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8.3: Coordenadas polares


Objetivos de aprendizaje

  • Trace puntos usando coordenadas polares.
  • Convierte de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.
  • Convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas polares.
  • Transforma ecuaciones entre formas polares y rectangulares.
  • Identificar y graficar ecuaciones polares convirtiéndolas en ecuaciones rectangulares.

A más de (12 ) kilómetros del puerto, un velero encuentra mal tiempo y un viento de (16 ) - nudo lo desvía de rumbo (ver Figura ( PageIndex {1} )). ¿Cómo puede el marinero indicar su ubicación a la Guardia Costera? En esta sección, investigaremos un método para representar la ubicación que es diferente de una cuadrícula de coordenadas estándar.

Trazado de puntos utilizando coordenadas polares

Cuando pensamos en trazar puntos en el plano, generalmente pensamos en coordenadas rectangulares ((x, y) ) en el Plano cartesiano de coordenadas. Sin embargo, existen otras formas de escribir un par de coordenadas y otros tipos de sistemas de cuadrícula. En esta sección, presentamos las coordenadas polares, que son puntos etiquetados como ((r, theta) ) y trazados en una cuadrícula polar. La cuadrícula polar se representa como una serie de círculos concéntricos que irradian desde el polo o el origen del plano de coordenadas.

La cuadrícula polar se escala como el círculo unitario con el positivo (x )-El eje ahora se ve como el eje polar y el origen como el polo. La primera coordenada (r ) es el radio o la longitud del segmento de línea dirigido desde el polo. El ángulo ( theta ), medido en radianes, indica la dirección de (r ). Nos movemos en sentido antihorario desde el eje polar en un ángulo de ( theta ), y medimos un segmento de línea dirigido la longitud de (r ) en la dirección de ( theta ). Aunque medimos ( theta ) primero y luego (r ), el punto polar se escribe con la coordenada (r ) - primero. Por ejemplo, para trazar el punto ( left (2, dfrac { pi} {4} right) ), moveríamos ( dfrac { pi} {4} ) unidades en la dirección contraria a las agujas del reloj y luego una longitud de (2 ) desde el poste. Este punto se traza en la cuadrícula en la Figura ( PageIndex {2} ).

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Trazar un punto en la cuadrícula polar

Grafica el punto ( left (3, dfrac { pi} {2} right) ) en la cuadrícula polar.

Solución

El ángulo ( dfrac { pi} {2} ) se encuentra barriendo en una dirección en sentido antihorario (90 ° ) desde el eje polar. El punto está ubicado a una longitud de (3 ) unidades del polo en la dirección ( dfrac { pi} {2} ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Grafica el punto ( left (2, dfrac { pi} {3} right) ) en la cuadrícula polar.

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Trazar un punto en el sistema de coordenadas polares con un componente negativo

Grafica el punto ( left (−2, dfrac { pi} {6} right) ) en la cuadrícula polar.

Solución

Sabemos que ( dfrac { pi} {6} ) está ubicado en el primer cuadrante. Sin embargo, (r = −2 ). Podemos abordar el trazado de un punto con (r ) negativo de dos maneras:

  1. Trace el punto ( left (2, dfrac { pi} {6} right) ) moviendo ( dfrac { pi} {6} ) en el sentido contrario a las agujas del reloj y extendiendo un segmento de línea dirigido (2 ) unidades en el primer cuadrante. Luego, vuelva a trazar el segmento de línea dirigido a través del polo y continúe (2 ) unidades en el tercer cuadrante;
  2. Mueva ( dfrac { pi} {6} ) en la dirección contraria a las agujas del reloj y dibuje el segmento de línea dirigido desde las unidades (2 ) del polo en la dirección negativa, hacia el tercer cuadrante.

Vea la Figura ( PageIndex {5a} ). Compare esto con la gráfica de la coordenada polar ((2, π6) ) que se muestra en la Figura ( PageIndex {5b} ).

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Grafique los puntos ( left (3, - dfrac { pi} {6} right) ) y ( left (2, dfrac {9 pi} {4} right) ) en el misma rejilla polar.

Respuesta

Conversión de coordenadas polares a coordenadas rectangulares

Cuando se le da un conjunto de coordenadas polares, es posible que necesitemos convertirlos a coordenadas rectangulares. Para hacerlo, podemos recordar las relaciones que existen entre las variables (x ), (y ), (r ) y ( theta ).

( cos theta = dfrac {x} {r} rightarrow x = r cos theta )

( sin theta = dfrac {y} {r} rightarrow y = r sin theta )

Dejar caer una perpendicular desde el punto en el plano al X-El eje forma un triángulo rectángulo, como se ilustra en la Figura ( PageIndex {7} ). Una forma fácil de recordar las ecuaciones anteriores es pensar en ( cos theta ) como el lado adyacente sobre la hipotenusa y ( sin theta ) como el lado opuesto sobre la hipotenusa.

CONVERTIR DE COORDENADAS POLARES A COORDENADAS RECTANGULARES

Para convertir coordenadas polares ((r, theta) ) a coordenadas rectangulares ((x, y) ), deje

[ cos theta = dfrac {x} {r} rightarrow x = r cos theta ]

[ sin theta = dfrac {y} {r} rightarrow y = r sin theta ]

Cómo: Dadas las coordenadas polares, convertir a coordenadas rectangulares.

  1. Dada la coordenada polar ((r, theta) ), escribe (x = r cos theta ) y (y = r sin theta ).
  2. Evalúa ( cos theta ) y ( sin theta ).
  3. Multiplica ( cos theta ) por (r ) para encontrar (x )-coordenada de la forma rectangular.
  4. Multiplica ( sin theta ) por (r ) para encontrar (y )-coordenada de la forma rectangular.

Ejemplo ( PageIndex {3A} ): escribir coordenadas polares como coordenadas rectangulares

Escribe las coordenadas polares ( left (3, dfrac { pi} {2} right) ) como coordenadas rectangulares.

Solución

Utilice las relaciones equivalentes.

[ begin {align *} x & = r cos theta x & = 3 cos dfrac { pi} {2} & = 0 y & = r sin theta y & = 3 sin dfrac { pi} {2} & = 3 end {align *} ]

Las coordenadas rectangulares son ((0,3) ). Vea la Figura ( PageIndex {8} ).

Ejemplo ( PageIndex {3B} ): escribir coordenadas polares como coordenadas rectangulares

Escribe las coordenadas polares ((- 2,0) ) como coordenadas rectangulares.

Solución

Vea la Figura ( PageIndex {9} ). Escribiendo las coordenadas polares como rectangulares, tenemos

[ begin {align *} x & = r cos theta x & = -2 cos (0) & = -2 y & = r sin theta y & = -2 sin ( 0) & = 0 end {align *} ]

Las coordenadas rectangulares también son ((- 2,0) ).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Escribe las coordenadas polares ( left (−1, dfrac {2 pi} {3} right) ) como coordenadas rectangulares.

Respuesta

((x, y) = left ( dfrac {1} {2}, - dfrac { sqrt {3}} {2} right) )

Conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas polares

Para convertir coordenadas rectangulares en coordenadas polares, usaremos otras dos relaciones familiares. Sin embargo, con esta conversión, debemos tener en cuenta que un conjunto de coordenadas rectangulares producirá más de un punto polar.

CONVERTIR DE COORDENADAS RECTANGULARES A COORDENADAS POLARES

La conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas polares requiere el uso de una o más de las relaciones ilustradas en la Figura ( PageIndex {10} ).

( cos theta = dfrac {x} {r} ) o (x = r cos theta )

( sin theta = dfrac {y} {r} ) o (y = r sin theta )

(r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 )

( tan theta = dfrac {y} {x} )

Ejemplo ( PageIndex {4} ): escribir coordenadas rectangulares como coordenadas polares

Convierta las coordenadas rectangulares ((3,3) ) a coordenadas polares.

Solución

Vemos que el punto original ((3,3) ) está en el primer cuadrante. Para encontrar ( theta ), use la fórmula ( tan theta = dfrac {y} {x} ). Esto da

[ begin {align *} tan theta & = dfrac {3} {3} tan theta & = 1 { tan} ^ {- 1} (1) & = dfrac { pi } {4} end {align *} ]

Para encontrar (r ), sustituimos los valores de (x ) y (y ) en la fórmula (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ). Sabemos que (r ) debe ser positivo, ya que ( dfrac { pi} {4} ) está en el primer cuadrante. Por lo tanto

[ begin {align *} r & = sqrt {3 ^ 2 + 3 ^ 2} r & = sqrt {9 + 9} r & = sqrt {18} & = 3 sqrt {2 } end {align *} ]

Entonces, (r = 3 sqrt {2} ) y ( theta = dfrac { pi} {4} ), dándonos el punto polar ((3 sqrt {2}, dfrac { pi} {4}) ). Vea la Figura ( PageIndex {11} ).

Análisis

Hay otros conjuntos de coordenadas polares que serán iguales a nuestra primera solución. Por ejemplo, los puntos ( left (−3 sqrt {2}, dfrac {5 pi} {4} right) ) y ( left (3 sqrt {2}, - dfrac { 7 pi} {4} right) ) coincidirá con la solución original de ( left (3 sqrt {2}, dfrac { pi} {4} right) ). El punto ( left (−3 sqrt {2}, dfrac {5 pi} {4} right) ) indica un movimiento más en sentido antihorario por ( pi ), que es directamente opuesto a ( dfrac { pi} {4} ). El radio se expresa como (- 3 sqrt {2} ). Sin embargo, el ángulo ( dfrac {5 pi} {4} ) está ubicado en el tercer cuadrante y, como (r ) es negativo, extendemos el segmento de línea dirigido en la dirección opuesta, hacia el primer cuadrante . Este es el mismo punto que ( left (3 sqrt {2}, dfrac { pi} {4} right) ). El punto ( left (3 sqrt {2}, - dfrac {7 pi} {4} right) ) es un movimiento hacia la derecha por (- dfrac {7 pi} {4} ), desde ( dfrac { pi} {4} ). El radio, (3 sqrt {2} ), es el mismo.

Transformación de ecuaciones entre formas polares y rectangulares

Ahora podemos convertir coordenadas entre forma polar y rectangular. La conversión de ecuaciones puede ser más difícil, pero puede ser beneficioso poder convertir entre las dos formas. Dado que hay varias ecuaciones polares que no se pueden expresar claramente en forma cartesiana y viceversa, podemos usar los mismos procedimientos que usamos para convertir puntos entre los sistemas de coordenadas. Luego podemos usar una calculadora gráfica para graficar la forma rectangular o la forma polar de la ecuación.

Cómo: Dada una ecuación en forma polar, grafíquela usando una calculadora gráfica

  1. Cambiar el MODO a POL, que representa la forma polar.
  2. presione el Y = para abrir una pantalla que permite la entrada de seis ecuaciones: (r_1 ), (r_2 ), ..., (r_6 ).
  3. Ingrese la ecuación polar, establezca igual a (r ).
  4. Prensa GRAFICO.

Ejemplo ( PageIndex {5A} ): escribir una ecuación cartesiana en forma polar

Escribe la ecuación cartesiana (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 ) en forma polar.

Solución

El objetivo es eliminar (x ) y (y ) de la ecuación e introducir (r ) y ( theta ). Idealmente, escribiríamos la ecuación (r ) como una función de ( theta ). Para obtener la forma polar, usaremos las relaciones entre ((x, y) ) y ((r, theta) ). Dado que (x = r cos theta ) y (y = r sin theta ), podemos sustituir y resolver (r ).

[ begin {align *} {(r cos theta)} ^ 2 + {(r sin theta)} ^ 2 & = 9 [4pt] r ^ 2 { cos} ^ 2 theta + r ^ 2 { sin} ^ 2 theta & = 9 [4pt] r ^ 2 ({ cos} ^ 2 theta + { sin} ^ 2 theta) & = 9 [4pt] r ^ 2 (1) & = 9 && text {Sustituir} { cos} ^ 2 theta + { sin} ^ 2 theta = 1 [4pt] r & = pm 3 && text {Use el propiedad de la raíz cuadrada.} end {align *} ]

Por lo tanto, (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 ), (r = 3 ) y (r = −3 ) deberían generar la misma gráfica. Vea la Figura ( PageIndex {12} ).

Para graficar un círculo en forma rectangular, primero debemos resolver para (y ).

[ begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = 9 y ^ 2 & = 9-x ^ 2 y & = pm sqrt {9-x ^ 2} end {align *} ]

Tenga en cuenta que se trata de dos funciones independientes, ya que un círculo no pasa la prueba de la línea vertical. Por lo tanto, necesitamos ingresar las raíces cuadradas positivas y negativas en la calculadora por separado, como dos ecuaciones en la forma (Y_1 = sqrt {9 − x ^ 2} ) y (Y_2 = - sqrt {9 − x ^ 2} ). Prensa GRAFICO.

Ejemplo ( PageIndex {5B} ): Reescribir una ecuación cartesiana como una ecuación polar

Reescribir el Ecuación cartesiana (x ^ 2 + y ^ 2 = 6y ) como una ecuación polar.

Solución

Esta ecuación parece similar al ejemplo anterior, pero requiere diferentes pasos para convertir la ecuación.

Todavía podemos seguir los mismos procedimientos que ya hemos aprendido y hacer las siguientes sustituciones:

( begin {array} {ll} r ^ 2 = 6y & text {Use} x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2. r ^ 2 = 6r sin theta & text {Sustituir} y = r sin theta. r ^ 2−6r sin theta = 0 & text {Igualar a} 0. r (r − 6 sin theta) = 0 & text {Factor y resolver.} r = 0 & text {Rechazamos} r = 0 text {, ya que solo representa un punto,} (0,0). text {o} r = 6 sin theta end {matriz} )

Por lo tanto, las ecuaciones (x ^ 2 + y ^ 2 = 6y ) y (r = 6 sin theta ) deberían darnos la misma gráfica. Vea la Figura ( PageIndex {13} ).

La ecuación cartesiana o rectangular se traza en la cuadrícula rectangular, y la ecuación polar se traza en la cuadrícula polar. Claramente, los gráficos son idénticos.

Ejercicio ( PageIndex {4A} ): Reescritura de una ecuación cartesiana en forma polar

Reescribe la ecuación cartesiana (y = 3x + 2 ) como una ecuación polar.

Respuesta

Usaremos las relaciones (x = r cos theta ) y (y = r sin theta ).

