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8: Aplicaciones de derivados


8: Aplicaciones de derivados

AP Calculus BC: Aplicaciones de derivadas

La posición de un automóvil viene dada por la siguiente función:

¿Cuál es la función de velocidad del automóvil?

La función de velocidad del automóvil es igual a la primera derivada de la función de posición del automóvil, y es igual a

La derivada se encontró usando las siguientes reglas:

Pregunta de ejemplo n. ° 1: velocidad, velocidad, aceleración

Encuentra la primera y segunda derivada de la función.

Para resolver la primera y la segunda derivada, debemos usar la regla de la cadena.

La regla de la cadena establece que si

Para encontrar la primera derivada de la función

Debido a que la derivada de la función exponencial es la función exponencial en sí misma, obtenemos

Y diferenciando usamos la regla de poder que establece

Para resolver la segunda derivada establecemos

Debido a que la derivada de la función exponencial es la función exponencial en sí misma, obtenemos

Y diferenciando usamos la regla de poder que establece

Y entonces la segunda derivada se convierte en

Pregunta de ejemplo n. ° 1: velocidad, velocidad, aceleración

Encuentre la función de velocidad de la partícula si su posición está dada por la siguiente función:

La función de velocidad viene dada por la primera derivada de la función de posición:

y se encontró usando las siguientes reglas:

Pregunta de ejemplo n. ° 4: Aplicaciones de derivados

Encuentra la primera y segunda derivadas de la función.

Debemos encontrar la primera y segunda derivadas.

Usamos las propiedades que

Para encontrar la segunda derivada, diferenciamos nuevamente y usamos la regla del producto que establece

Pregunta de ejemplo n. ° 2: velocidad, velocidad, aceleración

Dada la función de velocidad

donde es un número real tal que, encuentre la función de aceleración

Podemos encontrar la función de aceleración a partir de la función de velocidad tomando la derivada:

como la composición de las siguientes funciones

así que eso . Esto significa que usamos la regla de la cadena.

para encontrar la derivada. Tenemos y, entonces tenemos

Pregunta de ejemplo n. ° 6: Aplicaciones de derivados

La posición de un objeto viene dada por la ecuación. ¿Cuál es su aceleración en t = 2?

Si esta función da la posición, la primera derivada dará su velocidad y la segunda derivada dará su aceleración.

Pregunta de ejemplo n. ° 1: Aplicaciones de derivados

La ecuación modela la posición de un objeto después de t segundos. ¿Cuál es la aceleración a los 3 segundos?

Si esta función da la posición, la primera derivada dará su velocidad y la segunda derivada dará su aceleración.

Pregunta de ejemplo n. ° 1: Aplicaciones de derivados

La ecuación modela la posición de un objeto después de t segundos. ¿Cuál es su velocidad después de segundos?

Si esta función da la posición, la primera derivada dará su velocidad.

Pregunta de ejemplo n. ° 3: velocidad, velocidad, aceleración

La posición de un objeto se modela mediante la ecuación ¿Cuál es la velocidad después de segundos?

Si esta función da la posición, la primera derivada dará su velocidad. Para diferenciar, use la regla de la cadena:. En este caso, y. Dado que y, la primera derivada es.

Pregunta de ejemplo n. ° 1: Aplicaciones de derivados

La posición de una partícula en el eje-viene dada por la función de.

¿Cuándo cambia de dirección la partícula?

No cambia de dirección dentro de los límites dados.

No cambia de dirección dentro de los límites dados.

Para saber cuándo la partícula cambia de dirección, necesitamos encontrar los valores críticos de. Esto se hace encontrando la función de velocidad, ajustándola a y resolviendo para

Las soluciones a esto en el círculo unitario son, por lo que estos son los valores de donde la partícula normalmente cambiaría de dirección. Sin embargo, nuestro intervalo dado es, que no contiene. Por tanto, la partícula no cambia de dirección en el intervalo dado.

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CAPÍTULO 8

Este capítulo discutirá qué es una derivada y por qué es importante en ingeniería. Se enfatizan los conceptos de máximos y mínimos junto con las aplicaciones de derivadas para resolver problemas de ingeniería en dinámica, circuitos eléctricos y mecánica de materiales.

8.1.1 ¿Qué es una derivada?

Para explicar qué es una derivada, un profesor de ingeniería le pide a un estudiante que deje caer una pelota (que se muestra en la figura 8.1) desde una altura de y = 1.0 m para encontrar el momento en que impacta contra el suelo. Usando un cronómetro de alta resolución, el estudiante mide el tiempo en el impacto como t = 0,452 s. A continuación, el profesor plantea las siguientes preguntas:

(a) ¿Cuál es la velocidad promedio de la pelota?

(b) ¿Cuál es la rapidez de la pelota en el impacto?

