Artículos

9: Ecuaciones y funciones cuadráticas - Matemáticas


Miniatura: Gráfico de la función cuadrática. (Dominio público; N.Mori).


Ecuaciones cuadráticas

Este cuestionario de matemáticas se llama 'Ecuaciones cuadráticas' y ha sido escrito por profesores para ayudarte si estás estudiando la materia en la escuela secundaria. Jugar cuestionarios educativos es una forma fácil de aprender si estás en el noveno o décimo grado, de 14 a 16 años.

Cuesta solo $ 12.50 por mes para jugar este cuestionario y más de 3500 más que lo ayudarán con su trabajo escolar. Puede suscribirse en la página Únase a nosotros

Las expresiones cuadráticas son reconocibles porque tienen un término x 2 junto con (generalmente) un término x y un número. Las ecuaciones cuadráticas no se comportan como lineales; a veces ni siquiera tienen una solución, ¡pero en otras ocasiones pueden tener 2! Las curvas cuadráticas, llamadas parábolas, ocurren en la naturaleza y en situaciones de la vida real, por lo que es una buena idea conocer todas sus complejidades. ¡Vea qué tan bien le va en este cuestionario de matemáticas de la escuela secundaria!

Las cuadráticas son las primeras de una serie de funciones llamadas POLINOMIALES. Todos tienen potencias decrecientes de x, donde la potencia es siempre un número entero. Las gráficas de polinomios son todas curvas. La curva de una cuadrática se puede describir como en forma de U (o en forma de & # 8745 para x 2 negativo), lo que significa que su gradiente siempre está cambiando. Compare esto con el gráfico de línea recta, que tiene un gradiente fijo.

Debería poder realizar algunas técnicas diferentes con expresiones cuadráticas. Factorizar una cuadrática es el primer paso para resolver ecuaciones cuadráticas, ¡pero recuerde que no todas las cuadráticas se factorizarán! El "cuadrado perfecto" y la "diferencia de dos cuadrados" son dos casos especiales y debe aprender a reconocerlos.

Las raíces de una curva cuadrática, que es donde cruza el eje x, corresponden a las soluciones de la ecuación cuadrática.

Completar el cuadrado te permitirá identificar las coordenadas del punto de inflexión. Puede completar el cuadrado en cualquier expresión cuadrática, incluso si no cruza el eje x.

Para cuadráticas que parecen un poco complicadas, use la fórmula cuadrática. El discriminante le dará una indicación de la naturaleza de las raíces, que le dirá si existe una solución o no.


Prueba de Holt Algebra Chapter 9 & quotQuadratic Functions & amp Equations ”(c) - DOC & amp PDF

Este documento de creación con r cuadrado es una versión alternativa del examen del capítulo 9 de álgebra de Holt. Este documento de creación de r cuadrado evalúa lo que los estudiantes han aprendido durante todo el capítulo. Los materiales cubiertos en la evaluación están basados ​​en estándares (incluso ha publicado preguntas de prueba) y están alineados con el Capítulo 9 "Funciones cuadráticas y ecuaciones de amplificación" del libro de texto de Álgebra de Holt. Los conceptos cubiertos son cómo determinar si un punto está en un gráfico, si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo, dónde está el vértice, cómo encontrar el cero y el vértice de una función cuadrática, cómo graficar una función cuadrática, cómo resolver una ecuación cuadrática graficando, cómo resolver una ecuación cuadrática factorizando cuando en estándar forma, cómo resolver una ecuación cuadrática factorizando cuando no está en forma estándar, cómo resolver una ecuación cuadrática usando raíces cuadradas, cómo encontrar el discriminante y enunciar el número de soluciones a una ecuación cuadrática, cómo resolver una ecuación cuadrática por usando la fórmula cuadrática cuando está en forma estándar, y cómo resolver una ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática cuando no está en forma estándar.

Cubre los estándares de CA 2.0, 14.0, 19.0, 21.0 y 22.0.

El archivo zip contiene la prueba tanto en formato .doc como en .pdf. La prueba también se puede editar si desea realizar algún cambio (es posible que deba descargar MathType de forma gratuita).