[ begin {align *} y & = 3x + 2 [4pt] r sin theta & = 3r cos theta + 2 [4pt] r sin theta − 3r cos theta & = 2 [4pt] r ( sin theta − 3 cos theta) & = 2 && text {Aislar} r. [4pt] r & = dfrac {2} { sin theta − 3 cos theta} && text {Resuelve para} r. end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {4B} ):

Reescribe la ecuación cartesiana (y ^ 2 = 3 − x ^ 2 ) en forma polar.

Respuesta

(r = sqrt {3} )

Identificar y representar gráficamente ecuaciones polares convirtiéndolas en ecuaciones rectangulares

Hemos aprendido a convertir coordenadas rectangulares en coordenadas polares y hemos visto que los puntos son los mismos. También hemos transformado ecuaciones polares en ecuaciones rectangulares y viceversa. Ahora demostraremos que sus gráficos, aunque están dibujados en diferentes cuadrículas, son idénticos.

Ejemplo ( PageIndex {6A} ): Graficar una ecuación polar convirtiéndola en una ecuación rectangular

Convierte la ecuación polar (r = 2 sec theta ) a una ecuación rectangular y dibuja su gráfica correspondiente.

Solución

La conversión es

[ begin {align *} r & = 2 sec theta r & = dfrac {2} { cos theta} r cos theta & = 2 x & = 2 end {alinear*}]

Observe que la ecuación (r = 2 sec theta ) dibujada en la cuadrícula polar es claramente la misma que la línea vertical (x = 2 ) dibujada en la cuadrícula rectangular (vea la Figura ( PageIndex {14} )). Así como (x = c ) es la forma estándar de una línea vertical en forma rectangular, (r = c sec theta ) es la forma estándar de una línea vertical en forma polar.

Una discusión similar demostraría que la gráfica de la función (r = 2 csc theta ) será la línea horizontal (y = 2 ). De hecho, (r = c csc theta ) es la forma estándar de una línea horizontal en forma polar, correspondiente a la forma rectangular (y = c ).

Ejemplo ( PageIndex {6B} ): reescritura de una ecuación polar en forma cartesiana

Reescribe la ecuación polar (r = dfrac {3} {1−2 cos theta} ) como una ecuación cartesiana.

Solución

El objetivo es eliminar ( theta ) y (r ), e introducir (x ) y (y ). Limpiamos la fracción y luego usamos la sustitución. Para reemplazar (r ) con (x ) y (y ), debemos usar la expresión (x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 ).

[ begin {align *} r & = dfrac {3} {1−2 cos theta} [4pt] r (1−2 cos theta) & = 3 [4pt] r left (1−2 left ( dfrac {x} {r} right) right) & = 3 && text {Use} cos theta = dfrac {x} {r} text {para eliminar} theta. [4pt] r − 2x & = 3 [4pt] r & = 3 + 2x && text {Aislar} r. [4pt] r ^ 2 & = {(3 + 2x)} ^ 2 && text {Cuadrar ambos lados.} [4pt] x ^ 2 + y ^ 2 & = {(3 + 2x)} ^ 2 && text {Use} x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2. end {alinear *} ]

La ecuación cartesiana es (x ^ 2 + y ^ 2 = {(3 + 2x)} ^ 2 ). Sin embargo, para graficarlo, especialmente usando una calculadora gráfica o un programa de computadora, queremos aislar (y ).

[ begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = {(3 + 2x)} ^ 2 y ^ 2 & = {(3 + 2x)} ^ 2-x ^ 2 y & = pm sqrt {{(3 + 2x)} ^ 2-x ^ 2} end {align *} ]

Cuando nuestra ecuación completa haya cambiado de (r ) y ( theta ) a (x ) y (y ), podemos detenernos, a menos que se nos pida que resuelva (y ) o simplifiquemos. Vea la Figura ( PageIndex {15} ).

La forma de "reloj de arena" del gráfico se llama hipérbola. Las hipérbolas tienen muchas características y aplicaciones geométricas interesantes, que investigaremos más a fondo en Geometría analítica.

Análisis

En este ejemplo, el lado derecho de la ecuación se puede expandir y la ecuación se simplifica aún más, como se muestra arriba.Sin embargo, la ecuación no se puede escribir como una sola función en forma cartesiana. Es posible que deseemos escribir la ecuación rectangular en la forma estándar de la hipérbola. Para hacer esto, podemos comenzar con la ecuación inicial.

[ begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = {(3 + 2x)} ^ 2 [4pt] x ^ 2 + y ^ 2 - {(3 + 2x)} ^ 2 & = 0 [4pt] x ^ 2 + y ^ 2− (9 + 12x + 4x ^ 2) & = 0 [4pt] x ^ 2 + y ^ 2−9−12x − 4x ^ 2 & = 0 −3x ^ 2−12x + y ^ 2 & = 9 && text {Multiplica por} −1. [4pt] 3x ^ 2 + 12x − y ^ 2 & = −9 [4pt] 3 (x ^ 2 + 4x) −y ^ 2 & = - 9 && text {Organizar términos para completar el cuadrado para }X. [4pt] 3 (x ^ 2 + 4x + 4) −y ^ 2 & = −9 + 12 [4pt] 3 {(x + 2)} ^ 2 − y ^ 2 & = 3 [ 4pt] {(x + 2)} ^ 2− dfrac {y ^ 2} {3} & = 1 end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Reescribe la ecuación polar (r = 2 sin theta ) en forma cartesiana.

Respuesta

(x ^ 2 + y ^ 2 = 2y ) o, en la forma estándar de un círculo, (x ^ 2 + {(y − 1)} ^ 2 = 1 )

Ejemplo ( PageIndex {7} ): reescritura de una ecuación polar en forma cartesiana

Reescribe la ecuación polar (r = sin (2 theta) ) en forma cartesiana.

Solución

[ begin {alineado} r & = sin (2 theta) && text {Usa la identidad de doble ángulo para el seno.} [4pt] r & = 2 sin theta cos theta && text {Use} cos theta = dfrac {x} {r} text {y} sin theta = dfrac {y} {r}. r & = 2 left ( dfrac {x} {r} right) left ( dfrac {y} {r} right) && text {Simplify.} [4pt] r & = dfrac {2xy} {r ^ 2} && text {Multiplica ambos lados por} r ^ 2. [4pt] r ^ 3 & = 2xy [4pt] {(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ 3 & = 2xy && text {As} x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2, r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}. end {alineado} ]

Esta ecuación también se puede escribir como

({(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ { frac {3} {2}} = 2xy text {o} x ^ 2 + y ^ 2 = {(2xy)} ^ { frac {2 } {3}} )

Medios de comunicación

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las coordenadas polares.

  • Introducción a las coordenadas polares
  • Comparación de coordenadas polares y rectangulares

Ecuaciones clave

Fórmulas de conversión

( cos theta = dfrac {x} {r} rightarrow x = r cos theta )

( sin theta = dfrac {y} {r} rightarrow y = r sin theta )

(r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 )

( tan theta = dfrac {y} {x} )

Conceptos clave

  • La cuadrícula polar se representa como una serie de círculos concéntricos que irradian desde el polo u origen.
  • Para trazar un punto en la forma ((r, theta) ), ( theta> 0 ), muévase en dirección contraria a las manecillas del reloj desde el eje polar en un ángulo de ( theta ), y luego extienda un segmento de línea dirigido desde el polo de la longitud de (r ) en la dirección de ( theta ). Si ( theta ) es negativo, muévase en el sentido de las agujas del reloj y extienda un segmento de línea dirigido la longitud de (r ) en la dirección de ( theta ). Vea Ejemplo ( PageIndex {1} ).
  • Si (r ) es negativo, extienda el segmento de línea dirigido en la dirección opuesta de ( theta ). Vea Ejemplo ( PageIndex {2} ).
  • Para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares, use las fórmulas (x = r cos theta ) y (y = r sin theta ). Vea Ejemplo ( PageIndex {3} ) y Ejemplo ( PageIndex {4} ).
  • Para convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas polares, use una o más de las fórmulas: ( cos theta = dfrac {x} {r} ), ( sin theta = dfrac {y} {r} ), ( tan theta = dfrac {y} {x} ) y (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ). Vea Ejemplo ( PageIndex {5} ).
  • Transformar ecuaciones entre formas polares y rectangulares significa hacer las sustituciones adecuadas en función de las fórmulas disponibles, junto con manipulaciones algebraicas. Consulte Ejemplo ( PageIndex {6} ), Ejemplo ( PageIndex {7} ) y Ejemplo ( PageIndex {8} ).
  • El uso de las sustituciones adecuadas permite reescribir una ecuación polar como una ecuación rectangular y luego graficarla en el plano rectangular. Consulte Ejemplo ( PageIndex {9} ), Ejemplo ( PageIndex {10} ) y Ejemplo ( PageIndex {11} ).

8.3: Coordenadas polares

Una coordenada es una posición en una imagen. Ti k Z usa una sintaxis especial para especificar coordenadas. Las coordenadas siempre se ponen entre paréntesis. La sintaxis general es ([& lt opciones & gt] & lt especificación de coordenadas & gt).

Es posible dar opciones que se apliquen solo a una sola coordenada, aunque esto tiene sentido solo para las opciones de transformación. Para dar opciones de transformación para una sola coordenada, dé estas opciones al principio entre paréntesis:

8.2 Coordenadas simples

La forma más sencilla de especificar coordenadas es como un par de dimensiones T E X separadas por comas como en (1cm, 2pt) o (2cm, textheight). Como puede verse, se pueden mezclar diferentes unidades. La coordenada especificada de esta manera significa & # 82201cm a la derecha y 2pt hacia arriba desde el origen de la imagen. & # 8221 También puede escribir cosas como (1cm + 2pt, 2pt) ya que se usa el paquete calc.

8.3 Coordenadas polares

También puede especificar coordenadas en coordenadas polares. En este caso, especifica un ángulo y una distancia, separados por dos puntos como en (30: 1 cm). El ángulo siempre debe expresarse en grados y debe estar entre - 360 y 720.

En lugar de un ángulo dado como un número, también puede usar ciertas palabras. Por ejemplo, up es lo mismo que 90, por lo que puede escribir tikz draw (0,0) - (2ex, 0pt) - + (up: 1ex) y obtener. Aparte de arriba, puede usar abajo, izquierda, derecha, norte, sur, oeste, este, noreste, noroeste, sureste, suroeste, todos los cuales tienen su significado natural.

8.4 Coordenadas Xy y Xyz

Puede especificar coordenadas en PAGGRAMOF & # 8217s sistema de coordenadas xy. En este caso, proporciona dos números sin unidades, separados por una coma como en (2, -3). Esto significa & # 8220add el doble de la corriente PAGGRAMOF x -vector y reste tres veces el -vector y. & # 8221 Por defecto, el vector x apunta 1cm a la derecha, el vector y apunta 1cm hacia arriba, pero esto se puede cambiar arbitrariamente usando las opciones gráficas xey.

De manera similar, puede especificar coordenadas en el sistema de coordenadas xyz. La única diferencia con las coordenadas xy es que especifica tres números separados por comas como en (1,2,3). Esto se interpreta como & # 8220 una vez que el vector x más el doble del vector y más tres veces el vector z. & # 8221 El vector z predeterminado apunta a - cm, - cm. Considere el siguiente ejemplo:

8.5 Coordenadas de nodo

En PAGGRAMOF y en Ti k Z es bastante fácil definir un nodo al que desea hacer referencia en un punto posterior. Una vez que haya definido un nodo, existen diferentes formas de referenciar puntos del nodo.

8.5.1 Coordenadas de ancla con nombre

Una coordenada de ancla es un punto en un nodo que ha definido previamente mediante la operación de nodo. La sintaxis es (& lt nombre de nodo & gt. & Lt ancla & gt), donde & lt nombre de nodo & gt es el nombre que se usó anteriormente para nombrar el nodo usando la opción name = & lt nombre de nodo & gt o la sintaxis especial de nombre de nodo. Aquí hay un ejemplo:

dibujar (círculo.norte) | - (0,1)
draw (elipse.north) | - (0,1)
draw [-triángulo abierto 90] (rect.north) | - (0,1) - | (forma sur)
final

La sección 11.8 explica qué anclajes están disponibles para las formas básicas.

8.5.2 Coordenadas de anclaje de ángulo

Además de los anclajes con nombre, es posible utilizar la sintaxis & lt nombre de nodo & gt. & lt angle & gt para nombrar un punto del nodo & # 8217s border. Este punto es la coordenada donde un rayo disparado desde el centro en el ángulo dado golpea el borde. Aquí hay un ejemplo:

8.5.3 Coordenadas de nodo sin anclaje

También es posible simplemente & # 8220 dejar fuera & # 8221 el ancla y hacer que Ti k Z calcule una posición de borde apropiada para usted. Aquí hay un ejemplo:

Ti k Z será razonablemente inteligente para determinar los puntos fronterizos a los que & # 8220 significa & # 8221, pero, naturalmente, esto puede fallar en algunas situaciones. Si Ti k Z no logra determinar un punto de borde apropiado, se usará el centro en su lugar.

El cálculo automático de anclajes funciona solo con las operaciones de línea a -, las versiones vertical / horizontal | - y - | , y con la operación de curva a ... Para otros comandos de ruta, como parabola o plot, se utilizará el centro. Si no lo desea, debe asignar un ancla con nombre o un ancla de ángulo.

Tenga en cuenta que si usa una coordenada automática tanto para el inicio como para el final de una línea a, como en - (b) -, entonces se calculan dos coordenadas de borde con un movimiento a entre ellas. Por lo general, esto es exactamente lo que desea.

Si utiliza coordenadas relativas junto con coordenadas de ancla automática, las coordenadas relativas siempre se calculan en relación con el centro del nodo y no con respecto al punto del borde. Aquí hay un ejemplo:

Del mismo modo, en los siguientes ejemplos, ambos puntos de control son (1, 1):

8.6 Coordenadas de intersección

8.6.1 Intersección de dos líneas

A menudo, desea especificar un punto que se encuentra en la intersección de dos líneas. La primera forma de especificar tal intersección es la siguiente: Puede usar la sintaxis especial (intersección de & lt p 1 & gt - & lt p 2 & gt y & lt q 1 & gt - & lt q 2 & gt). Esto producirá el punto de intersección de la línea que pasa por p 1 y P 2 y la línea que pasa por q 1 yq 2 . Si las líneas no se encuentran o si son idénticas, se producirá un error de desbordamiento aritmético.

comenzar
dibujar [líneas de ayuda] (0,0) cuadrícula (3,2)
draw (0,0) coordenada (A) - (3,2) coordenada (B)
(1,2) -- (3,0)

fill [red] (intersección de A - B y 1,2--3,0) círculo (2pt)
final

8.6.2 Intersección de líneas horizontales y verticales

Un caso especial frecuente de intersecciones es la intersección de una línea vertical que pasa por un punto py una línea horizontal que pasa por algún otro punto q. Para esta situación hay una sintaxis especial más corta: puede decir (& lt p & gt | - & lt q & gt) o (& lt q & gt - | & lt p & gt).