(c) ¿Qué tan rápido está acelerando la pelota?

Figura 8.1 Una pelota caída desde una altura de 1 metro.

Usando la información dada, el estudiante proporciona las siguientes respuestas:

(a) Velocidad media, : La velocidad promedio es la distancia total recorrida por unidad de tiempo, es decir,

Tenga en cuenta que el signo negativo significa que la bola se mueve en sentido negativo. y-dirección.

(B) Velocidad en el impacto: El estudiante descubre que no hay suficiente información para encontrar el.

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Las soluciones de Balbharati para Matemáticas y Estadística 2 (Artes y Ciencias) Capítulo 2 de la Junta Estatal de Maharashtra del 12º Estándar HSC (Aplicaciones de derivados) incluyen todas las preguntas con solución y explicación detallada. Esto aclarará las dudas de los estudiantes sobre cualquier pregunta y mejorará las habilidades de aplicación mientras se preparan para los exámenes de la junta. Las soluciones detalladas paso a paso lo ayudarán a comprender mejor los conceptos y aclarar sus confusiones, si las hubiera. Shaalaa.com tiene las soluciones de la Junta Estatal de Matemáticas y Estadística 2 (Artes y Ciencias) de la Junta Estatal de Maharashtra 12th Standard HSC de una manera que ayuda a los estudiantes a comprender los conceptos básicos mejor y más rápido.

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Conceptos cubiertos en Matemáticas y Estadística 2 (Artes y Ciencias) Capítulo 2 de la Junta Estatal de Maharashtra del 12 ° Estándar HSC Las aplicaciones de las derivadas son las aplicaciones de las derivadas en geometría, las derivadas como una medida de velocidad, las aproximaciones, el teorema de Rolle, el teorema del valor medio de Lagrange (Lmvt), el aumento y Funciones decrecientes, máximos y mínimos.

Uso de las soluciones de Balbharati 12th Board Exam Las aplicaciones de los ejercicios derivados por parte de los estudiantes son una manera fácil de prepararse para los exámenes, ya que implican soluciones organizadas por capítulos y páginas. Las preguntas involucradas en Balbharati Solutions son preguntas importantes que se pueden hacer en el examen final. El número máximo de estudiantes del 12º Examen de la Junta de la Junta Estatal de Maharashtra prefiere Balbharati Textbook Solutions para obtener más puntajes en el examen.


Aplicaciones de derivadas fuera de las matemáticas y la física.

He enseñado cálculo durante varios años y tengo algunas dudas sobre si las derivadas (y las técnicas de integración) de funciones comunes son útiles e importantes fuera de las matemáticas y la física.

¿Puede dar un ejemplo de un problema natural fuera de las matemáticas y la física que se pueda resolver mediante derivadas o integración, y que no se pueda resolver de una manera más simple?

Mi motivación proviene de intentar motivar a los estudiantes con buenos ejercicios.

La primera restricción (naturalidad) excluye ejercicios como "Si $ q $ unidades se producen en una fábrica, entonces su costo es $ -0,3q ^ 3 + 2q ^ 2- ldots $" y todo ese tipo, enseñado en cursos de microeconomía. La segunda restricción (no se puede resolver más simple) excluyen, por ejemplo, todo lo que lleve a un mínimo o máximo de expresiones cuadráticas.

Soy consciente de algunos casos de este tipo, por ejemplo, la determinación de la longitud de los segmentos de línea en la solución del problema del árbol de Steiner para cuatro puntos en un cuadrado (carretera mínima o red eléctrica que conecta ABCD).


Resuelve la última ecuación para r. Se da h, 8 cm.

Démosle nombre a las cosas para que podamos hablar de ellas con precisión.

[tex] mbox[/ tex] = el volumen en el momento t.
[tex] mbox[/ tex] = la altura del agua en el momento t.
[tex] mbox[/ tex] = el radio de la (superficie del) agua en el momento t.
[tex] mbox

[/ tex] = la altura dividida por el radio.

Veamos lo que le dicen:

Entonces, ¿qué sabemos sobre los conos? Bueno, sabemos que cuando el agua llene el cono, tomará la forma del cono, y sabemos el volumen de este cono:

También sabemos que el cono de agua tendrá la misma relación entre altura y radio que el cono grande. Por lo tanto


¿Entiendes cómo traduje el problema a ecuaciones? Vea si ahora puede resolver pag Si te quedas atascado, muéstranos todo lo que has probado y te daremos más consejos.

La pregunta es "¿Cuál es la razón entre la altura del cono y su radio?", Que es la opuesto del problema habitual de tasas relacionadas en el que se nos da la forma y se nos pide la tasa de cambio de altura.

