica y simbólica. La prueba simbólica comienza con ((a − b) ^ {2} ) una elección sorprendente porque la desigualdad contiene (a + b ) en lugar de (a - b ). La segunda opción impar es formar ((a - b) ^ {2} ). No es negativo, entonces (a ^ {2} - 2ab + b ^ {2} geqslant 0 ). Ahora decide mágicamente agregar (4ab ) a ambos lados. El resultado es

[ underbrace {a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}} _ {(a + b) ^ {2}} geqslant 4ab label {4.13} ]

El lado izquierdo es ((a + b) ^ {2} ), entonces (a + b geqslant 2 sqrt {ab} ) y

[ frac {a + b} {2} geqslant sqrt {ab} label {4.14} ]

Aunque cada paso es simple, toda la cadena parece mágica y deja el por qué misterioso. Si el álgebra hubiera terminado con ((a + b) / 4 geqslant ab ), no se vería obviamente mal. Por el contrario, una prueba convincente nos dejaría con la sensación de que la desigualdad no puede evitar ser cierta.

Prueba pictórica

Esta satisfacción la proporciona una prueba pictórica.

Pregunta

¿Qué tiene de pictórico o geométrico la media geométrica?

Una imagen geométrica de la media geométrica comienza con un triángulo rectángulo. Colóquelo con su hipotenusa horizontal; luego córtelo con la altitud (x ) en los subtriángulos claro y oscuro. La hipotenusa se divide en dos longitudes (a ) y (b ), y la altitud (x ) es su media geométrica ( sqrt {ab} ).

Pregunta

¿Por qué la altitud (x ) es igual a ( sqrt {ab} )?

Para mostrar que (x = sqrt {ab} ), compare el triángulo pequeño y oscuro con el triángulo grande y claro girando el triángulo pequeño y colocándolo sobre el triángulo grande. ¡Los dos triángulos son similares! Por lo tanto, sus relaciones de aspecto (la relación entre el lado corto y el largo) son idénticas. En símbolos, (x / a = b / x ): La altitud x es, por tanto, la media geométrica ( sqrt {ab} ). El triángulo rectángulo sin cortar representa la parte de la media geométrica de la desigualdad AM-GM. La media aritmética ((a + b) / 2 ) también tiene una imagen, como la mitad de la hipotenusa. Por tanto, la desigualdad afirma que

[ frac { text {hipotenusa}} {2} geqslant text {altitud} label {4.15} ]

Por desgracia, esta afirmación no es pictóricamente obvia.

Pregunta

¿Puede encontrar una interpretación geométrica alternativa de la media aritmética que haga que la desigualdad AM-GM sea pictóricamente obvia?

La media aritmética también es el radio de un círculo con diámetro (a + b ). Por tanto, circunscribe un semicírculo alrededor del triángulo, haciendo coincidir el diámetro del círculo con la hipotenusa (a + b ) (problema 4.7.). La altitud no puede exceder el radio; por lo tanto,

[ frac {a + b} {2} geqslant sqrt {ab} label {4.16} ]

Además, los dos lados son iguales solo cuando la altitud del triángulo es también un radio del semicírculo, es decir, cuando (a = b ). Por tanto, la imagen contiene la desigualdad y su condición de igualdad en un objeto fácil de comprender. (En el problema 4.33 se desarrolla una prueba gráfica alternativa de la desigualdad AM-GM).

Múltiples problemas

Problema 4.6 Circunscribir un círculo alrededor de un triángulo

Aquí hay algunos ejemplos que muestran un círculo circunscrito alrededor de un triángulo.

Haz un dibujo para mostrar que el círculo está determinado únicamente por el triángulo.

Problema 4.7 Encontrar el semicírculo correcto

Un triángulo determina de forma única su círculo circunscrito (problema 4.6). Sin embargo, es posible que el diámetro del círculo no se alinee con un lado del triángulo. ¿Puede un semicírculo estar siempre circunscrito alrededor de un triángulo rectángulo mientras se alinea el diámetro del círculo a lo largo de la hipotenusa?

Problema 4.8 Media geométrica de tres números

Para tres números no negativos, la desigualdad AM-GM es

[ frac {a + b + c} {3} geqslant (abc) ^ {1/3}. etiqueta {4.17} ]

¿Por qué es poco probable que esta desigualdad, en contraste con su prima de dos números, tenga una prueba geométrica? (Si encuentra una prueba, hágamelo saber).

Aplicaciones

Los medios aritméticos y geométricos tienen una amplia aplicación matemática. La primera aplicación es un problema que se resuelve más a menudo con derivados: Doblar una longitud fija de cerca en un rectángulo que encierra el jardín más grande.

Pregunta

¿Qué forma de rectángulo maximiza el área?

El problema involucra dos cantidades: un perímetro fijo y un área a maximizar. Si el perímetro está relacionado con la media aritmética y el área con la media geométrica, entonces la desigualdad AM-GM podría ayudar a maximizar el área. El perímetro (P = 2 (a + b) ) es cuatro veces la media aritmética y el área (A = ab ) es el cuadrado de la media geométrica. Por lo tanto, a partir de la desigualdad AM-GM,

[ underbrace { frac {P} {4}} _ { text {AM}} geqslant underbrace { sqrt {A}} _ { text {GM}} label {4.18} ]

con igualdad cuando (a = b ). El lado izquierdo está fijado por la cantidad de valla. Así, el lado derecho, que varía dependiendo de (a ) y (b ), tiene un máximo de (P / 4 ) cuando (a = b ). El rectángulo de área máxima es un cuadrado.

Múltiples problemas

Problema 4.9 Prueba pictórica directa

El razonamiento AM-GM para el jardín rectangular máximo es un razonamiento pictórico indirecto. Es un razonamiento simbólico construido sobre la prueba pictórica de la desigualdad AM-GM. ¿Puedes hacer un dibujo para mostrar directamente que el cuadrado tiene la forma óptima?

Problema 4.10 Producto de tres partes

Encuentra el valor máximo de (f (x) = x ^ {2} (1 - 2x) ) para (x geqslant 0 ), sin usar cálculo. Dibuja (f (x) ) para confirmar tu respuesta.