Por ejemplo, (2,1 | - 3,4) y (3,4 - | 2,1) ambos producen lo mismo que (2,4) (siempre que el sistema de coordenadas xy no se haya modificado).

La aplicación más útil de la sintaxis es dibujar una línea hasta algún punto de una línea vertical u horizontal. Aquí hay un ejemplo:

draw (-0.2,0) - (1.2,0) nodo (xline) [derecha] <$ q_1 $>
draw (2, -0.2) - (2,1.2) nodo (línea y) [arriba] <$ q_2 $>

dibujar [- & gt] (p1) - (p1 | - xline)
dibujar [- & gt] (p2) - (p2 | - xline)
draw [- & gt] (p1) - (p1 - | yline)
draw [- & gt] (p2) - (p2 - | yline)
final

8.7 Coordenadas incrementales y relativas

Puede prefijar coordenadas con ++ para hacerlas & # 8220relativas. & # 8221 Una coordenada como ++ (1cm, 0pt) significa & # 82201cm a la derecha de la posición anterior. & # 8221 Las coordenadas relativas suelen ser útiles en & # 8220 contextos locales y # 8221:

En lugar de ++, también puede usar un solo +. Esto también especifica una coordenada relativa, pero no & # 8220 actualiza & # 8221 el punto actual para usos posteriores de coordenadas relativas. Por lo tanto, puede utilizar esta notación para especificar numerosos puntos, todos relacionados con el mismo punto & # 8220initial & # 8221:

Hay una situación especial en la que las coordenadas relativas se interpretan de manera diferente. Si utiliza una coordenada relativa como punto de control de una curva B & eacutezier, se aplica la siguiente regla: Primero, se toma un primer punto de control relativo relativo al comienzo de la curva. En segundo lugar, se toma un segundo punto de control relativo con respecto al final de la curva. En tercer lugar, se toma un punto final relativo de una curva en relación con el inicio de la curva.

Este comportamiento especial hace que sea fácil especificar que una curva debe & # 8220 salir o llegar desde una determinada dirección & # 8221 al principio o al final. En el siguiente ejemplo, la curva & # 8220leaves & # 8221 a 30 o y & # 8220llega & # 8221 a 60 o:


8.3 Describir el clima requiere sistemas de coordenadas.

En meteorología y otras ciencias atmosféricas, usamos principalmente el estándar X, y, y z sistema de coordenadas, llamado sistema de coordenadas cartesianas local, y el sistema de coordenadas esféricas. Repasemos algunos de los puntos principales de estos dos sistemas.

Sistema de coordenadas cartesianas local

El sistema de coordenadas cartesianas local se aplica a tres dimensiones (como se ve en la figura siguiente). La convención es simple:

  • El punto cero X = y = z = 0 o (0,0,0), es arbitrario.
  • X aumenta hacia el este X disminuye hacia el oeste.
  • y aumenta hacia el norte y disminuye hacia el sur.
  • z aumenta subiendo z disminuye bajando.
  • Un vector de distancia que se extiende desde el origen hasta (x, y, z) es dado por r = I x + j y + k z.

Los vectores unitarios (longitud 1 a lo largo de coordenadas estándar) son I (este) j (norte) k (arriba).

A menudo consideraremos el movimiento en dos dimensiones como algo separado de los movimientos en la vertical. Por lo general, denotamos la horizontal con un subíndice. H por ejemplo, rH = I x + j y, dónde rH es un vector de distancia horizontal.

Este sistema de coordenadas funciona bien en escalas relativamente pequeñas en la Tierra, tal vez del tamaño de un estado individual, donde la curvatura de la Tierra no es importante. Por eso se utiliza el calificador "local" en el nombre del sistema de coordenadas. Este sistema de coordenadas no funciona tan bien para el movimiento a gran escala en la Tierra, que es esférico.

Cuando colocamos el sistema de coordenadas cartesianas en una esfera, tenga en cuenta que X siempre apunta hacia el este, y siempre apunta hacia el norte, y z siempre apunta hacia arriba a lo largo de la dirección del radio de la Tierra (como se ve en la figura anterior).

Sistema de coordenadas esféricas

La vida sería mucho más fácil si la Tierra fuera plana. Entonces podríamos usar el sistema de coordenadas cartesianas local sin preocupaciones. Pero la Tierra es casi una esfera perfecta, lo que implica que para describir con precisión el movimiento, debemos tener en cuenta la forma esférica de la Tierra.

Usamos los siguientes términos:

Tenga en cuenta que 1 ° de latitud es siempre 111 km o 60 millas náuticas, pero 1 ° de longitud es 111 km solo en el ecuador. En general, es más pequeño e igual a 111 km x cos (Φ Esta ecuación no se muestra correctamente debido a un navegador incompatible. Consulte Requisitos técnicos en la Orientación para obtener una lista de navegadores compatibles). Tenga en cuenta que 1 nm = 1,15 millas.

Para encontrar la distancia horizontal entre dos puntos cualesquiera en la superficie de la Tierra, primero necesitamos encontrar el ángulo del arco entre ellos y luego podemos multiplicar este ángulo por el radio de la Tierra para obtener la distancia. Para encontrar el ángulo del arco, Δ σ Esta ecuación no se muestra correctamente debido a un navegador incompatible. Consulte Requisitos técnicos en la Orientación para obtener una lista de navegadores compatibles. , podemos usar el Ley esférica de los cosenos:

Verifica tu entendimiento

Demuestre que 1 ° de latitud = 111 km de distancia.

Distancia = 6371 km * (1/360) * 2π = 111,2 km

En resumen, usaremos un sistema de coordenadas cartesiano local cuando nuestras escalas de interés no son demasiado grandes (escala sinóptica o menor), pero necesitará utilizar coordenadas esféricas cuando la escala de interés es mayor que la escala sinóptica.

Para obtener otra explicación de estos dos sistemas, visite este sitio web de Sistemas de coordenadas.

Coordenadas verticales

En meteorología y ciencias atmosféricas se utilizan tres coordenadas verticales diferentes: altura, presión y temperatura potencial.

Ya hemos introducido la coordenada vertical z, que es una altura, generalmente en mo km, sobre la superficie de la Tierra en el sistema de coordenadas cartesianas local z está relacionado con r en coordenadas esféricas a través de r = a + z, dónde a es el radio de la Tierra. La coordenada vertical z es el más utilizado en meteorología y en cualquier proceso que implique despegar, como el vuelo. A menudo, los pilotos hablan de niveles de vuelo, que se miden en cientos de pies. Entonces, el nivel de vuelo 330 está a unos 10 km de altitud.

Otra coordenada vertical útil es la presión, que disminuye con la altura. La presión suele ser una coordenada vertical útil en los cálculos de dinámica. Para una buena aproximación, la presión cae exponencialmente con la altura, p = poexp (-z / H), como aprendimos en la Lección 2, de modo que en(pag) es bastante lineal con la altura. Entraremos en esto con mayor detalle más adelante. Por ahora, considere la siguiente tabla de alturas de presión utilizadas habitualmente:


8.3: Coordenadas polares

Ahora tenemos que pasar a las aplicaciones de las integrales de Cálculo II y cómo las hacemos en términos de coordenadas polares. En esta sección veremos la longitud del arco de la curva dada por,

[r = f left ( theta right) hspace <0.5in> alpha le theta le beta ]

donde también asumimos que la curva se traza exactamente una vez. Al igual que hicimos con las rectas tangentes en coordenadas polares, primero escribiremos la curva en términos de un conjunto de ecuaciones paramétricas,

y ahora podemos usar la fórmula paramétrica para encontrar la longitud del arco.

Necesitaremos las siguientes derivadas para estos cálculos.

Necesitaremos lo siguiente para nuestro (ds ).

La fórmula de longitud de arco para coordenadas polares es entonces,

Trabajemos con un ejemplo rápido de esto.

Bien, pasemos directamente a la fórmula, ya que esta es una función bastante simple.

Tendremos que utilizar una sustitución de triglicéridos aquí.

[ theta = tan x hspace <0.5in> d theta = < sec ^ 2> x , dx ] [ begin theta & = 0 hspace <0.5in> 0 = tan x hspace <0.5in> x = 0 theta & = 1 hspace <0.5in> 1 = tan x hspace <0.5in> x = frac < pi> <4> end] [ sqrt << theta ^ 2> + 1> = sqrt <<< tan> ^ 2> x + 1> = sqrt <<< sec> ^ 2> x> = left | < sec x> right | = sec x ]

Solo como un aparte antes de dejar este capítulo. La ecuación polar (r = theta ) es la ecuación de una espiral. Aquí hay un bosquejo rápido de (r = theta ) para (0 le theta le 4 pi ).


Contenido

y de aquí la representación en

Prueba de la representación paramétrica Editar

Se puede establecer una demostración utilizando números complejos y su descripción común como el plano complejo. El movimiento de balanceo del círculo negro sobre el azul se puede dividir en dos rotaciones.En el plano complejo, se puede realizar una rotación alrededor del punto 0 < displaystyle 0> (origen) en un ángulo display < displaystyle varphi> multiplicando un punto z < displaystyle z> (número complejo) por ei φ < displaystyle e ^>. Por lo tanto, la

A partir de aquí, se obtiene la representación paramétrica anterior:

Para el cardioide, tal como se definió anteriormente, se cumplen las siguientes fórmulas:

Las pruebas de estas afirmaciones utilizan en ambos casos la representación polar del cardioide. Para obtener fórmulas adecuadas, consulte el sistema de coordenadas polares (longitud del arco) y el sistema de coordenadas polares (área)

Acordes a través de la cúspide Editar

  • C1:acordes a través de la cúspide del cardioide tienen la misma longitud 4 a < displaystyle 4a>.
  • C2: El puntos medios de las cuerdas a través de la cúspide se encuentran en el perímetro del círculo generador fijo (ver imagen).

Los puntos P: p (φ), Q: p (φ + π) < displaystyle P: p ( varphi), Q: p ( varphi + pi)> están en un acorde a través de la cúspide (= origen ). Por eso

Para la prueba se usa la representación en el plano complejo (ver arriba). Por los puntos

el punto medio del acorde P Q < displaystyle PQ> es

que se encuentra en el perímetro del círculo con un punto medio: a < displaystyle -a> y radio a < displaystyle a> (ver imagen).

Cardioide como curva inversa de una parábola Editar

Para el ejemplo que se muestra en el gráfico, los círculos del generador tienen un radio a = 1 2 < displaystyle a = < tfrac <1> <2> >>. Por lo tanto, el cardioide tiene la representación polar.

Observación: No todas las curvas inversas de una parábola son cardioides. Por ejemplo, si una parábola se invierte a través de un círculo cuyo centro se encuentra en el vértice de la parábola, entonces el resultado es un cissoide de Diocles.

Cardioide como sobre de un lápiz de círculos Editar

En la sección anterior, si se invierten adicionalmente las tangentes de la parábola, se obtiene un lápiz de círculos a través del centro de inversión (origen). Una consideración detallada muestra: Los puntos medios de los círculos se encuentran en el perímetro del círculo generador fijo. (El círculo generador es la curva inversa de la directriz de las parábolas).

Esta propiedad da lugar al siguiente método simple para dibujar un cardioide:

La envolvente del lápiz de curvas implícitamente dadas

F (x, y, t) = (x + 1 - cos ⁡ t) 2 + (y - sin ⁡ t) 2 - (2 - 2 cos ⁡ t) = 0 < displaystyle F (x, y, t) = (x + 1- cos t) ^ <2> + (y- sin t) ^ <2> - (2-2 cos t) = 0>,

La segunda condición del sobre es

Se comprueba fácilmente que los puntos del cardioide con la representación paramétrica

x (t) = 2 (1 - cos ⁡ t) cos ⁡ t, y (t) = 2 (1 - cos ⁡ t) sin ⁡ t

Cardioide como sobre de un lápiz de líneas Editar

Un método similar y simple para dibujar un cardioide usa un lápiz de líneas. Se debe a L. Cremona:

ecuación de la tangente

de El cardioide con representación polar r = 2 (1 + cos ⁡ φ) < displaystyle r = 2 (1+ cos varphi)>:

(sin ⁡ θ - sin ⁡ 2 θ) ⋅ x + (cos ⁡ 2 θ - sin ⁡ θ) ⋅ y = - 2 cos ⁡ θ - sin ⁡ 2 θ.

Con la ayuda de fórmulas trigonométricas y la subsecuente división por sin ⁡ 1 2 θ < displaystyle sin < tfrac <1> <2>> theta>, la ecuación de la recta secante se puede reescribir de la siguiente manera:

Observación:
La prueba se puede realizar con la ayuda del condiciones del sobre (ver sección anterior) de un lápiz implícito de curvas:

Para el parámetro fijo t, ambas ecuaciones representan líneas. Su punto de intersección es

x (t) = 2 (1 + cos ⁡ t) cos ⁡ t, y (t) = 2 (1 + cos ⁡ t) sin ⁡ t < displaystyle x (t) = 2 (1+ cos t) cos t, quad y (t) = 2 (1+ cos t) sin t>,

que es un punto del cardioide con ecuación polar r = 2 (1 + cos ⁡ t).

Cardioide como cáustico de un círculo Editar

Las consideraciones hechas en la sección anterior dan una prueba de que la cáustica de un círculo con fuente de luz en el perímetro del círculo es cardioide.

c (φ) = (1 + 3 cos ⁡ φ, 3 sin ⁡ φ).

que es tangente del cardioide con ecuación polar

de la sección anterior.

Observación: Por tales consideraciones, generalmente se descuidan las reflexiones múltiples en el círculo.

Cardioide como curva de pedal de un círculo Editar

La generación Cremona de un cardioide no debe confundirse con la siguiente generación:

Por lo tanto, un cardioide es una curva de pedal especial de un círculo.

(x - 2 a) ⋅ cos ⁡ φ + y ⋅ sin ⁡ φ = 2 a.

que es la ecuación polar de un cardioide.

Para el cardioide con representación paramétrica

y el radio de curvatura

Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la evoluta son

Estas ecuaciones describen un cardioide de un tercio tan grande, girado 180 grados y desplazado a lo largo del eje x en - 4 3 a < displaystyle - < tfrac <4> <3>> a>.

