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9.7: Usar propiedades de rectángulos, triángulos y trapezoides (Parte 2) - Matemáticas


Usa las propiedades de los triángulos

Ahora sabemos cómo encontrar el área de un rectángulo. Podemos usar este hecho para ayudarnos a visualizar la fórmula del área de un triángulo. En el rectángulo de la Figura ( PageIndex {9} ), hemos etiquetado la longitud by el ancho h, por lo que su área es bh.

Figura ( PageIndex {9} ) - El área de un rectángulo es la base, b, multiplicada por la altura, h.

Podemos dividir este rectángulo en dos congruente triángulos (Figura ( PageIndex {10} )). Los triángulos que son congruentes tienen lados y ángulos idénticos, por lo que sus áreas son iguales. El área de cada triángulo es la mitad del área del rectángulo, o ( dfrac {1} {2} ) bh. Este ejemplo nos ayuda a ver por qué la fórmula para el área de un triángulo es A = ( dfrac {1} {2} ) bh.

Figura ( PageIndex {10} ): un rectángulo se puede dividir en dos triángulos de igual área. El área de cada triángulo es la mitad del área del rectángulo.

La fórmula para el área de un triángulo es A = ( dfrac {1} {2} ) bh, donde b es la base y h es la altura. Para encontrar el área del triángulo, necesitas conocer su base y altura. La base es la longitud de un lado del triángulo, generalmente el lado en la parte inferior. La altura es la longitud de la línea que conecta la base con el vértice opuesto y forma un ángulo de 90 ° con la base. La figura ( PageIndex {11} ) muestra tres triángulos con la base y la altura de cada uno marcada.

Figura ( PageIndex {11} ) - La altura h de un triángulo es la longitud de un segmento de línea que conecta la base con el vértice opuesto y forma un ángulo de 90 ° con la base.

Definición: propiedades del triángulo

Para cualquier triángulo ΔABC, la suma de las medidas de los ángulos es 180 °. $$ m angle A + m angle B + m angle C = 180 ° $$ El perímetro de un triángulo es la suma de las longitudes de los lados. $$ P = a + b + c $$ El área de un triángulo es la mitad de la base, b, multiplicada por la altura, h. $$ A = dfrac {1} {2} bh ]

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

Calcula el área de un triángulo cuya base es de 11 pulgadas y cuya altura es de 8 pulgadas.

Solución

Paso 1. Leer el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
Paso 2. Identificar Qué estás buscando.el area del triangulo
Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla.sea ​​A = área del triángulo
Paso 4.Traducir. Escribe la fórmula adecuada. Sustituir.
Paso 5. Resolver la ecuacion.A = 44 pulgadas cuadradas
Paso 6. Cheque.$$ begin {split} A & = dfrac {1} {2} bh 44 & stackrel {?} {=} dfrac {1} {2} (11) 8 44 & = 44 ; checkmark end {split} $$
Paso 7. Respuesta la pregunta.El área es de 44 pulgadas cuadradas.

Ejercicio ( PageIndex {17} ):

Calcula el área de un triángulo con una base de 13 pulgadas y una altura de 2 pulgadas.

Respuesta

13 pulgadas cuadradas

Ejercicio ( PageIndex {18} ):

Calcula el área de un triángulo con una base de 14 pulgadas y una altura de 7 pulgadas.

Respuesta

49 pulgadas cuadradas

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

El perímetro de un jardín triangular mide 24 pies. Las longitudes de dos lados son 4 pies y 9 pies. ¿Cuánto mide el tercer lado?

Solución

Paso 1. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
Paso 2. Identificar Qué estás buscando.longitud del tercer lado de un triángulo
Paso 3. Elija una variable para representarla.Sea c = el tercer lado
Paso 4.Traducir. Sustituir en la información dada.
Paso 5. Resolver la ecuacion.$$ begin {split} 24 & = 13 + c 11 & = c end {split} $$
Paso 6. Cheque.$$ begin {split} P & = a + b + c 24 & stackrel {?} {=} 4 + 9 + 11 24 & = 24 ; checkmark end {split} $$
Paso 7. Respuesta la pregunta.El tercer lado mide 11 pies de largo.

Ejercicio ( PageIndex {19} ):

El perímetro de un jardín triangular mide 48 pies. Las longitudes de dos lados son de 18 pies y 22 pies. ¿Cuánto mide el tercer lado?

Respuesta

8 pies

Ejercicio ( PageIndex {20} ):

Las longitudes de dos lados de una ventana triangular son 7 pies y 5 pies. El perímetro mide 18 pies. ¿Cuánto mide el tercer lado?

Respuesta

6 pies

Ejemplo ( PageIndex {11} ):

El área de una ventana triangular de la iglesia es de 90 metros cuadrados. La base de la ventana es de 15 metros. ¿Cuál es la altura de la ventana?

Solución

Paso 1. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
Paso 2. Identificar Qué estás buscando.altura de un triangulo
Paso 3. Elija una variable para representarla.Sea h = la altura
Paso 4.Traducir. Sustituir en la información dada.
Paso 5. Resolver la ecuacion.$$ begin {split} 90 & = dfrac {15} {2} h 12 & = h end {split} $$
Paso 6. Cheque.$$ begin {split} A & = dfrac {1} {2} bh 90 & stackrel {?} {=} dfrac {1} {2} cdot 15 cdot 12 90 & = 90 ; checkmark end {split} $$
Paso 7. Respuesta la pregunta.La altura del triángulo es de 12 metros.

Ejercicio ( PageIndex {21} ):

El área de una pintura triangular es de 126 pulgadas cuadradas. La base es de 18 pulgadas. Cual es la altura?

Respuesta

14 pulg.

Ejercicio ( PageIndex {22} ):

La puerta de una carpa triangular tiene un área de 15 pies cuadrados. La altura es de 5 pies. Cual es la base?

Respuesta

6 pies

Triángulos isósceles y equiláteros

Además del triángulo rectángulo, algunos otros triángulos tienen nombres especiales. Un triángulo con dos lados de igual longitud se llama triángulo isósceles. Un triángulo que tiene tres lados de igual longitud se llama triángulo equilátero. La figura ( PageIndex {12} ) muestra ambos tipos de triángulos.

Figura ( PageIndex {12} ) - En un triángulo isósceles, dos lados tienen la misma longitud y el tercer lado es la base. En un triángulo equilátero, los tres lados tienen la misma longitud.

Definición: triángulos isósceles y equiláteros

Un triángulo isósceles tiene dos lados de la misma longitud.

Un triángulo equilátero tiene tres lados de igual longitud.

Ejemplo ( PageIndex {12} ):

El perímetro de un triángulo equilátero mide 93 pulgadas. Calcula la longitud de cada lado.

Solución

Paso 1. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.

Perímetro = 93 pulg.

Paso 2. Identificar Qué estás buscando.longitud de los lados de un triángulo equilátero
Paso 3. Elija una variable para representarla.Sea s = longitud de cada lado
Paso 4.Traducir. Sustituir.
Paso 5. Resolver la ecuacion.$$ begin {split} 93 & = 3s 31 & = s end {split} $$
Paso 6. Cheque.$$ begin {split} 93 & = 31 + 31 + 31 93 & = 93 ; checkmark end {split} $$
Paso 7. Respuesta la pregunta.Cada lado mide 31 pulgadas.

Ejercicio ( PageIndex {23} ):

Calcula la longitud de cada lado de un triángulo equilátero con un perímetro de 39 pulgadas.

Respuesta

13 pulg.

Ejercicio ( PageIndex {24} ):

Calcula la longitud de cada lado de un triángulo equilátero con un perímetro de 51 centímetros.

Respuesta

17 cm

Ejemplo ( PageIndex {13} ):

Arianna tiene 156 pulgadas de abalorios para usar como adorno alrededor de una bufanda. La bufanda será un triángulo isósceles con una base de 60 pulgadas. ¿Cuánto tiempo puede hacer los dos lados iguales?

Solución

Paso 1. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.

P = 156 pulg.

Paso 2. Identificar Qué estás buscando.las longitudes de los dos lados iguales
Paso 3. Elija una variable para representarla.Sea s = la longitud de cada lado
Paso 4.Traducir. Sustituir en la información dada.
Paso 5. Resolver la ecuacion.$$ begin {split} 156 & = 2s + 60 96 & = 2s 48 & = s end {split} $$
Paso 6. Cheque.$$ begin {split} p & = a + b + c 156 & stackrel {?} {=} 48 + 60 + 48 156 & = 156 ; checkmark end {split} $$
Paso 7. Respuesta la pregunta.Arianna puede hacer que cada uno de los dos lados iguales tenga 48 pulgadas de largo.

Ejercicio ( PageIndex {25} ):

Una plataforma de patio trasero tiene la forma de un triángulo isósceles con una base de 20 pies. El perímetro de la plataforma es de 48 pies. ¿Cuánto mide cada uno de los lados iguales del mazo?

Respuesta

14 pies

Ejercicio ( PageIndex {26} ):

La vela de un barco es un triángulo isósceles con una base de 8 metros. El perímetro es de 22 metros. ¿Cuánto mide cada uno de los lados iguales de la vela?

Respuesta

7 m

Utilice las propiedades de los trapezoides

A trapezoide es una figura de cuatro lados, una cuadrilátero, con dos lados que son paralelos y dos lados que no lo son. Los lados paralelos se llaman bases. Llamamos a la longitud de la base más pequeña by la longitud de la base más grande B. La altura, h, de un trapezoide es la distancia entre las dos bases como se muestra en la Figura ( PageIndex {13} ).

Figura ( PageIndex {13} ) - Un trapezoide tiene una base más grande, B, y una base más pequeña, b. La altura h es la distancia entre las bases.

La fórmula para el área de un trapezoide es:

[Área_ {trapezoide} = dfrac {1} {2} h (b + B) ]

Dividir el trapezoide en dos triángulos puede ayudarnos a comprender la fórmula. El área del trapezoide es la suma de las áreas de los dos triángulos. Vea la Figura ( PageIndex {14} ).

Figura ( PageIndex {14} ): dividir un trapezoide en dos triángulos puede ayudarlo a comprender la fórmula de su área.

La altura del trapezoide es también la altura de cada uno de los dos triángulos. Vea la Figura ( PageIndex {15} ).

Figura ( PageIndex {15} )

La fórmula para el área de un trapezoide es

[Área_ {trapezoide} = dfrac {1} {2} h ( textcolor {azul} {b} + textcolor {rojo} {B}) ]

Si distribuimos, obtenemos,

Definición: propiedades de los trapezoides

  • Un trapezoide tiene cuatro lados. Vea la Figura 9.25.
  • Dos de sus lados son paralelos y dos lados no.
  • El área, A, de un trapezoide es A = ( dfrac {1} {2} ) h (b + B).

Ejemplo ( PageIndex {14} ):

Calcula el área de un trapezoide cuya altura es de 6 pulgadas y cuyas bases son de 14 y 11 pulgadas.

Solución

Paso 1. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
Paso 2. Identificar Qué estás buscando.el área del trapezoide
Paso 3. Elija una variable para representarla.Sea A = el área
Paso 4.Traducir. Sustituir.
Paso 5. Resolver la ecuacion.$$ begin {split} A & = dfrac {1} {2} cdot 6 (25) A & = 3 (25) A & = 75 ; cuadrado; pulgadas end {split} $$
Paso 6. Cheque: ¿Es esta respuesta razonable?

Si dibujamos un rectángulo alrededor del trapezoide que tiene la misma base grande B y una altura h, su área debería ser mayor que la del trapezoide.

