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4.7: Integrales de superficie


Hasta este punto hemos estado integrando líneas unidimensionales, dominios bidimensionales y encontrando el volumen de objetos tridimensionales. En esta sección integraremos sobre superficies, o formas bidimensionales sentadas en un mundo tridimensional. Estas integrales se pueden aplicar a situaciones del mundo real, como encontrar la fuerza hacia arriba en un paracaídas abierto.

Introducción

En la última sección, aprendimos cómo encontrar el área de superficie para superficies paramétricas. Cortamos la región en el plano ultravioleta en rectángulos diminutos y sumamos el área de los correspondientes paralelogramos diminutos en el plano xy. El área de estos paralelogramos fue

[ Delta A = left | r_u times r_v right | Delta u Delta v ]

Si pensamos que la superficie tiene densidad variable (f (x, y, z) ), entonces la masa de este paralelogramo será

[ Delta M = f (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) || r_u times r_v || Delta u Delta v ]

y sumando todas estas masas y tomando el límite cuando los tamaños de los rectángulos se acercan a cero, da la definición de la integral de superficie.

Para calcular la integral de una superficie, ampliamos la idea de una integral de línea para integrar sobre una curva. Aunque las superficies pueden fluctuar hacia arriba y hacia abajo en un plano, al tomar el área de secciones cuadradas lo suficientemente pequeñas, podemos esencialmente ignorar las fluctuaciones y tratarlo como un rectángulo plano. Con el tiempo, el área de la superficie se puede calcular con éxito tomando secciones lo suficientemente pequeñas, muy similar a lo que aprendió con las sumas de Reimann anteriormente. La integral de la superficie se puede calcular de una de tres formas dependiendo de cómo se defina la superficie. Los tres son válidos y se pueden usar indistintamente, pero dependiendo de cómo se describan las superficies, una integral será más fácil de resolver que las otras. Las integrales de los métodos anteriores suelen ser imposibles o muy difíciles de resolver analíticamente, pero se pueden resolver fácilmente numéricamente.

Integral de superficie: definición paramétrica

Para una superficie lisa (S ) definida paramétricamente como (r (u, v) = f (u, v) hat { textbf {i}} + g (u, v) hat { textbf {j}} + h (u, v) hat { textbf {k}}, (u, v) in R ), y una función continua (G (x, y, z) ) definida en (S ), la integral de superficie de (G ) sobre (S ) viene dada por la integral doble sobre (R ):

[ iint_ {S} G (x, y, z) , d sigma = iint_ {R} G (f (u, v), g (u, v), h (u, v)) | r_ {u} veces r_ {v} | , du , dv. ]

Integral de superficie: definición implícita

Para una superficie (S ) dada implícitamente por (F (x, y, z) = c ), donde (F ) es una función continuamente diferenciable, con (S ) por encima de su región de sombra cerrada y acotada (R ) en la coordenada plano debajo de él, la integral de superficie de la función continua (G ) sobre (S ) está dada por la integral doble (R ),

[ iint_ {S} G (x, y, z) d sigma = iint_ {R} G (x, y, z) frac {| nabla F |} {| nabla F cdot p | } dA, ]

donde (p ) es un vector unitario normal a (R ) y ( nabla F cdot p neq 0 ).

Integral de superficie: Definición explícita

Para una superficie (S ) dada explícitamente como la gráfica de (z = f (x, y) ), donde (f ) es una función continuamente diferenciable sobre una región (R ) en el plano (xy ) -, entonces la parametrización

[{ textbf {r}} (u, v) = u hat { textbf {i}} + v hat { textbf {j}} + f (u, v) hat { textbf {k }} ]

tiene la propiedad que

[ left | textbf {r} _u times textbf {r} _v right | = sqrt {f_ {x} ^ {2} + f_ {y} ^ {2} + 1} ]

Entonces, la integral de superficie de la función continua (G ) sobre (S ) está dada por la integral doble sobre (R ),

[ iint_ {S} G (x, y, z) , d sigma = iint_ {R} G (x, y, f (x, y)) sqrt {f_ {x} ^ {2} + f_ {y} ^ {2} + 1} , dx , dy ].

