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1.7: Movimiento hacia el equilibrio - Matemáticas


Ahora consideramos un nuevo modelo matemático que se utiliza para describir la respuesta de los sistemas a la infusión constante de material o energía. Ejemplos incluyen

  • Un lago prístino tiene un flujo constante de agua dulce y un flujo igual de agua fuera del lago. Se construye una fábrica junto al lago y cada día se libera una cantidad fija de desechos químicos en el lago. Los desechos químicos se mezclarán a lo largo del lago y algunos dejarán el lago en el agua que fluye. La cantidad de desechos químicos en el lago aumentará hasta que la cantidad de químicos que salen del lago cada día sea la misma que la cantidad liberada por la fábrica cada día.
  • El nitrógeno en el músculo de un buceador está inicialmente a 0,8 atm, la presión parcial de N2 en aire atmosférico. Ella desciende a 20 metros y respira aire con N2 presión parcial 2,4 atm. Casi inmediatamente su sangre N2 la presión parcial también es de 2,4 atm. Su músculo absorbe N2 más lentamente; cada minuto la cantidad de N2 que fluye hacia su músculo es proporcional a la diferencia entre las presiones parciales de N2 en su sangre (2,4 atm) y en su músculo. Poco a poco su músculo N2 la presión parcial se mueve hacia 2,4 atm.
  • Una gallina deja un nido y expone sus huevos al aire a temperaturas inferiores a los (37 ^ { circ} C ) de los huevos cuando se fue. La temperatura de los huevos disminuirá hacia la temperatura del aire.

Ejemplo 1.7.1 Contaminación química en un lago. Un lago prístino de 2 km de área2 y la profundidad promedio de 10 metros tiene un río que lo atraviesa a una velocidad de 10,000 m3 por día. Se construye una fábrica junto al río y se liberan 100 kg de desechos químicos al lago cada día. ¿Cuáles serán las cantidades de desechos químicos en el lago en los días siguientes? Vea también: mathinsight.org/chemical_pollution_lake_model

Proponemos el siguiente modelo matemático.

Paso 1. Modelo matemático. El cambio diario de desechos químicos en el lago es la diferencia entre la cantidad liberada cada día por la fábrica y la cantidad que fluye del lago por el río de salida. La cantidad de desechos químicos que salen del lago cada día es igual a la cantidad de agua que sale del lago ese día multiplicada por la concentración de desechos químicos en esa agua. Suponga que una vez que sale de la fábrica, la sustancia química se mezcla rápidamente en todo el lago, de modo que la concentración de la sustancia química en el lago es uniforme.

Paso 2. Notación. Sea (t ) el tiempo medido en días después de la apertura de la fábrica y (W_t ) sea el desperdicio químico en kg y (C_t ) la concentración de desperdicio químico en (kg / m ^ 3 ) en el lago el día (t ). Sea (V ) el volumen del lago y (F ) el flujo de agua a través del lago cada día.

Paso 3. Ecuaciones. El volumen del lago su área multiplicada por su profundidad; según los datos proporcionados,

[ begin {alineado}
& V = 2 mathrm {km} ^ {2} 10 mathrm {m} = 2 cdot 10 ^ {7} mathrm {m} ^ {3}
& F = 10 ^ {4} frac { mathrm {m} ^ {3}} { mathrm {día}}
& text {La concentración de producto químico en el lago es} quad C_ {t} = frac {W_ {t}} {V} = frac {W_ {t}} {2 times 10 ^ {7}} frac { mathrm {kg}} { mathrm {m} ^ {3}}
end {alineado} ]

El cambio en la cantidad de químico el día (t ) es (W_ {t + 1} - W_ {t} ) y

[ begin {alineado}
text {Cambio por día} & = quad text {Cantidad agregada por día} && - quad text {Cantidad eliminada por día}
W_ {t + 1} - W_ {t} & = quad quad quad quad quad 100 && - quad quad quad quad quad F cdot C_ {t}
W_ {t + 1} - W_ {t} & = quad quad quad quad quad 100 quad && - quad quad quad quad quad 10 ^ {4} frac {W_t} {2 cdot 10 ^ 7}
W_ {t + 1} - W_ {t} & = quad quad quad quad quad 100 quad && - quad quad quad quad quad 5 cdot 10 ^ {- 4} W_ {t }
end {alineado} ]

Las unidades de la ecuación son

[ begin {alineado}
W_ {t + 1} -W_ {t} & = 100-10 ^ {4} frac {W_ {t}} {2 cdot 10 ^ {7}}
mathrm {kg} - mathrm {kg} & = mathrm {kg} - mathrm {m} ^ {3} frac { mathrm {kg}} { mathrm {m} ^ {3}}
end {alineado} ]

y son consistentes.

El día 0, el contenido químico del lago es 0. Así tenemos

[ begin {alineado}
W_ {0} & = 0
W_ {t + 1} -W_ {t} & = 100-5 cdot 10 ^ {- 4} W_ {t}
end {alineado} ]

y lo reescribimos como

[ begin {alineado}
W_ {0} & = 0
W_ {t + 1} & = 100 + 0.9995 W_ {t}
end {alineado} ]

Paso 5. Resuelva la ecuación dinámica. Podemos calcular la cantidad de desechos químicos en el lago durante los primeros días.13 y encuentre 0, 100, 199,95, 299,85, 399,70 para las cinco primeras entradas. Podríamos iterar 365 veces para averiguar cuál será el nivel químico al final de un año (pero probablemente perderíamos la cuenta).

Estado de equilibrio. Los ambientalistas quieren saber el "estado eventual" de los desechos químicos en el lago. Ellos predecirían que la sustancia química en el lago aumentará hasta que no haya ningún cambio de percepción en los días sucesivos. El estado de equilibrio es un número (E ) tal que si (W_ {t} = E, W_ {t + 1} ) también es (E ). De (W_ {t + 1} = 100 + 0.9995 W_ {t} ) escribimos

[E = 100 + 0.9995 E, quad E = frac {100} {1-0.9995} = 200,000 ]

Cuando el producto químico en el lago alcanza los 200.000 kg, la cantidad que sale del lago cada día será igual a la cantidad que se introduce de la fábrica cada día.

El equilibrio (E ) también es útil matemáticamente. Resta las ecuaciones

[ begin {alineado}
W_ {t + 1} & = 100 + 0.9995 W_ {t}
E & = 100 + 0,9995 E
end {alineado} ]

[W_ {t + 1} -E = 0.9995 left (W_ {t} -E right) ]

Con (D_ {t} = W_ {t} - E ), esta ecuación es

[D_ {t} + 1 = 0.9995 D_ {t} quad text {que tiene la solución} quad D_ {t} = D_ {0} 0.9995 ^ {t} ]

Luego

[W_ {t} -E = left (W_ {0} -E right) 0.9995 ^ {t}, quad W_ {t} = 200000-200000 cdot 0.9995 ^ {t} ]

La gráfica de (W_t ) se muestra en la figura 1.7.1, y (W_t ) es asintótica a 200 000 kg.

Figura ( PageIndex {1} ): La cantidad de producto químico de desecho en un lago.

Puede leer el nivel químico del lago al final de un año en el gráfico o calcular

[W_ {365} = 200000-200000 cdot 0.9995 ^ {365} doteq 33,000 kg ]

33.000 de los 36.500 kg de sustancias químicas vertidas en el lago durante el primer año todavía se encuentran en el lago al final del año. Observe que incluso después de 20 años, el lago no está del todo en equilibrio.

Podemos averiguar cuánto tiempo tarda el lago en alcanzar el 98 por ciento del valor de equilibrio preguntando cuál es (t ) (W_t = 0.98 cdot 200000 )? Por lo tanto,

[ begin {alineado}
W_ {t} = 0.98200000 & = 200000-2000000.9995 ^ {t}
0,98 & = 1-0,9995 ^ {t}
0,9995 ^ {t} & = 0,02
log 0.9995 ^ {t} & = log 0.02
t log 0.9995 & = log 0.02
t & = frac { log 0.02} { log 0.9995} = 7822 quad text {días} = 21.4 quad text {años}
end {alineado} ]

Paso 6. Compare la solución con los datos. Desafortunadamente, no tenemos datos para este modelo. El volumen y el flujo de la corriente se seleccionaron para aproximarse al lago Erie, pero el lago es mucho más complejo que nuestro modelo simple. Sin embargo, una simulación del proceso es simple:

Ejemplo 1.7.2 Simulación de una descarga química en un lago. Comience con dos vasos de precipitados de un litro, un suministro de agua destilada y sal y un medidor para medir la conductividad en el agua. Coloque un litro de agua destilada y 0,5 g de sal en el vaso de precipitados F (de fábrica). Coloque un litro de agua destilada en el vaso de precipitados L (lago). Repetidamente

  1. Mida y registre la conductividad del vaso de agua L.
  2. Retire 100 ml de solución del vaso de precipitados L y deséchelo.
  3. Transfiera 100 ml de agua salada del vaso F al vaso L.

La conductividad del agua salada en el vaso de precipitados F debe ser de aproximadamente 1000 microsiemens ( ( mu S )). La conductividad del agua en el vaso de precipitados L debe ser inicialmente 0 y aumentar a medida que aumenta la concentración de sal en L. Los datos y un gráfico de los datos se muestran en la Figura 1.7.2 y parecen similares al gráfico de la Figura 1.7.1. En el ejercicio 1.7.4 se le pide que escriba y resuelva un modelo matemático de esta simulación y compare la solución con los datos.

Figura ( PageIndex {2} ): Datos para el ejemplo 1.7.2, simulación de la infusión de un producto de desecho químico en un lago.

Ejercicios para la sección 1.7 Movimiento hacia el equilibrio.

Ejercicio 1.7.1 Para cada uno de los siguientes sistemas,

  1. Calcule (W_ {0}, W_ {1}, W_ {2}, W_ {3} ) y (W_4 ).
  2. Encuentre el valor de equilibrio de Wt para los sistemas.
  3. Escribe una ecuación de solución para el sistema.
  4. Calcule (W_ {100} ).
  5. Calcule la vida media, (T_ {1/2} = - frac { log {2}} { log {B}} ) del sistema.
    1. ( begin {alineado} W_ {0} & = 0 W_ {t + 1} & = 1 - 0.2 W_ {t} end {alineado} )
    2. ( begin {alineado} W_ {0} & = 0 W_ {t + 1} & = 10 - 0.2 W_ {t} end {alineado} )
    3. ( begin {alineado} W_ {0} & = 0 W_ {t + 1} & = 100 - 0.2 W_ {t} end {alineado} )
    4. ( begin {alineado} W_ {0} & = 0 W_ {t + 1} & = 10 - 0.1 W_ {t} end {alineado} )
    5. ( begin {alineado} W_ {0} & = 0 W_ {t + 1} & = 10 - 0.05 W_ {t} end {alineado} )
    6. ( begin {alineado} W_ {0} & = 0 W_ {t + 1} & = 10 - 0.01 W_ {t} end {alineado} )

Ejercicio 1.7.3 Para cada uno de los siguientes sistemas,

  1. Calcule (W_ {0}, W_ {1}, W_ {2}, W_ {3} ) y (W_ {4} ).
  2. Describe los términos futuros, (W_ {5}, W_ {6}, W_ {7}, cdots ).
    1. ( begin {alineado} W_ {0} & = 0 W_ {t + 1} & = 1 - W_ {t} end {alineado} )
    2. ( begin {alineado} W_ {0} & = frac {1} {2} W_ {t + 1} & = 1 - W_ {t} end {alineado} )
    3. ( begin {alineado} W_ {0} & = 0 W_ {t + 1} & = 1 + W_ {t} end {alineado} )
    4. ( begin {alineado} W_ {0} & = 0 W_ {t + 1} & = 2 + W_ {t} end {alineado} )
    5. ( begin {alineado} W_ {0} & = 0 W_ {t + 1} & = 1 + 2 W_ {t} end {alineado} )
    6. ( begin {alineado} W_ {0} & = -1 W_ {t + 1} & = 1 + 2 W_ {t} end {alineado} )

Ejercicio 1.7.4 Escriba ecuaciones y resuélvalas para describir la cantidad de sal en los vasos de precipitados al comienzo de cada ciclo para la simulación de descarga química en un lago del ejemplo 1.7.2.

