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11.10: Serie Taylor y Maclaurin - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Describe el procedimiento para encontrar un polinomio de Taylor de un orden dado para una función.
  • Explica el significado y la importancia del teorema de Taylor con el resto.
  • Estime el resto para una aproximación en serie de Taylor de una función dada.

En las dos secciones anteriores discutimos cómo encontrar representaciones de series de potencias para ciertos tipos de funciones, específicamente, funciones relacionadas con series geométricas. Aquí discutimos las representaciones de series de potencias para otros tipos de funciones. En particular, abordamos las siguientes preguntas: ¿Qué funciones se pueden representar mediante series de potencias y cómo encontramos tales representaciones? Si podemos encontrar una representación en serie de potencias para una función particular (f ) y la serie converge en algún intervalo, ¿cómo probamos que la serie realmente converge a (f )?

Descripción general de la serie Taylor / Maclaurin

Considere una función (f ) que tiene una representación en serie de potencias en (x = a ). Entonces la serie tiene la forma

[ sum_ {n = 0} ^ ∞c_n (x − a) ^ n = c_0 + c_1 (x − a) + c_2 (x − a) ^ 2 + dots. label {eq1} ]

¿Cuáles deberían ser los coeficientes? Por ahora, ignoramos los problemas de convergencia, pero en cambio nos enfocamos en lo que debería ser la serie, si existe. Volvemos a discutir la convergencia más adelante en esta sección. Si la ecuación de la serie ref {eq1} es una representación de (f ) en (x = a ), ciertamente queremos que la serie sea igual a (f (a) ) en (x = a ) . Al evaluar la serie en (x = a ), vemos que

[ sum_ {n = 0} ^ ∞c_n (x − a) ^ n = c_0 + c_1 (a − a) + c_2 (a − a) ^ 2 + dots = c_0. label {eq2} ]

Por tanto, la serie es igual a (f (a) ) si el coeficiente (c_0 = f (a) ). Además, nos gustaría que la primera derivada de la serie de potencias fuera igual a (f ′ (a) ) en (x = a ). Al diferenciar la ecuación ref {eq2} término por término, vemos que

[ dfrac {d} {dx} left ( sum_ {n = 0} ^ ∞c_n (x − a) ^ n right) = c_1 + 2c_2 (x − a) + 3c_3 (x − a) ^ 2+ puntos. Etiqueta {eq3} ]

Por lo tanto, en (x = a, ) la derivada es

[ dfrac {d} {dx} left ( sum_ {n = 0} ^ ∞c_n (x − a) ^ n right) = c_1 + 2c_2 (a − a) + 3c_3 (a − a) ^ 2+ dots = c_1. Label {eq4} ]

Por tanto, la derivada de la serie es igual a (f ′ (a) ) si el coeficiente (c_1 = f ′ (a). ) Continuando de esta forma, buscamos coeficientes (c_n ) tales que todos los derivadas de la serie de potencias La ecuación ref {eq4} concordará con todas las derivadas correspondientes de (f ) en (x = a ). La segunda y tercera derivadas de la ecuación ref {eq3} están dadas por

[ dfrac {d ^ 2} {dx ^ 2} left ( sum_ {n = 0} ^ ∞c_n (x − a) ^ n right) = 2c_2 + 3⋅2c_3 (x − a) +4 ⋅3c_4 (x − a) ^ 2 + dots label {eq5} ]

y

[ dfrac {d ^ 3} {dx ^ 3} left ( sum_ {n = 0} ^ ∞c_n (x − a) ^ n right) = 3⋅2c_3 + 4⋅3⋅2c_4 (x− a) + 5⋅4⋅3c_5 (x − a) ^ 2 + ⋯. label {eq6} ]

Por lo tanto, en (x = a ), la segunda y tercera derivadas

[ dfrac {d ^ 2} {dx ^ 2} left ( sum_ {n = 0} ^ ∞c_n (x − a) ^ n right) = 2c_2 + 3⋅2c_3 (a − a) +4 ⋅3c_4 (a − a) ^ 2 + dots = 2c_2 label {eq7} ]

y

[ dfrac {d ^ 3} {dx ^ 3} left ( sum_ {n = 0} ^ ∞c_n (x − a) ^ n right) = 3⋅2c_3 + 4⋅3⋅2c_4 (a− a) + 5⋅4⋅3c_5 (a − a) ^ 2 + dots = 3⋅2c_3 label {eq8} ]

igual a (f '' (a) ) y (f '' '(a) ), respectivamente, si (c_2 = dfrac {f' '(a)} {2} ) y (c_3 = dfrac {f '' '(a)} {3⋅2} ). De manera más general, vemos que si (f ) tiene una representación en serie de potencias en (x = a ), entonces los coeficientes deberían estar dados por (c_n = dfrac {f ^ {(n)} (a) }{¡norte!}). Es decir, la serie debe ser

[ sum_ {n = 0} ^ ∞ dfrac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (x − a) ^ n = f (a) + f ′ (a) (x− a) + dfrac {f '' (a)} {2!} (x − a) ^ 2 + dfrac {f '' '(a)} {3!} (x − a) ^ 3 + ⋯ ]

Esta serie de potencias para (f ) se conoce como la serie de Taylor para (f ) en (a. ) Si (x = 0 ), entonces esta serie se conoce como la serie de Maclaurin para (f ).

Definición ( PageIndex {1} ): series de Maclaurin y Taylor

Si (f ) tiene derivadas de todos los órdenes en (x = a ), entonces elSerie de taylor para la función (f ) en (a ) es

[ sum_ {n = 0} ^ ∞ dfrac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (x − a) ^ n = f (a) + f ′ (a) (x− a) + dfrac {f '' (a)} {2!} (x − a) ^ 2 + ⋯ + dfrac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (x − a) ^ n + ⋯ ]

La serie de Taylor para (f ) en 0 se conoce como Serie Maclaurin para (f ).

Más adelante en esta sección, mostraremos ejemplos de cómo encontrar series de Taylor y discutiremos las condiciones bajo las cuales la serie de Taylor para una función convergerá a esa función. Aquí, expresamos un resultado importante. Recuerde que las representaciones de series de potencias son únicas. Por lo tanto, si una función (f ) tiene una serie de potencias en (a ), entonces debe ser la serie de Taylor para (f ) en (a ).

Singularidad de la serie Taylor

Si una función (f ) tiene una serie de potencias en a que converge a (f ) en algún intervalo abierto que contenga (a ), entonces esa serie de potencias es la serie de Taylor para (f ) en ( a).

La prueba se deriva directamente de lo discutido anteriormente.

Para determinar si una serie de Taylor converge, debemos observar su secuencia de sumas parciales. Estas sumas parciales son polinomios finitos, conocidos como Polinomios de Taylor.

Polinomios de Taylor

La (n ^ { text {th}} ) suma parcial de la serie de Taylor para una función (f ) en (a ) se conoce como (n ^ { text {th}} ) polinomio de Taylor de grado. Por ejemplo, el 0th, 1S t, 2Dakota del Nortey 3rd las sumas parciales de la serie de Taylor están dadas por

[ begin {align *} p_0 (x) & = f (a) [4pt] p_1 (x) & = f (a) + f ′ (a) (x − a) [4pt] p_2 (x) & = f (a) + f ′ (a) (x − a) + dfrac {f '' (a)} {2!} (x − a) ^ 2 [4pt] p_3 ( x) & = f (a) + f ′ (a) (x − a) + dfrac {f '' (a)} {2!} (x − a) ^ 2 + dfrac {f '' '( a)} {3!} (x − a) ^ 3 end {align *} ]

respectivamente. Estas sumas parciales se conocen como 0th, 1S t, 2Dakota del Nortey 3rd polinomios de Taylor de grado de (f ) en (a ), respectivamente. Si (x = a ), entonces estos polinomios se conocen como Polinomios de Maclaurin para (f ). Ahora proporcionamos una definición formal de los polinomios de Taylor y Maclaurin para una función (f ).

Definición ( PageIndex {2} ): polinomio de Maclaurin

Si (f ) tiene (n ) derivadas en (x = a ), entonces el polinomio de Taylor de (n ^ { text {th}} ) - grado de (f ) en ( a ) es

[p_n (x) = f (a) + f ′ (a) (x − a) + dfrac {f '' (a)} {2!} (x − a) ^ 2 + dfrac {f ' '' (a)} {3!} (x − a) ^ 3 + ⋯ + dfrac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (x − a) ^ n. ]

El polinomio de Taylor de (n ^ { text {th}} ) - grado para (f ) en (0 ) se conoce como el (n ^ { text {th}} ) - grado Maclaurin polinomio para (f ).

Ahora mostramos cómo usar esta definición para encontrar varios polinomios de Taylor para (f (x) = ln x ) en (x = 1 ).

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Encontrar polinomios de Taylor

Encuentra los polinomios de Taylor (p_0, p_1, p_2 ) y (p_3 ) para (f (x) = ln x ) en (x = 1 ). Utilice una herramienta gráfica para comparar la gráfica de (f ) con las gráficas de (p_0, p_1, p_2 ) y (p_3 ).

Solución

Para encontrar estos polinomios de Taylor, necesitamos evaluar (f ) y sus primeras tres derivadas en (x = 1 ).

(f (x) = ln x ) (f (1) = 0 )

(f ′ (x) = dfrac {1} {x} ) (f ′ (1) = 1 )

(f '' (x) = - dfrac {1} {x ^ 2} ) (f '' (1) = - 1 )

(f '' '(x) = dfrac {2} {x ^ 3} ) (f' '' (1) = 2 )

Por lo tanto,

[ begin {align *} p_0 (x) & = f (1) = 0, [4pt] p_1 (x) & = f (1) + f ′ (1) (x − 1) = x− 1, [4pt] p_2 (x) & = f (1) + f ′ (1) (x − 1) + dfrac {f '' (1)} {2} (x − 1) ^ 2 = (x − 1) - dfrac {1} {2} (x − 1) ^ 2 [4pt] p_3 (x) & = f (1) + f ′ (1) (x − 1) + dfrac {f '' (1)} {2} (x − 1) ^ 2 + dfrac {f '' '(1)} {3!} (x − 1) ^ 3 = (x − 1) - dfrac {1} {2} (x − 1) ^ 2 + dfrac {1} {3} (x − 1) ^ 3 end {align *} ]

Las gráficas de (y = f (x) ) y los primeros tres polinomios de Taylor se muestran en la Figura ( PageIndex {1} ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Encuentra los polinomios de Taylor (p_0, p_1, p_2 ) y (p_3 ) para (f (x) = dfrac {1} {x ^ 2} ) en (x = 1 ).