Dado que, como dijo Hurkyl, V = (1/3) & amppir 2 h. La pregunta pedía la razón de & quotheight del cono a su radio & quot, entonces sea x esa razón: x = h / r entonces h = xr (x es una constante) y dh / dt = x dr / dt,
dr / dt = (1 / x) dh / dt.

Ahora, dV / dt = (& amppi / 3) (2rh dr / dt + r 2 dh / dt)
= (& amppi / 3) (2rh / x + r 2) dh / dt.

Se nos da que, cuando h = 8, dV / dt = -10 y dh / dt = -2. Por supuesto, dado que 8 = xr, r = 8 / x.

Poniendo todo eso en la ecuación anterior,
dV / dt = (& amppi / 3) (2rh / x + r 2) dh / dt,
-10 = (& amppi / 3) (128 / x 2 + 64 / x 2) -2 entonces
(& amppi / 3) 192 / x 2 = & amppi (64 / x 2 = 5

x 2 = (64/5) & amppi Tomando raíces cuadradas,

x = (8 / & ampradic (5)) & ampradic (pi) que podemos escribir (racionalizar el denominador) como x = (8/5) & ampradic (4 & amppi)

Démosle nombre a las cosas para que podamos hablar de ellas con precisión.

[tex] mbox[/ tex] = el volumen en el momento t.
[tex] mbox[/ tex] = la altura del agua en el momento t.
[tex] mbox[/ tex] = el radio de la (superficie del) agua en el momento t.
[tex] mbox

[/ tex] = la altura dividida por el radio.

Veamos lo que le dicen:

Entonces, ¿qué sabemos sobre los conos? Bueno, sabemos que cuando el agua llene el cono, tomará la forma del cono, y sabemos el volumen de este cono:

También sabemos que el cono de agua tendrá la misma relación entre altura y radio que el cono grande. Por lo tanto


¿Entiendes cómo traduje el problema a ecuaciones? Vea si ahora puede resolver pag si te quedas atascado, muéstranos todo lo que probaste y te daremos más consejos.


Aplicación de derivados: descripción general de las notas de JEE | EduRev

Interpretación geométrica de la derivada

  • Sea AB la recta secante que pasa por los puntos (x, f (x)) y (x + Δx, f (x + Δx)).
  • Si B → A es decir. Δx se acerca a cero, la secante se acerca a la tangente en (x, f (x)). Por tanto, cuando Δx se acerca a cero, la pendiente de la tangente es el límite de la pendiente de la secante.
  • Por lo tanto, la derivada f '(x) se puede interpretar como la pendiente de la tangente en el punto (x, y) en la gráfica de la función y = f (x).

De esta interpretación, obtenemos los siguientes resultados:

(I) Cuando una función aumenta en algún intervalo, es obvio que la pendiente de la tangente es positiva en cada punto de ese intervalo debido a que su derivada es positiva.

(ii) De manera similar, en caso de que una función esté disminuyendo en algún intervalo, la derivada es negativa ya que la pendiente de la tangente es negativa en cada punto del intervalo.

  • Si (dy / dx) & gt 0, la tangente hace una ángulo agudocon el eje x.
  • Si (dy / dx) & lt 0, la tangente hace una ángulo obtusocon el eje x.
  • Si (dy / dx) = 0, la tangente a la curva es paralelo al eje x.
  • Si la tangente a la curva es perpendicular al eje x, entonces (dy / dx) = ± ∞.
  • Si la tangente es igualmente inclinado a los ejes, entonces (dy / dx) = ± 1.

Tasa de cambio de cantidades

  • Si una cantidad "y" cambia con un cambio en alguna otra cantidad "x" dado el hecho de que siempre se satisface una ecuación de la forma y = f (x) es decir. "Y" es una función de "x", entonces la tasa de cambio de "y" con respecto a "x" viene dada por
  • Si la tasa de cambio de una función se va a definir en un punto específico, es decir, un valor específico de "x", se conoce como Tasa instantánea de cambio de la función en ese punto. De la definición de la derivada de una función en un punto, tenemos

Ángulo de intersección de dos curvas

Sea y = f1(x) y y = f2(x) ser las dos curvas, que se encuentran en algún punto P (x1, y1)
El ángulo entre las dos curvas en P (x1, y1) = El ángulo entre las tangentes a las curvas en P (x1, y1).

El ángulo de intersección de dos curvas θ viene dado por:

  • Si θ = ± π / 2, m1metro2 + 1 = 0 ⇒ m1metro2 = -1
    Tales curvas se llaman Curvas ortogonales.
  • Si θ = 0, m1 = m2
    Entonces las curvas son tangential en (x1, y1).