Llamamos a una superficie lisa (S ) orientable o de dos caras si es posible definir un campo ( textbf {n} ) de vectores unitarios normales en (S ) que varía continuamente con la posición. Todas las partes de una superficie orientable son orientables. Las esferas y otras superficies lisas cerradas en el espacio son orientables. En general, elegimos ( textbf {n} ) en una superficie cerrada para apuntar hacia afuera.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Integra la función (H (x, y, z) = 2xy + z ) sobre el plano (x + y + z = 2 ).

Solución

Primero, dibujemos el avión.

A continuación, observe que la ecuación del plano se puede manipular. Por tanto, podemos ponerlo en la forma explícita (z = 2 - x - y ). Esto nos da la integral

[ iint_ {S} H (x, y, z) , d sigma = iint_ {R} H (x, y, z) sqrt {f_ {x} ^ {2} + f_ {y} ^ {2} + 1} , dA. sin número]

Tome las derivadas parciales de (x ) y (y ) de la superficie. En este caso, (f_x = -1 ) y (f_y = -1 ). Sustituye estos valores en la integral junto con (H (x, y, z) ) con (z = 2 - x - y ) para obtener la integral

[ iint_ {R} (2xy + 2 - x - y) sqrt {(-1) ^ {2} + (-1) ^ {2} + 1} , dA. sin número]

Para determinar los límites de la integral, necesitamos comprimir la superficie a 2 dimensiones, o mirar su "región de sombra". La idea es imaginarse mirando el gráfico anterior desde arriba, hacia abajo del eje (z ). Por lo tanto, estará mirando el plano (xy ) y la superficie se verá como el triángulo delimitado por el eje (x ) -, el eje (y ) - y la ecuación (y = 2 - X ). Esto produce la integral

[ int_ {0} ^ {2} int_ {0} ^ {2-x} (2xy + 2 - x - y) sqrt {(-1) ^ {2} + (-1) ^ {2 } + 1} , dy , dx. Nonumber ]

Ahora podemos resolver esta integral como cualquier otra integral doble.

[ begin {align *} & sqrt {3} int_ {0} ^ {2} int_ {0} ^ {2-x} 2xy + 2 - x - y , dy , dx & = sqrt {3} int_ {0} ^ {2} left [xy ^ 2 + 2y - xy - frac {y ^ {2}} {2} right] _ {0} ^ {2 - x } dx & = sqrt {3} int_ {0} ^ {2} x (2-x) ^ 2 - x (2-x) - frac {(2-x) ^ {2}} { 2} dx & = sqrt {3} int_ {0} ^ {2} 4x - 4x ^ {2} + x ^ {3} - 2x + x ^ {2} - 2 + 2x - frac { x ^ {2}} {2} dx & = sqrt {3} int_ {0} ^ {2} x ^ {3} - frac {7x ^ {2}} {2} + 4x - 2 dx & = izquierda. sqrt {3} left ( frac {x ^ 4} {4} - frac {7x ^ 3} {6} + 2x ^ 2 - 2x right) right | _0 ^ 2 & = sqrt {3} left (16 - frac {56} {6} right). end {alinear *} ]

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Encontrar

[ iint_S f (x, y, z) , dS nonumber ]

donde (S ) es la superficie

[r (u, v) = u hat { textbf {i}} + u2 hat { textbf {j}} + (u + v) hat { textbf {k}} nonumber ]

con (0 le u le 2 ) y (1 le v le 4 ) y (f (x, y, z) = x + 2z ).