Si dibujamos un rectángulo dentro del trapezoide que tiene la misma pequeña base by una altura h, su área debería ser menor que la del trapezoide.

El área del rectángulo más grande es de 84 pulgadas cuadradas y el área del rectángulo más pequeño es de 66 pulgadas cuadradas. Entonces tiene sentido que el área del trapezoide esté entre 84 y 66 pulgadas cuadradas

Paso 7. Respuesta la pregunta.El área del trapezoide es de 75 pulgadas cuadradas.

Ejercicio ( PageIndex {27} ):

La altura de un trapezoide es de 14 yardas y las bases son de 7 y 16 yardas. Cual es el area?

Respuesta

161 yardas cuadradas

Ejercicio ( PageIndex {28} ):

La altura de un trapezoide es de 18 centímetros y las bases son de 17 y 8 centímetros. Cual es el area?

Respuesta

255 cm cuadrados

Ejemplo ( PageIndex {15} ):

Calcula el área de un trapezoide cuya altura es de 5 pies y cuyas bases son de 10,3 y 13,7 pies.

Solución

Paso 1. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
Paso 2. Sustituir.
Paso 5. Resolver la ecuacion.$$ begin {split} A & = dfrac {1} {2} cdot 5 (24) A & = 12 cdot 5 A & = 60 ; cuadrado; pies end {split} $$
Paso 6. Cheque: ¿Es esta respuesta razonable? El área del trapezoide debe ser menor que el área de un rectángulo con base 13.7 y altura 5, pero mayor que el área de un rectángulo con base 10.3 y altura 5.
Paso 7. Respuesta la pregunta.El área del trapezoide es de 60 pies cuadrados.

Ejercicio ( PageIndex {29} ):

La altura de un trapezoide es de 7 centímetros y las bases son de 4,6 y 7,4 centímetros. Cual es el area?

Respuesta

42 cm cuadrados

Ejercicio ( PageIndex {30} ):

La altura de un trapezoide es de 9 metros y las bases son de 6,2 y 7,8 metros. Cual es el area?

Respuesta

63 metros cuadrados

Ejemplo ( PageIndex {16} ):

Vinny tiene un jardín que tiene forma de trapecio. El trapezoide tiene una altura de 3.4 yardas y las bases son 8.2 y 5.6 yardas. ¿Cuántas yardas cuadradas habrá disponibles para plantar?

Solución

Paso 1. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
Paso 2. Sustituir.
Paso 5. Resolver la ecuacion.$$ begin {split} A & = dfrac {1} {2} cdot (3.4) (13.8) A & = 23.46 ; cuadrado; yardas end {split} $$

Paso 6. Cheque: ¿Es esta respuesta razonable? sí. El área del trapezoide es menor que el área de un rectángulo con una base de 8.2 yd y una altura de 3.4 yd, pero mayor que el área de un rectángulo con una base de 5.6 yd y una altura de 3.4 yd.

Paso 7. Respuesta la pregunta.Vinny tiene 23,46 yardas cuadradas en las que puede plantar.

Ejercicio ( PageIndex {31} ):

Lin quiere poner el césped en su césped, que tiene la forma de un trapecio. Las bases son 10,8 yardas y 6,7 yardas, y la altura es de 4,6 yardas. ¿Cuántas yardas cuadradas de césped necesita?

Respuesta

40,25 yardas cuadradas

Ejercicio ( PageIndex {32} ):

Kira quiere cubrir su patio con adoquines de concreto. Si el patio tiene la forma de un trapezoide cuyas bases son de 18 pies y 14 pies y cuya altura es de 15 pies, ¿cuántos pies cuadrados de adoquines necesitará?

Respuesta

240 pies cuadrados

La práctica hace la perfección

Comprender la medida lineal, cuadrada y cúbica

En los siguientes ejercicios, determine si mediría cada elemento usando unidades lineales, cuadradas o cúbicas.

  1. cantidad de agua en una pecera
  2. longitud del hilo dental
  3. sala de estar de un apartamento
  4. espacio en el piso de un azulejo del baño
  5. altura de una puerta
  6. capacidad de un remolque de camión

En los siguientes ejercicios, encuentre el (a) perímetro y (b) el área de cada figura. Suponga que cada lado del cuadrado mide 1 cm.

Usar las propiedades de los rectángulos

En los siguientes ejercicios, encuentre el (a) perímetro y (b) el área de cada rectángulo.

  1. La longitud de un rectángulo es de 85 pies y el ancho es de 45 pies.
  2. La longitud de un rectángulo es de 26 pulgadas y el ancho es de 58 pulgadas.
  3. Una habitación rectangular mide 15 pies de ancho por 14 pies de largo.
  4. Un camino de entrada tiene la forma de un rectángulo de 20 pies de ancho por 35 pies de largo.

En los siguientes ejercicios, resuelve.

  1. Calcula la longitud de un rectángulo con un perímetro de 124 pulgadas y un ancho de 38 pulgadas.
  2. Calcula la longitud de un rectángulo con un perímetro de 20,2 yardas y un ancho de 7,8 yardas.
  3. Calcula el ancho de un rectángulo con un perímetro de 92 metros y una longitud de 19 metros.
  4. Calcula el ancho de un rectángulo con un perímetro de 16,2 metros y una longitud de 3,2 metros.
  5. El área de un rectángulo es 414 metros cuadrados. La longitud es de 18 metros. Cual es el ancho?
  6. El área de un rectángulo es 782 centímetros cuadrados. El ancho es de 17 centímetros. ¿Cuál es la longitud?
  7. La longitud de un rectángulo es 9 pulgadas más que el ancho. El perímetro es de 46 pulgadas. Encuentra la longitud y la anchura.
  8. El ancho de un rectángulo es 8 pulgadas más que el largo. El perímetro es de 52 pulgadas. Encuentra la longitud y la anchura.
  9. El perímetro de un rectángulo es de 58 metros. El ancho del rectángulo es 5 metros menos que la longitud. Calcula la longitud y el ancho del rectángulo.
  10. El perímetro de un rectángulo mide 62 pies. El ancho es 7 pies menos que el largo. Encuentra la longitud y la anchura.
  11. El ancho del rectángulo es 0,7 metros menos que la longitud. El perímetro de un rectángulo mide 52,6 metros. Encuentra las dimensiones del rectangulo.
  12. La longitud del rectángulo es 1,1 metros menos que el ancho. El perímetro de un rectángulo mide 49,4 metros. Encuentra las dimensiones del rectangulo.
  13. El perímetro de un rectángulo de 150 pies. La longitud del rectángulo es el doble del ancho. Calcula la longitud y el ancho del rectángulo.
  14. La longitud de un rectángulo es tres veces el ancho. El perímetro mide 72 pies. Calcula la longitud y el ancho del rectángulo.
  15. La longitud de un rectángulo es 3 metros menos que el doble del ancho. El perímetro es de 36 metros. Calcula el largo y el ancho.
  16. La longitud de un rectángulo es 5 pulgadas más que el doble del ancho. El perímetro es de 34 pulgadas. Calcula el largo y el ancho.
  17. El ancho de una ventana rectangular es de 24 pulgadas. El área es de 624 pulgadas cuadradas. ¿Cuál es la longitud?
  18. La longitud de un cartel rectangular es de 28 pulgadas. El área es 1316 pulgadas cuadradas. Cual es el ancho?
  19. El área de un techo rectangular es de 2310 metros cuadrados. La longitud es de 42 metros. Cual es el ancho?
  20. El área de una lona rectangular es de 132 pies cuadrados. El ancho es de 12 pies. ¿Cuál es la longitud?
  21. El perímetro de un patio rectangular es de 160 pies. El largo es 10 pies más que el ancho. Encuentra la longitud y la anchura.
  22. El perímetro de una pintura rectangular es de 306 centímetros. El largo es 17 centímetros más que el ancho. Encuentra la longitud y la anchura.
  23. El ancho de una ventana rectangular es 40 pulgadas menos que la altura.El perímetro de la entrada es de 224 pulgadas. Encuentra la longitud y la anchura.
  24. El ancho de un patio de recreo rectangular es 7 metros menos que el largo. El perímetro del patio de recreo es de 46 metros. Encuentra la longitud y la anchura.

Usa las propiedades de los triángulos

En los siguientes ejercicios, resuelve usando las propiedades de los triángulos.

  1. Calcula el área de un triángulo con una base de 12 pulgadas y una altura de 5 pulgadas.
  2. Calcula el área de un triángulo con una base de 45 centímetros y una altura de 30 centímetros.
  3. Calcula el área de un triángulo con una base de 8,3 metros y una altura de 6,1 metros.
  4. Calcula el área de un triángulo con una base de 24.2 pies y una altura de 20.5 pies.
  5. Una bandera triangular tiene una base de 1 pie y una altura de 1,5 pies. Cual es su area?
  6. Una ventana triangular tiene una base de 8 pies y una altura de 6 pies. Cual es su area?
  7. Si un triángulo tiene lados de 6 pies y 9 pies y el perímetro mide 23 pies, ¿cuánto mide el tercer lado?
  8. Si un triángulo tiene lados de 14 centímetros y 18 centímetros y el perímetro es de 49 centímetros, ¿cuánto mide el tercer lado?
  9. ¿Cuál es la base de un triángulo con un área de 207 pulgadas cuadradas y una altura de 18 pulgadas?
  10. ¿Cuál es la altura de un triángulo con un área de 893 pulgadas cuadradas y una base de 38 pulgadas?
  11. El perímetro de una piscina reflectante triangular es de 36 yardas. Las longitudes de dos lados son 10 yardas y 15 yardas. ¿Cuánto mide el tercer lado?
  12. Un patio triangular tiene un perímetro de 120 metros. Las longitudes de dos lados son 30 metros y 50 metros. ¿Cuánto mide el tercer lado?
  13. Un triángulo isósceles tiene una base de 20 centímetros. Si el perímetro es de 76 centímetros, calcula la longitud de cada uno de los otros lados.
  14. Un triángulo isósceles tiene una base de 25 pulgadas. Si el perímetro es de 95 pulgadas, calcula la longitud de cada uno de los otros lados.
  15. Calcula la longitud de cada lado de un triángulo equilátero con un perímetro de 51 yardas.
  16. Calcula la longitud de cada lado de un triángulo equilátero con un perímetro de 54 metros.
  17. El perímetro de un triángulo equilátero mide 18 metros. Calcula la longitud de cada lado.
  18. El perímetro de un triángulo equilátero es de 42 millas. Calcula la longitud de cada lado.
  19. El perímetro de un triángulo isósceles mide 42 pies. La longitud del lado más corto es de 12 pies. Calcula la longitud de los otros dos lados.
  20. El perímetro de un triángulo isósceles es de 83 pulgadas. La longitud del lado más corto es de 24 pulgadas. Calcula la longitud de los otros dos lados.
  21. Un plato tiene la forma de un triángulo equilátero. Cada lado mide 8 pulgadas de largo. Calcula el perímetro.
  22. Una baldosa tiene la forma de un triángulo equilátero. Cada lado mide 1,5 pies de largo. Calcula el perímetro.
  23. Una señal de tráfico en forma de triángulo isósceles tiene una base de 36 pulgadas. Si el perímetro es de 91 pulgadas, calcula la longitud de cada uno de los otros lados.
  24. Una bufanda en forma de triángulo isósceles tiene una base de 0,75 metros. Si el perímetro es de 2 metros, calcula la longitud de cada uno de los otros lados.
  25. El perímetro de un triángulo mide 39 pies. Un lado del triángulo es 1 pie más largo que el segundo lado. El tercer lado es 2 pies más largo que el segundo lado. Calcula la longitud de cada lado.
  26. El perímetro de un triángulo mide 35 pies. Un lado del triángulo mide 5 pies más largo que el segundo lado. El tercer lado es 3 pies más largo que el segundo lado. Calcula la longitud de cada lado.
  27. Un lado de un triángulo es dos veces el lado más pequeño. El tercer lado mide 5 pies más que el lado más corto. El perímetro mide 17 pies. Calcula las longitudes de los tres lados.
  28. Un lado de un triángulo es tres veces el lado más pequeño. El tercer lado mide 3 pies más que el lado más corto. El perímetro mide 13 pies. Calcula las longitudes de los tres lados.

