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Campos vectoriales conservadores - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Describe curvas simples y cerradas; definir regiones conectadas y simplemente conectadas.
  • Explique cómo encontrar una función potencial para un campo vectorial conservador.
  • Use el Teorema fundamental para integrales de línea para evaluar una integral de línea en un campo vectorial.
  • Explique cómo probar un campo vectorial para determinar si es conservador.

En esta sección, continuamos el estudio de campos vectoriales conservadores. Examinamos el Teorema fundamental para integrales de línea, que es una generalización útil del Teorema fundamental del cálculo para integrales de línea de campos vectoriales conservadores. También descubrimos mostrar cómo probar si un campo vectorial dado es conservador y determinar cómo construir una función potencial para un campo vectorial que se sabe que es conservador.

Curvas y regiones

Antes de continuar nuestro estudio de campos vectoriales conservadores, necesitamos algunas definiciones geométricas. Todos los teoremas de las secciones siguientes se basan en la integración sobre ciertos tipos de curvas y regiones, por lo que aquí desarrollamos las definiciones de esas curvas y regiones. Primero definimos dos tipos especiales de curvas: curvas cerradas y curvas simples. Como hemos aprendido, una curva cerrada es aquella que comienza y termina en el mismo punto. Una curva simple es aquella que no se cruza. Una curva que es cerrada y simple es una curva cerrada simple (Figura ( PageIndex {1} )).

DEFINICIÓN: Curvas cerradas

La curva (C ) es una curva cerrada si hay una parametrización ( vecs r (t) ), (a≤t≤b ) de (C ) tal que la parametrización atraviese la curva exactamente una vez y ( vecs r (a) = vecs r (b) ). La curva (C ) es una curva simple si (C ) no se cruza. Es decir, (C ) es simple si existe una parametrización ( vecs r (t) ), (a≤t≤b ) de (C ) tal que ( vecs r ) es uno a uno sobre ((a, b) ). Es posible para ( vecs r (a) = vecs r (b) ), lo que significa que la curva simple también es cerrada.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): determinar si una curva es simple y cerrada

¿Es la curva con parametrización ( vecs {r} (t) = left langle cos t, frac { sin (2t)} {2} right rangle ), (0≤t≤2 pi ) ¿una simple curva cerrada?

Solución

Tenga en cuenta que ( vecs {r} (0) = ⟨1,0⟩ = vecs r (2 pi) ); por tanto, la curva está cerrada. Sin embargo, la curva no es simple. Para ver esto, tenga en cuenta que ( vecs {r} left ( frac { pi} {2} right) = ⟨0,0⟩ = vecs {r} left ( frac {3 pi} {2} right) ) y, por lo tanto, la curva se cruza en el origen (Figura ( PageIndex {2} )).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

¿La curva dada por la parametrización ( vecs {r} (t) = ⟨2 cos t, 3 sin t⟩ ), (0≤t≤6 pi ), es una curva cerrada simple?

Pista

Dibuja la curva.

Respuesta

Muchos de los teoremas de este capítulo relacionan una integral sobre una región con una integral sobre el límite de la región, donde el límite de la región es una curva cerrada simple o una unión de curvas cerradas simples. Para desarrollar estos teoremas, necesitamos dos definiciones geométricas para regiones: la de una región conectada y la de una región simplemente conectada. Una región conectada es aquella en la que hay una ruta en la región que conecta dos puntos cualesquiera que se encuentren dentro de esa región. Una región simplemente conectada es una región conectada que no tiene agujeros. Estas dos nociones, junto con la noción de una curva cerrada simple, nos permiten enunciar varias generalizaciones del Teorema Fundamental del Cálculo más adelante en este capítulo. Estas dos definiciones son válidas para regiones en cualquier número de dimensiones, pero solo nos interesan las regiones en dos o tres dimensiones.

DEFINICIÓN: regiones conectadas

Una region D es un región conectada si, para dos puntos cualesquiera (P_1 ) y (P_2 ), hay una ruta de (P_1 ) a (P_2 ) con un trazo contenido completamente dentro D. Una region D es una región simplemente conectada si D está conectado para cualquier curva cerrada simple C que yace dentro Dy curva C Puede encogerse continuamente hasta un punto mientras permanece completamente adentro. D. En dos dimensiones, una región simplemente se conecta si está conectada y no tiene agujeros.

Todas las regiones simplemente conectadas están conectadas, pero no todas las regiones conectadas están simplemente conectadas (Figura ( PageIndex {3} )).

Ejercicio ( PageIndex {2} )

¿Está conectada la región de la imagen de abajo? ¿La región está simplemente conectada?

Pista

Considere las definiciones.

Respuesta

La región de la figura está conectada. La región de la figura no está simplemente conectada.

Teorema fundamental para integrales de línea

Ahora que entendemos algunas curvas y regiones básicas, generalicemos el Teorema fundamental del cálculo a integrales de línea. Recuerde que el Teorema fundamental del cálculo dice que si una función (f ) tiene una antiderivada (F ), entonces la integral de (f ) de (a ) a (b ) depende sólo de los valores de (F ) en (a ) y en (b ) - es decir,

[ int_a ^ bf (x) , dx = F (b) −F (a). ]

Si pensamos en el gradiente como una derivada, entonces el mismo teorema se aplica a las integrales de líneas vectoriales. Mostramos cómo funciona esto usando un ejemplo motivacional.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): evaluación de una integral de línea y las antiderivadas de los extremos

Sea ( vecs {F} (x, y) = ⟨2x, 4y⟩ ). Calcula ( Displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ), donde C es el segmento de línea de ((0,0) ) a ((2,2) ) (Figura ( PageIndex {4} )).

Solución

Usamos el método de la sección anterior para calcular ( int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ). Curva C puede parametrizarse mediante ( vecs {r} (t) = ⟨2t, 2t⟩ ), (0≤t≤1 ). Entonces, ( vecs {F} ( vecs r (t)) = ⟨4t, 8t⟩ ) y ( vecs r ′ (t) = ⟨2,2⟩ ), lo que implica que

[ begin {align *} int_C vecs {F} · d vecs {r} & = int_0 ^ 1⟨4t, 8t⟩ · ⟨2,2⟩dt [4pt] & = int_0 ^ 1 (8t + 16t) dt = int_0 ^ 1 24tdt [4pt] & = { big [12t ^ 2 big]} _ 0 ^ 1 = 12. end {align *} ]

Observe que ( vecs {F} = vecs nabla f ), donde (f (x, y) = x ^ 2 + 2y ^ 2 ). Si pensamos en el gradiente como una derivada, entonces (f ) es una "antiderivada" de ( vecs {F} ). En el caso de integrales de una sola variable, la integral de la derivada (g ′ (x) ) es (g (b) −g (a) ), donde a es el punto de inicio del intervalo de integración y B es el punto final. Si las integrales de línea vectorial funcionan como integrales de una sola variable, entonces esperaríamos que la integral ( vecs {F} ) sea (f (P_1) −f (P_0) ), donde (P_1 ) es el punto final de la curva de integración y (P_0 ) es el punto de inicio. Tenga en cuenta que este es el caso de este ejemplo:

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = int_C vecs nabla f cdot d vecs {r} = 12 nonumber ]

y

[f (2,2) −f (0,0) = 4 + 8−0 = 12. sin número]

En otras palabras, la integral de una "derivada" se puede calcular evaluando una "antiderivada" en los puntos finales de la curva y restando, al igual que para las integrales de una sola variable.