Solución

Encontramos las derivadas parciales

[ textbf {r} _u = hat { textbf {i}} + (2u) hat { textbf {j}} + hat { textbf {k}} nonumber ]

[ textbf {r} _v = hat { textbf {k}} nonumber ]

y toma el producto cruzado

[ begin {align *} || r_u times r_v || & = begin {vmatrix} hat { textbf {i}} & hat { textbf {j}} & hat { textbf {k}} [4pt] 1 & 2u & 1 [4pt] 0 & 0 & 1 end {vmatrix} [4pt] & = || 2u hat { textbf {i}} - hat { textbf {j}} || [4pt] & = sqrt {1 + 4u ^ 2}. end {alinear *} ]

Tenemos

[ begin {align *} f (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) & = x (u, v) + 2z (u, v) [4pt ] & = u +2 (u + v) [4pt] & = 3u + v. end {align *} ]

Encontramos

[ int_3 ^ 4 int_2 ^ 6 (3u + 2v) sqrt {1 + 4u ^ 2} , dv , du. nonumber ]

Aunque esta integral es posible, su solución es bastante complicada. Puede verificar que la integral de superficie se evalúe como ( approx 525.27 ).

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Encontrar

[ iint_S f (x, y, z) , dS nonumber ]

donde (S ) es la parte del paraboloide

[z = x ^ 2 + y ^ 2 nonumber ]

que se encuentra dentro del cilindro

[x ^ 2 + y ^ 2 = 1 nonumber ]

y

[f (x, y, z) = z. nonumber ]

Solución

Tenemos

[ sqrt {1 + g_x ^ 2 + g_y ^ 2} = sqrt {1 + 4x ^ 2 + 4y ^ 2} nonumber ]

y

[f (x, y, z) = z = x ^ 2 + y ^ 2. sin número]

En este punto, debería estar pensando: "Esto parece un trabajo para las coordenadas polares". Y obtenemos

[ int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 r ^ 2 sqrt {1 + 4r ^ 2} , r , dr , d theta. nonumber ]

Dejar

(u = 1 + 4r ^ 2 ) y (du = 8r , dr ) con (r ^ 2 = dfrac {1} {4} u - dfrac {1} {4} )

y la sustitucion nos da

[ dfrac {1} {32} int_0 ^ {2pi} int_0 ^ 5 (u-1) u ^ {1/2} , dr , d theta = dfrac {1} {32} int_0 ^ {2 pi} left [ dfrac {2} {5} u ^ {5/2} - dfrac {2} {3} u ^ {3/2} right] _1 ^ 5 , d theta approx 2.98 nonumber ]

Superficies Orientadas

Hemos visto cómo se puede orientar una región (R ) con curva límite (C ). Viajando a lo largo de (C ), miramos para ver si la región está a la derecha oa la izquierda. Desafortunadamente, esta definición no no voluntad de trabajo para superficies en tres dimensiones. La idea de derecha e izquierda no está bien definida. De hecho, no todas las superficies se pueden orientar. Decimos que una superficie es orientable si se puede definir un vector normal unitario en la superficie de manera que varíe continuamente sobre la superficie. A continuación se muestra un ejemplo de una superficie no orientable (denominada Franja de Möbius). Puede ver que no hay frente ni detrás de esta superficie.

Una tira de Möbius hecha con un trozo de papel y cinta adhesiva. Si una hormiga se arrastrara a lo largo de esta tira, volvería a su punto de partida habiendo atravesado toda la longitud de la tira (en ambos lados del papel original) sin siquiera cruzar un borde. (CC-SA-BY; David Benbennick)


4.7: Integrales de superficie

La ley relativa al intensidad del campo magnético H a su fuente, la densidad de corriente J, es

Tenga en cuenta que, en contraste con el enunciado integral de la ley de Gauss, (1.3.1), los símbolos integrales de superficie de la derecha no tienen círculos. Esto significa que las integraciones están sobre superficies abiertas, con bordes denotados por el contorno. C. Tal superficie S encerrado por un contorno C se muestra en la Fig. 1.4.1. En palabras, la ley integral de Amp & # 232re dada por (1) requiere que la integral de línea (circulación) de la intensidad del campo magnético H alrededor de un contorno cerrado es igual a la corriente neta que pasa a través de la superficie que abarca el contorno más la tasa de cambio en el tiempo de la densidad de flujo de desplazamiento neto o mi a través de la superficie (el corriente de desplazamiento).