Problema 4.11 Área máxima no restringida

Si el jardín no necesita ser rectangular, ¿cuál es la forma del área máxima?

Problema 4.12 Maximización del volumen

Construya una caja con la parte superior abierta de la siguiente manera: comience con un cuadrado unitario, corte cuatro esquinas idénticas y doble las solapas.

La caja tiene volumen (V = x (1 - 2x) ^ {2} ), donde x es la longitud del lado de un recorte de esquina. ¿Qué elección de x maximiza el volumen de la caja?

Aquí hay un análisis plausible basado en el análisis del jardín rectangular. Establezca (a = x ), (b = 1 - 2x ) y (c = 1 - 2x ). Entonces abc es el volumen V y (V ^ {1/3} = ^ {3} sqrt {abc} ) es la media geométrica (problema 4.8). Debido a que la media geométrica nunca excede la media aritmética y debido a que las dos medias son iguales cuando (a = b = c ), el volumen máximo se alcanza cuando (x = 1 - 2x ). Por lo tanto, elegir (x = 1/3 ) debería maximizar el volumen de la caja.

Ahora demuestre que esta elección es incorrecta graficando (V (x) ) o estableciendo (dV / dx = 0 ); explique qué está mal con el razonamiento anterior; y hacer una versión correcta.

Problema 4.13 Mínimo trigonométrico

Encuentre el valor mínimo de

[ frac {9x ^ {2} sin ^ {2} x + 4} {x sin x} label {4.19} ]

en la región x ( in ) (0, ( pi )).

Problema 4.14 Máximo trigonométrico

En la región t ( in ) [0, ( pi / 2 )], maximice ( sin 2 t ) o, equivalentemente, 2 ( sin t cos t ).

La segunda aplicación de los medios aritméticos y geométricos es un método moderno y sorprendentemente rápido para calcular ( pi ) [5, 6]. Los métodos antiguos para calcular π incluían calcular el perímetro de polígonos regulares de muchos lados y proporcionar algunos lugares decimales de precisión.

Los cálculos recientes han utilizado la serie de arcangentes de Leibniz

Imagina que quieres calcular π en (10 ​​^ {9} ) dígitos, tal vez para probar el hardware de una nueva supercomputadora o para estudiar si los dígitos de π son aleatorios (un tema en la novela de Carl Sagan Contacto [40]). Establecer (x = 1 ) en la serie de Leibniz produce ( pi / 4 ), pero la serie converge extremadamente lentamente. Obtener (10 ​​^ {9} ) dígitos requiere aproximadamente (10 ​​^ {10 ^ {9}} ) términos, muchos más términos que átomos en el universo.

Afortunadamente, una sorprendente identidad trigonométrica debida a John Machin (1686-1751) acelera la convergencia al reducir (x ):

Incluso con la aceleración, (10 ​​^ {9} ) - la precisión de los dígitos requiere calcular aproximadamente (10 ​​^ {9} ) términos.

En contraste, el algoritmo moderno de Brent-Salamin [3, 41], que se basa en medias aritméticas y geométricas, converge a π extremadamente rápido. El algoritmo está estrechamente relacionado con métodos asombrosamente precisos para calcular el perímetro de una elipse (problema 4.15) y también para calcular la inductancia mutua [23]. El algoritmo genera varias secuencias comenzando con (a_ {0} ) = 1 y (g_ {0} ) = 1 / ( sqrt {2} ); luego calcula las medias aritméticas sucesivas (a_ {n} ), las medias geométricas (g_ {n} ) y sus diferencias al cuadrado (d_ {n} ).

[a_ {n + 1} = frac {a_ {n} + g_ {n}} {2}, quad g_ {n + 1} = sqrt {a_ {n} g_ {n}}, quad d_ {n} = a_ {n} ^ {2} -g_ {n} ^ {2} etiqueta {4.23} ]

Las secuencias ayg convergen rápidamente en un número M ( (a_ {0} ), (g_ {0} )) llamado media aritmética-geométrica de (a_ {0} ) y (g_ { 0} ). Entonces M ( (a_ {0} ), (g_ {0} )) y la secuencia de diferencias d determinan π.

[ pi = frac {4 M left (a_ {0}, g_ {0} right) ^ {2}} {1- sum_ {j = 1} ^ { infty} 2 ^ {j + 1} d_ {j}} label {4.24} ]

La secuencia d se aproxima a cero cuadráticamente; en otras palabras, (d_ {n + 1} ) ∼ (d ^ {2} _ {n} ) (Problema 4.16). Por lo tanto, cada iteración en este cálculo de π duplica los dígitos de precisión. Un cálculo de mil millones de dígitos de π requiere solo alrededor de 30 iteraciones, mucho menos que los 10109 términos usando la serie arcotangente con (x = 1 ) o incluso que los términos (10 ​​^ {9} ) usando la aceleración de Machin.

Múltiples problemas

Problema 4.15 Perímetro de una elipse

Para calcular el perímetro de una elipse con semieje mayor (a_ {0} ) y semieje menor (g_ {0} ), calcule las secuencias a, gyd y el límite común M ( (a_ {0 }, g_ {0}) ) de las secuencias ayg, como para el cálculo de ( pi ). Entonces, el perímetro P se puede calcular con la siguiente fórmula:

[P = frac {A} {M left (a_ {0}, g_ {0} right)} left (a_ {0} ^ {2} -B sum_ {j = 0} ^ { infty} 2 ^ {j} d_ {j} right) label {4.25} ]

donde A y B son constantes para que usted las determine. Utilice el método de casos fáciles (Capítulo 2) para determinar sus valores. (Consulte [3] para verificar sus valores y una prueba de la fórmula completa).