Álgebra 1 Unidad 9: Ecuaciones y funciones cuadráticas

Esta unidad repasará y reforzará los conceptos clave de preálgebra en preparación para Álgebra 1.

  • Factorizar factores comunes
  • Factorizar trinomios, parte 1
  • Azulejos de álgebra (lección adicional opcional)
  • Factorizar trinomios, parte 2
  • Factorizar una diferencia de dos cuadrados
  • Factorizar polinomios especiales
  • La propiedad del producto cero
  • Aplicaciones de factorización

Este plan de estudios de unidad completo incluye.

  • Lecciones en video que enseñan cada concepto paso a paso de una manera que sea fácil de entender para los estudiantes
  • Notas guiadas que mantienen la atención de los estudiantes y los hacen responsables
  • Ejercicios de práctica diferenciados que desarrollan las habilidades y la confianza de los estudiantes
  • Revisiones guiadas de unidades que enseñan habilidades de estudio y mejoran los puntajes de las pruebas
  • Videos de revisión rápida que refuerzan cada concepto
  • Evaluaciones editables que acceden con precisión al nivel de comprensión de los estudiantes

Posiblemente la palabra más frustrante para cualquier maestro de matemáticas, o padre, para escuchar. Ha intentado y tratado de explicar los conceptos, pero simplemente no se conecta. Y no está seguro de qué hacer a continuación.

A veces, los estudiantes solo necesitan escuchar un concepto explicado una y otra vez antes de que se asimile. Otras veces, escuchar el tema explicado de una manera diferente será suficiente.

Con solo uno de ustedes y veinte de ellos, no es tan fácil. Pero cuando agrega videos de MathLight a la mezcla, de repente no es tan abrumador.

El experto profesor de matemáticas Rick Scarfi enseña cada concepto por video. Sus explicaciones han ayudado a cientos de estudiantes a comprender incluso los conceptos matemáticos más complejos. Y ahora verá a sus estudiantes experimentando esos momentos de bombilla también.

Cada unidad MathLight contiene videos de repaso rápido para cada lección que resumen rápidamente los conceptos principales y recuerdan a los estudiantes cómo resolver los problemas. Con un tiempo de reproducción promedio de 2 a 3 minutos, estos videos son tan versátiles que pronto los usará en todas partes. Y no nos sorprenderá demasiado si te enamoras de ellos.


Matemáticas de 9. ° a 11. ° grado - Funciones cuadráticas

Esta lección se enfoca en que los estudiantes tomen decisiones sobre qué herramientas aplicar para resolver diferentes problemas relacionados con expresiones y ecuaciones cuadráticas. También tiene la intención de crear conciencia sobre la forma que tomará una respuesta para ayudar a los estudiantes a entender el tipo de problema que están resolviendo.

En el momento de esta lección, los estudiantes se acercan al final de una unidad sobre cuadráticas en sus clases de Álgebra. En esa unidad, han desarrollado herramientas para factorizar expresiones y resolver ecuaciones cuadráticas utilizando la propiedad del producto cero y la fórmula cuadrática, a menudo guiados por la pregunta: "¿Cómo puedo hacer un bosquejo rápido de esta parábola?" Los estudiantes han aplicado sus nuevas herramientas para encontrar las intersecciones xey y el vértice de las parábolas con el fin de hacer esos bocetos. Esta lección tenía la intención de brindar a los estudiantes la oportunidad de ver diferentes tipos de problemas uno al lado del otro y determinar las herramientas que serían más útiles para resolver esos problemas.

Antes de la lección, los estudiantes habían demostrado cierta incertidumbre sobre qué herramienta aplicar a diferentes problemas o, en algunos casos, cómo identificar el tipo de respuesta que buscaban. El enfoque de los estudiantes se había centrado en aplicar correctamente una herramienta como factorizar completamente o resolver usando la fórmula cuadrática, en lugar de mirar un problema y decidir cómo empezar. Las actividades de esta lección estaban destinadas a permitir que los estudiantes se concentren en este tipo de toma de decisiones.


