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6.3b: Volúmenes de revolución: Cáscaras cilíndricas OS - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Calcule el volumen de un sólido de revolución utilizando el método de carcasas cilíndricas.
  • Compare los diferentes métodos para calcular un volumen de revolución.

En esta sección, examinamos el método de conchas cilíndricas, el método final para encontrar el volumen de un sólido de revolución. Podemos usar este método en los mismos tipos de sólidos que el método del disco o el método de la lavadora; sin embargo, con los métodos de disco y arandela, integramos a lo largo del eje de coordenadas paralelo al eje de revolución. Con el método de conchas cilíndricas, integramos a lo largo de la coordenada eje perpendicular al eje de revolución. La capacidad de elegir qué variable de integración queremos usar puede ser una ventaja significativa con funciones más complicadas. Además, la geometría específica del sólido a veces hace que el método de usar carcasas cilíndricas sea más atractivo que el método de arandela. En la última parte de esta sección, revisamos todos los métodos para encontrar el volumen que hemos estudiado y presentamos algunas pautas para ayudarlo a determinar qué método usar en una situación determinada.

El método de las carcasas cilíndricas

Nuevamente, estamos trabajando con un sólido de revolución. Como antes, definimos una región (R ), delimitada arriba por la gráfica de una función (y = f (x) ), abajo por la (x ) - eje, ya la izquierda y derecha por las líneas (x = a ) y (x = b ), respectivamente, como se muestra en la Figura ( PageIndex {1a} ). Luego, giramos esta región alrededor del eje (y ) -, como se muestra en la Figura ( PageIndex {1b} ). Tenga en cuenta que esto es diferente de lo que hemos hecho antes. Anteriormente, las regiones definidas en términos de funciones de (x ) giraban en torno al (x ) - eje o una línea paralela a ella.

Como hemos hecho muchas veces antes, particione el intervalo ([a, b] ) usando una partición regular, (P = {x_0, x_1,…, x_n} ) y, para (i = 1,2 ,…, N ), elija un punto (x ^ ∗ _ i∈ [x_ {i − 1}, x_i] ). Luego, construya un rectángulo sobre el intervalo ([x_ {i − 1}, x_i] ) de altura (f (x ^ ∗ _ i) ) y ancho (Δx ). Un rectángulo representativo se muestra en la Figura ( PageIndex {2a} ). Cuando ese rectángulo gira alrededor del eje (y ), en lugar de un disco o una arandela, obtenemos una carcasa cilíndrica, como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).

Para calcular el volumen de este caparazón, considere la Figura ( PageIndex {3} ).

La carcasa es un cilindro, por lo que su volumen es el área de la sección transversal multiplicada por la altura del cilindro. Las secciones transversales son anillos (regiones en forma de anillo, esencialmente círculos con un agujero en el centro), con un radio exterior (x_i ) y un radio interior (x_ {i − 1} ). Por lo tanto, el área de la sección transversal es (πx ^ 2_i − πx ^ 2_ {i − 1} ). La altura del cilindro es (f (x ^ ∗ _ i). ) Entonces el volumen de la cáscara es

[ begin {align *} V_ {shell} = f (x ^ ∗ _ i) (π , x ^ 2_ {i} −π , x ^ 2_ {i − 1}) [4pt] = π , f (x ^ ∗ _ i) (x ^ 2_i − x ^ 2_ {i − 1}) [4pt] = π , f (x ^ ∗ _ i) (x_i + x_ {i − 1}) ( x_i − x_ {i − 1}) [4pt] = 2π , f (x ^ ∗ _ i) left ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2} right) (x_i − x_ {i − 1}). end {alinear *} ]

Tenga en cuenta que (x_i − x_ {i − 1} = Δx, ) entonces tenemos

[V_ {shell} = 2π , f (x ^ ∗ _ i) left ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2} right) , Δx. ]

Además, ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2} ) es tanto el punto medio del intervalo ([x_ {i − 1}, x_i] ) como el radio promedio del caparazón, y podemos aproximar esto por (x ^ ∗ _ i ). Entonces tenemos

[V_ {caparazón} ≈2π , f (x ^ ∗ _ i) x ^ ∗ _ i , Δx. ]

Otra forma de pensar en esto es pensar en hacer un corte vertical en el caparazón y luego abrirlo para formar una placa plana (Figura ( PageIndex {4} )).

En realidad, el radio exterior de la carcasa es mayor que el radio interior y, por tanto, el borde trasero de la placa sería ligeramente más largo que el borde delantero de la placa. Sin embargo, podemos aproximar el caparazón aplanado por una placa plana de altura (f (x ^ ∗ _ i) ), ancho (2πx ^ ∗ _ i ) y espesor (Δx ) (Figura). El volumen de la cáscara, entonces, es aproximadamente el volumen de la placa plana. Multiplicando la altura, el ancho y la profundidad de la placa, obtenemos

[V_ {caparazón} ≈f (x ^ ∗ _ i) (2π , x ^ ∗ _ i) , Δx, ]

que es la misma fórmula que teníamos antes.

Para calcular el volumen de todo el sólido, luego sumamos los volúmenes de todas las conchas y obtenemos

[V≈ sum_ {i = 1} ^ n (2π , x ^ ∗ _ if (x ^ ∗ _ i) , Δx). ]

Aquí tenemos otra suma de Riemann, esta vez para la función (2π , x , f (x). ) Tomando el límite como (n → ∞ ) nos da

[V = lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ n (2π , x ^ ∗ _ if (x ^ ∗ _ i) , Δx) = int ^ b_a (2π , x , f (x)) , dx. ]

Esto conduce a la siguiente regla para el método de conchas cilíndricas.

Regla: el método de las carcasas cilíndricas

Sea (f (x) ) continua y no negativa. Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) ), abajo por la (x ) - eje, a la izquierda por la línea (x = a ) y a la derecha por la línea (x = b ). Entonces, el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor del eje (y ) - está dado por

[V = int ^ b_a (2π , x , f (x)) , dx. ]

Ahora consideremos un ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): El método de conchas cilíndricas I

Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) = 1 / x ) y abajo por la (x ) - eje sobre el intervalo ([1,3] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor del eje (y ) -.

Solución

Primero debemos graficar la región (R ) y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ).

Figura ( PageIndex {5} ) (c) Visualización del sólido de revolución con CalcPlot3D.