Una trayectoria ortogonal de un lápiz de curvas es una curva que corta ortogonalmente cualquier curva del lápiz. Para los cardioides, lo siguiente es cierto:

(El segundo lápiz se puede considerar como reflejos en el eje y del primero. Ver diagrama).

Al dividir la segunda ecuación por la primera, se obtiene la pendiente cartesiana de la línea tangente a la curva en el punto (r (φ), φ) < displaystyle (r ( varphi), varphi)>:

Eso significa: cualquier curva del primer lápiz se cruza con cualquier curva del segundo lápiz de forma ortogonal.

La elección de otras posiciones del cardioide dentro del sistema de coordenadas da como resultado ecuaciones diferentes. La imagen muestra las 4 posiciones más comunes de un cardioide y sus ecuaciones polares.

El conjunto de Mandelbrot contiene un número infinito de copias ligeramente distorsionadas de sí mismo y el bulbo central de cualquiera de estas copias más pequeñas es un cardioide aproximado.

Ciertos cáusticos pueden tomar la forma de cardioides. El catacáustico de un círculo con respecto a un punto de la circunferencia es cardioide. Asimismo, la catacáustica de un cono con respecto a los rayos paralelos a una línea generadora es una superficie cuya sección transversal es cardioide. Esto se puede ver, como en la fotografía de la derecha, en una copa cónica parcialmente llena de líquido cuando una luz brilla desde una distancia y en un ángulo igual al ángulo del cono. [5] La forma de la curva en la parte inferior de una copa cilíndrica es la mitad de una nefroide, que se ve bastante similar.


Tu entrada: convierte $$ left (x, y right) = left (1, sqrt <3> right) $$ a coordenadas polares.

A continuación, $$ theta = operatorname< izquierda ( frac right)> $$ (pero necesitamos ajustar el ángulo para que corresponda al cuadrante correcto).

También es posible que $$ r $$ sea negativo. En este caso, sume / reste $$ pi $$ del $$ theta $$ encontrado: $$ theta = frac <4 pi> <3> $$.

NOTA: todos los ángulos encontrados están en el intervalo $$ left [0, 2 pi right) $$. Si necesita ángulos en otro intervalo, sume / reste $$ 2 pi $$ la cantidad requerida de veces.

Por ejemplo, $$ frac < pi> <3> $$ en el intervalo $$ left [2 pi, 4 pi right) $$ es $$ frac < pi> <3> +2 pi = frac <7 pi> <3> $$.

$$ left (r, theta right) = left (2, frac < pi> <3> right) approx left (2,1.0471975511966 right) $$.

$$ left (r, theta right) = left (-2, frac <4 pi> <3> right) approx left (-2,4.18879020478639 right) $$.


8.1 Coordenadas polares

Descarga el video de iTunes U o del Archivo de Internet.

Instructor: Dr. Peter Dourmashkin

Hay muchos problemas físicos en los que un cuerpo se mueve alrededor de un punto central.

Y cuando eso sucede, hay un sistema de coordenadas natural para describir ese movimiento, que en dos dimensiones son coordenadas polares.

Así que consideremos la órbita de un objeto.

Por ejemplo, el mejor ejemplo es una órbita circular.

Si tenemos una órbita circular de un objeto, hay un punto central, al que llamaremos P.

Ahora, dado este tipo de movimiento con un objeto, naturalmente tiene sentido elegir un sistema de coordenadas llamado coordenadas polares.

La forma en que funciona ese sistema de coordenadas es la siguiente.

En primer lugar, debemos elegir un ángulo de referencia.

Y entonces elegiremos una línea horizontal.

Y mostraremos una dirección de aumento del ángulo de referencia theta.

En este ejemplo, theta pasará de 0 a 2 pi.

Junto con el ángulo de referencia, tenemos una distancia desde el punto central.

Y esa distancia a la que nos referiremos como r.

Entonces, las coordenadas de nuestro punto son r y theta.

Ahora, la variable r es siempre mayor que r y puede ir al infinito, mayor que 0.

Entonces este es nuestro sistema de coordenadas polares.

Cuando tenga un sistema de coordenadas, recuerde, en cada punto del espacio, tiene que haber vectores unitarios.

Entonces, en este punto aquí mismo, ¿cómo elegimos vectores unitarios para coordenadas polares?

Siempre elegimos los vectores unitarios para apuntar en la dirección creciente de la coordenada.

Eso aumenta radialmente hacia afuera.

Entonces, nuestros vectores unitarios aquí tendrán un r sombrero apuntando radialmente hacia afuera.

¿Qué pasa con la dirección theta?

Tangencial al círculo, en este caso particular.

Debido a que theta está aumentando en esta dirección, elegimos nuestro vector unitario tangencial, que llamaremos theta hat, que está en ángulo recto con r hat, para apuntar en la dirección de theta creciente.

Y entonces, en este punto, ahora tenemos un conjunto de vectores unitarios.

Ahora hay que tener mucho cuidado con las coordenadas polares por la siguiente razón.

Suponga que está en otro punto por aquí.

Ahora que tenemos dos puntos diferentes, démosle algunos nombres.

A esto lo llamaremos s1 y a este punto s2.

Y el vector unitario está aquí donde estaban r1 y theta.

Cuando estamos en el punto 2, tenemos que elegir vectores unitarios exactamente de la misma manera.

r hat 2 apunta en la dirección de aumentar r, y theta hat 2 apunta en la dirección de aumentar theta.

Entonces, lo que vemos en las coordenadas polares es que r hat 1 no es igual a r hat 2.

Ambos son vectores unitarios, por lo que ambos tienen la misma magnitud, pero apuntan en direcciones opuestas, de la misma manera que theta hat 1 no es igual a theta hat 2.

Entonces, a diferencia de las coordenadas cartesianas, en las que en cada punto tenían los mismos vectores unitarios, en coordenadas polares, los vectores unitarios dependen de dónde se encuentre en el espacio.

Y eso hará que nuestro análisis de coordenadas polares sea un poco más complicado.


Contenido

Coordenadas, bases y vectores Editar

Por ahora, considere el espacio 3-D. Un punto PAG en el espacio 3d (o su vector de posición r) se puede definir mediante coordenadas cartesianas (X, y, z) [escrito de forma equivalente (X 1 , X 2 , X 3)], por r = x e x + y e y + z e z < displaystyle mathbf = x mathbf _+ y mathbf _+ z mathbf _>, donde miX, miy, miz son los vectores de base estándar.

También se puede definir por su coordenadas curvilíneas (q 1 , q 2 , q 3) si este triplete de números define un solo punto de manera inequívoca. La relación entre las coordenadas viene dada por las funciones de transformación invertibles:

Las superficies q 1 = constante, q 2 = constante, q 3 = constantes se llaman coordinar superficies y las curvas espaciales formadas por su intersección en pares se denominan curvas de coordenadas. El ejes de coordenadas están determinadas por las tangentes a las curvas de coordenadas en la intersección de tres superficies. En general, no son direcciones fijas en el espacio, como sucede con las coordenadas cartesianas simples y, por lo tanto, generalmente no existe una base global natural para las coordenadas curvilíneas.

En el sistema cartesiano, los vectores de base estándar se pueden derivar de la derivada de la ubicación del punto PAG con respecto a la coordenada local

Aplicando las mismas derivadas al sistema curvilíneo localmente en el punto PAG define los vectores de base natural:

Tal base, cuyos vectores cambian su dirección y / o magnitud de un punto a otro, se llama base local. Todas las bases asociadas con coordenadas curvilíneas son necesariamente locales. Los vectores base que son iguales en todos los puntos son bases globalesy solo se puede asociar con sistemas de coordenadas lineales o afines.

Para este articulo mi está reservado para la base estándar (cartesiana) y h o B es para la base curvilínea.

Estos pueden no tener una longitud unitaria y también pueden no ser ortogonales. En el caso de que ellos están ortogonales en todos los puntos donde las derivadas están bien definidas, definimos los coeficientes de Lamé (después de Gabriel Lamé) por

h 1 = | h 1 | h 2 = | h 2 | h 3 = | h 3 | < Displaystyle h_ <1> = | mathbf _ <1> | h_ <2> = | mathbf _ <2> | h_ <3> = | mathbf _<3>|>

y los vectores de base ortonormal curvilíneos por

Estos vectores base bien pueden depender de la posición de PAG por tanto, es necesario que no se suponga que sean constantes en una región. (Técnicamente forman una base para el paquete tangente de R 3 < displaystyle mathbb ^ <3>> en PAG, y también son locales para PAG.)

En general, las coordenadas curvilíneas permiten que los vectores de base natural hI no todos mutuamente perpendiculares entre sí, y no se requiere que sean de longitud unitaria: pueden ser de magnitud y dirección arbitrarias. El uso de una base ortogonal hace que las manipulaciones vectoriales sean más sencillas que las no ortogonales. Sin embargo, algunas áreas de la física y la ingeniería, en particular la mecánica de fluidos y la mecánica del continuo, requieren bases no ortogonales para describir las deformaciones y el transporte de fluidos para tener en cuenta las complicadas dependencias direccionales de las cantidades físicas. Una discusión del caso general aparece más adelante en esta página.

Elementos diferenciales Editar

En coordenadas curvilíneas ortogonales, dado que el cambio diferencial total en r es

En coordenadas no ortogonales, la longitud de d r = d q 1 h 1 + d q 2 h 2 + d q 3 h 3 < displaystyle d mathbf = dq ^ <1> mathbf _ <1> + dq ^ <2> mathbf _ <2> + dq ^ <3> mathbf _ <3>> es la raíz cuadrada positiva de d r ⋅ d r = d q yo re q j h yo ⋅ h j < displaystyle d mathbf cdot d mathbf = dq ^dq ^ mathbf _ cdot mathbf _> (con la convención de suma de Einstein). Los seis productos escalares independientes gramoij=hI.hj de los vectores de base natural generalizan los tres factores de escala definidos anteriormente para las coordenadas ortogonales. El nueve gramoij son los componentes del tensor métrico, que tiene solo tres componentes distintos de cero en coordenadas ortogonales: gramo11=h1h1, gramo22=h2h2, gramo33=h3h3.

Los gradientes espaciales, las distancias, las derivadas del tiempo y los factores de escala están interrelacionados dentro de un sistema de coordenadas mediante dos grupos de vectores básicos:

  1. vectores básicos que son localmente tangentes a su línea de trayectoria de coordenadas asociada: b i = ∂ r ∂ q i < displaystyle mathbf _= < dfrac < parcial mathbf > < parcial q ^>>> que se transforma como vectores covariantes (indicados por índices reducidos), o
  2. vectores base que son localmente normales a la isosuperficie creada por las otras coordenadas: b i = ∇ q i < displaystyle mathbf ^= nabla q ^> que se transforma como vectores contravariantes (denotados por índices elevados), ∇ es el deloperador.

En consecuencia, un sistema de coordenadas curvilíneas general tiene dos conjuntos de vectores base para cada punto: <B1, B2, B3> es la base covariante, y <B 1 , B 2 , B 3> es la base contravariante (también conocida como recíproca). Los tipos de vectores de base covariante y contravariante tienen una dirección idéntica para los sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales, pero, como es habitual, tienen unidades invertidas entre sí.

Tenga en cuenta la siguiente igualdad importante:

Por la regla de la cadena, dq1 se puede expresar como:

Si el desplazamiento dr es tal que dq2 = dq3 = 0, es decir, el vector de posición r se mueve en una cantidad infinitesimal a lo largo del eje de coordenadas q2= const yq3= constante, entonces:

Dividiendo por dq1, y tomando el limite dq1 → 0:

Ahora si el desplazamiento dr es tal que dq1= dq3= 0, es decir, el vector de posición r se mueve en una cantidad infinitesimal a lo largo del eje de coordenadas q1= const yq3= constante, entonces:

Dividiendo por dq2, y tomando el limite dq2 → 0:

Y así sucesivamente para los otros productos punto.

Un vector v se puede especificar en términos de cualquier base, es decir,

Usando la convención de suma de Einstein, los vectores base se relacionan con los componentes por [2] (pp30-32)

donde gramo es el tensor métrico (ver más abajo).

Se puede especificar un vector con coordenadas covariantes (índices reducidos, escritos vk) o coordenadas contravariantes (índices elevados, escritos v k ). De las sumas de vectores anteriores, se puede ver que las coordenadas contravariantes están asociadas con vectores de base covariantes, y las coordenadas covariantes están asociadas con vectores de base contravariantes.

Una característica clave de la representación de vectores y tensores en términos de componentes indexados y vectores base es invariancia en el sentido de que los componentes vectoriales que se transforman de manera covariante (o contravariante) se emparejan con vectores base que se transforman de manera contravariante (o covariante).

Construir una base covariante en una dimensión Editar

Considere la curva unidimensional que se muestra en la Fig. 3. En el punto PAG, tomado como origen, X es una de las coordenadas cartesianas, y q 1 es una de las coordenadas curvilíneas. El vector base local (no unitario) es B1 (anotado h1 arriba, con B reservado para vectores unitarios) y se basa en el q 1 eje que es tangente a esa línea de coordenadas en el punto PAG. El eje q 1 y por lo tanto el vector B1 forma un ángulo α < displaystyle alpha> con el cartesiano X eje y el vector de base cartesiana mi1.

Se puede ver desde el triangulo PAB que

donde |mi1|, |B1| son las magnitudes de los dos vectores base, es decir, las intersecciones escalares PB y Pensilvania. Pensilvania es también la proyección de B1 sobre el X eje.

Sin embargo, este método para transformaciones de vectores base utilizando cosenos direccionales es inaplicable a coordenadas curvilíneas por las siguientes razones:

  1. Al aumentar la distancia desde PAG, el ángulo entre la línea curva q 1 y eje cartesiano X se desvía cada vez más de α < displaystyle alpha>.
  2. A distancia PB el verdadero ángulo es el que la tangente en el punto C formas con el X eje y el último ángulo es claramente diferente de α < displaystyle alpha>.

Los ángulos que el q 1 línea y ese eje se forma con el X el eje se acerca en valor cuanto más se acerca uno al punto PAG y llegar a ser exactamente igual en PAG.