El siguiente teorema dice que, bajo ciertas condiciones, lo que sucedió en el ejemplo anterior es válido para cualquier campo de gradiente. El mismo teorema se aplica a las integrales de línea vectorial, que llamamos Teorema fundamental para integrales de línea.

Teorema: EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS INTEGRALES DE LÍNEA

Dejar C ser una curva suave por partes con parametrización ( vecs r (t) ), (a≤t≤b ). Sea (f ) una función de dos o tres variables con derivadas parciales de primer orden que existen y son continuas en C. Luego,

[ int_C vecs nabla f cdot d vecs {r} = f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (a)). label {FunTheLine} ]

Prueba

Primero,

[ int_C vecs nabla f cdot d vecs {r} = int_a ^ b vecs nabla f ( vecs r (t)) cdot vecs r ′ (t) , dt. sin número ]

Por la regla de la cadena,

[ dfrac {d} {dt} (f ( vecs r (t)) = vecs nabla f ( vecs r (t)) cdot vecs r ′ (t) nonumber ]

Por lo tanto, según el teorema fundamental del cálculo,

[ begin {align *} int_C vecs nabla f cdot d vecs {r} & = int_a ^ b vecs nabla f ( vecs r (t)) cdot vecs r ′ (t ) dt [4pt] & = int_a ^ b dfrac {d} {dt} (f ( vecs r (t)) dt [4pt] & = { big [f ( vecs r (t) )) big]} _ {t = a} ^ {t = b} [4pt] & = f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (a)). end {align * } ]

(cuadrado)

Sabemos que si ( vecs {F} ) es un campo vectorial conservador, existe una función potencial (f ) tal que ( vecs nabla f = vecs F ). Por lo tanto

[ int_C vecs F · d vecs r = int_C vecs nabla f · d vecs {r} = f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (a)). ]

En otras palabras, al igual que con el Teorema fundamental del cálculo, calcular la integral de línea ( int_C vecs F · d vecs {r} ), donde ( vecs {F} ) es conservadora, es dos -paso de proceso:

  1. Encuentre una función potencial ("antiderivada") (f ) para ( vecs {F} ) y
  2. Calcule el valor de (f ) en los extremos de (C ) y calcule su diferencia (f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (a)) ).

Sin embargo, tenga en cuenta que hay una diferencia importante entre el Teorema fundamental del cálculo y el Teorema fundamental para las integrales de línea:
Una función de una variable que es continua debe tener una antiderivada. Sin embargo, un campo vectorial, incluso si es continuo, no necesita tener una función potencial.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Aplicación del teorema fundamental

Calcule la integral ( int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ), donde ( vecs {F} (x, y, z) = ⟨2x ln y, dfrac {x ^ 2 } {y} + z ^ 2,2yz⟩ ) y (C ) es una curva con parametrización ( vecs {r} (t) = ⟨t ^ 2, t, t⟩ ), (1 ≤t≤e )

  1. sin utilizar el teorema fundamental de las integrales de línea y
  2. utilizando el Teorema fundamental de las integrales de línea.

Solución

1. Primero, calculemos la integral sin el Teorema fundamental para integrales de línea y en su lugar usemos el método que aprendimos en la sección anterior:

[ begin {align *} int_C vecs {F} cdot dr & = int_1 ^ e vecs F ( vecs r (t)) cdot vecs r ′ (t) , dt [ 4pt] & = int_1 ^ e⟨2t ^ 2 ln t, dfrac {t ^ 4} {t} + t ^ 2,2t ^ 2⟩ cdot ⟨2t, 1,1⟩ , dt [ 4pt] & = int_1 ^ e (4t ^ 3 ln t + t ^ 3 + 3t ^ 2) , dt [4pt] & = int_1 ^ e 4t ^ 3 ln t , dt + int_1 ^ e (t ^ 3 + 3t ^ 2) , dt [4pt] & = int_1 ^ e 4t ^ 3 ln t , dt + { Big [ dfrac {t ^ 4} {4} + t ^ 3 Big]} _ 1 ^ e [4pt] & = int_1 ^ e 4t ^ 3 ln t , dt + dfrac {e ^ 4} {4} + e ^ 3 - dfrac {1} {4 } −1 [4pt] & = int_1 ^ e 4t ^ 3 ln t , dt + dfrac {e ^ 4} {4} + e ^ 3 - dfrac {5} {4} end {align *} ]

La integral ( displaystyle int_1 ^ e t ^ 3 ln t , dt ) requiere integración por partes. Sea (u = ln t ) y (dv = t ^ 3 ). Entonces (u = ln t ), (dv = t ^ 3 )

y

[du = dfrac {1} {t} , dt, ; ; v = dfrac {t ^ 4} {4}. nonumber ]

Por lo tanto,

[ begin {align *} int_1 ^ et ^ 3 ln t , dt & = { Big [ dfrac {t ^ 4} {4} ln t Big]} _ 1 ^ e− dfrac { 1} {4} int_1 ^ et ^ 3 , dt [4pt] & = dfrac {e ^ 4} {4} - dfrac {1} {4} left ( dfrac {e ^ 4} {4} - dfrac {1} {4} derecha). end {align *} ]

Por lo tanto,

[ begin {align *} int_C vecs F cdot d vecs {r} & = 4 int_1 ^ et ^ 3 ln t , dt quad + quad dfrac {e ^ 4} {4 } + e ^ 3 - dfrac {5} {4} [4pt] & = 4 left ( dfrac {e ^ 4} {4} - dfrac {1} {4} left ( dfrac { e ^ 4} {4} - dfrac {1} {4} right) right) + dfrac {e ^ 4} {4} + e ^ 3− dfrac {5} {4} [4pt ] & = e ^ 4− dfrac {e ^ 4} {4} + dfrac {1} {4} + dfrac {e ^ 4} {4} + e ^ 3− dfrac {5} {4} [4pt] & = e ^ 4 + e ^ 3−1. end {align *} ]

2. Dado que (f (x, y, z) = x ^ 2 ln y + yz ^ 2 ) es una función potencial para ( vecs F ), usemos el Teorema fundamental para integrales de línea para calcular la integral. Tenga en cuenta que

[ begin {align *} int_C vecs F cdot d vecs {r} & = int_C vecs nabla f cdot d vecs {r} [4pt] & = f ( vecs r (e)) - f ( vecs r (1)) [4pt] & = f (e ^ 2, e, e) −f (1,1,1) [4pt] & = e ^ 4 + e ^ 3−1. end {align *} ]

Este cálculo es mucho más sencillo que el cálculo que hicimos en (a). Siempre que tengamos una función potencial, calcular una integral de línea usando el Teorema fundamental para integrales de línea es mucho más fácil que calcular sin el teorema.