Entonces el volumen del sólido viene dado por

[ begin {align *} V = int ^ b_a (2π , x , f (x)) , dx = int ^ 3_1 left (2π , x left ( dfrac {1 } {x} right) right) , dx = int ^ 3_12π , dx = 2π , x bigg | ^ 3_1 = 4π , text {unidades} ^ 3. end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Defina R como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) = x ^ 2 ) y abajo por el eje (x ) - sobre el intervalo ([1,2] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor del eje (y ) -.

Pista

Utilice el procedimiento del Ejemplo ( PageIndex {1} ).

Respuesta

( dfrac {15π} {2} , text {unidades} ^ 3 )

Ejemplo ( PageIndex {2} ): El método de conchas cilíndricas II

Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) = 2x − x ^ 2 ) y abajo por el eje (x ) - sobre el intervalo ([0,2] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor de la (y ) - eje.

Solución

Primero grafique la región (R ) y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ).

Entonces el volumen del sólido viene dado por

[ begin {align *} V = int ^ b_a (2π , x , f (x)) , dx = int ^ 2_0 (2π , x (2x − x ^ 2)) , dx = 2π int ^ 2_0 (2x ^ 2 − x ^ 3) , dx = 2π left. left [ dfrac {2x ^ 3} {3} - dfrac {x ^ 4} {4} right] right | ^ 2_0 = dfrac {8π} {3} , text {unidades} ^ 3 end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) = 3x − x ^ 2 ) y abajo por el eje (x ) - sobre el intervalo ([0,2] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor del eje (y ) -.

Pista

Utilice el proceso del Ejemplo ( PageIndex {2} ).

Respuesta

(8π , text {unidades} ^ 3 )

Al igual que con el método de disco y el método de arandela, podemos usar el método de carcasas cilíndricas con sólidos de revolución, girados alrededor del eje (x ) -, cuando queremos integrar con respecto a (y ). Aquí se da la regla análoga para este tipo de sólidos.

Regla: El método de las carcasas cilíndricas para sólidos de revolución alrededor del eje (x ) -

Sea (g (y) ) continuo y no negativo. Defina (Q ) como la región delimitada a la derecha por la gráfica de (g (y) ), a la izquierda por el eje (y ) -, abajo por la línea (y = c ) , y arriba por la línea (y = d ). Entonces, el volumen del sólido de revolución formado al girar (Q ) alrededor del eje (x ) - está dado por

[V = int ^ d_c (2π , y , g (y)) , dy. ]

Ejemplo ( PageIndex {3} ): El método de conchas cilíndricas para un sólido que gira alrededor del eje (x ) -

Defina (Q ) como la región delimitada a la derecha por la gráfica de (g (y) = 2 sqrt {y} ) y a la izquierda por el eje (y ) - para (y∈ [0,4] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución formado al girar (Q ) alrededor del eje (x ) -.

Solución

Primero, necesitamos graficar la región (Q ) y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ).

Rotula la región sombreada (Q ). Entonces el volumen del sólido viene dado por

[ begin {align *} V = int ^ d_c (2π , y , g (y)) , dy = int ^ 4_0 (2π , y (2 sqrt {y})) , dy = 4π int ^ 4_0y ^ {3/2} , dy = 4π left [ dfrac {2y ^ {5/2}} {5} right] ∣ ^ 4_0 = dfrac {256π} {5} , text {unidades} ^ 3 end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Defina (Q ) como la región limitada a la derecha por la gráfica de (g (y) = 3 / y ) y a la izquierda por el eje (y ) - para (y∈ [1, 3] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución formado al girar (Q ) alrededor del eje (x ) -.

Pista

Utilice el proceso del Ejemplo ( PageIndex {3} ).

Respuesta

(12π ) unidades3

Para el siguiente ejemplo, miramos un sólido de revolución para el cual la gráfica de una función gira alrededor de una línea que no sea uno de los dos ejes de coordenadas. Para configurar esto, necesitamos revisar el desarrollo del método de las carcasas cilíndricas. Recuerde que encontramos que el volumen de una de las conchas viene dado por

[ begin {align *} V_ {shell} = f (x ^ ∗ _ i) (π , x ^ 2_i − π , x ^ 2_ {i − 1}) [4pt] = π , f (x ^ ∗ _ i) (x ^ 2_i − x ^ 2_ {i − 1}) [4pt] = π , f (x ^ ∗ _ i) (x_i + x_ {i − 1}) (x_i − x_ {i − 1}) [4pt] = 2π , f (x ^ ∗ _ i) left ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2} right) (x_i − x_ {i− 1}). End {align *} ]

Esto se basó en un caparazón con un radio exterior de (x_i ) y un radio interior de (x_ {i − 1} ). Sin embargo, si giramos la región alrededor de una línea que no sea el eje (y ), tenemos un radio externo e interno diferente. Supongamos, por ejemplo, que rotamos la región alrededor de la línea (x = −k, ) donde (k ) es una constante positiva. Entonces, el radio exterior del caparazón es (x_i + k ) y el radio interno del caparazón es (x_ {i − 1} + k ). Sustituyendo estos términos en la expresión de volumen, vemos que cuando una región plana gira alrededor de la línea (x = −k, ) el volumen de una capa está dado por

[ begin {align *} V_ {shell} = 2π , f (x ^ ∗ _ i) ( dfrac {(x_i + k) + (x_ {i − 1} + k)} {2}) (( x_i + k) - (x_ {i − 1} + k)) [4pt] = 2π , f (x ^ ∗ _ i) left ( left ( dfrac {x_i + x_ {i − 2}} {2} right) + k right) Δx. End {align *} ]

Como antes, notamos que ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2} ) es el punto medio del intervalo ([x_ {i − 1}, x_i] ) y puede ser aproximado por (x ^ ∗ _ i ). Entonces, el volumen aproximado de la cáscara es

[V_ {caparazón} ≈2π (x ^ ∗ _ i + k) f (x ^ ∗ _ i) Δx. ]

El resto del desarrollo procede como antes, y vemos que

[V = int ^ b_a (2π (x + k) f (x)) dx. ]

También podríamos rotar la región alrededor de otras líneas horizontales o verticales, como una línea vertical en el semiplano derecho. En cada caso, la fórmula de volumen debe ajustarse en consecuencia. Específicamente, el término (x ) - en la integral debe reemplazarse con una expresión que represente el radio de un caparazón. Para ver cómo funciona esto, considere el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): una región de revolución que gira alrededor de una línea

Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) = x ) y abajo por el eje (x ) - sobre el intervalo ([1,2] ). Encuentra el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor de la línea (x = −1. )

Solución

Primero, grafique la región (R ) y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ).

