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6.1: Funciones exponenciales - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Evalúa funciones exponenciales.
  • Encuentra la ecuación de una función exponencial.
  • Utilice fórmulas de interés compuesto.
  • Evalúa funciones exponenciales con base (e ).

India es el segundo país más poblado del mundo con una población de aproximadamente (1,25 ) mil millones de personas en 2013. La población está creciendo a una tasa de aproximadamente (. 2 \% ) cada año. Si esta tasa continúa, la población de la India superará la población de China para el año 2031. Cuando las poblaciones crecen rápidamente, a menudo decimos que el crecimiento es "exponencial", lo que significa que algo está creciendo muy rápidamente. Para un matemático, sin embargo, el término crecimiento exponencial tiene un significado muy específico. En esta sección, echaremos un vistazo a funciones exponenciales, que modelan este tipo de crecimiento rápido.

Identificación de funciones exponenciales

Al explorar el crecimiento lineal, observamos una tasa de cambio constante, un número constante en el que la producción aumenta por cada unidad de aumento en la entrada. Por ejemplo, en la ecuación (f (x) = 3x + 4 ), la pendiente nos dice que la salida aumenta en (3 ) cada vez que la entrada aumenta en (1 ). El escenario en el ejemplo de la población de la India es diferente porque tenemos un por ciento cambio por unidad de tiempo (en lugar de un cambio constante) en el número de personas.

Definición de una función exponencial

Un estudio encontró que el porcentaje de la población que es vegana en los Estados Unidos se duplicó de 2009 a 2011. En 2011, (2.5 \% ) de la población era vegana y seguía una dieta que no incluye productos de origen animal. sin carne, aves, pescado, lácteos ni huevos. Si esta tasa continúa, los veganos constituirán el (10 ​​\% ) de la población de EE. UU. En 2015, (40 \% ) en 2019 y (80 \% ) en 2050.

¿Qué significa exactamente crecer exponencialmente? Que significa la palabra doble tener en común con aumento porcentual? La gente lanza estas palabras sin rumbo fijo. ¿Estas palabras se usan correctamente? Ciertamente, las palabras aparecen con frecuencia en los medios.

  • Cambio porcentual se refiere a un cambiar basado en por ciento del monto original.
  • Crecimiento exponencial se refiere a un incremento basado en una tasa de cambio multiplicativa constante en incrementos iguales de tiempo, es decir, una por ciento aumento de la cantidad original con el tiempo.
  • Decrecimiento exponencial se refiere a un disminución basado en una tasa de cambio multiplicativa constante en incrementos iguales de tiempo, es decir, una por ciento disminución de la cantidad original con el tiempo.

Para que obtengamos una comprensión clara de crecimiento exponencial, comparemos el crecimiento exponencial con crecimiento lineal. Construiremos dos funciones. La primera función es exponencial. Comenzaremos con una entrada de (0 ) y aumentaremos cada entrada en (1 ). Duplicaremos las salidas consecutivas correspondientes. La segunda función es lineal. Agregaremos (2 ) a las salidas consecutivas correspondientes (Table ( PageIndex {1} )).

De la Tabla ( PageIndex {1} ) podemos inferir que para estas dos funciones, el crecimiento exponencial empequeñece el crecimiento lineal.

  • Crecimiento exponencial se refiere al valor original del rango aumenta por el mismo porcentaje sobre incrementos iguales encontrados en el dominio.
  • Crecimiento lineal se refiere al valor original del rango aumenta por el misma cantidad sobre incrementos iguales encontrados en el dominio.
Tabla ( PageIndex {1} )
(X) (f (x) = 2 ^ x ) (g (x) = 2x )
010
122
244
386
4168
53210
66412

Aparentemente, la diferencia entre “el mismo porcentaje” y “la misma cantidad” es bastante significativa. Para un crecimiento exponencial, en incrementos iguales, la tasa de cambio multiplicativa constante resultó en duplicar la producción siempre que la entrada aumentara en uno. Para el crecimiento lineal, la tasa de cambio aditiva constante sobre incrementos iguales resultó en agregar (2 ) a la salida siempre que la entrada se incrementó en uno.

La forma general del funcion exponencial es (f (x) = ab ^ x ), donde (a ) es cualquier número distinto de cero, (b ) es un número real positivo no igual a (1 ).

  • Si (b> 1 ), la función crece a una tasa proporcional a su tamaño.
  • Si (0

Veamos la función (f (x) = 2 ^ x ) de nuestro ejemplo. Crearemos una tabla (Table ( PageIndex {2} )) para determinar las salidas correspondientes en un intervalo en el dominio de (- 3 ) a (3 ).

Tabla ( PageIndex {2} )
(X)(−3)(−2)(−1)(0)(1)(2)(3)

(f (x) = 2 ^ x )

(2 ^ {- 3} = dfrac {1} {8} )

(2 ^ {- 2} = dfrac {1} {4} )

(2 ^ {- 1} = dfrac {1} {2} )

(2^0=1)

(2^1=2)

(2^2=4)

(2^3=8)

Examinemos la gráfica de (f ) trazando los pares ordenados de la Tabla ( PageIndex {2} ) y luego hagamos algunas observaciones ( PageIndex {1} ).

Definamos el comportamiento de la gráfica de la función exponencial (f (x) = 2 ^ x ) y resaltemos algunas de sus características clave.

  • el dominio es ((- infty, infty) ),
  • el rango es ((0, infty) ),
  • como (x rightarrow infty ), (f (x) rightarrow infty ),
  • como (x rightarrow - infty ), (f (x) rightarrow 0 ),
  • (f (x) ) siempre está aumentando,
  • la gráfica de (f (x) ) nunca tocará el X-eje porque la base dos elevada a cualquier exponente nunca tiene el resultado de cero.
  • (y = 0 ) es la asíntota horizontal.
  • la y-intercepto es (1 ).

Definición: funciones exponenciales

Para cualquier número real (x ), una función exponencial es una función con la forma

[f (x) = ab ^ x ]

donde

  • (a ) es un número real distinto de cero llamado valor inicial y
  • (b ) es cualquier número real positivo tal que (b ≠ 1 ).
  • El dominio de (f ) son todos los números reales.
  • El rango de (f ) son todos los números reales positivos si (a> 0 ).
  • El rango de (f ) son todos los números reales negativos si (a <0 ).
  • El y-intercepto es ((0, a) ), y la asíntota horizontal es (y = 0 ).

Ejemplo ( PageIndex {1} ): identificación de funciones exponenciales

¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son no ¿funciones exponenciales?

  • (f (x) = 4 ^ {3 (x − 2)} )
  • (g (x) = x ^ 3 )
  • (h (x) = left ( dfrac {1} {3} right) ^ x )
  • (j (x) = (- 2) ^ x )

Solución

Por definición, una función exponencial tiene una constante como base y una variable independiente como exponente. Por lo tanto, (g (x) = x ^ 3 ) no representa una función exponencial porque la base es una variable independiente. De hecho, (g (x) = x ^ 3 ) es una función de potencia.

Recuerda que la base (b ) de una función exponencial es siempre una constante positiva y (b ≠ 1 ). Por lo tanto, (j (x) = {(- 2)} ^ x ) no representa una función exponencial porque la base, (- 2 ), es menor que (0 ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa funciones exponenciales?

  • (f (x) = 2x ^ 2−3x + 1 )
  • (g (x) = {0,875} ^ x )
  • (h (x) = 1,75x + 2 )
  • (j (x) = {1095.6} ^ {- 2x} )
Respuesta

(g (x) = {0.875} ^ x ) y (j (x) = {1095.6} ^ {- 2x} ) representan funciones exponenciales.

Evaluar funciones exponenciales

Recuerde que la base de una función exponencial debe ser un número real positivo distinto de (1 ). ¿Por qué limitamos la base bb a valores positivos? Asegurar que las salidas sean números reales. Observa lo que pasa si la base no es positiva:

  • Sea (b = −9 ) y (x = dfrac {1} {2} ). Entonces (f (x) = f left ( dfrac {1} {2} right) = {(- 9)} ^ { dfrac {1} {2}} = sqrt {−9} ) , que no es un número real.

¿Por qué limitamos la base a valores positivos distintos de (1 )? Porque la base (1 ) da como resultado la función constante. Observa lo que sucede si la base es (1 ):

  • Sea (b = 1 ). Entonces (f (x) = 1 ^ x = 1 ) para cualquier valor de (x ).

Para evaluar una función exponencial con la forma (f (x) = b ^ x ), simplemente sustituimos (x ) con el valor dado y calculamos la potencia resultante. Por ejemplo:

Sea (f (x) = 2 ^ x ). ¿Qué es (f (3) )?

[ begin {align *} f (x) & = 2 ^ x f (3) & = 2 ^ 3 qquad text {Sustituir} x = 3 & = 8 qquad text {Evaluar poder} end {alinear *} ]

Para evaluar una función exponencial con una forma diferente a la forma básica, es importante seguir el orden de las operaciones. Por ejemplo:

Sea (f (x) = 30 {(2)} ^ x ). ¿Qué es (f (3) )?

[ begin {align *} f (x) & = 30 {(2)} ^ x f (3) & = 30 {(2)} ^ 3 qquad text {Sustituir} x = 3 & = 30 (8) qquad text {Simplifica la potencia primero} & = 240 qquad text {Multiplica} end {align *} ]

Tenga en cuenta que si no se siguiera el orden de las operaciones, el resultado sería incorrecto:

[f (3) = 30 {(2)} ^ 3 ≠ {60} ^ 3 = 216,000 nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Evaluación de funciones exponenciales

Sea (f (x) = 5 {(3)} ^ {x + 1} ). Evalúa (f (2) ) sin usar una calculadora.

Solución

Siga el orden de las operaciones. Asegúrese de prestar atención a los paréntesis.

[ begin {align *} f (x) & = 5 {(3)} ^ {x + 1} f (2) & = 5 {(3)} ^ {2 + 1} qquad text {Sustituir} x = 2 & = 5 {(3)} ^ 3 qquad text {Suma los exponentes} & = 5 (27) qquad text {Simplifica la potencia} & = 135 qquad text {Multiplicar} end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Sea (f (x) = 8 {(1.2)} ^ {x − 5} ). Evalúa (f (3) ) usando una calculadora. Redondea a cuatro decimales.

Respuesta

(5.5556)

Definición de crecimiento exponencial

Debido a que la producción de funciones exponenciales aumenta muy rápidamente, el término "crecimiento exponencial" se usa a menudo en el lenguaje cotidiano para describir cualquier cosa que crezca o aumente rápidamente. Sin embargo, el crecimiento exponencial se puede definir con mayor precisión en un sentido matemático. Si la tasa de crecimiento es proporcional a la cantidad presente, la función modela el crecimiento exponencial.

Definición: crecimiento exponencial

Una función que modela el crecimiento exponencial crece a una tasa proporcional a la cantidad presente. Para cualquier número real (x ) y cualquier número real positivo (a ) y (b ) tal que (b ≠ 1 ), una función de crecimiento exponencial tiene la forma

[f (x) = ab ^ x ]

donde

  • (a ) es el valor inicial o inicial de la función.
  • (b ) es el factor de crecimiento o multiplicador de crecimiento por unidad (x ).

En términos más generales, tenemos una funcion exponencial, en el que una base constante se eleva a un exponente variable. Para diferenciar entre funciones lineales y exponenciales, consideremos dos empresas, A y B. La empresa A tiene (100 ) tiendas y se expande abriendo (50 ) nuevas tiendas al año, por lo que su crecimiento puede ser representado por la función (A (x) = 100 + 50x ). La empresa B tiene (100 ) tiendas y se expande aumentando el número de tiendas en (50 \% ) cada año, por lo que su crecimiento se puede representar mediante la función (B (x) = 100 {(1 + 0.5 )} ^ x ).