Figura 1.4.1. Superficie S está encerrado por contorno C teniendo la dirección positiva determinada por la regla de la mano derecha. Con los dedos en la dirección de ds, el pulgar atraviesa la superficie en dirección positiva da.

La dirección de lo positivo Da está determinada por la regla de la mano derecha, como también se ilustra en la figura 1.4.1. Con los dedos de la mano derecha en la dirección de Ds, el pulgar tiene la dirección de Da. Alternativamente, con el pulgar de la mano derecha en la dirección de Ds, los dedos estarán en la dirección positiva de Da.

En la ley de Amp & # 232re, H aparece sin o. Por tanto, esta ley establece las unidades básicas de H como culombio / (metro-segundo). En la sec. 1.1, las unidades de la densidad de flujo o H están definidas por la fuerza de Lorentz, por lo que la segunda constante empírica, la permeabilidad del espacio libre, es o = 4 x 10 -7 henry / m (henry = voltio seg / amperio).

Ejemplo 1.4.1. Campo magnético debido a la corriente axisimétrica

Una corriente constante en el z dirección dentro de la región cilíndrica circular de radio R, que se muestra en la figura 1.4.2, se extiende desde - infinito a + infinito a lo largo del z eje y está representado por la densidad

donde Jo y R se dan constantes. La intensidad del campo magnético asociado tiene solo un componente azimutal.

Figura 1.4.2. Distribución de corriente axialmente simétrica y distribución radial asociada de la intensidad del campo magnético azimutal. Contorno C se utiliza para determinar azimutal H, tiempo C' se utiliza para mostrar que el z-campo dirigido debe ser uniforme.

Para ver que no puede haber r componente de este campo, observe que la rotación de la fuente alrededor del eje radial, como se muestra en la figura 1.4.2, invierte la fuente (la corriente está entonces en el -z dirección) y, por lo tanto, debe invertir el campo. Pero un r El componente del campo no se invierte bajo tal rotación y por lo tanto debe ser cero. El H y Hz Los componentes no están descartados por este argumento. Sin embargo, si existen, no deben depender de la y z coordenadas, porque la rotación de la fuente alrededor de la z eje y traslación de la fuente a lo largo del z El eje no cambia la fuente y, por lo tanto, no cambia el campo.

La corriente es independiente del tiempo, por lo que asumimos que los campos también lo son. Por tanto, el último término en (1), la corriente de desplazamiento, es cero. La ley luego se usa con S, una superficie que tiene su contorno circundante C en el radio arbitrario r, como se muestra en la Fig. 1.4.2. Entonces los elementos de área y línea son

y el lado derecho de (1) se convierte en

La integración en el lado izquierdo equivale a una multiplicación del independiente H por la longitud de C.

Estas dos últimas expresiones se utilizan para evaluar (1) y obtener

Por tanto, la intensidad del campo magnético azimutal tiene la distribución radial que se muestra en la figura 1.4.2.

El z componente de H es, como mucho, uniforme. Esto se puede ver aplicando la ley integral al contorno C ' , también mostrado en la Fig. 1.4.2. La integración en las patas superior e inferior da cero porque Hr = 0. Así, para realizar las aportaciones debidas a Hz en las patas verticales se cancelan, es necesario que Hz ser independiente del radio. Tal campo uniforme debe ser causado por fuentes en el infinito y, por lo tanto, se establece igual a cero si tales fuentes no se postulan en el planteamiento del problema.

Distribuciones de corriente singulares

La primera de dos formas singulares de la densidad de corriente que se muestra en la figura 1.4.3a es la corriente de línea. Formalmente, es el límite de una densidad de corriente infinita distribuida sobre un área infinitesimal.

Con I una constante a lo largo de la línea, un cable delgado que lleva una corriente I evoca la noción correcta de la corriente de línea. Sin embargo, en general, la corriente I puede depender de la posición a lo largo de la línea si varía con el tiempo como en una antena.