9: Ecuaciones y funciones cuadráticas - Matemáticas

9-1: Identificación de funciones cuadráticas

LT 9-1A - Puedo graficar una función cuadrática a mano.

LT 9-1B: puedo identificar el valor máximo o mínimo de una función cuadrática cuando se grafica.

LT 9-1C - Puedo determinar si una ecuación representa una función cuadrática.

9-2: Características de las funciones cuadráticas

LT 9-2A - Puedo identificar los ceros de una función cuadrática cuando se grafica.

LT 9-2B - Puedo usar métodos algebraicos (factorización o la fórmula cuadrática) para encontrar las intersecciones xey de una función cuadrática.

LT 9-2C - Puedo encontrar la intersección en y de una función cuadrática mediante la inspección de la ecuación cuando la función tiene la forma f (x) = ax 2 + bx + c.

LT 9-2D - Puedo encontrar la intersección con el eje x de una función cuadrática mediante la inspección de la ecuación cuando la función está en forma factorizada.

LT 9-2E - Puedo encontrar la coordenada x del vértice de una función cuadrática al encontrar el punto medio de las coordenadas x de las dos intersecciones x.

9-3: Graficar funciones cuadráticas

LT 9-3A - Puedo identificar las intersecciones xey de una función cuadrática cuando se grafica.

LT 9-3B - Puedo graficar una función cuadrática en una calculadora gráfica y ajustar la ventana para mostrar las características importantes de la función.

9-4: Transformación de funciones cuadráticas

LT 9-1A - Puedo graficar una función cuadrática a mano.

9-5: Resolver ecuaciones cuadráticas mediante la representación gráfica

LT 9-5A - Puedo resolver ecuaciones cuadráticas graficando usando una calculadora gráfica.

9-6: Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización

LT 9-6A - Sé cómo resolver algunas ecuaciones cuadráticas factorizando y usando la propiedad del producto cero.

9-7: Resolver ecuaciones cuadráticas usando raíces cuadradas

LT 9-7A - Puedo hacer aproximaciones de raíces cuadradas sin usar una calculadora.

LT 9-7B - Puedo manipular y resolver ecuaciones que involucran cuadrados y raíces cuadradas.

LT 9-7C - Puedo usar el Teorema de Pitágoras para encontrar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

LT 9-7D - Puedo explicar que algunas ecuaciones cuadráticas tienen soluciones que son racionales, algunas tienen soluciones que son irracionales y otras no tienen una solución real.

LT 5-5A - Puedo usar el Teorema de Pitágoras para determinar la longitud de la distancia más corta entre dos puntos "en línea recta" en una cuadrícula de coordenadas.

LT 5-5B - Puedo determinar si un triángulo es un triángulo rectángulo usando el inverso del teorema de Pitágoras si me dan tres longitudes de lados de un triángulo.

LT 5-5C - Puedo usar el contexto para explicar si la solución de una ecuación cuadrática es relevante.


Aula invertida de Álgebra 1 - Capítulo 9: Funciones y ecuaciones cuadráticas

Un aula invertida es una estrategia de instrucción y un tipo de aprendizaje combinado que invierte el entorno de aprendizaje tradicional al brindar contenido instructivo, a menudo en línea, fuera del aula. Mueve las actividades, incluidas las que tradicionalmente se han considerado tareas para el hogar, al aula.

El paquete incluye lecciones en video para el Capítulo 9 del plan de estudios de Algebra 1 Common Core.

Capítulo 9: Funciones y ecuaciones cuadráticas

- Lección 9-1: Gráficos cuadráticos y sus propiedades
- Lección 9-2: Funciones cuadráticas
- Lección 9-3: Resolver funciones cuadráticas
- Lección 9-4: Factorizar para resolver ecuaciones cuadráticas
- Lección 9-5: Completando el cuadrado
- Lección 9-6: La fórmula cuadrática y el discriminante


Prueba de Holt Algebra Chapter 9 & quotQuadratic Functions & amp Equations ”- DOC & amp PDF