En la Tabla ( PageIndex {3} ) se ilustran algunos años de crecimiento para estas empresas.

Tabla ( PageIndex {3} )
Año, (x )Tiendas, Empresa ATiendas, Empresa B
(0)(100+50(0)=100)(100{(1+0.5)}^0=100)
(1)(100+50(1)=150)(100{(1+0.5)}^1=150)
(2)(100+50(2)=200)(100{(1+0.5)}^2=225)
(3)(100+50(3)=250)(100{(1+0.5)}^3=337.5)
(X) (A (x) = 100 + 50x ) (B (x) = 100 {(1 + 0.5)} ^ x )

Los gráficos que comparan el número de tiendas de cada empresa durante un período de cinco años se muestran en la Figura ( PageIndex {2} ). Podemos ver que, con un crecimiento exponencial, el número de tiendas aumenta mucho más rápidamente que con un crecimiento lineal.

Observe que el dominio para ambas funciones es ([0, infty) ), y el rango para ambas funciones es ([100, infty) ). Después del año 1, la Compañía B siempre tiene más tiendas que la Compañía A.

Ahora centraremos nuestra atención en la función que representa el número de tiendas para la Compañía (B ), (B (x) = 100 {(1 + 0.5)} ^ x ). En esta función exponencial, (100 ) representa el número inicial de tiendas, (0.50 ) representa la tasa de crecimiento y (1 + 0.5 = 1.5 ) representa el factor de crecimiento. Generalizando más, podemos escribir esta función como (B (x) = 100 {(1.5)} ^ x ), donde (100 ) es el valor inicial, (1.5 ) se llama base, y (x ) se llama exponente.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Evaluación de un modelo exponencial del mundo real

Al comienzo de esta sección, nos enteramos de que la población de la India era de aproximadamente (1,25 ) mil millones en el año 2013, con una tasa de crecimiento anual de aproximadamente (1,2 \% ). Esta situación está representada por la función de crecimiento (P (t) = 1.25 {(1.012)} ^ t ), donde (t ) es el número de años desde 2013. A la milésima más cercana, ¿cuál será la población de India estará en 2031?

Solución

Para estimar la población en 2031, evaluamos los modelos para (t = 18 ), porque 2031 es (18 ) años después de 2013. Redondeando a la milésima más cercana,

[P (18) = 1.25 {(1.012)} ^ {18} ≈1.549 nonumber ]

Habrá alrededor de (1,549 ) mil millones de personas en la India en el año 2031.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

La población de China era de aproximadamente (1,39 ) mil millones en el año 2013, con una tasa de crecimiento anual de aproximadamente (0,6 \% ). Esta situación está representada por la función de crecimiento (P (t) = 1.39 {(1.006)} ^ t ), donde (t ) es el número de años desde 2013. China será para el año 2031? ¿Cómo se compara esto con la predicción de población que hicimos para la India en el Ejemplo ( PageIndex {3} )?

Respuesta

Aproximadamente (1.548 ) mil millones de personas; para el año 2031, la población de la India superará a la de China en aproximadamente (0,001 ) mil millones, o (1 ) millón de personas.

Encontrar ecuaciones de funciones exponenciales

En los ejemplos anteriores, se nos dio una función exponencial, que luego evaluamos para una entrada determinada. A veces se nos da información sobre una función exponencial sin conocer la función explícitamente. Debemos usar la información para escribir primero la forma de la función, luego determinar las constantes (a, a ) y (b, b ) y evaluar la función.

Cómo: Dados dos puntos de datos, escribir un modelo exponencial

  1. Si uno de los puntos de datos tiene la forma ((0, a) ), entonces (a ) es el valor inicial. Usando (a ), sustituya el segundo punto en la ecuación (f (x) = a {(b)} ^ x ) y resuelva para (b ).
  2. Si ninguno de los puntos de datos tiene la forma ((0, a) ), sustituya ambos puntos en dos ecuaciones con la forma (f (x) = a {(b)} ^ x ). Resuelva el sistema resultante de dos ecuaciones en dos incógnitas para encontrar (a ) y (b ).
  3. Usando (a ) y (b ) que se encuentran en los pasos anteriores, escribe la función exponencial en la forma (f (x) = a {(b)} ^ x ).

Ejemplo ( PageIndex {4} ): escribir un modelo exponencial cuando se conoce el valor inicial

En 2006, se introdujeron (80 ) ciervos en un refugio de vida silvestre. Para 2012, la población había aumentado a (180 ) ciervos. La población estaba creciendo exponencialmente. Escribe una función algebraica (N (t) ) que represente la población ((N) ) de ciervos a lo largo del tiempo (t ).

Solución

Dejemos que nuestra variable independiente (t ) sea el número de años después de 2006. Por lo tanto, la información dada en el problema se puede escribir como pares de entrada-salida: (0, 80) y (6, 180). Observe que al elegir nuestra variable de entrada para que se mida como años después de 2006, nos hemos dado el valor inicial para la función, (a = 80 ). Ahora podemos sustituir el segundo punto en la ecuación (N (t) = 80b ^ t ) para encontrar (b ):

[ begin {align *} N (t) & = 80b ^ t 180 & = 80b ^ 6 qquad text {Sustituir usando el punto} (6, 180) dfrac {9} {4} & = b ^ 6 qquad text {Divide y escribe en términos mínimos} b & = { left ( dfrac {9} {4} right)} ^ { tfrac {1} {6}} qquad text {Aislar b usando las propiedades de los exponentes} b & approx 1.1447 qquad text {Redondear a 4 decimales} end {align *} ]

A menos que se indique lo contrario, no redondee ningún cálculo intermedio. Luego, redondee la respuesta final a cuatro lugares para el resto de esta sección.

El modelo exponencial para la población de ciervos es (N (t) = 80 {(1.1447)} ^ t ). (Tenga en cuenta que esta función exponencial modela el crecimiento a corto plazo. A medida que las entradas aumentan, la salida aumentará cada vez más, tanto que el modelo puede no ser útil a largo plazo).

Podemos graficar nuestro modelo para observar el crecimiento de la población de ciervos en el refugio a lo largo del tiempo. Observe que la gráfica de la Figura ( PageIndex {3} ) pasa por los puntos iniciales dados en el problema, ((0, 80) ) y ((6, 180) ). También podemos ver que el dominio de la función es ([0, infty) ) y el rango de la función es ([80, infty) ).

Ejercicio ( PageIndex {4} )

La población de lobos está creciendo exponencialmente. En 2011, se contaron (129 ) lobos. En 2013, la población había llegado a (236 ) lobos. ¿Qué dos puntos se pueden usar para derivar una ecuación exponencial que modele esta situación? Escribe la ecuación que representa la población (N ) de lobos a lo largo del tiempo (t ).

Respuesta

((0,129) ) y ((2,236) ); (N (t) = 129 {(1.3526)} ^ t )

Ejemplo ( PageIndex {5} ): escribir un modelo exponencial cuando no se conoce el valor inicial

Encuentra una función exponencial que pase por los puntos ((- 2,6) ) y ((2,1) ).

Solución

Como no tenemos el valor inicial, sustituimos ambos puntos en una ecuación de la forma (f (x) = ab ^ x ), y luego resolvemos el sistema para (a ) y (b ) .

  • Sustituyendo ((- 2,6) ) da (6 = ab ^ {- 2} )
  • Sustituyendo ((2,1) ) da (1 = ab ^ 2 )

Usa la primera ecuación para resolver (a ) en términos de (b ):

[ begin {align *} 6 & = ab ^ {- 2} dfrac {6} {b ^ {- 2}} & = a qquad text {Dividir} a & = 6b ^ 2 qquad text {Usa las propiedades de los exponentes para reescribir el denominador} end {align *} ]

Sustituye a en la segunda ecuación y resuelve para (b ):

[ begin {align *} 1 & = ab ^ {2} 1 & = 6b ^ 2 b ^ 2 & = 6b ^ 4 qquad text {Sustituye a} b & = left ( dfrac { 1} {6} right) ^ { tfrac {1} {4}} qquad text {Ronda de 4 decimales reescribe el denominador} b & approx 0.6389 end {align *} ]

Usa el valor de (b ) en la primera ecuación para resolver el valor de (a ):

[ begin {align *} a & = 6b ^ {2} & approx 6 (0.6389) ^ 2 & approx 2.4492 end {align *} ]

Por lo tanto, la ecuación es (f (x) = 2.4492 {(0.6389)} ^ x ).

Podemos graficar nuestro modelo para comprobar nuestro trabajo. Observe que la gráfica de la Figura ( PageIndex {4} ) pasa por los puntos iniciales dados en el problema, ((- 2, 6) ) y ((2, 1) ). La gráfica es un ejemplo de una función de disminución exponencial.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Dados los dos puntos ((1,3) ) y ((2,4.5) ), encuentre la ecuación de la función exponencial que pasa por estos dos puntos.

Respuesta

(f (x) = 2 {(1.5)} ^ x )

Preguntas y respuestas: ¿Dos puntos siempre determinan una función exponencial única?

Sí, siempre que los dos puntos estén ambos arriba del eje xo ambos debajo del eje xy tengan diferentes coordenadas x. Pero tenga en cuenta que también necesitamos saber que la gráfica es, de hecho, una función exponencial. No todos los gráficos que parecen exponenciales son realmente exponenciales. Necesitamos saber que la gráfica se basa en un modelo que muestra el mismo porcentaje de crecimiento con cada unidad de aumento en (x ), lo que en muchos casos del mundo real implica tiempo.

Cómo: Dada la gráfica de una función exponencial, escribe su ecuación

  1. Primero, identifica dos puntos en la gráfica. Elija la intersección (y ) - como uno de los dos puntos siempre que sea posible. Intente elegir puntos que estén lo más alejados posible para reducir el error de redondeo.
  2. Si uno de los puntos de datos es la intersección (y ) - ((0, a) ), entonces (a ) es el valor inicial. Usando (a ), sustituya el segundo punto en la ecuación (f (x) = a {(b)} ^ x ), y resuelva para (b )
  3. Si ninguno de los puntos de datos tiene la forma ((0, a) ), sustituya ambos puntos en dos ecuaciones con la forma (f (x) = a {(b)} ^ x ). Resuelva el sistema resultante de dos ecuaciones en dos incógnitas para encontrar (a ) y (b ).
  4. Escribe la función exponencial, (f (x) = a {(b)} ^ x ).

Ejemplo ( PageIndex {6} ): escribir una función exponencial dada su gráfica

Encuentre una ecuación para la función exponencial graficada en la Figura ( PageIndex {5} ).

Solución

Podemos elegir el (y )-intercepto de la gráfica, ((0,3) ), como nuestro primer punto. Esto nos da el valor inicial, (a = 3 ). Luego, elija un punto en la curva a cierta distancia de ((0,3) ) que tenga coordenadas enteras. Uno de esos puntos es ((2,12) ).

[ begin {align *} y & = ab ^ x qquad text {Escribe la forma general de una ecuación exponencial} y & = 3b ^ x qquad text {Sustituye el valor inicial} 3 text {por} a 12 & = 3b ^ 2 qquad text {Sustituye en 12 por} y text {y} 2 text {por} x 4 & = b ^ 2 qquad text {Dividir por} 3 b & = pm 2 qquad text {Saca la raíz cuadrada} end {align *} ]

Debido a que nos restringimos a valores positivos de (b ), usaremos (b = 2 ). Sustituye (a ) y (b ) en la forma estándar para obtener la ecuación (f (x) = 3 {(2)} ^ x ).