Utilice las propiedades de los trapezoides

En los siguientes ejercicios, resuelve usando las propiedades de los trapezoides.

  1. La altura de un trapezoide es de 12 pies y las bases son de 9 y 15 pies. Cual es el area?
  2. La altura de un trapezoide es de 24 yardas y las bases son de 18 y 30 yardas. Cual es el area?
  3. Calcula el área de un trapezoide con una altura de 51 metros y bases de 43 y 67 metros.
  4. Calcula el área de un trapezoide con una altura de 62 pulgadas y bases de 58 y 75 pulgadas.
  5. La altura de un trapezoide es de 15 centímetros y las bases son de 12,5 y 18,3 centímetros. Cual es el area?
  6. La altura de un trapezoide es de 48 pies y las bases son 38,6 y 60,2 pies. Cual es el area?
  7. Calcula el área de un trapezoide con una altura de 4.2 metros y bases de 8.1 y 5.5 metros.
  8. Calcula el área de un trapezoide con una altura de 32,5 centímetros y bases de 54,6 y 41,4 centímetros.
  9. Laurel está haciendo un estandarte con forma de trapecio. La altura de la pancarta es de 3 pies y las bases son de 4 y 5 pies. ¿Cuál es el área del banner?
  10. Niko quiere colocar baldosas en el suelo de su baño. El piso tiene la forma de un trapezoide con un ancho de 5 pies y una longitud de 5 pies y 8 pies. Cual es el area del piso?
  11. Theresa necesita una tapa nueva para la encimera de su cocina. El mostrador tiene la forma de un trapezoide con un ancho de 18.5 pulgadas y longitudes de 62 y 50 pulgadas. ¿Cuál es el área del mostrador?
  12. Elena está tejiendo una bufanda. La bufanda tendrá la forma de un trapezoide con un ancho de 8 pulgadas y una longitud de 48.2 pulgadas y 56.2 pulgadas. ¿Cuál es el área de la bufanda?

Matemáticas cotidianas

  1. Valla José acaba de quitar el juego de niños de su patio trasero para hacer espacio para un jardín rectangular. Quiere poner una cerca alrededor del jardín para mantener alejado al perro. Tiene un rollo de cerca de 50 pies en su garaje que planea usar. Para caber en el patio trasero, el ancho del jardín debe ser de 10 pies. ¿Cuánto tiempo puede hacer el otro lado si quiere usar todo el rollo de cerca?
  2. Jardinería Lupita quiere cercar su huerto de tomates. El jardín es rectangular y la longitud es el doble del ancho. Se necesitarán 48 pies de cerca para encerrar el jardín. Calcula el largo y el ancho de su jardín.
  3. Valla Christa quiere poner una cerca alrededor de su parterre triangular. Los lados del macizo de flores miden 6 pies, 8 pies y 10 pies. La cerca cuesta $ 10 por pie. ¿Cuánto le costará a Christa cercar su macizo de flores?
  4. Cuadro Caleb quiere pintar una pared de su ático. La pared tiene la forma de un trapezoide con una altura de 8 pies y bases de 20 pies y 12 pies. El costo de pintar un pie cuadrado de pared es de aproximadamente $ 0.05. Aproximadamente, ¿cuánto le costará a Caleb pintar la pared del ático?

Ejercicios de escritura

  1. Si necesita colocar baldosas en el piso de su cocina, ¿necesita conocer el perímetro o el área de la cocina? Explica tu razonamiento.
  2. Si necesita colocar una cerca alrededor de su patio trasero, ¿necesita conocer el perímetro o el área del patio trasero? Explica tu razonamiento.
  3. Mira las dos figuras. (a) ¿Qué figura parece tener el área más grande? ¿Cuál parece tener el perímetro más grande? (b) Ahora calcula el área y el perímetro de cada figura. ¿Cuál tiene el área más grande? ¿Cuál tiene el perímetro más grande?

  1. La longitud de un rectángulo es 5 pies más que el ancho. El área es de 50 pies cuadrados. Encuentra la longitud y la anchura. (a) Escribe la ecuación que usarías para resolver el problema. (b) ¿Por qué no puedes resolver esta ecuación con los métodos que aprendiste en el capítulo anterior?

Autocomprobación

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

(b) En una escala del 1 al 10, ¿cómo calificaría su dominio de esta sección a la luz de sus respuestas en la lista de verificación? ¿Cómo puedes mejorar esto?


Por qué odio la definición de trapezoides (parte 3)

Sí, es cierto. Estoy escribiendo sobre trapezoides de nuevo (habiendo escrito apasionadamente sobre ellos aquí y aquí anteriormente). Me he estado tomando un descanso de los blogs, como suelo hacer en verano. Para nosotros, la escuela comienza en solo dos semanas. Así que pensé que saldría de mi caparazón y publicaría algo y, por supuesto, siempre tengo algo que decir sobre los trapezoides :-).

Comencemos con la siguiente pregunta de prueba sencilla. No eches un vistazo. Vea si puede responder la pregunta sin ayuda.

¿Cuáles de los siguientes cuadriláteros son trapezoides?

Antes de dar la respuesta, primero permítame recordarle acerca de mi Muy fuerte posición ocupada. Creo que en lugar de esta definición típica de libro de texto (la & # 8220 definición exclusiva & # 8221 nosotros & # 8217 la llamaremos) que dice:

"Un cuadrilátero con uno y solo uno par de lados paralelos ".

la definición debe ser inclusiva y decir:

"Un cuadrilátero con al menos un par de lados paralelos ".

Entonces, la pregunta de prueba anterior fue fácil, ¿verdad? Los cuadriláteros (A) y (C) son trapezoides, te oigo decir.

¡¡No tan rapido!! Si está utilizando la definición inclusiva, entonces las respuestas correctas son en realidad (A), (B), (C), (D) y (E). Pero se pone mejor: si estuviera utilizando el definición exclusiva, NINGUNO de estos son trapezoides. Para que (A) y (C) sean trapezoides, bajo la definición exclusiva, debe probar que dos lados son paralelos Y los dos lados restantes son no paralelo (y no puede & # 8217 asumir eso de la imagen & # 8230 ¡especialmente para (C)!).

¿Puedes ver ahora lo absurdo de la definición exclusiva?

Termino ofreciendo la siguiente lista de razones por las que la definición inclusiva es mejor (¿puede sugerir más razones?):

  1. Todos los demás cuadriláteros se definen de manera inclusiva, de modo que los cuadriláteros & # 8220 debajo & # 8221 hereden todas las propiedades de sus & # 8220 padres & # 8221 Un cuadrado es un rectángulo porque un cuadrado cumple con la definición de un rectángulo. Del mismo modo, los paralelogramos, rectángulos, rombos y cuadrados deberían ser casos especiales de un trapecio.
  2. La fórmula del área para un trapezoide todavía funciona, incluso si las piernas están paralelas. ¡Es verdad! La fórmula del área funciona bien para un paralelogramo, un rectángulo, un rombo o un cuadrado.
  3. Ninguna otra definición se rompe cuando usa la definición inclusiva. Con la excepción de la definición que algunos los textos utilizan para un trapezoide isósceles. Esos textos definen que un trapezoide isósceles tiene ambas piernas congruentes, lo que haría de un paralelogramo un trapezoide isósceles. En su lugar, defina un trapezoide isósceles con ángulos de base congruentes o, de manera equivalente, con un eje de simetría.
  4. El método de aproximación trapezoidal en Cálculo no falla cuando uno de los trapezoides es Realmente un rectángulo. Pero bajo la definición exclusiva, tendría que cambiar su nombre por el & # 8220 método de aproximación trapezoidal y / o rectangular, & # 8221, o tal vez prohibir que las personas utilicen el método trapezoidal en problemas como este: Aproximado usando el método trapezoidal con 5 intervalos iguales. (Tenga en cuenta aquí que el trapezoide central es en realidad un rectángulo & # 8230 ¡¡Dios no lo quiera !!)
  5. Al probar que un cuadrilátero es un trapezoide, uno puede detenerse después de probar que solo dos lados son paralelos. Pero con el exclusivo definición, para probar que un cuadrilátero es un trapezoide, tendría que probar que dos lados son paralelos Y los otros dos lados son no paralelo (¡mira el comienzo de esta publicación!).

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Geometría, estilo de núcleo común

La sección 5-2 del texto de la U de Chicago cubre los diversos tipos de cuadriláteros. No hay teoremas en esta sección, solo definiciones. El concepto de definición es importante para el estudio de la geometría, y en ninguna lección hasta ahora las definiciones son más prominentes que en esta lección.

La lección comienza definiendo paralelogramo, rombo, rectángulo, y cuadrado. No hay nada de malo en ninguna de esas definiciones. Pero luego llegamos a una definición controvertida: la de trapezoide:

Definición:
Un cuadrilátero es un trapezoide si y solo si tiene al menos un par de lados paralelos.
(énfasis mío)

Al igual que con la definición de paralelo en la sección 1-7, tenemos dos palabras adicionales que distinguen esto de una definición tradicional de trapezoide -- "al menos." En otros libros de texto, ningún paralelogramo es un trapecio, pero en el texto de la U de Chicago, todos ¡El paralelogramo es un trapezoide!

Para entender lo que está sucediendo aquí, volvamos al primer geómetra que definió algunos de los términos en la jerarquía de cuadriláteros; por supuesto, estoy hablando de Euclides:

De figuras cuadriláteras, un cuadrado es lo que es a la vez equilátero y en ángulo recto oblongo lo que es en ángulo recto pero no equilátero a rombo lo que es equilátero pero no en ángulo recto y un romboidal el que tiene sus lados y ángulos opuestos iguales entre sí, pero no es ni equilátero ni en ángulo recto. Y llamemos cuadriláteros distintos a estos trapecio.

Por supuesto, el término moderno para "oblongo" es rectángulo, y un "romboide" ahora es un paralelogramo. La palabra "trapecio" es en realidad plural de "trapecio". En inglés británico, un "trapecio" es lo que los estadounidenses llamaríamos un trapezoide, pero para Euclides, cualquier cuadrilátero que no sea un paralelogramo (o por debajo de la jerarquía de cuadriláteros) es un "trapecio". Pero lo importante aquí es que para Euclides, un cuadrado, por ejemplo, no es ni un rectángulo (oblongo) ni un rombo. Se asegura de decir que un rectángulo (oblongo) "no es equilátero" y que un rombo "no tiene un ángulo recto". Y, por supuesto, ni un rectángulo ni un rombo es un paralelogramo (romboide).

Se denominan definiciones "exclusivas". Para Euclides, no existía una jerarquía de cuadriláteros: cada clase de cuadriláteros estaba separada de las demás. Pero desde los días de Euclides, cada vez más textos de geometría han agregado lentamente definiciones más "inclusivas".