Tenga en cuenta que el radio de un caparazón viene dado por (x + 1 ). Entonces el volumen del sólido viene dado por

[ begin {align *} V = int ^ 2_1 2π (x + 1) f (x) , dx = int ^ 2_1 2π (x + 1) x , dx = 2π int ^ 2_1 x ^ 2 + x , dx = 2π left [ dfrac {x ^ 3} {3} + dfrac {x ^ 2} {2} right] bigg | ^ 2_1 = dfrac { 23π} {3} , text {unidades} ^ 3 end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) = x ^ 2 ) y abajo por el eje (x ) - sobre el intervalo ([0,1] ) . Encuentra el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor de la línea (x = −2 ).

Pista

Utilice el proceso del Ejemplo ( PageIndex {4} ).

Respuesta

( dfrac {11π} {6} ) unidades3

Para nuestro ejemplo final en esta sección, veamos el volumen de un sólido de revolución para el cual la región de revolución está limitada por las gráficas de dos funciones.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): una región de revolución limitada por las gráficas de dos funciones

Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de la función (f (x) = sqrt {x} ) y abajo por la gráfica de la función (g (x) = 1 / x ) sobre el intervalo ([1,4] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución generado al girar (R ) alrededor del eje (y ) -.

Solución

Primero, grafique la región (R ) y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la Figura ( PageIndex {9} ).

Tenga en cuenta que el eje de revolución es el eje (y ), por lo que el radio de un caparazón viene dado simplemente por (x ). No necesitamos hacer ningún ajuste en el término x de nuestro integrando. Sin embargo, la altura de un caparazón viene dada por (f (x) −g (x) ), por lo que en este caso necesitamos ajustar el término (f (x) ) del integrando. Entonces el volumen del sólido viene dado por

[ begin {align *} V = int ^ 4_1 (2π , x (f (x) −g (x))) , dx [4pt] = int ^ 4_1 (2π , x ( sqrt {x} - dfrac {1} {x})) , dx = 2π int ^ 4_1 (x ^ {3/2} −1) dx [4pt] = 2π left [ dfrac { 2x ^ {5/2}} {5} −x right] bigg | ^ 4_1 = dfrac {94π} {5} , text {unidades} ^ 3. end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) = x ) y abajo por la gráfica de (g (x) = x ^ 2 ) sobre el intervalo ([0 , 1] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor del eje (y ) -.

Pista

Sugerencia: utilice el proceso del Ejemplo ( PageIndex {5} ).

Respuesta

( dfrac {π} {6} ) unidades3

¿Qué método debemos utilizar?

Hemos estudiado varios métodos para encontrar el volumen de un sólido de revolución, pero ¿cómo sabemos qué método usar? A menudo se reduce a elegir qué integral es más fácil de evaluar. La figura ( PageIndex {10} ) describe los diferentes enfoques para sólidos de revolución alrededor del eje (x ). Depende de usted desarrollar la tabla análoga para sólidos de revolución alrededor del eje (y ) -.

Echemos un vistazo a un par de problemas adicionales y decidamos cuál es el mejor enfoque para resolverlos.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): seleccionar el mejor método

Para cada uno de los siguientes problemas, seleccione el mejor método para encontrar el volumen de un sólido de revolución generado al girar la región dada alrededor del eje (x ) - y configure la integral para encontrar el volumen (no evalúe el integral).

  1. La región delimitada por las gráficas de (y = x, y = 2 − x, ) y el eje (x ) -.
  2. La región delimitada por las gráficas de (y = 4x − x ^ 2 ) y el eje (x ) -.

Solución

un.

Primero, dibuje la región y el sólido de revolución como se muestra.

Mirando la región, si queremos integrar con respecto a (x ), tendríamos que dividir la integral en dos partes, porque tenemos diferentes funciones que delimitan la región sobre ([0,1] ) y ([1,2] ). En este caso, usando el método del disco, tendríamos

[V = int ^ 1_0 π , x ^ 2 , dx + int ^ 2_1 π (2 − x) ^ 2 , dx. sin número]

Si usáramos el método de capa en su lugar, usaríamos funciones de y para representar las curvas, produciendo

[V = int ^ 1_0 2π , y [(2 − y) −y] , dy = int ^ 1_0 2π , y [2−2y] , dy. sin número]

Ninguna de estas integrales es particularmente onerosa, pero dado que el método de caparazón requiere solo una integral, y el integrando requiere menos simplificación, probablemente deberíamos utilizar el método de caparazón en este caso.

B.

Primero, dibuje la región y el sólido de revolución como se muestra.

Mirando la región, sería problemático definir un rectángulo horizontal; la región está limitada a la izquierda y a la derecha por la misma función. Por tanto, podemos descartar el método de las conchas. El sólido no tiene cavidad en el medio, por lo que podemos usar el método de los discos. Luego

[V = int ^ 4_0π left (4x − x ^ 2 right) ^ 2 , dx nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Seleccione el mejor método para encontrar el volumen de un sólido de revolución generado al girar la región dada alrededor del eje (x ) - y configure la integral para encontrar el volumen (no evalúe la integral): la región delimitada por las gráficas de (y = 2 − x ^ 2 ) y (y = x ^ 2 ).

Pista

Dibuje la región y use la Figura ( PageIndex {12} ) para decidir qué integral es más fácil de evaluar.

Respuesta

Utilice el método de las arandelas; [V = int ^ 1 _ {- 1} π left [ left (2 − x ^ 2 right) ^ 2− left (x ^ 2 right) ^ 2 right] , dx nonumber ]

Conceptos clave

  • El método de las carcasas cilíndricas es otro método para usar una integral definida para calcular el volumen de un sólido de revolución. Este método es a veces preferible al método de los discos o al método de las lavadoras porque lo integramos con respecto a la otra variable. En algunos casos, una integral es sustancialmente más complicada que la otra.
  • La geometría de las funciones y la dificultad de la integración son los principales factores a la hora de decidir qué método de integración utilizar.