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Encuentre una ecuación para la función exponencial graficada en la Figura ( PageIndex {6} ).

Respuesta

(f (x) = sqrt {2} {( sqrt {2})} ^ x ). Las respuestas pueden variar debido a un error de redondeo. La respuesta debería estar muy cerca de (1.4142 {(1.4142)} ^ x ).

Cómo: Dados dos puntos en la curva de una función exponencial, use una calculadora gráfica para encontrar la ecuación

  1. Prensa [ESTADÍSTICA].
  2. Borrar cualquier entrada existente en columnas L1 o L2.
  3. En L1, introducir el X-coordenadas dadas.
  4. En L2, ingrese el correspondiente y-coordenadas.
  5. Prensa [ESTADÍSTICA] de nuevo. Cursor derecho a CALC, desplácese hacia abajo hasta ExpReg (regresión exponencial)y presione [INGRESAR].
  6. La pantalla muestra los valores de a y B en la ecuación exponencial (y = a⋅b ^ x ).

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Usar una calculadora gráfica para encontrar una función exponencial

Usa una calculadora gráfica para encontrar la ecuación exponencial que incluye los puntos ((2,24.8) ) y ((5,198.4) ).

Solución

Siga las pautas anteriores. Primera prensa [ESTADÍSTICA], [EDITAR], [1: Editar…], y limpiar las listas L1 y L2. A continuación, en el L1 columna, ingrese las coordenadas (x ) -, (2 ) y (5 ). Haz lo mismo en el L2 columna para las coordenadas (y ) -, (24.8 ) y (198.4 ).

Ahora presiona [ESTADÍSTICA], [CALC], [0: ExpReg] y presione [INGRESAR]. Se mostrarán los valores (a = 6.2 ) y (b = 2 ). La ecuación exponencial es (y = 6.2⋅2 ^ x ).

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Usa una calculadora gráfica para encontrar la ecuación exponencial que incluye los puntos ((3, 75.98) ) y ((6, 481.07) ).

Respuesta

(y≈12⋅ {1.85} ^ x )

Aplicación de la fórmula de interés compuesto

Los instrumentos de ahorro en los que las ganancias se reinvierten continuamente, como los fondos mutuos y las cuentas de jubilación, utilizan interés compuesto. El termino compuesto se refiere a los intereses devengados no solo sobre el valor original, sino también sobre el valor acumulado de la cuenta.

El tasa de porcentaje anual (APR) de una cuenta, también llamada Tasa nominal, es la tasa de interés anual devengada por una cuenta de inversión. El termino nominal se utiliza cuando la capitalización se produce varias veces que no sea una vez al año. De hecho, cuando el interés se capitaliza más de una vez al año, la tasa de interés efectiva termina siendo mayor que que la tasa nominal! Esta es una poderosa herramienta para invertir.

Podemos calcular el interés compuesto usando la fórmula de interés compuesto, que es una función exponencial de las variables tiempo (t ), principal (P ), (APR ) (r ) y número de períodos de capitalización en un año (n ):

[A (t) = P { left (1+ dfrac {r} {n} right)} ^ {nt} nonumber ]

Por ejemplo, observe la Tabla ( PageIndex {4} ), que muestra el resultado de invertir ($ 1,000 ) en (10 ​​\% ) durante un año. Observe cómo aumenta el valor de la cuenta a medida que aumenta la frecuencia de capitalización.

Tabla ( PageIndex {4} )
FrecuenciaValor después de (1 ) año
Anualmente($1100)
Semi anualmente($1102.50)
Trimestral($1103.81)
Mensual($1104.71)
A diario($1105.16)

Definición: interés compuesto

Interés compuesto se puede calcular usando la fórmula

[A (t) = P { left (1+ dfrac {r} {n} right)} ^ {nt} ]

donde

  • (A (t) ) es el valor de la cuenta,
  • (t ) se mide en años,
  • (P ) es el monto inicial de la cuenta, a menudo llamado principal, o más generalmente valor presente,
  • (r ) es la tasa de porcentaje anual (APR) expresada como decimal, y
  • (n ) es el número de períodos de capitalización en un año.

Ejemplo ( PageIndex {8} ): cálculo del interés compuesto

Si invertimos ($ 3,000 ) en una cuenta de inversión que paga (3 \% ) interés compuesto trimestralmente, ¿cuánto valdrá la cuenta en (10 ​​) años?

Solución

Porque comenzamos con ($ 3,000 ), (P = 3000 ). Nuestra tasa de interés es (3 \% ), entonces (r = 0.03 ). Debido a que estamos capitalizando trimestralmente, estamos capitalizando (4 ) veces al año, entonces (n = 4 ). Queremos saber el valor de la cuenta en (10 ​​) años, por lo que buscamos (A (10) ), el valor cuando (t = 10 ).

[ begin {align *} A (t) & = P { left (1+ dfrac {r} {n} right)} ^ {nt} qquad text {Usa la fórmula de interés compuesto} A (10) & = 3000 { left (1+ dfrac {0.03} {4} right)} ^ {(4) cdot (10)} qquad text {Sustituir usando valores dados} & aprox $ 4045.05 qquad text {Redondear a dos decimales} end {align *} ]

La cuenta valdrá aproximadamente ($ 4.045,05 ) en (10 ​​) años.

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Una inversión inicial de ($ 100,000 ) al (12 \% ) interés se capitaliza semanalmente (use (52 ) semanas en un año). ¿Cuánto valdrá la inversión en (30 ) años?

Respuesta

aproximadamente ($ 3.644.675,88 )

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Uso de la fórmula de interés compuesto para encontrar el principal

Un plan 529 es un plan de ahorro para la universidad que permite a los familiares invertir dinero para pagar la matrícula universitaria futura de un hijo; la cuenta crece libre de impuestos. Lily quiere configurar una cuenta 529 para su nueva nieta y quiere que la cuenta crezca a ($ 40,000 ) durante (18 ) años. Ella cree que la cuenta ganará (6 \% ) compuesto semestralmente (dos veces al año). Al dólar más cercano, ¿cuánto tendrá que invertir Lily en la cuenta ahora?

Solución

La tasa de interés nominal es (6 \% ), entonces (r = 0.06 ). El interés se capitaliza dos veces al año, entonces (k = 2 ).

Queremos encontrar la inversión inicial, (P ), necesaria para que el valor de la cuenta valga ($ 40 000 ) en (18 ) años. Sustituye los valores dados en la fórmula de interés compuesto y resuelve para (P ).

[ begin {align *} A (t) & = P { left (1+ dfrac {r} {n} right)} ^ {nt} qquad text {Usa la fórmula de interés compuesto} 40,000 & = P { left (1+ dfrac {0.06} {2} right)} ^ {2 (18)} qquad text {Sustituir usando valores dados} A, r, n, t 40,000 & = P {(1.03)} ^ {36} qquad text {Simplificar} dfrac {40,000} {{(1.03)} ^ {36}} & = P qquad text {Aislar} P P & approx $ 13.801 qquad text {Dividir y redondear al dólar más cercano} end {align *} ]

Lily necesitará invertir ($ 13.801 ) para tener ($ 40.000 ) en (18 ) años.

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Consulte el Ejemplo ( PageIndex {9} ). Al dólar más cercano, ¿cuánto necesitaría invertir Lily si la cuenta se capitaliza trimestralmente?

Respuesta

($13,693)

Evaluar funciones con base (e )

Como vimos anteriormente, la cantidad ganada en una cuenta aumenta a medida que aumenta la frecuencia de capitalización. La tabla ( PageIndex {5} ) muestra que el aumento de la capitalización anual a semestral es mayor que el aumento de la capitalización mensual a diaria. Esto podría llevarnos a preguntarnos si este patrón continuará.

Examine el valor de ($ 1 ) invertido a (100 \% ) de interés durante (1 ) año, compuesto en varias frecuencias, que se enumeran en la Tabla ( PageIndex {5} ).

Tabla ( PageIndex {5} )

Frecuencia (A (t) = { left (1+ dfrac {1} {n} right)} ^ n )Valor
Anualmente ({ left (1+ dfrac {1} {1} right)} ^ 1 )($2)
Semi anualmente ({ left (1+ dfrac {1} {2} right)} ^ 2 )($2.25)
Trimestral ({ left (1+ dfrac {1} {4} right)} ^ 4 )($2.441406)
Mensual ({ left (1+ dfrac {1} {12} right)} ^ {12} )($2.613035)
A diario ({ left (1+ dfrac {1} {365} right)} ^ {365} )($2.714567)
Cada hora ({ left (1+ dfrac {1} {8760} right)} ^ {8760} )($2.718127)
Una vez por minuto ({ left (1+ dfrac {1} {525600} right)} ^ {525600} )($2.718279)
Una vez por segundo ({ left (1+ dfrac {1} {31536000} right)} ^ {31536000} )($2.718282)

Estos valores parecen acercarse a un límite a medida que (n ) aumenta sin límite. De hecho, a medida que (n ) crece cada vez más, la expresión ({ left (1+ dfrac {1} {n} right)} ^ n ) se acerca a un número que se usa con tanta frecuencia en matemáticas que tiene su propio nombre: la letra (e ). Este valor es un número irracional, lo que significa que su expansión decimal continúa indefinidamente sin repetirse. Su aproximación a seis decimales se muestra a continuación.

Definición: El número e

La letra (e ) representa el número irracional

[{ left (1+ dfrac {1} {n} right)} ^ n ]

a medida que (n ) aumenta sin límite

La letra (e ) se usa como base para muchos modelos exponenciales del mundo real. Para trabajar con la base (e ), usamos la aproximación, (e≈2.718282 ). La constante fue nombrada por el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) quien primero investigó y descubrió muchas de sus propiedades.

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Usar una calculadora para encontrar potencias de (e )

Calcule (e ^ {3.14} ). Redondea a cinco decimales.

Solución

En una calculadora, presione el botón etiquetado ([e ^ x] ). La ventana muestra ([e {} ^ (] ). Escriba (3.14 ) y luego cierre el paréntesis, ([)] ). Presione [ENTRAR]. Redondeando a (5 ) lugares decimales, (e ^ {3.14} ≈23.10387 ). Precaución: muchas calculadoras científicas tienen un botón "Exp", que se utiliza para ingresar números en notación científica. No se usa para encontrar potencias de (e ).

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Usa una calculadora para encontrar (e ^ {- 0.5} ). Redondea a cinco decimales.

Respuesta

(e ^ {- 0.5} ≈0.60653 )

Investigando el crecimiento continuo

Hasta ahora hemos trabajado con bases racionales para funciones exponenciales. Para la mayoría de los fenómenos del mundo real, sin embargo, (e ) se usa como base para funciones exponenciales. Los modelos exponenciales que utilizan (e ) como base se denominan modelos de crecimiento continuo o decrecimiento. Vemos estos modelos en las finanzas, la informática y la mayoría de las ciencias, como la física, la toxicología y la dinámica de fluidos.

Definición: La fórmula de crecimiento / decaimiento continuo

Para todos los números reales (t ), y todos los números positivos (a ) y (r ), el crecimiento o decaimiento continuo está representado por la fórmula

[A (t) = ae ^ {rt} ]

donde

  • (a ) es el valor inicial,
  • (r ) es la tasa de crecimiento continuo por unidad de tiempo,
  • (t ) es el tiempo transcurrido.

Si (r> 0 ), entonces la fórmula representa un crecimiento continuo. Si (r <0 ), entonces la fórmula representa un decaimiento continuo.