El ejemplo ( PageIndex {3} ) ilustra una característica interesante del Teorema fundamental de las integrales de línea: nos permite calcular más fácilmente muchas integrales de línea vectorial. Siempre que tengamos una función potencial, calcular la integral de línea es solo una cuestión de evaluar la función potencial en los puntos finales y restar.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Dado que (f (x, y) = {(x − 1)} ^ 2y + {(y + 1)} ^ 2x ) es una función potencial para ( vecs F (x, y) = ⟨2xy− 2y + {(y + 1)} ^ 2, {(x − 1)} ^ 2 + 2yx + 2x⟩ ), calcula la integral ( int_C vecs F · d vecs r ), donde (C ) es la mitad inferior del círculo unitario orientado en sentido antihorario.

Pista

El Teorema fundamental para intervalos de línea dice que esta integral depende solo del valor de (f ) en los puntos finales de (C ).

Respuesta

2

El teorema fundamental de las integrales de línea tiene dos consecuencias importantes. La primera consecuencia es que si ( vecs {F} ) es conservador y (C ) es una curva cerrada, entonces la circulación de ( vecs {F} ) a lo largo de (C ) es cero— es decir, ( int_C vecs F · d vecs r = 0 ). Para ver por qué esto es cierto, sea (f ) una función potencial para ( vecs {F} ). Como (C ) es una curva cerrada, el punto terminal ( vecs r (b) ) de (C ) es el mismo que el ( vecs r (a) ) inicial de (C ) - es decir, ( vecs r (a) = vecs r (b) ). Por lo tanto, según el teorema fundamental de las integrales de línea,

[ begin {align} oint_C vecs F · d vecs r & = oint_C vecs nabla f · d vecs r [4pt] & = f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (a)) [4pt] & = f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (b)) [4pt] & = 0. end {align} ]

Recuerde que la razón por la que un campo vectorial conservador ( vecs {F} ) se llama "conservador" es porque tales campos vectoriales modelan fuerzas en las que se conserva la energía. Hemos demostrado que la gravedad es un ejemplo de tal fuerza. Si pensamos en el campo vectorial ( vecs {F} ) en la integral ( oint_C vecs F · d vecs r ) como un campo gravitacional, entonces la ecuación ( oint_C vecs {F} · d vecs {r} = 0 ) sigue. Si una partícula viaja a lo largo de un camino que comienza y termina en el mismo lugar, entonces el trabajo realizado por la gravedad sobre la partícula es cero.

La segunda consecuencia importante del Teorema fundamental para integrales de línea (Ecuación ref {FunTheLine}) es que las integrales de línea de campos vectoriales conservadores son independientes de la trayectoria, es decir, dependen solo de los puntos finales de la curva dada y no dependen de la ruta entre los puntos finales.

DEFINICIÓN: Path Independence

Sea ( vecs {F} ) un campo vectorial con dominio (D ); es independiente de la ruta (o independiente de la ruta) si

[ int_ {C_1} vecs {F} · d vecs {r} = int_ {C_2} vecs {F} · d vecs {r} ]

para cualquier ruta (C_1 ) y (C_2 ) en (D ) con los mismos puntos iniciales y terminales.

La segunda consecuencia se establece formalmente en el siguiente teorema.

Teorema: CAMPOS CONSERVADORES

Si ( vecs {F} ) es un campo vectorial conservador, entonces ( vecs {F} ) es independiente de la ruta.

Prueba

Sea (D ) el dominio de ( vecs {F} ) y sean (C_1 ) y (C_2 ) dos caminos en (D ) con los mismos puntos iniciales y terminales (Figura ( PageIndex {5} )). Llame al punto inicial (P_1 ) y al punto terminal (P_2 ). Dado que ( vecs {F} ) es conservador, existe una función potencial (f ) para ( vecs {F} ). Según el teorema fundamental de las integrales de línea,

[ int_ {C_1} vecs {F} · d vecs {r} = f (P_2) −f (P_1) = int_ {C_2} vecs {F} · d vecs {r}. sin número]

Por lo tanto, ( int_ {C_1} vecs F · d vecs r = int_ {C_2} vecs F · d vecs r ) y ( vecs {F} ) es independiente de la ruta.

(cuadrado)

Para visualizar lo que significa la independencia del camino, imagine a tres excursionistas subiendo desde el campamento base hasta la cima de una montaña. El excursionista 1 toma una ruta empinada directamente desde el campamento hasta la cima. Hiker 2 toma una ruta sinuosa que no es empinada desde el campamento hasta la cima. El caminante 3 comienza tomando la ruta empinada, pero a mitad de camino hacia la cima decide que es demasiado difícil para él. Por lo tanto, regresa al campamento y toma el camino no empinado hasta la cima. Los tres excursionistas viajan por caminos en un campo gravitacional. Dado que la gravedad es una fuerza en la que se conserva la energía, el campo gravitacional es conservador. Por independencia de camino, la cantidad total de trabajo realizado por gravedad sobre cada uno de los excursionistas es el mismo porque todos comenzaron en el mismo lugar y terminaron en el mismo lugar. El trabajo realizado por los excursionistas incluye otros factores como la fricción y el movimiento muscular, por lo que la cantidad total de energía que gasta cada uno no es la misma, pero la energía neta gastada contra la gravedad es la misma para los tres excursionistas.

Hemos demostrado que si ( vecs {F} ) es conservador, entonces ( vecs {F} ) es independiente de la ruta. Resulta que si el dominio de ( vecs {F} ) está abierto y conectado, entonces lo contrario también es cierto. Es decir, si ( vecs {F} ) es independiente de la ruta y el dominio de ( vecs {F} ) está abierto y conectado, entonces ( vecs {F} ) es conservador. Por lo tanto, el conjunto de campos vectoriales conservadores en dominios abiertos y conectados es precisamente el conjunto de campos vectoriales independientes de la ruta.