Una de las primeras definiciones inclusivas que he visto fue la definición de rectángulo. Se mencionó en un episodio de Square One TV, cuando se suponía que un personaje de parodia de Pacman llamado Mathman se comía rectángulos y luego se comía un cuadrado porque "cada cuadrado es un rectángulo". Proporcionaría un enlace de YouTube, pero no he encontrado el enlace en años y no aparece en una búsqueda. (Incluso recuerdo a alguien que publicó en los comentarios que, al igual que yo, su primer encuentro con la definición inclusiva de rectángulo ¡Había terminado de ver ese clip cuando se emitió por primera vez hace tantos años!)

Pero muchos de los miembros de mi familia también eran maestros, y un pariente me dio un libro de texto antiguo que aún mencionaba algunas definiciones exclusivas. En particular, declaró que un cuadrado no es un rombo. Un poco más tarde, mi maestra de quinto grado enseñó la definición inclusiva de rombo. Luego solté que un cuadrado no es un rombo, ¡y luego llevé el texto antiguo a la escuela para probarlo! Ella respondió: "¡Guau!" pero luego, si recordaba correctamente, me dijo que esta definición era antigua, y que según la nueva definición, un cuadrado es un rombo. Entonces, todos los textos modernos clasifican el cuadrado como un rectángulo y un rombo, y que todos estos se consideran paralelogramos.

Entonces vemos que hay una tendencia a que las definiciones se vuelvan más inclusivas a medida que pasa el tiempo. (Vemos que esto también sucede en la política, por ejemplo, la definición de matrimonio. Pero estoy divagando.) Y entonces vemos que el siguiente paso natural es que el paralelogramo sea considerado un trapezoide.

Uno de los primeros defensores que vi de una definición inclusiva de trapezoide es el famoso matemático de Princeton John H. Conway. Es mejor conocido por inventar el juego matemático de la vida, que tiene su propio sitio web:

Pero Conway también se especializa en otros campos de las matemáticas, como la geometría y la teoría de grupos (que es, de alguna manera, el estudio de la simetría). Hace doce años, publicó la siguiente información sobre por qué prefiere definiciones inclusivas:

La preferencia por las definiciones exclusivas surge, creo, de
lo que yo llamo "el uso descriptivo". Por supuesto, uno no DESCRIBIRÍA
una mesa cuadrada como "rectangular", ya que eso usaría sin razón
un plazo más largo para transmitir menos información. Entonces, en usos descriptivos,
existe la presunción natural de que una mesa llamada "rectangular"
de hecho, no será cuadrado; en otras palabras, una presunción natural
que los términos se utilizarán exclusivamente.

Pero el uso descriptivo no es importante para la geometría, donde el
Lo realmente importante es la verdad de los teoremas. Esto significa que nosotros
debe utilizar un término "A" para incluir "B" si todas las identidades que
mantener para todas las "A" también se mantendrá para todas las "B" (en la forma en que
el teorema del área trapezoidal es válido para todos los paralelogramos, para
ejemplo).

Es posible que le preocupe la consistencia de cambiar al
uso inclusivo mientras que otras personas continúan con el exclusivo.
¡Pero no puede haber coherencia con las personas que son inconsistentes!
He visto muchos libros de geometría que HACEN las definiciones exclusivas,
pero ninguno que se las arregle para UTILIZARLOS consistentemente durante más de unos pocos
teoremas.

De hecho, Conway abogó por dar un paso adelante y abolir el trapezoide y tener solo el trapezoide isósceles en la jerarquía. Después de todo, no hay mucho que se pueda decir acerca de un trapezoide que no sea isósceles; solo mire adelante a la Sección 5-5. Solo hay un teorema enumerado allí sobre los trapezoides generales: el Teorema del ángulo trapezoidal, y ese es en realidad solo el Teorema de consecuencia del ángulo interior del mismo lado que se puede probar sin referencia alguna a los trapezoides. Todos los demás teoremas de la lección se refieren a isósceles trapezoides. En particular, los teoremas de simetría de la lección se refieren a trapezoides isósceles. (Recuerde que Conway se especializa en teoría de grupos, que, como escribí anteriormente, es el estudio de simetría.) Sospecho que la única razón por la que tenemos trapezoides generales es que son el cuadrilátero más simple para el que se puede dar una fórmula de área.

Esta es ahora otra digresión de Common Core Geometry, así que solo proporcionaré otro enlace. Nótese que aquí, Conway también propone una hexágono jerarquía basada en la simetría. También hay una jerarquía de pentágonos, pero solo hay tres tipos de pentágonos: general, simétrico y regular, al igual que los hay para los triángulos. Es más fácil hacer simétricas figuras con un número par de lados.

Otro defensor de las definiciones inclusivas es el Sr. Chase, un profesor de matemáticas de secundaria de Maryland. Veo que le apasiona tanto la definición inclusiva de trapezoide que dedicó tres entradas de blog enteras a por qué odia la definición exclusiva de trapezoide:

Una razón por la que Chase afirma usar definiciones inclusivas es que simplifica las pruebas:

Al probar que un cuadrilátero es un trapezoide, uno puede detenerse después de probar que solo dos lados son paralelos . Pero con el exclusivo definición, para probar que un cuadrilátero es un trapezoide, tendría que probar que dos lados son paralelos Y los otros dos lados son no paralelo.

Con respecto a algunos de los otros a los que me refiero regularmente, el Dr. Wu usa la definición inclusiva:

"Un cuadrilátero con al menos un par de lados opuestos que son paralelos se llama trapezoide. Un trapezoide con dos pares de lados opuestos paralelos se llama paralelogramo".

mientras que el Dr. Mason usa la definición exclusiva:

"Un trapezoide es por definición un cuadrilátero con precisamente uno par de lados paralelos ".
(énfasis del Dr. M)

Entonces, ¿qué definición debo usar para trapezoide? Bueno, este es un blog de Common Core, por lo que la definición favorecida por Common Core debería tener prioridad sobre todas las demás definiciones. El siguiente es un enlace a la información que aparecerá en la evaluación de fin de año de PARCC para geometría:

Y allí mismo, en la columna bajo "Aclaraciones", se lee:

i) Un trapezoide se define como & # 8220Un cuadrilátero con al menos un par de lados paralelos. & # 8221

Y eso lo resuelve claramente. La evaluación PARCC Common Core utiliza la definición inclusiva de trapezoide, por lo que es mi deber en un blog de Common Core utilizar la definición de Common Core. Por supuesto, notamos que esta es la definición dada por PARCC, pero hasta ahora no he visto información sobre qué definición está usando Smarter Balanced. Sería trágico que PARCC usara una definición y Smarter Balanced la otra. Pero como no puedo decir nada sobre Smarter Balanced, usaré la única definición que es conocido estar en una prueba de Common Core, y esa es la definición inclusiva. El hecho de que esta definición ya sea utilizada por la U de Chicago es la guinda del pastel.

Hay un problema con la definición inclusiva de trapezoidey ahí es cuando intentamos definir Trapecio isósceles. La palabra isósceles sugiere que, al igual que en un triángulo isósceles, un trapezoide isósceles tiene dos lados iguales: los lados adyacentes a las bases (paralelas). Pero en un paralelogramo, donde cualquier par de lados opuestos pueden considerarse las bases, los lados adyacentes a estas bases también son iguales. Esto haría que cada paralelogramo sea un trapezoide isósceles. Pero esto no es deseable: un trapezoide isósceles tiene varias propiedades de las que carecen los paralelogramos en general. Las diagonales de un trapezoide isósceles son iguales, pero las de un paralelogramo en general no lo son. Pero las diagonales de un rectángulo son iguales. Así que nos gustaría considerar los rectángulos, pero no los paralelogramos en general, como trapecios isósceles.

Este dilema se menciona en los comentarios en uno de los enlaces de Chase. Se señala que hay dos formas de salir de este lío: podemos definir el trapecio isósceles en términos de simetría, como lo hace Conway, o podemos usar la definición de la U de Chicago:

"Un trapezoide es isósceles si y sólo si tiene un par de ángulos de base iguales en medida".

A algunos no les gusta esta definición porque viola la pureza lingüística: la palabra isósceles viene del griego y significa "piernas iguales", no "ángulos iguales". Pero resulta que es un pequeño precio a pagar para hacer que la jerarquía cuadrilátera y otros teoremas funcionen. Y además, cualquier geómetra que llame a un polígono de nueve lados nonágono ¡Debería callarse sobre la pureza lingüística!

Hay una definición en esta lección que he olvidado mencionar: la cometa. Resulta que hay dos definiciones de cometa, uno exclusivo y otro inclusivo. La definición inclusiva convierte a cada rombo (y por lo tanto a cada cuadrado) en una cometa. Naturalmente, aquellos que prefieren la definición exclusiva de trapezoide, como el Dr. M, también prefiere la definición exclusiva de cometa, mientras que otros toman definiciones inclusivas de ambos trapezoide y cometa. (Wu guarda silencio sobre este tema, no menciona cometas en su sitio en absoluto).

El hecho de que las definiciones exclusivas hacen que las pruebas sean más largas, como lo mencionaron tanto Conway como Chase, se nota cuando miramos la lección del Dr. M sobre cometas (Lección 6.6 en su sitio). Dado que está usando la definición exclusiva de cometa, El Dr. M debe asegurarse de que cada propiedad que tenga una cometa, como tener un par de ángulos opuestos iguales, se aplique solo a un par de ángulos y no al otro; de lo contrario, la figura sería un paralelogramo (de hecho, un rombo ) y no una cometa. Pero si usáramos la definición inclusiva, no debemos temer que la figura sea un rombo porque un rombo todavía se considera una cometa. La lección del Dr. M contiene 15 páginas de PowerPoint, pero podríamos recortar casi la mitad de ellas simplemente usando la definición inclusiva: cinco páginas de pruebas indirectas de "no el otro" y dos páginas más para explicar por qué el "no el otro" ¡Se necesitan pruebas!

Así que aquí está la definición de cometa de la U of Chicago:

Un cuadrilátero es una cometa si y solo si tiene dos pares distintos de lados consecutivos de la misma longitud.

(Fíjate que aquí distinto significa que hay dos pares diferentes con la misma longitud, para un total de cuatro lados, no que las longitudes en sí deben ser distintas).

El texto tiene la jerarquía de cuadriláteros, pero falta un enlace, del rombo al paralelogramo. Afirma que esto se demostrará en la Lección 5-4 (en realidad, 5-6), ya que utiliza la Prueba de ángulos alternos internos que no aparece hasta esa lección. Pero aquí en este blog, ya probamos la prueba AIA, por lo que podemos probar toda la jerarquía ahora mismo.

Ahora, algunos pueden notar algo aquí. Ayer escribí que las primeras cuatro secciones del Capítulo 5 no requieren un Postulado Paralelo. Sin embargo, hoy estoy hablando de cuadriláteros como rectángulos y cuadrados, y resulta que los rectángulos (y por lo tanto los cuadrados) ni siquiera existen sin un postulado paralelo.