Problema 4.16 Convergencia cuadrática

Comience con (a_ {0} = 1 ) y (g_ {0} = 1 / sqrt {2} ) (o cualquier otro par positivo) y siga varias iteraciones de la secuencia AM-GM

[a_ {n + 1} = frac {a_ {n} + g_ {n}} {2} text {y} g_ {n + 1} = sqrt {a_ {n} g_ {n}}. label {4.26} ]

Luego genere (d_ {n} = a ^ {2} n - g ^ {2} n ) y (log_ {10} ) dn para verificar que (d_ {n + 1} ∼ d ^ {2 } _ {n} ) (convergencia cuadrática).

Problema 4.17 Rapidez de convergencia

Elija un (x_ {0} ) positivo; luego genera una secuencia por la iteración

[x_ {n + 1} = frac {1} {2} (x_ {n} + frac {2} {x_ {n}}) (n geqslant 0) etiqueta {4.27} ]

¿A qué y con qué rapidez converge la secuencia? ¿Y si (x_ {0} <0 )?


4.2: Medios aritméticos y geométricos - Matemáticas

Aquí no voy a probar la desigualdad conocida, sino simplemente enfatizar un hecho que fue utilizado por Cauchy en su demostración. Es decir, si la desigualdad se cumple para todos $ N = 2 ^ $ entonces es válido para todos $ N ge 1. $ Esto proporcionaría otro ejemplo de una proposición general implícita en su caso especial.

Por lo tanto, suponga que la desigualdad se cumple para todo $ N = 2 ^ $ y sea $ N = 2 ^ + m, $ donde lt m lt 2 ^ $ y $ n gt 0. $ Para $ i = N + 1, ldots, 2 ^, $ define las a "faltantes" como

$ Displaystyle a_ = frac + ldots + a_>.$

Dado que la desigualdad es válida para $ N = 2 ^, $ tenemos

Sustituyendo $ displaystyle a_ = frac + ldots + a_> $ por $ i = N + 1, ldots, 2 ^ $ da como resultado

Añadiendo términos similares a la izquierda obtenemos

lo que en realidad dice que la media aritmética no ha cambiado por la adición de los nuevos términos.

$ Displaystyle frac + ldots + a_> ge (a_ <1> cdot ldots cdot a_)^<1/2^> cdot left ( frac + ldots + a_> derecha) ^ <(2 ^-N) / 2 ^>.$

Dividiendo por el término más a la derecha y faltando un paso más

$ Displaystyle left ( frac + ldots + a_> derecha) ^> ge (a_ <1> cdot ldots cdot a_)^<1/2^>.$

Ahora eleva ambos lados a la potencia de $ displaystyle frac <2 ^> $ finalmente obtenemos

$ Displaystyle frac + ldots + a_> ge (a_ <1> cdot ldots cdot a_) ^ <1 / N>. $

Hay una manera de obtener una prueba completa de la desigualdad a partir del Teorema de Pitágoras.


Ejemplos de

La media geométrica se puede entender fácilmente con números simples, como en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1:¿Cuál es la media geométrica de $ 2, 3 $ y $ 4 $?

Como sabemos que $ 4 = 2 ^ <2> $, tenemos

$ G = sqrt [3] <2 ^ <3> cdot 3> = sqrt [3] <24> aproximadamente 2.88. $

Las aplicaciones del mundo real de la media geométrica incluyen su uso como medida de velocidad media de algunos cambios .

Ejemplo 2:Si algún lugar tenía $ 2000 $ residentes en $ 2000. $, $ 9000 $ residentes en $ 2005. $ y $ 18000 $ residentes en $ 2010. $, entonces el número de residentes primero aumentó en $ 4.5 $ veces, y luego $ 2 $ veces.

El cambio de población promedio no es $ frac <4.5 + 2> <2> = 3.25 $, sino $ sqrt [2] <4.5 cdot 2> = sqrt [2] <9> = 3 $. De hecho, $ 2000 cdot 3 cdot 3 = 18 000 $.

Ejemplo 3: Si las bacterias aumentan su población en $ 10 \% $ en la primera hora, $ 20 \% $ en la siguiente hora y $ 25 \% $ en la tercera hora, podemos calcular la tasa de crecimiento media. Comencemos con $ 100 $ bacterias.

Después de la primera hora tenemos $ 100 + 0.1 cdot 100 = 110 $ bacterias. Esto significa que, debido a que $ 110 = 100 cdot 1.1 $, la tasa de crecimiento es $ 1.1 $.

Después de la segunda hora tenemos $ 110 + 0.2 cdot 110 = 132 $ bacterias. Esto significa que, debido a que $ 132 = 110 cdot 1.2 $, la tasa de crecimiento es $ 1.2 $.

Después de la tercera hora tenemos $ 132 + 0.25 cdot 132 = 165 $ bacterias. Esto significa que, debido a que $ 165 = 132 cdot 1,25 $, la tasa de crecimiento es $ 1,25 $.

Ahora necesitamos encontrar la media geométrica:

Nuestro resultado se interpreta como la tasa media de crecimiento de las bacterias durante un período de $ 3 $ horas.

Siempre que tengamos un ejemplo o situación con crecimiento porcentual durante algún período de tiempo, debemos recordar que requiere el uso de media geométrica.

En economía, la media geométrica es el rendimiento promedio de una inversión durante un período de tiempo, que se utiliza para evaluar una cartera de inversiones.

Fórmula de media geométrica para inversiones es: $ left ( prod_^ (1 + R_) derecha) ^ < frac <1>> – 1,$

donde $ R_$ es la tasa de crecimiento para el año $ i $.

Ejemplo 4:Si un inversor tiene un rendimiento anual de $ 10 \%, 5 \%, -50 \%, 20 \% $ y $ 20 \% $, ¿cuál es su rendimiento promedio durante este período?

Al usar la fórmula de la media geométrica para las inversiones, obtenemos

Por lo tanto, el rendimiento anual es de $ -3.621 \% $.


Contenido

El significado aritmetico, o menos precisamente el promedio, de una lista de n números X1, X2, . . . , Xnorte es la suma de los números divididos por n:

El significado geometrico es similar, excepto que solo se define para una lista de no negativo números reales, y usa la multiplicación y una raíz en lugar de la suma y la división:

Si X1, X2, . . . , Xnorte & gt 0, esto es igual a la exponencial de la media aritmética de los logaritmos naturales de los números:

Reafirmando la desigualdad usando notación matemática, tenemos eso para cualquier lista de n números reales no negativos X1, X2, . . . , Xnorte ,

y que la igualdad es válida si y solo si X1 = X2 = · · · = Xnorte .