Para aplicaciones comerciales, la fórmula de crecimiento continuo se llama fórmula de composición continua y toma la forma

[A (t) = Pe ^ {rt} ]

donde

  • (P ) es el capital o la inversión inicial,
  • (r ) es el crecimiento o tasa de interés por unidad de tiempo,
  • (t ) es el período o plazo de la inversión.

Cómo: dado el valor inicial, la tasa de crecimiento o deterioro y el tiempo (t ), resolver una función de crecimiento o deterioro continuo

  1. Usa la información del problema para determinar (a ), el valor inicial de la función.
  2. Usa la información del problema para determinar la tasa de crecimiento (r ).
    • Si el problema se refiere a un crecimiento continuo, entonces (r> 0 ).
    • Si el problema se refiere a la desintegración continua, entonces (r <0 ).
  3. Utilice la información del problema para determinar el tiempo (t ).
  4. Sustituya la información dada en la fórmula de crecimiento continuo y resuelva para (A (t) ).

Ejemplo ( PageIndex {11} ): cálculo del crecimiento continuo

Una persona invirtió ($ 1,000 ) en una cuenta que ganaba un (10 ​​\% ) nominal por año compuesto continuamente. ¿Cuánto había en la cuenta al final de un año?

Solución

Dado que el valor de la cuenta está aumentando, este es un problema compuesto continuo con la tasa de crecimiento (r = 0.10 ). La inversión inicial fue ($ 1,000 ), entonces (P = 1000 ). Usamos la fórmula de capitalización continua para encontrar el valor después de (t = 1 ) año:

[ begin {align *} A (t) & = Pe ^ {rt} qquad text {Usa la fórmula de composición continua} & = 1000 {(e)} ^ {0.1} qquad text {Sustituir valores conocidos para} P, r, t & approx 1105.17 qquad text {Usa una calculadora para aproximar} end {align *} ]

La cuenta vale ($ 1,105.17 ) después de un año.

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Una persona invierte ($ 100,000 ) a un interés nominal (12 \% ) anual compuesto continuamente. ¿Cuál será el valor de la inversión en (30 ) años?

Respuesta

($3,659,823.44)

Ejemplo ( PageIndex {12} ): cálculo de la caída continua

(Radon-222 ) decae a una tasa continua de (17.3 \% ) por día. ¿Cuánto decaerá (100 mg ) de (Radon-222 ) en (3 ) días?

Solución

Dado que la sustancia se está descomponiendo, la tasa, (17.3 \% ), es negativa. Entonces, (r = −0,173 ). La cantidad inicial de (Radon-222 ) era (100 ) mg, entonces (a = 100 ). Usamos la fórmula de decaimiento continuo para encontrar el valor después de (t = 3 ) días:

[ begin {align *} A (t) & = ae ^ {rt} qquad text {Usa la fórmula de crecimiento continuo} & = 100e6 {-0.173 (3)} qquad text {Sustituye valores conocidos para} a, r, t & approx 59.5115 qquad text {Usa una calculadora para aproximar} end {align *} ]

Entonces quedarán (59.5115 ) mg de (Radon-222 ).

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Usando los datos del Ejemplo ( PageIndex {12} ), ¿cuánto (Radon-222 ) quedará después de un año?

Respuesta

(3.77E-26 ) (Esta es la notación de calculadora para el número escrito como (3.77 × 10 ^ {- 26} ) en notación científica. Si bien la salida de una función exponencial nunca es cero, este número está tan cerca a cero que para todos los propósitos prácticos podemos aceptar cero como la respuesta).

Medios de comunicación

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con funciones exponenciales.

  • Función de crecimiento exponencial
  • Interés compuesto

Ecuaciones clave

definición de la función exponencial (f (x) = b ^ x ), donde (b> 0 ), (b ≠ 1 )
definición de crecimiento exponencial (f (x) = ab ^ x ), donde (a> 0 ), (b> 0 ), (b ≠ 1 )
fórmula de interés compuesto

(A (t) = P {(1+ dfrac {r} {n})} ^ {nt} ),

donde (A (t) ) es el valor de la cuenta en el momento (t )

(t ) es el número de años

(P ) es la inversión inicial, a menudo llamada principal

(r ) es la tasa de porcentaje anual (APR) o tasa nominal

(n ) es el número de períodos de capitalización en un año

fórmula de crecimiento continuo (A (t) = ae ^ {rt} ), donde (t ) es el número de períodos unitarios de crecimiento (a ) es la cantidad inicial (en la fórmula de capitalización continua a se reemplaza por (P ), el principal) (e ) es la constante matemática, (e≈2.718282 )

Conceptos clave

  • Una función exponencial se define como una función con una constante positiva distinta de (1 ) elevada a un exponente variable. Ver ejemplo.
  • Una función se evalúa resolviendo con un valor específico. Ver ejemplo y ejemplo.
  • Se puede encontrar un modelo exponencial cuando se conocen la tasa de crecimiento y el valor inicial. Ver ejemplo.
  • Se puede encontrar un modelo exponencial cuando se conocen los dos puntos de datos del modelo. Ver ejemplo.
  • Se puede encontrar un modelo exponencial usando dos puntos de datos del gráfico del modelo. Ver ejemplo.
  • Se puede encontrar un modelo exponencial usando dos puntos de datos del gráfico y una calculadora. Ver ejemplo.
  • El valor de una cuenta en cualquier momento (t ) se puede calcular usando la fórmula de interés compuesto cuando se conocen el principal, la tasa de interés anual y los períodos de capitalización. Ver ejemplo.
  • La inversión inicial de una cuenta se puede encontrar utilizando la fórmula de interés compuesto cuando se conocen el valor de la cuenta, la tasa de interés anual, los períodos de capitalización y la vida útil de la cuenta. Ver ejemplo.
  • El número (e ) es una constante matemática que se utiliza a menudo como base de los modelos de crecimiento y decadencia exponenciales del mundo real. Su aproximación decimal es (e≈2.718282 ).
  • Las calculadoras científicas y gráficas tienen la clave ([ex] ) o ([exp (x)] ) para calcular las potencias de (e ). Ver ejemplo.
  • Los modelos de crecimiento continuo o decadencia son modelos exponenciales que utilizan (e ) como base. Se pueden encontrar modelos de crecimiento y deterioro continuos cuando se conocen el valor inicial y la tasa de crecimiento o deterioro. Ver ejemplo y ejemplo.

Introducción a las funciones exponenciales y logarítmicas

Concéntrese en un centímetro cuadrado de su piel. Mira más cerca. Más cerca aún. Si pudieras mirar lo suficientemente de cerca, verías cientos de miles de organismos microscópicos. Son bacterias y no solo se encuentran en la piel, sino también en la boca, la nariz e incluso los intestinos. De hecho, las células bacterianas de su cuerpo en un momento dado superan en número a sus propias células. Pero esa no es razón para sentirse mal consigo mismo. Si bien algunas bacterias pueden causar enfermedades, muchas son saludables e incluso esenciales para el cuerpo.

Las bacterias comúnmente se reproducen a través de un proceso llamado fisión binaria, durante el cual una célula bacteriana se divide en dos. Cuando las condiciones son adecuadas, las bacterias pueden reproducirse muy rápidamente. A diferencia de los humanos y otros organismos complejos, el tiempo necesario para formar una nueva generación de bacterias suele ser cuestión de minutos u horas, en lugar de días o años. dieciséis

En aras de la simplicidad, supongamos que comenzamos con un cultivo de una célula bacteriana que se puede dividir cada hora. La Tabla 1 muestra el número de células bacterianas al final de cada hora subsiguiente. ¡Vemos que una sola célula bacteriana conduce a más de mil células bacterianas en solo diez horas! Y si extrapolamos la tabla a veinticuatro horas, ¡tendríamos más de 16 millones!

Hora 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Bacterias 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

En este capítulo, exploraremos las funciones exponenciales, que se pueden utilizar para, entre otras cosas, modelar patrones de crecimiento como los que se encuentran en las bacterias. También investigaremos funciones logarítmicas, que están estrechamente relacionadas con funciones exponenciales. Ambos tipos de funciones tienen numerosas aplicaciones del mundo real cuando se trata de modelar e interpretar datos.


Las diferencias consecutivas en la Tabla A son constantes ($ 9-6 = 12-9 = 15-12 = 3 $), lo que indica una función lineal. Los cocientes consecutivos en la Tabla B son constantes ($ frac <14> <7> = frac <28> <14>=frac<56> <28> = 2 $) lo que indica una función exponencial. De manera similar, el cociente constante para la Tabla D es 1/2. Ni las diferencias consecutivas ni los cocientes son constantes en la Tabla C, y sus pares ordenados están relacionados por la ecuación $ y = x ^ 2 + 5 $. Por lo tanto, la Tabla A debe etiquetarse como "lineal", la Tabla B y D, "exponencial" y la Tabla C, "cuadrática".

Las siguientes tablas muestran los valores de funciones lineales, cuadráticas y exponenciales en varios valores
de $ x $. Indique qué tipo de función corresponde a cada tabla. Justifica tu elección.


6.1 La función exponencial y su inversa

¡Así que estamos comenzando una nueva unidad! Este año no será muy diferente de lo que ha estado aprendiendo en el 11. ° grado. Ahora, aprenderá esto más adelante, pero como introducción; la principal diferencia entre lo que aprenderá este año y el año pasado es esta:

Funciones exponenciales de grado 11:

Resolver para x cuando tienes dos funciones exponenciales con la misma base

27 = 3 x
3 3 = 3 x (forma general de: a x = a x)

Dado que ahora tenemos la misma base, ahora solo podemos tratar con los exponentes.

y = b x podemos resolver para x

Funciones exponenciales de grado 12:

¿Qué pasa si tenemos que resolver para a x = b x? Este año, aprenderemos a resolver ecuaciones exponenciales que tienen diferentes bases.

o en esta unidad ya que trataremos con funciones inversas

x = b y es la inversa de y = b x, pero ¿cómo vamos a resolver para y en la ecuación exponencial inversa?

Solo algo para que ustedes piensen :)


Ahora, el resumen de lo que aprendimos hoy en clase. Como recién estamos comenzando una nueva unidad, ya estamos familiarizados con la mayoría de los cálculos.

Primero sabemos que las funciones exponenciales se pueden representar en una

Forma de ecuación: La forma general (o forma "desnuda" como se describe en burchat) es: y = b x

Tabla de valores: Ahora, la característica principal que debe recordar sobre la tabla de valores es que su relación de las primeras diferencias = el valor base

Grafico: Con solo mirar una representación gráfica, no estamos 100% seguros de si es exponencial y, por lo tanto, necesitamos más información. es decir. una tabla de valores para calcular la relación de las primeras diferencias.

Cálculo de la tasa de cambio para funciones exponenciales

Ahora, calcular la IROC (tasa de cambio instantánea) para la gráfica exponencial es lo mismo que hicimos antes en el pasado.

1) Elija un valor x que está más cerca del punto para el que va a realizar la IROC
2) Hacer una mesa que consta de los valores de x elegidos y sus valores de y correspondientes (lo hace sustituyendo los valores de x elegidos de nuevo en la ecuación original, su respuesta será su valor de y)
3) Con la información de la tabla que ha creado, calculará las dos pendientes de dos secantes que se utilizarán para determinar la tasa de cambio instantánea. Entonces lo harás calcular el AROC (tasa de cambio promedio). Seleccione dos puntos (el valor de x y el valor de y correspondiente), como lo que aprendió en el grado 9: y2-y1 todo x2-X1 ¡Recuerde que la comunicación es importante! su formulario debería verse así:


Recuerda elegir al menos 2 puntos porque cuanto más se acerquen las secantes al punto que nos interesa, más precisa será nuestra IROC.
4) Finalmente, elija el AROC que es el secante más cercana al punto que nos interesa, esta será su IROC. Esta secante será el resultado del cálculo del par más cercano. Por ejemplo, si está interesado en el punto x = 0. Lo más probable es que su valor x más cercano sea 1.999 o 0.001 (esto es solo un ejemplo, siempre puede hacer más lugares decimales si desea ser más preciso, pero después de seleccionar 3 lugares decimales, debe estar en el camino correcto).