Ejercicio 1.7.5 Para nuestro modelo, 1.7.1, de contaminación del lago, asumimos que "al salir de la fábrica, el químico se mezcla rápidamente en todo el lago, de modo que la concentración de químico en el lago es uniforme". La escala de tiempo para "rápidamente" es relativa a las otras partes del modelo; en este caso al flujo diario de entrada y salida del lago. Suponga que se necesitan 10 días para que 100 kg de producto químico liberado de la fábrica se mezclen uniformemente en todo el lago. Escribe un modelo matemático para este caso. Hay varios modelos razonables; su tarea de escribir uno de ellos.

Ejercicio 1.7.6 Se inicia una infusión intravenosa de penicilina en el grupo vascular de un paciente a razón de 10 mg de penicilina cada cinco minutos. Los riñones de los pacientes eliminan el 20 por ciento de la penicilina en la reserva vascular cada cinco minutos.

  1. Escriba un modelo matemático del cambio durante cada período de cinco minutos de penicilina en el paciente.
  2. Escriba una ecuación de diferencia que describa la cantidad de penicilina en el paciente durante los intervalos de cinco minutos.
  3. ¿Cuál es el valor inicial de la penicilina en el paciente?
  4. ¿Cuál será la cantidad de equilibrio de penicilina en el paciente? (¡Esto es importante para la enfermera y el médico!)
  5. Escribe una solución a la ecuación en diferencias.
  6. ¿En qué momento la cantidad de penicilina en el paciente alcanzará el 90 por ciento del valor de equilibrio? (La enfermera y el médico también se preocupan por esto. ¿Por qué?)
  7. Suponga que los riñones del paciente están débiles y solo eliminan el 10 por ciento de la penicilina en la reserva vascular cada 5 minutos. ¿Cuál es la cantidad de equilibrio de penicilina en el paciente?

Ejercicio 1.7.7 La presión parcial de nitrógeno en un músculo de un buceador es inicialmente de 0,8 atm. Ella desciende a 30 metros e inmediatamente la N2 la presión parcial en su sangre es de 2,4 atm y permanece en 2,4 atm mientras ella permanece a 30 metros. Cada minuto la N2 la presión parcial en su músculo aumenta en una cantidad que es proporcional a la diferencia en 2.4 y la presión parcial de nitrógeno en su músculo al comienzo de ese minuto.

  1. Escribe una ecuación dinámica con condición inicial para describir el N2 presión parcial en su músculo.
  2. Tu ecuación dinámica debe tener una constante de proporcionalidad. Suponga que la constante es 0.067. Escribe una solución a tu ecuación dinámica.
  3. ¿A qué hora la N2 la presión parcial sea 1,6?
  4. ¿Cuál es la vida media de N2 presión parcial en el músculo, con el valor de K = 0.067?

13 En su calculadora: ( begin {array} {cccccc} 0 & text {ENTER} & times 0.9995 + 100 & text {ENTER} & text {ENTER} & text {ENTER} & text {ENTER } end {matriz} )


Suministro de bienes y servicios

Cuando los economistas hablan de suministro, se refieren a la cantidad de algún bien o servicio que un productor está dispuesto a ofrecer a cada precio. El precio es lo que recibe el productor por vender una unidad de bien o Servicio. Un aumento de precio casi siempre conduce a un aumento de la Cantidad abastecida de ese bien o servicio, mientras que una caída en el precio disminuirá la cantidad ofrecida. Cuando el precio de la gasolina aumenta, por ejemplo, alienta a las empresas con fines de lucro a tomar varias medidas: ampliar la exploración de reservas de petróleo perforar para obtener más petróleo invertir en más oleoductos y petroleros para llevar el petróleo a plantas donde se puede refinar y convertirlo en gasolina construir nuevas refinerías de petróleo comprar tuberías y camiones adicionales para enviar la gasolina a las estaciones de servicio y abrir más estaciones de servicio o mantener abiertas las estaciones de servicio existentes durante más horas. Los economistas llaman a esta relación positiva entre precio y cantidad ofrecida (que un precio más alto conduce a una cantidad más alta ofrecida y un precio más bajo conduce a una cantidad ofrecida más baja) la ley de suministro. La ley de la oferta supone que todas las demás variables que afectan la oferta (que se explicarán en el siguiente módulo) se mantienen constantes.

¿Aún no estás seguro de los diferentes tipos de suministro? Consulte la siguiente función Clear It Up.

¿Es el suministro lo mismo que la cantidad ofrecida?

En terminología económica, oferta no es lo mismo que cantidad ofrecida. Cuando los economistas se refieren a la oferta, se refieren a la relación entre un rango de precios y las cantidades ofrecidas a esos precios, una relación que puede ilustrarse con una curva de oferta o un programa de oferta. Cuando los economistas se refieren a la cantidad ofrecida, sólo se refieren a un cierto punto de la curva de oferta, o una cantidad en la lista de oferta. En resumen, la oferta se refiere a la curva y la cantidad ofrecida se refiere al punto (específico) de la curva.

La Figura 2 ilustra la ley de la oferta, nuevamente usando el mercado de la gasolina como ejemplo. Al igual que la demanda, la oferta se puede ilustrar mediante una tabla o un gráfico. A horario de suministro es una tabla, como la Tabla 2, que muestra la cantidad ofrecida en un rango de precios diferentes. Nuevamente, el precio se mide en dólares por galón de gasolina y la cantidad ofrecida se mide en millones de galones. A curva de oferta es una ilustración gráfica de la relación entre el precio, que se muestra en el eje vertical, y la cantidad, que se muestra en el eje horizontal. El programa de oferta y la curva de oferta son solo dos formas diferentes de mostrar la misma información. Observe que los ejes horizontal y vertical del gráfico de la curva de oferta son los mismos que los de la curva de demanda.

Figura 2. Una curva de oferta de gasolina. El programa de oferta es la tabla que muestra la cantidad ofrecida de gasolina a cada precio. A medida que aumenta el precio, también aumenta la cantidad ofrecida, y viceversa. La curva de oferta (S) se crea graficando los puntos del programa de oferta y luego conectándolos. La pendiente ascendente de la curva de oferta ilustra la ley de la oferta: un precio más alto conduce a una cantidad ofrecida más alta, y viceversa.

Precio (por galón) Cantidad suministrada (millones de galones)
$1.00 500
$1.20 550
$1.40 600
$1.60 640
$1.80 680
$2.00 700
$2.20 720
Tabla 2. Precio y oferta de gasolina

La forma de las curvas de oferta variará algo según el producto: más pronunciada, más plana, más recta o curva. Casi todas las curvas de oferta, sin embargo, comparten una similitud básica: se inclinan hacia arriba de izquierda a derecha e ilustran la ley de la oferta: a medida que el precio aumenta, digamos, de $ 1,00 por galón a $ 2,20 por galón, la cantidad ofrecida aumenta de 500 galones a 720 galones. Por el contrario, a medida que cae el precio, la cantidad ofrecida disminuye.


Escasez

Así como un precio por encima del precio de equilibrio provocará un superávit, un precio por debajo del equilibrio provocará una escasez. Una escasez es la cantidad por la cual la cantidad demandada excede la cantidad ofrecida al precio actual.

La figura 3.9 & # 8220A Escasez en el mercado de café & # 8221 muestra una escasez en el mercado de café. Suponga que el precio es de $ 4 por libra. A ese precio, se suministrarían 15 millones de libras de café al mes y se demandarían 35 millones de libras al mes. Cuando se demanda más café del que se suministra, hay escasez.

Figura 3.9 Escasez en el mercado de café

A un precio de $ 4 la libra, la cantidad de café demandada es de 35 millones de libras por mes y la cantidad ofrecida es de 15 millones de libras por mes. El resultado es una escasez de 20 millones de libras de café al mes.

Ante la escasez, es probable que los vendedores empiecen a subir sus precios. A medida que aumenta el precio, habrá un aumento en la cantidad ofrecida (pero no un cambio en la oferta) y una reducción en la cantidad demandada (pero no un cambio en la demanda) hasta que se alcance el precio de equilibrio.


Solo un precio en un mercado es sostenible

Dado que cualquier precio por debajo del precio de equilibrio P * da como resultado una presión al alza sobre los precios y cualquier precio por encima del precio de equilibrio P * da como resultado una presión a la baja sobre los precios, no debería sorprender que el único precio sostenible en un mercado sea el P * en el intersección de la oferta y la demanda.

Este precio es sostenible porque, en P *, la cantidad demandada por los consumidores es igual a la cantidad ofrecida por los productores, por lo que todos los que quieran comprar el bien al precio de mercado vigente pueden hacerlo y no queda nada del bien.


Problema gravitacional de cuerpos N (clásico)

Evolución de colisiones

Considere un aislado norte -sistema de cuerpos, que inicialmente se supone que está dado por una solución de equilibrio esféricamente simétrica de las ecuaciones [6] y [7], como la ecuación [8]. La temperatura disminuye al aumentar el radio, y una fuga gravotérmica provoca el "colapso" del núcleo, que alcanza una densidad extremadamente alta en un tiempo finito.(Este colapso tiene lugar en la escala de tiempo de relajación de dos cuerpos, por lo que no es el colapso rápido, en una escala de tiempo de caída libre, lo que sugiere el nombre).

A densidades suficientemente altas, la escala de tiempo de las reacciones de tres cuerpos se vuelve competitiva. Estos crean pares ligados, el exceso de energía es eliminado por un tercer cuerpo. Desde el punto de vista de la función de distribución de una partícula, F, estas reacciones son exotérmicas, provocando una expansión y enfriamiento de las regiones centrales de alta densidad. Esta inversión de temperatura impulsa la fuga gravotérmica en reversa, y el núcleo se expande, hasta que el contacto con la envoltura fría del sistema restaura un perfil de temperatura normal. El colapso del núcleo se reanuda una vez más y conduce a una secuencia caótica de expansiones y contracciones, llamadas oscilaciones gravotermales ( Figura 4 ).

Figura 4 . Oscilaciones gravotermales en un norte-sistema corporal con norte = 65536. La densidad central se representa como una función del tiempo en unidades tales que t cr = 2 2. (Fuente: Baumgardt H, Hut P y Makino J, con autorización).

La adición monótona de energía durante las fases colapsadas provoca una expansión secular del sistema y un aumento general en todas las escalas de tiempo. En cada tiempo de relajación, una pequeña fracción de las masas escapa, y eventualmente (se cree) el sistema consiste en una colección dispersa de masas individuales, binarias y (presumiblemente) estables de orden superior.

Es muy notable que el destino a largo plazo del mayor autogravitante norteEl sistema de los tres cuerpos parece estar íntimamente relacionado con el problema de los tres cuerpos.


1.7: Movimiento hacia el equilibrio - Matemáticas

En la sección anterior modelamos una población basándonos en el supuesto de que la tasa de crecimiento sería una constante. Sin embargo, en realidad esto no tiene mucho sentido. Claramente, no se puede permitir que una población crezca para siempre al mismo ritmo. La tasa de crecimiento de una población debe depender de la propia población. Una vez que una población alcanza un cierto punto, la tasa de crecimiento comenzará a reducirse, a menudo de manera drástica. Un modelo mucho más realista de crecimiento de la población viene dado por el ecuación de crecimiento logístico. Aquí está la ecuación de crecimiento logístico.

En la ecuación de crecimiento logístico (r ) es el tasa de crecimiento intrínseco y es el mismo (r ) que en la última sección. En otras palabras, es la tasa de crecimiento que se producirá en ausencia de factores limitantes. (K ) se llama nivel de saturación o la capacidad de carga.

Ahora, afirmamos que este era un modelo más realista para una población. Veamos si eso de hecho es correcto. Para permitirnos dibujar un campo de dirección, elija un par de números para (r ) y (K ). Usaremos (r = frac <1> <2> ) y (K = 10 ). Para estos valores, la ecuación logística es.

Si necesita un repaso sobre cómo dibujar campos de dirección, retroceda y eche un vistazo a esa sección. Primero observe que la derivada será cero en (P = 0 ) y (P = 10 ). También observe que estas son, de hecho, soluciones a la ecuación diferencial. Estos dos valores se denominan soluciones de equilibrio ya que son soluciones constantes a la ecuación diferencial. Te dejaremos el resto de los detalles sobre cómo dibujar el campo de dirección. Aquí está el campo de dirección, así como también un par de soluciones esbozadas.