Monotonicidad de la función

  • Las funciones pueden aumentar, disminuir o permanecer constantes durante intervalos a lo largo de todo su dominio. Este comportamiento creciente o decreciente de las funciones se conoce comúnmente como monotonicidad de la función.
  • Monotonic básicamente tiene dos términos. Mono significa uno y tónico significa tono. Juntos, significa, "en un tono".
Sea f (x) cualquier función continua, definida en el intervalo [a, b] y su derivada f ’(x) sea finita para a & lt x & lt b. Luego
(I) Se dice que la función f (x) es monótonamente creciente (o no decreciente) en el intervalo [a, b], si .
La función f (x) aumenta monótonamente en [a, b] si f ’(x) ≥ 0 para todo x∈ [a, b].
(ii) Se dice que la función f (x) es monótonamente decreciente (o no creciente) en el intervalo [a, b], si .
La función f (x) es monótonamente decreciente en [a, b] si f ’(x) ≤ 0 para todo x∈ [a, b]
(iii) Se dice que la función f (x) es estrictamente creciente en el intervalo [a, b],
Si .
La condición para que la función f (x) sea estrictamente creciente en [a, b] es que f ’(x) & gt 0 para todo x∈ [a, b], excepto en algunos puntos discretos en los que la derivada puede desaparecer.
(iv) Se dice que la función f (x) es estrictamente decreciente en el intervalo [a, b],
Si .
La condición para que la función f (x) sea estrictamente decreciente en [a, b] es que f ’(x) & lt 0 para todo x∈ [a, b], excepto en algunos puntos discretos en los que la derivada puede desaparecer.

Ejemplo: Considere la función f (x) = 2x 3 - 3x 2 - 12x + 1.

Dado que f (x) es una función polinomial, es continua y diferenciable en todas partes. Por lo tanto, al encontrar la derivada obtenemos f '(x) = 6x 2 - 6x - 12 = 6 (x - 2) (x + 1)

  • f '(x) & gt 0, si x & lt -1
  • f '(x) & lt 0, si -1 & lt x & lt 2
  • f '(x) & gt 0, si x & gt 2
  • f '(x) = 0, si x = -1 y x = 2

Por tanto, f (x) aumenta en los intervalos (- ∞, -1] y [2, ∞) y disminuye en el intervalo [-1,2].

Máximos y Mínimos

Se dice que una función y = f (x) tiene un máximo local en un punto x = a,
si f (x) ≤ f (a) para todo x∈ (a - h, a + h) donde h es una pequeña cantidad positiva. El punto x = a se llama punto de máximo de la función f (x)

Se dice que la función y = f (x) tiene un mínimo local en un punto x = a,
si f (x) & gt f (a) para todo x∈ (a - h, a + h) donde h es una pequeña cantidad positiva. El punto x = a se llama punto de mínimo de la función f (x).

Condición necesaria para la existencia de valores extremos

Métodos para encontrar el extremo local

Ejemplo: Si f (x) = x 5 - 5x 4 + 5x 3-1,
entonces f '(x) = 5x 4 - 20x 3 + 15x 2 = 5x 2 (x 2 - 4x + 3) = 5x 2 (x - 1) (x - 3)
f ’(x) = 0 da x = 0, 1, 3.
Para verificar el esquema de signos de f ’(x) usamos el método de intervalos.
Graficar f ’(x) = 5x 2 (x - 1) (x - 3) en la recta numérica real. De la figura,
en x = 0, f ’(x) no cambia de signo, entonces en x = 1, f (x) tiene ni máximo ni mínimo .
en x = 1, f ’(x) cambia de signo de positivo a negativo, por lo tanto, en x = 1, f (x) tiene máximos.
en x = 3, f ’(x) cambia de signo de negativo a positivo, por lo tanto, en x = 3, f (x) tiene un mínimos.

Diferenciales, errores y aproximaciones

  • Sea y = f (x) una función dada. Sea Δx un pequeño incremento en x, correspondiente al cual, y aumenta en Δy.
    Luego, para pequeños incrementos, asumimos que

    Por lo tanto,

Ilustración 1: Encuentre el valor aproximado de 33 (1/5) .
Solución: Sea f (x) = x (1/5)




Sea x = 32 y Δx = 1
⇒ f (x) = 32 (1/5) = 2 y x + Δx = 33
Por lo tanto,

    Sea Δx el error en la medición de la variable independiente x, y Δy es el error correspondiente en la medición de la variable dependiente y.

Luego,

Δy = error absoluto en la medición de y,
= error relativo en la medición de y,

= porcentaje de error en la medición de y

Ilustración 2: El período de tiempo T de oscilación de un péndulo simple de longitud ℓ viene dado por .
Suponga que se encuentra que un error en la medición de ℓ es del 1%. Calcule el error correspondiente en la medición de T.
Solución:
Al diferenciar obtenemos,




Por lo tanto, error porcentual en la medición de T = 0.5%


Aplicación de Derivados.