Pista

Encuentra las tres primeras derivadas de (f ) y evalúalas en (x = 1. )

Respuesta

[p_0 (x) = 1 ]

[p_1 (x) = 1−2 (x − 1) ]

[p_2 (x) = 1−2 (x − 1) +3 (x − 1) ^ 2 ]

[p_3 (x) = 1−2 (x − 1) +3 (x − 1) ^ 2−4 (x − 1) ^ 3 ]

Ahora mostramos cómo encontrar polinomios de Maclaurin para (e ^ x, sin x, ) y ( cos x ). Como se indicó anteriormente, los polinomios de Maclaurin son polinomios de Taylor centrados en cero.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Encontrar polinomios de Maclaurin

Para cada una de las siguientes funciones, encuentre fórmulas para los polinomios de Maclaurin (p_0, p_1, p_2 ) y (p_3 ). Encuentre una fórmula para el polinomio de Maclaurin de (n ^ { text {th}} ) - grado y escríbala usando notación sigma. Utilice una herramienta gráfica para comparar las gráficas de (p_0, p_1, p_2 ) y (p_3 ) con (f ).

  1. (f (x) = e ^ x )
  2. (f (x) = sin x )
  3. (f (x) = cos x )

Solución

Dado que (f (x) = e ^ x ), sabemos que (f (x) = f ′ (x) = f '' (x) = ⋯ = f ^ {(n)} (x) = e ^ x ) para todos los enteros positivos (n ). Por lo tanto,

[f (0) = f ′ (0) = f '' (0) = ⋯ = f ^ {(n)} (0) = 1 nonumber ]

para todos los enteros positivos (n ). Por lo tanto, tenemos

(p_0 (x) = f (0) = 1, )

(p_1 (x) = f (0) + f ′ (0) x = 1 + x, )

(p_2 (x) = f (0) + f ′ (0) x + dfrac {f '' (0)} {2!} x ^ 2 = 1 + x + dfrac {1} {2} x ^ 2 ),

(p_3 (x) = f (0) + f ′ (0) x + dfrac {f '' (0)} {2} x ^ 2 + dfrac {f '' '(0)} {3!} x ^ 3 = 1 + x + dfrac {1} {2} x ^ 2 + dfrac {1} {3!} x ^ 3 ),

( Displaystyle p_n (x) = f (0) + f ′ (0) x + dfrac {f '' (0)} {2} x ^ 2 + dfrac {f '' '(0)} {3 !} x ^ 3 + ⋯ + dfrac {f ^ {(n)} (0)} {n!} x ^ n = 1 + x + dfrac {x ^ 2} {2!} + dfrac {x ^ 3} {3!} + ⋯ + dfrac {x ^ n} {n!} = Sum_ {k = 0} ^ n dfrac {x ^ k} {k!} ).

La función y los primeros tres polinomios de Maclaurin se muestran en la Figura 2.

B. Para (f (x) = sin x ), los valores de la función y sus primeras cuatro derivadas en (x = 0 ) se dan de la siguiente manera:

(f (x) = sin x ) (f (0) = 0 )

(f ′ (x) = cos x ) (f ′ (0) = 1 )

(f '' (x) = - sin x ) (f '' (0) = 0 )

(f '' '(x) = - cos x ) (f' '' (0) = - 1 )

(f ^ {(4)} (x) = sin x ) (f ^ {(4)} (0) = 0 ).

Dado que la cuarta derivada es ( sin x, ) el patrón se repite. Es decir, (f ^ {(2m)} (0) = 0 ) y (f ^ {(2m + 1)} (0) = (- 1) ^ m ) para (m≥0. ) Por lo tanto, tenemos

(p_0 (x) = 0, )

(p_1 (x) = 0 + x = x, )

(p_2 (x) = 0 + x + 0 = x, )

(p_3 (x) = 0 + x + 0− dfrac {1} {3!} x ^ 3 = x− dfrac {x ^ 3} {3!}, )

(p_4 (x) = 0 + x + 0− dfrac {1} {3!} x ^ 3 + 0 = x− dfrac {x ^ 3} {3!} ),

(p_5 (x) = 0 + x + 0− dfrac {1} {3!} x ^ 3 + 0 + dfrac {1} {5!} x ^ 5 = x− dfrac {x ^ 3} {3!} + Dfrac {x ^ 5} {5!} ),

y para (m≥0 ),

( displaystyle p_ {2m + 1} (x) = p_ {2m + 2} (x) = x− dfrac {x ^ 3} {3!} + dfrac {x ^ 5} {5!} - ⋯ + (- 1) ^ m dfrac {x ^ {2m + 1}} {(2m + 1)!} = Sum_ {k = 0} ^ m (−1) ^ k dfrac {x ^ {2k +1}} {(2k + 1)!} ).

Los gráficos de la función y sus polinomios de Maclaurin se muestran en la Figura 3.

C. Para (f (x) = cos x ), los valores de la función y sus primeras cuatro derivadas en (x = 0 ) se dan de la siguiente manera:

(f (x) = cos x ) (f (0) = 1 )

(f ′ (x) = - sin x ) (f ′ (0) = 0 )

(f '' (x) = - cos x ) (f '' (0) = - 1 )

(f '' '(x) = sin x ) (f' '' (0) = 0 )

(f ^ {(4)} (x) = cos x ) (f ^ {(4)} (0) = 1. )

Dado que la cuarta derivada es ( sin x ), el patrón se repite. En otras palabras, (f ^ {(2m)} (0) = (- 1) ^ m ) y (f ^ {(2m + 1)} = 0 ) para (m≥0 ). Por lo tanto,

(p_0 (x) = 1, )

(p_1 (x) = 1 + 0 = 1, )

(p_2 (x) = 1 + 0− dfrac {1} {2!} x ^ 2 = 1− dfrac {x ^ 2} {2!} ),

(p_3 (x) = 1 + 0− dfrac {1} {2!} x ^ 2 + 0 = 1− dfrac {x ^ 2} {2!} ),

(p_4 (x) = 1 + 0− dfrac {1} {2!} x ^ 2 + 0 + dfrac {1} {4!} x ^ 4 = 1− dfrac {x ^ 2} {2 !} + dfrac {x ^ 4} {4!} ),

(p_5 (x) = 1 + 0− dfrac {1} {2!} x ^ 2 + 0 + dfrac {1} {4!} x ^ 4 + 0 = 1− dfrac {x ^ 2} {2!} + Dfrac {x ^ 4} {4!} ),

y para (n≥0 ),

( Displaystyle p_ {2m} (x) = p_ {2m + 1} (x) = 1− dfrac {x ^ 2} {2!} + dfrac {x ^ 4} {4!} - ⋯ + (−1) ^ m dfrac {x ^ {2m}} {(2m)!} = Sum_ {k = 0} ^ m (−1) ^ k dfrac {x ^ {2k}} {(2k) !} ).

Los gráficos de la función y los polinomios de Maclaurin aparecen en la Figura 4.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Encuentre fórmulas para los polinomios de Maclaurin (p_0, , p_1, , p_2 ) y (p_3 ) para (f (x) = dfrac {1} {1 + x} ).

Encuentre una fórmula para el polinomio de Maclaurin de (n ^ { text {th}} ) - grado. Escribe tu respuesta usando notación sigma.

Pista

Evalúa las primeras cuatro derivadas de (f ) y busca un patrón.

Respuesta

( Displaystyle p_0 (x) = 1; ; p_1 (x) = 1 − x; ; p_2 (x) = 1 − x + x ^ 2; ; p_3 (x) = 1 − x + x ^ 2 − x ^ 3; ; p_n (x) = 1 − x + x ^ 2 − x ^ 3 + ⋯ + (- 1) ^ nx ^ n = sum_ {k = 0} ^ n (−1) ^ kx ^ k )

Teorema de Taylor con resto

Recuerde que el polinomio de Taylor de (n ^ { text {th}} ) - grados para una función (f ) en (a ) es el (n ^ { text {th}} ) parcial suma de la serie de Taylor para (f ) en (a ). Por lo tanto, para determinar si la serie de Taylor converge, necesitamos determinar si la secuencia de polinomios de Taylor ({p_n} ) converge. Sin embargo, no solo queremos saber si la secuencia de polinomios de Taylor converge, queremos saber si converge a (f ). Para responder a esta pregunta, definimos el resto (R_n (x) ) como

[R_n (x) = f (x) −p_n (x). ]

Para que la secuencia de polinomios de Taylor converja a (f ), necesitamos que el resto de (R_n ) converja a cero. Para determinar si (R_n ) converge a cero, introducimos Teorema de Taylor con resto. Este teorema no solo es útil para demostrar que una serie de Taylor converge a su función relacionada, sino que también nos permitirá cuantificar qué tan bien el polinomio de Taylor de (n ^ { text {th}} ) grados se aproxima a la función.

Aquí buscamos un límite en (| R_n |. ) Considere el caso más simple: (n = 0 ). Sea (p_0 ) el 0th Polinomio de Taylor en (a ) para una función (f ). El resto (R_0 ) satisface

(R_0 (x) = f (x) −p_0 (x) = f (x) −f (a). )

Si (f ) es diferenciable en un intervalo (I ) que contiene (a ) y (x ), entonces, según el Teorema del valor medio, existe un número real (c ) entre (a ) y (x ) tal que (f (x) −f (a) = f ′ (c) (x − a) ). Por lo tanto,

[R_0 (x) = f ′ (c) (x − a). ]

Usando el teorema del valor medio en un argumento similar, podemos demostrar que si (f ) es (n ) veces diferenciable en un intervalo (I ) que contiene (a ) y (x ), entonces el (n ^ { text {th}} ) resto (R_n ) satisface

[R_n (x) = dfrac {f ^ {(n + 1)} (c)} {(n + 1)!} (X − a) ^ {n + 1} ]

para algún número real (c ) entre (a ) y (x ). Es importante notar que el valor (c ) en el numerador anterior no es el centro (a ), sino un valor desconocido (c ) entre (a ) y (x ). Esta fórmula nos permite obtener un límite en el resto (R_n ). Si sabemos que (∣f ^ {(n + 1)} (x) ∣ ) está limitado por algún número real (M ) en este intervalo (I ), entonces

[| R_n (x) | ≤ dfrac {M} {(n + 1)!} | X − a | ^ {n + 1} ]

para todo (x ) en el intervalo (I ).