¡Recuerde sus funciones inversas!

Para esta unidad, no solo veremos la función exponencial, sino que también veremos su función inversa.

Algunos puntos muy, muy muy importantes que debes recordar:

1) La gráfica de la función inversa es una reflexión de la gráfica de la función en la línea y = x.
2) Para encontrar la ecuación de la función inversa: cambia la x & ampy y luego resuelve para y.
3) La regla de mapeo que se relaciona con la tabla de valores de la inversa se da simplemente cambiando los valores x & ampy: (x, y) - & gt (y, x)

Por el momento, llamaremos a la inversa de nuestra función exponencial (y = bx), f -1 x. Aprenderemos la forma / término adecuado para esto en la lección de mañana (¡luego aprenderemos la belleza del registro!)

Un par de puntos que le serán útiles en este capítulo serán:

1) ¡La tasa de cambio para la función exponencial y su función inversa es la misma! (como se demuestra en la actividad de la hoja de trabajo de hoy)
2) En la función exponencial, habrá un asíntota horizontal y en la función inversa, habrá un asíntota vertical
3) Las transformaciones para estas funciones son muy similares a la forma en que hemos estado tratando con las transformaciones en el pasado (estiramiento / compresión vertical, estiramiento / compresión horizontal, traslaciones verticales y horizontales)
4) ¡SUGERENCIA! Preste mucha atención a sus transformaciones porque pueden afectar su asíntotas! Por ejemplo, una traslación vertical hacia arriba o hacia abajo aplicada en el gráfico exponencial puede alterar su asíntota horizontal. También preste mucha atención a su intersección con el eje y, esto también puede cambiar dependiendo de sus transformaciones.


En la Unidad 6, Exponentes y funciones exponenciales, los estudiantes comparan funciones lineales y exponenciales de formas novedosas para revelar nueva información y aplicaciones de cada una. También amplían su comprensión de las propiedades de los exponentes a partir del octavo grado para incluir exponentes racionales y radicales.

En el Tema A, los estudiantes recuerdan las propiedades de los exponentes y las operaciones que permiten que las expresiones de aspecto complejo se escriban de manera más simple. Los estudiantes son introducidos brevemente a los polinomios y ellos suman, restan y multiplican polinomios usando propiedades. Los estudiantes aprenden a escribir expresiones exponenciales racionales a partir de radicales y viceversa, y perfeccionan sus habilidades para simplificar y calcular con ambas formas.

En el Tema B, se presenta a los estudiantes secuencias, específicamente secuencias aritméticas y geométricas. Escriben fórmulas recursivas y explícitas para ambos tipos de secuencias, centrándose en la precisión en su notación y lenguaje. Al identificar la diferencia o razón común y mirar tablas y gráficos de secuencias, los estudiantes establecen conexiones entre la tasa de crecimiento de una secuencia y si es lineal o exponencial.

En el Tema C, los estudiantes hacen conexiones más explícitas entre tasas de cambio crecientes o decrecientes y funciones exponenciales. Grafican funciones exponenciales y transformaciones de funciones exponenciales, y escriben ecuaciones para esas funciones usando características clave de las gráficas. Los estudiantes observan varias aplicaciones del mundo real del crecimiento y la decadencia exponencial, en particular, el concepto de interés compuesto.

Ritmo: 24 días de instrucción (22 lecciones, 1 día flexible, 1 día de evaluación)


4.2: ¿Cuál crece más rápido? (15 minutos)

Actividad

Esta actividad insta a los estudiantes a contrastar cantidades que crecen exponencial y cuadráticamente escribiendo ecuaciones y creando tablas de valores. Antes de que los estudiantes comiencen a trabajar, se les pide que hagan una estimación del número de cuadrados en cada patrón en el Paso 5 y el Paso 10. Hacer una estimación razonable y comparar un valor calculado con la estimación propia es a menudo un aspecto importante para entender los problemas (MP1 ). Más adelante en las tablas, los estudiantes notan que la salida de la función exponencial eventualmente supera a la de la función cuadrática. En la siguiente actividad, pensarán más sobre si este es siempre el caso.

Si los estudiantes optan por utilizar hojas de cálculo o tecnología de gráficos, practican la elección estratégica de las herramientas adecuadas (MP5).

Lanzamiento

Muestre la imagen de los patrones para que todos la vean y pida a los estudiantes que lean la descripción de cómo crecen los patrones. Pida a los estudiantes que predigan qué patrón tendrá más cuadrados pequeños en el Paso 5.

Luego, pida a los estudiantes que predigan qué patrón tendrá más cuadrados pequeños en el Paso 10. Realice una encuesta a la clase para recopilar sus predicciones. Muestre el número de estudiantes que piensan que el patrón A tendrá más cuadrados pequeños y el número que piensa que el patrón B tendrá más cuadrados pequeños.

Organice a los estudiantes en grupos de 2. Si el tiempo es limitado, pida a los compañeros que cada uno complete las preguntas un patrón y luego trabajen juntos para comparar los patrones y hacer observaciones.

Algunos estudiantes pueden optar por utilizar una herramienta de hoja de cálculo para estudiar el patrón y, posteriormente, utilizar la tecnología de gráficos para trazar los datos. Otros tal vez deseen utilizar una calculadora para calcular los factores de crecimiento. Brinde acceso a dispositivos que pueden ejecutar una herramienta de hoja de cálculo, tecnología de gráficos o una calculadora científica.

  • En el Patrón A, la longitud y el ancho del rectángulo crecen en un pequeño cuadrado de cada paso al siguiente.
  • En el Patrón B, el número de cuadrados pequeños se duplica de cada paso al siguiente.
  • En cada patrón, el número de cuadrados pequeños es función del número de paso, (n ).

Expandir imagen

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  1. Escribe una ecuación para representar el número de cuadrados pequeños en el Paso (n ) en el Patrón A.
  2. ¿La función es lineal, cuadrática o exponencial?
  3. Completa la tabla:
    (n ), número de paso (f (n) ), número de cuadrados pequeños
    0
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
  1. Escribe una ecuación para representar el número de cuadrados pequeños en el Paso (n ) en el Patrón B.
  2. ¿La función es lineal, cuadrática o exponencial?
  3. Completa la tabla:
    (n ), número de paso (g (n) ), número de cuadrados pequeños
    0
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8

¿Cómo se compararían los dos patrones si continúan creciendo? Haz 1 o 2 observaciones.

Respuesta del estudiante

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Conceptos erróneos anticipados

Algunos estudiantes pueden escribir la ecuación para el patrón B como (g (n) = 2n ). Señale que el patrón B es duplicación el número de pequeños cuadrados. El paso 3 tendría 4 cuadrados pequeños. Indique a los estudiantes que prueben su ecuación cuando (n = 3 ) para ver si da el resultado correcto. (g (3) = 2 (3) = 6 ) no 4, por lo que una función lineal no funciona. Dado que el patrón B se duplica, la función es exponencial, no lineal. Un patrón lineal como (2n ) agregaría 2 cuadrados pequeños en cada paso en lugar de duplicar el número de cuadrados pequeños.

Síntesis de actividades

Seleccione estudiantes para compartir sus ecuaciones y mostrar sus tablas para que todos las vean. Invite a otros a compartir sus observaciones sobre los valores en las tablas.

Para ayudar a los estudiantes a comprender por qué el valor de la función exponencial supera al de la función cuadrática, considere mostrar tablas que contrasten los valores de salida de (f ) y (g ) y modificar cada una con una tercera columna que muestre sus factores de crecimiento. a medida que (n ) aumenta en 1.

(n ), número de paso (f (n) ), número de cuadrados factor de crecimiento (a 2 lugares)
0 0
1 1 indefinido
2 4 ( frac41 = 4 )
3 9 ( frac94 = 2,25 )
4 16 ( frac <16> <9> = 1,78 )
5 25 ( frac <25> <16> = 1,56 )
6 36 ( frac <36> <25> = 1,44 )
7 49 ( frac <49> <36> = 1.36 )
8 64 ( frac <64> <49> = 1.31 )
(n ), número de paso (g (n) ), número de cuadrados factor de crecimiento
0 1
1 2 ( frac21 = 2 )
2 4 ( frac42 = 2 )
3 8 ( frac84 = 2 )
4 16 ( frac <16> <8> = 2 )
5 32 ( frac <32> <16> = 2 )
6 64 ( frac <64> <32> = 2 )
7 128 ( frac <128> <64> = 2 )
8 256 ( frac <256> <128> = 2 )

Resalte el hecho de que una característica fundamental de una función exponencial es que cambia por factores iguales en intervalos iguales. En esta función exponencial, la salida aumenta en un factor de 2 en cada paso.

En la función cuadrática, podemos ver que la salida cambia por un factor de 4, luego (2 frac14 ), luego (1 frac79 ), y así sucesivamente. Aunque comenzó creciendo más rápido que la función exponencial, el factor de crecimiento de la función cuadrática disminuye en cada paso y cae por debajo de 2 después de un par de pasos. Mientras tanto, el factor de crecimiento de la función exponencial permanece en 2.

Expandir imagen

También considere mostrar los gráficos que representan las dos funciones para ayudar a los estudiantes a visualizar los datos en las tablas. Este gráfico muestra gráficas de las salidas de (f ) y (g ) en entradas de números enteros.

Analice cómo las gráficas que representan funciones cuadráticas y exponenciales se curvan hacia arriba. Los dos están muy juntos para valores pequeños de (x ). Sin embargo, a medida que (x ) continúa creciendo, los valores de (g ) se vuelven mucho mayores que los de (f ) y continúan aumentando más rápidamente.


Recursos Relacionados

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PROFESOR: Muy bien, comencemos con la lección seis. Hoy hablamos de exponenciales y logaritmos. Y estas son las últimas funciones que necesito presentar, las últimas funciones estándar que necesitamos conectar con el cálculo, de las que has aprendido. Y ciertamente son tan fundamentales, si no más, que las funciones trigonométricas.

Entonces, en primer lugar, comenzaremos con un número, a, que es positivo, que generalmente se llama base. Y luego tenemos estas propiedades de que un elevado a la potencia 0 es siempre 1. Así es como comenzamos. Y ^ 1 es a. Y, por supuesto, a ^ 2, como era de esperar, es a por a, etc. Y la regla general es que a ^ (x_1 + x_2) es a ^ (x_1) por a ^ (x_2). Entonces esta es la regla básica de los exponentes, y con estas dos propiedades iniciales, eso define la función exponencial. Y luego hay una propiedad adicional, que se deduce de estos, que es la composición de funciones exponenciales, que es que se toma a elevado a la potencia x_1, a la potencia x_2. Entonces resulta ser a elevado a x_1 multiplicado por x_2. Esa es una propiedad adicional que daremos por sentada y que aprendiste en la escuela secundaria.

Ahora, para entender cuáles son todos los valores de a ^ x, primero debemos recordar que si estás tomando una potencia racional, es la razón de dos potencias enteras de a. Eso va a ser un ^ m, y luego tendremos que sacar la raíz enésima de eso. Entonces esa es la definición. Y luego, cuando está definiendo a ^ x, entonces a ^ x se define para todo x completando.Entonces voy a usar esa expresión entre comillas, "completando" por continuidad. Esto es realmente lo que hace tu calculadora cuando te da un elevado a la potencia x, porque ni siquiera puedes marcar la raíz cuadrada de x. Realmente no existe en tu calculadora. Hay una expansión decimal. Así que lleva la expansión decimal a una cierta longitud y escupe un número que está bastante cerca de la respuesta correcta. Pero de hecho, en teoría, hay una a para la raíz cuadrada de potencia de 2, aunque la raíz cuadrada de 2 sea irracional. Y hay un to the pi y así sucesivamente.