Teorema: LA PRUEBA DE INDEPENDENCIA DE LA RUTA PARA CAMPOS CONSERVADORES

Si ( vecs {F} ) es un campo vectorial continuo que es independiente de la ruta y el dominio (D ) de ( vecs {F} ) está abierto y conectado, entonces ( vecs {F } ) es conservador.

Prueba

Demostramos el teorema para campos vectoriales en (ℝ ^ 2 ). La prueba de los campos vectoriales en (ℝ ^ 3 ) es similar. Para mostrar que ( vecs F = ⟨P, Q⟩ ) es conservador, debemos encontrar una función potencial (f ) para ( vecs {F} ). Con ese fin, sea (X ) un punto fijo en (D ). Para cualquier punto ((x, y) ) en (D ), sea (C ) una ruta de (X ) a ((x, y) ). Defina (f (x, y) ) por (f (x, y) = int_C vecs F · d vecs r ). (Tenga en cuenta que esta definición de (f ) tiene sentido solo porque ( vecs {F} ) es independiente de la ruta. Si ( vecs {F} ) no fuera independiente de la ruta, entonces podría ser posible para encontrar otra ruta (C ′ ) desde (X ) a ((x, y) ) tal que ( int_C vecs F · d vecs r ≠ int_C vecs F · d vecs r ), y en tal caso (f (x, y) ) no sería una función.) Queremos mostrar que (f ) tiene la propiedad ( vecs nabla f = vecs F ).

Dado que el dominio (D ) está abierto, es posible encontrar un disco centrado en ((x, y) ) de manera que el disco esté contenido completamente dentro de (D ). Sea ((a, y) ) con (a

[f (x, y) = int_ {C_1} vecs F · d vecs r + int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r. nonumber ]

La primera integral no depende de (x ), entonces

[f_x (x, y) = dfrac {∂} {∂x} int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r. sin número]

Si parametrizamos (C_2 ) por ( vecs r (t) = ⟨t, y⟩ ), (a≤t≤x ), entonces

[ begin {align *} f_x (x, y) & = dfrac {∂} {∂x} int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r [4pt] & = dfrac {∂ } {∂x} int_a ^ x vecs F ( vecs r (t)) cdot vecs r ′ (t) , dt [4pt] & = dfrac {∂} {∂x} int_a ^ x vecs F ( vecs r (t)) cdot dfrac {d} {dt} (⟨t, y⟩) , dt [4pt] & = dfrac {∂} {∂x} int_a ^ x vecs F ( vecs r (t)) cdot ⟨1,0⟩ , dt [4pt] & = dfrac {∂} {∂x} int_a ^ x P (t, y) , dt. [4pt] end {align *} ]

Según el teorema fundamental del cálculo (parte 1),

[f_x (x, y) = dfrac {∂} {∂x} int_a ^ x P (t, y) , dt = P (x, y). nonumber ]

Un argumento similar que usa un segmento de línea vertical en lugar de un segmento de línea horizontal muestra que (f_y (x, y) = Q (x, y) ).

Por lo tanto, ( vecs nabla f = vecs F ) y ( vecs {F} ) es conservador.

(cuadrado)

Hemos pasado mucho tiempo discutiendo y probando los teoremas anteriores, pero podemos resumirlos simplemente: un campo vectorial ( vecs F ) en un dominio abierto y conectado es conservador si y solo si es independiente de la ruta. Es importante saber esto porque los campos vectoriales conservadores son extremadamente importantes en las aplicaciones, y estos teoremas nos brindan una forma diferente de ver lo que significa ser conservador utilizando la independencia de ruta.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): muestra que un campo vectorial no es conservador

Utilice la independencia de la ruta para mostrar que el campo vectorial ( vecs F (x, y) = ⟨x ^ 2y, y + 5⟩ ) no es conservador.

Solución

Podemos indicar que ( vecs {F} ) no es conservador mostrando que ( vecs {F} ) no es independiente de la ruta. Lo hacemos dando dos caminos diferentes, (C_1 ) y (C_2 ), que comienzan en ((0,0) ) y terminan en ((1,1) ), y sin embargo ( int_ {C_1} vecs F cdot d vecs r ≠ int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r ).

Sea (C_1 ) la curva con parametrización ( vecs r_1 (t) = ⟨t, , t⟩ ), (0≤t≤1 ) y sea (C_2 ) la curva con parametrización ( vecs r_2 (t) = ⟨t, , t ^ 2⟩ ), (0≤t≤1 ) (Figura ( PageIndex {7} ).). Luego

[ begin {align *} int_ {C_1} vecs {F} · d vecs r & = int_0 ^ 1 vecs F ( vecs r_1 (t)) · vecs r_1 ′ (t) , dt [4pt] & = int_0 ^ 1⟨t ^ 3, t + 5⟩ · ⟨1,1⟩ , dt = int_0 ^ 1 (t ^ 3 + t + 5) , dt [ 4pt] & = { Big [ dfrac {t ^ 4} {4} + dfrac {t ^ 2} {2} + 5t Big]} _ 0 ^ 1 = dfrac {23} {4} end { alinear*}]

y

[ begin {align *} int_ {C_2} vecs F · d vecs r & = int_0 ^ 1 vecs F ( vecs r_2 (t)) · vecs r_2 ′ (t) , dt [4pt] & = int_0 ^ 1⟨t ^ 4, t ^ 2 + 5⟩ · ⟨1,2t⟩ , dt = int_0 ^ 1 (t ^ 4 + 2t ^ 3 + 10t) , dt [4pt] & = { Big [ dfrac {t ^ 5} {5} + dfrac {t ^ 4} {2} + 5t ^ 2 Big]} _ 0 ^ 1 = dfrac {57} {10 }. end {align *} ]

Dado que ( int_ {C_1} vecs F cdot d vecs r ≠ int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r ), el valor de una integral de línea de ( vecs {F} ) depende de la ruta entre dos puntos dados. Por lo tanto, ( vecs {F} ) no es independiente de la ruta y ( vecs {F} ) no es conservador.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Demuestre que ( vecs {F} (x, y) = ⟨xy, , x ^ 2y ^ 2⟩ ) no es independiente de la ruta considerando el segmento de línea de ((0,0) ) a ( (0,2) ) y la parte de la gráfica de (y = dfrac {x ^ 2} {2} ) que va de ((0,0) ) a ((0,2) ).

Pista

Calcula las integrales de línea correspondientes.