Ecuaciones clave

  • Método de conchas cilíndricas

( Displaystyle V = int ^ b_a left (2π , x , f (x) right) , dx )

Glosario

método de conchas cilíndricas
un método para calcular el volumen de un sólido de revolución dividiendo el sólido en capas cilíndricas anidadas; este método se diferencia de los métodos de discos o arandelas en que integramos con respecto a la variable opuesta

5.5 Series alternas

Hasta ahora en este capítulo, hemos discutido principalmente series con términos positivos. En esta sección presentamos series alternas, aquellas series cuyos términos alternan en signo. Mostraremos en un capítulo posterior que estas series a menudo surgen al estudiar series de potencias. Después de definir series alternas, presentamos la prueba de series alternas para determinar si dicha serie converge.

La prueba de series alternas

Una serie cuyos términos alternan entre valores positivos y negativos es una serie alterna. Por ejemplo, la serie

son ambas series alternas.

Definición

Cualquier serie cuyos términos alternan entre valores positivos y negativos se denomina serie alterna. Una serie alterna se puede escribir en la forma

La serie (1), que se muestra en la ecuación 5.11, es una serie geométrica. Desde | r | = | - 1/2 | & lt 1, | r | = | - 1/2 | & lt 1, la serie converge. La serie (2), que se muestra en la ecuación 5.12, se denomina serie armónica alterna. Demostraremos que mientras que la serie armónica diverge, la serie armónica alterna converge.

Para probar esto, observamos la secuencia de sumas parciales (Figura 5.17).

Prueba

Por lo tanto, según el Teorema de convergencia monótono, la secuencia también converge. Ya que

También se puede demostrar que S = ln 2, S = ln 2, y podemos escribir

De manera más general, cualquier serie alterna de la forma (3) (Ecuación 5.13) o (4) (Ecuación 5.14) converge siempre que b 1 ≥ b 2 ≥ b 3 ≥ ⋯ b 1 ≥ b 2 ≥ b 3 ≥ ⋯ y bn → 0 bn → 0 (Figura 5.18). La prueba es similar a la prueba de la serie armónica alterna.

Teorema 5.13

Prueba de series alternas

Una serie alterna de la forma

Esto se conoce como prueba de series alternas.

Observamos que este teorema es cierto de manera más general siempre que exista algún número entero N N tal que 0 ≤ b n + 1 ≤ b n 0 ≤ b n + 1 ≤ b n para todo n ≥ N. n ≥ N.

Ejemplo 5.19

Convergencia de series alternas

Para cada una de las siguientes series alternas, determine si la serie converge o diverge.

Solución

Punto de control 5.18

Determina si la serie ∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 n / 2 n ∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 n / 2 n converge o diverge.

Resto de una serie alterna

Es difícil calcular explícitamente la suma de la mayoría de las series alternas, por lo que normalmente la suma se aproxima mediante una suma parcial. Al hacerlo, nos interesa la cantidad de error en nuestra aproximación. Considere una serie alterna

Restos en series alternas

Considere una serie alterna de la forma

En otras palabras, si se aplican las condiciones de la prueba de series alternas, entonces el error en la aproximación de la serie infinita por la Nésima Nésima suma parcial S N S N es en magnitud como máximo el tamaño del siguiente término b N + 1. b N + 1.

Ejemplo 5.20

Estimación del resto de una serie alterna

Considere la serie alterna

Utilice la estimación del resto para determinar un límite en el error R 10 R 10 si aproximamos la suma de la serie por la suma parcial S 10. S 10.

Solución

Del teorema establecido anteriormente,

| R 10 | ≤ b 11 = 1 11 2 ≈ 0,008265. | R 10 | ≤ b 11 = 1 11 2 ≈ 0,008265.

Convergencia absoluta y condicional

Definición

La convergencia absoluta implica convergencia

Prueba

converge. Al usar las propiedades algebraicas para series convergentes, llegamos a la conclusión de que

Ejemplo 5.21

Convergencia absoluta versus condicional

Para cada una de las siguientes series, determine si la serie converge absolutamente, converge condicionalmente o diverge.

Solución

Punto de control 5.20

Comience agregando suficientes términos positivos para producir una suma que sea mayor que algún número real M & gt 0. M & gt 0. Por ejemplo, sea M = 10, M = 10 y encuentre un número entero k k tal que

Los términos de la serie de armónicos alternos también se pueden reorganizar para que la nueva serie converja a un valor diferente. En el ejemplo 5.22, mostramos cómo reorganizar los términos para crear una nueva serie que converja en 3 ln (2) / 2. 3 ln (2) / 2. Señalamos que la serie armónica alterna se puede reorganizar para crear una serie que converja a cualquier número real r r, sin embargo, la prueba de ese hecho está más allá del alcance de este texto.

Ejemplo 5.22

Reorganización de la serie

para reorganizar los términos en la serie armónica alterna de modo que la suma de la serie reordenada sea 3 ln (2) / 2. 3 ln (2) / 2.

Solución

Luego, usando las propiedades del límite algebraico de la serie convergente, ya que ∑ n = 1 ∞ an ∑ n = 1 ∞ an y ∑ n = 1 ∞ bn ∑ n = 1 ∞ bn convergen, la serie ∑ n = 1 ∞ (an + bn) ∑ n = 1 ∞ (an + bn) converge y

Ahora sumando los términos correspondientes, a n a n y b n, b n, vemos que

Notamos que la serie en el lado derecho del signo igual es una reordenación de la serie armónica alterna. Dado que ∑ n = 1 ∞ (a n + b n) = 3 ln (2) / 2, ∑ n = 1 ∞ (a n + b n) = 3 ln (2) / 2, concluimos que

Por lo tanto, hemos encontrado una reordenación de la serie armónica alterna que tiene la propiedad deseada.

Sección 5.5 Ejercicios

Indique si cada una de las siguientes series converge absoluta, condicionalmente o no converge en absoluto.