Este documento de creación de r cuadrado evalúa lo que los estudiantes han aprendido durante todo el capítulo. Los materiales cubiertos en la evaluación están basados ​​en estándares (incluso ha publicado preguntas de la prueba) y están alineados con el Capítulo 9 "Funciones cuadráticas y ecuaciones de amplificación" del libro de texto de Álgebra de Holt. Los conceptos cubiertos son cómo determinar si un punto está en un gráfico, si un la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo, dónde está el vértice, cómo encontrar el cero y el vértice de una función cuadrática, cómo graficar una función cuadrática, cómo resolver una ecuación cuadrática graficando, cómo resolver una ecuación cuadrática factorizando cuando en estándar forma, cómo resolver una ecuación cuadrática factorizando cuando no está en forma estándar, cómo resolver una ecuación cuadrática usando raíces cuadradas, cómo encontrar el discriminante y enunciar el número de soluciones a una ecuación cuadrática, cómo resolver una ecuación cuadrática por usando la fórmula cuadrática cuando está en forma estándar, y cómo resolver una ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática cuando no está en forma estándar.

Cubre los estándares de CA 2.0, 14.0, 19.0, 21.0 y 22.0.

El archivo zip contiene la prueba tanto en formato .doc como en .pdf. El testículo también se puede editar si desea realizar algún cambio (es posible que deba descargar MathType de forma gratuita).


Factorizar y la propiedad de la raíz cuadrada

Una ecuación que contiene un polinomio de segundo grado se llama ecuación cuadrática. Por ejemplo, ecuaciones como [látex] 2^ <2> + 3x - 1 = 0 [/ látex] y [látex]^ <2> -4 = 0 [/ latex] son ​​ecuaciones cuadráticas. Se utilizan de innumerables formas en los campos de la ingeniería, la arquitectura, las finanzas, las ciencias biológicas y, por supuesto, las matemáticas.

A menudo, el método más fácil de resolver una ecuación cuadrática es factorización. Factorizar significa encontrar expresiones que se puedan multiplicar juntas para dar la expresión en un lado de la ecuación.

Si se puede factorizar una ecuación cuadrática, se escribe como un producto de términos lineales. Resolver por factorización depende de la propiedad del producto cero que establece que si [látex] a cdot b = 0 [/ látex], entonces [látex] a = 0 [/ látex] o [látex] b = 0 [/ látex] , donde a y B son números reales o expresiones algebraicas. En otras palabras, si el producto de dos números o dos expresiones es igual a cero, entonces uno de los números o una de las expresiones debe ser igual a cero porque cero multiplicado por cualquier cosa es igual a cero.

Al multiplicar los factores, la ecuación se expande a una cadena de términos separados por signos más o menos. Entonces, en ese sentido, la operación de multiplicación deshace la operación de factorización. Por ejemplo, expanda la expresión factorizada [látex] left (x - 2 right) left (x + 3 right) [/ látex] multiplicando los dos factores.

El producto es una expresión cuadrática. Establecer igual a cero, [látex]^ <2> + x - 6 = 0 [/ latex] es una ecuación cuadrática. Si tuviéramos que factorizar la ecuación, obtendríamos los factores que multiplicamos.

El proceso de factorizar una ecuación cuadrática depende del coeficiente principal, ya sea 1 u otro número entero. Veremos ambas situaciones, pero primero queremos confirmar que la ecuación está escrita en forma estándar, [látex] a^ <2> + bx + c = 0 [/ latex], donde a, B, y C son números reales y [látex] un ne 0 [/ látex]. La ecuación [látex]^ <2> + x - 6 = 0 [/ latex] está en forma estándar.

Podemos usar la propiedad del producto cero para resolver ecuaciones cuadráticas en las que primero tenemos que factorizar máximo común divisor (MCD) y para ecuaciones que también tienen fórmulas especiales de factorización, como la diferencia de cuadrados, que veremos más adelante en esta sección.

Una nota general: la propiedad del producto cero y las ecuaciones cuadráticas

El propiedad de producto cero estados

donde a y B son números reales o expresiones algebraicas.

A ecuación cuadrática es una ecuación que contiene un polinomio de segundo grado, por ejemplo

donde a, B, y C son números reales, y [latex] un ne 0 [/ latex]. Está en forma estándar.