Respuesta

Si (C_1 ) y (C_2 ) representan las dos curvas, entonces [ int_ {C_1} vecs F cdot d vecs r ≠ int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r. sin número]

Campos vectoriales conservadores y funciones potenciales

Como hemos aprendido, el Teorema fundamental para integrales de línea dice que si ( vecs {F} ) es conservador, entonces calcular ( int_C vecs F · d vecs r ) tiene dos pasos: primero, encuentre un función potencial (f ) para ( vecs {F} ) y, segundo, calcular (f (P_1) −f (P_0) ), donde (P_1 ) es el punto final de (C ) y (P_0 ) es el punto de partida. Para usar este teorema para un campo conservador ( vecs {F} ), debemos ser capaces de encontrar una función potencial (f ) para ( vecs {F} ). Por lo tanto, debemos responder a la siguiente pregunta: Dado un campo vectorial conservador ( vecs {F} ), ¿cómo encontramos una función (f ) tal que ( vecs nabla f = vecs {F} )? Antes de dar un método general para encontrar una función potencial, motivemos el método con un ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): encontrar una función potencial

Encuentre una función potencial para ( vecs F (x, y) = ⟨2xy ^ 3,3x ^ 2y ^ 2 + cos (y)⟩ ), mostrando así que ( vecs {F} ) es conservador .

Solución

Suponga que (f (x, y) ) es una función potencial para ( vecs {F} ). Entonces, ( vecs nabla f = vecs F ), y por lo tanto

[f_x (x, y) = 2xy ^ 3 ; ; text {y} ; ; f_y (x, y) = 3x ^ 2y ^ 2 + cos y. sin número]

Integrar la ecuación (f_x (x, y) = 2xy ^ 3 ) con respecto a (x ) produce la ecuación

[f (x, y) = x ^ 2y ^ 3 + h (y). sin número]

Observe que, dado que estamos integrando una función de dos variables con respecto a (x ), debemos agregar una constante de integración que es una constante con respecto a (x ), pero aún puede ser una función de (y ). La ecuación (f (x, y) = x ^ 2y ^ 3 + h (y) ) se puede confirmar tomando la derivada parcial con respecto a (x ):

[ dfrac {∂f} {∂x} = dfrac {∂} {∂x} (x ^ 2y ^ 3) + dfrac {∂} {∂x} (h (y)) = 2xy ^ 3 + 0 = 2xy ^ 3. sin número]

Dado que (f ) es una función potencial para ( vecs {F} ),

[f_y (x, y) = 3x ^ 2y ^ 2 + cos (y), nonumber ]

y por lo tanto

[3x ^ 2y ^ 2 + g ′ (y) = 3x ^ 2y ^ 2 + cos (y). sin número]

Esto implica que (h ′ (y) = cos y ), entonces (h (y) = sin y + C ). Por lo tanto, ninguna función de la forma (f (x, y) = x ^ 2y ^ 3 + sin (y) + C ) es una función potencial. Tomando, en particular, (C = 0 ) da la función potencial (f (x, y) = x ^ 2y ^ 3 + sin (y) ).

Para verificar que (f ) es una función potencial, tenga en cuenta que ( vecs nabla f (x, y) = ⟨2xy ^ 3,3x ^ 2y ^ 2 + cos y⟩ = vecs F ).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Encuentre una función potencial para ( vecs {F} (x, y) = ⟨e ^ xy ^ 3 + y, 3e ^ xy ^ 2 + x⟩ ).

Pista

Siga los pasos del Ejemplo ( PageIndex {5} ).

Respuesta

(f (x, y) = e ^ xy ^ 3 + xy )

La lógica del ejemplo anterior se extiende a encontrar la función potencial para cualquier campo vectorial conservador en (ℝ ^ 2 ). Por lo tanto, tenemos la siguiente estrategia de resolución de problemas para encontrar funciones potenciales:

ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: ENCONTRAR UNA FUNCIÓN POTENCIAL PARA UN CAMPO VECTORIAL CONSERVADOR ( vecs {F} (x, y) = ⟨P (x, y), Q (x, y)⟩ )

  1. Integra (P ) con respecto a (x ). Esto da como resultado una función de la forma (g (x, y) + h (y) ), donde (h (y) ) es desconocida.
  2. Tome la derivada parcial de (g (x, y) + h (y) ) con respecto a (y ), que da como resultado la función (gy (x, y) + h ′ (y) ) .
  3. Usa la ecuación (gy (x, y) + h ′ (y) = Q (x, y) ) para encontrar (h ′ (y) ).
  4. Integra (h ′ (y) ) para encontrar (h (y) ).
  5. Cualquier función de la forma (f (x, y) = g (x, y) + h (y) + C ), donde (C ) es una constante, es una función potencial para ( vecs { F}).

Podemos adaptar esta estrategia para encontrar funciones potenciales para campos vectoriales en (ℝ ^ 3 ), como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Encontrar una función potencial en (ℝ ^ 3 )

Encuentre una función potencial para (F (x, y, z) = ⟨2xy, x ^ 2 + 2yz ^ 3,3y ^ 2z ^ 2 + 2z⟩ ), mostrando así que ( vecs {F} ) es conservador.

Solución

Suponga que (f ) es una función potencial. Entonces, ( vecs nabla f = vecs {F} ) y por lo tanto (f_x (x, y, z) = 2xy ). La integración de esta ecuación con respecto a (x ) produce la ecuación (f (x, y, z) = x ^ 2y + g (y, z) ) para alguna función (g ). Observe que, en este caso, la constante de integración con respecto a (x ) es una función de (y ) y (z ).

Dado que (f ) es una función potencial,

[x ^ 2 + 2yz ^ 3 = f_y (x, y, z) = x ^ 2 + g_y (y, z). sin número]

Por lo tanto,

[g_y (y, z) = 2yz ^ 3. sin número]

La integración de esta función con respecto a (y ) produce

[g (y, z) = y ^ 2z ^ 3 + h (z) nonumber ]

para alguna función (h (z) ) de (z ) solo. (Note que, como sabemos que (g ) es una función de solo (y ) y (z ), no necesitamos escribir (g (y, z) = y ^ 2z ^ 3 + h (x, z) ).) Por lo tanto,

[f (x, y, z) = x ^ 2y + g (y, z) = x ^ 2y + y ^ 2z ^ 3 + h (z). sin número]

Para encontrar (f ), ahora solo debemos encontrar (h ). Dado que (f ) es una función potencial,

[3y ^ 2z ^ 2 + 2z = g_z (y, z) = 3y ^ 2z ^ 2 + h ′ (z). sin número]

Esto implica que (h ′ (z) = 2z ), entonces (h (z) = z ^ 2 + C ). Dejando (C = 0 ) da la función potencial

[f (x, y, z) = x ^ 2y + y ^ 2z ^ 3 + z ^ 2. sin número]

Para verificar que (f ) es una función potencial, tenga en cuenta que ( vecs nabla f (x, y, z) = ⟨2xy, x ^ 2 + 2yz ^ 3,3y ^ 2z ^ 2 + 2z⟩ = vecs F (x, y, z) ).