Entonces, ¿qué da aquí? En realidad, todas las afirmaciones probadas en esta lección siguen siendo verdaderas en geometría no euclidiana, incluso aquellas como "cada rectángulo es un paralelogramo". Si los rectángulos no existen, entonces la afirmación "cada rectángulo es un paralelogramo" es vacuosamente cierta: ¡existen cero rectángulos, y todos los cero son paralelogramos! (De manera similar, todos los unicornios son blancos). Ninguna declaración sobre rectángulos o cuadrados hecha en esta lección requiere que exista ninguno de ellos, solo que Si existen, entonces tienen estas propiedades. Wu hace el mismo truco en su página:

"Un cuadrilátero cuyos ángulos son ángulos rectos se llama rectángulo. Un rectángulo cuyos lados tienen la misma longitud se llama cuadrado. Tenga en cuenta que en este punto, no sabemos si hay
es un cuadrado o no, o peor, si hay un rectángulo o no ".

Además, la afirmación de que cada rombo es un paralelogramo usa los ángulos alternos internos Prueba, pero es el paralelo Consecuencias, no el paralelo Pruebas, que requieren un Postulado Paralelo. No es hasta la Sección 5-5, donde derivamos propiedades sobre trapezoides usando las consecuencias de sus lados paralelos, que necesitaremos un Postulado Paralelo.

Pasemos a los ejercicios. Decidí descartar las primeras ocho preguntas desde la definición, el dibujo y la jerarquía de los siete tipos de cuadriláteros que encajan mejor en las notas, no en los ejercicios que vienen después de las notas. En cuanto a las otras preguntas, es interesante señalar cómo las respuestas pueden ser diferentes usando definiciones inclusivas / exclusivas, o geometría euclidiana / no euclidiana.

Incluyo las primeras tres preguntas de verdadero / falso, del 9-11. La pregunta 9 es verdadera, incluso en geometría no euclidiana (donde es vacuosamente verdadera) y la pregunta 10 siempre es falsa. La pregunta 11 es verdadera, pero se vuelve falsa si usamos una definición exclusiva de cometa. (Tenga en cuenta que mis ejercicios no hacen referencia a trapezoides, sino solo a cometas, ya que las cometas aparecerán antes en la Sección 5-4).

Luego paso a la pregunta 20. Si el conjunto A es el conjunto de todos los rectángulos y el conjunto B es el conjunto de todos los rombos, entonces A intersecta B es el conjunto de todos los cuadrados. Esto sigue siendo válido incluso en geometría no euclidiana, ya que el conjunto A, el conjunto de todos los rectángulos, se convierte en el conjunto vacío. Entonces A intersecta B también sería el conjunto vacío, que es igual al conjunto de todos los cuadrados, ya que ese también es el conjunto vacío.

Pero hay un problema de intersección similar que es demasiado avanzado para ser presentado aquí, y donde la respuesta difiere según la geometría que se esté usando. La intersección del conjunto de todos los paralelogramos y el conjunto de todos los trapezoides isósceles es, en geometría euclidiana, el conjunto de todos los rectángulos. (Una forma de demostrar esto es observar que los trapezoides isósceles tienen diagonales iguales y, aunque esto no se ha demostrado en la U de Chicago, los paralelogramos con diagonales iguales son rectángulos). Sin embargo, en la geometría hiperbólica, no hay rectángulos, pero existen figuras que son tanto paralelogramos como trapezoides isósceles; en particular, el cuadrilátero de Saccheri es ambos. Un geómetro hiperbólico puede pasar por alto el hecho de que un cuadrilátero de Saccheri es un trapezoide isósceles porque está usando la definición exclusiva, donde un paralelogramo no puede ser un trapezoide. Pero de alguna manera, un cuadrilátero de Saccheri se parece más a un trapezoide isósceles euclidiano que a un paralelogramo euclidiano, ya que Saccheri y el trapezoide isósceles comparten el mismo tipo de línea de simetría que el paralelogramo general carece.

En la pregunta 21, probamos que NOPQ es una cometa, una prueba que requiere solo cuatro pasos (ya que siempre agrego un paso Dado a los tres pasos solicitados en el libro). Pero si usamos la definición exclusiva de cometa, NOPQ podría no ser una cometa porque podría ser un rombo. Técnicamente hablando, no podemos probar que NOPQ es una cometa exclusiva a menos que agreguemos otra hipótesis, como círculos O y Q tener radios desiguales.


Geometría, estilo de núcleo común

Hoy es un día sin estudiantes en mi nuevo distrito, similar al 15 de octubre en mi antiguo distrito. El calendario del blog sigue el distrito antiguo, por lo que hoy es un día de publicación.

Por otro lado, la única forma en que podría sustituir hoy es por mi antiguo distrito. Por supuesto, esto era muy poco probable, y al final no me entregué hoy.

Aquí voy de nuevo, haciendo una publicación de los tradicionalistas fuera de horario. La semana pasada, en el día programado, no escribí mucho y declaré que las publicaciones de los verdaderos tradicionalistas son las publicaciones de "Sue Teele", ya que sus inteligencias múltiples son el otro lado del debate.

Pero durante el fin de semana, nuestro principal tradicionalista Barry Garelick publicó. Y está respondiendo a un artículo escrito por otro autor cuyas ideas hemos visto recientemente: Jo Boaler:

El Distrito Escolar Unificado de San Francisco & # 8217s decidió eliminar el acceso al álgebra para los estudiantes de octavo grado, incluso si un estudiante está calificado para tomar tal curso. El último artículo para justificar la acción es uno escrito por Jo Boaler (cuyo enfoque autodidacta de la educación matemática en mi opinión y la opinión de muchos otros en educación a quienes respeto ha sido ineficaz y dañino) y Alan Schoenfeld, un profesor de matemáticas. de UC Berkeley cuya postura es consistente con los reformadores matemáticos. Es decir, & # 8220understanding & # 8221 tiene prioridad sobre el procedimiento, entre otras cosas.

Garelick y los otros tradicionalistas han mencionado el Distrito Unificado de San Francisco en el pasado. Casi siempre es para criticar la política de Álgebra I del octavo grado del distrito. Cita el artículo de Boaler:

& # 8220 Los Estándares Estatales Básicos Comunes elevaron el nivel y el rigor de las matemáticas de octavo grado para incluir contenido de Álgebra 1, así como temas de geometría y estadística que se enseñaron previamente en la escuela secundaria.

Y el tradicionalista no está de acuerdo. En su artículo, finalmente menciona Cálculo AP de último año, la clase que realmente les importa a los tradicionalistas. Elevar el rigor de Matemáticas 8 para incluir un poco más de álgebra es irrelevante si no lleva a que los estudiantes del último año tomen una clase llamada Cálculo AP. Oh, y a propósito:

Traducción: Para aquellos estudiantes que deseen tomar cálculo en el grado 12, pueden duplicar los cursos de matemáticas en el grado 11, para que puedan tomar Álgebra 2 y Precálculo. En cuanto a lo que quieren decir con & # 8220 cursos conceptualmente ricos que benefician a todos & # 8221, & # 8217s cualquiera & # 8217s adivina.

En otras palabras, no cuenta como un verdadero camino hacia Cálculo a menos que los estudiantes puedan tomar matemáticas por un solo período al día, sin escuela de verano, con Cálculo AP como la clase culminante. (Estoy de acuerdo con Garelick en que Álgebra II y Pre-Calc juntos es una carga muy difícil para un junior).

Un curso de nivel de escuela secundaria incluye expresiones racionales (es decir, fracciones algebraicas), división de polinomios, factorización, ecuaciones cuadráticas y variación directa e inversa. Los estándares de octavo grado no los incluyen. Doy clases de matemáticas de octavo grado y álgebra de secundaria para estudiantes de octavo grado.

Estoy de acuerdo solo en parte. Por lo general, considero que Common Core 8 se alinea con la primera mitad de Álgebra I. Entonces, la factorización y las cuadráticas son temas de Álgebra 1B que no aparecen en Common Core 8. En cuanto a las expresiones racionales y la división larga de polinomios, estos aparecen en algunos Álgebra I textos, pero muchos profesores de secundaria los guardan para el final del año y, en última instancia, se saltan estos temas. Dado que Garelick afirma que enseña octavo Álgebra I, me pregunto si enseña estos temas y, si lo hace, qué calificaciones obtienen sus alumnos de octavo grado en las pruebas. (En cuanto a la variación directa, Garelick aborda esto más adelante en su publicación).

Además, tenga en cuenta que Boaler nunca afirma que Common Core Math 8 sea más riguroso que Álgebra I. Quiere decir que Common Core Math 8 es más riguroso que el Common Core Math 8 en la mayoría de los estados (excepto en California) para los que Matemáticas 8 no es igual Álgebra I. Common Core Math 8 es más rigurosa que la matemática pre-Core 8 que no es de Cali en que algunos (no todo) Se ha agregado el contenido de Álgebra I. Pero es fácil confundirse porque este es un artículo en un periódico de Cali sobre un distrito de Cali, por lo que Garelick piensa que está tratando de comparar Common Core Math 8 con Cali pre-Core Math 8 (= Álgebra I).

Garelick compara Common Core Math con su texto Dolciani favorito de hace 50 años:

Complemento libremente con un libro de preálgebra de Dolciani escrito en los años 70 & # 8217 y otros materiales. El énfasis en la razón y la proporción en los grados séptimo y octavo es bastante extenso y se puede hacer de manera más concisa, en lugar de insistir en lo que es una variación directa y una relación proporcional.Los cursos tradicionales de Álgebra 1 presentan variación directa de una manera mucho más comprensible, en lugar de la técnica & # 8220 andando por las ramas & # 8221 que define tales relaciones como funciones de línea recta que pasan por el origen, y cuya pendiente es igual a la & # 8220 constante de variación. / proporcionalidad & # 8221.

Recuerde que encontré una copia de un texto Dolciani de 1970 en una venta de libros de la biblioteca. Pero no pude encontrar ninguna mención de variación directa en el texto. (Mi texto se llama "Curso 2"; sospecho que Garelick realmente usa "Curso 3" en su salón de clases).

Miro mi otro texto de la era de 1960, Geometría de Moise, y noto esto en el prefacio:

"En los últimos años, ha habido una amplia discusión sobre el contenido del curso de geometría que normalmente se enseña en el décimo grado".

Entonces, para Moise, Geometría es un curso de segundo año, pero para los tradicionalistas que prefieren los textos de su época, Geometría es un curso de primer año. La idea de que los estudiantes de octavo grado deberían estar en Álgebra I o los del último año en Cálculo es bastante reciente. A Moise, Dolciani y otros escritores de libros de texto de los años sesenta y setenta nunca se les ocurrió que el cálculo debería enseñarse en la escuela secundaria.

Pero el objetivo real de la eliminación de álgebra de San Francisco en el octavo grado es cerrar la brecha de rendimiento como lo demuestra el último párrafo del artículo.

Los tradicionalistas no desean cerrar la brecha de logros, sino que prefieren el seguimiento, que es exactamente lo contrario. Si la mayoría de los estudiantes de la clase de Álgebra I de octavo grado de Garelick o la clase de Cálculo AP son miembros de grupos privilegiados (con "privilegios" según lo define Eugenia Cheng), entonces que así sea.

SteveH vuelve a comentar en este hilo:

SteveH:
Asombroso. ¿Por qué no eliminar los grupos nivelados en K-6 que usan para la instrucción diferenciada? Todo no tiene ningún sentido para el observador más casual. CCSS tiene una pendiente que no conduce a ninguna corrección en el álgebra universitaria & # 8211 ¡dicen esto! & # 8211 pero Jo Boaler, etcétera. afirman que es normal cambiar mágicamente esa pendiente en la escuela secundaria para llegar al cálculo, un nivel difícil incluso para aquellos que obtienen álgebra en el octavo grado.

