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4.1: Secuencias de números reales


Habilidades para desarrollar

  • Explica las secuencias de números reales.

En el Capítulo 2, desarrollamos la ecuación (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + cdots = frac {1} {1-x} ), y mencionamos que había limitaciones para esta representación de series de potencias. Por ejemplo, sustituir (x = 1 ) y (x = -1 ) en esta expresión conduce a

[1 + 1 + 1 + cdots = frac {1} {0} ; ; text {y} 1 - 1 + 1 - 1 + cdots = frac {1} {2} ]

que son bastante difíciles de aceptar. Por otro lado, si sustituimos (x = frac {1} {2} ) en la expresión obtenemos (1 + left ( frac {1} {2} right) + left ( frac {1} {2} right) ^ 2 + left ( frac {1} {2} right) ^ 3 + cdots = 2 ) que parece más agradable hasta que lo pensamos. Podemos sumar dos números mediante el método que todos aprendimos en la escuela primaria. ¿Pero infinitos? ¿Y eso que significa? Antes de que podamos sumar un número infinito de números, debemos encontrar una manera de darle significado a la idea.

Para hacer esto, examinamos una suma infinita pensando en ella como una secuencia de sumas parciales finitas. En nuestro ejemplo, tendríamos la siguiente secuencia de sumas parciales.

[ left (1, 1 + frac {1} {2}, 1 + frac {1} {2} + left ( frac {1} {2} right) ^ 2, 1 + frac {1} {2} + left ( frac {1} {2} right) ^ 3, cdots, sum_ {j = 0} ^ {n} left ( frac {1} {2} derecha) ^ j derecha) ]

Podemos trazar estas sumas en una recta numérica para ver hacia dónde tienden a medida que (n ) aumenta.

Figura ( PageIndex {1} ): Gráfico de recta numérica.

Dado que cada suma parcial está ubicada en el punto medio entre la suma parcial anterior y (2 ), es razonable suponer que estas sumas tienden al número (2 ). De hecho, probablemente hayas visto una expresión como ( lim_ {n to infty} left ( sum_ {j = 0} ^ {n} left ( frac {1} {2} right) ^ j right) = 2 ) justificado por un argumento similar. Por supuesto, la confianza en tales imágenes y palabras es buena si estamos satisfechos con la intuición. Sin embargo, debemos ser capaces de hacer que estas intuiciones sean rigurosas sin depender de imágenes o palabras nebulosas como “enfoques.”

Sin duda te estás preguntando "¿Qué tiene de malo la palabra "enfoques"? Me parece bastante claro.”Este es a menudo un punto de conflicto. Pero si pensamos detenidamente en lo que queremos decir con la palabra "Acercarse"Vemos que hay una suposición implícita que nos causará algunas dificultades más adelante si no la exponemos.

Para ver esto, considere la secuencia ( left (1, frac {1} {2}, frac {1} {3}, frac {1} {4}, cdots right) ). Claramente es "enfoques”Cero, ¿verdad? Pero, ¿no es así también "Acercarse” (- 1 )? Lo hace, en el sentido de que cada término se acerca más a (- 1 ) que al anterior. Pero también "enfoques” (- 2 ), (- 3 ), o incluso (- 1000 ) en el mismo sentido. Ese es el problema con la palabra "enfoques. " Solo dice que nos estamos acercando a algo más que en el paso anterior. No nos dice que realmente nos estamos acercando. Dado que la luna se mueve en una órbita elíptica alrededor de la tierra durante parte de cada mes, es "que se acerca" la tierra. La luna se acerca a la tierra pero, afortunadamente, no se acerca a la tierra. La suposición implícita a la que aludimos anteriormente es la siguiente: cuando decimos que la secuencia ( left ( frac {1} {n} right) _ {n = 1} ^ infty ) “enfoques”Cero queremos decir que se está acercando, no más cerca. Por lo general, este tipo de vaguedad en nuestro idioma es bastante inofensivo. Cuando decimos "enfoques"En una conversación casual, por lo general, podemos decir por el contexto de la conversación si queremos decir"acercándose a" o "acercándose a.“Pero cuando hablamos matemáticamente debemos ser más cuidadosos, más explícitos, en el lenguaje que usamos.