Figura 1.4.3. (a) Corriente de línea encerrada por volumen que tiene un área de sección transversal A. (b) Densidad de corriente superficial encerrada por contorno que tiene espesor h.

La segunda singularidad, la densidad de corriente superficial, es el límite de una densidad de corriente muy grande J distribuidos sobre una capa muy fina adyacente a una superficie. En la figura 1.4.3b, la corriente está en una dirección paralela a la superficie. Si la capa se extiende entre = -h / 2 y = + h / 2, la densidad de corriente superficial K Se define como

Por definición, K es un vector tangencial a la superficie que tiene unidades de amperio / metro.

Figura 1.4.4. Corriente de línea uniforme con contornos para determinar H. El eje de rotación se utiliza para deducir que el componente radial del campo debe ser cero.

Ilustración. H campo producido por una corriente de línea uniforme

Una corriente lineal uniforme de magnitud I se extiende desde - infinito a + infinito a lo largo del z eje, como se muestra en la Fig. 1.4.4. Los argumentos de simetría del ejemplo 1.4.1 muestran que el único componente de H es azimutal. Aplicación de la ley integral de Amp & # 232re, (1), al contorno de la figura 1.4.4 que tiene un radio arbitrario r da una línea integral que es simplemente el producto de H y la circunferencia 2 r y una integral de superficie que es simplemente I, independientemente del radio.

Esta expresión deja especialmente claro que las unidades de H son amperios / metro.

Demostración 1.4.1. Campo magnético de una corriente de línea

A 60 Hz, la contribución de la corriente de desplazamiento al campo magnético del experimento que se muestra en la figura 1.4.5 es insignificante. Siempre que la sonda de campo esté a una distancia r desde el cable que es pequeño en comparación con la distancia hasta los extremos del cable o hasta los cables de retorno que se encuentran debajo, la intensidad del campo magnético se predice cuantitativamente mediante (10). La curva que se muestra es típica de las mediciones de demostración que ilustran la dependencia radial. Debido a que la sonda de efecto Hall explota fundamentalmente la ley de fuerza de Lorentz, mide la densidad de flujo oH. Una unidad común para la densidad de flujo es Gauss. Para la conversión de unidades, 10,000 gauss = 1 tesla, donde el tesla es la unidad SI.

Figura 1.4.5. Demostración de la densidad máxima de flujo magnético inducida por una corriente de línea de 6 amperios (pico).

Ilustración. Corriente de superficie axial uniforme

En el radio R desde el z eje, hay un uniforme z densidad de corriente superficial dirigida Ko que se extiende desde - infinito hasta + infinito en el z dirección. Los argumentos de simetría del ejemplo 1.4.1 muestran que la intensidad del campo magnético resultante es azimutal. Para determinar ese campo, la ley integral de Amp & # 232re se aplica a un contorno que tiene el radio arbitrario r, que se muestra en la Fig. 1.4.6. Como en la ilustración anterior, la integral de línea es el producto de la circunferencia y H . La integral de superficie no da nada si r & lt R, pero da 2 R veces la densidad de corriente superficial si r & gt R. Por lo tanto,

Figura 1.4.6. Densidad de corriente uniforme Ko es z dirigido en una carcasa cilíndrica circular en r = R. El campo azimutal radialmente discontinuo que se muestra se determina utilizando el contorno en un radio arbitrario r.

Así, la distribución de H es la función discontinua que se muestra en la figura 1.4.6. El campo tangencial a la corriente superficial sufre un salto que es igual en magnitud a la densidad de corriente superficial.

Condición de continuidad de Amp & # 232re

Una densidad de corriente superficial en una superficie S provoca una discontinuidad de la intensidad del campo magnético. Esto se ilustra en la figura 1.4.6. Para obtener una relación general entre los campos evaluados a ambos lados de S, se monta una superficie rectangular de integración de modo que se cruza S como se muestra en la Fig. 1.4.7. Lo normal a S está en el plano de la superficie de integración. La longitud l del rectángulo se supone lo suficientemente pequeño como para que la superficie de integración pueda considerarse plana en esta longitud. La anchura w del rectángulo se supone que es mucho más pequeño que l . Además, es conveniente introducir, además de los habituales norte para S, los vectores unitarios mutuamente ortogonales Is y Inorte como se muestra.