Dejemos apuntar mi estar ubicado muy cerca de PAGtan cerca que la distancia EDUCACIÓN FÍSICA es infinitesimalmente pequeño. Luego EDUCACIÓN FÍSICA medido en el q 1 eje casi coincide con EDUCACIÓN FÍSICA medido en el q 1 línea. Al mismo tiempo, la relación PD / PE (PD siendo la proyección de EDUCACIÓN FÍSICA sobre el X axis) se vuelve casi exactamente igual a cos ⁡ α < displaystyle cos alpha>.

Deja que las intercepciones infinitesimalmente pequeñas PD y EDUCACIÓN FÍSICA ser etiquetados, respectivamente, como dx ydq 1. Luego

Por lo tanto, los cosenos direccionales se pueden sustituir en transformaciones con las relaciones más exactas entre intersecciones de coordenadas infinitesimalmente pequeñas. De ello se deduce que el componente (proyección) de B1 sobre el X eje es

Si q yo = q yo (X1, X2, X3) y XI = XI(q 1 , q 2 , q 3) son funciones suaves (continuamente diferenciables), las relaciones de transformación se pueden escribir como ∂ q i ∂ x j < displaystyle < cfrac < partial q ^> < parcial x_>>> y ∂ x i ∂ q j < displaystyle < cfrac < parcial x_> < parcial q ^>>>. Es decir, esas relaciones son derivadas parciales de coordenadas que pertenecen a un sistema con respecto a las coordenadas que pertenecen al otro sistema.

Construyendo una base covariante en tres dimensiones Editar

Haciendo lo mismo para las coordenadas en las otras 2 dimensiones, B1 se puede expresar como:

Ecuaciones similares son válidas para B2 y B3 de modo que la base estándar <mi1, mi2, mi3> se transforma en un local (ordenado y normalizado) base <B1, B2, B3> por el siguiente sistema de ecuaciones:

Mediante un razonamiento análogo, se puede obtener la transformación inversa de la base local a la base estándar:

Jacobiano de la transformación Editar

Los sistemas anteriores de ecuaciones lineales se pueden escribir en forma de matriz utilizando la convención de suma de Einstein como

Esta matriz de coeficientes del sistema lineal es la matriz jacobiana (y su inversa) de la transformación. Estas son las ecuaciones que se pueden utilizar para transformar una base cartesiana en una base curvilínea y viceversa.

En tres dimensiones, las formas expandidas de estas matrices son

En la transformación inversa (segundo sistema de ecuaciones), las incógnitas son los vectores de base curvilínea. Para cualquier ubicación específica, solo puede existir uno y solo un conjunto de vectores base (de lo contrario, la base no está bien definida en ese punto). Esta condición se cumple si y solo si el sistema de ecuaciones tiene una única solución. En álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales tiene una única solución (no trivial) solo si el determinante de la matriz de su sistema es distinto de cero:

que muestra la lógica detrás del requisito anterior con respecto al determinante jacobiano inverso.

El formalismo se extiende a cualquier dimensión finita de la siguiente manera.

Considere el euclidiano real norte-espacio dimensional, es decir R norte = R × R × . × R (norte veces) donde R es el conjunto de números reales y × denota el producto cartesiano, que es un espacio vectorial.

Las coordenadas de este espacio se pueden denotar por: X = (X1, X2. Xnorte). Dado que este es un vector (un elemento del espacio vectorial), se puede escribir como:

donde mi 1 = (1,0,0. 0), mi 2 = (0,1,0. 0), mi 3 = (0,0,1. 0). mi norte = (0,0,0. 1) es el conjunto de vectores de base estándar por el espacio R norte , y I = 1, 2. norte es un índice de componentes de etiquetado. Cada vector tiene exactamente un componente en cada dimensión (o "eje") y son mutuamente ortogonales (perpendiculares) y normalizados (tienen unidad de magnitud).

De manera más general, podemos definir vectores base BI para que dependan de q = (q1, q2. qnorte), es decir, cambian de un punto a otro: BI = BI(q). En cuyo caso definir el mismo punto X en términos de esta base alternativa: el coordenadas con respecto a esta base vI también dependen necesariamente de X también, eso es vI = vI(X). Entonces un vector v en este espacio, con respecto a estas coordenadas alternativas y vectores base, se puede expandir como una combinación lineal en esta base (que simplemente significa multiplicar cada vector base miI por un número vI - multiplicación escalar):

La suma vectorial que describe v en la nueva base se compone de diferentes vectores, aunque la suma en sí sigue siendo la misma.

Desde una perspectiva más general y abstracta, un sistema de coordenadas curvilíneas es simplemente un parche de coordenadas en la variedad diferenciable mi n (espacio euclidiano n-dimensional) que es difeomórfico al parche de coordenadas cartesianas en la variedad. [3] Dos parches de coordenadas difeomórficas en una variedad diferencial no necesitan superponerse de manera diferenciable. Con esta definición simple de un sistema de coordenadas curvilíneas, todos los resultados que siguen a continuación son simplemente aplicaciones de teoremas estándar en topología diferencial.

Las funciones de transformación son tales que existe una relación uno a uno entre los puntos en las coordenadas "antiguas" y "nuevas", es decir, esas funciones son biyecciones y cumplen los siguientes requisitos dentro de sus dominios:

  1. Son funciones suaves: q I = q I (X)
  2. El determinante jacobiano inverso J - 1 = | ∂ q 1 ∂ x 1 ∂ q 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ q 1 ∂ xn ∂ q 2 ∂ x 1 ∂ q 2 ∂ x 2 ⋯ ∂ q 2 ∂ xn ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ qn ∂ x 1 ∂ qn ∂ x 2 ⋯ ∂ qn ∂ xn | ≠ 0 < Displaystyle J ^ <-1> = < begin< dfrac < parciales q ^ <1>> < parciales x_ <1> >> & amp < dfrac < parciales q ^ <1>> < parciales x_ <2> >> & amp cdots & amp < dfrac < parcial q ^ <1>> < parcial x_>> < dfrac < parcial q ^ <2>> < parcial x_ <1> >> & amp < dfrac < parcial q ^ <2>> < parcial x_ <2> >> & amp cdots & amp < dfrac < parcial q ^ <2>> < parcial x_>> vdots & amp vdots & amp ddots & amp vdots < dfrac < partial q ^> < parcial x_ <1> >> & amp < dfrac < parcial q ^> < parcial x_ <2> >> & amp cdots & amp < dfrac < parcial q ^> < parcial x_>> end> neq 0>

no es cero, lo que significa que la transformación es invertible: XI(q).

El álgebra elemental de vectores y tensores en coordenadas curvilíneas se utiliza en parte de la literatura científica más antigua en mecánica y física y puede ser indispensable para comprender el trabajo de principios y mediados del siglo XX, por ejemplo, el texto de Green y Zerna. [5] En esta sección se dan algunas relaciones útiles en el álgebra de vectores y tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas. La notación y el contenido son principalmente de Ogden, [6] Naghdi, [7] Simmonds, [2] Green y Zerna, [5] Basar y Weichert, [8] y Ciarlet. [9]

Un tensor de segundo orden se puede expresar como

donde ⊗ < displaystyle scriptstyle otimes> denota el producto tensorial. Los componentes S ij se llaman los contravariante componentes, Si j la covariante derecha mixta componentes, SI j la covariante izquierda mixta componentes, y Sij la covariante componentes del tensor de segundo orden. Los componentes del tensor de segundo orden están relacionados por

El tensor métrico en coordenadas curvilíneas ortogonales Editar

En cada punto, se puede construir un pequeño elemento de línea dX , entonces el cuadrado de la longitud del elemento de línea es el producto escalar dX • DX y se llama la métrica del espacio, dada por:

La siguiente parte de la ecuación anterior

es un simétrico tensor llamado tensor fundamental (o métrico) del espacio euclidiano en coordenadas curvilíneas.

Los índices se pueden subir y bajar según la métrica:

Relación con los coeficientes de Lamé Editar

Definición de los factores de escala hI por

da una relación entre el tensor métrico y los coeficientes de Lamé, y

donde hij son los coeficientes de Lamé. Para una base ortogonal también tenemos:

Ejemplo: coordenadas polares Editar

Si consideramos las coordenadas polares para R 2 ,

(x, y) = (r cos ⁡ θ, r sen ⁡ θ)

(r, θ) son las coordenadas curvilíneas y el determinante jacobiano de la transformación (r, θ) → (r cos θ, r pecado θ) es r.

Los vectores de base ortogonal son Br = (cos θ, sin θ), Bθ = (−r sen θ, r cos θ). Los factores de escala son hr = 1 y hθ= r. El tensor fundamental es gramo11 =1, gramo22 =r 2 , gramo12 = gramo21 =0.

El tensor alterno Editar

En una base ortonormal para diestros, el tensor alterno de tercer orden se define como

En una base curvilínea general, el mismo tensor puede expresarse como

También se puede demostrar que

Símbolos de Christoffel Editar

donde la coma denota una derivada parcial (ver cálculo de Ricci). Para expresar Γkij en términos de gramoij,

usar estos para reorganizar las relaciones anteriores da

Otras relaciones que siguen son

Operaciones vectoriales Editar

El producto escalar de dos vectores en coordenadas curvilíneas es [2] (p32)

El producto cruzado de dos vectores viene dado por [2] (pp32-34)

Es necesario realizar ajustes en el cálculo de las integrales de línea, superficie y volumen. Para simplificar, lo siguiente se restringe a tres dimensiones y coordenadas curvilíneas ortogonales. Sin embargo, los mismos argumentos se aplican para norte-espacios dimensionales. Cuando el sistema de coordenadas no es ortogonal, hay algunos términos adicionales en las expresiones.

Simmonds, [2] en su libro sobre análisis de tensores, cita a Albert Einstein diciendo [10]

La magia de esta teoría difícilmente dejará de imponerse a cualquiera que realmente la haya entendido; representa un triunfo genuino del método del cálculo diferencial absoluto, fundado por Gauss, Riemann, Ricci y Levi-Civita.

El cálculo vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas generales se utiliza en el análisis tensorial de variedades curvilíneas de cuatro dimensiones en relatividad general, [11] en la mecánica de capas curvas, [9] al examinar las propiedades de invariancia de las ecuaciones de Maxwell, que ha sido de interés en metamateriales [12] [13] y en muchos otros campos.

En esta sección se dan algunas relaciones útiles en el cálculo de vectores y tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas. La notación y el contenido son principalmente de Ogden, [14] Simmonds, [2] Green y Zerna, [5] Basar y Weichert, [8] y Ciarlet. [9]

Sea φ = φ (X) ser un campo escalar bien definido y v = v(X) un campo vectorial bien definido, y λ1, λ2. ser parámetros de las coordenadas

Elementos geométricos Editar

  1. Vector tangente: Si X(λ) parametriza una curva C en coordenadas cartesianas, entonces ∂ x ∂ λ = ∂ x ∂ q yo ∂ q yo ∂ λ = (h k yo ∂ q yo ∂ λ) b k < displaystyle < partial mathbf sobre parcial lambda> = < parcial mathbf sobre parcial q ^> < parcial q ^ sobre parcial lambda> = izquierda (h_< cfrac < parcial q ^> < parcial lambda >> derecha) mathbf _>

es un vector tangente a C en coordenadas curvilíneas (usando la regla de la cadena). Usando la definición de los coeficientes de Lamé, y la de la métrica gramoij = 0 cuando Ij, la magnitud es:

Integración Editar

Operador Campo escalar Campo vectorial
Integral de línea ∫ C φ (x) re s = ∫ una segundo φ (x (λ)) | ∂ x ∂ λ | d λ < Displaystyle int _ varphi ( mathbf ) ds = int _ ^ varphi ( mathbf ( lambda)) left | < parcial mathbf sobre parcial lambda> derecha | d lambda> ∫ Do v (x) ⋅ re s = ∫ una segundo v (x (λ)) ⋅ (∂ x ∂ λ) re λ < Displaystyle int _ mathbf ( mathbf ) cdot d mathbf = int _ ^ mathbf ( mathbf ( lambda)) cdot left (< parcial mathbf sobre parcial lambda> derecha) d lambda>
Integral de superficie ∫ S φ (x) d S = ∬ T φ (x (λ 1, λ 2)) | ∂ x ∂ λ 1 × ∂ x ∂ λ 2 | d λ 1 d λ 2 < Displaystyle int _ varphi ( mathbf ) dS = iint _ varphi ( mathbf ( lambda _ <1>, lambda _ <2>)) left | < parcial mathbf sobre parcial lambda _ <1>> veces < parcial mathbf sobre parcial lambda _ <2>> derecha | d lambda _ <1> d lambda _ <2>> ∫ S v (x) ⋅ re S = ∬ T v (x (λ 1, λ 2)) ⋅ (∂ x ∂ λ 1 × ∂ x ∂ λ 2) re λ 1 re λ 2 < Displaystyle int _ mathbf ( mathbf ) cdot dS = iint _ mathbf ( mathbf ( lambda _ <1>, lambda _ <2>)) cdot left (< parcial mathbf sobre parcial lambda _ <1>> veces < parcial mathbf sobre parcial lambda _ <2>> derecha) d lambda _ <1> d lambda _ <2>>
Integral de volumen ∭ V φ (x, y, z) re V = ∭ V χ (q 1, q 2, q 3) J re q 1 re q 2 re q 3 < Displaystyle iiint _ varphi (x, y, z) dV = iiint _ chi (q_ <1>, q_ <2>, q_ <3>) Jdq_ <1> dq_ <2> dq_ <3>> ∭ V u (x, y, z) re V = ∭ V v (q 1, q 2, q 3) J re q 1 re q 2 re q 3 < Displaystyle iiint _ mathbf (x, y, z) dV = iiint _ mathbf (q_ <1>, q_ <2>, q_ <3>) Jdq_ <1> dq_ <2> dq_ <3>>

Diferenciación Editar

Las expresiones para gradiente, divergencia y laplaciano pueden extenderse directamente a norte-dimensiones, sin embargo, el rizo solo se define en 3D.