Entonces, ¿cómo podemos cambiar el lenguaje que usamos para eliminar esta ambigüedad? Comencemos reconociendo, rigurosamente, lo que queremos decir cuando decimos que una secuencia converge a cero. Por ejemplo, probablemente quieras decir que la secuencia ( left (1, frac {1} {2}, frac {1} {3}, frac {1} {4}, cdots right ) = left ( frac {1} {n} right) _ {n = 1} ^ infty ) converge a cero. ¿Hay alguna forma de dar este significado sin depender de imágenes o intuición?

Una forma sería decir que podemos hacer ( frac {1} {n} ) tan cerca de cero como queramos, siempre que hagamos (n ) lo suficientemente grande. Pero incluso esto debe hacerse más específico. Por ejemplo, podemos obtener ( frac {1} {n} ) dentro de una distancia de (0.1 ) de (0 ) siempre que hagamos (n> 10 ), podemos obtener ( frac {1} {n} ) a una distancia de (0.01 ) de (0 ) siempre que hagamos (n> 100 ), etc. Después de algunos ejemplos de este tipo, es evidente que dado cualquier distancia arbitraria (ε> 0 ), podemos obtener ( frac {1} {n} ) dentro de (ε ) de (0 ) siempre que hagamos (n> frac {1} { varepsilon} ). Esto conduce a la siguiente definición.

Definición ( PageIndex {1} )

Sea ((s_n) = (s_1, s_2, s_3, ...) ) ser una secuencia de números reales. Decimos que ((s_n) ) converge a (0 ) y escribimos ( lim_ {n to infty} s_n = 0 ) proporcionado para cualquier (ε> 0 ), hay una número (N ) tal que si (n> N ), entonces (| s_n | <ε ).

Notas sobre la definición ( PageIndex {1} ):

  1. Esta definición es la versión formal de la idea de la que acabamos de hablar; es decir, dada una distancia arbitraria (ε ), debemos ser capaces de encontrar un número específico (N ) tal que (s_n ) esté dentro de (ε ) de (0 ), siempre que (n> N ). (N ) es la respuesta a la pregunta de qué tan grande es "lo suficientemente grande”Para poner (s_n ) así de cerca de (0 ).
  2. Aunque no lo necesitamos en el ejemplo ( left ( frac {1} {n} right) ), el valor absoluto aparece en la de fi nición porque necesitamos hacer la distancia desde (s_n ) a (0 ) menor que (ε ). Sin el valor absoluto en la definición, podríamos "probar"Declaraciones tan extravagantes como ( lim_ {n to infty} -n = 0 ), que obviamente no queremos.
  3. La instrucción (| sn | <ε ) también se puede escribir como (- ε
  4. Siempre que se pueda encontrar un (N ) que funcione para un (ε ) en particular, cualquier número (M> N ) también funcionará para ese (ε ), ya que si (n> M ) luego (n> N ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Sean (a ) y (b ) números reales con (b> 0 ). Demuestre (| a |

Para ilustrar cómo esta definición hace que las ideas anteriores sean rigurosas, usémosla para demostrar que ( lim_ {n to infty} left ( frac {1} {n} right) = 0 ).

prueba:

Sea (ε> 0 ). Sea (N = frac {1} { varepsilon} ). Si (n> N ), entonces (n> frac {1} { varepsilon} ) y entonces ( left | frac {1} {n} right | = frac {1} { n} < varepsilon ). Por tanto, por definición, ( lim_ {n to infty} frac {1} {n} = 0 ).

Tenga en cuenta que esta prueba es rigurosa y no hace referencia a nociones vagas como "achicándose" o "acercándose al infinito.”Tiene tres componentes:

  1. proporcionar el desafío de una distancia (ε> 0 )
  2. identificar un número real (N )
  3. demuestre que esto (N ) funciona para este (ε ) dado.