Figura 1.4.7. La ley integral de Amp & # 232re se aplica a la superficie S' encerrado por un contorno rectangular que se cruza con una superficie S llevando la densidad de corriente K. En términos de la unidad normal a S, norte, la condición de continuidad resultante viene dada por (16).

Ahora aplique la forma integral de la ley de Amp & # 232re, (1), a la superficie rectangular del área lw. Para el lado derecho obtenemos

Solamente J da una contribución, y solo si hay una densidad de corriente infinita sobre el espesor cero de S, como lo requiere la definición de la densidad de corriente superficial, (9). La tasa de cambio en el tiempo de una densidad de flujo de desplazamiento finito integrada sobre un área cero da cero y, por lo tanto, no hay contribución del segundo término.

El lado izquierdo de la ley de Amp & # 232re, (1), es una integral de contorno que sigue al rectángulo. Porque w se ha asumido que es muy pequeño en comparación con l, y H se supone finito, los dos lados cortos del rectángulo no aportan ninguna contribución. Por eso,

La cruz y el punto se pueden intercambiar en este producto triple escalar sin afectar el resultado (Apéndice 1), por lo que la introducción de (14) en (13) da

Finalmente, tenga en cuenta que el vector Inorte es arbitrario siempre que se encuentre en la superficie S. Dado que multiplica los vectores tangenciales a la superficie, se puede omitir.

Hay un salto en la intensidad del campo magnético tangencial cuando uno pasa a través de una corriente superficial. Tenga en cuenta que (16) da una predicción consistente con lo que se encontró para la ilustración de la figura 1.4.6.


Una de las herramientas esenciales en cálculo es la integración. Lo usamos para encontrar anti-derivadas, el área de regiones bidimensionales, volúmenes, puntos centrales, entre muchas otras formas. Saber utilizar las reglas de integración es, por tanto, clave para ser bueno en Cálculo.
Pero, comencemos con las integrales básicas. ¿Qué son las integrales?

Hay dos tipos de integrales: la integral indefinida y la integral definida. La integral indefinida f (x), que se denota por f (x) dx, es la anti-derivada de f (x). La derivada de f (x) dx es, por tanto, f (x). Como ya sabrá, la derivada de una constante siempre es 0. Por esta razón, las integrales indefinidas solo se definen hasta alguna constante arbitraria. Considere sin (x) dx = -cos (x) + constante. La derivada de –cos (x) + constante es sin (x).

La integral definida f (x) de, digamos, x = a hasta x = b, se define como el área con signo entre f (x) y el eje x desde el punto x = a hasta el punto x = b. La integral definida se denota por a f (x) d (x).

Es importante señalar que tanto la integral definida como la indefinida están interconectadas por el teorema fundamental del cálculo. El teorema establece que si f (x) es continua en [a, b], y F (x) es su integral indefinida continua, entonces a f (x) dx = F (b) - F (a). Esto, por lo tanto, significa que 0 sin (x) dx = <-cos (π)> - <-cos (0)> = 2.

Sin embargo, tenga en cuenta que, a veces, es posible que deba encontrar una aproximación a una integral definida. La forma más común de hacer esto es tener varios rectángulos delgados debajo de la curva desde el punto inicial x = a hasta el último punto x = b. Suma las áreas firmadas (áreas de los rectángulos) juntas, ¡y listo! Tienes la integral definida deseada.


Diseño: Surface Laptop 4 es una computadora portátil y Surface Pro 7 es una tableta

La diferencia clave entre los dos productos es que son factores de forma diferentes. Surface Laptop 4 es una computadora portátil plegable, mientras que Surface Pro 7 es una tableta. Hay pros y contras para cada uno, y depende de su preferencia.