Tenga en cuenta que incluimos una pequeña parte de (P ) negativas aquí, aunque realmente no tienen ningún sentido para un problema de población. La razón de esto será evidente en el futuro. Además, observe que una población de, digamos, 8 no tiene mucho sentido, así que supongamos que la población está en miles o millones, de modo que 8 en realidad representa 8,000 u 8,000,000 de individuos en una población.

Observe que si comenzamos con una población de cero, no hay crecimiento y la población permanece en cero. Entonces, la ecuación logística lo resolverá correctamente. A continuación, observe que si comenzamos con una población en el rango (0 & lt P left (0 right) & lt 10 ) entonces la población crecerá, pero comenzará a estabilizarse una vez que nos acerquemos a una población de 10. Si comenzamos con una población de 10, la población se mantendrá en 10. Finalmente, si comenzamos con una población que es mayor que 10, entonces la población en realidad morirá hasta que empecemos a acercarnos a una población de 10, momento en el cual el El declive de la población comenzará a ralentizarse.

Ahora, desde un punto de vista realista, esto debería tener algún sentido. Las poblaciones no pueden crecer para siempre sin límites. Eventualmente, la población alcanzará un tamaño tal que los recursos de un área ya no podrán sostener a la población y el crecimiento de la población comenzará a disminuir a medida que se acerque a este umbral. Además, si comienza con una población mayor de la que puede soportar un área, en realidad habrá una muerte hasta que nos acerquemos a este umbral.

En este caso, ese umbral parece ser 10, que también es el valor de (K ) para nuestro problema. Eso debería explicar el nombre que le dimos a (K ) inicialmente. La capacidad de carga o el nivel de saturación de un área es la población máxima sostenible para esa área.

Entonces, la ecuación logística, aunque todavía bastante simplista, hace un trabajo mucho mejor al modelar lo que sucederá con una población.

Ahora, pasemos al punto de esta sección. La ecuación logística es un ejemplo de ecuación diferencial autónoma. Las ecuaciones diferenciales autónomas son ecuaciones diferenciales que tienen la forma.

El único lugar donde aparece la variable independiente, (t ) en este caso, es en la derivada.

Note que si (f left (<> right) = 0 ) para algún valor (y = ) entonces esto también será una solución a la ecuación diferencial. Estos valores se llaman soluciones de equilibrio o puntos de equilibrio. Lo que nos gustaría hacer es clasificar estas soluciones. Por clasificar nos referimos a lo siguiente. Si las soluciones comienzan “cerca” de una solución de equilibrio, ¿se alejarán de la solución de equilibrio o se acercarán a la solución de equilibrio? Al clasificar las soluciones de equilibrio, podemos saber qué harán todas las demás soluciones de la ecuación diferencial a largo plazo simplemente mirando en qué soluciones de equilibrio comienzan cerca.

Entonces, ¿qué queremos decir con "cerca"? Regrese a nuestra ecuación logística.

Como señalamos, hay dos soluciones de equilibrio para esta ecuación (P = 0 ) y (P = 10 ). Si ignoramos el hecho de que estamos tratando con población, estos puntos dividen la recta numérica (P ) en tres regiones distintas.

Diremos que una solución comienza "cerca" de una solución de equilibrio si comienza en una región que está a ambos lados de esa solución de equilibrio. Entonces, las soluciones que comienzan "cerca" de la solución de equilibrio (P = 10 ) comenzarán en

y las soluciones que comienzan "cerca" de (P = 0 ) comenzarán en

Para las regiones que se encuentran entre dos soluciones de equilibrio, podemos pensar que cualquier solución que comience en esa región comience "cerca" de cualquiera de las dos soluciones de equilibrio, según sea necesario.

Ahora, las soluciones que comienzan "cerca" de (P = 0 ) se alejan de la solución a medida que (t ) aumenta. Tenga en cuenta que alejarse no significa necesariamente que crezcan sin límites a medida que se alejan. Solo significa que se alejan. Las soluciones que comienzan mayores que (P = 0 ) se alejan pero permanecen limitadas a medida que (t ) crece. De hecho, se mueven hacia (P = 10 ).

Las soluciones de equilibrio en las que las soluciones que comienzan "cerca" de ellas se alejan de la solución de equilibrio se denominan puntos de equilibrio inestable o soluciones de equilibrio inestable. Entonces, para nuestra ecuación logística, (P = 0 ) es una solución de equilibrio inestable.

Luego, las soluciones que comienzan "cerca" de (P = 10 ) se mueven hacia (P = 10 ) a medida que (t ) aumenta. Las soluciones de equilibrio en las que las soluciones que comienzan "cerca" de ellas se mueven hacia la solución de equilibrio se denominan puntos de equilibrio asintóticamente estables o Soluciones de equilibrio asintóticamente estables. Entonces, (P = 10 ) es una solución de equilibrio asintóticamente estable.

Hay una clasificación más, pero esperaré hasta que obtengamos un ejemplo en el que esto ocurra para presentarla. Entonces, echemos un vistazo a un par de ejemplos.

Primero, encuentre las soluciones de equilibrio. Por lo general, esto es bastante fácil de hacer.

Entonces, parece que tenemos dos soluciones de equilibrio. Tanto (y = -2 ) como (y = 3 ) son soluciones de equilibrio. A continuación se muestra el esquema de algunas curvas integrales para esta ecuación diferencial. Un bosquejo de las curvas integrales o campos de dirección puede simplificar el proceso de clasificación de las soluciones de equilibrio.

A partir de este esquema, parece que las soluciones que comienzan "cerca" de (y = -2 ) se mueven hacia él a medida que (t ) aumenta y, por lo tanto, (y = -2 ) es una solución de equilibrio asintóticamente estable y soluciones que empezar "cerca" de (y = 3 ) todos se alejan de él a medida que (t ) aumenta y (y = 3 ) es una solución de equilibrio inestable.

El siguiente ejemplo presentará la tercera clasificación que podemos dar a las soluciones de equilibrio.

Las soluciones de equilibrio para esta ecuación diferencial son (y = -2 ), (y = 2 ) y (y = -1 ). A continuación se muestra el esquema de las curvas integrales.

De esto queda claro (con suerte) que (y = 2 ) es una solución de equilibrio inestable y (y = -2 ) es una solución de equilibrio asintóticamente estable. Sin embargo, (y = -1 ) se comporta de manera diferente a cualquiera de estos dos. Las soluciones que comienzan arriba se mueven hacia (y = -1 ) mientras que las soluciones que comienzan debajo de (y = -1 ) se alejan a medida que (t ) aumenta.

En los casos en que las soluciones en un lado de una solución de equilibrio se mueven hacia la solución de equilibrio y en el otro lado de la solución de equilibrio se alejan de ella, llamamos solución de equilibrio semi-estable.


UW BOTHELL INGENIERÍA Y MATEMÁTICAS (BOTEL) INGENIERÍA MECÁNICA - UW BOTHELL

B ME 221 Estática (4)
Aplica el análisis vectorial al equilibrio de sistemas y subsistemas de cuerpos rígidos. Incluye resultantes de fuerza y ​​momento, diagramas de cuerpo libre, fuerzas internas y fricción. Analiza sistemas y componentes básicos estructurales y de máquinas. Requisito previo: calificación mínima de 2.0 en STMATH 126 o MATH 126 calificación mínima de 2.0 en B PHYS 121 o PHYS 121.
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B ME 222 Mecánica de materiales (4)
Introduce deformaciones de sólidos en respuesta a cargas externas y efectos de deformaciones sobre la estabilidad y el comportamiento del material. Desarrolla relaciones básicas entre cargas, tensiones y deflexiones de elementos estructurales y de máquinas como varillas, ejes y vigas. Incluye laboratorio. Requisito previo: calificación mínima de 2.0 en B ME 221. Ofrecido: W.
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B ME 223 Dinámica (4) Puente John W, Jong Yoon
Cinemática de partículas, sistemas de partículas y cuerpos rígidos en movimiento marcos de referencia cinética de partículas, sistemas de partículas y cuerpos rígidos equilibrio, energía, momento lineal, momento angular. Incluye laboratorio. Requisito previo: calificación mínima de 2.0 en B ME 221. Ofrecido: Sp.
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B ME 293 Temas especiales en Ingeniería Mecánica (1-5, máx.15)
Explora temas especiales en ingeniería mecánica.
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B ME 301 Seminario de introducción a la ingeniería mecánica (1)
Revisa el programa de grado en ingeniería mecánica en UW Bothell, enfatizando sus características únicas y relacionando su estructura e intención con la ingeniería mecánica como profesión. Crédito / sin crédito solamente. Ofrecido: W.
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B ME 315 Introducción al modelado, diseño y análisis 3D (4) VLPA Jong Yoon
Los exploradores diseñan, representan y analizan objetos tridimensionales utilizando métodos computacionales y diseño asistido por computadora (CAD). Los temas incluyen la optimización de bocetos a mano alzada de la documentación de los parámetros de diseño y la comunicación de la información del diseño utilizando estándares y prácticas de ingeniería apropiados. Requisito previo: una calificación mínima de 2.0 en B ME 222. Ofrecido: WSp.
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B ME 331 Termodinámica (4) Steven Collins
Primera y Segunda Leyes de la termodinámica y su aplicación en sistemas abiertos y cerrados. Incluye propiedades termodinámicas de sustancias, leyes de los gases, entropía, potencia y ciclos de refrigeración. Requisito previo: calificación mínima de 1.7 en B CHEM 143 B CHEM 144 STMATH 307 y B PHYS 121.
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B ME 332 Mecánica de fluidos (4) Shima Abadi y Steven Collins
Introducción a las propiedades de los fluidos, hidrostática, transferencia de momento en el flujo de fluidos interno y externo, análisis de sistemas de flujo de fluidos y dinámica de fluidos. Requisito previo: calificación mínima de 1.7 en B ME 331 y calificación mínima de 1.7 en STMATH 324 Ofrecido: W.
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Transferencia de calor B ME 333 (4) Shima Abadi y Steven Collins
Introducción a la transferencia de calor por conducción, convección natural y forzada, radiación, transferencia de calor en flujo interno y externo e intercambiadores de calor. Requisito previo: calificación mínima de 1.7 en B ME 332. Ofrecido: Sp.
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Laboratorio de fluidos térmicos B ME 334 (2)
Experimentos de laboratorio semanales diseñados para presentar a los estudiantes los conceptos básicos de experimentación, instrumentación, recopilación y análisis de datos, análisis de errores, redacción de informes y habilidades de trabajo en equipo. Los temas incluirán mecánica de fluidos y transferencia de calor. Requisito previo: calificación mínima de 1.7 en B ME 331 calificación mínima de 1.7 en B ME 332 y calificación mínima de 1.7 en B ME 333 Ofrecida: A.
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B ME 341 Diseño de sistemas mecánicos I (4) Puente John W
Análisis mecánico y selección de materiales de componentes de máquinas. Los temas incluyen propiedades de materiales, análisis de carga, resistencia avanzada de materiales, impacto, mecánica de fracturas, fatiga y confiabilidad. Se introduce una metodología detallada de selección de materiales. Procesos de fabricación asociados. Requisito previo: calificación mínima de 1.7 en B ENGR 320 y calificación mínima de 1.7 en B ME 223 Ofrecido: WSp.
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B ME 342 Diseño de sistemas mecánicos II (4) Jong Yoon, Puente John W
Se presentan técnicas analíticas para el diseño y análisis de una variedad de componentes mecánicos, incluidos sujetadores, juntas soldadas, resortes, cojinetes, embragues y frenos, ejes y engranajes. Se incluyen consideraciones de selección de materiales. Los principios de lubricación se introducen a través del análisis de rodamientos. Requisito previo: calificación mínima de 1.7 en B ME 341. Ofrecido: SpS.
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B ME 343 Diseño de sistemas mecánicos III (5) Jong Yoon
Cubre el modelado de sistemas dinámicos (sistemas mecánicos, eléctricos, de fluidos y termos), análisis de oscilador lineal (transformadas de Laplace, transformadas de Fourier, problemas de valores propios y análisis modal), especificaciones de rendimiento de sistemas de control de retroalimentación y diseños de controladores para sistemas de entrada única y salida única. Incluye experiencias de laboratorio. Requisito previo: calificación mínima de 1.7 en B ME 342 y B ME 315.
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B ME 345 Fundamentos del mecanizado (4)
Introducción a los principios y operaciones de los procesos de remoción de metales enfatizando los procesos de taladrado, fresado, torno, aserrado y rectificado. B ME 331 se puede tomar al mismo tiempo.
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B ME 410 Energía eléctrica y maquinaria (5) S. COLLINS
Fundamentos de circuitos y componentes eléctricos, y su aplicación en motores, generadores y otra maquinaria utilizada en aplicaciones industriales. Incluye laboratorio. Requisito previo: calificación mínima de 1.7 en STMATH 126 y B PHYS 122. Ofrecido: A.
Ver detalles del curso en MyPlan: B ME 410