∑ norte = 1 ∞ (−1) norte + 1 (norte - 1 norte) norte ∑ norte = 1 ∞ (−1) norte + 1 (norte - 1 norte) norte

∑ norte = 1 ∞ (−1) norte + 1 (norte + 1 norte) norte ∑ norte = 1 ∞ (−1) norte + 1 (norte + 1 norte) norte

∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 sin 2 (1 / n) ∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 sin 2 (1 / n)

∑ norte = 1 ∞ (−1) norte + 1 cos 2 (1 / norte) ∑ norte = 1 ∞ (−1) norte + 1 cos 2 (1 / norte)

∑ norte = 1 ∞ (−1) norte + 1 ln (1 + 1 norte) ∑ norte = 1 ∞ (−1) norte + 1 ln (1 + 1 norte)

∑ norte = 1 ∞ (−1) norte + 1 norte 2 1 + norte 4 ∑ norte = 1 ∞ (−1) norte + 1 norte 2 1 + norte 4

∑ norte = 1 ∞ (−1) norte + 1 norte mi 1 + norte π ∑ norte = 1 ∞ (−1) norte + 1 norte mi 1 + norte π

∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 (ln (n + 1) - ln n) ∑ n = 1 ∞ (−1) n + 1 (ln (n + 1) - ln n)

∑ norte = 1 ∞ (−1) norte + 1 ((norte + 1) 2 - norte 2) ∑ norte = 1 ∞ (−1) norte + 1 ((norte + 1) 2 - norte 2)

∑ norte = 1 ∞ (−1) norte + 1 (1 norte - 1 norte + 1) ∑ norte = 1 ∞ (−1) norte + 1 (1 norte - 1 norte + 1)

∑ n = 1 ∞ sin (n π / 2) sin (1 / n) ∑ n = 1 ∞ sin (n π / 2) sin (1 / n)

Para los siguientes ejercicios, indique si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Si la afirmación es falsa, proporcione un ejemplo en el que sea falsa.

Las siguientes series no satisfacen las hipótesis de la prueba de series alternas como se indica.

En cada caso, indique qué hipótesis no se satisface. Indique si la serie converge absolutamente.

1 + 1 2 − 1 3 − 1 4 + 1 5 + 1 6 − 1 7 − 1 8 + ⋯ 1 + 1 2 − 1 3 − 1 4 + 1 5 + 1 6 − 1 7 − 1 8 + ⋯

1 + 1 2 − 1 3 + 1 4 + 1 5 − 1 6 + 1 7 + 1 8 − 1 9 + ⋯ 1 + 1 2 − 1 3 + 1 4 + 1 5 − 1 6 + 1 7 + 1 8 − 1 9 + ⋯

Muestre que la serie alterna 1 - 1 2 + 1 2 - 1 4 + 1 3 - 1 6 + 1 4 - 1 8 + ⋯ 1 - 1 2 + 1 2 - 1 4 + 1 3 - 1 6 + 1 4 - 1 8 + ⋯ hace

no converger. ¿Qué hipótesis de la prueba de series alternas no se cumple?

[T] Grafique la serie ∑ n = 1100 sin (2 π n x) n ∑ n = 1100 sin (2 π n x) n para 0 ≤ x & lt 1 0 ≤ x & lt 1 y comente su comportamiento

[T] Grafique la serie ∑ n = 1100 cos (2 π n x) n 2 ∑ n = 1100 cos (2 π n x) n 2 para 0 ≤ x & lt 1 0 ≤ x & lt 1 y describa su gráfica.

[T] En el texto se dijo que una serie condicionalmente convergente se puede reorganizar para que converja en cualquier número. Aquí hay un hecho un poco más simple, pero similar. Si un ≥ 0 un ≥ 0 es tal que un → 0 un → 0 cuando n → ∞ n → ∞ pero ∑ n = 1 ∞ an ∑ n = 1 ∞ an diverge, entonces, dado cualquier número AA, hay una secuencia snsn de ± 1 es ± 1 tal que ∑ n = 1 ∞ ansn → A. ∑ norte = 1 ∞ una norte s norte → A. Muestre esto para A & gt 0 A & gt 0 de la siguiente manera.

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    • Autores: Gilbert Strang, Edwin “Jed” Herman
    • Editor / sitio web: OpenStax
    • Título del libro: Cálculo Volumen 2
    • Fecha de publicación: 30 de marzo de 2016
    • Ubicación: Houston, Texas
    • URL del libro: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/1-introduction
    • URL de la sección: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/5-5-alternating-series

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    El volumen de la cáscara sólida entre dos cilindros diferentes, de la misma altura, uno de radio y otro de radio r ^ 2 & gt r ^ 1 es π (r_2 ^ 2 –r_1 ^ 2) h = 2π r_2 + r_1 / 2 (r_2 - r_1) h = 2 πr △ rh, donde, r = ½ (r_1 + r_2) es el radio y △ r = r_2 - r_1 es el cambio en el radio.

    Si un perfil b = f (a), para (a) entre xey se rota alrededor del cuadrante y, entonces el volumen se puede aproximar mediante el método de la suma de cilindros de Riemann:

    Cada cilindro en la posición x * tiene el ancho △ a y la altura b = f (a *): por lo que cada componente de la suma de Riemann tiene la forma 2π x * f (x *). A.
    En el límite cuando el valor de los cilindros llega al infinito, la suma de Riemann se convierte en una representación integral del volumen V:

    $ V = ∫_a ^ b 2 π x y (dx) = V = ∫_a ^ b 2 π x f (x) dx $

    Para construir la calculadora del método de capa integral, encuentre el valor de la función y y los límites de integración.
    Si el área entre dos curvas diferentes b = f (a) y b = g (a) & gt f (a) gira alrededor del eje y, para x desde el punto a hasta b, entonces el volumen es:

    Ahora, la calculadora del método de capa cilíndrica calcula el volumen de la capa rotando el área delimitada por la coordenada x, donde la línea x = 2 y la curva y = x ^ 3 sobre la coordenada y.

    Aquí y = x ^ 3 y los límites son x = [0, 2].
    La integral es:

    $ ∫_0 ^ 2 2 π x y dx = ∫_0 ^ 2 2 π x (x ^ 3) dx $

    $ = 2π∫_0 ^ 2x ^ 4 = 2π [x ^ 5/5] _0 ^ 2 = 2π 32/5 = 64/5 π $
    Las curvas se encuentran en el punto x = 0 y en el punto x = 1, por lo que el volumen es:

    $ = 2 π [2/5 x ^ <5/2> - x ^ 4/4] _0 ^ 1 $
    $ = 2 π (2/5 - 1/4) = 3/10 π $


    6.2 Determinación de volúmenes por corte

    En la sección anterior, usamos integrales definidas para encontrar el área entre dos curvas. En esta sección, usamos integrales definidas para encontrar volúmenes de sólidos tridimensionales. Consideramos tres enfoques (rebanado, discos y arandelas) para encontrar estos volúmenes, según las características del sólido.