Si está buscando algo más tradicional, ahí es donde entra en juego la Surface Laptop 4. Es una computadora portátil, como probablemente lo era su PC anterior. En realidad, tiene soporte para Surface Pen, pero no es muy práctico de usar.

Surface Pro 7 está diseñado para usarse con un lápiz. Si te gusta dibujar o tomar notas escritas a mano, este es definitivamente el camino a seguir. También puede conectarle un teclado, convirtiéndolo en una computadora más tradicional.

A pesar de ser una tableta, no te pierdes los puertos con Surface Pro 7. Bueno, no te pierdes más de lo que te perderías con una Surface Laptop 4. Ambos tienen un puerto USB 3.2 Gen 2 Type-A , un puerto USB 3.2 Gen 2 Type-C y un puerto Surface Connect. Una ventaja de Surface Laptop 4 es la capacidad de quitar el teclado y reemplazar el almacenamiento. Esto es algo que apareció en el Surface Pro 7+ centrado en los negocios, pero no en el Pro 7.

También tienen estilos muy diferentes. Surface Laptop 4 está hecha de aluminio y viene en cuatro colores. Puedes conseguirlo en Platinum, Matte Black, Sandstone y Ice Blue. Pesa 2.79 o 2.84 libras, dependiendo del modelo que elija, mientras que el magnesio Surface Pro 7 comienza en 1.7 libras. Por supuesto, una funda con teclado agregará 0.68 libras adicionales.

Cuando se trata de opciones de color, Surface Pro 7 solo viene en platino y negro mate. Esto se debe a que es más fácil producir aluminio anodizado. El magnesio es el material más ligero, por lo que tiene sentido en una tableta, pero el aluminio es más fácil de hacer en colores bonitos.

Algunas personas consideran que Surface Pro 7 es en realidad una de las mejores computadoras portátiles convertibles que existen. Se trata de lo que se siente cómodo en su regazo.


Rendimiento

Esperábamos que la transición a la excelente serie Ryzen 4000 Mobile de AMD se tradujera en un rendimiento drásticamente mejorado, y no nos decepcionó. Microsoft también prometió mejoras significativas en la duración de la batería y, en general, también se entregó allí.

Aproximadamente en la semana que revisamos el Surface Laptop 4, notamos muy poco que lo ralentizara. Pudimos realizar el trabajo de Office, transmitir audio y video en la web y más, sin problemas. Una de las pruebas más exigentes que realizamos es transmitir un video 4K desde YouTube a 60 cuadros por segundo a través de una conexión Wi-Fi y observar cualquier caída en los cuadros. El SL4 cayó un imperceptible 4 cuadros por 10,000, que es casi perfecto.

Como demostraremos a continuación, Surface Laptop 4 admite juegos con niveles moderados de calidad de imagen, incluso con resolución nativa, lo cual es realmente útil en un mundo donde las GPU no se encuentran por ningún lado. Aún así, esas pruebas revelaron que la CPU de Surface Laptop 4 supera a su GPU integrada en una cantidad significativa, lo que ofrece espacio para mejoras futuras.

Si bien limitamos nuestras primeras estimaciones de rendimiento de Surface Laptop 4 a un subconjunto de Surface PC, hemos ampliado nuestra comparación aquí para incluir las laptops rivales. Eche un vistazo al Acer Swift 3X de $ 1,200, el Dell XPS 13 2 en 1 9310 de $ 1,715 y el HP Envy 14 de $ 1,210 para comparar.

Tenga en cuenta que, por el motivo que sea, Microsoft configura el control deslizante de potencia / rendimiento de Windows para prolongar la vida útil de la batería a expensas del rendimiento, incluso cuando está enchufado. Vimos que simplemente ajustarlo al máximo rendimiento puede brindarle un impulso de forma gratuita. así que también probamos eso.