B ME 431 Ingeniería acústica: fundamentos (4)
Cubre la física subyacente de los sistemas de ultrasonido de diagnóstico y terapéuticos y sus efectos físicos. Calcula importantes parámetros de ultrasonido mediante simulaciones numéricas, técnicas algebraicas y mediciones de laboratorio. Requisito previo: calificación mínima de 2.0 en B ENGR 310 y B PHYS 123.
Ver detalles del curso en MyPlan: B ME 431

B ME 432 Ingeniería acústica: dispositivos médicos (4)
Análisis de aplicaciones avanzadas de ecografías diagnósticas y terapéuticas a la lluvia y al tejido periférico. Estimación algebraica de las fuerzas físicas ejercidas por el ultrasonido y de las respuestas biológicas asociadas. Revisión de la literatura sobre la aplicación de la ecografía al cerebro y al tejido periférico.
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Fluidos térmicos avanzados B ME 433 (4)
Explora temas avanzados en termodinámica, transferencia de calor y mecánica de fluidos, que incluyen, entre otros, HVAC, combustión, mecánica de fluidos compresibles, generación de energía avanzada, métodos computacionales y energía renovable. Requisito previo: Requisitos previos: Calificación mínima de 2.0 en B ME 333 Recomendado: B ME 333
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B ME 435 Introducción a la calefacción, ventilación y aire acondicionado (4)
Fundamentos de calefacción, ventilación y aire acondicionado (HVAC) para mantener los edificios cómodos y saludables para sus ocupantes mientras se minimiza el impacto ambiental. Los temas incluyen: propiedades de la combustión de mezclas de aire y agua, ciclos de refrigeración, cálculos de carga de calefacción y refrigeración, equipos HVAC y diseño de sistemas HVAC para edificios sostenibles. Requisito previo: calificación mínima de 2.0 en B ME 333.
Ver detalles del curso en MyPlan: B ME 435

B ME 440 Comportamiento mecánico de los materiales (4)
Investigación exhaustiva de los fundamentos básicos de deformación y falla de materiales de ingeniería. Se enfatiza la estructura cristalina y los aspectos microestructurales relacionados con los mecanismos de deformación, fortalecimiento y fractura. El procesamiento de materiales también se analiza con respecto al control de la microestructura para lograr las propiedades mecánicas deseadas para aplicaciones de ingeniería. Basado en conferencias con ejercicios de laboratorio en clase incluidos. Requisito previo: B ME 341. Ofrecido: WSp.
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B ME 446 Energía sostenible (4) Steven Collins
Estudia principios y tecnologías de conversión de energía y su aplicación en sistemas de generación de energía sustentable. Los temas incluyen: combustibles y ciclos combinados de combustión energía renovable energía nuclear celdas de combustible y almacenamiento de energía. También se consideran las implicaciones económicas, ambientales y políticas de las tecnologías energéticas.Requisito previo: una calificación mínima de 2.0 en B ME 331.
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B ME 450 Introducción a la ingeniería y las ciencias oceánicas (4) NO S. Hossein Abadi
Introducción a los conceptos fundamentales de las ciencias e ingeniería oceánicas a través de actividades basadas en proyectos. Los temas incluyen hidrostática, hidrodinámica, sensores oceánicos, acústica subacuática, sonar, geología marina, vehículos oceánicos, ecosistemas marinos, mamíferos marinos, energía, contaminación y políticas. Requisito previo: Calificación mínima de 2.0 en B ENGR 310
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B ME 460 Introducción a la mecatrónica (4) Jong Yoon
Explora el campo multidisciplinario de la mecatrónica, que involucra una combinación de ingeniería mecánica, electrónica, ingeniería informática e ingeniería de control. Los temas incluyen revisión de lenguajes de programación básicos, fundamentos de circuitos y sus componentes, arquitectura y aplicaciones de microcomputadoras, actuadores / sensores electromecánicos Introducción de materiales inteligentes de control basados ​​en PC y aplicación a sistemas inteligentes. Requisito previo: calificación mínima de 2.0 en B ME 343 recomendado: curso de programación de computadoras de nivel universitario.
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B ME 481 Ingeniero ciudadano (5) I & ampS, DIV Steven Collins
Examina las responsabilidades del ingeniero en la aplicación ética de la tecnología en sociedades diversas, interconectadas y globales. Se utilizan casos históricos y contemporáneos para investigar las implicaciones socioculturales de la práctica de la ingeniería y el papel de los ingenieros en el desarrollo local, nacional y global. Requisito previo: una calificación mínima de 2.0 en B ME 333 y una calificación mínima de 2.0 en B ME 342.
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B ME 482 Ingeniero profesional (5) I & ampS Steven Collins
Temas en la práctica profesional de la ingeniería, incluyendo ingeniería, economía, desarrollo de productos, planificación de proyectos, liderazgo, gestión y organización, y asuntos legales y regulatorios. Incorpora revisión para el examen de Fundamentos de Ingeniería (FE) requerido como el primer paso hacia la licencia profesional. Requisito previo: calificación mínima de 1.7 en B ME 481.
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B ME 483 Fundamentos de ingeniería Preparación de exámenes mecánicos (2)
Ayuda a los estudiantes de Ingeniería Mecánica a comenzar su preparación para el Examen de Fundamentos de Ingeniería (FE), el primer paso para convertirse en un Ingeniero Profesional con licencia (PE). Los estudiantes revisan los temas cubiertos en el examen y practican la resolución rápida de problemas en condiciones similares a las del examen. Requisito previo: una calificación mínima de 2.0 en B ME 343. Solo crédito / no crédito.
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B ME 493 Temas especiales avanzados en ingeniería mecánica (1-5, máx.15)
Explora temas especiales en ingeniería mecánica.
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B ME 494 Innovación, diseño y espíritu empresarial (5) I & ampS
Explora aspectos no técnicos del negocio relevantes para la ingeniería. Lo fundamental es el análisis de las necesidades de las personas (como individuos como miembros de la sociedad) que guían la invención, el diseño y la construcción de dispositivos y de empresas que abordan esas necesidades. Los temas incluyen: declaraciones de necesidades, análisis de mercado, ideación, patentes, desarrollo de planes de negocios. Ofrecido: A.
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B ME 495 Proyecto final en Ingeniería Mecánica I (2) Pierre D. Mourad
Proyecto de equipo pequeño dirigido a problemas de diseño abiertos en ingeniería mecánica. Puede realizarse como parte de una pasantía industrial con la supervisión directa de la facultad de ingeniería mecánica y el patrocinador. Requisito previo: calificación mínima de .7 en cada uno de B ME 333 B ME 343 y B EE 371 / CSS 371.
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B ME 496 Proyecto final en Ingeniería Mecánica II (3) Pierre D. Mourad
Proyecto de equipo pequeño dirigido a la fase de construcción de problemas de diseño abiertos en Ingeniería Mecánica. Puede llevarse a cabo como parte de una pasantía industrial con la supervisión directa de la facultad de ME y el patrocinador. Puede involucrar a estudiantes de disciplinas complementarias. Requisito previo: B ME 495 y GPA acumulativo mínimo de 2.0. Ofrecido: Sp.
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B ME 498 Estudio independiente en Ingeniería Mecánica (1-5, máx. 10)
Estudio independiente sobre un tema o área acordada por el instructor y el alumno.
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B ME 499 Investigación de pregrado en Ingeniería Mecánica (1-5, máx.10)
Investigación de pregrado sobre un tema o área acordada por el instructor y el estudiante.
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Reacciones en fase gaseosa

Las reacciones no se detienen cuando llegan al equilibrio. Pero las reacciones directa e inversa están equilibradas en equilibrio, por lo que no hay un cambio neto en las concentraciones de los reactivos o productos, y la reacción parece detenerse en la escala macroscópica. El equilibrio químico es un ejemplo de dinámica El equilibrio entre las fuerzas opuestas las reacciones de avance y retroceso no es un equilibrio estático.

Veamos las consecuencias lógicas del supuesto de que la reacción entre ClNO2 y el NO finalmente alcanza el equilibrio.

Las velocidades de las reacciones directa e inversa son las mismas cuando este sistema está en equilibrio.

Sustituyendo las leyes de velocidad para las reacciones directa e inversa en esta igualdad se obtiene el siguiente resultado.

Pero esta ecuación solo es válida cuando el sistema está en equilibrio, por lo que debemos reemplazar el (ClNO2), (NO NO2) y (ClNO) términos con símbolos que indican que la reacción está en equilibrio. Por convención, usamos corchetes para este propósito. Por lo tanto, la ecuación que describe el equilibrio entre las reacciones directa e inversa cuando el sistema está en equilibrio debe escribirse de la siguiente manera.

Al reorganizar esta ecuación se obtiene el siguiente resultado.

Ya que kF y kr son constantes, la razón de kF dividido por kr también debe ser una constante. Esta relación es la equilibrio constante para la reacción, KC. La relación de las concentraciones de los reactivos y los productos se conoce como expresión constante de equilibrio.

Independientemente de la combinación de concentraciones de reactivos y productos con la que comencemos, la reacción alcanzará el equilibrio cuando la relación de las concentraciones definidas por la expresión de la constante de equilibrio sea igual a la constante de equilibrio de la reacción. Podemos empezar con mucho ClNO2 y muy poco NO, o mucho NO y muy poco ClNO2. No importa. Cuando la reacción alcanza el equilibrio, la relación entre las concentraciones de los reactivos y los productos descritos por la expresión constante de equilibrio siempre será la misma. A 25 o C, esta reacción siempre alcanza el equilibrio cuando la relación de estas concentraciones es de 1,3 x 10 4.

El procedimiento utilizado en esta sección para derivar la expresión constante de equilibrio solo funciona con reacciones que ocurren en un solo paso, como la transferencia de un átomo de cloro de ClNO.2 a NO. Muchas reacciones toman varios pasos para convertir los reactivos en productos. Pero cualquier reacción que alcance el equilibrio, no importa cuán simple o compleja sea, tiene una expresión constante de equilibrio que satisface las reglas de la siguiente sección.

  • Aunque las reacciones químicas que alcanzan el equilibrio ocurren en ambas direcciones, se supone que los reactivos del lado derecho de la ecuación son los "productos" de la reacción y que los reactivos del lado izquierdo de la ecuación son los "reactivos".
  • Los productos de la reacción siempre se escriben sobre la línea del numerador.
  • Los reactivos siempre se escriben debajo de la línea del denominador.
  • Para sistemas homogéneos, la expresión constante de equilibrio contiene un término para cada reactivo y cada producto de la reacción.
  • El numerador de la expresión constante de equilibrio es el producto de las concentraciones de los "productos" de la reacción elevadas a una potencia igual al coeficiente de este componente en la ecuación balanceada de la reacción. El denominador de la expresión de la constante de equilibrio es el producto de las concentraciones de los "reactivos" elevadas a una potencia igual al coeficiente de este componente en la ecuación balanceada de la reacción.

Escribe expresiones de constantes de equilibrio para las siguientes reacciones.

Las reacciones en fase gaseosa se eligieron para esta introducción a la cinética y el equilibrio porque se encuentran entre las reacciones químicas más simples. Sin embargo, algunos podrían preguntarse por qué las expresiones de las constantes de equilibrio del ejercicio anterior se expresan en términos de las concentraciones de los gases en unidades de moles por litro.

Se utilizaron unidades de concentración para enfatizar la relación entre los equilibrios químicos y las velocidades de las reacciones químicas, que se informan en términos de las concentraciones de los reactivos y productos. Esta elección de unidades se indica agregando un subíndice & quotc & quot a los símbolos de las constantes de equilibrio, para mostrar que se calcularon a partir de las concentraciones de los componentes de la reacción.

¿Qué sucede con la magnitud de la constante de equilibrio de una reacción cuando le damos la vuelta a la ecuación? Considere la siguiente reacción, por ejemplo.