Recuerde que Boaler escribió el prefacio del libro Number Talks, así que supongo que apoya los métodos utilizados en ese libro. Una de sus autoras, Cathy Humphreys, sí menciona Cálculo en su libro (en el capítulo sobre fracciones). Permítanme proporcionar el contexto completo:

"Un día, mientras Cathy trabajaba con estudiantes de sexto grado para ayudarlos a encontrar diferentes formas de comparar fracciones, la clase fue inusualmente pasiva y casi hosca. Finalmente se detuvo y preguntó qué pasaba. Después de un minuto más o menos, Anthony habló , y, aunque fue hace algunos años, sus palabras todavía están grabadas en su mente: "Sra. Humphreys, teníamos fracciones en tercer y cuarto y quinto grado. No las obtuvimos entonces, y no". ¡Consígalos ahora, y no queremos volver a hacerlos! ' No poder 'obtener' fracciones hizo que Anthony se sintiera fracasado, y ¿quién quiere trabajar en las cosas que nos hacen sentir así?

"Pero para tener éxito en la escuela secundaria, no hay forma de evitar las fracciones. Los estudiantes que están aprendiendo con éxito conceptos complejos en álgebra, trigonometría y cálculo pueden confundirse con una fracción en el medio de una ecuación".

Note que Anthony, el alumno de sexto grado, no quiere hacer fracciones. Preferiría dejar un problema en blanco que responder la Pregunta # 1 si contiene una fracción.

Sabemos qué solución recomendarían Cathy Humphreys y Jo Boaler: empezar a hablar de números sobre fracciones. Pero para Garelick, SteveH y otros tradicionalistas, cualquier otra cosa que no fueran las matemáticas tradicionales impediría que Anthony llegara a AP Calc.

Bien, entonces me gustaría ver qué harían los tradicionalistas con un estudiante como Anthony. Deja en claro que no quiere hacer fracciones, así que asuma que se negaría a responder la Pregunta # 1 en un p-set tradicional con fracciones. ¡Adelante, tradicionalistas, muéstranos tu magia!

La lección 5-2 del texto de la U de Chicago se llama "Tipos de cuadriláteros". En la Tercera Edición moderna del texto, los cuadriláteros aparecen en la Lección 6-4.

Esto es lo que escribí hace dos años sobre la lección de hoy:

La lección 5-2 del texto de la U de Chicago cubre los diversos tipos de cuadriláteros. No hay teoremas en esta sección, solo definiciones. El concepto de definición es importante para el estudio de la geometría, y en ninguna lección hasta ahora las definiciones son más prominentes que en esta lección.

La lección comienza definiendo paralelogramo , rombo , rectángulo , y cuadrado . No hay nada de malo en ninguna de esas definiciones. Pero luego llegamos a una definición controvertida: la de trapezoide :

Definición:
Un cuadrilátero es un trapezoide si y solo si tiene al menos un par de lados paralelos.
(énfasis mío)

Al igual que con la definición de paralelo en la Lección 1-7, tenemos dos palabras adicionales que distinguen esto de una definición tradicional de trapezoide -- "al menos." En otros libros de texto, ningún paralelogramo es un trapecio, pero en el texto de la U de Chicago, todos ¡El paralelogramo es un trapezoide!

Para entender lo que está sucediendo aquí, volvamos al primer geómetra que definió algunos de los términos en la jerarquía de cuadriláteros; por supuesto, estoy hablando de Euclides:

De figuras cuadriláteras, un cuadrado es lo que es a la vez equilátero y en ángulo recto oblongo lo que es en ángulo recto pero no equilátero a rombo lo que es equilátero pero no en ángulo recto y un romboidal el que tiene sus lados y ángulos opuestos iguales entre sí, pero no es ni equilátero ni en ángulo recto. Y llamemos cuadriláteros distintos a estos trapecio.

Por supuesto, el término moderno para "oblongo" es rectángulo , y un "romboide" ahora es un paralelogramo . La palabra "trapecio" es en realidad plural de "trapecio". En inglés británico, un "trapecio" es lo que los estadounidenses llamaríamos un trapezoide , pero para Euclides, cualquier cuadrilátero que no sea un paralelogramo (o por debajo de la jerarquía de cuadriláteros) es un "trapecio". Pero lo importante aquí es que para Euclides, un cuadrado, por ejemplo, no es ni un rectángulo (oblongo) ni un rombo. Se asegura de decir que un rectángulo (oblongo) "no es equilátero" y que un rombo "no tiene un ángulo recto". Y, por supuesto, ni un rectángulo ni un rombo es un paralelogramo (romboide).

Se denominan definiciones "exclusivas". Para Euclides, no existía una jerarquía de cuadriláteros: cada clase de cuadriláteros estaba separada de las demás. Pero desde los días de Euclides, cada vez más textos de geometría han agregado lentamente definiciones más "inclusivas".

Una de las primeras definiciones inclusivas que he visto fue la definición de rectángulo . Se mencionó en un episodio de Square One TV, cuando se suponía que un personaje de parodia de Pacman llamado Mathman se comía rectángulos y luego se comía un cuadrado porque "cada cuadrado es un rectángulo". Proporcionaría un enlace de YouTube, pero no he encontrado el enlace en años y no aparece en una búsqueda. (Incluso recuerdo a alguien que publicó en los comentarios que, al igual que yo, su primer encuentro con la definición inclusiva de rectángulo ¡Había terminado de ver ese clip cuando se emitió por primera vez hace tantos años!)

Pero muchos de los miembros de mi familia también eran maestros, y un pariente me dio un libro de texto antiguo que aún mencionaba algunas definiciones exclusivas. En particular, declaró que un cuadrado no es un rombo. Un poco más tarde, mi maestra de quinto grado enseñó la definición inclusiva de rombo . Luego solté que un cuadrado no es un rombo, ¡y luego llevé el texto antiguo a la escuela para probarlo! Ella respondió: "¡Guau!" pero luego, si recordaba correctamente, me dijo que esta definición era antigua, y que según la nueva definición, un cuadrado es un rombo. Entonces, todos los textos modernos clasifican el cuadrado como un rectángulo y un rombo, y que todos estos se consideran paralelogramos.

Entonces vemos que hay una tendencia a que las definiciones se vuelvan más inclusivas a medida que pasa el tiempo. (Vemos que esto también sucede en la política, por ejemplo, la definición de matrimonio . Pero estoy divagando.) Y entonces vemos que el siguiente paso natural es que el paralelogramo sea considerado un trapezoide.

Uno de los primeros defensores que vi de una definición inclusiva de trapezoide es el famoso matemático de Princeton John H. Conway. Es mejor conocido por inventar el juego matemático de la vida, que tiene su propio sitio web:

Pero Conway también se especializa en otros campos de las matemáticas, como la geometría y la teoría de grupos (que es, de alguna manera, el estudio de la simetría). Hace doce años, publicó la siguiente información sobre por qué prefiere definiciones inclusivas:

La preferencia por las definiciones exclusivas surge, creo, de
lo que yo llamo "el uso descriptivo". Por supuesto, uno no DESCRIBIRÍA
una mesa cuadrada como "rectangular", ya que eso usaría sin razón
un plazo más largo para transmitir menos información. Entonces, en usos descriptivos,
existe la presunción natural de que una mesa llamada "rectangular"
de hecho, no será cuadrado; en otras palabras, una presunción natural
que los términos se utilizarán exclusivamente.

Pero el uso descriptivo no es importante para la geometría, donde el
Lo realmente importante es la verdad de los teoremas. Esto significa que nosotros
debe utilizar un término "A" para incluir "B" si todas las identidades que
mantener para todas las "A" también se mantendrá para todas las "B" (en la forma en que
el teorema del área trapezoidal es válido para todos los paralelogramos, para
ejemplo).

Es posible que le preocupe la consistencia de cambiar al
uso inclusivo mientras que otras personas continúan con el exclusivo.
¡Pero no puede haber coherencia con las personas que son inconsistentes!
He visto muchos libros de geometría que HACEN las definiciones exclusivas,
pero ninguno que se las arregle para UTILIZARLOS consistentemente por más de unos pocos
teoremas.

De hecho, Conway abogó por dar un paso adelante y abolir el trapezoide y tener solo el trapezoide isósceles en la jerarquía. Después de todo, no hay mucho que se pueda decir acerca de un trapezoide que no sea isósceles; solo mire la Lección 5-5. Solo hay un teorema enumerado allí sobre los trapezoides generales: el Teorema del ángulo trapezoidal, y ese es realmente el Teorema de consecuencia del ángulo interior del mismo lado que se puede probar sin referencia alguna a los trapezoides. Todos los demás teoremas de la lección se refieren a isósceles trapezoides. En particular, los teoremas de simetría de la lección se refieren a trapezoides isósceles. (Recuerde que Conway se especializa en teoría de grupos, que, como escribí anteriormente, es el estudio de simetría .) Sospecho que la única razón por la que tenemos trapezoides generales es que son el cuadrilátero más simple para el que se puede dar una fórmula de área.

Esta es ahora otra digresión de Common Core Geometry, así que solo proporcionaré otro enlace. Nótese que aquí, Conway también propone una hexágono jerarquía basada en la simetría. También hay una jerarquía de pentágonos, pero solo hay tres tipos de pentágonos: general, simétrico y regular, al igual que los hay para los triángulos. Es más fácil hacer simétricas figuras con un número par de lados.

Otro defensor de las definiciones inclusivas es el Sr. Chase, profesor de matemáticas de una escuela secundaria de Maryland. (Y no, en el post de ayer y hoy me refiero a dos diferentes Maestros de Maryland.) Veo que le apasiona tanto la definición inclusiva de trapezoide que dedicó tres entradas de blog enteras a por qué odia la definición exclusiva de trapezoide :

Una razón por la que Chase afirma usar definiciones inclusivas es que simplifica las pruebas:

Al probar que un cuadrilátero es un trapezoide, uno puede detenerse después de probar que solo dos lados son paralelos . Pero con el exclusivo definición, para probar que un cuadrilátero es un trapezoide, tendría que probar que dos lados son paralelos Y los otros dos lados son no paralelo.

Con respecto a algunos de los otros a los que me refiero regularmente, el Dr. Wu usa la definición inclusiva:

"Un cuadrilátero con al menos un par de lados opuestos que son paralelos se llama trapezoide. Un trapezoide con dos pares de lados opuestos paralelos se llama paralelogramo".

mientras que el Dr. Mason usa la definición exclusiva:

"Un trapezoide es por definición un cuadrilátero con precisamente uno par de lados paralelos ".
(énfasis del Dr. M)

Entonces, ¿qué definición debo usar para trapezoide ? Bueno, este es un blog de Common Core, por lo que la definición favorecida por Common Core debería tener prioridad sobre todas las demás definiciones. El siguiente es un enlace a la información que aparecerá en la evaluación de fin de año de PARCC para geometría:

Y allí mismo, en la columna bajo "Aclaraciones", se lee:

i) Un trapezoide se define como & # 8220Un cuadrilátero con al menos un par de lados paralelos. & # 8221

Y eso lo resuelve claramente. La evaluación PARCC Common Core utiliza la definición inclusiva de trapezoide , por lo que es mi deber en un blog de Common Core utilizar la definición de Common Core. Por supuesto, notamos que esta es la definición dada por PARCC, pero hasta ahora no he visto información sobre qué definición usa Smarter Balanced. Sería trágico que PARCC usara una definición y Smarter Balanced la otra. Pero como no puedo decir nada sobre Smarter Balanced, usaré la única definición que es conocido estar en una prueba de Common Core, y esa es la definición inclusiva. El hecho de que esta definición ya sea utilizada por la U de Chicago es la guinda del pastel.