Entonces, la función dada aumenta en x = $ frac <5> <2> $ y disminuye en x = $ frac <2> <5> $.

En x = 3, f & rsquo (x) = 6.3 2 & ndash 24 = 12 & ndash 14 = 54 & ndash 24 = 30 & gt 0.

Entonces, la función dada aumenta en x = 3 y disminuye en x = $ frac <3> <2> $.

Por cada valor intermedio,

Entonces, la función dada está aumentando en el intervalo (1,4].

Entonces, la función dada está disminuyendo en el intervalo (& ndash & infin, & ndash2).

Dado f (x) = & ndashx 3 + 6x 2 & ndash 13x + 20

= & ndash3 (x & ndash 2) 2 & ndash 1 siempre es negativo para todos los valores de x ϵ R.

Entonces, la función dada es decreciente para todo x ϵ R.

f & rsquo (x) = 4 + $ frac <9> <<<< rm> ^ 2 >>> $ siempre es positivo excepto x = 0.

Entonces, por lo tanto, la función aumenta para todo x ϵ R excepto x = 0.

Entonces, la función dada aumenta para (1, & infin) y disminuye para (& ndash & infin.1).

Sea 4x 3 & ndash x 2 = 0 & egrave x 2 (4x & ndash 1) = 0

Entonces, la función dada disminuye para $ left (<- < rm < infty >>, frac <1> <4>> right) $ y aumenta para $ left (< frac <1> <4 >, < rm < infty >>> right) $.

Sea 15x 2 & ndash 135 = 0 & egrave x 2 = 9 & rArr x = & plusmn3.

Entonces, la función dada está aumentando para $ left (<- < rm < infty >>, 3> right) < rm> left (<3, < rm < infty >>> right) $ y disminuyendo para $ left (<- 3,3> right) $.

Entonces, la función dada es decreciente para $ left (<- < rm < infty >>, - 1> right) < rm> left (<2, < rm < infty >>> right) $ y aumentando $ left (<- 1,2> right) $.

Sea 3x 2 & ndash 12 = 0 & rArr x 2 = 4 & rArr x = & plusmn 2.

Entonces, la función dada está aumentando para $ left [<- 3, - 2> right) < rm> left (<2,5> right] $ y disminuyendo para $ left (<- 2,2> right) $.

Para, máximo o mínimo f & rsquo (x) = 0

Cuando, x = 2, f (x) = 3.2 2 & ndash 6.2 + 4 = 4

Cuando x = 1, f (x) = 3,1 2 & ndash 6,1 + 4 = 1.

Entonces, máximo absoluto = 13, mínimo absoluto = 1.

Para, máximo o mínimo f & rsquo (x) = 0

Cuando x = 4, f (x) = 2,4 3 & ndash 9,4 2 = & ndash 16.

Cuando x = 3, f (x) = 2,3 3 & ndash 9,3 2 = & ndash 27.

Entonces, máximo absoluto = 0, mínimo absoluto = & ndash52.

Para, máximo o mínimo f & rsquo (x) = 0

Cuando x = 0, f (x) = 0 3 & ndash 6.0 2 + 9.0 = 0

Cuando, x = 3, f (x) = 3 3 & ndash 6.3 2 + 9.3 = 0

Cuando x = 1, f (x) = 1 3 & ndash 6.1 2 + 9.1 = 4.

Cuando x = 5, f (x) = 5 3 & ndash 6.5 2 + 9.5 = 20

Cuando x = 3, f (x) = 2,3 3 & ndash 9,3 2 = & ndash 27.

Entonces, máximo absoluto = 20, mínimo absoluto = 0.

Para, máximo o mínimo f & rsquo (x) = 0

Cuando x = 1, f (x) = 2,1 3 & ndash 15,1 3 + 36,1 + 10 = 33.

Cuando, x = 4, f (x) = 2.4 3 & ndash 15.4 2 + 36.4 + 10 = 42.

Entonces, máximo absoluto = 42, mínimo absoluto = 33.

Para máximos y mínimos, f & rsquo (x) = 0.

Entonces, f (x) tiene un valor mínimo en x = 1.

Min. valor = f (1) = 3 * (1) 2 & ndash 6 * 1 + 3 = 0

Para todo x, f & rsquo y rsquo (x) = 6 & ne 0, por lo que no hay punto de inflexión.

Para máximos y mínimos, f & rsquo (x) = 0.

Entonces, f (x) tiene un valor mínimo en x = 2.

Min. valor de f (2) = f (2) = (2) 3 & ndash 12 * 2 + 8 = & ndash8.

Entonces, f (x) tiene un valor máximo en x = & ndash2.