    Volumen y método de rebanado

    Así como el área es la medida numérica de una región bidimensional, el volumen es la medida numérica de un sólido tridimensional. La mayoría de nosotros hemos calculado volúmenes de sólidos utilizando fórmulas geométricas básicas. El volumen de un sólido rectangular, por ejemplo, se puede calcular multiplicando la longitud, el ancho y la altura: V = l w h. V = l w h. Las fórmulas para el volumen de una esfera (V = 4 3 π r 3), (V = 4 3 π r 3), un cono (V = 1 3 π r 2 h), (V = 1 3 π r 2 h ), y también se ha introducido una pirámide (V = 1 3 A h) (V = 1 3 A h). Aunque algunas de estas fórmulas se derivaron utilizando solo la geometría, todas estas fórmulas se pueden obtener utilizando la integración.

    También podemos calcular el volumen de un cilindro. Aunque la mayoría de nosotros piensa que un cilindro tiene una base circular, como una lata de sopa o una varilla de metal, en matemáticas la palabra cilindro tiene un significado más general. Para discutir cilindros en este contexto más general, primero necesitamos definir algo de vocabulario.

    Definimos la sección transversal de un sólido como la intersección de un plano con el sólido. A cilindro se define como cualquier sólido que se puede generar al trasladar una región plana a lo largo de una línea perpendicular a la región, denominada eje del cilindro. Por tanto, todas las secciones transversales perpendiculares al eje de un cilindro son idénticas. El sólido que se muestra en la Figura 6.11 es un ejemplo de un cilindro con una base no circular. Entonces, para calcular el volumen de un cilindro, simplemente multiplicamos el área de la sección transversal por la altura del cilindro: V = A · h. V = A · h. En el caso de un cilindro circular recto (lata de sopa), esto se convierte en V = π r 2 h. V = π r 2 h.

    Si un sólido no tiene una sección transversal constante (y no es uno de los otros sólidos básicos), es posible que no tengamos una fórmula para su volumen. En este caso, podemos usar una integral definida para calcular el volumen del sólido. Hacemos esto cortando el sólido en pedazos, estimando el volumen de cada rebanada y luego sumando esos volúmenes estimados. Las rebanadas deben estar todas paralelas entre sí, y cuando juntamos todas las rebanadas, deberíamos obtener el sólido completo. Considere, por ejemplo, el sólido S que se muestra en la figura 6.12, que se extiende a lo largo del eje x. eje x.


    6.3b: Volúmenes de revolución: Cáscaras cilíndricas OS - Matemáticas

    En esta sección, examinamos el método de conchas cilíndricas, el método final para encontrar el volumen de un sólido de revolución. Podemos usar este método en los mismos tipos de sólidos que el método de disco o el método de arandela, sin embargo, con los métodos de disco y arandela, integramos a lo largo del eje de coordenadas paralelo al eje de revolución. Con el método de carcasas cilíndricas, integramos a lo largo del eje de coordenadas perpendicular al eje de revolución. La capacidad de elegir qué variable de integración queremos usar puede ser una ventaja significativa con funciones más complicadas. Además, la geometría específica del sólido a veces hace que el método de usar carcasas cilíndricas sea más atractivo que el método de arandela. En la última parte de esta sección, revisamos todos los métodos para encontrar el volumen que hemos estudiado y presentamos algunas pautas para ayudarlo a determinar qué método usar en una situación determinada.

    El método de las carcasas cilíndricas

    Nuevamente, estamos trabajando con un sólido de revolución. Como antes, definimos una región R, R, delimitada arriba por la gráfica de una función y = f (x), y = f (x), abajo por el eje x, eje x, y a la izquierda y a la derecha por las líneas x = ax = a y x = b, x = b, respectivamente, como se muestra en [enlace] (a). Luego giramos esta región alrededor del y-eje, como se muestra en [enlace] (b). Tenga en cuenta que esto es diferente de lo que hemos hecho antes. Anteriormente, las regiones definidas en términos de funciones de x x giraban alrededor del eje x eje x o una línea paralela a él.

    (a) Una región limitada por la gráfica de una función de x. X . (b) El sólido de revolución formado cuando la región gira alrededor del eje y. eje y.

    (a) Un rectángulo representativo. (b) Cuando este rectángulo gira alrededor del eje y, el eje y, el resultado es una capa cilíndrica. (c) Cuando juntamos todas las capas, obtenemos una aproximación del sólido original.

    Para calcular el volumen de este caparazón, considere [enlace].

    Calculando el volumen de la concha.

    La carcasa es un cilindro, por lo que su volumen es el área de la sección transversal multiplicada por la altura del cilindro. Las secciones transversales son anillos (regiones en forma de anillo & # 8212esencialmente, círculos con un agujero en el centro), con radio exterior x i x i y radio interior x i & # 8722 1. x i & # 8722 1. Por tanto, el área de la sección transversal es & # 960 x i 2 & # 8722 & # 960 x i & # 8722 1 2. & # 960 x i 2 & # 8722 & # 960 x i & # 8722 1 2. La altura del cilindro es f (x i *). f (x i *). Entonces el volumen de la cáscara es

    Otra forma de pensar en esto es pensar en hacer un corte vertical en el caparazón y luego abrirlo para formar una placa plana ([enlace]).

    (a) Haga un corte vertical en una concha representativa. (b) Abra el caparazón para formar una placa plana.

    En realidad, el radio exterior de la carcasa es mayor que el radio interior y, por tanto, el borde trasero de la placa sería ligeramente más largo que el borde delantero de la placa. Sin embargo, podemos aproximar el caparazón aplanado por una placa plana de altura f (xi *), f (xi *), ancho 2 & # 960 xi *, 2 & # 960 xi *, y grosor & # 916 x & # 916 x ([enlace]). El volumen de la cáscara, entonces, es aproximadamente el volumen de la placa plana. Multiplicando la altura, el ancho y la profundidad de la placa, obtenemos

    que es la misma fórmula que teníamos antes.

    Para calcular el volumen de todo el sólido, luego sumamos los volúmenes de todas las conchas y obtenemos

    Aquí tenemos otra suma de Riemann, esta vez para la función 2 & # 960 x f (x). 2 y # 960 x f (x). Tomando el límite como n & # 8594 & # 8734 n & # 8594 & # 8734 nos da


    Contenido

    Dos métodos comunes para encontrar el volumen de un sólido de revolución son el método de disco y el método de integración de la carcasa. Para aplicar estos métodos, es más fácil dibujar el gráfico en cuestión identificar el área que se va a girar alrededor del eje de revolución determinar el volumen de una rodaja en forma de disco del sólido, con espesor δx, o una capa cilíndrica de ancho δx y luego encontrar la suma límite de estos volúmenes a medida que δx se acerca a 0, un valor que se puede encontrar evaluando una integral adecuada. Se puede dar una justificación más rigurosa intentando evaluar una integral triple en coordenadas cilíndricas con dos órdenes de integración diferentes.