En dos dimensiones, 2X1 + 2X2 es el perímetro de un rectángulo con lados de longitud X1 y X2 . Del mismo modo, 4 √ X1X2 es el perímetro de un cuadrado con la misma área, X1X2 , como ese rectángulo. Por lo tanto, para norte = 2 la desigualdad AM-GM establece que un rectángulo de un área dada tiene el perímetro más pequeño si ese rectángulo también es un cuadrado.

La desigualdad total es una extensión de esta idea a n dimensiones. Cada vértice de una caja n-dimensional está conectado a n aristas. Si las longitudes de estos bordes son X1, X2, . . . , Xnorte , luego X1 + X2 + · · · + Xnorte es la longitud total de los bordes incidentes al vértice. Hay 2 norte vértices, así que multiplicamos esto por 2 norte como cada borde, sin embargo, se encuentra con dos vértices, cada borde se cuenta dos veces. Por lo tanto, dividimos por 2 y concluimos que hay 2 norte−1 norte bordes. Hay igualmente muchos bordes de cada longitud yn longitudes, por lo que hay 2 norte−1 aristas de cada longitud y el total de todas las longitudes de aristas es 2 norte−1 (X1 + X2 + · · · + Xnorte). Por otro lado,

es la longitud total de las aristas conectadas a un vértice en un cubo n-dimensional de igual volumen, ya que en este caso X1=. =Xnorte . Dado que la desigualdad dice

se puede reformular multiplicando por norte2 norte–1 para obtener

con igualdad si y solo si X1 = X2 = · · · = Xnorte .

Por lo tanto, la desigualdad AM-GM establece que solo el n-cubo tiene la suma más pequeña de longitudes de aristas conectadas a cada vértice entre todas las n-cajas dimensionales con el mismo volumen. [2]

para todos los números reales positivos x, y y z. Suponga que deseamos encontrar el valor mínimo de esta función. Puede reescribirse como:

Aplicar la desigualdad AM-GM para norte = 6, obtenemos

Además, sabemos que los dos lados son exactamente iguales cuando todos los términos de la media son iguales:

Todos los puntos (X, y, z) que satisfacen estas condiciones se encuentran en una media línea que comienza en el origen y están dadas por

Una aplicación práctica importante en matemáticas financieras es calcular la tasa de rendimiento: el rendimiento anualizado, calculado mediante la media geométrica, es menor que el rendimiento anual promedio, calculado por la media aritmética (o igual si todos los rendimientos son iguales). Esto es importante al analizar las inversiones, ya que el rendimiento promedio exagera el efecto acumulativo.

Prueba usando la desigualdad de Jensen Editar

La desigualdad de Jensen establece que el valor de una función cóncava de una media aritmética es mayor o igual que la media aritmética de los valores de la función. Dado que la función logaritmo es cóncava, tenemos

Tomando antilogaritmos de los lados izquierdo y derecho, tenemos la desigualdad AM-GM.

Prueba promediando la media aritmética Editar

con igualdad solo cuando todos los números son iguales. Si XIXj , luego reemplazando tanto xI y xj por (XI + Xj) / 2 dejará la media aritmética en el lado izquierdo sin cambios, pero aumentará la media geométrica en el lado derecho porque

Por tanto, el lado derecho será el más grande cuando todo xI s son iguales a la media aritmética

por lo tanto, como este es el valor más grande del lado derecho de la expresión, tenemos

Esta es una prueba válida para el caso. norte = 2, pero el procedimiento de tomar promedios por pares iterativamente puede fallar en producir n números iguales en el caso norte ≥ 3. Un ejemplo de este caso es X1 = X2X3 : Al promediar dos números diferentes se obtienen dos números iguales, pero el tercero sigue siendo diferente. Por lo tanto, nunca obtenemos una desigualdad que involucre la media geométrica de tres números iguales.

En el caso general, el proceso de promediado anterior tiende a números iguales, y así lo demuestra el AM-GM.

Pruebas de inducción Editar

Prueba por inducción # 1 Editar

De los números reales no negativos X1, . . . , Xnorte , la declaración AM-GM es equivalente a

con igualdad si y solo si α = XI para todos I ∈ <1, . . . , norte> .

Para la siguiente demostración, aplicamos inducción matemática y solo reglas aritméticas bien conocidas.

Base de inducción: Para norte = 1 la afirmación es verdadera con igualdad.

Hipótesis de inducción: Suponga que la declaración AM-GM se cumple para todas las opciones de n números reales no negativos.

Paso de inducción: Considerar norte + 1 números reales no negativos X1, . . . , Xnorte+1 ,. Su media aritmética α satisface

Si todas las xI son iguales a α, entonces tenemos igualdad en la declaración AM-GM y hemos terminado. En el caso de que algunos no sean iguales a α, debe existir un número que sea mayor que la media aritmética α y otro menor que α. Sin pérdida de generalidad, podemos reordenar nuestra xI para colocar estos dos elementos particulares al final: Xnorte & gt α y Xnorte+1 & lt α . Luego

y considera los n números X1, . . . , Xnorte–1, y que no son negativos. Ya que

Entonces, α también es la media aritmética de n números X1, . . . , Xnorte–1, y y la hipótesis de inducción implica

en particular α & gt 0. Por lo tanto, si al menos uno de los números X1, . . . , Xnorte–1 es cero, entonces ya tenemos una desigualdad estricta en (**). De lo contrario, el lado derecho de (**) es positivo y la desigualdad estricta se obtiene utilizando la estimación (***) para obtener un límite inferior del lado derecho de (**). Por lo tanto, en ambos casos podemos sustituir (***) en (**) para obtener

que completa la prueba.