Max. valor de f (x) = f (& ndash2) = (& ndash2) 3 & ndash 12 * (& ndash2) + 8 = 24.

Entonces, x = 0 es el punto de inflexión.

Para máximos y mínimos, f & rsquo (x) = 0.

En x = 4, f & rsquo y rsquo (x) = 6 * 4 & ndash 12 = 12 & gt 0.

Entonces, f (x) tiene un valor mínimo en x = 4.

Min. valor = (4) 3 & ndash 6 (4) 2 + 3 = & ndash29.

Entonces, x = 2 es el punto de inflexión.

Para máximos y mínimos, f & rsquo (x) = 0.

Entonces, f (x) tiene un valor máximo en x = 2.

Max. valor = 2. (3) 3 & ndash 15 (2) 2 + 36 * 2 + 5 = 33

En x = 3, f & rsquo y rsquo (x) = 12 * 3 & ndash 30 = 6 & gt 0.

Entonces, f (x) tiene un valor mínimo en x = 3.

Min. valor = 2 (3) 2 & ndash 15 (3) 2 + 36 * 3 + 5 = 32

Entonces, x = $ frac <5> <2> $ es el punto de inflexión.

Para máximos y mínimos, f & rsquo (x) = 0.

Entonces, f (x) tiene un valor mínimo en x = 4.

Min. valor = 2. (4) 3 & ndash 9 (4) 2 & ndash 24 (4) + 3 = & ndash109

Entonces, f (x) tiene un valor máximo en x = & ndash1.

Entonces, x = $ frac <3> <2> $ es el punto de inflexión.

Para máximos y mínimos, f & rsquo (x) = 0.

Entonces, f (x) tiene un valor mínimo en x = 2.

Min. valor = 4. (2) 3 & ndash 15 (2) 2 + 12 (2) + 7 = 3

Entonces, f (x) tiene un valor máximo en x = $ frac <1> <2> $.

Entonces, x = $ frac <5> <4> $ es el punto de inflexión.

Para máximos y mínimos, f & rsquo (x) = 0.

O bien, x = $ frac <3> <2> $, o x = $ - frac <1> <2> $.

Entonces, la función dada tiene un mínimo para x = $ frac <3> <2> $ y su valor mínimo local es f $ left ( <2>> right) $ = $ 4. < Left ( <2>> right) ^ 2> - 6. < left ( <2>> right) ^ 2> - 9. left (< frac <3 > <2>> derecha) + 1 $.

Entonces, la función dada tiene máximos para x = $ - frac <1> <2> $ y su valor máximo local es f $ left (<- frac <1> <2>> right) $ = $ 4. < left (<- frac <1> <2>> right) ^ 3> - 6. < left (<- frac <1> <2>> right) ^ 2> - 9. left ( <- frac <1> <2>> derecha) + 1 $.

Para el punto de inflexión, f & rsquo y rsquo (x) = 0.

Para máximos y mínimos, f & rsquo (x) = 0.

Entonces, f (x) tiene un valor mínimo en x = 10.

Entonces, f (x) tiene un valor máximo en x = & ndash10.

No. El valor finito de x hace que f & rsquo & rsquo (x) = 0, por lo que no hay punto de inflexión.

= 3 <(x & ndash 2) 2 + (2) 2> & ne 0 para todos los valores reales de x.

Entonces, f (x) no tiene valor máximo ni mínimo.

Para máximos o mínimos, f & rsquo (x) = 0.

Entonces, f (x) no tiene valor máximo ni mínimo.

Para, x & gt 1, f & rsquo & rsquo (x) & gt 0, por lo que la gráfica es cóncava hacia arriba.

Para, x & lt 0. f & # 39 & rsquo (x) & gt 0, por lo que la gráfica es cóncava hacia arriba.

Para 0 & lt x & lt 1, f & rsquo & rsquo (x) & lt 0, entonces la gráfica es cóncava hacia abajo.

f & rsquo y rsquo (x) = 12x 2 & ndash 48x + 36. = 12 (x 2 & ndash 4x + 3) = 12 (x & ndash 3) (x & ndash 1).

Para, x & gt 3, f & rsquo & rsquo (x) & gt 0, por lo que la gráfica es cóncava hacia arriba.

Para, x & lt 1. f & # 39 & rsquo (x) & gt 0, por lo que la gráfica es cóncava hacia arriba.

Para 1 & lt x & lt 3, f & rsquo & rsquo (x) & lt 0, entonces la gráfica es cóncava hacia abajo.

Para, x & gt 0, f & rsquo & rsquo (x) & lt 0, por lo que la gráfica es cóncava hacia arriba.

Para, x & lt 0. f & # 39 & rsquo (x) & gt 0, por lo que la gráfica es cóncava hacia abajo.