Usamos el punto de referencia PCMark 10 de UL como una métrica general para evaluar el desempeño diario. Es una suite de referencia en miniatura, con pruebas independientes para evaluar el procesamiento de textos, el uso de hojas de cálculo, videoconferencias, edición de fotos y videos y juegos ligeros. El punto de referencia luego cuenta todo y ofrece una puntuación general como medida de rendimiento. Por lo general, usamos una puntuación de 4.000 para indicar una PC "buena", mientras que una puntuación de 5.000 indica un rendimiento excelente. Como puede ver en el cuadro a continuación, Surface Laptop 4 registra una puntuación "buena" en su modo predeterminado de ahorro de batería. Cuando subimos el control deslizante de rendimiento, la puntuación se eleva por encima de esa marca de oro de 5.000.


Integrales de grupos de matrices, superficies y grupos de clases de mapeo I: U (n)

Desde la década de 1970, los físicos y matemáticos que estudian matrices aleatorias en los modelos GUE o GOE son conscientes de las intrigantes conexiones entre integrales de tales matrices aleatorias y la enumeración de gráficos en superficies. Establecemos un nuevo aspecto de esta teoría: para matrices aleatorias muestreadas del grupo (< mathcal > left (n right) ) de matrices unitarias. Más concretamente, estudiamos medidas inducidas por palabras libres en (< mathcal > izquierda (n derecha) ). Sea (< mathbf >_) ser el grupo libre en r generadores. Para muestrear un elemento aleatorio de (< mathcal > left (n right) ) según la medida inducida por (w in < mathbf >_), se sustituye el r letras en w por r elementos independientes, aleatorios de Haar de (< mathcal > izquierda (n derecha) ). El tema principal de este artículo es que cada momento de esta medida está determinado por familias de pares ( left ( Sigma, f right) ), donde ( Sigma ) es una superficie orientable con límite, y F es un mapa de ( Sigma ) al ramo de r círculos, que envía los componentes de frontera de ( Sigma ) a potencias de w. Entonces, las características de Euler de los subgrupos del grupo de clases de mapeo de ( Sigma ) juegan un papel crucial. Como corolarios, obtenemos cotas asintóticas en los momentos, mostramos que la medida en (< mathcal > left (n right) ) contiene información sobre el número de soluciones de la ecuación ( left [u_ <1>, v_ <1> right] cdots left [u_, v_ right] = w ) en el grupo libre, y deducir que uno puede "escuchar" la longitud estable del conmutador de una palabra a través de sus medidas unitarias de palabras.

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Especificaciones técnicas del procesador

Surface Laptop 4 de 13,5 "

  • Procesador Intel Core i5-1145G7 de cuatro núcleos de 11.a generación
  • Procesador de cuatro núcleos Intel Core i7-1185G7 de 11.a generación
  • Procesador móvil AMD Ryzen 5 4680U con gráficos Radeon ™ Microsoft Surface Edition (6 núcleos)
  • Procesador móvil AMD Ryzen 7 4980U con gráficos Radeon Microsoft Surface Edition (8 núcleos)

Surface Laptop 4 de 15 "

  • Procesador de cuatro núcleos Intel Core ™ i7-1185G7 de 11.a generación
  • Procesador móvil AMD Ryzen 7 4980U con gráficos Radeon ™ Microsoft Surface Edition (8 núcleos)

R: Haga clic para ver la respuesta

P: Ayúdame rápido con una explicación detallada. Definitivamente daré Upvote.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: Encuentre una solución al problema del valor límite de Dirichlet para un disco. zu 1 du 1 Pu = 0, + - ar? Osr & lt.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: Utilice la aproximación de diferencia hacia atrás, hacia adelante y centrada para estimar la segunda derivada de th.

R: Haremos las tres partes.

P: AS. Para el par dado de gráficos G y G, en la figura dada, determine si G, es isomorfo t.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: La región delimitada por la curva y = 2x- x y el eje x gira alrededor del eje y para generar a.

R: El volumen de un sólido obtenido al hacer girar la región entre y alrededor del eje y es g.

R: Esta ecuación diferencial se puede resolver utilizando el método de la serie de potencia La solución de la serie de potencia es


Ver el vídeo: INTEGRALES DE SUPERFICIE. Explicación sencilla (Noviembre 2021).