Enunciamos ahora el teorema de Taylor, que proporciona la relación formal entre una función (f ) y su polinomio de Taylor de (n ^ { text {th}} ) - grados (p_n (x) ). Este teorema nos permite acotar el error cuando se usa un polinomio de Taylor para aproximar el valor de una función, y será importante para demostrar que una serie de Taylor para (f ) converge a (f ).

Teorema de Taylor con resto

Sea (f ) una función que se puede diferenciar (n + 1 ) veces en un intervalo (I ) que contiene el número real (a ). Sea (p_n ) el (n ^ { text {th}} ) - grado polinomio de Taylor de (f ) en (a ) y sea

[R_n (x) = f (x) −p_n (x) ]

sea ​​el (n ^ { text {th}} ) restante. Entonces, para cada (x ) en el intervalo (I ), existe un número real (c ) entre (a ) y (x ) tal que

[R_n (x) = dfrac {f ^ {(n + 1)} (c)} {(n + 1)!} (X − a) ^ {n + 1} ].

Si existe un número real (M ) tal que (∣f ^ {(n + 1)} (x) ∣≤M ) para todo (x∈I ), entonces

[| R_n (x) | ≤ dfrac {M} {(n + 1)!} | X − a | ^ {n + 1} ]

para todo (x ) en (I ).

Prueba

Fije un punto (x∈I ) e introduzca la función (g ) tal que

[g (t) = f (x) −f (t) −f ′ (t) (x − t) - dfrac {f '' (t)} {2!} (x − t) ^ 2− ⋯ - dfrac {f ^ {(n)} (t)} {n!} (X − t) ^ n − R_n (x) dfrac {(x − t) ^ {n + 1}} {(x −a) ^ {n + 1}}. ]

Afirmamos que (g ) satisface los criterios del teorema de Rolle. Dado que (g ) es una función polinomial (en (t )), es una función diferenciable. Además, (g ) es cero en (t = a ) y (t = x ) porque

[ begin {align *} g (a) & = f (x) −f (a) −f ′ (a) (x − a) - dfrac {f '' (a)} {2!} ( x − a) ^ 2 + ⋯ + dfrac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (x − a) ^ n − R_n (x) [4pt] & = f (x) −p_n (x) −R_n (x) [4pt] & = 0, [4pt] g (x) & = f (x) −f (x) −0− ⋯ −0 [4pt] & = 0. end {alinear *} ]

Por lo tanto, (g ) satisface el teorema de Rolle y, en consecuencia, existe (c ) entre (a ) y (x ) tal que (g ′ (c) = 0. ) Ahora calculamos (gramo'). Usando la regla del producto, observamos que

[ dfrac {d} {dt} left [ dfrac {f ^ {(n)} (t)} {n!} (x − t) ^ n right] = - dfrac {f ^ {( n)} (t)} {(n − 1)!} (x − t) ^ {n − 1} + dfrac {f ^ {(n + 1)} (t)} {n!} (x− t) ^ n. ]

Como consecuencia,

[g ′ (t) = - f ′ (t) + [f ′ (t) −f '' (t) (x − t)] + left [f '' (t) (x − t) - dfrac {f '' '(t)} {2!} (x − t) ^ 2 right] + ⋯ + left [ dfrac {f ^ {(n)} (t)} {(n − 1 )!} (x − t) ^ {n − 1} - dfrac {f ^ {(n + 1)} (t)} {n!} (x − t) ^ n right] + (n + 1 ) R_n (x) dfrac {(x − t) ^ n} {(x − a) ^ {n + 1}} ].

Observe que hay un efecto telescópico. Por lo tanto,

[g '(t) = - dfrac {f ^ {(n + 1)} (t)} {n!} (x − t) ^ n + (n + 1) R_n (x) dfrac {(x −t) ^ n} {(x − a) ^ {n + 1}} ].

Por el teorema de Rolle, llegamos a la conclusión de que existe un número (c ) entre (a ) y (x ) tal que (g ′ (c) = 0. ) Dado que

[g ′ (c) = - dfrac {f ^ {(n + 1}) (c)} {n!} (x − c) ^ n + (n + 1) R_n (x) dfrac {(x −c) ^ n} {(x − a) ^ {n + 1}} ]

concluimos que

[- dfrac {f ^ {(n + 1)} (c)} {n!} (X − c) ^ n + (n + 1) R_n (x) dfrac {(x − c) ^ n} {(x − a) ^ {n + 1}} = 0. ]

Sumando el primer término en el lado izquierdo a ambos lados de la ecuación y dividiendo ambos lados de la ecuación por (n + 1, ) llegamos a la conclusión de que

[R_n (x) = dfrac {f ^ {(n + 1)} (c)} {(n + 1)!} (X − a) ^ {n + 1} ]

como se desee. De este hecho, se deduce que si existe (M ) tal que (∣f ^ {(n + 1)} (x) ∣≤M ) para todo (x ) en (I ) , luego

[| R_n (x) | ≤ dfrac {M} {(n + 1)!} | X − a | ^ {n + 1} ].

El teorema de Taylor no solo nos permite probar que una serie de Taylor converge en una función, sino que también nos permite estimar la precisión de los polinomios de Taylor en la aproximación de valores de funciones. Comenzamos mirando aproximaciones lineales y cuadráticas de (f (x) = sqrt [3] {x} ) en (x = 8 ) y determinamos qué tan precisas son estas aproximaciones para estimar ( sqrt [3 ] {11} ).

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Uso de aproximaciones lineales y cuadráticas para estimar valores de funciones

Considere la función (f (x) = sqrt [3] {x} ).

  1. Encuentra el primer y segundo polinomios de Taylor para (f ) en (x = 8 ). Utilice una herramienta gráfica para comparar estos polinomios con (f ) cerca de (x = 8. )
  2. Utilice estos dos polinomios para estimar ( sqrt [3] {11} ).
  3. Utilice el teorema de Taylor para acotar el error.

Solución:

un. Para (f (x) = sqrt [3] {x} ), los valores de la función y sus dos primeras derivadas en (x = 8 ) son los siguientes:

(f (x) = sqrt [3] {x} ), (f (8) = 2 )

(f ′ (x) = dfrac {1} {3x ^ {2/3}} ), (f ′ (8) = dfrac {1} {12} )

(f '' (x) = dfrac {−2} {9x ^ {5/3}} ), (f '' (8) = - dfrac {1} {144.} )

Por lo tanto, el primer y segundo polinomios de Taylor en (x = 8 ) están dados por

(p_1 (x) = f (8) + f ′ (8) (x − 8) )

(= 2+ dfrac {1} {12} (x − 8) )

(p_2 (x) = f (8) + f ′ (8) (x − 8) + dfrac {f '' (8)} {2!} (x − 8) ^ 2 )

(= 2+ dfrac {1} {12} (x − 8) - dfrac {1} {288} (x − 8) ^ 2 ).

La función y los polinomios de Taylor se muestran en la Figura 4.

B. Usando el primer polinomio de Taylor en (x = 8 ), podemos estimar

[ sqrt [3] {11} ≈p_1 (11) = 2 + dfrac {1} {12} (11−8) = 2.25. ]

Usando el segundo polinomio de Taylor en (x = 8 ), obtenemos

[ sqrt [3] {11} ≈p_2 (11) = 2 + dfrac {1} {12} (11−8) - dfrac {1} {288} (11−8) ^ 2 = 2.21875. ]

C. Por nota, existe un C en el intervalo ((8,11) ) tal que el resto cuando se aproxima ( sqrt [3] {11} ) por el primer polinomio de Taylor satisface

[R_1 (11) = dfrac {f '' (c)} {2!} (11−8) ^ 2. ]

No sabemos el valor exacto de C, entonces encontramos un límite superior en (R_1 (11) ) determinando el valor máximo de (f '' ) en el intervalo ((8,11) ). Dado que (f '' (x) = - dfrac {2} {9x ^ {5/3}} ), el valor más grande para (| f '' (x) | ) en ese intervalo ocurre en (x = 8 ). Usando el hecho de que (f '' (8) = - dfrac {1} {144} ), obtenemos

(| R_1 (11) | ≤ dfrac {1} {144⋅2!} (11−8) ^ 2 = 0.03125. )

De manera similar, para estimar (R_2 (11) ), usamos el hecho de que

(R_2 (11) = dfrac {f '' '(c)} {3!} (11−8) ^ 3 ).

Dado que (f '' '(x) = dfrac {10} {27x ^ {8/3}} ), el valor máximo de (f' '' ) en el intervalo ((8,11) ) es (f '' '(8) ≈0.0014468 ). Por lo tanto, tenemos

(| R_2 (11) | ≤ dfrac {0.0011468} {3!} (11−8) ^ 3≈0.0065104. )

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

Encuentra el primer y segundo polinomios de Taylor para (f (x) = sqrt {x} ) en (x = 4 ). Utilice estos polinomios para estimar ( sqrt {6} ). Utilice el teorema de Taylor para acotar el error.

Pista

Evalúa (f (4), f ′ (4), ) y (f '' (4). )

Respuesta

(p_1 (x) = 2 + dfrac {1} {4} (x − 4); p_2 (x) = 2 + dfrac {1} {4} (x − 4) - dfrac {1} { 64} (x − 4) ^ 2; p_1 (6) = 2.5; p_2 (6) = 2.4375; )

(| R_1 (6) | ≤0.0625; | R_2 (6) | ≤0.015625 )

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Aproximación de ( sin x ) usando polinomios de Maclaurin

Del Ejemplo b., Los polinomios de Maclaurin para ( sin x ) están dados por

[p_ {2m + 1} (x) = p_ {2m + 2} (x) = x− dfrac {x ^ 3} {3!} + dfrac {x ^ 5} {5!} - dfrac {x ^ 7} {7!} + ⋯ + (- 1) ^ m dfrac {x ^ {2m + 1}} {(2m + 1)!} nonumber ]

para (m = 0,1,2,…. )

  1. Utilice el quinto polinomio de Maclaurin para ( sin x ) para aproximar ( sin left ( dfrac {π} {18} right) ) y limite el error.
  2. ¿Para qué valores de (x ) el quinto polinomio de Maclaurin se aproxima a ( sin x ) dentro de (0,0001 )?