Hay un problema con la definición inclusiva de trapezoide y ahí es cuando intentamos definir Trapecio isósceles . La palabra isósceles sugiere que, al igual que en un triángulo isósceles, un trapezoide isósceles tiene dos lados iguales: los lados adyacentes a las bases (paralelas). Pero en un paralelogramo, donde cualquier par de lados opuestos pueden considerarse las bases, los lados adyacentes a estas bases también son iguales. Esto haría que cada paralelogramo sea un trapezoide isósceles. Pero esto no es deseable: un trapezoide isósceles tiene varias propiedades de las que carecen los paralelogramos en general. Las diagonales de un trapezoide isósceles son iguales, pero las de un paralelogramo en general no lo son. Pero las diagonales de un rectángulo son iguales. Así que nos gustaría considerar los rectángulos, pero no los paralelogramos en general, como trapecios isósceles.

[Actualización de 2018: Según el antiguo texto de Moise que mencioné anteriormente, todos los paralelogramos son trapezoides isósceles, mientras que ninguna cometa es un rombo. De lo contrario, su definición de trapezoide coincide con la de U de Chicago.]

Este dilema se menciona en los comentarios en uno de los enlaces de Chase. Se señala que hay dos formas de salir de este lío: podemos definir el trapezoide isósceles en términos de simetría, como lo hace Conway, o podemos usar la definición de la U de Chicago:

"Un trapezoide es isósceles si y sólo si tiene un par de ángulos de base iguales en medida".

A algunos no les gusta esta definición porque viola la pureza lingüística: la palabra isósceles viene del griego y significa "piernas iguales", no "ángulos iguales". Pero resulta que es un pequeño precio a pagar para hacer que la jerarquía cuadrilátera y otros teoremas funcionen. Y además, cualquier geómetra que llame a un polígono de nueve lados nonágono ¡Debería callarse sobre la pureza lingüística!

Nota: El Sr. Chase solo hizo una publicación en 2018. Se trata de usar geometría pura para probar identidades en Trig.


Geometría, estilo de núcleo común

Esto es lo que escribe Theoni Pappas en la página 303 de su Magia de las Matemáticas:

"Utilizando sus habilidades de visualización y técnicas de plegado, determine una manera de hacer un corte recto para separar el tablero de ajedrez en cuadrados de 2 * 2, como este".

Esta es la segunda página de la subsección "Manía del tablero de ajedrez". Una vez más, la primera página de esta sección fue bloqueada por el fin de semana.

Pero no necesitamos ver la primera página, ni tampoco las imágenes de esta página, para comprender el problema. El tablero de ajedrez es un 8 * 8 estándar, y se nos pide que lo doblemos para que un solo corte lo divida en dieciséis cuadrados de 2 * 2. Pappas lo describe como "desarmar un tablero de ajedrez de un solo golpe".

Como de costumbre, publicaré la solución mañana. Este problema no es nada fácil: los pliegues y el corte a realizar son extremadamente inteligentes.

La lección 5-2 del texto de la U de Chicago se llama "Tipos de cuadriláteros". En la Tercera Edición moderna del texto, los cuadriláteros aparecen en la Lección 6-4.

Esto es lo que escribí hace dos años sobre la lección de hoy:

La lección 5-2 del texto de la U de Chicago cubre los diversos tipos de cuadriláteros. No hay teoremas en esta sección, solo definiciones. El concepto de definición es importante para el estudio de la geometría, y en ninguna lección hasta ahora las definiciones son más prominentes que en esta lección.

La lección comienza definiendo paralelogramo , rombo , rectángulo , y cuadrado . No hay nada de malo en ninguna de esas definiciones. Pero luego llegamos a una definición controvertida: la de trapezoide :

Definición:
Un cuadrilátero es un trapezoide si y solo si tiene al menos un par de lados paralelos.
(énfasis mío)

Al igual que con la definición de paralelo en la Lección 1-7, tenemos dos palabras adicionales que distinguen esto de una definición tradicional de trapezoide -- "al menos." En otros libros de texto, ningún paralelogramo es un trapecio, pero en el texto de la U de Chicago, todos ¡El paralelogramo es un trapezoide!

Para entender lo que está sucediendo aquí, volvamos al primer geómetra que definió algunos de los términos en la jerarquía de cuadriláteros; por supuesto, estoy hablando de Euclides:

De figuras cuadriláteras, un cuadrado es lo que es a la vez equilátero y en ángulo recto oblongo lo que es en ángulo recto pero no equilátero a rombo lo que es equilátero pero no en ángulo recto y un romboidal el que tiene sus lados y ángulos opuestos iguales entre sí, pero no es ni equilátero ni en ángulo recto. Y llamemos cuadriláteros distintos a estos trapecio.

Por supuesto, el término moderno para "oblongo" es rectángulo , y un "romboide" ahora es un paralelogramo . La palabra "trapecio" es en realidad plural de "trapecio". En inglés británico, un "trapecio" es lo que los estadounidenses llamaríamos un trapezoide , pero para Euclides, cualquier cuadrilátero que no sea un paralelogramo (o por debajo de la jerarquía de cuadriláteros) es un "trapecio". Pero lo importante aquí es que para Euclides, un cuadrado, por ejemplo, no es ni un rectángulo (oblongo) ni un rombo. Se asegura de decir que un rectángulo (oblongo) "no es equilátero" y que un rombo "no tiene un ángulo recto". Y, por supuesto, ni un rectángulo ni un rombo es un paralelogramo (romboide).

Se denominan definiciones "exclusivas". Para Euclides, no había una jerarquía de cuadriláteros: cada clase de cuadriláteros estaba separada de las demás. Pero desde los días de Euclides, cada vez más textos de geometría han agregado lentamente definiciones más "inclusivas".

Una de las primeras definiciones inclusivas que he visto fue la definición de rectángulo . Se mencionó en un episodio de Square One TV, cuando se suponía que un personaje de parodia de Pacman llamado Mathman se comía rectángulos y luego se comía un cuadrado porque "cada cuadrado es un rectángulo". Proporcionaría un enlace de YouTube, pero no he encontrado el enlace en años y no aparece en una búsqueda. (Incluso recuerdo a alguien que publicó en los comentarios que, al igual que yo, su primer encuentro con la definición inclusiva de rectángulo ¡Había terminado de ver ese clip cuando se emitió por primera vez hace tantos años!)

Pero muchos de los miembros de mi familia también eran maestros, y un pariente me dio un libro de texto antiguo que aún mencionaba algunas definiciones exclusivas. En particular, declaró que un cuadrado no es un rombo. Un poco más tarde, mi maestra de quinto grado enseñó la definición inclusiva de rombo . Luego solté que un cuadrado no es un rombo, ¡y luego llevé el texto antiguo a la escuela para probarlo! Ella respondió: "¡Guau!" pero luego, si recordaba correctamente, me dijo que esta definición era antigua, y que según la nueva definición, un cuadrado es un rombo. Entonces, todos los textos modernos clasifican el cuadrado como un rectángulo y un rombo, y que todos estos se consideran paralelogramos.

Entonces vemos que hay una tendencia a que las definiciones se vuelvan más inclusivas a medida que pasa el tiempo. (Vemos que esto también sucede en la política, por ejemplo, la definición de matrimonio . Pero estoy divagando.) Y entonces vemos que el siguiente paso natural es que el paralelogramo sea considerado un trapezoide.

Uno de los primeros defensores que vi de una definición inclusiva de trapezoide es el famoso matemático de Princeton John H. Conway. Es mejor conocido por inventar el juego matemático de la vida, que tiene su propio sitio web:

Pero Conway también se especializa en otros campos de las matemáticas, como la geometría y la teoría de grupos (que es, de alguna manera, el estudio de la simetría). Hace doce años, publicó la siguiente información sobre por qué prefiere definiciones inclusivas:

La preferencia por las definiciones exclusivas surge, creo, de
lo que yo llamo "el uso descriptivo". Por supuesto, uno no DESCRIBIRÍA
una mesa cuadrada como "rectangular", ya que eso usaría sin razón
un plazo más largo para transmitir menos información. Entonces, en usos descriptivos,
existe la presunción natural de que una mesa llamada "rectangular"
de hecho, no será cuadrado; en otras palabras, una presunción natural
que los términos se utilizarán exclusivamente.

Pero el uso descriptivo no es importante para la geometría, donde el
Lo realmente importante es la verdad de los teoremas. Esto significa que nosotros
debe utilizar un término "A" para incluir "B" si todas las identidades que
mantener para todas las "A" también se mantendrá para todas las "B" (en la forma en que
el teorema del área trapezoidal es válido para todos los paralelogramos, para
ejemplo).

Es posible que le preocupe la consistencia de cambiar al
uso inclusivo mientras que otras personas continúan con el exclusivo.
¡Pero no puede haber coherencia con las personas que son inconsistentes!
He visto muchos libros de geometría que HACEN las definiciones exclusivas,
pero ninguno que se las arregle para UTILIZARlos consistentemente durante más de unos
teoremas.

De hecho, Conway abogó por dar un paso adelante y abolir el trapezoide y tener solo el trapezoide isósceles en la jerarquía. Después de todo, no hay mucho que se pueda decir acerca de un trapezoide que no sea isósceles; solo mire la Lección 5-5. Solo hay un teorema enumerado allí sobre los trapezoides generales: el Teorema del ángulo trapezoidal, y ese es realmente el Teorema de consecuencia del ángulo interior del mismo lado que se puede probar sin referencia alguna a los trapezoides. Todos los demás teoremas de la lección se refieren a isósceles trapezoides. En particular, los teoremas de simetría de la lección se refieren a trapezoides isósceles. (Recuerde que Conway se especializa en teoría de grupos, que, como escribí anteriormente, es el estudio de simetría .) Sospecho que la única razón por la que tenemos trapezoides generales es que son el cuadrilátero más simple para el que se puede dar una fórmula de área.

Esta es ahora otra digresión de Common Core Geometry, así que solo proporcionaré otro enlace. Nótese que aquí, Conway también propone una hexágono jerarquía basada en la simetría. También hay una jerarquía de pentágonos, pero solo hay tres tipos de pentágonos: general, simétrico y regular, al igual que los hay para los triángulos. Es más fácil hacer simétricas figuras con un número par de lados.

Otro defensor de las definiciones inclusivas es el Sr. Chase, profesor de matemáticas de una escuela secundaria de Maryland. (Y no, en el post de ayer y hoy me refiero a dos diferentesMaestros de Maryland.) Veo que le apasiona tanto la definición inclusiva de trapezoide que dedicó tres entradas de blog enteras a por qué odia la definición exclusiva de trapezoide :

Una razón por la que Chase afirma usar definiciones inclusivas es que simplifica las pruebas:

Al probar que un cuadrilátero es un trapezoide, uno puede detenerse después de probar que solo dos lados son paralelos . Pero con el exclusivo definición, para probar que un cuadrilátero es un trapezoide, tendría que probar que dos lados son paralelos Y los otros dos lados son no paralelo.