    Método de disco Editar

    El método del disco se utiliza cuando el corte que se dibujó es perpendicular a el eje de revolución, es decir, al integrar Paralelo a el eje de la revolución.

    El volumen del sólido formado al rotar el área entre las curvas de F(X) y gramo(X) y las líneas X = a y X = B sobre el eje x viene dado por

    Si gramo(X) = 0 (por ejemplo, girando un área entre la curva y el eje x), esto se reduce a:

    El método se puede visualizar considerando un rectángulo horizontal delgado en y entre F(y) en la parte superior y gramo(y) en la parte inferior, y girando sobre el eje y forma un anillo (o disco en el caso de que gramo(y) = 0), con radio exterior F(y) y radio interior gramo(y). El área de un anillo es π (R 2 − r 2), donde R es el radio exterior (en este caso F(y)), y r es el radio interior (en este caso gramo(y)). Por tanto, el volumen de cada disco infinitesimal es πF(y) 2 dy . El límite de la suma de Riemann de los volúmenes de los discos entre ayb se convierte en integral (1).

    Suponiendo la aplicabilidad del teorema de Fubini y la fórmula de cambio multivariante de variables, el método del disco se puede derivar de una manera sencilla (denotando el sólido como D):

    Método de cilindro Editar

    El método del cilindro se utiliza cuando el corte que se dibujó es Paralelo a el eje de revolución, es decir, al integrar perpendicular a el eje de la revolución.

    El volumen del sólido formado al rotar el área entre las curvas de F(X) y gramo(X) y las líneas X = a y X = B sobre el eje y viene dado por

    Si gramo(X) = 0 (por ejemplo, girando un área entre la curva y el eje y), esto se reduce a:

    El método se puede visualizar considerando un rectángulo vertical delgado en x con altura F(X) − gramo(X), y girándolo sobre el eje y forma una cáscara cilíndrica. El área de la superficie lateral de un cilindro es 2πRh , donde r es el radio (en este caso x), y h es la altura (en este caso F(X) − gramo(X)). Al resumir todas las áreas de superficie a lo largo del intervalo se obtiene el volumen total.

    Este método puede derivarse con la misma integral triple, esta vez con un orden de integración diferente:


    Cálculo: el cuaderno

    El estudio del cálculo nos permite resolver problemas y articular conceptos abstractos mucho más allá del alcance teórico del álgebra. El poder del cálculo se deriva del ingenio y la simplicidad de su notación. Este lenguaje matemático permite al matemático la libertad y la inmensa versatilidad para describir con precisión los problemas físicos y las herramientas para resolverlos. Este libro consta de conferencias sobre todos los temas de una serie de 3 cursos sobre Cálculo: Cálculo I, II y III. Puede utilizarse como libro de texto o como complemento de otros textos. Tanto los estudiantes como los profesores lo encontrarán útil para dilucidar las ideas y los métodos del cálculo.

    Prefacio
    Sobre el Autor
    Fórmulas
    Introducción

    Parte 1 Cálculo I
    Capítulo 1 Funciones y límites

    1.1 Funciones, Transformaciones
    1.2 Funciones de tangente y velocidad
    1.3 Límite de una función, leyes de límite
    1.4 Definición formal de un límite
    1.5 Leyes de límites
    1.6 Continuidad

    Capítulo 2 Derivadas
    2.1 Derivados y tasas de cambio
    2.2 Derivada como función, fórmulas de diferenciación
    2.3 Derivadas de funciones trigonométricas
    2.4 Aproximaciones lineales y diferenciales
    2.5 Regla de la cadena
    2.6 Diferenciación implícita
    2.7 Tarifas relacionadas

    Capítulo 3 Aplicaciones de la diferenciación
    3.1 Teorema del valor medio
    3.2 Valores máximos y mínimos
    3.3 Problemas de optimización
    3.4 Derivadas y croquis de curvas
    3.5 Límites en el infinito
    3.6 Método de Newton

    Capítulo 4 Integrales
    4.1 Antiderivadas
    4.2 Áreas y distancias
    4.3 Integral definida
    4.4 Teorema fundamental del cálculo

    Capítulo 5 Aplicaciones de la integración
    5.1 Áreas entre curvas
    5.2 Volúmenes de sólidos de revolución: rebanadas
    5.3 Volúmenes de sólidos de revolución: carcasas cilíndricas
    5.4 Valor medio de una función
    5.5 Integrales inadecuadas

    Parte 2 Cálculo II
    Capítulo 6 Funciones especiales, formas indeterminadas

    6.1 Registros y exponentes
    6.2 Crecimiento exponencial y decadencia
    6.3 Funciones de disparo inverso
    6.4 Regla de L'Hospital

    Capítulo 7 Técnicas de integración
    7.1 Sustitución en U
    7.2 Integración por partes
    7.3 Trig Integrales
    7.4 Sustitución trigonométrica
    7.5 Fracciones parciales
    7.6 Integración numérica

    Capítulo 8 Aplicaciones de la integral
    8.1 Longitud de arco
    8.2 Áreas de superficie de revolución
    8.3 Masa, trabajo

    Capítulo 9 Introducción a las ecuaciones diferenciales
    9.1 Campos de dirección y método de Euler
    9.2 Ecuaciones diferenciales separables
    9.3 Ecuaciones diferenciales lineales

    Capítulo 10 Cónicas, coordenadas polares y ecuaciones paramétricas
    10.1 Cónicas
    10.2 Coordenadas polares
    10.3 Ecuaciones paramétricas

    Capítulo 11 Secuencias y Series
    11.1 Secuencias
    Serie 11.2
    11.3 Pruebas de convergencia
    11.4 Serie de potencia

    Parte 3 Cálculo III
    Capítulo 12 Geometría en 3 dimensiones

    12.1 Coordenadas 3D
    12.2 Vectores
    12.3 El producto escalar
    12.4 El producto cruzado
    12.5 Ecuaciones vectoriales de líneas, planos
    12.6 Funciones con valores vectoriales
    12.7 Cálculo de funciones con valores vectoriales
    12.8 Longitud de arco
    12.9 Vectores tangentes, normales y binormales
    12.10 Curvatura
    12.11 Movimiento en el espacio: velocidad y aceleración