La expresión de la constante de equilibrio para esta ecuación se escribe de la siguiente manera.

Debido a que esta es una reacción reversible, también se puede representar mediante una ecuación escrita en la dirección opuesta.

La expresión de la constante de equilibrio ahora se escribe de la siguiente manera.

Cada una de estas expresiones de la constante de equilibrio es la inversa de la otra. Por tanto, podemos calcular KC Dividiendo KC en 1.

También podemos calcular las constantes de equilibrio combinando dos o más reacciones para las cuales el valor de KC es conocida. Suponga, por ejemplo, que conocemos las constantes de equilibrio para las siguientes reacciones en fase gaseosa a 200 o C.

Podemos combinar estas reacciones para obtener una ecuación general para la reacción entre N2 y O2 para formar NO2.

norte2(gramo) + O2(gramo) 2 NO (gramo)
+ 2 NO (gramo) + O2(gramo) 2 NO2(gramo)
______________________________________________________________
norte2(gramo) + 2 O2(gramo) 2 NO2(gramo)

Es fácil demostrar que la expresión de la constante de equilibrio para la reacción general es igual al producto de las expresiones de la constante de equilibrio para los dos pasos de esta reacción.

Por tanto, la constante de equilibrio de la reacción global es igual al producto de las constantes de equilibrio de los pasos individuales.

Tenemos un modelo que describe lo que sucede cuando una reacción alcanza el equilibrio: a nivel molecular, la velocidad de la reacción directa es igual a la velocidad de la reacción inversa. Dado que la reacción avanza en ambas direcciones a la misma velocidad, no hay un cambio aparente en las concentraciones de los reactivos o los productos en la escala macroscópica del nivel de los objetos visibles a simple vista. Este modelo también se puede utilizar para predecir la dirección en la que una reacción debe cambiar para alcanzar el equilibrio.

Si las concentraciones de los reactivos son demasiado grandes para que la reacción esté en equilibrio, la velocidad de la reacción directa será más rápida que la reacción inversa y algunos de los reactivos se convertirán en productos hasta que se alcance el equilibrio. Por el contrario, si las concentraciones de los reactivos son demasiado pequeñas, la velocidad de la reacción inversa superará a la de la reacción directa y la reacción convertirá algunos de los productos en exceso de nuevo en reactivos hasta que el sistema alcance el equilibrio.

Podemos determinar la dirección en la que una reacción tiene que desplazarse para alcanzar el equilibrio calculando la cociente de reacción (QC) para la reacción. El cociente de reacción se define como el producto de las concentraciones de los productos de la reacción dividido por el producto de la concentración de los reactivos en cualquier momento.

Para ilustrar cómo se usa el cociente de reacción, consideremos la siguiente reacción en fase gaseosa.

La expresión de la constante de equilibrio para esta reacción se escribe de la siguiente manera.

Por analogía, podemos escribir la expresión del cociente de reacción de la siguiente manera.

QC puede tomar cualquier valor entre cero e infinito. Si el sistema contiene una gran cantidad de HI y muy poco H2 y yo2, el cociente de reacción es muy grande. Si el sistema contiene relativamente poco HI y una gran cantidad de H2 y yo2, el cociente de reacción es muy pequeño.

En cualquier momento, hay tres posibilidades.

1. QC es más pequeña que KC. El sistema contiene demasiado reactivo y no hay suficiente producto para estar en equilibrio. El valor de QC debe aumentar para que la reacción alcance el equilibrio. Por tanto, la reacción tiene que convertir algunos de los reactivos en productos para llegar al equilibrio.

2. QC es igual a KC. Si esto es cierto, entonces la reacción está en equilibrio.

3. QC Es mas grande que KC. El sistema contiene demasiado producto y no hay suficiente reactivo para estar en equilibrio. El valor de QC debe hacerse más pequeño antes de que la reacción pueda llegar al equilibrio. Por tanto, la reacción debe convertir algunos de los productos en reactivos para alcanzar el equilibrio.

Suponga que las concentraciones de H2, I2, y el HI se puede medir para la siguiente reacción en cualquier momento.

Para cada uno de los siguientes conjuntos de concentraciones, determine si la reacción está en equilibrio. Si no es así, decida en qué dirección debe ir para alcanzar el equilibrio.

El tamaño relativo de QC y KC porque una reacción nos dice si la reacción está en equilibrio en algún momento en el tiempo. Si no es así, el tamaño relativo de QC y KC díganos en qué dirección debe desplazarse la reacción para alcanzar el equilibrio. Ahora necesitamos una forma de predecir qué tan lejos debe llegar la reacción para alcanzar el equilibrio. Suponga que se enfrenta al siguiente problema.

La constante de equilibrio para esta reacción es 0.030 a 250 o C.Suponiendo que la concentración inicial de PCl5 es 0.100 moles por litro y no hay PCl3 o Cl2 en el sistema cuando empezamos, calculemos las concentraciones de PCl5, PCl3y Cl2 en equilibrio.

El primer paso para resolver este problema implica organizar la información para que proporcione pistas sobre cómo proceder. El problema contiene cuatro partes de información: (1) una ecuación balanceada, (2) una constante de equilibrio para la reacción, (3) una descripción de las condiciones iniciales y (4) una indicación del objetivo del cálculo de las concentraciones de equilibrio de los tres componentes de la reacción.

El siguiente formato ofrece una forma útil de resumir esta información.

Comenzamos con la ecuación balanceada y la constante de equilibrio para la reacción y luego agregamos lo que sabemos sobre las concentraciones inicial y de equilibrio de los diversos componentes de la reacción. Inicialmente, el matraz contiene 0.100 moles por litro de PCl5 y sin PCl3 o Cl2. Nuestro objetivo es calcular las concentraciones de equilibrio de estas tres sustancias.

Antes de hacer cualquier otra cosa, tenemos que decidir si la reacción está en equilibrio. Podemos hacer esto comparando el cociente de reacción para las condiciones iniciales con la constante de equilibrio para la reacción.

Aunque la constante de equilibrio es pequeña (KC = 3.0 x 10 -2), el cociente de reacción es aún menor (QC = 0). La única forma de que esta reacción llegue al equilibrio es para algunos de los PCl5 descomponerse en PCl3 y Cl2.

Dado que la reacción no está en equilibrio, una cosa es segura que las concentraciones de PCl5, PCl3y Cl2 todo cambiará a medida que la reacción llegue al equilibrio. Debido a que la reacción tiene que desplazarse hacia la derecha para alcanzar el equilibrio, el PCl5 la concentración se hará más pequeña, mientras que el PCl3 y Cl2 la concentración se hará mayor.

A primera vista, este problema parece tener tres incógnitas: las concentraciones de equilibrio de PCl5, PCl3y Cl2. Debido a que es difícil resolver un problema en tres incógnitas, debemos buscar relaciones que puedan reducir la complejidad del problema. Una forma de lograr este objetivo es observar la relación entre los cambios que ocurren en las concentraciones de PCl5, PCl3y Cl2 a medida que la reacción se acerca al equilibrio.

Calcule el aumento en el PCl3 y Cl2 concentraciones que ocurren cuando la siguiente reacción llega al equilibrio si la concentración de PCl5 disminuye en 0,042 moles por litro.

Existe una relación simple entre el cambio en las concentraciones de los tres componentes de la reacción cuando llega al equilibrio debido a la estequiometría de la reacción.

Sería útil tener un símbolo para representar el cambio que se produce en la concentración de uno de los componentes de una reacción a medida que pasa de las condiciones iniciales al equilibrio. A función estatal es una propiedad de un sistema cuyo valor solo depende del estado del sistema. El cambio en el valor de una función de estado se define mediante la siguiente ecuación.

Podemos extender este argumento a las discusiones sobre reacciones químicas que llegan al equilibrio definiendo (X) como la magnitud del cambio que se produce en la concentración de X a medida que la reacción llega al equilibrio. Podemos definir (PCl5), por ejemplo, como la magnitud del cambio en la concentración de PCl5 que ocurre cuando este compuesto se descompone para formar PCl3 y Cl2.

(PCl5) = (PCl5) - [PCl5]
PCl5 consumado
como la reacción
viene a
equilibrio
inicial
concentración
concentración
a
equilibrio

Reordenando esta ecuación, encontramos que la concentración de PCl5 en equilibrio es igual a la concentración inicial de PCl5 menos la cantidad de PCl5 consumido cuando la reacción llega al equilibrio.

[PCl5] = (PCl5) - (PCl5)
concentración
a
equilibrio
inicial
concentración
PCl5 consumado
como la reacción
viene a
equilibrio

Entonces podemos definir (PCl3) y (Cl2) como los cambios que ocurren en el PCl3 y Cl2 concentraciones a medida que la reacción llega al equilibrio. Las concentraciones de estas dos sustancias en equilibrio serán mayores que sus concentraciones iniciales.

La magnitud de los cambios en las concentraciones de estas tres sustancias a medida que la reacción llega al equilibrio sería la misma.Debido a la estequiometría 1: 1: 1 de la reacción, la magnitud del cambio en la concentración de PCl5 a medida que la reacción llega al equilibrio es igual a la magnitud del cambio en las concentraciones de PCl3 y Cl2.

Por tanto, podemos reescribir las ecuaciones que definen las concentraciones de equilibrio de PCl5, PCl3y Cl2 en términos de un solo desconocido: C.

Sustituyendo lo que sabemos sobre las concentraciones iniciales de PCl5, PCl3y Cl2 en estas ecuaciones da el siguiente resultado.

Ahora podemos resumir lo que sabemos sobre esta reacción de la siguiente manera.

Ahora solo tenemos una C desconocida y solo necesitamos una ecuación para resolver una desconocida. La ecuación obvia a la que recurrir es la expresión constante de equilibrio para esta reacción.

Sustituyendo lo que sabemos sobre las concentraciones de equilibrio de PCl5, PCl3y Cl2 en esta ecuación da el siguiente resultado.

Esta ecuación se puede expandir y luego reorganizar para dar una ecuación cuadrática

que se puede resolver con la fórmula cuadrática.

Aunque dos respuestas salen de este cálculo, solo la raíz positiva tiene algún sentido físico, porque no podemos tener una concentración negativa. Por tanto, la magnitud del cambio en las concentraciones de PCl5, PCl3y Cl2 cuando esta reacción llega al equilibrio es de 0.042 moles por litro.

Reemplazando este valor de nuevamente en las ecuaciones que definen las concentraciones de equilibrio de PCl5, PCl3y Cl2 da los siguientes resultados.

En otras palabras, algo menos de la mitad de la PCl5 presente inicialmente se descompone en PCl3 y Cl2 cuando esta reacción llega al equilibrio.

Para comprobar si los resultados de este cálculo representan valores legítimos para las concentraciones de equilibrio de los tres componentes de esta reacción, podemos sustituir estos valores en la expresión constante de equilibrio.

Estos resultados deben ser legítimos porque la constante de equilibrio calculada a partir de estas concentraciones es igual al valor de KC dado en el problema, dentro del error experimental.

Suponga las siguientes concentraciones iniciales: (PCl5) = 0.100 METRO y (Cl2) = 0.020 METRO. Calcule las concentraciones de equilibrio de PCl5, PCl3y Cl2 si la constante de equilibrio para la descomposición de PCl5 es 0.030.

Suponga que se le pide que resuelva un problema un poco difícil.

El primer paso en este problema implica construir una representación de la información en el problema.

Luego comparamos el cociente de reacción para las condiciones iniciales con la constante de equilibrio para la reacción.

Debido a que las concentraciones iniciales de SO2 y O2 son cero, la reacción tiene que desplazarse hacia la derecha para alcanzar el equilibrio. Como era de esperar, algunos de los SO3 tiene que descomponerse en SO2 y O2.

La estequiometría de esta reacción es más compleja que la reacción de la sección anterior, pero los cambios en las concentraciones de los tres componentes de la reacción todavía están relacionados. Por cada dos moles de SO3 que se descomponen obtenemos dos moles de SO2 y un mol de O2, como se muestra en la figura siguiente. Podemos incorporar esta relación en el formato que usamos anteriormente usando la ecuación balanceada para la reacción como guía.