Tampoco hay una explicación sobre el origen de (N ). Si bien es cierto que esta elección de (N ) no es sorprendente a la luz de la "chatarra“Lo hicimos antes de la definición, la motivación de cómo lo obtuvimos no está en la prueba formal ni es requerida. De hecho, este tipo de desguace no suele incluirse en una prueba formal. Por ejemplo, considere lo siguiente.

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

Utilice la definición de convergencia a cero para demostrar ( lim_ {n to infty} frac { sin} {n} = 0 ).

Prueba:

Sea (ε> 0 ). Si (n> N ), entonces (n> frac {1} { varepsilon} ) y ( frac {1} {n} < varepsilon ). Así ( left | frac { sin n} {n} right | leq frac {1} {n} < varepsilon ). Por tanto, por definición, ( lim_ {n to infty} frac { sin} {n} = 0 ).

Observe que (N ) salió de la nada, pero probablemente pueda ver el proceso de pensamiento que entró en esta elección: necesitábamos usar la desigualdad (| sin n | ≤ 1 ). Una vez más, este trabajo de desguace no es parte de la prueba formal, pero normalmente es necesario para encontrar lo que debería ser (N ). Es posible que pueda resolver el siguiente problema sin hacer ningún trabajo de desguace primero, pero no dude en hacerlo si lo necesita.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Utilice la definición de convergencia a cero para demostrar lo siguiente.

  1. ( lim_ {n to infty} frac {1} {n ^ 2} = 0 )
  2. ( lim_ {n to infty} frac {1} { sqrt {n}} = 0 )

A medida que las secuencias se vuelven más complicadas, será más necesario hacer el trabajo de desguace con anticipación.

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

Utilice la definición de convergencia a cero para demostrar ( lim_ {n to infty} frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} = 0 ).

Trabajo de desguace:

Dado un (ε> 0 ), necesitamos ver qué tan grande hacer (n ) para garantizar que ( left | frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} right | < varepsilon ). Primero, observe que (( frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} < frac {n + 4} {n ^ 2} ). Además, observe que si (n> 4 ), entonces (n + 4 4 ), tenemos ( frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} < frac {n + 4} {n ^ 2} < frac {2n} {n ^ 2} < frac {2} {n} ). Podemos hacer esto menor que (ε ) si hacemos (n> frac {2} { varepsilon} ). Esto significa que necesitamos hacer (n> 4 ) y (n> frac {2} { varepsilon} ), simultáneamente. Esto se puede hacer si dejamos (N ) sea el máximo de estos dos números. Este tipo de cosas surgen con regularidad, por lo que se desarrolló la notación (N = max left (4, frac {2} { varepsilon} right) ) significa el máximo de estos dos números. Observa que si (N = max left (4, frac {2} { varepsilon} right) ) entonces (N ≥ 4 ) y (N geq frac {2} { varepsilon} ). Ahora estamos listos para la prueba formal.

Prueba:

Sea (ε> 0 ). Sea (N = max left (4, frac {2} { varepsilon} right) ). Si (n> N ), entonces (n> 4 ) y (n> frac {2} { varepsilon} ). Así tenemos (n> 4 ) y ( frac {2} {n} < varepsilon ). Por lo tanto

[ left | frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} right | = frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} < frac {n + 4} {n ^ 2} < frac {2n} {n ^ 2} = frac {2} {n} < varepsilon ]

Por tanto, por definición, ( lim_ {n to infty} frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} = 0 ).

Nuevamente enfatizamos que el trabajo de desguace es NO parte de la prueba formal y el lector no la verá. Sin embargo, si observa con atención, puede ver el trabajo de desguace en la prueba formal.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Utilice la definición de convergencia a cero para demostrar ( lim_ {n to infty} frac {n ^ 2 + 4n + 1} {n ^ 3} = 0 ).

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Sea b un número real distinto de cero con (| b | <1 ) y sea (ε> 0 ).