Solución

un.

El quinto polinomio de Maclaurin es

[p_5 (x) = x− dfrac {x ^ 3} {3!} + dfrac {x ^ 5} {5!} ].

Usando este polinomio, podemos estimar de la siguiente manera:

[ sin left ( dfrac {π} {18} right) ≈p_5 left ( dfrac {π} {18} right) = dfrac {π} {18} - dfrac {1} { 3!} Left ( dfrac {π} {18} right) ^ 3 + dfrac {1} {5!} Left ( dfrac {π} {18} right) ^ 5≈0.173648. ]

Para estimar el error, use el hecho de que el sexto polinomio de Maclaurin es (p_6 (x) = p_5 (x) ) y calcule un límite en (R_6 ( dfrac {π} {18}) ). Por nota, el resto es

[R_6 left ( dfrac {π} {18} right) = dfrac {f ^ {(7)} (c)} {7!} Left ( dfrac {π} {18} right) ^ 7 ]

para algunos (c ) entre 0 y ( dfrac {π} {18} ). Usando el hecho de que (∣f ^ {(7)} (x) ∣≤1 ) para todo (x ), encontramos que la magnitud del error es como máximo

[ dfrac {1} {7!} ⋅ left ( dfrac {π} {18} right) ^ 7≤9.8 × 10 ^ {- 10}. ]

B.

Necesitamos encontrar los valores de (x ) tales que

[ dfrac {1} {7!} | x | ^ 7≤0.0001. ]

Resolviendo esta desigualdad para (x ), tenemos que el quinto polinomio de Maclaurin da una estimación dentro de (0.0001 ) siempre que (| x | <0.907. )

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Usa el cuarto polinomio de Maclaurin para ( cos x ) para aproximar ( cos left ( dfrac {π} {12} right). )

Pista

El cuarto polinomio de Maclaurin es (p_4 (x) = 1− dfrac {x ^ 2} {2!} + Dfrac {x ^ 4} {4!} ).

Respuesta

0.96593

Ahora que podemos unir el resto (R_n (x) ), podemos usar este límite para demostrar que una serie de Taylor para (f ) en a converge a (f ).

Representación de funciones con series de Taylor y Maclaurin

Ahora discutimos cuestiones de convergencia para las series de Taylor. Comenzamos mostrando cómo encontrar una serie de Taylor para una función y cómo encontrar su intervalo de convergencia.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): encontrar una serie de Taylor

Encuentre la serie de Taylor para (f (x) = dfrac {1} {x} ) en (x = 1 ). Determine el intervalo de convergencia.

Solución

Para (f (x) = dfrac {1} {x}, ) los valores de la función y sus primeras cuatro derivadas en (x = 1 ) son

(f (x) = dfrac {1} {x} ) (f (1) = 1 )

(f ′ (x) = - dfrac {1} {x ^ 2} ) (f ′ (1) = - 1 )

(f '' (x) = dfrac {2} {x ^ 3} ) (f '' (1) = 2! )

(f '' '(x) = - dfrac {3⋅2} {x ^ 4} ) (f' '' (1) = - 3! )

(f ^ {(4)} (x) = dfrac {4⋅3⋅2} {x ^ 5} ) (f ^ {(4)} (1) = 4! ).

Es decir, tenemos (f ^ {(n)} (1) = (- 1) ^ nn! ) Para todo (n≥0 ). Por lo tanto, la serie de Taylor para (f ) en (x = 1 ) está dada por

( Displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ dfrac {f ^ {(n)} (1)} {n!} (x − 1) ^ n = sum_ {n = 0} ^ ∞ (- 1) ^ n (x − 1) ^ n ).

Para encontrar el intervalo de convergencia, usamos la prueba de razón. Encontramos eso

( dfrac {| a_ {n + 1} |} {| a_n |} = dfrac {∣ (−1) ^ {n + 1} (x − 1) n ^ {+ 1} ∣} {| ( −1) ^ n (x − 1) ^ n |} = | x − 1 | ).

Por lo tanto, la serie converge si (| x − 1 | <1. ) Es decir, la serie converge para (0

( Displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ (−1) ^ n (2−1) ^ n = sum_ {n = 0} ^ ∞ (−1) ^ n )

diverge por la prueba de divergencia. Del mismo modo, en (x = 0, )

( Displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ (−1) ^ n (0−1) ^ n = sum_ {n = 0} ^ ∞ (−1) ^ {2n} = sum_ {n = 0} ^ ∞1 )

diverge. Por lo tanto, el intervalo de convergencia es ((0,2) ).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Encuentre la serie de Taylor para (f (x) = dfrac {1} {2} ) en (x = 2 ) y determine su intervalo de convergencia.

Pista

(f ^ {(n)} (2) = dfrac {(- 1) ^ nn!} {2 ^ {n + 1}} )

Respuesta

( dfrac {1} {2} Displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ ( dfrac {2 − x} {2}) ^ n ). El intervalo de convergencia es ((0,4) ).

Sabemos que la serie de Taylor encontrada en este ejemplo converge en el intervalo ((0,2) ), pero ¿cómo sabemos que realmente converge a (f )? Consideramos esta pregunta con más generalidad en un momento, pero para este ejemplo, podemos responder esta pregunta escribiendo

[f (x) = dfrac {1} {x} = dfrac {1} {1− (1 − x)}. ]

Es decir, (f ) se puede representar mediante la serie geométrica ( displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ (1 − x) ^ n ). Dado que esta es una serie geométrica, converge a ( dfrac {1} {x} ) siempre que (| 1 − x | <1. ) Por lo tanto, la serie de Taylor encontrada en el Ejemplo converge a ( f (x) = dfrac {1} {x} ) en ((0,2). )

Ahora consideramos la pregunta más general: si una serie de Taylor para una función (f ) converge en algún intervalo, ¿cómo podemos determinar si realmente converge a (f )? Para responder a esta pregunta, recuerde que una serie converge a un valor particular si y solo si su secuencia de sumas parciales converge a ese valor. Dada una serie de Taylor para (f ) en (a ), la (n ^ { text {th}} ) suma parcial viene dada por (n ^ { text {th}} ) -grado polinomio de Taylor (p_n ). Por lo tanto, para determinar si la serie de Taylor converge a (f ), necesitamos determinar si

( Displaystyle lim_ {n → ∞} p_n (x) = f (x) ).

Dado que el resto (R_n (x) = f (x) −p_n (x) ), la serie de Taylor converge a (f ) si y solo si

( Displaystyle lim_ {n → ∞} R_n (x) = 0. )

Enunciamos ahora este teorema formalmente.

Convergencia de la serie Taylor

Suponga que (f ) tiene derivadas de todos los órdenes en un intervalo (I ) que contiene (a ). Entonces la serie de Taylor

[ sum_ {n = 0} ^ ∞ dfrac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (x − a) ^ n ]

converge a (f (x) ) para todo (x ) en (I ) si y solo si

[ lim_ {n → ∞} R_n (x) = 0 ]

para todo (x ) en (I ).

Con este teorema, podemos probar que una serie de Taylor para (f ) en a converge a (f ) si podemos probar que el resto (R_n (x) → 0 ). Para demostrar que (R_n (x) → 0 ), normalmente usamos el límite

[| R_n (x) | ≤ dfrac {M} {(n + 1)!} | X − a | ^ {n + 1} ]

del teorema de Taylor con el resto.

En el siguiente ejemplo, encontramos la serie de Maclaurin para (e ^ x ) y ( sin x ) y mostramos que estas series convergen a las funciones correspondientes para todos los números reales al demostrar que los restos (R_n (x ) → 0 ) para todos los números reales (x ).

Ejemplo ( PageIndex {6} ): búsqueda de la serie Maclaurin

Para cada una de las siguientes funciones, encuentre la serie de Maclaurin y su intervalo de convergencia. Utilice Nota para demostrar que la serie de Maclaurin para (f ) converge a (f ) en ese intervalo.

  1. (e ^ x )
  2. ( sin x )

Solución

un. Usando el polinomio de (n ^ { text {th}} ) - grado de Maclaurin para (e ^ x ) encontrado en el Ejemplo a., Encontramos que la serie de Maclaurin para (e ^ x ) está dada por

( Displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ dfrac {x ^ n} {n!} ).

Para determinar el intervalo de convergencia, usamos la prueba de razón. Ya que

( dfrac {| a_ {n + 1} |} {| a_n |} = dfrac {| x | ^ {n + 1}} {(n + 1)!} ⋅ dfrac {n!} {| x | ^ n} = dfrac {| x |} {n + 1} ),

tenemos

( Displaystyle lim_ {n → ∞} dfrac {| a_ {n + 1} |} {| a_n |} = lim_ {n → ∞} dfrac {| x |} {n + 1} = 0 )

para todo (x ). Por lo tanto, la serie converge absolutamente para todo (x ) y, por tanto, el intervalo de convergencia es ((- ∞, ∞) ). Para mostrar que la serie converge a (e ^ x ) para todo (x ), usamos el hecho de que (f ^ {(n)} (x) = e ^ x ) para todo (n ≥0 ) y (e ^ x ) es una función creciente en ((- ∞, ∞) ). Por lo tanto, para cualquier número real (b ), el valor máximo de (e ^ x ) para todo (| x | ≤b ) es (e ^ b ). Por lo tanto,

(| R_n (x) | ≤ dfrac {e ^ b} {(n + 1)!} | X | ^ {n + 1} ).

Ya que acabamos de mostrar eso

( Displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ dfrac {| x | ^ n} {n!} )

converge para todo (x ), por la prueba de divergencia, sabemos que

( Displaystyle lim_ {n → ∞} dfrac {| x | ^ {n + 1}} {(n + 1)!} = 0 )

para cualquier número real (x ). Al combinar este hecho con el teorema de la compresión, el resultado es ( displaystyle lim_ {n → ∞} R_n (x) = 0. )

B. Usando el polinomio de (n ^ { text {th}} ) - grado de Maclaurin para ( sin x ) encontrado en el Ejemplo b., Encontramos que la serie de Maclaurin para ( sin x ) está dada por

( Displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ (−1) ^ n dfrac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!} ).