Muy bien, esa es la función exponencial, y dibujemos una. Así que intentaremos, digamos y = 2 ^ x aquí. Y no voy a dibujar un gráfico tan cuidadoso, pero tracemos el punto más importante, que es el punto (0,1). Eso es 2 ^ 0, que es 1. Y luego tal vez volvamos a -1 aquí. Y 2 elevado a -1 es este punto aquí. Este es (-1, 1/2), el recíproco. Y aquí tenemos 1, y eso llega hasta 2. Y luego las exponenciales son notablemente rápidas. Así que está fuera del tablero lo que sucede a continuación en 2. Ya está por encima de mi rango aquí, pero el gráfico se parece a esto. Todo bien. Ahora acabo de completar visualmente, al menos, gráficamente el resto de los puntos. Tienes que imaginar todos estos números racionales y demás. Entonces este punto aquí habría sido (1, 2). Etcétera.

¿Todo bien? Así que eso no es demasiado. Entonces, ¿cuál es nuestro objetivo ahora? Bueno, obviamente queremos hacer cálculo aquí. Entonces, nuestro objetivo, aquí, por ahora, y llevará un tiempo. Tenemos que pensarlo bastante. Tenemos que calcular cuál es esta derivada.

Muy bien, empecemos. Y la forma en que comenzamos es simplemente conectando la definición de la derivada. La derivada es el límite cuando delta x va a 0 de a hasta x más delta x, menos a hasta x, dividido por delta x. Entonces eso es lo que es. Y ahora, el único paso que realmente podemos realizar aquí para hacer esto es algo un poco más simple es usar esta primera regla que tenemos aquí. Que la exponencial de la suma es el producto de las exponenciales. Entonces tenemos aquí, a ^ x. Entonces, lo que quiero usar es solo la propiedad de que a ^ (x + delta x) = a ^ x a ^ (delta x). Y si hago eso, veo que puedo factorizar un factor común en el numerador, que es a ^ x. Así que escribiremos esto como el límite cuando delta x va a 0, de a x multiplicado por esta relación, ahora a al delta x, menos 1, dividido por delta x.

¿Hasta ahora tan bueno? De hecho, estamos casi en un progreso serio aquí. Entonces, hay otro paso conceptual importante que debemos comprender. Y este es relativamente simple. De hecho, hicimos esto antes, por cierto. Hicimos esto con senos y cosenos. Lo siguiente que quiero señalar es que estás acostumbrado a pensar que x es la variable. Y de hecho, ya estábamos discutiendo x como variable y a como fijo. Pero a los efectos de este límite, hay una variable diferente que se está moviendo. x es fijo y delta x es lo que se mueve. Eso significa que este factor aquí, que es un factor común, es constante. Y podemos simplemente factorizarlo fuera del límite. No afecta el límite en absoluto. Una constante multiplicada por un límite es lo mismo que si multiplicamos antes o después de tomar el límite. Así que lo voy a tomar en cuenta. Así que ese es mi próximo paso aquí. a ^ x, y luego tengo el límite delta x va a 0 de a al delta x menos 1, dividido por delta x.

¿Todo bien? Y lo que tengo aquí, por definición, es la derivada. Entonces aquí está d / dx de a ^ x, y es igual a esta expresión aquí. Ahora, quiero mirar fijamente esta expresión y ver lo que nos dice, porque nos dice todo lo que podemos llegar hasta ahora, sin algo ... Así que primero veamos lo que esto dice. Entonces, lo que está diciendo es que la derivada de a ^ x es a ^ x veces algo que aún no sabemos. Y voy a llamar a esto algo, este número misterioso, M (a). Así que voy a hacer la etiqueta, M (a) es igual al límite cuando delta x va a 0 de a al delta x menos 1 dividido por delta x. ¿Todo bien? Entonces esta es una definición. Entonces, este número misterioso M (a) también tiene una interpretación geométrica. Así que déjame describir eso. Tiene una interpretación geométrica y es un número muy, muy significativo. Así que averigüemos qué es eso. Primero que nada, reescribamos la expresión en el cuadro, usando la abreviatura para este número. Entonces, si lo reescribo, dice que d / dx de a ^ x es igual a este factor, que es M (a), multiplicado por a ^ x. Entonces, la derivada del exponencial es este número misterioso multiplicado por a ^ x.

Así que casi hemos resuelto el problema de encontrar la derivada de a ^ x. Solo tenemos que averiguar este número, M (a), y obtenemos el resto. Permítanme señalar dos cosas más sobre este número, M (a). Entonces, en primer lugar, si introduzco x = 0, será d / dx de a ^ x, en x = 0. De acuerdo con esta fórmula, eso es M (a) por a ^ 0, que por supuesto M ( a). Entonces, ¿qué es M (a)? M (a) es la derivada de esta función en 0. Entonces M (a) es la pendiente de a ^ x en x = 0, de la gráfica. La gráfica de a ^ x en 0.

Así que de nuevo aquí, si miraste la foto. Dibujaré la única línea tangente aquí, que es esta de aquí. Y esta cosa tiene pendiente, lo que llamamos M (2). Entonces, si grafica la función y = 2 ^ x, obtendré una cierta pendiente aquí. Si lo grafica con una base diferente, podría obtener otra pendiente. Y lo que hemos obtenido hasta ahora es el siguiente fenómeno: si conocemos este número, si conocemos la pendiente en este lugar, seremos capaces de encontrar la fórmula para la pendiente en cualquier otro lugar. Ahora, eso es exactamente lo mismo que hicimos con los senos y cosenos. Sabíamos la pendiente del seno y la función coseno en x = 0. La función seno tenía pendiente 1. La función coseno tenía pendiente 0. Y luego de las fórmulas de suma, bueno, eso es exactamente este tipo de cosas aquí, de las fórmulas de suma . Esta fórmula de suma, de hecho, es más fácil que las de senos y cosenos. A partir de las fórmulas de suma, calculamos cuál era la pendiente en todas partes. Así que seguimos el mismo procedimiento que hicimos antes. Pero en este punto estamos estancados. Estamos atascados, porque esa vez usando radianes, esta idea muy inteligente de radianes en geometría, pudimos averiguar cuál es la pendiente. Mientras que aquí, no estamos tan seguros de qué es M (2), por ejemplo. Simplemente no lo sabemos todavía.

Entonces, la pregunta básica con la que tenemos que lidiar en este momento es ¿qué es M (a)? Eso es lo que nos queda. Y, lo curioso, es que lo más inteligente que hay que hacer es dar por supuesta la cuestión. Así que vamos a pasar por una ruta muy circular aquí. Eso es tortuoso, no circular. Circular es una mala palabra en matemáticas. Eso significa que una cosa depende de otra, y eso depende de ella, y tal vez ambas estén equivocadas. Circuito significa que vamos a tomar una ruta indirecta. Y vamos a descubrir que aunque nos negamos a responder esta pregunta en este momento, lo lograremos eventualmente. ¿Todo bien? Entonces, ¿cómo vamos a plantear la pregunta? Lo que vamos a decir en cambio es que vamos a definir una base misteriosa, o número e, como el número único, de modo que M (e) = 1. Ese es el truco que vamos a usar. Todavía no sabemos qué es e, pero vamos a suponer que lo tenemos.

Ahora, les voy a mostrar un montón de consecuencias de esto, y también tengo que persuadirlos de que realmente existe. Entonces, primero, déjame explicarte cuál es la primera consecuencia. En primer lugar, si M (e) es 1, entonces si miras esta fórmula aquí y la escribes para e, tienes algo que es una fórmula muy útil. d / dx de e ^ x es solo e ^ x. Muy bien, esa es una fórmula increíblemente importante que es la fundamental. Es el único que debes recordar de lo que hemos hecho. Entonces, tal vez debería haberlo resaltado en varios colores aquí. Eso es un gran problema. Muy feliz.

Y nuevamente, permítanme enfatizar, también que este es el que en x = 0 tiene pendiente 1. Esa es la forma en que lo definimos, ¿de acuerdo? Entonces, si inserta x = 0 aquí en el lado derecho, obtendrá 1. Pendiente 1 en x = 0. Así que eso es genial. Excepto, por supuesto, que como no sabemos qué es e, esto es un poco arriesgado.

Entonces, a continuación, incluso antes de explicar qué es e. De hecho, no llegaremos a lo que realmente es hasta el final de esta conferencia. Pero tengo que convencerte de por qué existe. Tenemos que tener alguna explicación de por qué sabemos que existe tal número. Bien, primero que nada, déjame comenzar con la que supuestamente conocemos, que es la función 2 ^ x. Lo llamaremos f (x) es 2 ^ x. ¿Todo bien? Entonces eso es lo primero. Y recuerde, que la propiedad que tenía era que f '(0) era M (2). Esa fue la derivada de esta función, la pendiente en x = 0 de la gráfica. De la recta tangente, eso es.

Así que ahora, lo que vamos a considerar es cualquier tipo de estiramiento. Vamos a estirar esta función en un factor k. Cualquier número k. Entonces, lo que vamos a considerar es f (kx). Si lo hace, es lo mismo que 2 ^ (kx). ¿Correcto? Pero ahora si uso la segunda ley de exponentes que tengo allí, eso es lo mismo que 2 elevado a la k elevado a la potencia x, que es lo mismo que alguna base b ^ x, donde b es igual a-- Vamos escribe eso aquí. b es 2 ^ k. Correcto. Entonces, sea lo que sea, si tengo una base diferente que se expresa en términos de 2, de la forma 2 ^ k, entonces esa nueva función se describe mediante esta función f (kx), el estiramiento.

Entonces, ¿qué sucede cuando estiras una función? Eso es lo mismo que encoger el eje x. Entonces, cuando k se hace más grande, este punto correspondiente aquí estaría aquí, y entonces este punto correspondiente estaría aquí. Así que encoges esta imagen y la pendiente aquí se inclina hacia arriba. Entonces, a medida que aumentamos k, la pendiente se vuelve cada vez más empinada. Veamos eso explícitamente, numéricamente, aquí. Explícitamente, numéricamente, si tomo la derivada aquí. Entonces, la derivada con respecto a x de b ^ x, esa es la regla de la cadena, ¿verdad? Esa es la derivada con respecto a x de f (kx), ¿cuál es qué? Es k multiplicado por f '(kx). Entonces, si lo hacemos en 0, solo obtendremos k multiplicado por f '(0), que es k multiplicado por este M (2).

Entonces, ¿cómo es exactamente que cocinamos la base correcta b? Entonces b = e cuando k = 1 sobre este número. En otras palabras, podemos elegir todas las pendientes posibles que queramos. Esto solo tiene el efecto de multiplicar la pendiente por un factor. Y podemos cambiar la pendiente a 0 como queramos, y lo haremos para que la pendiente coincida exactamente con 1, la que queremos. Todavía no sabemos qué es k. Todavía no sabemos qué es e. Pero al menos sabemos que está ahí en alguna parte.

Estudiante: ¿Cómo sabes que es f (kx)?