  1. Resuelve la desigualdad (| b | ^ n <ε ) para (n ).
  2. Utilice el inciso a) para demostrar ( lim_ {n to infty} b ^ n = 0 ).

Podemos negar esta definición para demostrar que una secuencia particular no converge a cero.

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

Utilice la definición para demostrar que la secuencia ((1 + (-1) ^ n) _ {n = 0} ^ { infty} = (2,0,2,0,2, cdots) ) no convergen a cero.

Antes de proporcionar esta prueba, analicemos qué significa que una secuencia ((s_n) ) no converja a cero. La convergencia a cero significa que cada vez que se da una distancia (ε> 0 ), debemos poder responder con un número (N ) tal que (| s_n | <ε ) para cada (n> NORTE). Para que esto no suceda, debemos ser capaces de encontrar algo de (ε> 0 ) tal que ninguna opción de (N ) funcione. Por supuesto, si encontramos un (ε ), entonces uno más pequeño no tendrá tal (N ), pero solo necesitamos uno para estropearnos. Si observa el ejemplo el tiempo suficiente, verá que cualquier (ε ) con (0 <ε ≤ 2 ) causará problemas. Para nuestros propósitos, dejaremos (ε = 2 ).

Prueba:

Sea (ε = 2 ) y sea (N ∈ mathbb {N} ) cualquier número entero. Si dejamos que (k ) sea cualquier número entero no negativo con (k> frac {N} {2} ), entonces (n = 2k> N ), pero (| 1 + (-1) ^ n | = 2 ). Por lo tanto, ninguna elección de (N ) satisfará las condiciones de la definición para este (ε ), (es decir, que (| 1 + (-1) ^ n | <2 ) para todo (n> N )) y entonces ( lim_ {n to infty} (1 + (-1) ^ n) neq 0 ).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Niegue la definición de ( lim_ {n to infty} s_n = 0 ) para proporcionar una definición formal de ( lim_ {n to infty} s_n neq 0 ).

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Utilice la definición para demostrar ( lim_ {n to infty} frac {n} {n + 100} neq 0 ).

Ahora que sabemos cómo demostrar rigurosamente que una secuencia converge a cero, generalicemos esto a una definición formal de una secuencia que converge a otra cosa. Básicamente, queremos decir que una secuencia ((s_n) ) converge a un número real (s ), siempre que la diferencia ((s_n - s) ) converja a cero. Esto conduce a la siguiente definición:

Definición ( PageIndex {2} )

Sea ((s_n) = (s_1, s_2, s_3, ...) ) una secuencia de números reales y sea (s ) un número real. Decimos que ((s_n) ) converge a (s ) y escribimos ( lim_ {n to infty} s_n = s ) proporcionado para cualquier (ε> 0 ), hay una número (N ) tal que si (n> N ), entonces (| s_n - s | <ε ).

Notas sobre DEfinition ( PageIndex {2} )

  1. Claramente ( lim_ {n to infty} s_n = s ) si y solo si ( lim_ {n to infty} (s_n - s) = 0 ).
  2. Una vez más, observe que esto dice que podemos hacer que (s_n ) esté tan cerca de (s ) como queramos (dentro de (ε )) haciendo que (n ) sea lo suficientemente grande ( (> N )) . Como antes, esta definición hace que estas nociones sean muy específicas.
  3. Observe que (| s_n - s | <ε ) se puede escribir en las siguientes formas equivalentes
    1. (| s_n - s | <ε )
    2. (- ε
    3. (s - ε
    4. (s_n ∈ (s - ε, s + ε) )

y somos libres de usar cualquiera de estos que sea conveniente en ese momento.

Como ejemplo, usemos esta definición para demostrar que la secuencia en el Problema ( PageIndex {6} ), de hecho, converge a (1 ).

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

Demuestre ( lim_ {n to infty} frac {n} {n + 100} = 1 ).

Trabajo de desguace:

Dado un (ε> 0 ), necesitamos obtener ( left | frac {n} {n + 100} - 1 right | < varepsilon ). Esto nos impulsa a hacer algo de álgebra.

