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4.12.E: Problemas sobre secuencias y series de funciones


Ejercicio ( PageIndex {1} )

Completa la demostración de los teoremas 2 y 3.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Completa la demostración del teorema 4.

Ejercicio ( PageIndex {2 '} )

En el Ejemplo ((a), ) muestra que (f_ {n} rightarrow + infty ) (puntual) en ((1, + infty), ) pero no de manera uniforme. Demuestre, sin embargo, que el límite es uniforme en cualquier intervalo ([a, + infty), a> 1. ) (Defina "lim (f_ {n} = + infty ) (uniformemente)" en un manera adecuada.)

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Usando el Teorema 1, discuta ( lim _ {n rightarrow infty} f_ {n} ) en (B ) y (C ( text {como en el Ejemplo} (a)) ) para cada uno de la siguiente.
(i) (f_ {n} (x) = frac {x} {n}; B = E ^ {1}; C = [a, b] subconjunto E ^ {1} ).
(ii) (f_ {n} (x) = frac { cos x + n x} {n}; B = E ^ {1} ).
(iii) (f_ {n} (x) = sum_ {k = 1} ^ {n} x ^ {k}; B = (- 1,1); C = [- a, a], | a | <1 ).
(iv) (f_ {n} (x) = frac {x} {1 + n x}; C = [0, + infty) ).
( left. text {[Sugerencia: Demuestre que} Q_ {n} = sup frac {1} {n} (1- frac {1} {n x + 1} right) = frac { 1} {n}.] )
(v) (f_ {n} (x) = cos ^ {n} x; B = left (0, frac { pi} {2} right), C = left [ frac {1 } {4}, frac { pi} {2} derecha) ).
(vi) (f_ {n} (x) = frac { sin ^ {2} n x} {1 + n x}; B = E ^ {1} ).
(vii) (f_ {n} (x) = frac {1} {1 + x ^ {n}}; B = [0,1); C = [0, a], 0

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Usando los teoremas 1 y (2, ) discuta ( lim f_ {n} ) en los conjuntos que se dan a continuación,
(f_ {n} (x) ) como se indica y (0
(i) ( frac {n x} {1 + n x}; [a, + infty), (0, a) ).
(ii) ( frac {n x} {1 + n ^ {3} x ^ {3}}; (a, + infty), (0, a) ).
(iii) ( sqrt [n] { cos x}; left (0, frac { pi} {2} right), [0, a], a < frac { pi} {2 } ).
(iv) ( frac {x} {n}; (0, a), (0, + infty) ).
(v) (x e ^ {- n x}; [0, + infty); E ^ {1} ).
(vi) (n x e ^ {- n x}; [a, + infty), (0, + infty) ).
(vii) (n x e ^ {- n x ^ {2}}; [a, + infty), (0, + infty) ).
[Sugerencia: ( lim f_ {n} ) no puede ser uniforme si (f_ {n} ) son continuas en un conjunto, pero ( lim f_ {n} ) no lo es.
[Para (( mathrm {v}), f_ {n} ) tiene un máximo en (x = frac {1} {n} ); por tanto, encuentra (Q_ {n} ).]

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Defina (f_ {n}: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) por
[
f_ {n} (x) = left { begin {array} {ll} {nx} & { text {if} 0 leq x leq frac {1} {n}} {2- nx} & { text {if} frac {1} {n} ]
Muestre que todos (f_ {n} ) y ( lim f_ {n} ) son continuos en cada intervalo ((- a, a), ) ( left. Text {aunque} lim f_ {n} text {existe solo puntualmente. (Compare esto con el Teorema} 3. right) )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

La función (f ) encontrada en la demostración del Teorema 3 está determinada de forma única. ¿Por qué?

Ejercicio ( PageIndex {7} )

( Rightarrow 7. ) Demuestre que si cada una de las funciones (f_ {n} ) es constante en (B, ) o si (B ) es finito, entonces un límite puntual de ( f_ {n} ) en (B ) también es un límite uniforme; lo mismo ocurre con las series.

Ejercicio ( PageIndex {8} )

( Rightarrow 8. ) Demuestre que si (f_ {n} rightarrow f ( text {uniformemente}) ) en (B ) y si (C subseteq B, ) entonces (f_ {n} rightarrow f ) (uniformemente) en (C ) también.