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Encuentra una función potencial para ( vecs {F} (x, y, z) = ⟨12x ^ 2, cos y cos z, 1− sin y sin z⟩ ).

Pista

Siguiendo el Ejemplo ( PageIndex {6} ), comience integrando con respecto a (x ).

Respuesta

(f (x, y, z) = 4x ^ 3 + sin y cos z + z )

Podemos aplicar el proceso de encontrar una función potencial a una fuerza gravitacional. Recuerde que, si un objeto tiene unidad de masa y está ubicado en el origen, entonces la fuerza gravitacional en (ℝ ^ 2 ) que el objeto ejerce sobre otro objeto de unidad de masa en el punto ((x, y) ) viene dado por campo vectorial

( vecs F (x, y) = - G left langle dfrac {x} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}}, dfrac {y} {{( x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} right rangle ),

donde (G ) es la constante gravitacional universal. En el siguiente ejemplo, construimos una función potencial para ( vecs {F} ), confirmando así lo que ya sabemos: que la gravedad es conservadora.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): encontrar una función potencial

Encuentra una función potencial (f ) para ( vecs {F} (x, y) = - G left langle dfrac {x} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3 / 2}}, dfrac {y} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} right rangle ).

Solución

Suponga que (f ) es una función potencial. Entonces, ( vecs nabla f = vecs {F} ) y por lo tanto

[f_x (x, y) = dfrac {−Gx} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}}. nonumber ]

Para integrar esta función con respecto a (x ), podemos usar (u ) - sustitución. Si (u = x ^ 2 + y ^ 2 ), entonces ( dfrac {du} {2} = x , dx ), entonces

[ begin {align *} int dfrac {−Gx} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} , dx & = int dfrac {−G} {2u ^ {3/2}} , du [4pt] & = dfrac {G} { sqrt {u}} + h (y) [4pt] & = dfrac {G} { sqrt { x ^ 2 + y ^ 2}} + h (y) end {align *} ]

para alguna función (h (y) ). Por lo tanto,

[f (x, y) = dfrac {G} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} + h (y). nonumber ]

Dado que (f ) es una función potencial para ( vecs {F} ),

[f_y (x, y) = dfrac {−Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} nonumber ].

Dado que (f (x, y) = dfrac {G} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} + h (y) ), (f_y (x, y) ) también es igual a ( dfrac {−Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} + h ′ (y) ).

Por lo tanto,

[ dfrac {−Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} + h ′ (y) = dfrac {−Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2 )} ^ {3/2}}, nonumber ]

lo que implica que (h ′ (y) = 0 ). Por tanto, podemos tomar (h (y) ) como cualquier constante; en particular, podemos dejar (h (y) = 0 ). La función

[f (x, y) = dfrac {G} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} nonumber ]

es una función potencial para el campo gravitacional ( vecs {F} ). Para confirmar que (f ) es una función potencial, tenga en cuenta que

[ begin {align *} vecs nabla f (x, y) & = ⟨− dfrac {1} {2} dfrac {G} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3 / 2}} (2x), - dfrac {1} {2} dfrac {G} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} (2y)⟩ [4pt] & = ⟨ Dfrac {−Gx} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}}, dfrac {−Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3 / 2}}⟩ [4pt] & = vecs F (x, y). end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Encuentre una función potencial (f ) para la fuerza gravitacional tridimensional ( vecs {F} (x, y, z) = left langle dfrac {−Gx} {{(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)} ^ {3/2}}, dfrac {−Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)} ^ {3/2}}, dfrac {−Gz } {{(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)} ^ {3/2}} right rangle ).

Pista

Siga la estrategia de resolución de problemas.

Respuesta

(f (x, y, z) = dfrac {G} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} )

Prueba de un campo vectorial

Hasta ahora, hemos trabajado con campos vectoriales que sabemos que son conservadores, pero si no nos dicen que un campo vectorial es conservador, debemos poder probar si es conservador. Recuerde que, si ( vecs {F} ) es conservador, entonces ( vecs {F} ) tiene la propiedad entre parciales (consulte La propiedad entre parciales de los campos vectoriales conservadores). Es decir, si ( vecs F = ⟨P, Q, R⟩ ) es conservador, entonces (P_y = Q_x ), (P_z = R_x ) y (Q_z = R_y ). Entonces, si ( vecs {F} ) tiene la propiedad de parcial cruzado, ¿es ( vecs {F} ) conservador? Si el dominio de ( vecs {F} ) está abierto y simplemente conectado, entonces la respuesta es sí.

Teorema: LA PRUEBA TRANSPARCIAL PARA LOS CAMPOS CONSERVADORES

Si ( vecs {F} = ⟨P, Q, R⟩ ) es un campo vectorial en una región abierta, simplemente conectada (D ) y (P_y = Q_x ), (P_z = R_x ) , y (Q_z = R_y ) a lo largo de (D ), entonces ( vecs {F} ) es conservador.

Aunque una demostración de este teorema está más allá del alcance del texto, podemos descubrir su poder con algunos ejemplos. Más adelante, veremos por qué es necesario que la región esté simplemente conectada.

Combinando este teorema con la propiedad de parciales cruzados, podemos determinar si un campo vectorial dado es conservador:

Teorema: PROPIEDAD TRANSPARCIAL DE LOS CAMPOS CONSERVADORES

Sea ( vecs {F} = ⟨P, Q, R⟩ ) un campo vectorial en una región abierta y simplemente conectada (D ). Entonces (P_y = Q_x ), (P_z = R_x ) y (Q_z = R_y ) a lo largo de (D ) si y solo si ( vecs {F} ) es conservador.

La versión de este teorema en (ℝ ^ 2 ) también es cierta. Si ( vecs F (x, y) = ⟨P, Q⟩ ) es un campo vectorial en un dominio abierto, simplemente conectado en (ℝ ^ 2 ), entonces ( vecs F ) es conservador si y solo si (P_y = Q_x ).

Ejemplo ( PageIndex {8} ): determinar si un campo vectorial es conservador

Determina si el campo vectorial ( vecs F (x, y, z) = ⟨xy ^ 2z, x ^ 2yz, z ^ 2⟩ ) es conservador.