El campo vectorial BI es tangente a la q yo curva de coordenadas y forma una base natural en cada punto de la curva. Esta base, como se discutió al principio de este artículo, también se llama covariante base curvilínea. También podemos definir un base recíproca, o contravariante base curvilínea, B I . Todas las relaciones algebraicas entre los vectores base, como se discutió en la sección sobre álgebra de tensores, se aplican a la base natural y su recíproco en cada punto. X.

donde a es un vector constante arbitrario. En coordenadas curvilíneas,

Por definición, si una partícula sin fuerzas que actúen sobre ella tiene su posición expresada en un sistema de coordenadas inerciales, (X1, X2, X3, t), entonces no tendrá aceleración (d 2 Xj/Dt 2 = 0). [15] En este contexto, un sistema de coordenadas puede dejar de ser "inercial" debido a un eje de tiempo no recto o ejes espaciales no rectos (o ambos). En otras palabras, los vectores base de las coordenadas pueden variar en el tiempo en posiciones fijas, o pueden variar con la posición en momentos fijos, o ambos. Cuando las ecuaciones de movimiento se expresan en términos de cualquier sistema de coordenadas no inercial (en este sentido), aparecen términos adicionales, llamados símbolos de Christoffel. Estrictamente hablando, estos términos representan componentes de la aceleración absoluta (en mecánica clásica), pero también podemos optar por seguir considerando d 2 Xj/Dt 2 como la aceleración (como si las coordenadas fueran inerciales) y tratar los términos extra como si fueran fuerzas, en cuyo caso se denominan fuerzas ficticias. [16] El componente de cualquier fuerza ficticia normal a la trayectoria de la partícula y en el plano de la curvatura de la trayectoria se denomina fuerza centrífuga. [17]

Este contexto más general aclara la correspondencia entre los conceptos de fuerza centrífuga en sistemas de coordenadas rotativos y en sistemas de coordenadas curvilíneos estacionarios. (Ambos conceptos aparecen con frecuencia en la literatura. [18] [19] [20]) Para un ejemplo simple, considere una partícula de masa metro moviéndose en un círculo de radio r con velocidad angular w relativo a un sistema de coordenadas polares que gira con velocidad angular W. La ecuación radial de movimiento es señor” = Fr + señor(w + W) 2. Por tanto, la fuerza centrífuga es señor multiplicado por el cuadrado de la velocidad de rotación absoluta A = w + W de la partícula. Si elegimos un sistema de coordenadas que gira a la velocidad de la partícula, entonces W = A y w = 0, en cuyo caso la fuerza centrífuga es mrA 2, mientras que si elegimos un sistema de coordenadas estacionario tenemos W = 0 y w = A, en cuyo caso la fuerza centrífuga vuelve a mrA 2. La razón de esta igualdad de resultados es que en ambos casos los vectores base en la ubicación de la partícula están cambiando en el tiempo exactamente de la misma manera. Por lo tanto, estas son realmente solo dos formas diferentes de describir exactamente lo mismo, una descripción en términos de coordenadas giratorias y la otra en términos de coordenadas curvilíneas estacionarias, las cuales son no inerciales según el significado más abstracto de ese término. .

Al describir el movimiento general, las fuerzas reales que actúan sobre una partícula a menudo se refieren al círculo osculador instantáneo tangente a la trayectoria del movimiento, y este círculo en el caso general no está centrado en una ubicación fija, por lo que la descomposición en centrífuga y Coriolis los componentes cambian constantemente. Esto es cierto independientemente de si el movimiento se describe en términos de coordenadas estacionarias o giratorias.


Más preguntas con respuestas


  1. La región de integración en rectangular (lado izquierdo) dada por los límites de integración y las coordenadas polares (lado derecho) se muestran a continuación.

    ( Displaystyle V = int_ <-1> ^ 1 int _ <- sqrt <1-x ^ 2 >> ^ < sqrt <1-x ^ 2 >> sin (x ^ 2 + y ^ 2) dy dx )
    Convertir la integral anterior en coordenadas polares
    ( Displaystyle V = int_ <0> ^ <2 pi> int_0 ^ 1 sin (r ^ 2) r dr d theta )
    Evaluar
    (= pi (1 - cos 1) )

Parte 2
Evaluar la integral dada usando coordenadas rectangulares
( Displaystyle V = int_ <-2> ^ <2> int_0 ^ < sqrt <4-x ^ 2 >> : e ^ < sqrt> dy dx - int_ <-1> ^ <1> int_0 ^ < sqrt <1-x ^ 2 >> : e ^ < sqrt> dy dx )
lo cual es bastante desafiante usando funciones elementales.
Región de integración en coordenadas polares que se muestra a continuación

(R: ) (0 le theta le pi ) y (1 le r le 2 )
Dado
( Displaystyle V = iint_R : e ^ < sqrt> dx dy )
La integral dada en coordenadas polares está dada por
( Displaystyle V = int_0 ^ < pi> int_1 ^ 2 : r e ^ dr d theta )
Evaluar
(= pi e ^ 2 )


Contenido

El primer trabajo conocido sobre secciones cónicas fue de Menaecmo en el siglo IV a. C. Descubrió una forma de resolver el problema de duplicar el cubo usando parábolas. (La solución, sin embargo, no cumple los requisitos de construcción con compás y regla no graduada.) El área encerrada por una parábola y un segmento de línea, el llamado "segmento de parábola", fue calculada por Arquímedes mediante el método de agotamiento en el siglo III a.C., en su La cuadratura de la parábola. El nombre "parábola" se debe a Apolonio, quien descubrió muchas propiedades de las secciones cónicas. Significa "aplicación", refiriéndose al concepto de "aplicación de áreas", que tiene una conexión con esta curva, como lo había demostrado Apolonio. [1] La propiedad foco-directriz de la parábola y otras secciones cónicas se debe a Pappus.

Galileo demostró que la trayectoria de un proyectil sigue una parábola, consecuencia de la aceleración uniforme debida a la gravedad.

La idea de que un reflector parabólico pudiera producir una imagen ya era bien conocida antes de la invención del telescopio reflector. [2] Los diseños fueron propuestos a principios y mediados del siglo XVII por muchos matemáticos, incluidos René Descartes, Marin Mersenne, [3] y James Gregory. [4] Cuando Isaac Newton construyó el primer telescopio reflector en 1668, se saltó el uso de un espejo parabólico debido a la dificultad de fabricación y optó por un espejo esférico. Los espejos parabólicos se utilizan en la mayoría de los telescopios reflectores modernos y en antenas parabólicas y receptores de radar. [5]

Una parábola se puede definir geométricamente como un conjunto de puntos (lugar geométrico de puntos) en el plano euclidiano:

Eje de simetría paralelo al y eje Editar

Esta parábola tiene forma de U (abriendo a la cima).

La cuerda horizontal a través del foco (vea la imagen en la sección inicial) se llama latus recto la mitad es el recto semilato. El recto latus es paralelo a la directriz. El recto semilato se designa con la letra p < displaystyle p>. De la imagen se obtiene

El latus recto se define de manera similar para las otras dos cónicas: la elipse y la hipérbola. El recto latus es la línea trazada a través de un foco de una sección cónica paralela a la directriz y termina en ambos sentidos por la curva. En cualquier caso, p < displaystyle p> es el radio del círculo osculador en el vértice. Para una parábola, el recto semilato, p < displaystyle p>, es la distancia entre el foco y la directriz. Usando el parámetro p < displaystyle p>, la ecuación de la parábola se puede reescribir como

  1. En el caso de f & lt 0 < displaystyle f & lt0> la parábola tiene una apertura hacia abajo.
  2. La presunción de que el el eje es paralelo al eje y permite considerar una parábola como la gráfica de un polinomio de grado 2, y viceversa: la gráfica de un polinomio arbitrario de grado 2 es una parábola (ver la siguiente sección).
  3. Si uno intercambia x < displaystyle x> e y < displaystyle y>, se obtienen ecuaciones de la forma y 2 = 2 p x < displaystyle y ^ <2> = 2px>. Estas parábolas se abren hacia la izquierda (si p & lt 0 < displaystyle p & lt0>) o hacia la derecha (si p & gt 0 < displaystyle p & gt0>).

Posición general Editar

(el lado izquierdo de la ecuación usa la forma normal de Hesse de una línea para calcular la distancia | P l | < displaystyle | Pl |>).

La ecuación implícita de una parábola está definida por un polinomio irreducible de grado dos:

La sección anterior muestra que cualquier parábola con el origen como vértice y la y El eje como eje de simetría se puede considerar como el gráfico de una función.

La función general del grado 2 es

que es la ecuación de una parábola con

Dos objetos en el plano euclidiano son similar si uno puede transformarse en el otro por un semejanza, es decir, una composición arbitraria de movimientos rígidos (traslaciones y rotaciones) y escalas uniformes.

También se puede utilizar un enfoque sintético, utilizando triángulos similares, para establecer este resultado. [7]

El resultado general es que dos secciones cónicas (necesariamente del mismo tipo) son similares si y solo si tienen la misma excentricidad. [6] Por lo tanto, solo los círculos (todos con excentricidad 0) comparten esta propiedad con las parábolas (todos con excentricidad 1), mientras que las elipses e hipérbolas generales no.

El lápiz de secciones cónicas con el X eje como eje de simetría, un vértice en el origen (0, 0) y el mismo recto semilato p < displaystyle p> se pueden representar mediante la ecuación

Si pag & gt 0, la parábola con ecuación y 2 = 2 p x < displaystyle y ^ <2> = 2px> (apertura a la derecha) tiene la representación polar

Si uno cambia el origen al foco, es decir, F = (0, 0) < displaystyle F = (0,0)>, se obtiene la ecuación

Observación 1: La inversión de esta forma polar muestra que una parábola es la inversa de un cardioide.

Observación 2: La segunda forma polar es un caso especial de un lápiz de cónicas con foco F = (0, 0) < displaystyle F = (0,0)> (ver imagen):

Diagrama, descripción y definiciones Editar

El diagrama representa un cono con su eje AV. El punto A es su vértice. Una sección transversal inclinada del cono, que se muestra en rosa, está inclinada desde el eje en el mismo ángulo θ, como el lado del cono. Según la definición de una parábola como sección cónica, el límite de esta EPD de sección transversal rosa es una parábola.

Una sección transversal perpendicular al eje del cono pasa por el vértice P de la parábola. Esta sección transversal es circular, pero parece elíptica cuando se ve oblicuamente, como se muestra en el diagrama. Su centro es V y PK es un diámetro. Llamaremos a su radio r.

Otra sección transversal circular perpendicular al eje del cono está más alejada del vértice A que la que se acaba de describir. Tiene un acorde DE, que une los puntos donde la parábola se cruza con el círculo. Otro acorde BC es la bisectriz perpendicular de DE y, en consecuencia, es un diámetro del círculo. Estos dos acordes y el eje de simetría de la parábola PM se cruzan en el punto M.

Todos los puntos etiquetados, excepto D y E, son coplanares. Están en el plano de simetría de toda la figura. Esto incluye el punto F, que no se menciona anteriormente. Se define y comenta a continuación, en § Posición del foco.

Llamemos a la longitud de DM y de EM x, y la longitud de PM y.

Derivación de la ecuación cuadrática Editar

Las longitudes de BM y CM son:

Usando el teorema de los acordes que se cruzan en los acordes BC y DE, obtenemos

Para cualquier cono y parábola dados, r y θ son constantes, pero xey son variables que dependen de la altura arbitraria a la que se hace la sección transversal horizontal BECD. Esta última ecuación muestra la relación entre estas variables. Se pueden interpretar como coordenadas cartesianas de los puntos D y E, en un sistema en el plano rosa con P como origen. Dado que x se eleva al cuadrado en la ecuación, el hecho de que D y E estén en lados opuestos del eje y no es importante. Si la sección transversal horizontal se mueve hacia arriba o hacia abajo, hacia o alejándose del vértice del cono, D y E se mueven a lo largo de la parábola, manteniendo siempre la relación entre xey que se muestra en la ecuación. La curva parabólica es, por tanto, el lugar geométrico de los puntos donde se satisface la ecuación, lo que la convierte en un gráfico cartesiano de la función cuadrática en la ecuación.

Longitud focal Editar

En una sección anterior se demuestra que si una parábola tiene su vértice en el origen y se abre en la dirección y positiva, entonces su ecuación es y = X 2 / 4F , donde f es su distancia focal. [b] Comparando esto con la última ecuación anterior, se muestra que la distancia focal de la parábola en el cono es r pecado θ .

Posición del foco Editar

En el diagrama de arriba, el punto V es el pie de la perpendicular desde el vértice de la parábola al eje del cono. El punto F es el pie de la perpendicular desde el punto V al plano de la parábola. [c] Por simetría, F está en el eje de simetría de la parábola. El ángulo VPF es complementario a θ, y el ángulo PVF es complementario al ángulo VPF, por lo tanto el ángulo PVF es θ. Dado que la longitud de PV es r, la distancia de F desde el vértice de la parábola es r pecado θ . Se muestra arriba que esta distancia es igual a la distancia focal de la parábola, que es la distancia desde el vértice al foco. El foco y el punto F están, por tanto, igualmente distantes del vértice, a lo largo de la misma línea, lo que implica que son el mismo punto. Por lo tanto, el punto F, definido anteriormente, es el foco de la parábola.

Esta discusión comenzó con la definición de una parábola como una sección cónica, pero ahora ha llevado a una descripción como una gráfica de una función cuadrática. Esto muestra que estas dos descripciones son equivalentes. Ambos definen curvas de exactamente la misma forma.

Prueba alternativa con esferas Dandelin Editar

Se puede hacer una prueba alternativa usando esferas Dandelin. Funciona sin cálculo y utiliza únicamente consideraciones geométricas elementales (consulte la derivación a continuación).

La intersección de un cono vertical por un plano π < displaystyle pi>, cuya inclinación desde la vertical es la misma que una generatriz (también conocida como línea generadora, una línea que contiene el vértice y un punto en la superficie del cono) m 0 < displaystyle m_ <0>> del cono, es una parábola (curva roja en el diagrama).

La propiedad reflectante establece que si una parábola puede reflejar la luz, entonces la luz que entra en ella viajando paralelamente al eje de simetría se refleja hacia el foco. Esto se deriva de la óptica geométrica, basada en el supuesto de que la luz viaja en rayos.

Considere la parábola y = X 2. Dado que todas las parábolas son similares, este simple caso representa a todos los demás.

Construcción y definiciones Editar

El punto E es un punto arbitrario en la parábola. El foco es F, el vértice es A (el origen) y la línea FA es el eje de simetría. La línea EC es paralela al eje de simetría y se cruza con el eje x en D. El punto B es el punto medio del segmento de línea FC.

Deducciones Editar

Las distancias EF y EC son iguales porque E está en la parábola, F es el foco y C está en la directriz. Por lo tanto, dado que B es el punto medio de FC, los triángulos △ FEB y △ CEB son congruentes (tres lados), lo que implica que los ángulos marcados con α son congruentes. (El ángulo sobre E es verticalmente opuesto al ángulo ∠BEC.) Esto significa que un rayo de luz que ingresa a la parábola y llega a E viajando paralelo al eje de simetría será reflejado por la línea BE por lo que viaja a lo largo de la línea EF, como se muestra en rojo en el diagrama (asumiendo que las líneas pueden reflejar la luz de alguna manera). Dado que BE es la tangente a la parábola en E, la misma reflexión se hará mediante un arco infinitesimal de la parábola en E. Por lo tanto, se refleja la luz que entra en la parábola y llega a E viajando paralelamente al eje de simetría de la parábola. por la parábola hacia su foco.