Prueba por inducción # 2 Editar

En primer lugar, demostraremos que para números reales X1 & lt 1 y X2 & gt 1 sigue

De hecho, multiplicar ambos lados de la desigualdad X2 & gt 1 por 1 - X1 , da

de donde se obtiene inmediatamente la desigualdad requerida.

Ahora, vamos a demostrar que para números reales positivos X1, . . . , Xnorte satisfactorio X1 . . . Xnorte = 1, hay

La igualdad se mantiene solo si X1 = . = Xnorte = 1 .

Base de inducción: Para norte = 2 la afirmación es verdadera debido a la propiedad anterior.

Hipótesis de inducción: Suponga que el enunciado es verdadero para todos los números naturales hasta norte – 1 .

Paso de inducción: Considere el número natural norte , es decir, para números reales positivos X1, . . . , Xnorte , se sostiene X1 . . . Xnorte = 1. Existe al menos uno Xk & lt 1, por lo que debe haber al menos una Xj & gt 1. Sin perder la generalidad, dejamos k =norte - 1 y j = norte .

Además, la igualdad X1 . . . Xnorte = 1 escribiremos en forma de (X1 . . . Xnorte–2) (Xnorte–1 Xnorte) = 1. Entonces, la hipótesis de inducción implica

Sin embargo, teniendo en cuenta la base de inducción, tenemos

que completa la prueba.

Para números reales positivos a1, . . . , anorte , denotemos

Los números X1, . . . , Xnorte satisfacer la condición X1 . . . Xnorte = 1. Entonces tenemos

con la igualdad sosteniendo solo para a1 = . = anorte .

Prueba de Cauchy mediante inducción hacia adelante-hacia atrás Editar

La siguiente demostración por casos se basa directamente en reglas aritméticas bien conocidas, pero emplea la técnica raramente utilizada de inducción hacia adelante-hacia atrás. Es esencialmente de Augustin Louis Cauchy y se puede encontrar en su Cours d'analyse. [3]

El caso donde todos los términos son iguales Editar

Si todos los términos son iguales:

entonces su suma es nx1 , por lo que su media aritmética es X1 y su producto es X1 norte , entonces su media geométrica es X1 por lo tanto, la media aritmética y la media geométrica son iguales, según se desee.

El caso en el que no todos los términos son iguales Editar

Queda por demostrar que si no todos los términos son iguales, entonces la media aritmética es mayor que la media geométrica. Claramente, esto solo es posible cuando norte & gt 1.

Este caso es significativamente más complejo y lo dividimos en subcampos.

El subcase donde norte = 2 Editar

Si norte = 2, entonces tenemos dos términos, X1 y X2 , y dado que (según nuestra suposición) no todos los términos son iguales, tenemos:

El subcase donde norte = 2 k Editar

Considere el caso donde norte = 2 k , donde k es un número entero positivo. Procedemos por inducción matemática.

En el caso base, k = 1, entonces norte = 2. Ya hemos demostrado que la desigualdad se mantiene cuando norte = 2, así que hemos terminado.

Ahora, suponga que para un k & gt 1, ya hemos demostrado que la desigualdad es válida para norte = 2 k−1, y deseamos mostrar que se cumple para norte = 2 k . Para hacerlo, aplicamos la desigualdad dos veces para 2 k-1 números y una vez por 2 números para obtener:

donde en la primera desigualdad, los dos lados son iguales solo si

(en cuyo caso la primera media aritmética y la primera media geométrica son ambas iguales a X1 , y de manera similar con la segunda media aritmética y la segunda media geométrica) y en la segunda desigualdad, los dos lados solo son iguales si las dos medias geométricas son iguales. Dado que no los 2 k los números son iguales, no es posible que ambas desigualdades sean iguales, por lo que sabemos que:

El subcase donde norte & lt 2 k Editar

Si n no es una potencia natural de 2, entonces ciertamente es menos que alguna potencia natural de 2, ya que la secuencia 2, 4, 8,. . . , 2 k ,. . . es ilimitado arriba. Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, sea m una potencia natural de 2 que sea mayor que n.

Entonces, si tenemos n términos, denotemos su media aritmética por α, y expandamos nuestra lista de términos así:

Prueba por inducción utilizando cálculo básico Editar

La siguiente demostración usa inducción matemática y algún cálculo diferencial básico.

Base de inducción: Para norte = 1 la afirmación es verdadera con igualdad.

Hipótesis de inducción: Suponga que la declaración AM – GM se cumple para todas las opciones de n números reales no negativos.

Paso de inducción: Para probar la declaración de norte + 1 números reales no negativos X1, . . . , Xnorte, Xnorte+1 , tenemos que demostrar que

con igualdad solo si todos los norte + 1 números son iguales.

Si todos los números son cero, la desigualdad se mantiene con igualdad. Si algunos números, pero no todos, son cero, tenemos una desigualdad estricta. Por lo tanto, podemos suponer a continuación, que todos norte + 1 números son positivos.

Consideramos el último número Xnorte+1 como variable y definir la función

Probar el paso de inducción equivale a demostrar que F(t) ≥ 0 para todos t & gt 0, con F(t) = 0 solo si X1, . . . , Xnorte yt son todos iguales. Esto se puede hacer analizando los puntos críticos de f usando algún cálculo básico.

La primera derivada de f está dada por

Un punto crítico t0 tiene que satisfacer F'(t0) = 0, lo que significa

Después de una pequeña reordenación obtenemos

que es la media geométrica de X1, . . . , Xnorte . Este es el único punto crítico de f. Ya que F''(t) & gt 0 para todos t & gt 0, la función f es estrictamente convexa y tiene un mínimo global estricto en t0 . A continuación, calculamos el valor de la función en este mínimo global:

donde la desigualdad final se cumple debido a la hipótesis de inducción. La hipótesis también dice que podemos tener igualdad solo cuando X1, . . . , Xnorte son todos iguales. En este caso, su media geométrica t0 tiene el mismo valor, Por lo tanto, a menos que X1, . . . , Xnorte, Xnorte+1 somos todos iguales, tenemos F(Xnorte+1) & gt 0. Esto completa la prueba.