[ left | frac {n} {n + 100} - 1 right | = izquierda | frac {n- (n + 100)} {n + 100} - 1 derecha | leq frac {100} {n} ]

Esto, a su vez, parece sugerir que (N = frac {100} { varepsilon} ) debería funcionar.

Prueba:

Sea (ε> 0 ). Sea (N = frac {100} { varepsilon} ). Si (n> N ), entonces (n> frac {100} { varepsilon} ) y entonces ( frac {100} {n} < varepsilon ). Por eso

[ left | frac {n} {n + 100} - 1 right | = izquierda | frac {n- (n + 100)} {n + 100} - 1 derecha | = frac {100} {n + 100} < frac {100} {n} < varepsilon ]

Por lo tanto, por definición ( lim_ {n to infty} frac {n} {n + 100} = 1 )

Observe nuevamente que el trabajo de desguace no es parte de la prueba formal y el autor de una prueba no está obligado a decir de dónde vino la elección de (N ) (aunque el proceso de pensamiento generalmente se puede ver en la prueba formal). La prueba formal contiene solo las tres partes necesarias: proporcionar el desafío de una (ε> 0 ) arbitraria, proporcionar una (N ) específica y demostrar que esta (N ) funciona para la (ε dada. ).

Observe también que dada una secuencia específica como ( frac {n} {n + 100} ), la definición no indica cuál sería el límite si, de hecho, existe. Una vez que se hace una conjetura sobre cuál debería ser el límite, la definición solo verifica que esta intuición sea correcta.

Esto lleva a la siguiente pregunta: si se necesita intuición para determinar cuál debería ser el límite de una secuencia, ¿cuál es el propósito de esta definición complicada y relativamente no intuitiva?

Recuerde que cuando se desarrollaron estas formulaciones rigurosas, las nociones intuitivas de convergencia ya estaban en su lugar y se habían utilizado con gran éxito. Esta definición se desarrolló para abordar los problemas fundamentales. ¿Podrían verificarse nuestras intuiciones de una manera concreta que fuera irreprochable? Este fue el propósito de esta definición no intuitiva. Debía usarse para verificar que nuestra intuición era, de hecho, correcta y hacerlo de una manera muy prescrita. Por ejemplo, si (b> 0 ) es un número fijo, entonces probablemente diría que cuando (n ) se acerca al infinito, (b ^ {( frac {1} {n})} ) se acerca a (b ^ 0 = 1 ). Después de todo, ya probamos que ( lim_ {n to infty} frac {1} {n} = 0 ). Deberíamos poder respaldar esta intuición con nuestra rigurosa definición.

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Sea (b> 0 ). Utilice la definición para demostrar ( lim_ {n to infty} b ^ {( frac {1} {n})} = 1 ). [Pista: Probablemente necesitará separar esto en dos casos: (0

Ejercicio ( PageIndex {8} )

  1. Proporcione una definición rigurosa de ( lim_ {n to infty} s_n neq s ).
  2. Usa tu de fi nición para mostrar que para cualquier número real (a ), ( lim_ {n to infty} ((- 1) ^ n) neq a ). [Pista: Elija (ε = 1 ) y use el hecho de que ( left | a - (-1) ^ n right | <1 ) es equivalente a ((- 1) ^ n - 1

Contribuyente


A continuación se explica cómo lograr $ 1 / ln 2 $. Es una modificación de la construcción de Harald. Tomamos la secuencia $ 1/2 $, $ 1/4 $, $ 3/4 $, etc. y aplicamos la transformación $ x a ln (1 + x) / ln 2 $.

Entonces, la secuencia es $ ln (3/2) / ln (2), ln (5/4) / ln (2), ln (7/4) / ln (2), dots $

Los términos generales son $ x_n $ para $ n = 2 ^ a + b $ con $ b & lt2 ^ a $ es

Luego, después de $ n = 2 ^ a + b $ pasos para $ b & lt2 ^ a $, acabaremos de agregar el corte $ (2 b + 1) / (2 ^) $, el intervalo más grande será

Si multiplicamos por $ 2 ^ a + b + 1 $, $ lim sup $ es $ 1 / ln 2 $.