Solución

Tenga en cuenta que el dominio de ( vecs {F} ) es todo (ℝ ^ 2 ) y (ℝ ^ 3 ) simplemente está conectado. Por lo tanto, podemos usar La propiedad transversal de los campos vectoriales conservadores para determinar si ( vecs {F} ) es conservador. Dejar

[P (x, y, z) = xy ^ 2z nonumber ]

[Q (x, y, z) = x ^ 2yz nonumber ]

y

[R (x, y, z) = z ^ 2. Nonumber ]

Dado que (Q_z (x, y, z) = x ^ 2y ) y (R_y (x, y, z) = 0 ), el campo vectorial no es conservador.

Ejemplo ( PageIndex {9} ): determinar si un campo vectorial es conservador

Determine que el campo vectorial ( vecs {F} (x, y) = ⟨x ln (y), , dfrac {x ^ 2} {2y}⟩ ) es conservador.

Solución

Tenga en cuenta que el dominio de ( vecs {F} ) es la parte de (ℝ ^ 2 ) en la que (y> 0 ). Por lo tanto, el dominio de ( vecs {F} ) es parte de un plano sobre el eje (x ) -, y este dominio está simplemente conectado (no hay huecos en esta región y esta región está conectada). Dejar

[P (x, y) = x ln (y) ; ; text {y} ; ; Q (x, y) = dfrac {x ^ 2} {2y}. sin número]

Entonces (P_y (x, y) = dfrac {x} {y} = Q_x (x, y) ) y por lo tanto ( vecs {F} ) es conservador.

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Determina si ( vecs {F} (x, y) = ⟨ sin x cos y, , cos x sin y⟩ ) es conservador.

Pista

Utilizar La propiedad transversal de los campos vectoriales conservadores de la sección anterior.

Respuesta

Es conservador.

Cuando usas La propiedad transversal de los campos vectoriales conservadores, es importante recordar que un teorema es una herramienta y, como cualquier herramienta, solo se puede aplicar en las condiciones adecuadas. En el caso de La propiedad transversal de los campos vectoriales conservadores, el teorema se puede aplicar solo si el dominio del campo vectorial está simplemente conectado.

To see what can go wrong when misapplying the theorem, consider the vector field from Example (PageIndex{4}):

[vecs F(x,y)=dfrac{y}{x^2+y^2},hat{mathbf i}+dfrac{−x}{x^2+y^2},hat{mathbf j}.]

This vector field satisfies the cross-partial property, since

[dfrac{∂}{∂y}left(dfrac{y}{x^2+y^2} ight)=dfrac{(x^2+y^2)−y(2y)}{ {(x^2+y^2)}^2}=dfrac{x^2−y^2}{ {(x^2+y^2)}^2}]

y

[dfrac{∂}{∂x}left(dfrac{−x}{x^2+y^2} ight)=dfrac{−(x^2+y^2)+x(2x)}{ {(x^2+y^2)}^2}=dfrac{x^2−y^2}{ {(x^2+y^2)}^2}.]

Since (vecs{F}) satisfies the cross-partial property, we might be tempted to conclude that (vecs{F}) is conservative. However, (vecs{F}) is not conservative. To see this, let

[vecs r(t)=⟨cos t,sin t⟩,;; 0≤t≤pi]

be a parameterization of the upper half of a unit circle oriented counterclockwise (denote this (C_1)) and let

[vecs s(t)=⟨cos t,−sin t⟩,;; 0≤t≤pi]

be a parameterization of the lower half of a unit circle oriented clockwise (denote this (C_2)). Notice that (C_1) and (C_2) have the same starting point and endpoint. Since ({sin}^2 t+{cos}^2 t=1),

[vecs F(vecs r(t)) cdot vecs r′(t)=⟨sin(t),−cos(t)⟩ cdot ⟨−sin(t), cos(t)⟩=−1]

y

[vecs F(vecs s(t))·vecs s′(t)=⟨−sin t,−cos t⟩·⟨−sin t,−cos t⟩={sin}^2 t+{cos}^2t=1.]

Por lo tanto,

[int_{C_1} vecs F·dvecs r=int_0^{pi}−1,dt=−pi]

y

[int_{C_2}vecs F·dvecs r=int_0^{pi} 1,dt=pi.]

Thus, (C_1) and (C_2) have the same starting point and endpoint, but (int_{C_1} vecs F·dvecs r≠int_{C_2} vecs F·dvecs r). Therefore, (vecs{F}) is not independent of path and (vecs{F}) is not conservative.

To summarize: (vecs{F}) satisfies the cross-partial property and yet (vecs{F}) is not conservative. What went wrong? Does this contradict The Cross-Partial Property of Conservative Vector Fields? The issue is that the domain of (vecs{F}) is all of (ℝ^2) except for the origin. In other words, the domain of (vecs{F}) has a hole at the origin, and therefore the domain is not simply connected. Since the domain is not simply connected, The Cross-Partial Property of Conservative Vector Fields does not apply to (vecs{F}).

We close this section by looking at an example of the usefulness of the Fundamental Theorem for Line Integrals. Now that we can test whether a vector field is conservative, we can always decide whether the Fundamental Theorem for Line Integrals can be used to calculate a vector line integral. If we are asked to calculate an integral of the form (int_C vecs F·dvecs r), then our first question should be: Is (vecs{F}) conservative? If the answer is yes, then we should find a potential function and use the Fundamental Theorem for Line Integrals to calculate the integral. If the answer is no, then the Fundamental Theorem for Line Integrals cannot help us and we have to use other methods, such as using the method from the previous section (using (vecs F(vecs r(t))) and (vecs r'(t))).

Example (PageIndex{10}): Using the Fundamental Theorem for Line Integrals

Calculate line integral (int_C vecs F·dvecs r), where (vecs F(x,y,z)=⟨2xe^yz+e^xz,,x^2e^yz,,x^2e^y+e^x⟩) and (C) is any smooth curve that goes from the origin to ((1,1,1)).

Solución

Before trying to compute the integral, we need to determine whether (vecs{F}) is conservative and whether the domain of (vecs{F}) is simply connected. The domain of (vecs{F}) is all of (ℝ^3), which is connected and has no holes. Therefore, the domain of (vecs{F}) is simply connected. Let

[P(x,y,z)=2xe^yz+e^xz, ;; Q(x,y,z)=x^2e^yz, ;; ext{and} ;; R(x,y,z)=x^2e^y+e^x onumber]

so that (vecs{F}(x,y,z)=⟨P,Q,R⟩). Since the domain of (vecs{F}) is simply connected, we can check the cross partials to determine whether (vecs{F}) is conservative. Tenga en cuenta que

[egin{align*} P_y(x,y,z) &=2xe^yz=Q_x(x,y,z) [4pt]P_z(x,y,z) &=2xe^y+e^x=R_x(x,y,z) [4pt] Q_z(x,y,z) &=x^2e^y=R_y(x,y,z).end{align*}]

Therefore, (vecs{F}) is conservative.