Resolver cuadráticas con un coeficiente principal de 1

En la ecuación cuadrática [látex]^ <2> + x - 6 = 0 [/ látex], el coeficiente principal o el coeficiente de [látex]^ <2> [/ latex], es 1. Tenemos un método para factorizar ecuaciones cuadráticas en esta forma.

Cómo: Dada una ecuación cuadrática con el coeficiente principal de 1, factorizarla

  1. Encuentra dos números cuyo producto sea igual C y cuya suma es igual a B.
  2. Usa esos números para escribir dos factores de la forma [látex] left (x + k right) text left (x-k right) [/ látex], donde k es uno de los números encontrados en el paso 1. Use los números exactamente como son. En otras palabras, si los dos números son 1 y [látex] -2 [/ látex], los factores son [látex] left (x + 1 right) left (x - 2 right) [/ látex].
  3. Resuelve usando la propiedad del producto cero estableciendo cada factor igual a cero y resolviendo para la variable.

Ejemplo: factorizar y resolver una cuadrática con coeficiente principal de 1

Factoriza y resuelve la ecuación: [látex]^ <2> + x - 6 = 0 [/ látex].

Factorizar [látex]^ <2> + x - 6 = 0 [/ látex], buscamos dos números cuyo producto sea igual a [látex] -6 [/ látex] y cuya suma sea igual a 1. Empiece por observar los posibles factores de [látex] - 6 [/ látex].

El último par, [latex] 3 cdot left (-2 right) [/ latex] suma 1, así que estos son los números. Tenga en cuenta que solo funcionará un par de números. Luego, escribe los factores.

Para resolver esta ecuación, usamos la propiedad del producto cero. Iguala cada factor a cero y resuelve.

Las dos soluciones son [látex] x = 2 [/ látex] y [látex] x = -3 [/ látex]. Podemos ver cómo las soluciones se relacionan con el siguiente gráfico. Las soluciones son las X-intersecciones de la gráfica de [látex]^ <2> + x - 6 [/ látex].

Intentalo

Factoriza y resuelve la ecuación cuadrática: [látex]^ <2> -5x - 6 = 0 [/ látex].


Paso 3 :

Parábola, encontrar el vértice:

3.1 Hallar el vértice de t = -y 2 -y + 9

Las parábolas tienen un punto más alto o más bajo llamado Vértice. Nuestra parábola se abre hacia abajo y, en consecuencia, tiene un punto más alto (también conocido como máximo absoluto). Sabemos esto incluso antes de graficar "t" porque el coeficiente del primer término, -1, es negativo (menor que cero).

Cada parábola tiene una línea vertical de simetría que pasa por su vértice. Debido a esta simetría, el eje de simetría pasaría, por ejemplo, por el punto medio de las dos intersecciones x (raíces o soluciones) de la parábola. Es decir, si la parábola tiene efectivamente dos soluciones reales.

Las parábolas pueden modelar muchas situaciones de la vida real, como la altura sobre el suelo, de un objeto arrojado hacia arriba, después de un período de tiempo. El vértice de la parábola puede proporcionarnos información, como la altura máxima que puede alcanzar ese objeto, lanzado hacia arriba. Por eso queremos poder encontrar las coordenadas del vértice.

Para cualquier parábola, Ay 2 + By + C, la coordenada y del vértice viene dada por -B / (2A). En nuestro caso, la coordenada y es -0.5000

Conectando a la fórmula de la parábola -0.5000 para y podemos calcular la coordenada t:
t = -1,0 * -0,50 * -0,50 - 1,0 * -0,50 + 9,0
o t = 9.250

Parábola, vértice gráfico e intersecciones en X:

Gráfico de raíz para: t = -y 2 -y + 9
Eje de simetría (punteado) = <-0.50>
Vértice en = <-0.50, 9.25>
y -Interceptos (raíces):
Raíz 1 en = < 2.54, 0.00>
Raíz 2 en =