Para demostrar que esto es óptimo, forme un árbol binario donde los vértices son intervalos que aparecen en cualquier punto de una secuencia. Cada intervalo en algún momento se divide en dos intervalos, lo que da la estructura del árbol. Rotula cada vértice con el paso en el que se divide. Para cualquier $ beta & gt lim sup n a_n $, para todos menos un número finito de vértices, la longitud del intervalo etiquetado como $ n $ es como máximo $ beta / n $. La suma de las longitudes de los intervalos en cada fila es $ 1 $, por lo que la suma de las primeras $ k $ filas es $ k $.

Por lo tanto, $ k $ es como máximo la suma de $ 2 ^ k-1 $ números distintos $ n $ de $ beta / n $ más una constante procedente de los vértices finitos donde la longitud no es como máximo $ beta / n $ . Entonces $ k $ es como máximo la suma de los primeros $ 2 ^ k-1 $ números de $ beta / n $ más una constante, que es como mucho $ beta k ln 2 $ más una constante. Entonces $ beta geq 1 / ln 2 $.

Entonces $ lim sup n a_n geq 1 / ln 2 $.

Agregado: Como menciona John Bentin, de hecho se sabe que el resultado que mencioné a continuación para la dispersión y, por lo tanto, el $ 1 / log 2 $ de OP (mencionado en los comentarios ahora eliminados) es óptimo.

Esto aparece originalmente en Niederreiter, Sobre una medida de densidad para secuencias. En: Temas de la teoría de números clásica, Holanda Septentrional, Ámsterdam, 1984.

Una fuente de acceso más fácil es el libro de Niederreiter 'Random Number Generation and Quasi Monte Carlo Methods' (SIAM, 1992). Ahí está el teorema 6.7.

Que no puede haber una secuencia mejor se debe a Niederreiter, pero el ejemplo que se da allí que muestra que es óptima se atribuye a Ruzsa. El ejemplo es $ x_1 = 1 $ y luego $ x_n = left < frac < log (2n-3)> < log 2> right >. $

El libro mencionado anteriormente está disponible como escaneo desde el espacio web de Niederreiter (la nota es de aproximadamente 10 Mb).

En un comentario mencioné la palabra clave bajo discrepancia secuencia, que de hecho está relacionada, pero la mejor palabra clave y realmente lo que se pide es una baja dispersión secuencia.

La dispersión de un punto finito $ P = $ establecido en algún espacio ambiental $ S $ se define como el supremo sobre todo $ x in S $ de $ min_i d (x, x_i) $ donde en el documento cito el $ d $ es la norma infinita (pero ya que están en 1-d no importa tanto).

Y luego, para una secuencia, se considera la dispersión de los segmentos iniciales. Por lo tanto, el limes superior de $ n $ veces la dispersión de los primeros $ n $ elementos de la secuencia es solo la mitad de lo que se pregunta aquí (en realidad, uno podría tener que tener un poco de cuidado para incluir 0 y 1 para salvar y así multiplicar por $ n + 2 $, pero asintéticamente esto no cambia nada).

Esta noción de dispersión, al parecer, fue introducida por Niederreiter y en su artículo 'Secuencias de baja discrepancia y baja dispersión' (J. Number Th., 1987), ver al final, informa que la mejor construcción de entonces de una secuencia de baja dispersión produce un $ 1 / log 4 $ que de hecho es solo la mitad de los $ 1 / log 2 $ que informa OP. (La construcción no está en este artículo de Niederreiter pero él la cita, debo agregar que el resultado es para una dimensión arbitraria, el caso 1-d podría o no ser más antiguo).

Parece haber varios trabajos relacionados, por lo que se pueden encontrar más con búsquedas más extensas.

Editar: aquí hay una prueba simple de que $ alpha: = inf limsup n a_n geq 1 / ln 2 $. Tenga en cuenta que esta edición se realiza después de que se hayan dado soluciones en otras respuestas.