Esta técnica se puede utilizar de la misma manera para probar la desigualdad AM-GM generalizada y la desigualdad de Cauchy-Schwarz en el espacio euclidiano. R norte .

Prueba de Pólya mediante la función exponencial Editar

George Pólya proporcionó una prueba similar a la que sigue. Dejar F(X) = e X–1 – X para todo x real, con primera derivada F'(X) = e X–1 - 1 y segunda derivada F''(X) = e X–1. Observa eso F(1) = 0 , F'(1) = 0 y F''(X) & gt 0 para todo x real, por lo tanto, f es estrictamente convexa con el mínimo absoluto en X = 1. Por eso X ≤ e X–1 para todo x real con igualdad solo para X = 1 .

Considere una lista de números reales no negativos X1, X2, . . . , Xnorte . Si todos son cero, entonces la desigualdad AM-GM se mantiene con igualdad. Por lo tanto, podemos suponer a continuación para su media aritmética α & gt 0. Aplicando n veces la desigualdad anterior, obtenemos que

con igualdad si y solo si XI = α para cada I ∈ <1, . . . , norte>. El argumento de la función exponencial se puede simplificar:

que produce X1 X2 · · · Xnorteα n , de ahí el resultado [4]

Prueba por multiplicadores lagrangianos Editar

Desigualdad ponderada AM-GM Editar

Existe una desigualdad similar para la media aritmética ponderada y la media geométrica ponderada. Específicamente, deje que los números no negativos X1, X2, . . . , Xnorte y los pesos no negativos w1, w2, . . . , wnorte ser dado. Colocar w = w1 + w2 + · · · + wnorte . Si w & gt 0, luego la desigualdad

se mantiene con igualdad si y solo si todas las xk con wk & gt 0 son iguales. Aquí se utiliza la convención 0 0 = 1.

Me caigo wk = 1, esto se reduce a la desigualdad anterior de medias geométricas y aritméticas.

Prueba usando la desigualdad de Jensen Editar

Usando la forma finita de la desigualdad de Jensen para el logaritmo natural, podemos probar la desigualdad entre la media aritmética ponderada y la media geométrica ponderada indicada anteriormente.

Dado que una xk con peso wk = 0 no tiene influencia en la desigualdad, podemos suponer a continuación que todas las ponderaciones son positivas. Si todo xk son iguales, entonces la igualdad se mantiene. Por lo tanto, queda por demostrar la desigualdad estricta si no todos son iguales, lo que también asumiremos a continuación. Si al menos una xk es cero (pero no todo), entonces la media geométrica ponderada es cero, mientras que la media aritmética ponderada es positiva, por lo que se mantiene la desigualdad estricta. Por lo tanto, podemos suponer también que todo xk son positivas.

Dado que el logaritmo natural es estrictamente cóncavo, la forma finita de la desigualdad de Jensen y las ecuaciones funcionales del logaritmo natural implican


Contenido

Para encontrar la media aritmética-geométrica de a0 = 24 y gramo0 = 6, iterar de la siguiente manera:

Las primeras cinco iteraciones dan los siguientes valores:

norte anorte gramonorte
0 24 6
1 1 5 1 2
2 13 .5 13 .416 407 864 998 738 178 455 042.
3 13.458 203 932 499 369 089 227 521. 13.458 139 030 990 984 877 207 090.
4 13.458 171 481 7 45 176 983 217 305. 13.458 171 481 7 06 053 858 316 334.
5 13.458 171 481 725 615 420 766 8 20. 13.458 171 481 725 615 420 766 8 06.

El número de dígitos en los que anorte y gramonorte de acuerdo (subrayado) aproximadamente se duplica con cada iteración. La media aritmético-geométrica de 24 y 6 es el límite común de estas dos secuencias, que es aproximadamente 13.458 171 481 725 615 420 766 813 156 974 399 243 053 838 8544. [1]

El primer algoritmo basado en este par de secuencias apareció en las obras de Lagrange. Sus propiedades fueron analizadas más a fondo por Gauss. [2]

La media geométrica de dos números positivos nunca es mayor que la media aritmética (ver desigualdad de medias aritméticas y geométricas). Como consecuencia, para norte & gt 0, (gramonorte) es una secuencia creciente, (anorte) es una secuencia decreciente, y gramonorteMETRO(X, y) ≤ anorte . Estas son desigualdades estrictas si Xy .

METRO(X, y) es, pues, un número entre la media geométrica y aritmética de X y y también está entre X y y .

Si r ≥ 0, entonces METRO(rx,ry) = r M(X,y) .

Hay una expresión de forma integral para METRO(X,y) :

De hecho, dado que el proceso aritmético-geométrico converge tan rápidamente, proporciona una forma eficiente de calcular integrales elípticas a través de esta fórmula. En ingeniería, se utiliza, por ejemplo, en el diseño de filtros elípticos. [3]

La media aritmética-geométrica está conectada a la función theta de Jacobi θ 3 < displaystyle theta _ <3>> por [4]

El recíproco de la media aritmético-geométrica de 1 y la raíz cuadrada de 2 se llama constante de Gauss, en honor a Carl Friedrich Gauss.

La media geométrica-armónica se puede calcular mediante un método análogo, utilizando secuencias de medias geométricas y armónicas. Uno encuentra que GH (x, y) = 1 / M (1 /X, 1/y) = xy/METRO(x, y). [7] La ​​media aritmética-armónica se puede definir de manera similar, pero toma el mismo valor que la media geométrica (ver sección "Cálculo" allí).

es decir, la secuencia gramonorte no es decreciente.

Además, es fácil ver que también está delimitado por el mayor de X y y (que se deriva del hecho de que tanto la media aritmética como la geométrica de dos números se encuentran entre ellos). Por lo tanto, según el teorema de la convergencia monótona, la secuencia es convergente, por lo que existe una gramo tal que:

Sin embargo, también podemos ver que:

Esta prueba la da Gauss. [2] Deja

Cambiar la variable de integración a θ ′ < displaystyle theta '>, donde

La última igualdad proviene de observar que I (z, z) = π / (2 z) < displaystyle I (z, z) = pi / (2z)>.