Ejercicio ( PageIndex {9} )

( Rightarrow 9. ) Demuestre que si (f_ {n} rightarrow f ( text {uniformemente}) ) en cada uno de (B_ {1}, B_ {2}, ldots, B_ {m }, ) luego (f_ {n} rightarrow f ) (uniformemente) en ( bigcup_ {k = 1} ^ {m} B_ {k} ).
Refutarlo para uniones infinitas con un ejemplo. Haz lo mismo con las series.

Ejercicio ( PageIndex {10} )

( Rightarrow 10. ) Deje (f_ {n} rightarrow f ( text {uniformemente}) ) en (B ). Demuestre la equivalencia de las siguientes afirmaciones:
(i) Cada (f_ {n}, ) desde cierto (n ) en adelante, está limitado a (B ).
(ii) (f ) está acotado en (B ).
(iii) Las (f_ {n} ) están en última instancia delimitadas uniformemente en (B; ) es decir, todos los valores de función (f_ {n} (x), x en B, ) de una determinada (n = n_ {0} ) en adelante, están en el mismo globo (G_ {q} (K) ) en el espacio de rango.
Para funciones reales, complejas y con valores vectoriales, esto significa que
[
left ( existe K in E ^ {1} right) left ( forall n geq n_ {0} right) ( forall x in B) quad left | f_ {n} (x ) derecha | ]

Ejercicio ( PageIndex {11} )

( Rightarrow 11. ) Demuestre para funciones reales, complejas o con valores vectoriales (f_ {n}, f, g_ {n}, g )
[
f_ {n} rightarrow f text {y} g_ {n} rightarrow g text {(uniformemente) en} B,
]
Después también
[
f_ {n} pm g_ {n} rightarrow f pm g ( text {uniformemente}) text {on} B.
]

Ejercicio ( PageIndex {12} )

( Rightarrow 12. ) Demuestre que si las funciones (f_ {n} ) y (g_ {n} ) son reales o complejas (o si (g_ {n} ) tienen un valor vectorial y los (f_ {n} ) tienen un valor escalar), y si
[
f_ {n} rightarrow f text {y} g_ {n} rightarrow g text {(uniformemente) en} B,
]
luego
[
f_ {n} g_ {n} rightarrow f g text {(uniformemente) en} B
]
siempre que (f ) y (g ) o (f_ {n} ) y (g_ {n} ) estén delimitados en (B ) (al menos de algunos (n ) adelante); cf. Problema (11. )
Refutarlo para el caso en el que solo uno de (f ) y (g ) esté acotado.
[Sugerencia: Sea (f_ {n} (x) = x ) y (g_ {n} (x) = 1 / n ) (constante) en (B = E ^ {1}. ) Da algunos otros ejemplos.]

Ejercicio ( PageIndex {13} )

( Rightarrow 13. ) Demuestre que si ( left {f_ {n} right } ) tiende a (f ) (puntual o uniformemente), también lo hace cada subsecuencia ( left { f_ {n_ {k}} right } ).

Ejercicio ( PageIndex {14} )

( Rightarrow 14. ) Deje que las funciones (f_ {n} ) y (g_ {n} ) y las constantes (a ) y (b ) sean reales o complejas ( left . text {(o deje que} a text {y} b text {sean escalares y} f_ {n} text {y} g_ {n} text {tengan un valor vectorial} right). ) Demuestre que Si
[
f = sum_ {n = 1} ^ { infty} f_ {n} text {y} g = sum_ {n = 1} ^ { infty} g_ {n} text {(puntual o uniforme)} ,
]
luego
[
a f + b g = sum_ {n = 1} ^ { infty} left (a f_ {n} + b g_ {n} right) text {en el mismo sentido. }
]
(Se excluyen los límites infinitos).
En particular,
[
f pm g = sum_ {n = 1} ^ { infty} left (f_ {n} pm g_ {n} right) quad text {(regla de la suma de términos)}
]
y
[
a f = sum_ {n = 1} ^ { infty} a f_ {n}.
]
( text {[Sugerencia: Utilice los problemas} 11 text {y} 12.] )

Ejercicio ( PageIndex {15} )