Para aplicar la prueba de razón, considere

( dfrac {| a_ {n + 1} |} {| a_n |} = dfrac {| x | ^ {2n + 3}} {(2n + 3)!} ⋅ dfrac {(2n + 1) !} {| x | ^ {2n + 1}} = dfrac {| x | ^ 2} {(2n + 3) (2n + 2)} ).

Ya que

( Displaystyle lim_ {n → ∞} dfrac {| x | ^ 2} {(2n + 3) (2n + 2)} = 0 )

para todo (x ), obtenemos el intervalo de convergencia como ((- ∞, ∞). ) Para mostrar que la serie de Maclaurin converge a ( sin x ), observe (R_n (x) ). Para cada (x ) existe un número real (c ) entre (0 ) y (x ) tal que

(R_n (x) = dfrac {f ^ {(n + 1)} (c)} {(n + 1)!} X ^ {n + 1} ).

Dado que (∣f ^ {(n + 1)} (c) ∣≤1 ) para todos los enteros (n ) y todos los números reales (c ), tenemos

(| R_n (x) | ≤ dfrac {| x | ^ {n + 1}} {(n + 1)!} )

para todos los números reales (x ). Usando la misma idea que en la parte a., El resultado es ( displaystyle lim_ {n → ∞} R_n (x) = 0 ) para todo (x ), y por lo tanto, la serie de Maclaurin para ( sin x ) converge a ( sin x ) para todo (x ) real.

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Encuentre la serie de Maclaurin para (f (x) = cos x ). Utilice la prueba de razón para demostrar que el intervalo de convergencia es ((- ∞, ∞) ). Muestre que la serie de Maclaurin converge a ( cos x ) para todos los números reales (x ).

Pista

Usa los polinomios de Maclaurin para ( cos x. )

Respuesta

( Displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ dfrac {(- 1) ^ nx ^ {2n}} {(2n)!} )

Por la prueba de razón, el intervalo de convergencia es ((- ∞, ∞). ) Dado que (| R_n (x) | ≤ dfrac {| x | ^ {n + 1}} {(n + 1) !} ), la serie converge a ( cos x ) para todo (x ) real.

Demostrar que (e ) es irracional

En este proyecto, usamos los polinomios de Maclaurin para (e ^ x ) para demostrar que (e ) es irracional. La prueba se basa en suponer que (e ) es racional y llega a una contradicción. Por lo tanto, en los siguientes pasos, suponemos (e = r / s ) para algunos enteros (r ) y (s ) donde (s ≠ 0. )

  1. Escribe los polinomios de Maclaurin (p_0 (x), p_1 (x), p_2 (x), p_3 (x), p_4 (x) ) para (e ^ x ). Evalúe (p_0 (1), p_1 (1), p_2 (1), p_3 (1), p_4 (1) ) para estimar (e ).
  2. Deje que (R_n (x) ) denote el resto cuando use (p_n (x) ) para estimar (e ^ x ). Por lo tanto, (R_n (x) = e ^ x − p_n (x) ) y (R_n (1) = e − p_n (1) ). Suponiendo que (e = dfrac {r} {s} ) para enteros (r ) y (s ), evalúe (R_0 (1), R_1 (1), R_2 (1), R_3 ( 1), R_4 (1). )
  3. Usando los resultados de la parte 2, demuestre que para cada resto (R_0 (1), R_1 (1), R_2 (1), R_3 (1), R_4 (1), ) podemos encontrar un número entero (k ) tal que (kR_n (1) ) es un número entero para (n = 0,1,2,3,4. )
  4. Escribe la fórmula para el polinomio de Maclaurin de (n ^ { text {th}} ) - grado (p_n (x) ) para (e ^ x ) y el resto correspondiente (R_n (x). ) Demuestre que (sn! R_n (1) ) es un número entero.
  5. Usa el teorema de Taylor para escribir una fórmula explícita para (R_n (1) ). Concluya que (R_n (1) ≠ 0 ), y por lo tanto, (sn! R_n (1) ≠ 0 ).
  6. Usa el teorema de Taylor para encontrar una estimación de (R_n (1) ). Use esta estimación combinada con el resultado de la parte 5 para mostrar que (| sn! R_n (1) | < dfrac {se} {n + 1} ). Concluya que si (n ) es lo suficientemente grande, entonces (| sn! R_n (1) | <1 ). Por lo tanto, (sn! R_n (1) ) es un número entero con magnitud menor que 1. Por lo tanto, (sn! R_n (1) = 0 ). Pero de la parte 5, sabemos que (sn! R_n (1) ≠ 0 ). Hemos llegado a una contradicción y, en consecuencia, la suposición original de que e es racional debe ser falsa.

Conceptos clave

  • Los polinomios de Taylor se utilizan para aproximar funciones cercanas a un valor (x = a ). Los polinomios de Maclaurin son polinomios de Taylor en (x = 0 ).
  • Los polinomios de Taylor de (n ^ { text {th}} ) - grados para una función (f ) son las sumas parciales de la serie de Taylor para (f ).
  • Si una función (f ) tiene una representación en serie de potencias en (x = a ), entonces está dada por su serie de Taylor en (x = a ).
  • Una serie de Taylor para (f ) converge a (f ) si y solo si ( displaystyle lim_ {n → ∞} R_n (x) = 0 ) donde (R_n (x) = f (x ) −p_n (x) ).
  • La serie de Taylor para (e ^ x, sin x ) y ( cos x ) convergen a las funciones respectivas para todo x real.

Ecuaciones clave

  • Serie de Taylor para la función (f ) en el punto (x = a )

( Displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ dfrac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (x − a) ^ n = f (a) + f ′ (a) ( x − a) + dfrac {f '' (a)} {2!} (x − a) ^ 2 + ⋯ + dfrac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (x− a) ^ n + ⋯ )

Glosario

Polinomio de Maclaurin
un polinomio de Taylor centrado en (0 ); el (n ^ { text {th}} ) - grado polinomio de Taylor para (f ) en (0 ) es el (n ^ { text {th}} ) - grado polinomio de Maclaurin para (F)
Serie Maclaurin
una serie de Taylor para una función (f ) en (x = 0 ) se conoce como una serie de Maclaurin para (f )
Polinomios de Taylor
el polinomio de Taylor de (n ^ { text {th}} ) - grado para (f ) en (x = a ) es (p_n (x) = f (a) + f ′ (a) (x − a) + dfrac {f '' (a)} {2!} (x − a) ^ 2 + ⋯ + dfrac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (x −a) ^ n )
Serie de taylor
a power series at (a) that converges to a function (f) on some open interval containing (a).
Taylor’s theorem with remainder

for a function (f) and the (n^{ ext{th}})-degree Taylor polynomial for (f) at (x=a), the remainder (R_n(x)=f(x)−p_n(x)) satisfies (R_n(x)=dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x−a)^{n+1})

for some(c) between (x) and (a); if there exists an interval (I) containing (a) and a real number (M) such that (∣f^{(n+1)}(x)∣≤M) for all (x) in (I), then (|R_n(x)|≤dfrac{M}{(n+1)!}|x−a|^{n+1})

Contributors and Attributions

  • Gilbert Strang (MIT) and Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) with many contributing authors. This content by OpenStax is licensed with a CC-BY-SA-NC 4.0 license. Download for free at http://cnx.org.


11.10 Taylor and Maclaurin Series (# 1)

Introduction: In this lesson we will learn a general procedure to derive a power series for any function that has derivatives of all orders. Every convergent power series must take a certain form – which is discussed in this lesson. Once we have a “toolbox” of common power series for some common functions we will use these series to derive series for other functions, integrate functions which cannot be evaluated using other methods, and find limits.

Objectives: After this lesson you should be able to:

  • Find a Taylor and Maclaruin Series for a function.
  • Find a binomial series.
  • Use a basic list of Taylor Series to find other Taylor Series.

Video & Notes: Fill out the note sheet for this lesson (11-10-Taylor-and-Maclaurin-Series-1) as you watch the video. If you prefer, you could read Section 11.10 of your textbook and work out the problems on the notes on your own as practice. Remember, notes must be uploaded to Blackboard weekly for a grade! If for some reason the video below does not load you can access it on YouTube here.

Homework: Go to WebAssign and complete the 󈫻.10 Taylor and Maclaurin Series” assignment. There will be only one assignment for both parts of this lesson.

Practice Problems: # 5-15 odds, 21-25 odds, 31, 35-39 odds, 43, 55, 57, 65, 67, 69, 73-79 odds


11.11 Applications of Taylor Polynomials

Introduction: In this lesson we will learn how polynomials can be used to approximate functions. For example, you learned in Calculus 1 that the function sin x can be approximated using a tangent line, but how might you improve on this estimate? These approximating polynomials are called Taylor (and Maclaurin) polynomials. We will discuss where they come from, how they work, and discuss the accuracy of these approximations in this lesson.

Objectives: After this lesson you should be able to:

  • Find Taylor and Maclaurin polynomial approximations of elementary functions.
  • Estimate the remainder or error of an approximation using Taylor’s Theorem and the AST Remainder Theorem, when appropriate.

Video & Notes: Fill out the note sheet for this lesson (11-11-Applications-of-Taylor-Polynomails) as you watch the video. If you prefer, you could read Section 9.7 of your textbook and work out the problems on the notes on your own as practice. Remember, notes must be uploaded to Blackboard weekly for a grade! If for some reason the video below does not load you can access it on YouTube here.

Homework: Go to WebAssign and complete the 󈫻.11 Applications of Taylor Polynomials” assignment.


Taylor and Maclaurin Series

So far we have looked at power series, that is, series in the form $sum_^ a_n(x - c)^n$ . Suppose that this series converges to $f(x)$ on the interval $(c - R, c + R)$ where $R > 0$ is the radius of convergence of this power series, and $c$ is the center of convergence. The following Theorem tells us that the value of the coefficient $a_n$ is determined by taking the $n^>$ derivative of $f$ , evaluating it at $c$ , and dividing by $n!$ .