Con respecto a algunos de los otros a los que me refiero regularmente, el Dr. Wu usa la definición inclusiva:

"Un cuadrilátero con al menos un par de lados opuestos que son paralelos se llama trapezoide. Un trapezoide con dos pares de lados opuestos paralelos se llama paralelogramo".

mientras que el Dr. Mason usa la definición exclusiva:

"Un trapezoide es por definición un cuadrilátero con precisamente uno par de lados paralelos ".
(énfasis del Dr. M)

Entonces, ¿qué definición debo usar para trapezoide ? Bueno, este es un blog de Common Core, por lo que la definición favorecida por Common Core debería tener prioridad sobre todas las demás definiciones. El siguiente es un enlace a la información que aparecerá en la evaluación de fin de año de PARCC para geometría:

Y allí mismo, en la columna bajo "Aclaraciones", se lee:

i) Un trapezoide se define como & # 8220Un cuadrilátero con al menos un par de lados paralelos. & # 8221

Y eso lo resuelve claramente. La evaluación PARCC Common Core utiliza la definición inclusiva de trapezoide , por lo que es mi deber en un blog de Common Core utilizar la definición de Common Core. Por supuesto, notamos que esta es la definición dada por PARCC, pero hasta ahora no he visto información sobre qué definición usa Smarter Balanced. Sería trágico que PARCC usara una definición y Smarter Balanced la otra. Pero como no puedo decir nada sobre Smarter Balanced, usaré la única definición que es conocido estar en una prueba de Common Core, y esa es la definición inclusiva. El hecho de que esta definición ya sea utilizada por la U de Chicago es la guinda del pastel.

Hay un problema con la definición inclusiva de trapezoide y ahí es cuando intentamos definir Trapecio isósceles . La palabra isósceles sugiere que, al igual que en un triángulo isósceles, un trapezoide isósceles tiene dos lados iguales: los lados adyacentes a las bases (paralelas). Pero en un paralelogramo, donde cualquier par de lados opuestos pueden considerarse las bases, los lados adyacentes a estas bases también son iguales. Esto haría que cada paralelogramo sea un trapezoide isósceles. Pero esto no es deseable: un trapezoide isósceles tiene varias propiedades de las que carecen los paralelogramos en general. Las diagonales de un trapezoide isósceles son iguales, pero las de un paralelogramo en general no lo son. Pero las diagonales de un rectángulo son iguales. Así que nos gustaría considerar los rectángulos, pero no los paralelogramos en general, como trapecios isósceles.

Este dilema se menciona en los comentarios en uno de los enlaces de Chase. Se señala que hay dos formas de salir de este lío: podemos definir el trapezoide isósceles en términos de simetría, como lo hace Conway, o podemos usar la definición de la U de Chicago:

"Un trapezoide es isósceles si y sólo si tiene un par de ángulos de base iguales en medida".

A algunos no les gusta esta definición porque viola la pureza lingüística: la palabra isósceles viene del griego y significa "piernas iguales", no "ángulos iguales". Pero resulta que es un pequeño precio a pagar para hacer que la jerarquía cuadrilátera y otros teoremas funcionen. Y además, cualquier geómetra que llame a un polígono de nueve lados nonágono ¡Debería callarse sobre la pureza lingüística!

Por cierto, Chase volvió a publicar en 2017, al menos de enero a abril. Su publicación más reciente trata sobre el Festival Nacional de Matemáticas bienal, que se lleva a cabo en Washington, DC.


9.7: Usar propiedades de rectángulos, triángulos y trapezoides (Parte 2) - Matemáticas

Presento las propiedades de los trapezoides y el teorema del segmento medio.
EJEMPLOS EN 3:56 7:54 13:20

Índice de cursos

  1. Puntos, líneas y planos en geometría
  2. Más postulados y teoremas Puntos, líneas y planos
  3. Segmento, rayo, distancia en una recta numérica
  4. Introducción a los ángulos
  5. Pares de ángulos especiales
  6. Segmento y ángulo de construcciones básicas
  7. Construcciones de bisectriz de ángulo y segmento
  8. Fórmula de distancia y teorema de Pitágoras
  9. Fórmula de punto medio
  10. Perímetro de una región plana
  11. Área de una región plana
  12. Razonamiento deductivo si entonces declaraciones
  13. Introducción a las pruebas de geometría de 2 columnas
  14. Ángulos congruentes
  15. Líneas paralelas y oblicuas, ángulos formados por una transversal
  16. Líneas paralelas y ángulos transversales
  17. Probar líneas paralelas
  18. Prueba de líneas paralelas y perpendiculares
  19. Ángulos de triángulos y líneas paralelas
  20. Graficar rectas en forma pendiente-intersección y = mx + b
  21. Ecuaciones de líneas y gráficas
  22. Tasa de cambio de la pendiente y la ecuación de la pendiente puntual de las líneas
  23. Ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares
  24. Polígonos congruentes y teorema del tercer ángulo
  25. Triángulos congruentes SSS SAS
  26. Triángulos congruentes ASA AAS
  27. Teoremas de no congruencia AAA SSA
  28. CPCTC Partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes
  29. Propiedades de triángulos isósceles y equiláteros
  30. Triángulo equilátero / triángulo equiangular
  31. Triángulos rectángulos congruentes HL Hipotenusa Teorema de la pierna
  32. Teorema del segmento medio del triángulo
  33. Demostrar el teorema del segmento medio
  34. Teorema de la bisectriz perpendicular
  35. Teorema de la bisectriz de ángulo
  36. Triángulo perpendicular bisectriz y circuncentro
  37. Incentro y bisectriz de ángulo triangular
  38. Medianas de triángulos y centroide
  39. Altitudes de triángulos y ortocentros
  40. Teorema de la desigualdad del triángulo
  41. Desigualdades del teorema de la bisagra 2 triángulos
  42. Teoremas de la suma de los ángulos del polígono
  43. Propiedades de los paralelogramos
  44. Demostrar que los cuadriláteros son paralelogramos
  45. Rombos, rectángulos y cuadrados
  46. Más ejemplos rombo y rectángulo
  47. Propiedades de los trapecios y el teorema del segmento medio
  48. Propiedades de las cometas
  49. Polígonos en plano de coordenadas
  50. Razones y proporciones
  51. Proporciones y polígonos similares / figuras similares
  52. Demostrar que los triángulos son similares AA SAS SSS
  53. Similitud en triángulos rectángulos
  54. Proporciones del teorema del divisor lateral en triángulos
  55. Proporciones en triángulos Bisectriz de ángulo
  56. Teorema de pitágoras
  57. Converse Teorema de Pitágoras y Triples
  58. Triángulos rectángulos especiales 45-45-90 30-60-90
  59. Trigonometría del triángulo rectángulo Parte 1: Encontrar lados faltantes
  60. Trigonometría de triángulo rectángulo Parte 2: Resolver ángulos agudos
  61. Ángulo de elevación y depresión Triángulo rectángulo Trig
  62. Paralelogramos y triángulos de área
  63. Cometa de rombo trapezoidal de área
  64. Introducción al área de polígono regular con ejemplos de hexágono
  65. Polígonos regulares de área con trigonometría
  66. Relaciones de perímetro y área de figuras similares
  67. Introducción al círculo y longitud del arco
  68. Sector y área de segmento en círculos
  69. Segmentar el área en círculos Métodos más rápidos
  70. Longitud de las probabilidades geométricas
  71. Área de probabilidades geométricas
  72. Área de superficie de un prisma recto
  73. Área de superficie de un cilindro
  74. Área de superficie de una pirámide regular Ejemplos de no disparadores
  75. Área de superficie de una pirámide con trigonometría
  76. Superficie de un cono
  77. Volumen de un prisma y volumen de un cilindro
  78. Volumen de una pirámide 3 ejemplos
  79. Volumen de un cono 3 ejemplos
  80. Área de superficie de una esfera y volumen de una esfera
  81. Líneas tangentes a círculos
  82. Dada una línea y un círculo tangentes Halla el punto de tangencia
  83. Acordes Arcos y Diámetros en Círculo
  84. Ángulos inscritos en círculos y rectas tangentes
  85. Ángulos en círculos Acordes Secantes Tangentes y arcos
  86. Longitudes de segmento en círculos con acordes, secantes y tangentes

Descripción del curso

En esta serie, el muy servicial y divertido profesor de matemáticas, el Sr. Tarrou, enseña a los estudiantes un curso completo de geometría de principio a fin. Sus videos son amigables, fáciles de entender, entretenidos y muy bien organizados, todo gracias a la gran dedicación del Sr.Tarrou a la enseñanza y al entusiasmo matemático.


Este conjunto de desafíos de geometría se enfoca en crear una variedad de polígonos a medida que los estudiantes resuelven problemas y piensan mientras aprenden a codificar usando software de codificación de bloques. El estudiante deberá usar su conocimiento de los atributos de los polígonos y los principios matemáticos de la geometría para lograr los desafíos dados. Los desafíos comienzan bastante simples y pasan a situaciones más complejas en las que los estudiantes pueden explorar a su propio ritmo o trabajar en equipo. Los estándares de Ciencias de la Computación se entrelazan a la perfección con los estándares de matemáticas al tiempo que brindan "¡Avanza!" y "¡Salta!" oportunidades para aumentar el rigor.

En esta lección, los estudiantes usarán cuadriláteros y triángulos basados ​​en estándares para diseñar una torre de montaña rusa. Los estudiantes utilizarán el proceso de diseño de ingeniería para trabajar a través de los procesos de esta lección.

En esta lección, los estudiantes practicarán la clasificación y el nombre de cuadriláteros. Los estudiantes tomarán notas y usarán las notas para completar un diagrama de Venn de cuadriláteros. Se les pedirá a los estudiantes que nombren y clasifiquen cuadriláteros usando todos los nombres aplicables.

"¿Dónde en el Venn están los cuadriláteros?"es una actividad que ayuda al alumno a desarrollar una mejor comprensión de la clasificación de figuras bidimensionales en una jerarquía basada en propiedades.

Durante esta actividad, los estudiantes leerán un libro sobre el Puente de Brooklyn. Después de una discusión con toda la clase, los niños explorarán diferentes tipos de puentes y datos para descifrar qué puente es el más fuerte. Los estudiantes trabajarán en colaboración en grupos con roles de estudiante asignados. Los estudiantes utilizarán el pensamiento de orden superior para crear una solución. La actividad culminante es una presentación de solución a toda la clase.

Los estudiantes construirán varios poliedros simples, luego contarán el número de caras, aristas y vértices. Estos datos deberían sugerir la fórmula de Euler.

El estudiante participará en una actividad de fabricación de aviones de papel mientras descubre los atributos de diferentes triángulos. Los estudiantes aprenderán las similitudes y diferencias de los siguientes triángulos: escaleno, isósceles, equilátero, recto, obtuso y agudo.


Propiedades de rectángulos, paralelogramos y trapezoides

Videos, juegos, actividades y hojas de trabajo para ayudar a los estudiantes de ACT a revisar las propiedades de rectángulos, paralelogramos y trapezoides. Propiedades de los paralelogramos especiales: rombo, rectángulo, cuadrado:
Los cuadrados y rectángulos son tipos especiales de paralelogramos con propiedades especiales. Un cuadrado es un tipo de paralelogramo equiangular y las propiedades del cuadrado incluyen diagonales congruentes y diagonales que se bisecan entre sí. Un rectángulo es un tipo de cuadrilátero regular. Las propiedades del rectángulo incluyen (1) diagonales que son congruentes, (2) diagonales perpendiculares que se bisecan entre sí y (3) diagonales que bisecan cada uno de los ángulos.

Pruebe la calculadora Mathway gratuita y el solucionador de problemas a continuación para practicar varios temas matemáticos. Pruebe los ejemplos dados o escriba su propio problema y verifique su respuesta con las explicaciones paso a paso.

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