Entonces, la función dada es cóncava hacia arriba fir 3 & lt x & le 5 y hacia abajo para & ndash2 & le x & lt 3.

Soln:
Sea x = largo, y = ancho y A = área del jardín rectangular.
Perímetro = 144

Cuando x = 36, y = 72 & ndash x = 72 & ndash 36 = 36.

Área máx. = X.y = 36 * 36 = 1296m 2.

Sea x = largo, y = ancho y A = área del jardín rectangular.
Perímetro = 2a (suponga)


Aplicaciones de diferenciación & # 8211 Aplicaciones de derivadas: posición, velocidad, aceleración

De nuestro estudio de cálculo hasta ahora, sabemos que la tasa de cambio promedio es la pendiente de la línea secante entre dos puntos en la gráfica. La tasa de cambio instantánea es la pendiente de la recta tangente en un solo punto. Conectemos estos puntos a la posición, la velocidad y la aceleración.

Posición y velocidad

De su estudio de física, sabe encontrar la velocidad promedio de una partícula, divide el desplazamiento total (la distancia en línea recta entre la posición final e inicial) por el tiempo total:

Esencialmente, si miramos un gráfico de posición-tiempo, la velocidad promedio es la pendiente de la línea secante entre dos puntos.

Para obtener la velocidad instantánea en un momento particular, necesitamos la pendiente de la recta tangente en el punto particular del gráfico de posición-tiempo. En otras palabras, necesitamos tomar la derivada de la función de posición P (t) para obtener la función de velocidad:

Si una función P (t) representa el desplazamiento de un objeto, entonces la función de velocidad V (t) es la derivada de la función de desplazamiento:

Velocidad y aceleración

Por sus estudios de física, sabe que para obtener la aceleración promedio, divide el cambio en la velocidad por el tiempo total:

Esencialmente, si miramos un gráfico de velocidad-tiempo, la aceleración promedio es la pendiente de la línea secante entre dos puntos.

Para obtener la aceleración instantánea en un momento particular, necesitamos la pendiente de la recta tangente en el punto particular del gráfico de velocidad-tiempo. En otras palabras, necesitamos tomar la derivada de la función de velocidad V (t) para obtener la función de aceleración:

Si una función V (t) representa la velocidad de un objeto, la función de aceleración A (t) es la derivada de la función de velocidad:

Por supuesto, para pasar de la posición a la aceleración, se toma la derivada de la posición dos veces:

Analizar gráficos de movimiento

También es importante analizar las formas de los gráficos de desplazamiento para aproximar las formas de los gráficos de velocidad y aceleración.

Examinemos el gráfico de posición, velocidad y aceleración a continuación:

Desplazamiento y gráficos de tiempo # 8211:

  • El gradiente (pendiente tangente) de un gráfico de distancia-tiempo es la rapidez instantánea (velocidad) del objeto.
  • Si la curva es horizontal (plana) o se nivela, el gradiente es cero, por lo que la velocidad es cero. Esto significa que el objeto se ha ralentizado hasta detenerse por completo.
    • Si la pendiente es positiva, entonces el objeto viaja en la dirección positiva (derecha).
    • Si la pendiente es negativa, entonces el objeto viaja en la dirección negativa (izquierda).

    Gráficos de velocidad y tiempo # 8211:

    • El gradiente (pendiente tangente) de un gráfico de velocidad-tiempo es la aceleración del objeto.
      • Si la pendiente es positiva, entonces el objeto está acelerando. Por tanto, la aceleración es positiva.
      • Si la pendiente es negativa, entonces el objeto está desacelerando. Por tanto, la aceleración es negativa.

      Suponga que tenemos la función de posición P (t) = t 2 - 10t + 2. Luego encuentre la aceleración en cualquier tiempo t.

      Como sabemos que si se nos da la posición y tenemos que encontrar la aceleración, entonces tenemos que tomar la derivada doble de la posición.

      Entonces, tomando la segunda derivada de la función de posición,

      Por lo tanto, la aceleración en cualquier momento t es 2.

      Suponga que se nos da la posición como P (t) = 2t 3 + 4t -1. Si la aceleración inicial es cero, calcule la velocidad de la partícula.

      La primera derivada de la posición será la velocidad. Entonces, tomaremos la derivación de P (t)

      Tomando la derivada de la función de velocidad, o tomando la segunda derivada de la función de posición, obtendremos:

      Como la aceleración es cero, haga que A (t) = 12t sea igual a cero y resuelva para t.

      Ahora, para encontrar el valor de la velocidad, coloque este valor de "t" en la función de velocidad V (t) = 6t 2 + 4

      Entonces, la velocidad será igual a cuatro.