Los signos de los términos C en este problema están determinados por el hecho de que la reacción tiene que desplazarse de izquierda a derecha para alcanzar el equilibrio. Los coeficientes en los términos C reflejan los coeficientes en la ecuación balanceada para la reacción. Porque el doble de moles de SO2 se producen como moles de O2, el cambio en la concentración de SO2 a medida que la reacción llega al equilibrio debe ser dos veces mayor que el cambio en la concentración de O2. Porque dos moles de SO3 se consumen por cada mol de O2 producido, el cambio en el SO3 La concentración debe ser dos veces mayor que el cambio en la concentración de O2.

2 ASÍ3(gramo) 2 ASÍ2(gramo) + O2(gramo) KC = 1,6 x 10 -10
Inicial: 0.100 METRO 0 0
Cambiar: -2 C +2 C + C
Equilibrio: 0,100 - 2 C 2 C C

Sustituyendo lo que sabemos sobre el problema en la expresión constante de equilibrio de la reacción, se obtiene la siguiente ecuación.

Esta ecuación es un poco más difícil de expandir, pero se puede reorganizar para dar la siguiente ecuación cúbica.

4 C 3 - 6,4 x 10-10 C 2 + 6,4 x 10-11 C - 1,6 x 10-12 = 0

Sin embargo, resolver ecuaciones cúbicas es difícil. Por tanto, este problema es un ejemplo de una familia de problemas que son difíciles, si no imposibles, de resolver con exactitud. Estos problemas se resuelven con una estrategia general que consiste en hacer un supuesto o aproximación que los convierte en problemas más simples. Las siguientes reglas generales guiarán nuestra discusión sobre métodos de aproximación.

1. No hay nada de malo en hacer una suposición.

2. Hay dos pecados capitales:

(a) Olvidar las suposiciones que se hicieron.

(b) Olvidar comprobar si los supuestos son válidos.

¿Qué suposición se puede hacer para simplificar este problema? Volvamos a lo primero que hicimos después de construir una representación del problema. Comenzamos nuestro cálculo comparando el cociente de reacción para las concentraciones iniciales con la constante de equilibrio para la reacción.

Luego concluimos que el cociente de reacción (QC = 0) fue menor que la constante de equilibrio (KC = 1,6 x 10-10) y decidió que algunos de los SO3 tendría que descomponerse para que esta reacción llegue al equilibrio.

Pero, ¿qué pasa con los tamaños relativos del cociente de reacción y la constante de equilibrio de la reacción? Los valores iniciales de QC y KC son relativamente pequeñas, lo que significa que las condiciones iniciales están razonablemente cerca del equilibrio, como se muestra en la figura siguiente. Como resultado, la reacción no tiene que ir muy lejos para alcanzar el equilibrio. Por tanto, es razonable suponer que C es relativamente pequeño en este problema.

Es esencial comprender la naturaleza de la suposición que se hace. No asumimos que C es cero. Si hiciéramos eso, ¡todas las incógnitas desaparecerían de la ecuación! Solo asumimos que C es pequeño. Tan pequeño en comparación con la concentración inicial de SO3 que no hace una diferencia significativa cuando se resta 2 C de este número. Podemos escribir esta suposición de la siguiente manera.

Regresemos ahora a la ecuación que estamos tratando de resolver.

Suponiendo que 2 C es mucho menor que 0.100, podemos reemplazar esta ecuación con la siguiente ecuación aproximada.

Expandir esto da una ecuación que es mucho más fácil de resolver.

Antes de que podamos ir más lejos, tenemos que verificar nuestra suposición de que 2 C es tan pequeño en comparación con 0.100 que no hace una diferencia significativa cuando se resta de este número. ¿Es válida esta suposición? ¿Es 2 C lo suficientemente pequeño en comparación con 0.100 para ser ignorado?

Sí, 2 C es un orden de magnitud menor que el error experimental involucrado en la medición de la concentración inicial de SO3.

Por tanto, podemos utilizar este valor aproximado de C para calcular las concentraciones de equilibrio de SO3, ASI QUE2y O2.

El equilibrio entre SO3 y mezclas de SO2 y O2 por lo tanto favorece fuertemente SO3, no tan2.

Podemos comprobar los resultados de nuestro cálculo sustituyendo estos resultados en la expresión constante de equilibrio de la reacción.

El valor de la constante de equilibrio que surge de este cálculo concuerda con el valor dado en el problema, dentro del error experimental. Nuestra suposición de que 2 C es insignificante en comparación con la concentración inicial de SO3 por lo tanto, es válido y podemos confiar en las respuestas que proporciona.

No había dudas sobre la validez del supuesto de que C era pequeño en comparación con la concentración inicial de SO.3 en la sección anterior. El valor de C era tan pequeño que 2 C era un orden de magnitud menor que el error experimental involucrado en la medición de la concentración inicial de SO.3.

En general, podemos tener una idea de si C podría ser lo suficientemente pequeño como para ser ignorado comparando el cociente de reacción inicial con la constante de equilibrio de la reacción. Si QC y KC son mucho más pequeños que 1, o mucho más grandes que 1, la reacción no tiene mucho que recorrer para alcanzar el equilibrio, y la suposición de que C es lo suficientemente pequeña como para ser ignorada probablemente sea legítima.

Esto plantea una pregunta interesante: ¿Cómo decidimos si es válido asumir que es lo suficientemente pequeño como para ser ignorado? La respuesta a esta pregunta depende de cuánto error estemos dispuestos a dejar en nuestro cálculo antes de que ya no confiemos en los resultados. Como regla general, los químicos suponen típicamente que C es insignificantemente pequeño siempre que lo que se agrega o se resta de las concentraciones iniciales de los reactivos o productos sea menos del 5% de la concentración inicial. La mejor manera de decidir si la suposición cumple con esta regla de oro en un cálculo en particular es probarla y ver si funciona.

El amoníaco se obtiene a partir de nitrógeno e hidrógeno mediante la siguiente reacción reversible.

Suponga que la concentración inicial de N2 es de 0.050 moles por litro y la concentración inicial de H2 es 0.100 moles por litro. Calcule las concentraciones de equilibrio de los tres componentes de esta reacción a 500 o C si la constante de equilibrio para la reacción a esta temperatura es 0.040.

Es fácil imaginar un problema en el que la suposición de que C es pequeña en comparación con las concentraciones iniciales no puede ser válida. Todo lo que tenemos que hacer es construir un problema en el que haya una gran diferencia entre los valores de QC para las concentraciones iniciales y KC para la reacción en equilibrio. Considere el siguiente problema, por ejemplo.

La constante de equilibrio para esta reacción es 3 x 10 6 a 200 o C.Suponga concentraciones iniciales de 0.100. METRO para NO y 0.050 METRO para O2. Calculemos las concentraciones de los tres componentes de esta reacción en equilibrio.

Comenzamos, una vez más, representando la información en el problema de la siguiente manera.

El primer paso es siempre el mismo: compare el valor inicial del cociente de reacción con la constante de equilibrio.

La relación entre el cociente de reacción inicial (QC = 0) y la constante de equilibrio (KC = 3 x 10 6) nos dice algo que quizás ya hayamos sospechado, la reacción debe desplazarse hacia la derecha para alcanzar el equilibrio.

Algunos podrían preguntar: "¿Por qué calcular el valor inicial del cociente de reacción para esta reacción? ¿No es obvio que la reacción tiene que desplazarse hacia la derecha para producir al menos algo de NO?2? - Sí, lo es. Pero calculando el valor de QC porque la reacción hace más que decirnos en qué dirección debe desplazarse para alcanzar el equilibrio. También nos da una indicación de hasta dónde debe llegar la reacción para alcanzar el equilibrio.

En este caso, QC es mucho más pequeño que KC para la reacción tenemos que concluir que las condiciones iniciales están muy lejos del equilibrio. Por tanto, sería un error asumir que es pequeño.

No podemos suponer que es insignificante en este problema, pero podemos redefinir el problema para que esta suposición sea válida. La clave para lograr este objetivo es recordar las condiciones bajo las cuales podemos asumir que es lo suficientemente pequeño como para ser ignorado. Esta suposición solo es válida cuando QC es del mismo orden de magnitud que KC. (Cuándo QC y KC son mucho más grandes que 1 o mucho más pequeños que 1.) Podemos resolver problemas para los cuales QC no está cerca de KC redefiniendo las condiciones iniciales para que QC se acerca a KC (ver figura a continuación).

Para mostrar cómo se puede hacer esto, volvamos al problema que se presenta en esta sección.

La constante de equilibrio para la reacción entre NO y O2 para formar NO2 es mucho mayor que 1 (KC = 3 x 10 6). Esto significa que el equilibrio favorece los productos de la reacción. La mejor manera de manejar este problema es llevar la reacción lo más lejos posible hacia la derecha y luego dejar que vuelva al equilibrio. Por lo tanto, definamos un conjunto intermedio de condiciones que correspondan a lo que sucedería si empujamos la reacción lo más posible hacia la derecha.

Podemos ver a dónde nos lleva esto calculando el cociente de reacción para las condiciones intermedias.

El cociente de reacción es ahora mayor que la constante de equilibrio y la reacción tiene que desplazarse hacia la izquierda para alcanzar el equilibrio. Algunos de los NO2 ahora debe descomponerse para formar NO y O2La relación entre los cambios en las concentraciones de los tres componentes de esta reacción está determinada por la estequiometría de la reacción, como se muestra en la figura siguiente.

2 NO (gramo) + O2(gramo) 2 NO2(gramo) KC = 3 x 10 6
Intermedio: 0 0 0.100 METRO
Cambiar: +2 C + C -2 C
Equilibrio: 2 C C 0,100 - 2 C

Ahora sustituimos lo que sabemos sobre la reacción en la expresión constante de equilibrio.

Debido a que el cociente de reacción para las condiciones intermedias y la constante de equilibrio son relativamente grandes, podemos suponer que la reacción no tiene mucho que recorrer para alcanzar el equilibrio. En otras palabras, asumimos que 2 C es pequeño en comparación con la concentración intermedia de NO2 y obtenga la siguiente ecuación aproximada.

Luego resolvemos esta ecuación para un valor aproximado de C.

Ahora verificamos nuestra suposición de que 2 C es lo suficientemente pequeño en comparación con la concentración intermedia de NO2 para ser ignorado.

El valor de 2C es inferior al 2% de la concentración intermedia de NO2, lo que significa que se puede ignorar legítimamente en este cálculo.

Dado que la aproximación es válida, podemos usar el nuevo valor de para calcular las concentraciones de equilibrio de NO, NO2y O2.

Los resultados de este cálculo proporcionan información sobre la química de los contaminantes formados por un motor de combustión interna. Cuando se quema una mezcla de gasolina y aire, el N2 y O2 en el aire reaccionan para formar NO, que luego puede reaccionar con el oxígeno para formar NO2.

Aunque el producto de estas reacciones a menudo se describe como NOX para indicar que es una mezcla de NO y NO2 este cálculo sugiere que el producto dominante de la reacción sería NO2, si esta reacción llega al equilibrio.

Podemos verificar nuestros cálculos sustituyendo estas concentraciones nuevamente en la expresión constante de equilibrio.

Una vez más, podemos aceptar la validez del supuesto que tuvimos que hacer para obtener estas concentraciones de equilibrio porque el valor de la constante de equilibrio que surge de este cálculo concuerda con el valor de KC dado en el problema, dentro del error experimental.

En general, la suposición de que C es pequeña en comparación con las concentraciones iniciales de los reactivos o productos funciona mejor en las siguientes condiciones.

1. Cuando KC & lt & lt 1 y nos acercamos al equilibrio de izquierda a derecha. (Comenzamos con un exceso de reactivos y formamos algunos productos).

2. Cuando KC & gt & gt 1 y nos acercamos al equilibrio de derecha a izquierda. (Comenzamos con un exceso de productos y formamos algunos reactivos).

Los químicos suelen estudiar los equilibrios en fase gaseosa siguiendo las presiones parciales de los gases en la reacción. Podemos entender por qué esto es posible reordenando la ecuación del gas ideal para dar la siguiente relación entre la presión de un gas y su concentración en moles por litro.

Por tanto, podemos caracterizar la siguiente reacción

con una constante de equilibrio definida en términos de unidades de concentración

o una constante de equilibrio definida en términos de presiones parciales.

¿Cuál es la relación entre Kpag y KC para una reacción en fase gaseosa? De acuerdo con la versión reordenada de la ecuación del gas ideal, la presión de un gas es igual a la concentración del gas por el producto de la constante del gas ideal y la temperatura en unidades de kelvin.