Finalmente, obtenemos el resultado deseado

El número π

Por ejemplo, según la fórmula de Gauss-Salamin: [10]

que se puede calcular sin pérdida de precisión utilizando

Integral elíptica completa K(pecadoα)

Es decir que este trimestre se puede computar de manera eficiente a través de la AGM,

Otras aplicaciones

Usando esta propiedad del AGM junto con las transformaciones ascendentes de John Landen, [11] Richard P. Brent [12] sugirió los primeros algoritmos AGM para la evaluación rápida de funciones trascendentales elementales (mi X , porque X, pecado X). Posteriormente, muchos autores pasaron a estudiar el uso de los algoritmos AGM. [13]


4.2: Medios aritméticos y geométricos - Matemáticas

La media aritmético-geométrica (AGM) de dos números y se define comenzando con y, luego iterando

hasta . y convergen el uno hacia el otro desde

El AGM es muy útil para calcular los valores de integrales elípticas completas y también se puede utilizar para encontrar la tangente inversa. El valor especial se llama constante de Gauss.

La AGM tiene las propiedades

La forma de Legendre viene dada por

Soluciones a la ecuación diferencial

que se relaciona con las soluciones de la ecuación diferencial

Cuando o, hay una transformación modular para las soluciones de (15) que están acotadas como. Dejando ser una de estas soluciones, la transformación toma la forma

El caso da la media aritmética-geométrica, y da un relativo cúbico discutido por Borwein y Borwein (1990, 1991) y Borwein (1996) en el cual, para y definido por

Para iteración con y y

Las transformaciones modulares se conocen cuando y, pero no dan identidades para (Borwein 1996).

Abramowitz, M. y Stegun, C. A. (Eds.). `` El proceso de la media aritmética-geométrica ''. & # 16717.6 en Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas, novena impresión. Nueva York: Dover, págs. 571 ad 598-599, 1972.

Borwein, J. M. Problema 10281. `` Un pariente cúbico de la AGM ''. Amer. Matemáticas. Mensual 103, 181-183, 1996.

Borwein, J. M. y Borwein, P. B. `` A Remarkable Cubic Iteration ''. En Método computacional y teoría de funciones amp: Proc. Conferencia celebrada en Valparaíso, Chile, del 13 al 18 de marzo de 1989 (Ed. A. Dold, B. Eckmann, F. Takens, E. B Saff, S. Ruscheweyh, L. C. Salinas, L. C. y R. S. Varga). New York: Springer-Verlag, 1990.

Borwein, J. M. and Borwein, P. B. ``A Cubic Counterpart of Jacobi's Identity and the AGM.'' Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 323 , 691-701, 1991.

Press, W. H. Flannery, B. P. Teukolsky, S. A. and Vetterling, W. T. Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 906-907, 1992.


There are several ways to prove the AM–GM inequality for example, it can be inferred from Jensen’s inequality, using the concave function ln( x ). It can also be proven using the rearrangement inequality. Considering length and required prerequisites, the elementary proof by induction given below is probably the best recommendation for first reading.

Idea of the first two proofs

with equality only when all numbers are equal. Si XIXj , then replacing both xI and xj by (XI + Xj)/2 will leave the arithmetic mean on the left-hand side unchanged, but will increase the geometric mean on the right-hand side because

Thus right-hand side will be largest — so the idea — when all xI s are equal to the arithmetic mean

thus as this is then the largest value of right-hand side of the expression, we have

This is a valid proof for the case norte = 2 , but the procedure of taking iteratively pairwise averages may fail to produce n equal numbers in the case norte ≥ 3 . An example of this case is X1 = X2X3 : Averaging two different numbers produces two equal numbers, but the third one is still different. Therefore, we never actually get an inequality involving the geometric mean of three equal numbers.

Hence, an additional trick or a modified argument is necessary to turn the above idea into a valid proof for the case norte ≥ 3 .

Proof by induction

of the non-negative real numbers X1, . . . , Xnorte , the AM–GM statement is equivalent to

with equality if and only if α = XI para todos I ∈ <1, . . . , norte >.

For the following proof we apply mathematical induction and only well-known rules of arithmetic.

Induction basis: Para norte = 1 the statement is true with equality.

Induction hypothesis: Suppose that the AM–GM statement holds for all choices of n non-negative real numbers.

Induction step: Considerar norte + 1 non-negative real numbers. Their arithmetic mean α satisfies

If all numbers are equal to α , then we have equality in the AM–GM statement and we are done. Otherwise we may find one number that is greater than α and one that is smaller than α , say Xnorte & gt α y Xnorte+1 < α . Luego

Now consider the n numbers X1, . . . , Xnorte–1, y con

which are also non-negative. Since

α is also the arithmetic mean of n numbers X1, . . . , Xnorte–1, y and the induction hypothesis implies

in particular α > 0 . Therefore, if at least one of the numbers X1, . . . , Xnorte–1 is zero, then we already have strict inequality in (**). Otherwise the right-hand side of (**) is positive and strict inequality is obtained by using the estimate (***) to get a lower bound of the right-hand side of (**). Thus, in both cases we get

which completes the proof.

Proof by Cauchy using forward–backward induction

The following proof by cases relies directly on well-known rules of arithmetic but employs the rarely used technique of forward-backward-induction. It is essentially from Augustin Louis Cauchy and can be found in his Cours d’analyse. [ 2 ]

The case where all the terms are equal

If all the terms are equal:

then their sum is nx1 , so their arithmetic mean is X1 and their product is X1 norte , so their geometric mean is X1 therefore, the arithmetic mean and geometric mean are equal, as desired.

The case where not all the terms are equal

It remains to show that if no all the terms are equal, then the arithmetic mean is greater than the geometric mean. Clearly, this is only possible when norte > 1 .

This case is significantly more complex, and we divide it into subcases.

The subcase where norte = 2

Si norte = 2 , then we have two terms, X1 y X2 , and since (by our assumption) not all terms are equal, we have:

The subcase where norte = 2 k

Consider the case where norte = 2 k , where k is a positive integer. We proceed by mathematical induction.