PROFESOR: ¿Cómo lo sé? Bueno, f (x) es 2 ^ x. Si f (x) es 2 ^ x, entonces la fórmula para f (kx) es esta. Decidí qué es f (x), por lo tanto, hay una fórmula para f (kx). Y además, según la regla de la cadena, hay una fórmula para la derivada. Y es k multiplicado por la derivada de f. De nuevo, el escalado hace esto. Por cierto, hicimos exactamente lo mismo con la función seno y coseno. Si piensas en la función seno aquí, permíteme recordarte aquí, lo que sucede con la regla de la cadena, obtienes k multiplicado por el coseno k t aquí. Entonces, el hecho de que configuramos las cosas maravillosamente con radianes es esta cosa, pero podríamos cambiar la escala a cualquier cosa, como grados, por el factor k apropiado. Y luego estaría este cambio de factor de escala de las fórmulas derivadas. Por supuesto, el que tiene radianes es el fácil, porque el factor es 1. El que tiene grados es horrible, porque el factor es un número loco como 180 sobre pi, o algo así. De acuerdo, aquí está sucediendo algo que es exactamente lo mismo que ese tipo de cambio de escala.

Entonces, hasta ahora solo tenemos una fórmula que es un guardián aquí. Éste. Tenemos una fórmula preliminar que todavía no hemos explicado completamente y que tiene una pequeña línea ondulada allí. Y tenemos que unir todas estas cosas. Bien, ahora para encajarlos, necesito presentar el tronco natural. Entonces, el logaritmo natural se denota de esta manera, ln (x). Así que tal vez lo llamaré con un nuevo nombre de letra, lo llamaremos w = ln x aquí. Pero si estuviéramos invirtiendo las cosas, si empezáramos con una función y = e ^ x, la propiedad que tendría es que es la función inversa de e ^ x. Entonces tiene la propiedad de que el logaritmo de y es igual ax. ¿Correcto? Entonces esto define el registro.

Ahora bien, el logaritmo tiene un montón de propiedades y, en principio, provienen de las propiedades exponenciales. Recuerda estos. Y solo les voy a recordar. Entonces, el principal que solo quiero recordarles es que el logaritmo de x_1 * x_2 es ​​igual al logaritmo de x_1 más el logaritmo de x_2. Y tal vez valga la pena recordarle algunos más. Una es que el logaritmo de 1 es 0. Una segunda es que el logaritmo de e es 1. ¿Está bien? Entonces, estos corresponden a las relaciones inversas aquí. Si introduzco aquí, x = 0 y x = 1. Si introduzco x = 0 y x = 1, obtengo los números correspondientes aquí: y = 1 e y = e. Y tal vez valdría la pena trazar la imagen una vez para reforzar esto. Así que aquí los pondré en el mismo gráfico. Si tiene aquí e ^ x por aquí. Se parece a esto. Luego, el logaritmo, que quizás pondré en un color diferente. Entonces esto se cruza en este punto tan importante aquí, (0,1). Y ahora, para averiguar cuál es la función inversa, tengo que dar la vuelta a través de la diagonal x = y. Así que esa es esta forma aquí, bajando así. Y aquí está el punto (1, 0). Entonces (1, 0) corresponde a esta identidad aquí. Pero el logaritmo de 1 es 0.

Y fíjense, entonces esta es ln x, la gráfica de ln x. Y observe que solo se define para x positivo, lo que corresponde al hecho de que e ^ x siempre es positivo. Entonces, en otras palabras, esta curva blanca está solo por encima de este eje, y la naranja está a la derecha aquí. Solo se define para x positivo.

Oh, otra cosa que debo mencionar es que la pendiente aquí es 1. Y entonces la pendiente allí también será 1. Ahora, lo que podemos hacer con relativa facilidad, porque tenemos las herramientas para hacerlo, es calcular la derivada del logaritmo. Entonces, para encontrar la derivada de un registro, usaremos la diferenciación implícita. Así es como encontramos la derivada de cualquier función inversa. Así que recuerde que la forma en que funciona es que si conoce la derivada de la función, puede encontrar la derivada de la función inversa. Y el mecanismo es el siguiente: escribe aquí w = ln x. Aquí está la función. Estamos tratando de encontrar la derivada de w. Pero ahora no sabemos cómo diferenciar esta ecuación, pero si la exponenciamos, eso es lo mismo que e ^ w = x. Porque pongamos esto aquí. e ^ (ln x) = x. Ahora podemos diferenciar esto. Así que hagamos la diferenciación aquí. Tenemos d / dx e ^ w es igual a d / dx x, que es 1. Y luego esto, por la regla de la cadena, es d / dw de e ^ w por dw / dx. El producto de estos dos factores. Eso es igual a 1. Y ahora este tipo, el único pequeño que realmente conocemos y podemos usar, ese es este tipo de aquí. Entonces esto es e ^ w multiplicado por dw / dx, que es 1.

Y así, finalmente, dw / dx = 1 / e ^ w. ¿Pero que es eso? Es x. Entonces esto es 1 / x. Entonces, lo que descubrimos es, y ahora puedo poner otro tipo verde por aquí, es que esto es igual a 1 / x. Muy bien, ahora tenemos dos fórmulas complementarias aquí. La tasa de cambio de ln x es 1 / x. Y la tasa de cambio de e ^ x es ella misma, es e ^ x. Y es hora de volver al problema con el que estábamos teniendo algunos problemas, que de alguna manera no es explícito, que es M (a) multiplicado por x. Queremos ahora diferenciar a ^ x en general, no solo e ^ x.

Así que solucionemos eso, y quiero explicarlo de un par de formas, así que tendrás que recordar esto, porque lo voy a borrar. Pero lo que me gustaría que hicieras es, así que ahora quiero enseñarte cómo diferenciar básicamente cualquier exponencial. Así que ahora para diferenciar cualquier exponencial. Hay dos métodos. Son prácticamente el mismo método. Tienen la misma cantidad de aritmética. Los verá a ambos, y son igualmente valiosos. Así que solo los describiremos. El método uno que voy a ilustrar sobre la función a ^ x. Así que estamos interesados ​​en diferenciar esto, exactamente este problema que todavía no resolví. ¿Okey?

Asi que aqui esta. Y este es el procedimiento. El procedimiento es escribir, por lo que el método es usar la base e, o convertir a la base e. Entonces, ¿cómo se convierte a base e? Bueno, escribe a ^ x como e elevado a alguna potencia. Entonces, ¿qué poder es? Es e al poder ln a, al poder x. Y eso es solo e ^ (x ln a). Así que hemos hecho nuestra conversión ahora a la base e. El exponencial de algo. Entonces ahora voy a realizar la diferenciación. Entonces d / dx de a ^ x es igual a d / dx de e ^ (x ln a).

Y ahora, este es un paso que causa una gran confusión cuando lo ve por primera vez. Y debes acostumbrarte, porque es fácil, no difícil. ¿Okey? La tasa de cambio de esto con respecto ax es, déjeme hacerlo por analogía aquí. Porque digamos que tenía e ^ (3x) y lo estaba diferenciando. La regla de la cadena diría que esto es solo 3, la tasa de cambio de 3x con respecto ax veces e ^ (3x). La tasa de cambio de e a la u con respecto a u. Entonces esta es la regla de la cadena ordinaria. Y lo que estamos haciendo aquí es exactamente lo mismo, porque en un, por más aterrador que parezca, con las tres letras allí, es sólo un número fijo. No se mueve. Es una constante. Entonces, la constante simplemente acelera la tasa de cambio en ese factor, que es lo que está haciendo la regla de la cadena.

Entonces esto es igual a ln a multiplicado por e ^ (x ln a). Lo mismo sucede aquí con In a 3. Así que esto es algo a lo que tienes que acostumbrarte a tiempo para el examen, por ejemplo, porque vas a hacer un millón de estos. Así que acostúmbrate. Así que aquí está la fórmula. Por otro lado, esta expresión aquí era la misma que a ^ x. Entonces, otra forma de escribir esto, y lo pondré en una caja, pero en realidad nunca recuerdo esto en particular. Solo lo vuelvo a derivar cada vez, es que la derivada de a ^ x es igual a (ln a) a ^ x. Ahora me voy a deshacer de lo que hay debajo. Entonces esta es otra fórmula.

Así que ahí está la fórmula que esencialmente terminé aquí. Y fíjense, ¿cuál es el número mágico? El número mágico es el logaritmo natural de a. Eso es lo que fue. No sabíamos de antemano qué era. Esto es lo que es. Es el registro natural de a. Permítanme enfatizarles nuevamente, algo sobre lo que está sucediendo aquí, que tiene que ver con el cambio de escala. Entonces, por ejemplo, la derivada con respecto a x de 2 ^ x es (ln 2) 2 ^ x.La derivada con respecto a x, estas son las dos bases más obvias que quizás quieras usar, es ln 10 veces 10 ^ x. Entonces, una de las cosas que son naturales sobre el logaritmo natural es que incluso si insistimos en que debemos usar la base 2, o que debemos usar la base 10, todavía estaríamos atascados con los logaritmos naturales. Surgen de forma natural. Son los que son independientes de nuestra construcción humana de base 2 y base 10. El logaritmo natural es el que aparece sin referencia. Y mencionaremos algunas otras formas en las que es natural más adelante.

Así que les hablé de este primer método, ahora quiero contarles sobre un segundo método aquí. Entonces, el segundo se llama diferenciación logarítmica. Entonces, ¿cómo funciona esto? Bueno, a veces tienes problemas para diferenciar una función y es más fácil diferenciar su logaritmo. Eso puede parecer peculiar, pero en realidad daremos varios ejemplos donde este es claramente el caso, que el logaritmo es más fácil de diferenciar que la función. Por lo que podría ser que esta sea una cantidad más fácil de entender. Así que queremos relacionarlo con la función u. Así que voy a escribirlo de una manera ligeramente diferente. Escribámoslo en términos de números primos aquí. Entonces, la identidad básica es la regla de la cadena nuevamente, y la derivada del logaritmo, bueno, tal vez lo escriba de esta manera primero. Entonces esto sería d ln u / du, multiplicado por d / dx u. Estos son los dos factores. Y eso es lo mismo, así que recuerda cuál es la derivada del logaritmo. Esto es 1 / u. Entonces aquí tengo un 1 / u, y aquí tengo un du / dx. Así que voy a codificar esto en el siguiente tablero aquí, que es una especie de fórmula principal que siempre debes recordar, que es que (ln u) '= u' / u. Ese es el que hay que recordar aquí.

PROFESOR: La pregunta es ¿cómo llegué a este paso aquí? Entonces esta es la regla de la cadena. La tasa de cambio de ln u con respecto ax es la tasa de cambio de ln u con respecto a u, multiplicada por la tasa de cambio de u con respecto a x. Esa es la regla de la cadena.

Así que ahora he resuelto esta identidad aquí, y ahora veamos cómo maneja este caso, d / dx a ^ x. Hagamos este. Entonces, para obtener ese, tomaría u = a ^ x. Y ahora echemos un vistazo a lo que es ln u. ln u = x ln a. Ahora afirmo que esto es bastante fácil de diferenciar. Una vez más, puede parecer difícil, pero en realidad es bastante fácil. Entonces, tal vez alguien pueda aventurarse a adivinar. ¿Cuál es la derivada de x ln a? Es solo en un. Así que esto es lo mismo de lo que estaba hablando antes, que es si tienes 3x y estás tomando su derivada con respecto a x aquí, eso es solo 3. Ese es el tipo de cosas que tienes. Una vez más, no se deje intimidar por esta enorme basura aquí. Es una constante. Así que, de nuevo, tenlo en cuenta. Surge con regularidad en este tipo de preguntas.