( Rightarrow 15. ) Deje que el espacio de rango de las funciones (f_ {m} ) y (g ) sea (E ^ {n} left ( text {* o} C ^ {n } right), ) y deje (f_ {m} = left (f_ {m 1}, f_ {m 2}, ldots, f_ {mn} right), g = left (g_ {1 }, ldots, g_ {n} right); ) ver §3, parte II. Pruebalo
[
f_ {m} rightarrow g quad text {(puntual o uniforme)}
]
si cada componente (f_ {m k} ) de (f_ {m} ) converge (en el mismo sentido) al componente correspondiente (g_ {k} ) de (g; ) es decir,
[
f_ {m k} rightarrow g_ {k} quad text {(puntual o uniforme),} k = 1,2, ldots, n.
]
Similar,
[
g = sum_ {m = 1} ^ { infty} f_ {m}
]
si
[
( forall k leq n) quad g_ {k} = sum_ {m = 1} ^ { infty} f_ {m k}.
]
( text {(Consulte el Capítulo} 3, §15, text {Teorema} 2) ).

Ejercicio ( PageIndex {16} )

( Rightarrow 16. ) Del problema 15 deduzca para funciones complejas que (f_ {m} rightarrow g ) (puntual o uniformemente) sif las partes real e imaginaria de (f_ {m} ) convergen a los de (g ) (puntuales o uniformemente). Es decir, ( left (f_ {m} right) _ {re} rightarrow g_ {re} ) y ( left (f_ {m} right) _ {im} rightarrow g_ {im} ); lo mismo ocurre con las series.

Ejercicio ( PageIndex {17} )

( Rightarrow 17. ) Demuestre que la convergencia o divergencia (puntual o uniforme) de un
La secuencia ( left {f_ {m} right }, ) o una serie ( sum f_ {m}, ) de funciones no se ve afectada al eliminar o agregar un número finito de términos.
Demuestre también que ( lim _ {m rightarrow infty} f_ {m} ) (si existe) permanece igual, pero ( sum_ {m = 1} ^ { infty} f_ {m} ) se altera por la diferencia entre los términos agregados y eliminados.

Ejercicio ( PageIndex {18} )

( Rightarrow 18. ) Demuestre que la serie geométrica con razón (r ),
[
sum_ {n = 0} ^ { infty} a r ^ {n} quad left (a, r in E ^ {1} text {o} a, r in C right),
]
converge iff (| r | <1, ) en cuyo caso
[
sum_ {n = 0} ^ { infty} a r ^ {n} = frac {a} {1-r}
]
(de manera similar si (a ) es un vector y (r ) es un escalar). Deduzca que ( sum (-1) ^ {n} ) diverge. (Consulte el Capítulo 3, §15, Problema 19.)

Ejercicio ( PageIndex {19} )

El teorema 4 muestra que una serie convergente no cambia su suma si cada varios términos consecutivos son reemplazados por su suma. Muestre con un ejemplo que el proceso inverso (dividir cada término en varios términos) puede afectar la convergencia.
[Sugerencia: considere ( sum a_ {n} ) con (a_ {n} = 0. ) Divida (a_ {n} = 1-1 ) para obtener una serie divergente: ( left. sum (-1) ^ {n-1}, text {con sumas parciales} 1,0,1,0,1, ldots right] )

Ejercicio ( PageIndex {20} )

Encuentra ( sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {n (n + 1)} ).
( left. text {[Sugerencia: verificar:} frac {1} {n (n + 1)} = frac {1} {n} - frac {1} {n + 1}. text {Por lo tanto, busque} s_ {n}, text {y deje} n rightarrow infty. Right] )

Ejercicio ( PageIndex {21} )

Las funciones (f_ {n}: A rightarrow left (T, rho ^ { prime} right), A subseteq (S, rho) ) se dice que son equicontinuas en (p in A ) iff
[
( forall varepsilon> 0) ( existe delta> 0) ( forall n) left ( forall x in A cap G_ {p} ( delta) right) quad rho ^ { principal} izquierda (f_ {n} (x), f_ {n} (p) derecha) < varepsilon.
]
Demuestre que si es así, y si (f_ {n} rightarrow f ) (puntual) en (A, ) entonces (f ) es continua en (p. )
[Sugerencia: "Imite" la demostración del Teorema 2.]