  • Prueba: Consider the power series that converges to $f(x)$ on the interval $(c - R, c + R)$ .
  • We first note that $frac(c)><0!>= f(c) = a_0$ . We will now differentiate the series above. Note that in doing so, the interval of convergence is still $(c - R, c + R)$ (since the differentiation of a power series can only result in losing a one or both of the endpoints, both of which the original series is not known to converge to). Thus:
  • Note that $frac(c)><2!>= frac<2>= frac<2a_2><2>= a_2$ . If we carry through this process inductively, we see that for $n = 0, 1, 2, . $ we have that:

We will now define what a Taylor/Maclaurin series is.

Definition: Suppose that $f(x)$ has derivatives of all orders at the point $x = c$ . Then the Taylor Series of $f$ about $x = c$ is given by $sum_^ f^<(n)>(c) frac<(x - c)^n> = f(c) + f'(c)frac<(x - c)> <1!>+ f''(c)frac<(x - c)^2> <2!>+ f'''(c)frac<(x - c)^3> <3!>+ . $ . If $c = 0$ , then we call this series a Maclaurin Series.

Before we look at some examples of Taylor and Maclaurin series, it will first be important to mention that not all Taylor series of $f$ about $x = c$ converge to $f$ . In the definition above, we can see that it is only guaranteed that a Taylor series will converge at its center of convergence $c$ . In fact, it is possible that the Taylor or Maclaurin series of $f$ about $x = c$ will only converge at $x = c$ or if the Taylor/Maclaurin series does converge, it may not converge to $f(x)$ . We will state an important definition to classify the two types of functions $f$ ones to which the Taylor series of $f$ converge to $f(x)$ on an open interval containing $x = c$ , and ones that do not.

Definition: A function $f$ is said to be an Analytic Function at $c$ if the Taylor series of $f$ at $x = c$ converges to $f(x)$ over an open interval containing $c$ .

If we have a function a Taylor series of a function $f(x)$ given by $sum_^ f^<(n)>(c) frac<(x - c)^n> = f(c) + f'(c)frac<(x - c)> <1!>+ f''(c)frac<(x - c)^2> <2!>+ f'''(c)frac<(x - c)^3> <3!>+ . $ , we will write $: f(x) sim sum_^ f^<(n)>(c) frac<(x - c)^n>$ until we know for sure that $f$ is an analytic function. For now, we will look look at some examples of important Taylor (specifically Maclaurin series) and assume the functions converge to their respective power series.

  • $e^x = sum_^ frac= 1 + frac<1!>+ frac<2!>+ frac<3!>+ . $ , $forall x in mathbb$ .
  • $sin x = sum_^ (-1)^n frac><(2n + 1)!>= x - frac<3!>+ frac<5!>- frac<7!>+ . $ , $forall x in mathbb$ .
  • $cos x = sum_^ (-1)^n frac><(2n)!>= 1 - frac<2!>+ frac<4!>- frac<6!>+ frac<8!>- . $ , $forall x in mathbb$ .

We will eventually derive all of the Maclaurin series given above and more, however, let's first address the analytic nature of a function. First, define $T_n(x) = sum_^ f^<(k)>frac<(x - c)^k>$ to be the $n^>$ degree Taylor polynomial of $f$ about $x = c$ , (or the $n^>$ partial sum of the the Taylor series of $f$ about $x = c$ ). We will denote $R_n(x)$ called the Lagrange remainder o la Error Between $f(x)$ and $T_n(x)$ (which we will touch upon soon) to be denoted as $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$ . Notice that $R_n(x)$ is simply the difference between $f(x)$ and $T_n(x)$ , and so $R_n(x)$ is essentially, "what is left over" or the "remainder/error". From this we get the following equation:


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Taylor and MacLaurin Series



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Maclaurin and Taylor Series Intuition
Approximating a function at 0 using a polynomial

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Explain Taylor Series and Maclaurin Series

Im so lost with taylor and maclaurin. I dont trust my professor because he often shows us the incorrect method or solution so im trying to learn on my own. Can someone dumb it down for me? The link below is what the department has for us for practice problems. I just need a general understanding and an example of how to do one. I feel dumb :(

3B1B had a great video that explained it great. Hope this helps! Link: https://youtu.be/3d6DsjIBzJ4

As far as I can see, there's no better visualization.

Yeah his video helped and patrickmj also

A Taylor series is a series approximation of a function. For some functions, such as e x, cosx, and sinx, the series actually equals the function at the infinite-term, but the vast majority of functions are not so. They approximate the function within the radius of convergence, which I hope sounds familiar to you.

The thing is, this guy Taylor realizes something wild. For any given power series (ex. inf sum of x n / n!), whose form is inf sum of c(x-a) n , where c is a coefficient and a is the center, c_0, c_1, c_2, . c_n are all equal to f n (a)/n!. That is, if you know the derivative of a function, you can approximate it as a Taylor series.

He also realizes something else, that can't be as easily explained: the error of a given series is dependent on the n+1nth derivative. That's the Taylor Remainder theorem.

So, I'm gonna go through each problem and say a little something.

1.) This is just plugging into the Taylor Remainder Theorem. Basically, you find the upper bound of the n+1th derivative, and use that value in the equation to find the upper bound on how big the error is. Essentially, you're trying to find a maximum value on how big cos(x) minus the taylor series at a certain term is.

3.) Still using the function, but this time you're given a maximum error and you need to solve for which term of the Taylor series will get to this error. Working backwards, basically.

5.) We switch it up! The idea is that given that a power series can have any center a, if we want the center a=0, that's called a Maclaurin series. So, we want the Maclaurin series of cos(x). Remember, the structure of a Taylor series is inf sum of (f n (a)/n!) * (x-a) n, so you just evaluate the derivatives with a=0 to write out the infinite series. Find the pattern, and you have your sum notation.

5b.) To find the interval of convergence, you can use the Ratio Test, which evaluates to 0. What this means is that, no matter the x-value, it converges, as the ratio test is finite. The interval is (-inf, inf), then.

5c.) This is effectively proving that the taylor series of cosx is equal to cosx itself. By proving for all x, the remainder (which is the difference between the function and the series approximation) goes to 0 as the number of terms increases, then there is no difference between the infinite sum and the function itself.

6.) this one's a bit of a silly question. It's just connecting the geometric series (which has secretly been a Maclaurin series all along for f(x) = 1/(1-x)) to the maclaurin.

7.) This one's more conceptual. It explains itself.

I'm sorry if this is confusing. Taylor series are really rough and a drastic change from what has been in the curriculum, and I wish you the best. The sad reality is that there is no quick way for me (or anyone) to explain what's going on. Just look up problems (I suggest Paul's Online Math Notes, or if you like videos, 3Blue1Brown or Professor Leonard), and try to solve them. You can't understand without doing problems.


11.10: Taylor and Maclaurin Series - Mathematics

    U2C[aL2E7bqfE-bo!hY/:ZD-"f^9G11.10: Taylor and Maclaurin Series - Mathematics,[nobr][H1toH2]

    Contenido

    The Taylor series of a real or complex-valued function F (X) that is infinitely differentiable at a real or complex number a is the power series

    donde norte! denotes the factorial of n . In the more compact sigma notation, this can be written as

    donde F (norte) (a) denotes the n th derivative of f evaluated at the point a . (The derivative of order zero of f is defined to be f itself and (Xa) 0 and 0! are both defined to be 1.)

    Cuándo a = 0 , the series is also called a Maclaurin series. [1]

    The Taylor series for any polynomial is the polynomial itself.

    The Maclaurin series for 1 / 1 − X is the geometric series

    By integrating the above Maclaurin series, we find the Maclaurin series for ln(1 − X) , where ln denotes the natural logarithm:

    The corresponding Taylor series for ln X a a = 1 is

    and more generally, the corresponding Taylor series for ln X at an arbitrary nonzero point a is:

    The Maclaurin series for the exponential function mi X es

    The above expansion holds because the derivative of mi X with respect to x is also mi X , y mi 0 equals 1. This leaves the terms (X − 0) norte in the numerator and norte! in the denominator for each term in the infinite sum.

    The Greek philosopher Zeno considered the problem of summing an infinite series to achieve a finite result, but rejected it as an impossibility [2] the result was Zeno's paradox. Later, Aristotle proposed a philosophical resolution of the paradox, but the mathematical content was apparently unresolved until taken up by Archimedes, as it had been prior to Aristotle by the Presocratic Atomist Democritus. It was through Archimedes's method of exhaustion that an infinite number of progressive subdivisions could be performed to achieve a finite result. [3] Liu Hui independently employed a similar method a few centuries later. [4]

    In the 14th century, the earliest examples of the use of Taylor series and closely related methods were given by Madhava of Sangamagrama. [5] [6] Though no record of his work survives, writings of later Indian mathematicians suggest that he found a number of special cases of the Taylor series, including those for the trigonometric functions of sine, cosine, tangent, and arctangent. The Kerala School of Astronomy and Mathematics further expanded his works with various series expansions and rational approximations until the 16th century.

    In the 17th century, James Gregory also worked in this area and published several Maclaurin series. It was not until 1715 however that a general method for constructing these series for all functions for which they exist was finally provided by Brook Taylor, [7] after whom the series are now named.

    The Maclaurin series was named after Colin Maclaurin, a professor in Edinburgh, who published the special case of the Taylor result in the 18th century.

    Si F (X) is given by a convergent power series in an open disk (or interval in the real line) centred at b in the complex plane, it is said to be analytic in this disk. Thus for x in this disk, f is given by a convergent power series

    Differentiating by x the above formula n times, then setting X = B gives:

    and so the power series expansion agrees with the Taylor series. Thus a function is analytic in an open disk centred at b if and only if its Taylor series converges to the value of the function at each point of the disk.

    Si F (X) is equal to the sum of its Taylor series for all x in the complex plane, it is called entire. The polynomials, exponential function mi X , and the trigonometric functions sine and cosine, are examples of entire functions. Examples of functions that are not entire include the square root, the logarithm, the trigonometric function tangent, and its inverse, arctan. For these functions the Taylor series do not converge if x is far from b . That is, the Taylor series diverges at x if the distance between x and b is larger than the radius of convergence. The Taylor series can be used to calculate the value of an entire function at every point, if the value of the function, and of all of its derivatives, are known at a single point.