Consideremos la secuencia de longitudes de los subintervalos en algún paso $ n $, en orden decreciente: $ ell_0 geq ell_1 geq dots geq ell_n $ de modo que $ ell_0 = a_n $. Supongamos que observamos uno de los peores pasos, de modo que $ k a_k leq n a_n $ para todos $ k & gtn $. Luego $ j $ paso después, hay al menos un subintervalo de longitud $ ell_j $, ya que no todos los más largos pueden haber sido subdivididos. Eso implica $ ell_j leq ell_0 frac = a_n frac <1> <1 + j / n> $

Además, la suma de $ ell_ ast $ debe ser $ 1 $, de modo que $ 1 = sum ell_j leq a_n sum_j frac <1> <1 + j / n> sim a_n cdot n int_0 ^ 1 frac < mathrmt> <1 + t> = na_n ln 2 $ Esto prueba que $ limsup n a_n geq 1 / ln 2 $.

También obtenemos una pista sobre cómo realizarlo: en cada paso, divida el intervalo más largo de una manera que haga que la distribución de longitud sea más cercana al perfil $ t mapsto frac1 <1 + t> $ sobre $ [0,1 PS

Esta no es una respuesta completa, pero los límites superior e inferior no coinciden para $ alpha: = inf limsup n a_n $ (donde el infimum está en $ $ y el límite superior en $ n $):

$ frac12 + frac1 < sqrt <2>> simeq 1,207 leq alpha leq frac <1+ sqrt <5>> 2 simeq 1,618 $

Para el límite inferior: deje $ $ sea fijo y suponga que para $ n $ suficientemente grandes, todas las piezas tienen una longitud como máximo $ a / n $ (donde $ a geq1 $). Sea $ psi $ un número menor que $ 1 $ para optimizarlo más adelante, déjeme ignorar los errores de redondeo que son insignificantes y observe la $ n psi $ -ésima pieza más grande en el paso $ n $. Denote su longitud por $ ell $: la longitud total de las piezas es $ 1 $ y también es como máximo $ a / n cdot n psi + ell n (1- psi) $, de modo que $ ell geq frac <1-a psi> <1- psi> cdot frac1n. $ Dado que hay al menos $ psi n $ piezas de tamaño al menos $ ell $, en un paso del orden de $ n + psi n $ quedará una de esas piezas. Por lo tanto tenemos $ frac a geq frac <1-a psi> <1- psi> cdot frac1n $ de donde proviene $ a geq frac <1+ psi> <1+ psi ^ 2>. $ Optimización en $ psi $ da el límite inferior deseado.

Para el límite superior: buscamos una manera de lograr $ limsup n a_n = phi $ donde $ phi = frac <1+ sqrt <5>> 2 $ es la proporción áurea.

Arregle $ lambda leq 1/2 $ y construya $ $ inductivamente para cortar en cada paso el intervalo más grande en dos partes de longitudes en la proporción $ lambda: 1- lambda $. Para simplificar el análisis, elija $ lambda $ de modo que $ (1- lambda) ^ 2 = lambda $ (es decir, tome $ lambda = frac <3- sqrt <5>> 2 $). Con esta elección, obtenemos que en cada paso $ n $ todas las piezas tienen longitudes $ lambda ^ k $ o $ lambda ^(1- lambda) $, por unos $ k $ que dependen solo de $ n $.

En lugar de expresar $ k $ en función de $ n $, consideremos el peor de los casos: hay $ n $ piezas de longitud $ lambda ^ k $ y solo una de longitud $ lambda ^(1- lambda) $. Entonces, como la suma de las longitudes es $ 1 $, escribiendo $ ell = lambda ^ k $ y notando $ phi = frac <1- lambda> < lambda> $, podemos calcular $ ell = frac <1>$ para que (para esos $ n $ cuando estemos en el peor de los casos): $ n a_n = frac a phi. $


Contenido

Una secuencia se puede considerar como una lista de elementos con un orden particular. [2] [3] Las secuencias son útiles en varias disciplinas matemáticas para estudiar funciones, espacios y otras estructuras matemáticas utilizando las propiedades de convergencia de las secuencias. En particular, las secuencias son la base de las series, que son importantes en el análisis y las ecuaciones diferenciales. Las secuencias también son interesantes por sí mismas y pueden estudiarse como patrones o rompecabezas, como en el estudio de los números primos.