    Capítulo 13 Funciones de varias variables
    13.1 Introducción
    13.2 Superficies cuadráticas y cilíndricas
    13.3 Límites, continuidad
    13.4 Derivadas parciales
    13.5 Regla de la cadena
    13.6 Derivadas direccionales, gradientes
    13.7 Planos tangentes, rectas normales
    13.8 Máximos locales, mínimos locales, puntos silla
    13.9 Máximos y mínimos globales
    13.10 Multiplicadores de Lagrange

    Capítulo 14 Integrales múltiples
    14.1 Integrales dobles
    14.2 Integrales dobles en coordenadas polares
    14.3 Integrales triples
    14.4 Integrales triples en coordenadas cilíndricas
    14.5 Integrales triples en coordenadas esféricas

    Capítulo 15 Cálculo vectorial
    15.1 Campos vectoriales
    15.2 Integrales de línea
    15.3 Teorema fundamental de las integrales de línea
    15.4 Teorema de Green
    15.5 Integrales de línea simplificadas
    15.6 Integrales de superficie
    15.7 Integrales de flujo
    15.8 Teorema de Stokes
    15.9 Teorema de divergencia


    Libro de texto de cálculo Volumen 1, Banco de pruebas

    Cálculo está diseñado para el curso típico de cálculo general de dos o tres semestres, e incorpora características innovadoras para mejorar el aprendizaje de los estudiantes.
    El libro guía a los estudiantes a través de los conceptos básicos del cálculo y les ayuda a comprender cómo esos conceptos se aplican a sus vidas y al mundo que los rodea.
    Debido a la naturaleza integral del material, ofrecemos el libro en tres volúmenes para mayor flexibilidad y eficiencia.
    El volumen 1 cubre funciones, límites, derivadas e integración.

    * Libro de texto completo de OpenStax
    * Preguntas de opciones múltiples (MCQ)
    * Preguntas de ensayo Tarjetas de memoria flash
    * Tarjetas flash de términos clave

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    1. Funciones y gráficos
    Introducción
    1.1. Revisión de funciones
    1.2. Clases básicas de funciones
    1.3. Funciones trigonométricas
    1.4. Funciones inversas
    1.5. Funciones exponenciales y logarítmicas
    2. Límites
    Introducción
    2.1. Una vista previa del cálculo
    2.2. El límite de una función
    2.3. Las leyes de límite
    2.4. Continuidad
    2.5. La definición precisa de un límite
    3. Derivados
    Introducción
    3.1. Definición de la derivada
    3.2. La derivada como función
    3.3. Reglas de diferenciación
    3.4. Derivados como tasas de cambio
    3.5. Derivadas de funciones trigonométricas
    3.6. La regla de la cadena
    3.7. Derivadas de funciones inversas
    3.8. Diferenciación implícita
    3.9. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    4. Aplicaciones de derivados
    Introducción
    4.1. Tarifas relacionadas
    4.2. Aproximaciones lineales y diferenciales
    4.3. Máximos y Mínimos
    4.4. El teorema del valor medio
    4.5. Derivadas y la forma de un gráfico
    4.6. Límites en el infinito y asíntotas
    4.7. Problemas de optimización aplicada
    4.8. Regla de L'Hôpital
    4.9. Método de Newton
    4.10. Antiderivadas
    5. Integración
    Introducción
    5.1. Aproximación de áreas
    5.2. La integral definida
    5.3. El teorema fundamental del cálculo
    5.4. Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    5.5. Sustitución
    5.6. Integrales que involucran funciones exponenciales y logarítmicas
    5.7. Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas
    6. Aplicaciones de la integración
    Introducción
    6.1. Áreas entre curvas
    6.2. Determinación de volúmenes por rebanado
    6.3. Volúmenes de revolución: proyectiles cilíndricos
    6.4. Longitud de arco de una curva y área de superficie
    6.5. Aplicaciones fisicas
    6.6. Momentos y centros de masa
    6.7. Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    6.8. Crecimiento exponencial y decadencia
    6,9. Cálculo de las funciones hiperbólicas
    Tabla de integrales
    Tabla de derivadas
    Repaso del precálculo


    ¿Qué es el método Shell?

    Es una técnica para encontrar la capacidad de revoluciones de los sólidos, que considera que los lados verticales están integrados en lugar de los horizontales para simplificar algunos problemas únicos donde los lados verticales se describen más fácilmente. Generalmente, la densidad sólida es la medida o estándar de cuánto espacio ocupa un objeto en relación con el plano del eje XYZ. Como se usan cubos unitarios para llenar el sólido, el volumen del sólido se mide por el número de cubos.

    Para resolver el problema utilizando el método cilíndrico, elija la región o área en el plano XYZ, que se distribuye en delgadas franjas verticales. Cada franja vertical se gira alrededor del eje y, y luego se obtiene el objeto diferente de una revolución que parece una carcasa cilíndrica. Principalmente, sigue la rotación de rectángulos sobre el eje y.


    Sólidos de revolución

    Si una región en un plano gira alrededor de una línea en ese plano, el sólido resultante se llama sólido de revolución, como se muestra en la siguiente figura.

    Figura 5. (a) Ésta es la región que gira alrededor del eje x. (b) Cuando la región comienza a girar alrededor del eje, barre un sólido de revolución. (c) Este es el sólido que resulta cuando se completa la revolución.

    Los sólidos de revolución son comunes en aplicaciones mecánicas, como las piezas de máquinas producidas por un torno. We spend the rest of this section looking at solids of this type. The next example uses the slicing method to calculate the volume of a solid of revolution.

    Use an online integral calculator to learn more.

    Using the Slicing Method to find the Volume of a Solid of Revolution

    Use the slicing method to find the volume of the solid of revolution bounded by the graphs of and rotated about the

    Solución

    Using the problem-solving strategy, we first sketch the graph of the quadratic function over the interval as shown in the following figure.

    Figure 6. A region used to produce a solid of revolution.

    Next, revolve the region around the -axis, as shown in the following figure.

    Figure 7. Two views, (a) and (b), of the solid of revolution produced by revolving the region in (Figure) about the

    Since the solid was formed by revolving the region around the the cross-sections are circles (step 1). The area of the cross-section, then, is the area of a circle, and the radius of the circle is given by Use the formula for the area of the circle:

    The volume, then, is (step 3)

    The volume is

    Use the method of slicing to find the volume of the solid of revolution formed by revolving the region between the graph of the function and the over the interval around the See the following figure.