Por tanto, podemos calcular el valor de Kpag para una reacción multiplicando cada uno de los términos en el KC expresión por RT.

La recopilación de términos en este ejemplo da el siguiente resultado.

En general, el valor de Kpag para una reacción se puede calcular a partir de KC con la siguiente ecuación.

En esta ecuación, norte es la diferencia entre el número de moles de productos y el número de moles de reactivos en la ecuación balanceada.

Calcule el valor de Kpag para la siguiente reacción a 500 o C si el valor de KC para la reacción a esta temperatura es 0.040.

Las técnicas para resolver problemas usando Kpag Las expresiones son las mismas que las descritas para KC problemas, excepto que se utilizan presiones parciales en lugar de concentraciones para representar las cantidades de materias primas y productos que están presentes tanto inicialmente como en equilibrio.

Si la constante de equilibrio es realmente constante, ¿por qué tenemos que preocuparnos por la temperatura de la reacción?

La respuesta es simple. Ambas cosas KC y Kpag para una reacción son constantes a una temperatura dada, pero pueden cambiar con la temperatura. Considere el equilibrio entre NO2 y su dímero, N2O4, por ejemplo.

La siguiente figura muestra el efecto de la temperatura en este equilibrio. Cuando enfriamos un tubo sellado que contiene NO2 en un baño de hielo seco / acetona a -78 o C, la intensidad del color marrón del NO2 el gas disminuye significativamente. Si calentamos el tubo en un baño de agua caliente, el color marrón se vuelve más intenso que a temperatura ambiente.

La constante de equilibrio para esta reacción cambia con la temperatura, como se muestra en la tabla siguiente. A bajas temperaturas, el equilibrio favorece al dímero, N2O4. A altas temperaturas, el equilibrio favorece al NO2. El hecho de que las constantes de equilibrio sean dependientes de la temperatura explica por qué puede encontrar diferentes valores para la constante de equilibrio para la misma reacción química.


La nueva teoría cuántica podría explicar el flujo del tiempo

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El café se enfría, los edificios se desmoronan, los huevos se rompen y las estrellas se desvanecen en un universo que parece destinado a degradarse a un estado de monotonía uniforme conocido como equilibrio térmico. El astrónomo y filósofo Sir Arthur Eddington en 1927 citó la dispersión gradual de la energía como evidencia de una "flecha del tiempo" irreversible.

Pero para desconcierto de generaciones de físicos, la flecha del tiempo no parece seguir las leyes subyacentes de la física, que funcionan de la misma manera avanzando en el tiempo que al revés. Según esas leyes, parecía que si alguien conociera los caminos de todas las partículas en el universo y las volteara, la energía se acumularía en lugar de dispersarse: el café tibio se calentaría espontáneamente, los edificios se levantarían de sus escombros y la luz del sol volvería a entrar. el sol.

Historia original reimpresa con permiso de Noticias de ciencia de Simons, una división editorialmente independiente de SimonsFoundation.org cuya misión es mejorar la comprensión pública de la ciencia al cubrir los desarrollos de investigación y las tendencias en matemáticas y ciencias físicas y de la vida."En física clásica, estábamos luchando", dijo Sandu Popescu, profesor de física en la Universidad de Bristol en el Reino Unido. “Si supiera más, ¿podría revertir el evento, juntar todas las moléculas del huevo que se rompió? ¿Por qué soy relevante? "

Seguramente, dijo, la flecha del tiempo no está dirigida por la ignorancia humana. Y, sin embargo, desde el nacimiento de la termodinámica en la década de 1850, el único enfoque conocido para calcular la propagación de la energía fue formular distribuciones estadísticas de las trayectorias desconocidas de las partículas y demostrar que, con el tiempo, la ignorancia borró las cosas.

Ahora, los físicos están desenmascarando una fuente más fundamental para la flecha del tiempo: la energía se dispersa y los objetos se equilibran, dicen, debido a la forma en que las partículas elementales se entrelazan cuando interactúan, un efecto extraño llamado "entrelazamiento cuántico".

"Finalmente, podemos entender por qué una taza de café se equilibra en una habitación", dijo Tony Short, físico cuántico de Bristol. "El enredo se acumula entre el estado de la taza de café y el estado de la habitación".

Popescu, Short y sus colegas Noah Linden y Andreas Winter informaron del descubrimiento en la revista Physical Review E en 2009, argumentando que los objetos alcanzan el equilibrio, o un estado de distribución uniforme de energía, dentro de una cantidad infinita de tiempo al enredarse mecánicamente cuánticamente con sus alrededores. Resultados similares de Peter Reimann de la Universidad de Bielefeld en Alemania aparecieron varios meses antes en Physical Review Letters. Short y un colaborador reforzaron el argumento en 2012 al mostrar que el entrelazamiento provoca el equilibrio en un tiempo finito. Y, en un trabajo que se publicó en el sitio científico de preimpresión arXiv.org en febrero, dos grupos separados dieron el siguiente paso, calculando que la mayoría de los sistemas físicos se equilibran rápidamente, en escalas de tiempo proporcionales a su tamaño. "Para demostrar que es relevante para nuestro mundo físico real, los procesos tienen que estar sucediendo en escalas de tiempo razonables", dijo Short.

Un artículo decisivo de Noah Linden, izquierda, Sandu Popescu, Tony Short y Andreas Winter (no en la foto) en 2009 mostró que el entrelazamiento hace que los objetos evolucionen hacia el equilibrio. La generalidad de la prueba es "extraordinariamente sorprendente", dice Popescu. "El hecho de que un sistema alcance el equilibrio es universal". El artículo desencadenó una mayor investigación sobre el papel del entrelazamiento en la dirección de la flecha del tiempo.

Foto: Cortesía de Tony Short

La tendencia del café, y de todo lo demás, a alcanzar el equilibrio es "muy intuitiva", dijo Nicolas Brunner, físico cuántico de la Universidad de Ginebra. "Pero cuando se trata de explicar por qué sucede, esta es la primera vez que se deriva sobre bases firmes al considerar una teoría microscópica".

Si la nueva línea de investigación es correcta, entonces la historia de la flecha del tiempo comienza con la idea de la mecánica cuántica de que, en el fondo, la naturaleza es inherentemente incierta. Una partícula elemental carece de propiedades físicas definidas y se define solo por las probabilidades de estar en varios estados. Por ejemplo, en un momento particular, una partícula podría tener un 50 por ciento de probabilidad de girar en el sentido de las agujas del reloj y un 50 por ciento de probabilidades de girar en el sentido contrario a las agujas del reloj. Un teorema probado experimentalmente por el físico norirlandés John Bell dice que no existe un estado "verdadero" de la partícula, las probabilidades son la única realidad que se le puede atribuir.

La incertidumbre cuántica da lugar entonces al entrelazamiento, la supuesta fuente de la flecha del tiempo.

Cuando dos partículas interactúan, ya ni siquiera pueden describirse por sus propias probabilidades de evolución independiente, llamadas "estados puros". En cambio, se convierten en componentes entrelazados de una distribución de probabilidad más complicada que describe ambas partículas juntas. Podría dictar, por ejemplo, que las partículas giren en direcciones opuestas. El sistema en su conjunto está en un estado puro, pero el estado de cada partícula individual está "mezclado" con el de su conocido. Los dos podrían viajar a años luz de distancia, y el giro de cada uno permanecería correlacionado con el del otro, una característica que Albert Einstein describió como "acción espeluznante a distancia".

"El entrelazamiento es en cierto sentido la esencia de la mecánica cuántica", o las leyes que gobiernan las interacciones en la escala subatómica, dijo Brunner. El fenómeno subyace a la computación cuántica, la criptografía cuántica y la teletransportación cuántica.

La idea de que el entrelazamiento podría explicar la flecha del tiempo se le ocurrió por primera vez a Seth Lloyd hace unos 30 años, cuando era un estudiante graduado de filosofía de 23 años en la Universidad de Cambridge con un título en física de Harvard. Lloyd se dio cuenta de que la incertidumbre cuántica, y la forma en que se propaga a medida que las partículas se entrelazan cada vez más, podría reemplazar la incertidumbre humana en las antiguas pruebas clásicas como la verdadera fuente de la flecha del tiempo.

A Seth Lloyd, ahora profesor del MIT, se le ocurrió la idea de que el enredo podría explicar la flecha del tiempo mientras estaba en la escuela de posgrado en la Universidad de Cambridge en la década de 1980.

Foto: Cortesía de Seth Lloyd

Utilizando un enfoque oscuro de la mecánica cuántica que trataba las unidades de información como sus bloques de construcción básicos, Lloyd pasó varios años estudiando la evolución de las partículas en términos de mezclar unos y ceros. Descubrió que a medida que las partículas se entrelazaban cada vez más entre sí, la información que las describía originalmente (un "1" para girar en el sentido de las agujas del reloj y un "0" para el giro en sentido antihorario, por ejemplo) cambiaría para describir el sistema de partículas entrelazadas como un todo. . Era como si las partículas perdieran gradualmente su autonomía individual y se convirtieran en peones del estado colectivo. Finalmente, las correlaciones contenían toda la información y las partículas individuales no contenían ninguna. En ese momento, descubrió Lloyd, las partículas llegaron a un estado de equilibrio y sus estados dejaron de cambiar, como el café que se enfrió a temperatura ambiente.

"Lo que realmente está sucediendo es que las cosas se están correlacionando cada vez más entre sí", recuerda Lloyd que se dio cuenta. "La flecha del tiempo es una flecha de correlaciones crecientes".

La idea, presentada en su tesis doctoral de 1988, cayó en oídos sordos. Cuando lo envió a una revista, le dijeron que "no había física en este artículo". La teoría de la información cuántica "era profundamente impopular" en ese momento, dijo Lloyd, y las preguntas sobre la flecha del tiempo "eran para chiflados y premios Nobel que se han vuelto blandos". recuerda que le dijo un físico.

"Estuve muy cerca de conducir un taxi", dijo Lloyd.

Desde entonces, los avances en la computación cuántica han convertido la teoría de la información cuántica en una de las ramas más activas de la física. Lloyd es ahora profesor en el Instituto de Tecnología de Massachusetts, reconocido como uno de los fundadores de la disciplina, y su idea pasada por alto ha resurgido con más fuerza en manos de los físicos de Bristol. Las pruebas más recientes son más generales, dicen los investigadores, y son válidas para prácticamente cualquier sistema cuántico.

“Cuando Lloyd propuso la idea en su tesis, el mundo no estaba listo”, dijo Renato Renner, director del Instituto de Física Teórica de ETH Zurich. “Nadie lo entendió. A veces hay que tener la idea en el momento adecuado ".

A medida que una taza de café caliente se equilibra con el aire circundante, las partículas de café (blancas) y las partículas de aire (marrones) interactúan y se convierten en mezclas entrelazadas de estados marrones y blancos. Después de algún tiempo, la mayoría de las partículas en el café se correlacionan con las partículas de aire, el café ha alcanzado el equilibrio térmico.

En 2009, la prueba del grupo de Bristol resonó entre los teóricos de la información cuántica, abriendo nuevos usos para sus técnicas. Mostró que a medida que los objetos interactúan con su entorno, como las partículas en una taza de café chocan con el aire, por ejemplo, la información sobre sus propiedades “se filtra y se esparce por todo el entorno”, explicó Popescu. Esta pérdida de información local hace que el estado del café se estanque incluso cuando el estado puro de toda la sala continúa evolucionando. Excepto por fluctuaciones raras y aleatorias, dijo, "su estado deja de cambiar con el tiempo".

En consecuencia, una taza de café tibia no se calienta espontáneamente. En principio, a medida que evoluciona el estado puro de la habitación, el café podría desmezclarse repentinamente del aire y entrar en un estado puro propio. Pero hay tantos más estados mixtos que estados puros disponibles para el café que esto prácticamente nunca sucede; uno tendría que sobrevivir al universo para presenciarlo. Esta improbabilidad estadística le da a la flecha del tiempo la apariencia de irreversibilidad. “Esencialmente, el enredo abre un espacio muy grande para ti”, dijo Popescu. “Es como si estuvieras en el parque y comienzas junto a la puerta, lejos del equilibrio. Luego entras y tienes este enorme lugar y te pierdes en él. Y nunca vuelves a la puerta ".