Esta conclusión sobre la luz reflejada se aplica a todos los puntos de la parábola, como se muestra en el lado izquierdo del diagrama. Ésta es la propiedad reflectante.

Otras consecuencias Editar

Hay otros teoremas que pueden deducirse simplemente del argumento anterior.

Propiedad de bisección tangente Editar

La prueba anterior y el diagrama adjunto muestran que la tangente BE biseca el ángulo ∠FEC. En otras palabras, la tangente a la parábola en cualquier punto biseca el ángulo entre las líneas que unen el punto al foco y perpendicularmente a la directriz.

Intersección de una tangente y una perpendicular desde el foco Editar

Dado que los triángulos △ FBE y △ CBE son congruentes, FB es perpendicular a la tangente BE. Dado que B está en el eje x, que es la tangente a la parábola en su vértice, se deduce que el punto de intersección entre cualquier tangente a una parábola y la perpendicular desde el foco a esa tangente se encuentra en la línea que es tangencial a la parábola en su vértice. Ver diagrama animado [8] y curva de pedal.

Reflexión de la luz que incide en el lado convexo Editar

Si la luz viaja a lo largo de la línea CE, se mueve paralela al eje de simetría y golpea el lado convexo de la parábola en E. Está claro en el diagrama anterior que esta luz se reflejará directamente lejos del foco, a lo largo de una extensión de el segmento FE.

Pruebas alternativas Editar

Las demostraciones anteriores de las propiedades de bisección reflectante y tangente utilizan una línea de cálculo. Aquí se presenta una demostración geométrica.

En este diagrama, F es el foco de la parábola y T y U se encuentran en su directriz. P es un punto arbitrario de la parábola. PT es perpendicular a la directriz y la línea MP biseca el ángulo ∠FPT. Q es otro punto de la parábola, con QU perpendicular a la directriz. Sabemos que FP = PT y FQ = QU. Claramente, QT & gt QU, entonces QT & gt FQ. Todos los puntos de la bisectriz MP son equidistantes de F y T, pero Q está más cerca de F que de T. Esto significa que Q está a la izquierda de MP, es decir, en el mismo lado que el foco. Lo mismo sería cierto si Q estuviera ubicado en cualquier otro lugar de la parábola (excepto en el punto P), por lo que toda la parábola, excepto el punto P, está en el lado del foco de MP. Por lo tanto, MP es la tangente a la parábola en P. Dado que biseca el ángulo ∠FPT, esto prueba la propiedad de bisección de la tangente.

La lógica del último párrafo se puede aplicar para modificar la prueba anterior de la propiedad reflectante. Demuestra efectivamente que la línea BE es la tangente a la parábola en E si los ángulos α son iguales. La propiedad reflectante sigue como se mostró anteriormente.

La definición de una parábola por su enfoque y directriz se puede utilizar para dibujarla con la ayuda de alfileres y cuerdas: [9]

Una parábola se puede considerar como la parte afín de una cónica proyectiva no degenerada con un punto Y ∞ < displaystyle Y _ < infty >> en la línea del infinito g ∞ < displaystyle g _ < infty >>, que es el tangente en Y ∞ < displaystyle Y _ < infty >>. Las degeneraciones de 5, 4 y 3 puntos del teorema de Pascal son propiedades de una cónica que trata con al menos una tangente. Si se considera esta tangente como la línea en el infinito y su punto de contacto como el punto en el infinito de la y eje, se obtienen tres declaraciones para una parábola.

Las siguientes propiedades de una parábola tratan solo con términos conectar, intersecarse, paralelo, que son invariantes de similitudes. Entonces, es suficiente probar cualquier propiedad para el parábola de la unidad con la ecuación y = x 2 < displaystyle y = x ^ <2>>.

Propiedad de 4 puntos Editar

Cualquier parábola se puede describir en un sistema de coordenadas adecuado mediante una ecuación y = a x 2 < displaystyle y = ax ^ <2>>.

Prueba: cálculo sencillo para la parábola unitaria y = x 2 < displaystyle y = x ^ <2>>.

Solicitud: La propiedad de 4 puntos de una parábola se puede utilizar para la construcción del punto P 4 < displaystyle P_ <4>>, mientras que P 1, P 2, P 3 < displaystyle P_ <1>, P_ <2>, P_ <3>> y Q 2 < displaystyle Q_ <2>> se dan.

Observación: la propiedad de 4 puntos de una parábola es una versión afín de la degeneración de 5 puntos del teorema de Pascal.

Propiedad 3-points – 1-tangent Editar

Solicitud: La propiedad 3-puntos-1-tangente de una parábola se puede utilizar para la construcción de la tangente en el punto P 0 < displaystyle P_ <0>>, mientras que P 1, P 2, P 0 < displaystyle P_ <1 >, P_ <2>, P_ <0>> se dan.

Observación: La propiedad de 3 puntos 1 tangente de una parábola es una versión afín de la degeneración de 4 puntos del teorema de Pascal.

Propiedad 2-points – 2-tangentes Editar

Prueba: cálculo sencillo para la parábola unitaria y = x 2 < displaystyle y = x ^ <2>>.

Solicitud: La propiedad 2-points – 2-tangentes se puede utilizar para la construcción de la tangente de una parábola en el punto P 2 < displaystyle P_ <2>>, si P 1, P 2 < displaystyle P_ <1>, P_ < 2 >> y la tangente en P 1 < displaystyle P_ <1>> se dan.

Observación 1: La propiedad de 2 puntos-2 tangentes de una parábola es una versión afín de la degeneración de 3 puntos del teorema de Pascal.

Observación 2: La propiedad de 2 puntos-2 tangentes no debe confundirse con la siguiente propiedad de una parábola, que también trata con 2 puntos y 2 tangentes, pero es no relacionado con el teorema de Pascal.

Dirección del eje Editar

Prueba: se puede hacer (como las propiedades anteriores) para la parábola unitaria y = x 2 < displaystyle y = x ^ <2>>.

Solicitud: Esta propiedad se puede utilizar para determinar la dirección del eje de una parábola, si se dan dos puntos y sus tangentes. Una forma alternativa es determinar los puntos medios de dos acordes paralelos, consulte la sección sobre acordes paralelos.

Observación: Esta propiedad es una versión afín del teorema de dos triángulos de perspectiva de una cónica no degenerada. [10]

Parábola editar

Steiner estableció el siguiente procedimiento para la construcción de una cónica no degenerada (ver cónica de Steiner):

Este procedimiento se puede utilizar para una construcción simple de puntos en la parábola y = a x 2 < displaystyle y = ax ^ <2>>:

Prueba: cálculo sencillo.

Observación: La generación de Steiner también está disponible para elipses e hipérbolas.

Parábola dual Editar

A parábola dual Consiste en el conjunto de tangentes de una parábola ordinaria.

La generación Steiner de una cónica se puede aplicar a la generación de una cónica dual cambiando los significados de puntos y líneas:

Para generar elementos de una parábola dual, se comienza con

El prueba es una consecuencia de la algoritmo de Casteljau para una curva de Bezier de grado 2.

A continuación, el ángulo de dos líneas se medirá por la diferencia de las pendientes de la línea con respecto a la directriz de la parábola. Es decir, para una parábola de ecuación y = ax 2 + bx + c, < displaystyle y = ax ^ <2> + bx + c,> el ángulo entre dos líneas de ecuaciones y = m 1 x + d 1, y = m 2 x + d 2 < displaystyle y = m_ <1> x + d_ <1>, y = m_ <2> x + d_ <2>> se mide por m 1 - m 2. < Displaystyle m_ <1> -m_ <2>.>

De manera análoga al teorema del ángulo inscrito para círculos, uno tiene el teorema del ángulo inscrito para parábolas: [11] [12]

(Prueba: cálculo sencillo: si los puntos están en una parábola, uno puede traducir las coordenadas para tener la ecuación y = ax 2 < displaystyle y = ax ^ <2>>, entonces uno tiene yi - yjxi - xj = xi + xj < Displaystyle < frac <>-y_><>-X_>> = x_+ x_> si los puntos están en la parábola.)

y = 2 a x 0 (x - x 0) + y 0 = 2 a x 0 x - a x 0 2 = 2 a x 0 x - y 0. < Displaystyle y = 2ax_ <0> (x-x_ <0>) + y_ <0> = 2ax_ <0> x-ax_ <0> ^ <2> = 2ax_ <0> x-y_ <0>.>

sobre el conjunto de puntos de la parábola sobre el conjunto de tangentes.

Esta relación se llama relación polo-polar de la parábola, donde el punto es el polo, y la línea correspondiente es polar.

Mediante cálculo, se comprueban las siguientes propiedades de la relación polo-polar de la parábola:

  • Por un punto (polo) en la parábola, la polar es la tangente en este punto (ver imagen: P 1, p 1 < displaystyle P_ <1>, p_ <1>>).
  • Para un poste P < displaystyle P>fuera de la parábola los puntos de intersección de su polar con la parábola son los puntos de contacto de las dos tangentes que pasan P < displaystyle P> (ver imagen: P 2, p 2 < displaystyle P_ <2>, p_ <2>>) .
  • Por un punto dentro de la parábola la polar no tiene ningún punto con la parábola en común (ver imagen: P 3, p 3 < displaystyle P_ <3>, p_ <3>> y P 4, p 4 < displaystyle P_ <4>, p_ <4>>).
  • El punto de intersección de dos líneas polares (por ejemplo, p 3, p 4 < displaystyle p_ <3>, p_ <4>>) es el polo de la línea de conexión de sus polos (en el ejemplo: P 3, P 4 < Displaystyle P_ <3>, P_ <4>>).
  • El foco y la directriz de la parábola son un par polo-polar.

Observación: Las relaciones polo-polar también existen para elipses e hipérbolas.

Dos propiedades de la tangente relacionadas con el latus recto Editar

Deje que la línea de simetría interseque la parábola en el punto Q, y denote el foco como punto F y su distancia desde el punto Q como f. Deje que la perpendicular a la línea de simetría, a través del foco, corte la parábola en un punto T. Entonces (1) la distancia de F a T es 2F , y (2) una tangente a la parábola en el punto T interseca la línea de simetría en un ángulo de 45 °. [13]: pág. 26

Propiedad ortóptica Editar

Si dos tangentes a una parábola son perpendiculares entre sí, entonces se cruzan en la directriz. Por el contrario, dos tangentes que se cruzan en la directriz son perpendiculares.

Teorema de Lambert Editar

Deje que tres tangentes a una parábola formen un triángulo. Luego Teorema de lambert establece que el foco de la parábola se encuentra en la circunferencia del triángulo. [14] [8]: Corolario 20

El recíproco de Tsukerman al teorema de Lambert establece que, dadas tres líneas que delimitan un triángulo, si dos de las líneas son tangentes a una parábola cuyo foco se encuentra en la circunferencia del triángulo, la tercera línea también es tangente a la parábola. [15]

Longitud focal calculada a partir de los parámetros de un acorde Editar

Suponga que una cuerda cruza una parábola perpendicular a su eje de simetría. Sea c la longitud de la cuerda entre los puntos donde interseca la parábola y d la distancia desde el vértice de la parábola a la cuerda, medida a lo largo del eje de simetría. La distancia focal, f, de la parábola está dada por

Área encerrada entre una parábola y un acorde Editar

El área encerrada entre una parábola y una cuerda (ver diagrama) es dos tercios del área de un paralelogramo que la rodea. Un lado del paralelogramo es la cuerda y el lado opuesto es una tangente a la parábola. [16] [17] La ​​pendiente de los otros lados paralelos es irrelevante para el área. A menudo, como aquí, se dibujan en paralelo con el eje de simetría de la parábola, pero esto es arbitrario.

Un teorema equivalente a este, pero diferente en detalles, fue derivado por Arquímedes en el siglo III a. C. Usó las áreas de triángulos, en lugar de las del paralelogramo. [d] Ver La cuadratura de la parábola.

Si la cuerda tiene una longitud by es perpendicular al eje de simetría de la parábola, y si la distancia perpendicular desde el vértice de la parábola a la cuerda es h, el paralelogramo es un rectángulo, con lados de by h. El área A del segmento parabólico encerrado por la parábola y la cuerda es por lo tanto

En general, el área encerrada se puede calcular de la siguiente manera. Primero, ubique el punto en la parábola donde su pendiente es igual a la de la cuerda. Esto se puede hacer con cálculo o usando una línea que sea paralela al eje de simetría de la parábola y pase por el punto medio de la cuerda. El punto requerido es donde esta línea se cruza con la parábola. [e] Luego, usando la fórmula dada en Distancia de un punto a una línea, calcule la distancia perpendicular desde este punto a la cuerda. Multiplique esto por la longitud de la cuerda para obtener el área del paralelogramo, luego por 2/3 para obtener el área cerrada requerida.

Corolario sobre los puntos medios y extremos de los acordes Editar

Un corolario de la discusión anterior es que si una parábola tiene varias cuerdas paralelas, todos sus puntos medios se encuentran en una línea paralela al eje de simetría. Si se dibujan tangentes a la parábola a través de los puntos finales de cualquiera de estas cuerdas, las dos tangentes se cruzan en esta misma línea paralela al eje de simetría (ver Dirección del eje de una parábola). [F]

Longitud del arco Editar

Si un punto X está ubicado en una parábola con distancia focal f, y si p es la distancia perpendicular desde X al eje de simetría de la parábola, entonces las longitudes de los arcos de la parábola que terminan en X se pueden calcular a partir de f y p como sigue, asumiendo que todos se expresan en las mismas unidades. [gramo]

Esta cantidad s es la longitud del arco entre X y el vértice de la parábola.

La longitud del arco entre X y el punto simétricamente opuesto en el otro lado de la parábola es 2s .