    Uses of the Taylor series for analytic functions include:

    1. The partial sums (the Taylor polynomials) of the series can be used as approximations of the function. These approximations are good if sufficiently many terms are included.
    2. Differentiation and integration of power series can be performed term by term and is hence particularly easy.
    3. An analytic function is uniquely extended to a holomorphic function on an open disk in the complex plane. This makes the machinery of complex analysis available.
    4. The (truncated) series can be used to compute function values numerically, (often by recasting the polynomial into the Chebyshev form and evaluating it with the Clenshaw algorithm).
    5. Algebraic operations can be done readily on the power series representation for instance, Euler's formula follows from Taylor series expansions for trigonometric and exponential functions. This result is of fundamental importance in such fields as harmonic analysis.
    6. Approximations using the first few terms of a Taylor series can make otherwise unsolvable problems possible for a restricted domain this approach is often used in physics.

    Pictured on the right is an accurate approximation of sin X around the point X = 0. The pink curve is a polynomial of degree seven:

    In contrast, also shown is a picture of the natural logarithm function ln(1 + X) and some of its Taylor polynomials around a = 0. These approximations converge to the function only in the region −1 < X ≤ 1 outside of this region the higher-degree Taylor polynomials are worse approximations for the function.

    El error incurred in approximating a function by its n th-degree Taylor polynomial is called the remainder o residual and is denoted by the function Rnorte(X). Taylor's theorem can be used to obtain a bound on the size of the remainder.

    In general, Taylor series need not be convergent at all. And in fact the set of functions with a convergent Taylor series is a meager set in the Fréchet space of smooth functions. And even if the Taylor series of a function f does converge, its limit need not in general be equal to the value of the function F (X). For example, the function

    is infinitely differentiable at X = 0 , and has all derivatives zero there. Consequently, the Taylor series of F (X) about X = 0 is identically zero. Sin embargo, F (X) is not the zero function, so does not equal its Taylor series around the origin. Thus, F (X) is an example of a non-analytic smooth function.

    In real analysis, this example shows that there are infinitely differentiable functions F (X) whose Taylor series are no equal to F (X) even if they converge. By contrast, the holomorphic functions studied in complex analysis always possess a convergent Taylor series, and even the Taylor series of meromorphic functions, which might have singularities, never converge to a value different from the function itself. The complex function mi −1/z 2 , however, does not approach 0 when z approaches 0 along the imaginary axis, so it is not continuous in the complex plane and its Taylor series is undefined at 0.

    More generally, every sequence of real or complex numbers can appear as coefficients in the Taylor series of an infinitely differentiable function defined on the real line, a consequence of Borel's lemma. As a result, the radius of convergence of a Taylor series can be zero. There are even infinitely differentiable functions defined on the real line whose Taylor series have a radius of convergence 0 everywhere. [8]

    A function cannot be written as a Taylor series centred at a singularity in these cases, one can often still achieve a series expansion if one allows also negative powers of the variable x see Laurent series. For example, F (X) = mi −1/X 2 can be written as a Laurent series.

    Generalization Edit

    There is, however, a generalization [9] [10] of the Taylor series that does converge to the value of the function itself for any bounded continuous function on (0,∞) , using the calculus of finite differences. Specifically, one has the following theorem, due to Einar Hille, that for any t > 0 ,

    Here Δ norte
    h is the n th finite difference operator with step size h . The series is precisely the Taylor series, except that divided differences appear in place of differentiation: the series is formally similar to the Newton series. When the function f is analytic at a , the terms in the series converge to the terms of the Taylor series, and in this sense generalizes the usual Taylor series.

    In general, for any infinite sequence aI , the following power series identity holds:

    The law of large numbers implies that the identity holds. [11]

    Several important Maclaurin series expansions follow. [12] All these expansions are valid for complex arguments x .

    Exponential function Edit

    Natural logarithm Edit

    The natural logarithm (with base e ) has Maclaurin series

    Geometric series Edit

    The geometric series and its derivatives have Maclaurin series

    Binomial series Edit

    whose coefficients are the generalized binomial coefficients

    (If norte = 0 , this product is an empty product and has value 1.) It converges for | x | < 1 for any real or complex number α .

    When only the linear term is retained, this simplifies to the binomial approximation.

    Trigonometric functions Edit

    The usual trigonometric functions and their inverses have the following Maclaurin series:

    All angles are expressed in radians. The numbers Bk appearing in the expansions of tan X are the Bernoulli numbers. El mik in the expansion of sec X are Euler numbers.

    Hyperbolic functions Edit

    The hyperbolic functions have Maclaurin series closely related to the series for the corresponding trigonometric functions:

    The numbers Bk appearing in the series for tanh X are the Bernoulli numbers.

    Several methods exist for the calculation of Taylor series of a large number of functions. One can attempt to use the definition of the Taylor series, though this often requires generalizing the form of the coefficients according to a readily apparent pattern. Alternatively, one can use manipulations such as substitution, multiplication or division, addition or subtraction of standard Taylor series to construct the Taylor series of a function, by virtue of Taylor series being power series. In some cases, one can also derive the Taylor series by repeatedly applying integration by parts. Particularly convenient is the use of computer algebra systems to calculate Taylor series.

    First example Edit

    In order to compute the 7th degree Maclaurin polynomial for the function

    one may first rewrite the function as

    The Taylor series for the natural logarithm is (using the big O notation)

    and for the cosine function

    The latter series expansion has a zero constant term, which enables us to substitute the second series into the first one and to easily omit terms of higher order than the 7th degree by using the big O notation:

    Since the cosine is an even function, the coefficients for all the odd powers X, X 3 , X 5 , X 7 , . have to be zero.

    Second example Edit

    Suppose we want the Taylor series at 0 of the function

    We have for the exponential function

    and, as in the first example,

    Assume the power series is

    Then multiplication with the denominator and substitution of the series of the cosine yields

    Collecting the terms up to fourth order yields

    Third example Edit

    Here we employ a method called "indirect expansion" to expand the given function. This method uses the known Taylor expansion of the exponential function. In order to expand (1 + X)e x as a Taylor series in x , we use the known Taylor series of function mi X :

    Classically, algebraic functions are defined by an algebraic equation, and transcendental functions (including those discussed above) are defined by some property that holds for them, such as a differential equation. For example, the exponential function is the function which is equal to its own derivative everywhere, and assumes the value 1 at the origin. However, one may equally well define an analytic function by its Taylor series.

    Taylor series are used to define functions and "operators" in diverse areas of mathematics. In particular, this is true in areas where the classical definitions of functions break down. For example, using Taylor series, one may extend analytic functions to sets of matrices and operators, such as the matrix exponential or matrix logarithm.

    In other areas, such as formal analysis, it is more convenient to work directly with the power series themselves. Thus one may define a solution of a differential equation as a power series which, one hopes to prove, is the Taylor series of the desired solution.

    The Taylor series may also be generalized to functions of more than one variable with [13] [14]

    f ( a , b ) + ( x − a ) f x ( a , b ) + ( y − b ) f y ( a , b ) + 1 2 ! ( ( x − a ) 2 f x x ( a , b ) + 2 ( x − a ) ( y − b ) f x y ( a , b ) + ( y − b ) 2 f y y ( a , b ) ) (a,b)+(y-b)f_(a,b)+<2!>>(x-a)^<2>f_(a,b)+2(x-a)(y-b)f_(a,b)+(y-b)^<2>f_(a,b)>

    where the subscripts denote the respective partial derivatives.

    A second-order Taylor series expansion of a scalar-valued function of more than one variable can be written compactly as

    donde D F (a) is the gradient of f evaluated at X = a y D 2 F (a) is the Hessian matrix. Applying the multi-index notation the Taylor series for several variables becomes

    which is to be understood as a still more abbreviated multi-index version of the first equation of this paragraph, with a full analogy to the single variable case.

    Example Edit

    In order to compute a second-order Taylor series expansion around point (a, B) = (0, 0) of the function

    one first computes all the necessary partial derivatives:

    Evaluating these derivatives at the origin gives the Taylor coefficients

    Substituting these values in to the general formula

    Since ln(1 + y) is analytic in | y | < 1 , we have

    The trigonometric Fourier series enables one to express a periodic function (or a function defined on a closed interval [a,B] ) as an infinite sum of trigonometric functions (sines and cosines). In this sense, the Fourier series is analogous to Taylor series, since the latter allows one to express a function as an infinite sum of powers. Nevertheless, the two series differ from each other in several relevant issues:


    Colin Maclaurin

    Colin Maclaurin was born in Kilmodan where his father, John Maclaurin, was the minister of the parish. The village ( population 387 in 1904) is on the river Ruel and the church is at Glendaruel.

    You can see more about Kilmodan Church at THIS LINK.

    John Maclaurin was more of a scholar than one would expect of a parish minister, for he had translated the Psalms into Gaelic. He had three sons. John, the eldest, following in his father's steps, became a minister he was a public spirited man of profound learning, and corresponded with Jonathan Edwards, the American metaphysician. The second son, Daniel, died young after having given signs of extraordinary genius. Colin was the youngest. His father died when Colin was six weeks old. Colin Maclaurin's mother inherited a small estate in Argyllshire and it was on the estate that Colin spent the early years of his life. His mother wanted a good education for Colin and his brother John, so the family moved to Dumbarton where the boys attended school.

    In 1707 , when Colin was nine years old, his mother died so the task of bringing up Colin and his brother John fell to their uncle Daniel Maclaurin who was the minister at Kilfinan on Loch Fyne.

    You can see more about Kilfinan Church at THIS LINK.

    Colin became a student at the University of Glasgow in 1709 at the age of eleven years. He was one of around 400 students. This may seem an unbelievable age for someone to begin their university education, but it was not so amazing at this time as it would be today. Basically Scottish schools and universities competed for the best pupils at that time, rather than a university education being seen as following a school education as is the norm today.

    Certainly Maclaurin's abilities soon began to show at Glasgow University. His first encounter with advanced mathematics came one year after he entered university, when he found a copy of Euclid's Elementos in one of his friend's rooms. This was the standard text for mathematical study at this time, but Maclaurin studied it on his own, quickly mastering the first six of the thirteen books of the Elementos. At Glasgow Maclaurin came into contact with Robert Simson who was the Professor of Mathematics there. Simson was particularly interested in the geometry of ancient Greece and his enthusiasm for the topic was to influence the young student Maclaurin. Tweddle in [ 23 ] looks at the correspondence between Simson and Maclaurin on conic sections 25 years after Maclaurin's student days at Glasgow.