      Suponga que tiene una función P (t) = 4t 2 + 10t +10. Esta función da la altura de un objeto en el tiempo t. ¿Qué es la función de velocidad? ¿A qué hora es cero la velocidad? ¿Cuál es la posición del artículo cuando la velocidad es cero?

      Nuestra función de posición es P (t) = 4t 2 + 10t - t. Tomando la derivada de P (t),

      Establezca V (t) igual a cero para encontrar el tiempo en que la velocidad es cero:

      La velocidad es cero cuando t = 1.25 segundos.

      Ponga t = 1.25 dentro de P (t) para obtener la altura del objeto cuando la velocidad es cero:

      Cuando la velocidad es cero, el objeto está a 17,75 unidades en el aire.

      Un insecto comienza a trepar por un cable vertical en el tiempo t = 0. La velocidad, V (t), del insecto en el momento t, 0 t 8 viene dada por la función cuyo gráfico se muestra a continuación.

      1. ¿A qué valor de t cambia de dirección el error? Justifica tu respuesta.
      2. ¿Durante qué intervalo (s) de tiempo se ralentiza el error? Justifica tu respuesta.
      1. Para gráficos de posición-tiempo, si la velocidad cambia de positivo a negativo (o de negativo a positivo), entonces el objeto cambia de dirección. La velocidad es positiva cuando la curva cae por encima del eje t (el objeto va hacia la derecha). Esto ocurre desde t = 0 hasta t = 6. Desde t = 6 hasta t = 8, la curva cae por debajo del eje t, lo que significa que la velocidad es negativa (el objeto va hacia la izquierda). La transición de positivo a negativo ocurre en t = 6. Por lo tanto, el error cambia de dirección en t = 6.
      2. El error se ralentiza, entonces la velocidad y la aceleración (pendiente de la curva de velocidad) tienen signos opuestos. De [1,2], tanto la velocidad como la aceleración son positivas, por lo que el error se acelera. De [2,4], la velocidad es positiva, pero la aceleración es cero, lo que significa que el error va a una velocidad constante. De [4,6], la velocidad es positiva, pero la aceleración es negativa, por lo que el error se está desacelerando. De [6,7], tanto la velocidad como la aceleración son negativas, por lo que la partícula se acelera. De [7,8], la velocidad es negativa, pero la aceleración es positiva, por lo que el error se está desacelerando. Por lo tanto, el error se ralentiza en los intervalos de tiempo de [4,6] y [7,8].

      La figura graficada a continuación muestra la velocidad de una partícula que se mueve a lo largo de una línea de coordenadas. Justifica cada respuesta.

      1. ¿Cuándo se mueve correctamente la partícula?
      2. ¿Cuándo se mueve la partícula a la izquierda?
      3. ¿Cuándo se detiene la partícula?
      4. ¿Cuándo se acelera la partícula?
      5. ¿Cuándo cambia de dirección la partícula?
      6. ¿Cuándo se ralentiza la partícula?
      7. ¿Cuándo se mueve la partícula a su máxima velocidad?
      8. ¿Cuándo es positiva la aceleración de la partícula?
      9. ¿Cuándo es negativa la aceleración de la partícula?
      1. La partícula se mueve a la derecha de t = 4 a t = 10. Esto se debe a que la curva está por encima del eje t, lo que significa que la velocidad es positiva, lo que significa que la partícula se mueve hacia la derecha.
      2. La partícula se mueve hacia la izquierda desde t = 0 hasta t = 4. Esto se debe a que la curva está por debajo del eje t, lo que significa que la velocidad es negativa, lo que significa que la partícula se mueve hacia la izquierda.
      3. La partícula se detiene en t = 4. Esto se debe a que este es el momento en que la curva cruza el eje t & # 8211, o cuando la velocidad es cero.
      4. La partícula se acelera cuando tanto la aceleración (gradiente de la curva de velocidad) como la velocidad son positivas (o cuando ambas son negativas).
        1. Esto ocurre en t = 0 at = 1 (la velocidad y la aceleración son negativas).
        2. t = 4 a t = 5 (la velocidad y la aceleración son positivas)
        3. t = 7 a t = 9 (la velocidad y la aceleración son positivas)
        1. t = 3 at = 4. La velocidad aumenta a cero.
        2. t = 5 at = 7. La velocidad disminuye a cero.
        3. t = 9 a t = 10. La velocidad disminuye a cero.

        Funciones de movimiento

        La derivada de la función de posición P (t) es la función de velocidad V (t):

        La derivada de la función de velocidad V (t), o la segunda derivada de la función de posición P (t) es la función de aceleración A (t):

        Gráficos de movimiento

        El gradiente del gráfico de desplazamiento-tiempo da la forma del gráfico de velocidad-tiempo.


        Ver el vídeo: Aplicaciones de la derivada a la Economía Primera parte (Noviembre 2021).