En la nueva historia de la flecha del tiempo, es la pérdida de información a través del entrelazamiento cuántico, más que una falta subjetiva de conocimiento humano, lo que lleva a una taza de café al equilibrio con la habitación circundante. La habitación finalmente se equilibra con el entorno exterior, y el entorno se desplaza aún más lentamente hacia el equilibrio con el resto del universo. Los gigantes de la termodinámica del siglo XIX vieron este proceso como una dispersión gradual de energía que aumenta la entropía o desorden general del universo. Hoy, Lloyd, Popescu y otros en su campo ven la flecha del tiempo de manera diferente. En su opinión, la información se vuelve cada vez más difusa, pero nunca desaparece por completo. Entonces, afirman, aunque la entropía aumenta localmente, la entropía general del universo permanece constante en cero.

"El universo en su conjunto está en un estado puro", dijo Lloyd. "Pero las piezas individuales de él, debido a que están entrelazadas con el resto del universo, están en mezclas".

Un aspecto de la flecha del tiempo sigue sin resolverse. “No hay nada en estos trabajos que diga por qué empezaste en la puerta”, dijo Popescu, refiriéndose a la analogía del parque. "En otras palabras, no explican por qué el estado inicial del universo estaba lejos del equilibrio". Dijo que esta es una pregunta sobre la naturaleza del Big Bang.

A pesar del progreso reciente en el cálculo de escalas de tiempo de equilibrio, el nuevo enfoque aún tiene que avanzar como herramienta para analizar las propiedades termodinámicas de cosas específicas, como el café, el vidrio o estados exóticos de la materia. (Varios termodinámicos tradicionales informaron que eran vagamente conscientes del nuevo enfoque). “La cuestión es encontrar los criterios para determinar qué cosas se comportan como el vidrio de una ventana y qué cosas se comportan como una taza de té”, dijo Renner. "Vería los nuevos documentos como un paso en esta dirección, pero queda mucho por hacer".

Algunos investigadores expresaron dudas de que este enfoque abstracto de la termodinámica esté a la altura de la tarea de abordar el "meollo de la cuestión de cómo se comportan los observables específicos", como dijo Lloyd. Pero el avance conceptual y el nuevo formalismo matemático ya están ayudando a los investigadores a abordar cuestiones teóricas sobre la termodinámica, como los límites fundamentales de las computadoras cuánticas e incluso el destino final del universo.

"Hemos estado pensando cada vez más en lo que podemos hacer con las máquinas cuánticas", dijo Paul Skrzypczyk del Instituto de Ciencias Fotónicas de Barcelona. “Dado que un sistema aún no está en equilibrio, queremos sacarle provecho. ¿Cuánto trabajo útil podemos extraer? ¿Cómo puedo intervenir para hacer algo interesante? "

Sean Carroll, cosmólogo teórico del Instituto de Tecnología de California, está empleando el nuevo formalismo en su último trabajo sobre la flecha del tiempo en cosmología. "Estoy interesado en el destino a ultra largo plazo de los espacio-tiempos cosmológicos", dijo Carroll, autor de "From Eternity to Here: The Quest for the Ultimate Theory of Time". "Esa es una situación en la que realmente no conocemos todas las leyes relevantes de la física, por lo que tiene sentido pensar en un nivel muy abstracto, razón por la cual encontré útil este tratamiento básico de la mecánica cuántica".

Veintiséis años después de que la gran idea de Lloyd sobre la flecha del tiempo fracasara, le complace presenciar su ascenso y ha estado aplicando las ideas de un trabajo reciente sobre la paradoja de la información de los agujeros negros. "Creo que ahora el consenso sería que hay física en esto", dijo.

Por no hablar de un poco de filosofía.

Según los científicos, nuestra capacidad para recordar el pasado pero no el futuro, otra manifestación históricamente confusa de la flecha del tiempo, también puede entenderse como una acumulación de correlaciones entre partículas que interactúan. Cuando lees un mensaje en una hoja de papel, tu cerebro se correlaciona con él a través de los fotones que llegan a tus ojos. Solo a partir de ese momento serás capaz de recordar lo que dice el mensaje. Como dijo Lloyd: "El presente puede definirse por el proceso de correlacionarse con nuestro entorno".

El telón de fondo del crecimiento constante del entrelazamiento en todo el universo es, por supuesto, el tiempo mismo. Los físicos enfatizan que a pesar de los grandes avances en la comprensión de cómo ocurren los cambios en el tiempo, no han avanzado en descubrir la naturaleza del tiempo en sí o por qué parece diferente (tanto en la percepción como en las ecuaciones de la mecánica cuántica) que las tres dimensiones del espacio. Popescu llama a esto "una de las mayores incógnitas de la física".

"Podemos discutir el hecho de que hace una hora, nuestros cerebros estaban en un estado que se correlacionó con menos cosas", dijo. “Pero nuestra percepción de que el tiempo fluye, es un asunto completamente diferente. Lo más probable es que necesitemos una nueva revolución en la física que nos lo diga ".


Sistemas de ecuaciones diferenciales

6.7.0.1 Clasificación de puntos de equilibrio de un sistema no lineal

Sea (x 0, y 0) un punto de equilibrio del sistema (6.30) y sean λ 1 y λ 2 los valores propios de la matriz jacobiana (6.34) del sistema linealizado asociado alrededor del punto de equilibrio (x 0, y 0).

Si (x 0, y 0) se clasifica como un nodo impropio asintóticamente estable o inestable (porque los valores propios de J (x 0, y 0) son reales y distintos), un punto silla o una espiral asintóticamente estable o inestable en el sistema lineal asociado, (x 0, y 0) tiene la misma clasificación en el sistema no lineal.

Si (x 0, y 0) se clasifica como un centro en el sistema lineal asociado, (x 0, y 0) puede ser un centro, un punto espiral inestable o un punto espiral asintóticamente estable en el sistema no lineal, por lo que no podemos clasificar ( x 0, y 0) en esta situación (vea el ejercicio 28).

Si los valores propios de J (x 0, y 0) son reales e iguales, entonces (x 0, y 0) puede ser un nodo o un punto espiral en el sistema no lineal. Si λ 1 ⩽ λ 2 & lt 0, entonces (x 0, y 0) es asintóticamente estable. Si λ 1 ⩽ λ 2 & gt 0, entonces (x 0, y 0) es inestable.

Estos hallazgos se resumen en la Tabla 6.2.

Cuadro 6.2. Clasificación del punto de equilibrio en un sistema no lineal

Autovalores de J(X0,y0)GeometríaEstabilidad
λ1,λ2 verdadero λ1 & ampgt λ2 & ampgt 0Nodo inadecuadoInestable
λ1,λ2 verdadero λ1 = λ2 & ampgt 0Nodo o punto espiralInestable
λ1,λ2 verdadero λ2 & amplt λ1 & amplt 0Nodo inadecuadoAsintóticamente estable
λ1,λ2 verdadero λ1 = λ2 & amplt 0Nodo o punto espiralAsintóticamente estable
λ1,λ2 verdadero λ2 & amplt 0 & amplt λ1Punto de sillaInestable
λ1 = α + βi, λ2 = αβi, β ≠ 0, α & ampgt 0Punta espiralInestable
λ1 = α + βi, λ2 = αβi, β ≠ 0, α & amplt 0Punta espiralAsintóticamente estable
λ1 = βi, λ2 = −βi, β ≠ 0Punto central o espiralPoco concluyente

Ejemplo 6.39

Encuentre y clasifique los puntos de equilibrio de

Para (1, 1), obtenemos la matriz jacobiana J (1, 1) = (0 - 1 2 - 2) con valores propios que satisfacen | - λ - 1 2 - 2 - λ | = λ 2 + 2 λ + 2 = 0. Por tanto, λ 1, 2 = - 1 ± i. Debido a que estos valores propios tienen valores complejos con una parte real negativa, clasificamos (1, 1) como una espiral asintóticamente estable en el sistema linealizado asociado. Por lo tanto, (1, 1) es una espiral asintóticamente estable en el sistema no lineal.

Para (- 1, 1), obtenemos J (- 1, 1) = (0 - 1 - 2 - 2). En este caso, los valores propios son soluciones de | - λ - 1 - 2 - 2 - λ | = λ 2 + 2 λ - 2 = 0. Así, λ 1 = 1 2 (- 2 + 2 3) = - 1 + 3 & gt 0 y λ 2 = 1 2 (- 2 - 2 3) = - 1 - 3 & lt 0 entonces (- 1, 1) es un punto silla en el sistema linealizado asociado y esta clasificación se traslada al sistema no lineal. En la figura 6.20 A, graficamos las soluciones de este sistema no lineal aproximadas con el uso de un sistema de álgebra por computadora. Podemos ver cómo las soluciones se acercan y se alejan de los puntos de equilibrio al observar las flechas en los vectores en el campo de dirección. □

Figura 6.20. (A) (1,1) es una espiral estable y (−1,1) es una silla. (B) (0,0) es un nodo inestable, (0,5) es un nodo impropio asintóticamente estable, (7,0) es un nodo impropio asintóticamente estable y (3,2) es un punto silla.

Ejemplo 6.40

Encuentre y clasifique los puntos de equilibrio de

Solución: Los puntos de equilibrio de este sistema satisfacen y . Si x = 0, entonces y (5 - y) = 0 entonces y = 0 o y = 5, y obtenemos los puntos de equilibrio (0, 0) y (0, 5). Si y = 0, entonces x (7 - x) = 0, lo que indica que x = 0 o x = 7. Los puntos de equilibrio correspondientes son (0, 0) (que encontramos antes) y (7, 0). La otra posibilidad que conduce a un punto de equilibrio es la solución a <7 - x - 2 y = 0 5 - x - y = 0, que es x = 3 y y = 2, lo que da como resultado el punto de equilibrio (3, 2) .

La matriz jacobiana es J (x, y) = (7 - 2 x - 2 y - 2 x - y 5 - x - 2 y). Clasificamos cada uno de los puntos de equilibrio (x 0, y 0) del sistema linealizado asociado utilizando los valores propios de J (x 0, y 0):

J (0, 0) = (7 0 0 5) λ 1 = 7, λ 2 = 5 (0, 0) es un nodo inestable.

J (0, 5) = (- 3 0 - 5 - 5) λ 1 = - 3, λ 2 = - 5 (0, 5) es un nodo impropio asintóticamente estable.

J (7, 0) = (- 7 - 14 0 - 2) λ 1 = - 2, λ 2 = - 7 (7, 0) es un nodo impropio asintóticamente estable.

J (3, 2) = (- 3 - 6 - 2 - 2) λ 1 = 1, λ 2 = - 6 (3, 2) es un punto silla.

En cada caso, la clasificación se traslada al sistema no lineal. En la figura 6.20 B, graficamos varias soluciones aproximadas y el campo de dirección de este sistema no lineal mediante el uso de un sistema de álgebra por computadora. Observe el comportamiento cerca de cada punto de equilibrio. □

Ejemplo 6.41

Investigar la estabilidad del punto de equilibrio (0, 0) del sistema no lineal

Solución: Primero, encontramos la matriz jacobiana, J (x, y) = (3 2 x 2 + 1 2 y 2 1 + x y - 1 + x y 1 2 x 2 + 3 2 y 2). Entonces, en el punto de equilibrio (0, 0), tenemos J (0, 0) = (0 1 - 1 0), por lo que la aproximación lineal es

con valores propios λ 1, 2 = ± i. Por lo tanto, (0, 0) es un centro (estable) en el sistema linealizado. Sin embargo, cuando graficamos el campo de dirección para el sistema original (no lineal) en la figura 6.21 A, observamos que (0, 0) no es un centro. En cambio, las trayectorias parecen alejarse en espiral de (0, 0) (véase la figura 6.21 B), por lo que (0, 0) es un punto espiral inestable del sistema no lineal. Los términos no lineales no solo afectan la clasificación del punto de equilibrio sino que también cambian la estabilidad. Nota: Este es el único caso en el que no podemos asignar la misma clasificación al punto de equilibrio en el sistema no lineal que lo hacemos en el sistema lineal asociado. Cuando un punto de equilibrio es un centro en el sistema lineal asociado, entonces no podemos sacar ninguna conclusión sobre su clasificación en el sistema no lineal. □

Figura 6.21. (A) El campo de dirección indica que (0,0) es inestable. (B) Todas las trayectorias (no triviales) se alejan en espiral del origen. (C) Retrato de fase.