A la distancia perpendicular p se le puede dar un signo positivo o negativo para indicar en qué lado del eje de simetría X está situado. Invertir el signo de p invierte los signos de hys sin cambiar sus valores absolutos. Si estas cantidades están firmadas, la longitud del arco entre ninguna dos puntos de la parábola siempre se muestran por la diferencia entre sus valores de s . El cálculo se puede simplificar utilizando las propiedades de los logaritmos:

s 1 - s 2 = h 1 q 1 - h 2 q 2 f + f ln ⁡ h 1 + q 1 h 2 + q 2. < Displaystyle s_ <1> -s_ <2> = < frac q_ <1> -h_ <2> q_ <2>>> + f ln < frac + q_ <1>>+ q_ <2> >>.>

Esto puede ser útil, por ejemplo, para calcular el tamaño del material necesario para hacer un reflector parabólico o un cilindro parabólico.

Este cálculo se puede utilizar para una parábola en cualquier orientación. No se limita a la situación en la que el eje de simetría es paralelo al y eje.

S es el foco y V es el vértice principal de la parábola VG. Dibuja VX perpendicular a SV.

Tome cualquier punto B en VG y suelte un BQ perpendicular de B a VX. Dibuje ST perpendicular que cruce BQ, extendido si es necesario, en T. En B, dibuje el BJ perpendicular, intersecando VX en J.

Para la parábola, el segmento VBV, el área encerrada por la cuerda VB y el arco VB, es igual a ∆VBQ / 3, también B Q = V Q 2 4 S V < displaystyle BQ = < frac > <4SV> >>.

El área del sector parabólico SVB = ∆SVB + ∆VBQ / 3 = S V ⋅ V Q 2 + V Q ⋅ B Q 6 < displaystyle <> = < frac <2>> + < frac <6>>> .

Dado que los triángulos TSB y QBJ son similares,

Un círculo a través de S, V y B también pasa por J.

Por el contrario, si se encuentra un punto B en la parábola VG de modo que el área del sector SVB sea igual a un valor especificado, determine el punto J en VX y construya un círculo a través de S, V y J. Dado que SJ es el diámetro, el centro del círculo está en su punto medio, y se encuentra en la bisectriz perpendicular de SV, una distancia de la mitad VJ de SV. El punto requerido B es donde este círculo se cruza con la parábola.

Si un cuerpo sigue la trayectoria de la parábola debido a una fuerza inversa al cuadrado dirigida hacia S, el área SVB aumenta a una tasa constante a medida que el punto B avanza. De ello se deduce que J se mueve a velocidad constante a lo largo de VX cuando B se mueve a lo largo de la parábola.

Si la rapidez del cuerpo en el vértice donde se mueve perpendicularmente a SV es v, entonces la rapidez de J es igual a 3v/4.

La construcción se puede ampliar simplemente para incluir el caso en el que ninguno de los radios coincide con el eje SV de la siguiente manera. Sea A un punto fijo en VG entre V y B, y el punto H sea la intersección en VX con la perpendicular a SA en A. De lo anterior, el área del sector parabólico SAB = 2 SV ⋅ (VJ - VH) 3 = 2 SV ⋅ HJ 3 < displaystyle SAB = < frac <2SV cdot (VJ-VH)> <3>> = < frac <2SV cdot HJ> <3> >>.

Por el contrario, si se requiere encontrar el punto B para un área en particular SAB, encuentre el punto J desde HJ y el punto B como antes. Por el Libro 1, Proposición 16, Corolario 6 de Newton Principia, la velocidad de un cuerpo que se mueve a lo largo de una parábola con una fuerza dirigida hacia el foco es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del radio. Si la velocidad en A es v, entonces en el vértice V es S A S V v < displaystyle < sqrt < frac >> v>, y el punto J se mueve a una velocidad constante de 3 v 4 S A S V < displaystyle < frac <3v> <4>> < sqrt < frac >>> .

La construcción anterior fue ideada por Isaac Newton y se puede encontrar en el Libro 1 de Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica como Proposición 30.

La distancia focal de una parábola es la mitad de su radio de curvatura en su vértice.

La imagen está invertida. AB es el eje x. C es origen. O es el centro. A es (X, y). OA = OC = R. PA = x. CP = y. OP = (Ry). Otros puntos y líneas son irrelevantes para este propósito.

El radio de curvatura en el vértice es el doble de la distancia focal. Las medidas que se muestran en el diagrama anterior están en unidades del latus recto, que es cuatro veces la distancia focal.

Considere un punto (X, y) en un círculo de radio R y con centro en el punto (0, R). El círculo pasa por el origen. Si el punto está cerca del origen, el teorema de Pitágoras muestra que

Pero si (X, y) está extremadamente cerca del origen, ya que el eje x es tangente al círculo, y es muy pequeño en comparación con x, por lo que y 2 es insignificante en comparación con los otros términos. Por tanto, muy cerca del origen

Compare esto con la parábola

que tiene su vértice en el origen, se abre hacia arriba y tiene una distancia focal f (consulte las secciones anteriores de este artículo).

Las ecuaciones (1) y (2) son equivalentes si R = 2F . Por lo tanto, esta es la condición para que el círculo y la parábola coincidan en el origen y muy cerca del mismo. El radio de curvatura en el origen, que es el vértice de la parábola, es el doble de la distancia focal.

Un espejo cóncavo que es un pequeño segmento de una esfera se comporta aproximadamente como un espejo parabólico, enfocando luz paralela a un punto a medio camino entre el centro y la superficie de la esfera.

Otra definición de parábola usa transformaciones afines:

El longitud focal se puede determinar mediante una transformación de parámetro adecuada (que no cambia la forma geométrica de la parábola). La distancia focal es

Por lo tanto, la atención de la parábola es

La definición de parábola en esta sección da una representación paramétrica de una parábola arbitraria, incluso en el espacio, si se permite f → 0, f → 1, f → 2 < displaystyle < vec > ! _ <0>, < vec > ! _ <1>, < vec > ! _ <2>> para ser vectores en el espacio.

Esta curva es un arco de una parábola (ver § Como imagen afín de la parábola unitaria).

En un método de integración numérica se reemplaza la gráfica de una función por arcos de parábolas e integra los arcos de parábola. Una parábola está determinada por tres puntos. La fórmula para un arco es

Las siguientes cuadrículas contienen parábolas como secciones planas:

  • cono elíptico,
  • cilindro parabólico,
  • paraboloide elíptico,
  • paraboloide hiperbólico, de una hoja,
  • hiperboloide de dos hojas.

Hiperboloide de dos hojas

Una parábola se puede utilizar como trisectriz, es decir, permite la trisección exacta de un ángulo arbitrario con regla y compás. Esto no está en contradicción con la imposibilidad de una trisección de ángulo con construcciones de compás y regla solo, ya que el uso de parábolas no está permitido en las reglas clásicas para construcciones de compás y regla.

Esta trisección se remonta a René Descartes, quien la describió en su libro La Géométrie (1637). [18]

Si uno reemplaza los números reales por un campo arbitrario, muchas propiedades geométricas de la parábola y = x 2 < displaystyle y = x ^ <2>> siguen siendo válidas:

Esencialmente surgen fenómenos nuevos, si el campo tiene la característica 2 (es decir, 1 + 1 = 0 < displaystyle 1 + 1 = 0>): las tangentes son todas paralelas.

En geometría algebraica, la parábola se generaliza mediante las curvas normales racionales, que tienen coordenadas (X, X 2 , X 3 , …, x n ) la parábola estándar es el caso norte = 2, y el caso norte = 3 se conoce como cúbico retorcido. La variedad Veronese da una generalización adicional, cuando hay más de una variable de entrada.

En la teoría de las formas cuadráticas, la parábola es la gráfica de la forma cuadrática X 2 (u otras escalas), mientras que el paraboloide elíptico es el gráfico de la forma cuadrática definida positiva X 2 + y 2 (o escalas), y el paraboloide hiperbólico es el gráfico de la forma cuadrática indefinida X 2 − y 2. Las generalizaciones a más variables producen más objetos de este tipo.

Las curvas y = X pag porque otros valores de p se conocen tradicionalmente como el parábolas más altas y fueron tratados originalmente implícitamente, en la forma X pag = Kentucky q para pyq ambos enteros positivos, en cuya forma se ven como curvas algebraicas. Estos corresponden a la fórmula explícita y = X pag/q para una potencia fraccionaria positiva de x. Las potencias fraccionarias negativas corresponden a la ecuación implícita X pag y q = k y tradicionalmente se les conoce como hipérbolas más altas. Analíticamente, x también se puede elevar a una potencia irracional (para valores positivos de x) las propiedades analíticas son análogas a cuando x se eleva a potencias racionales, pero la curva resultante ya no es algebraica y no se puede analizar mediante geometría algebraica.

En la naturaleza, las aproximaciones de parábolas y paraboloides se encuentran en muchas situaciones diversas. El ejemplo más conocido de parábola en la historia de la física es la trayectoria de una partícula o cuerpo en movimiento bajo la influencia de un campo gravitacional uniforme sin resistencia del aire (por ejemplo, una bola que vuela por el aire, despreciando la fricción del aire).

La trayectoria parabólica de los proyectiles fue descubierta experimentalmente a principios del siglo XVII por Galileo, quien realizó experimentos con bolas rodando en planos inclinados. Más tarde también demostró esto matemáticamente en su libro Diálogo sobre dos nuevas ciencias. [19] [h] Para los objetos que se extienden en el espacio, como un buzo que salta de un trampolín, el objeto en sí sigue un movimiento complejo mientras gira, pero el centro de masa del objeto, no obstante, se mueve a lo largo de una parábola. Como en todos los casos en el mundo físico, la trayectoria es siempre una aproximación de una parábola. La presencia de resistencia del aire, por ejemplo, siempre distorsiona la forma, aunque a bajas velocidades, la forma es una buena aproximación a una parábola. A velocidades más altas, como en balística, la forma está muy distorsionada y no se parece a una parábola.

Otra situación hipotética en la que podrían surgir parábolas, según las teorías de la física descritas en los siglos XVII y XVIII por Sir Isaac Newton, es en órbitas de dos cuerpos, por ejemplo, la trayectoria de un pequeño planetoide u otro objeto bajo la influencia de la gravitación del sol. Las órbitas parabólicas no ocurren en la naturaleza; las órbitas simples se parecen más comúnmente a hipérbolas o elipses. La órbita parabólica es el caso intermedio degenerado entre esos dos tipos de órbita ideal. Un objeto que sigue una órbita parabólica viajaría a la velocidad de escape exacta del objeto que orbita objetos en órbitas elípticas o hiperbólicas viajan a menor o mayor velocidad de escape, respectivamente. Los cometas de períodos prolongados viajan cerca de la velocidad de escape del Sol mientras se mueven a través del sistema solar interior, por lo que sus trayectorias son casi parabólicas.

También se encuentran aproximaciones de parábolas en la forma de los cables principales en un simple puente colgante. La curva de las cadenas de un puente colgante es siempre una curva intermedia entre una parábola y una catenaria, pero en la práctica la curva suele estar más cerca de una parábola debido a que el peso de la carga (es decir, la carretera) es mucho mayor que los cables. ellos mismos, y en los cálculos se utiliza la fórmula polinomial de segundo grado de una parábola. [20] [21] Bajo la influencia de una carga uniforme (como una plataforma suspendida horizontal), el cable de otra manera en forma de catenaria se deforma hacia una parábola (ver Catenaria # Curva de puente colgante). A diferencia de una cadena inelástica, un resorte que cuelga libremente de longitud cero sin tensión toma la forma de una parábola. Los cables del puente colgante están, idealmente, puramente en tensión, sin tener que soportar otras fuerzas, por ejemplo, doblarse. Del mismo modo, las estructuras de los arcos parabólicos están puramente en compresión.

Los paraboloides también surgen en varias situaciones físicas.El ejemplo más conocido es el reflector parabólico, que es un espejo o dispositivo reflectante similar que concentra la luz u otras formas de radiación electromagnética en un punto focal común o, por el contrario, colima la luz de una fuente puntual en el foco en un haz paralelo. El principio del reflector parabólico puede haber sido descubierto en el siglo III a. C. por el geómetra Arquímedes, quien, según una leyenda dudosa, [22] construyó espejos parabólicos para defender Siracusa de la flota romana, concentrando los rayos del sol para prender fuego. a las cubiertas de los barcos romanos. El principio se aplicó a los telescopios en el siglo XVII. Hoy en día, los reflectores paraboloides se pueden observar comúnmente en gran parte del mundo en antenas receptoras y transmisoras de microondas y antenas parabólicas.

En los micrófonos parabólicos, se utiliza un reflector parabólico para enfocar el sonido en un micrófono, lo que le confiere un rendimiento altamente direccional.

Los paraboloides también se observan en la superficie de un líquido confinado a un recipiente y girado alrededor del eje central. En este caso, la fuerza centrífuga hace que el líquido trepe por las paredes del recipiente, formando una superficie parabólica. Este es el principio detrás del telescopio de espejo líquido.

Las aeronaves utilizadas para crear un estado de ingravidez con fines de experimentación, como el "Vomit Comet" de la NASA, siguen una trayectoria parabólica verticalmente durante breves períodos para trazar el curso de un objeto en caída libre, lo que produce el mismo efecto que la gravedad cero para la mayoría de los propósitos.

Galería Editar

Una pelota que rebota capturada con un flash estroboscópico a 25 imágenes por segundo. La pelota se vuelve significativamente no esférica después de cada rebote, especialmente después del primero. Eso, junto con la resistencia al giro y al aire, hace que la curva barrida se desvíe ligeramente de la parábola perfecta esperada.

Trayectorias parabólicas del agua en una fuente.

El camino (en rojo) del cometa Kohoutek a su paso por el sistema solar interior, mostrando su forma casi parabólica. La órbita azul es la de la Tierra.

Los cables de soporte de los puentes colgantes siguen una curva intermedia entre una parábola y una catenaria.

El Puente Arcoíris sobre el río Niágara, que conecta Canadá (izquierda) con Estados Unidos (derecha). El arco parabólico está en compresión y soporta el peso de la carretera.

Arcos parabólicos utilizados en arquitectura

Forma parabólica formada por una superficie líquida en rotación. Dos líquidos de diferentes densidades llenan por completo un espacio estrecho entre dos láminas de plástico transparente. El espacio entre las hojas se cierra en la parte inferior, los lados y la parte superior. Todo el conjunto gira alrededor de un eje vertical que pasa por el centro. (Ver horno rotatorio)

Micrófono parabólico con reflector de plástico ópticamente transparente utilizado en un partido de fútbol americano universitario.

El reflector de Edison, montado en un carro. La luz tenía un reflector parabólico.

El físico Stephen Hawking en un avión que vuela una trayectoria parabólica para simular la gravedad cero


Ver el vídeo: Coordenadas Polares Qué son? EXPLICACIÓN COMPLETA (Noviembre 2021).