To evaluate (int_C vecs F·dvecs r) using the Fundamental Theorem for Line Integrals, we need to find a potential function (f) for (vecs{F}). Let (f) be a potential function for (vecs{F}). Then, (vecs abla f=vecs F), and therefore (f_x(x,y,z)=2xe^yz+e^xz). Integrating this equation with respect to (x) gives (f(x,y,z)=x^2e^yz+e^xz+h(y,z)) for some function (h). Differentiating this equation with respect to (y) gives (x^2e^yz+h_y(y,z)=Q(x,y,z)=x^2e^yz), which implies that (h_y(y,z)=0). Therefore, (h) is a function of (z) only, and (f(x,y,z)=x^2e^yz+e^xz+h(z)). To find (h), note that (f_z=x^2e^y+e^x+h′(z)=R=x^2e^y+e^x). Therefore, (h′(z)=0) and we can take (h(z)=0). A potential function for (vecs{F}) is (f(x,y,z)=x^2e^yz+e^xz).

Now that we have a potential function, we can use the Fundamental Theorem for Line Integrals to evaluate the integral. By the theorem,

[egin{align*} int_C vecs F·dvecs r &=int_C vecs abla f·dvecs r[4pt] &=f(1,1,1)−f(0,0,0)[4pt] &=2e. end {align *} ]

Análisis

Notice that if we hadn’t recognized that (vecs{F}) is conservative, we would have had to parameterize (C) and use the method from the previous section. Since curve (C) is unknown, using the Fundamental Theorem for Line Integrals is much simpler.

Exercise (PageIndex{9})

Calculate integral (int_C vecs F·dvecs r), where (vecs{F}(x,y)=⟨sin xsin y, 5−cos xcos y⟩) and (C) is a semicircle with starting point ((0,pi)) and endpoint ((0,−pi)).

Pista

Use the Fundamental Theorem for Line Integrals.

Respuesta

(−10pi)

Example (PageIndex{11}): Work Done on a Particle

Let (vecs F(x,y)=⟨2xy^2,2x^2y⟩) be a force field. Suppose that a particle begins its motion at the origin and ends its movement at any point in a plane that is not on the (x)-axis or the (y)-axis. Furthermore, the particle’s motion can be modeled with a smooth parameterization. Show that (vecs{F}) does positive work on the particle.

Solución

We show that (vecs{F}) does positive work on the particle by showing that (vecs{F}) is conservative and then by using the Fundamental Theorem for Line Integrals.

To show that (vecs{F}) is conservative, suppose (f(x,y)) were a potential function for (vecs{F}). Then, (vecs abla f(x,y)=vecs F(x,y)=⟨2xy^2,2x^2y⟩) and therefore (f_x(x,y)=2xy^2) and (f_y(x,y)=2x^2y). The equation (fx(x,y)=2xy^2) implies that (f(x,y)=x^2y^2+h(y)). Deriving both sides with respect to (y) yields (f_y(x,y)=2x^2y+h′(y)). Therefore, (h′(y)=0) and we can take (h(y)=0).

If (f(x,y)=x^2y^2), then note that (vecs abla f(x,y)=⟨2xy^2,2x^2y⟩=vecs F), and therefore (f) is a potential function for (vecs{F}).

Let ((a,b)) be the point at which the particle stops is motion, and let (C) denote the curve that models the particle’s motion. The work done by (vecs{F}) on the particle is (int_C vecs{F}·dvecs{r}). By the Fundamental Theorem for Line Integrals,

[egin{align*} int_C vecs F·dvecs r &=int_C abla f·dvecs r [4pt] &=f(a,b)−f(0,0)[4pt] &=a^2b^2. end {align *} ]

Since (a≠0) and (b≠0), by assumption, (a^2b^2>0). Therefore, (int_C vecs F·dvecs r>0), and (vecs{F}) does positive work on the particle.

Análisis

Notice that this problem would be much more difficult without using the Fundamental Theorem for Line Integrals. To apply the tools we have learned, we would need to give a curve parameterization and use the method from the previous section. Since the path of motion (C) can be as exotic as we wish (as long as it is smooth), it can be very difficult to parameterize the motion of the particle.

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Let (vecs{F}(x,y)=⟨4x^3y^4,4x^4y^3⟩), and suppose that a particle moves from point ((4,4)) to ((1,1)) along any smooth curve. Is the work done by (vecs{F}) on the particle positive, negative, or zero?

Pista

Use the Fundamental Theorem for Line Integrals.

Respuesta

Negative

Conceptos clave

  • The theorems in this section require curves that are closed, simple, or both, and regions that are connected or simply connected.
  • The line integral of a conservative vector field can be calculated using the Fundamental Theorem for Line Integrals. This theorem is a generalization of the Fundamental Theorem of Calculus in higher dimensions. Using this theorem usually makes the calculation of the line integral easier.
  • Conservative fields are independent of path. The line integral of a conservative field depends only on the value of the potential function at the endpoints of the domain curve.
  • Given vector field (vecs{F}), we can test whether (vecs{F}) is conservative by using the cross-partial property. If (vecs{F}) has the cross-partial property and the domain is simply connected, then (vecs{F}) is conservative (and thus has a potential function). If (vecs{F}) is conservative, we can find a potential function by using the Problem-Solving Strategy.
  • The circulation of a conservative vector field on a simply connected domain over a closed curve is zero.

Key Equations

  • Fundamental Theorem for Line Integrals
    (displaystyle int_C vecs abla f·dvecs r=f(vecs r(b))−f(vecs r(a)))
  • Circulation of a conservative field over curve C that encloses a simply connected region
    (displaystyle oint_C vecs abla f·dvecs r=0)

Glosario

curva cerrada
a curve that begins and ends at the same point
connected region
a region in which any two points can be connected by a path with a trace contained entirely inside the region
Fundamental Theorem for Line Integrals
the value of line integral (displaystyle int_Cvecs ∇f⋅dvecs r) depends only on the value of (f) at the endpoints of (C: displaystyle int_C vecs ∇f⋅dvecs r=f(vecs r(b))−f(vecs r(a)))
independence of path
a vector field (vecs{F}) has path independence if (displaystyle int_{C_1} vecs F⋅dvecs r=displaystyle int_{C_2} vecs F⋅dvecs r) for any curves (C_1) and (C_2) in the domain of (vecs{F}) with the same initial points and terminal points
simple curve
a curve that does not cross itself
simply connected region
a region that is connected and has the property that any closed curve that lies entirely inside the region encompasses points that are entirely inside the region