Resuelva la ecuación cuadrática completando el cuadrado

3.2 Resolver -y 2 -y + 9 = 0 completando el cuadrado.

Multiplica ambos lados de la ecuación por (-1) para obtener un coeficiente positivo para el primer término:
y 2 + y-9 = 0 Suma 9 a ambos lados de la ecuación:
y 2 + y = 9

Ahora el bit inteligente: tome el coeficiente de y, que es 1, divida por dos, dando 1/2, y finalmente eleve al cuadrado dando 1/4

Suma 1/4 a ambos lados de la ecuación:
En el lado derecho tenemos:
9 + 1/4 o, (9/1) + (1/4)
El denominador común de las dos fracciones es 4 Sumando (36/4) + (1/4) da 37/4
Entonces, agregando a ambos lados finalmente obtenemos:
y 2 + y + (1/4) = 37/4

La suma de 1/4 ha completado el lado izquierdo en un cuadrado perfecto:
y 2 + y + (1/4) =
(y + (1/2)) • (y + (1/2)) =
(y + (1/2)) 2
Las cosas que son iguales a una misma cosa también son iguales entre sí. Ya que
y 2 + y + (1/4) = 37/4 y
y 2 + y + (1/4) = (y + (1/2)) 2
entonces, según la ley de la transitividad,
(y + (1/2)) 2 = 37/4

Nos referiremos a esta ecuación como Eq. # 3.2.1

El principio de la raíz cuadrada dice que cuando dos cosas son iguales, sus raíces cuadradas son iguales.

Tenga en cuenta que la raíz cuadrada de
(y + (1/2)) 2 es
(y + (1/2)) 2/2 =
(y + (1/2)) 1 =
y + (1/2)

Ahora, aplicando el principio de la raíz cuadrada a la ecuación. # 3.2.1 obtenemos:
y + (1/2) = √ 37/4

Reste 1/2 de ambos lados para obtener:
y = -1/2 + √ 37/4

Dado que una raíz cuadrada tiene dos valores, uno positivo y otro negativo
y 2 + y - 9 = 0
tiene dos soluciones:
y = -1/2 + √ 37/4
o
y = -1/2 - √ 37/4

Tenga en cuenta que √ 37/4 se puede escribir como
√ 37 / √ 4 que es √ 37/2

Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática

3.3 Resolver -y 2 -y + 9 = 0 mediante la fórmula cuadrática.

De acuerdo con la fórmula cuadrática, y, la solución para Ay 2 + By + C = 0, donde A, B y C son números, a menudo llamados coeficientes, viene dada por:

- B ± √ B 2 -4AC
y = ————————
2A

En nuestro caso, A = -1
B = -1
C = 9

En consecuencia, B 2 - 4AC =
1 - (-36) =
37

Aplicando la fórmula cuadrática:

√ 37, redondeado a 4 dígitos decimales, es 6.0828
Entonces ahora estamos viendo:
y = (1 ± 6.083) / -2


Unidad 9: Funciones cuadráticas

Tarea: 9.12 Repaso de cuadráticas & # 8211 DEBE completar los problemas pares, pero si completa todo el paquete, obtendrá crédito adicional en el examen.

Prueba unitaria de cuadráticas Próxima clase

Para preparar la prueba debe:

Tarea: 9.12 Repaso de cuadráticas & # 8211 DEBE completar los problemas pares, pero si completa todo el paquete, obtendrá crédito adicional en el examen.

Prueba unitaria de cuadráticas Próxima clase

Para preparar la prueba debe:

Tarea: 9.12 Repaso de cuadráticas & # 8211 DEBE completar los problemas pares, pero si completa todo el paquete, obtendrá crédito adicional en el examen.

Prueba unitaria de cuadráticas Próxima clase

Para preparar la prueba debe:

Jueves, 24 de marzo de 2016

Miércoles, 23 de marzo de 2016

Martes 22 de marzo de 2016

Lunes, 21 de marzo de 2016

Viernes 18 de marzo de 2016

Jueves, 17 de marzo de 2016

Miércoles, 16 de marzo de 2016

Martes, 15 de marzo de 2016

Álgebra A, B y amp C

-Si tiene problemas con esta calculadora, envíe un correo electrónico al Sr. Parmar