Así que ahí está nuestra fórmula, que la derivada logarítmica es esta. Pero reescribamos eso. Eso es lo mismo que u '/ u, que es (ln u)' = ln a, ¿verdad? Entonces esta es nuestra fórmula de diferenciación. Así que aquí te tenemos. u 'es igual a u por ln a, si solo multiplico por u. Y eso es lo que queríamos. Eso es d / dx a ^ x es igual a ln a (invertiré el orden de los dos, que es habitual) multiplicado por a ^ x.

Así que esta es la forma en que funciona la diferenciación logarítmica. Es la misma aritmética que el método anterior, pero no tenemos que convertir a base e. Solo estamos haciendo un seguimiento de los exponentes y diferenciando los exponentes, y multiplicando al final.

Bien, voy a hacer dos ejemplos más complicados, que ilustran la diferenciación logarítmica. Nuevamente, estos podrían hacerse igualmente bien usando la base e, pero no lo haré. El método uno y el método dos siempre funcionan.

Así que aquí hay un segundo ejemplo: nuevamente, esto es un problema cuando tienes exponentes móviles. Pero esta vez, vamos a complicar las cosas al tener tanto un exponente móvil como una base móvil. Entonces tenemos una función u, que es, bueno, tal vez la llame v, ya que ya teníamos una función u, que es x ^ x. Una función de aspecto realmente complicado aquí. Entonces, nuevamente, puede manejar esto convirtiendo a base e, método uno. Pero haremos la versión de diferenciación logarítmica, ¿de acuerdo? Entonces tomo los troncos de ambos lados. Y ahora lo diferencio. Y ahora, cuando diferencio esto aquí, tengo que usar la regla del producto. Esta vez, en lugar de tener ln a, una constante, tengo una variable aquí. Entonces tengo dos factores. Tengo ln x cuando diferencio con respecto a x. Cuando diferencio con respecto a este factor aquí, obtengo que x multiplicado por la derivada de eso, que es 1 / x. Entonces, aquí está mi fórmula. Casi terminado. Así que tengo aquí v '/ v. Voy a multiplicar estas dos cosas juntas. Lo pondré del otro lado, porque no quiero mezclarlo con ln (x + 1), la cantidad. Y ahora casi termino. Tengo v '= v (1 + ln x), y eso es solo d / dx x ^ x = x ^ x (1 + ln x). Eso es. Entonces, estos dos métodos siempre funcionan para mover exponentes. Entonces, lo siguiente que me gustaría hacer es otro ejemplo bastante complicado. Y éste no está estrictamente hablando dentro del cálculo. Aunque vamos a utilizar las herramientas que acabamos de describir para llevarlo a cabo, de hecho utilizará algo de cálculo al final. Y lo que voy a hacer es evaluar el límite cuando n llega al infinito de (1 + 1 / n) ^ n.

Así que ahora, la razón por la que quiero discutir esto es que resulta tener una respuesta muy interesante. Y es un problema que puede abordar exactamente con este método. Y la razón es que tiene un exponente móvil. El exponente n aquí está cambiando. Entonces, si desea realizar un seguimiento de eso, una buena manera de hacerlo es usar logaritmos. Entonces, para calcular este límite, tomaremos el registro y averiguaremos cuál es el límite del registro, en lugar del registro del límite. Será lo mismo.

Así que vamos a tomar el logaritmo natural de esta cantidad aquí, y eso es n ln (1 + 1 / n). Y ahora voy a reescribir esto en una forma que lo hará más reconocible, así que lo que me gustaría hacer es escribir n, o tal vez debería decirlo de esta manera: delta x es igual a 1 / n. Entonces, si n va a infinito, entonces este delta x va a ir a 0. De todos modos, este es un territorio más familiar para nosotros en esta clase. Así que reescribámoslo. Entonces aquí, tenemos 1 sobre delta x. Y luego eso se multiplica por ln (1 + delta x). Entonces n es el recíproco de delta x. Ahora quiero cambiar esto de una manera muy, muy pequeña. Voy a restarle 0. Entonces eso es lo mismo. Entonces, lo que voy a hacer es restarle ln 1. Eso es igual a 0. Así que esto no es un problema, y ​​lo pondré entre paréntesis.

Ahora se supone que debes reconocer, de repente, en qué patrón encaja esto. Esto es lo que necesitamos calcular para calcular la derivada de la función logarítmica. Entonces esto es, en el límite cuando delta x va a 0, igual a la derivada de ln x. ¿Donde? Bueno, el punto base es x = 1. Ahí es donde lo estamos evaluando. Ese es el x_0. Ese es el valor base. Entonces este es el cociente de diferencias. Eso es exactamente lo que es. Y entonces esto, por definición, tiende al límite aquí.

Pero sabemos cuál es la derivada de la función logarítmica. La derivada de la función logarítmica es 1 / x. Entonces este límite es 1. Entonces lo obtuvimos. Tenemos el límite. Y ahora solo tenemos que trabajar hacia atrás para averiguar cuál es este límite que tenemos aquí. Así que hagámoslo. Veamos aquí. El registro se acercó a 1. Entonces, el límite cuando n llega al infinito de (1 + 1 / n) ^ n. Lo siento mucho, el registro de esto. Sí, escribámoslo de esta manera. También es lo mismo, lo que sabemos es el registro de esto. 1 más 1 sobre n elevado a n. Y va al infinito. Ese es el que acabamos de descubrir. Pero ahora esto es exponencial de eso. Entonces es realmente e para este poder aquí. Entonces, este tipo es el mismo que el límite del registro del límite de la cosa, que es lo mismo que el registro del límite. El límite del registro y el registro del límite son los mismos. log lim es igual a lim log.

Bien, entonces tomo el logaritmo, luego voy a tomar el exponencial. Eso simplemente deshace lo que hice antes. Y entonces este límite es solo 1, entonces esto es e ^ 1. Y entonces el límite que queremos aquí es igual a e. Así que afirmo que con este paso, finalmente hemos cerrado el ciclo. Porque tenemos una forma numérica honesta de calcular e. El primero. Hay muchos de esos. Pero esta es una forma numérica perfectamente honesta de calcular e. Tuvimos esta cosa. No sabíamos exactamente qué era. Era este M (e), estaba M (a), el logaritmo, etc. Tenemos todo eso. Pero realmente necesitamos precisar qué es este número e. Y esto nos dice que, si tomamos, por ejemplo, 1 más 1 sobre 100 a la centésima potencia, será una aproximación muy buena, perfectamente decente de todos modos, a e.

Así que esta es una aproximación numérica, que es todo lo que podemos hacer con este tipo de número irracional. Y eso cierra el ciclo, y ahora tenemos una familia coherente de funciones, que en realidad están bien definidas y para las que tenemos métodos prácticos para calcular.


Base diferente

Si las bases son diferentes, todavía existen técnicas para resolver estas ecuaciones exponenciales. Si las bases son potencias de una base común, solo necesitamos convertir una o ambas bases a la base común y proceder usando el caso "Misma Base".

Resuelve 4 3 x = 8 x - 1. 4 ^ = 8 ^. 4 3 x = 8 x - 1.

Vemos que si bien 4 y 8 son bases diferentes, ambos son potencias de una base común, es decir, 2. Continuaremos reescribiendo 4 y 8 en términos de su base común:

4 3 x = 8 x - 1 (2 2) 3 x = (2 3) x - 1 2 6 x = 2 3 x - 3 6 x = 3 x - 3 x = - 1. □ begin 4 ^ <3x> & amp = 8 ^ grande (2 ^ 2 grande) ^ <3x> & amp = grande (2 ^ 3 grande) ^ 2 ^ <6x> & amp = 2 ^ <3x-3> 6x & amp = 3x-3 x & amp = -1. _ cuadrado end 4 3 x (2 2) 3 x 2 6 x 6 x x = 8 x - 1 = (2 3) x - 1 = 2 3 x - 3 = 3 x - 3 = - 1. □

Desafortunadamente, no siempre será posible convertir a una base común como hicimos en los ejemplos anteriores.


¿Qué es el crecimiento exponencial en la vida real?

Hay muchos ejemplos reales de crecimiento exponencial. Por ejemplo, suponga que la población de Florida era de 16 millones en 2000. Luego, cada año después de eso, la población ha crecido en un 2%. Este es un ejemplo de crecimiento exponencial.

Observe que la tasa de crecimiento es del 2% o 0.02 y es constante. Esto es importante ya que la tasa de crecimiento no puede cambiar.

Encontremos la función exponencial.

Año 2001 o 1 año después: & # xa0

16.000.000 + 16.000.000 x 0,02 & # xa0 = 16.000.000 (1 + 0,02)

16,000,000 + 16,000,000 x 0.02 & # xa0 = 16,000,000 (1.02) & # xa0 & # xa0 & # xa0

16,000,000 + 16,000,000 x 0.02 & # xa0 = 16,000,000 (1.02) 1

Año 2002 o 2 años después:

16,000,000 (1.02) + 16,000,000 (1.02) x 0.02 = 16,000,000 (1.02) [1 + 0.02]

16,000,000 (1.02) + 16,000,000 (1.02) x 0.02 = 16,000,000 (1.02) (1.02)

16,000,000 (1.02) + 16,000,000 (1.02) x 0.02 = 16,000,000 (1.02) 2

Siguiendo este patrón, suponga que

  • x es el número de años desde 2000
  • 16.000.000 es la cantidad inicial
  • 1.02 es la tasa o factor de crecimiento

Comparando esta función exponencial con y = ab x, vemos que a = 16,000,000 yb = 1.02.

Regla general para modelar el crecimiento exponencial

El crecimiento exponencial se puede modelar con la función

a es la cantidad inicial cuando x & # xa0 = 0

b es la base, la tasa o el factor de crecimiento y es una constante y es mayor que 1.


La TI-89 tiene muchas funciones para modelar datos, incluida la regresión exponencial.

Puede notar que los datos disminuyen drásticamente, por lo que una función exponencial decreciente puede que encajar bien. Paso 1: Haz un diagrama de dispersión. Mire el primer minuto de este video si no sabe cómo crear uno. Este paso confirma que los datos se ajustan aproximadamente a un modelo exponencial. Si sus datos no se ajustan al modelo, deténgase aquí. Podrías (teóricamente) continuar, pero tu modelo será prácticamente inútil. Encuentre otro modelo que se adapte mejor a sus datos.

Paso 2: Presione APPS, luego desplácese hasta Data / Matrix Editor (usando las teclas del cursor). Presione ENTER.

Paso 3: Presione 1 & # 8220Current & # 8221.

Paso 4: Presione F5 & # 8220Calc & # 8221. Se abrirá una nueva pantalla.

Paso 5: Mueva el cursor a & # 8220 Tipo de cálculo & # 8221, luego presione la tecla del cursor derecho y seleccione & # 82204: ExpReg & # 8221.

Paso 6: Ingrese su ubicación de valores x en el cuadro & # 8220x & # 8221. Por ejemplo, si sus valores x están en la lista a1, escriba & # 8220a1. & # 8221

Paso 7: Ingrese la ubicación de sus valores y en el cuadro & # 8220y & # 8221.

Paso 8: Mueva el cursor al Tienda ReqEQlínea. Presione la tecla de cursor derecha, luego mueva el cursor a y1 (x). Presione ENTER.

¡Eso es todo! Aparecerá una ventana con a y B . Estos entran en la ecuación de regresión y = ab x. La misma ecuación también se mostrará en la línea y1 = de la pantalla Y =.

Si ingresó los datos en el ejemplo anterior, debería obtener una solución de y = 490.631792 * .726657 x.

Propina: Los valores de Y deben ser mayores que cero para que la regresión funcione correctamente.
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Ver el vídeo: Ecuación exponencial por cambio de variable - resolución detallada. Ejercicio 8 (Noviembre 2021).