    At the age of 14 Maclaurin was awarded the degree of M.A. after studying Latin, Greek, Logic, Moral Philosophy, Natural Philosophy and Mathematics. Although a master's degree in name, this was a first degree equivalent to a B.A. but the ancient Scottish universities ( including St Andrews, my [ EFR ] own university ) still retain the degree of M.A. as the first degree in Arts. However, Maclaurin had to defend a thesis in a public examination for the award of this degree ( which is not the case today ) , and he chose On the power of gravity as his topic. The thesis, which developed Newton's theories, was written by a 14 year old boy at a time when such advanced ideas would only be familiar to a small number of the leading mathematicians.

    After graduating with the degree of M.A., Maclaurin remained at the University of Glasgow for a further year to study divinity. It had been his intention to enter the Presbyterian Church but [ 7 ] :-

    he decided against that career.

    After leaving Glasgow in 1714 , Maclaurin returned to live with his uncle in the manse at Kilfinan. These were happy years for Maclaurin who studied hard and walked in the nearby hills and mountains for recreation. Unfinished scraps in his notebooks reveal the sensitivity of his nature as he would sometimes break out into poetic rhapsody on the beauties of the scene and the perfections of its Author. Claramente logró un estándar muy alto en matemáticas porque, en agosto de 1717, fue nombrado profesor de matemáticas en el Marischal College de la Universidad de Aberdeen a la edad de solo 19 años. La cita siguió a diez días de exámenes para encontrar al mejor candidato y está claro que, a pesar de haber otro candidato destacado, Maclaurin tenía el mayor conocimiento de temas avanzados.

    Puede ver un informe de los exámenes en ESTE ENLACE y puede ver una imagen de Marischal College en ESTE ENLACE.

    Maclaurin iba a hacer dos viajes a Londres, y el primero de ellos lo hizo en 1719. Maclaurin ya se había mostrado un firme defensor de las ideas matemáticas y físicas de Newton, por lo que era natural que se encontraran durante la visita de Maclaurin a Londres. Es sorprendente que algunos de los biógrafos de Newton, por ejemplo A Rupert Hall en su biografía de 1992, declaren que Maclaurin y Newton nunca se conocieron. Maclaurin escribe sobre esta visita a Londres en una de sus cartas (ver, por ejemplo, la carta 117 en [3]) dice: -

    Maclaurin recibió más que cortesía de la Royal Society, ya que fue elegido miembro de la Royal Society durante esta visita a Londres.

    Un acontecimiento bastante extraño en la carrera de Maclaurin tuvo lugar durante el tiempo que ocupó la cátedra de matemáticas en Aberdeen. Lord Polwarth fue un agente diplomático del rey Jorge II. En esta época era costumbre que los hijos de las principales personas hicieran una gran gira por Europa como parte de la finalización de su educación. Polwarth invitó a Maclaurin a acompañar a su hijo George Hume (o Home) (1704 - 1724) en una gira tan grande y, no es de extrañar que Maclaurin aceptara esta oportunidad de viajar y reunirse con matemáticos franceses. Lo sorprendente es que no parece haber pedido el permiso necesario a las autoridades universitarias de Aberdeen, aunque sí parece haber encontrado a alguien que le impartiera clases. Turnbull escribe sin embargo en [5]: -

    No fue una gira corta, ya que Maclaurin pasó dos años viajando con el hijo de Polwarth. Fue un episodio que terminaría trágicamente, ya que mientras estaban de visita en Montpellier, el hijo de Polwarth se enfermó y murió. Maclaurin regresó a Aberdeen para descubrir que la Universidad estaba ciertamente muy disgustada porque no había estado desempeñando sus funciones durante dos años. Ciertamente, no era el caso de que Maclaurin hubiera estado inactivo durante su tiempo fuera, ya que, mientras estaba en Francia, la Académie des Sciences le había otorgado un Gran Premio por su trabajo sobre el impacto de los cuerpos.

    A pesar de haber sido reinstalado en su cátedra por la Universidad de Aberdeen, Maclaurin buscó un puesto en la Universidad de Edimburgo. James Gregory, no el famoso matemático de ese nombre, sino el menos conocido James Gregory (1666-1742), hermano de David Gregory, ocupaba la cátedra de matemáticas en Edimburgo, pero estaba demasiado enfermo para realizar el trabajo. La Universidad de Edimburgo buscó nombrar a alguien para una cátedra conjunta con James Gregory y, el 21 de agosto de 1725, Newton escribió a Maclaurin ofreciéndole su apoyo para recomendarlo para el puesto (ver [1], [7] o la carta 122 de 3 ] ) :-

    Maclaurin pasaría el resto de su carrera en Edimburgo. El 8 de julio de 1733 se casó con Anne Stewart, hija del Procurador General de Escocia. Iban a tener siete hijos pero, como era común en ese momento, no todos alcanzaron la edad adulta. De los siete niños, dos niños y tres niñas le sobrevivieron. No mucho después de su matrimonio, Maclaurin trabajó para expandir la Sociedad Médica de Edimburgo a una sociedad más amplia para incluir otras ramas del saber. El propio Maclaurin actuó como uno de los dos secretarios de esta Sociedad ampliada y en las reuniones mensuales a menudo leía un artículo propio o una carta de un científico extranjero sobre los últimos avances en algún tema de interés actual. Esta Sociedad, tras la muerte de Maclaurin, se convertiría en la Real Sociedad de Edimburgo.

    Maclaurin hizo un trabajo notable en geometría, particularmente en el estudio de curvas planas superiores. De hecho, su primer trabajo importante fue Geométrica Organica Sive Descriptio Linearum Curvarum Universalis Ⓣ publicado en 1720 mientras estaba en la Universidad de Aberdeen. En 1740 recibió un segundo premio de la Académie des Sciences de París, esta vez por un estudio de las mareas. De Causa Physica Fluxus et Reflexus Maris Ⓣ. Usó la teoría de la gravedad de Newton para demostrar que una esfera suave cubierta por un océano suficientemente profundo bajo la fuerza de marea de un solo cuerpo deformante es un esferoide alargado con un eje mayor dirigido hacia el cuerpo deformante. Este premio fue otorgado conjuntamente a Maclaurin, Euler y Daniel Bernoulli, poniendo a Maclaurin entre los dos mejores matemáticos de su época.

    En 1742 Maclaurin publicó su 2 volumen Tratado de fluxiones, la primera exposición sistemática de los métodos de Newton escrita como respuesta al ataque de Berkeley al cálculo por su falta de fundamentos rigurosos. Maclaurin escribió en la introducción (ver por ejemplo [1]): -

    Puede ver el prefacio de Tratado de fluxiones en ESTE ENLACE.

    El Tratado de fluxiones Es una obra importante de 763 páginas, muy elogiada por quienes la leen, pero generalmente descrita como de poca influencia. El artículo [10], sin embargo, argumenta de manera convincente que la influencia de Maclaurin en los continentales ha sido subestimada. Grabiner da cinco áreas de influencia del tratado de Maclaurin: su tratamiento del teorema fundamental del cálculo, su trabajo sobre máximos y mínimos, la atracción de elipsoides, integrales elípticas y la fórmula de suma de Euler-Maclaurin.

    Maclaurin apeló a los métodos geométricos de los antiguos griegos y al método de agotamiento de Arquímedes al intentar poner el cálculo de Newton sobre una base rigurosa. Eso esta en el Tratado de fluxiones que Maclaurin utiliza el caso especial de la serie de Taylor que ahora lleva su nombre y por la que, sin duda, es mejor recordado en la actualidad. La serie Maclaurin no fue una idea descubierta independientemente del resultado más general de Taylor, ya que Maclaurin reconoce la contribución de Taylor. Otro resultado importante dado por Maclaurin, que no ha sido nombrado en su honor ni en ningún otro matemático, es la importante prueba integral para la convergencia de una serie infinita. El Tratado de fluxiones no es simplemente un trabajo diseñado para poner el cálculo sobre una base rigurosa, ya que Maclaurin dio muchas aplicaciones del cálculo en el trabajo. Por ejemplo, investiga la atracción mutua de dos elipsoides de revolución como una aplicación de los métodos que da.

    Otros temas sobre los que escribió Maclaurin fueron el eclipse anular de sol en 1737 y la estructura de los panales de abejas. También contribuyó a los estudios actuariales como uno de los fundadores del tema y [5]: -

    En [17] se describe la controversia entre Maclaurin y George Campbell sobre raíces complejas. Una vez más, el argumento, que Maclaurin llama "una disputa desagradable", fue sobre la prioridad. Véase también [27].

    Sin embargo, no solo debemos comentar la investigación matemática de Maclaurin, sino también sus cualidades como profesor. Su enseñanza en la Universidad de Edimburgo recibió considerables elogios [7]: -

    Murió al año siguiente en Edimburgo y fue enterrado en la Iglesia Greyfriars, donde aún se puede ver su tumba en la esquina suroeste.

    Muchos escribieron sobre la extraordinaria bondad de Maclaurin. Fue descrito como [7]: -

    Maclaurin Tratado de álgebra fue publicado en 1748, dos años después de su muerte. Otro trabajo Relato de los descubrimientos de Sir Isaac Newton quedó incompleto a su muerte, pero se publicó en 1750.

    Como se mencionó anteriormente, Maclaurin es mejor conocido por la serie Maclaurin, que es un caso especial de la serie Taylor. También es recordado por la fórmula de suma de Euler-Maclaurin y por la prueba integral de convergencia de Maclaurin-Cauchy que Maclaurin descubrió 50 años antes de que naciera Cauchy. Maclaurin fue el primero en descubrir la paradoja de Cramer en la intersección de curvas.

    Uno de sus artículos permaneció inédito hasta 1996 cuando Grabiner publicó [11]. En este trabajo Maclaurin considera el problema geométrico de encontrar la diferencia entre el volumen del tronco de un sólido de revolución que es generado por una sección cónica y el volumen del cilindro de la misma altura que el tronco de árbol que tiene un diámetro igual al del tronco. frustum en el punto medio de su altura.


    Ver el vídeo: - Taylor and Maclaurin Series (Noviembre 2021).