In the base case, k = 1 , so norte = 2 . We have already shown that the inequality holds when norte = 2 , so we are done.

Now, suppose that for a given k > 1 , we have already shown that the inequality holds for norte = 2 k−1 , and we wish to show that it holds for norte = 2 k . To do so, we apply the inequality twice for 2 k-1 numbers and once for 2 numbers to obtain:

where in the first inequality, the two sides are equal only if

(in which case the first arithmetic mean and first geometric mean are both equal to X1 , and similarly with the second arithmetic mean and second geometric mean) and in the second inequality, the two sides are only equal if the two geometric means are equal. Since not all 2 k numbers are equal, it is not possible for both inequalities to be equalities, so we know that:

The subcase where norte < 2 k

If n is not a natural power of 2 , then it is certainly less than some natural power of 2, since the sequence 2, 4, 8, . . . , 2 k ,. . . is unbounded above. Therefore, without loss of generality, let m be some natural power of 2 that is greater than n .

So, if we have n terms, then let us denote their arithmetic mean by α , and expand our list of terms thus:

Proof by induction using basic calculus

The following proof uses mathematical induction and some basic differential calculus.

Induction basis: For norte = 1 the statement is true with equality.

Induction hypothesis: Suppose that the AM–GM statement holds for all choices of n non-negative real numbers.

Induction step: In order to prove the statement for norte + 1 non-negative real numbers X1, . . . , Xnorte, Xnorte+1 , we need to prove that

with equality only if all the norte + 1 numbers are equal.

If all numbers are zero, the inequality holds with equality. If some but not all numbers are zero, we have strict inequality. Therefore, we may assume in the following, that all norte + 1 numbers are positive.

We consider the last number Xnorte+1 as a variable and define the function

Proving the induction step is equivalent to showing that F(t) ≥ 0 for all t > 0 , with F(t) = 0 only if X1, . . . , Xnorte and t are all equal. This can be done by analyzing the critical points of f using some basic calculus.

The first derivative of f is given by

A critical point t0 has to satisfy f′(t0) = 0 , which means

After a small rearrangement we get

which is the geometric mean of X1, . . . , Xnorte . This is the only critical point of f . Since f′′(t) > 0 for all t > 0 , the function f is strictly convex and has a strict global minimum at t0 . Next we compute the value of the function at this global minimum:

where the final inequality holds due to the induction hypothesis. The hypothesis also says that we can have equality only when X1, . . . , Xnorte are all equal. In this case, their geometric mean t0 has the same value, Hence, unless X1, . . . , Xnorte, Xnorte+1 are all equal, we have F(Xnorte+1) > 0 . Esto completa la prueba.

This technique can be used in the same manner to prove the generalized AM–GM inequality and Cauchy–Schwarz inequality in Euclidean space R norte .

Proof by Pólya using the exponential function

George Pólya provided a proof similar to what follows. Dejar F(X) = e X–1 – X for all real x , with first derivative f′(X) = e X–1 – 1 and second derivative f′′(X) = e X–1 . Observe that F(1) = 0 , f′(1) = 0 and f′′(X) > 0 for all real x , hence f is strictly convex with the absolute minimum at X = 1 . Por eso X ≤ e X–1 for all real x with equality only for X = 1 .

Consider a list of non-negative real numbers X1, X2, . . . , Xnorte . If they are all zero, then the AM–GM inequality holds with equality. Hence we may assume in the following for their arithmetic mean α > 0 . By n -fold application of the above inequality, we obtain that

with equality if and only if XI = α for every I ∈ <1, . . . , norte>. The argument of the exponential function can be simplified:

which produces X1 X1 · · · Xnorteα n , hence the result [ 3 ]


The Golden Mean is a very specific geometric mean. In the geometric mean above, we see the following lengths of line segments on the number line:

Yellow line = 2
Blue line = 4
White line = 8

Here, 2 x 2 = 4 and 4 x 2 = 8, but 2 + 4 = 6, not 8. The Golden Mean imposes the additional requirement that the two segments that define the mean also add to the length of the entire line segment:

This occurs only at one point, which as you can see above is just a little less than 5/8ths, or 0.625. The actual point of the Golden Mean is at 0.6180339887…, where:

A is to B as B is to C
Y
B + C = A

If we instead let the length of line B equal 1,
this gives Phi its unusual properties:


Statement of AM-GM inequality

The Arithmetic Mean - Geometric Mean inequality, or AM-GM inequality, states the following:

Cross multiplying and rearranging terms, we get x − 2 x y + y ≥ 0 x-2sqrt+yge 0 x − 2 x y

​ ) 2 ≥ 0 . This is true because squares are always non-negative. Also equality occurs when x = y sqrt x=sqrt y x

The general case is slightly harder to show, as we cannot just cross multiply and manipulate. A common approach would be inducting on the number of variables. We state the proof by Cauchy below.

Here is a simple example based on the AM-GM inequality.

You can try a problem similar to the above example:

The sum of two positive real numbers is 100. Find their maximum possible product.

A jelly shop sells its products in two different sets: 3 red jelly cubes and 3 green jelly cuboids.

Which option would give you more jelly?


The Formula for Geometric Average

The geometric mean for a series of numbers is calculated by taking the product of these numbers and raising it to the inverse of the length of the series.

To do this, we add one to each number (to avoid any problems with negative percentages). Then, multiply all the numbers together and raise their product to the power of one divided by the count of the numbers in the series. Then, we subtract one from the result.

The formula, written in decimals, looks like this:

The formula appears complex, but on paper, it's not so difficult. Returning to our example, we calculate the geometric average: Our returns were 90%, 10%, 20%, 30%, and -90%, so we plug them into the formula as:

The result gives a geometric average annual return of -20.08%. The result using the geometric average is a lot worse than the 12% arithmetic average we calculated earlier, and unfortunately, it is also the number that represents reality in this case.


Ver el vídeo: SimpleAlgebra1 - Interpolar medios geométricos (Noviembre 2021).