Hay varias formas de denotar una secuencia, algunas de las cuales son más útiles para tipos específicos de secuencias. Una forma de especificar una secuencia es enumerar todos sus elementos. Por ejemplo, los primeros cuatro números impares forman la secuencia (1, 3, 5, 7). Esta notación también se usa para secuencias infinitas. Por ejemplo, la secuencia infinita de números enteros impares positivos se escribe como (1, 3, 5, 7,.). Dado que anotar secuencias con puntos suspensivos conduce a la ambigüedad, el listado es más útil para las secuencias infinitas habituales que pueden reconocerse fácilmente a partir de sus primeros elementos. Otras formas de denotar una secuencia se discuten después de los ejemplos.

Ejemplos Editar

Los números primos son los números naturales mayores que 1 que no tienen divisores sino 1 y ellos mismos. Al tomarlos en su orden natural, se obtiene la secuencia (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,.). Los números primos se utilizan ampliamente en matemáticas, particularmente en la teoría de números, donde existen muchos resultados relacionados con ellos.

Los números de Fibonacci comprenden la secuencia entera cuyos elementos son la suma de los dos elementos anteriores. Los dos primeros elementos son 0 y 1 o 1 y 1, de modo que la secuencia es (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,.). [2]

Otros ejemplos de secuencias incluyen aquellas compuestas por números racionales, números reales y números complejos. La secuencia (.9, .99, .999, .9999,.), Por ejemplo, se acerca al número 1. De hecho, cada número real se puede escribir como el límite de una secuencia de números racionales (por ejemplo, a través de su expansión decimal ). Como otro ejemplo, π es el límite de la secuencia (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,.), Que está aumentando. Una secuencia relacionada es la secuencia de dígitos decimales de π, es decir, (3, 1, 4, 1, 5, 9,.). A diferencia de la secuencia anterior, esta secuencia no tiene ningún patrón que sea fácilmente discernible mediante inspección.

La Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros comprende una gran lista de ejemplos de secuencias de números enteros. [4]

Edición de indexación

Otras notaciones pueden ser útiles para secuencias cuyo patrón no se puede adivinar fácilmente o para secuencias que no tienen un patrón como los dígitos de π. Una de esas anotaciones es escribir una fórmula general para calcular la norteel término en función de norte, enciérrelo entre paréntesis e incluya un subíndice que indique el conjunto de valores que norte puede tomar. Por ejemplo, en esta notación, la secuencia de números pares podría escribirse como (2 n) n ∈ N < displaystyle (2n) _>>. La secuencia de cuadrados se puede escribir como (n 2) n ∈ N < displaystyle (n ^ <2>) _ >>. La variable norte se denomina índice y el conjunto de valores que puede tomar se denomina conjunto de índices.

A menudo es útil combinar esta notación con la técnica de tratar los elementos de una secuencia como variables individuales. Esto produce expresiones como (a n) n ∈ N < displaystyle (a_)_ >>, que denota una secuencia cuya norteEl elemento está dado por la variable a n < displaystyle a_>. Por ejemplo:

En los casos en que se entiende el conjunto de números de indexación, los subíndices y superíndices a menudo se omiten. Es decir, uno simplemente escribe (a k) < displaystyle (a_)> para una secuencia arbitraria. A menudo, el índice k se entiende que va de 1 a ∞. Sin embargo, las secuencias se indexan con frecuencia comenzando desde cero, como en

En algunos casos, los elementos de la secuencia están relacionados de forma natural con una secuencia de números enteros cuyo patrón se puede inferir fácilmente. En estos casos, el conjunto de índices puede estar implícito en una lista de los primeros elementos abstractos. Por ejemplo, la secuencia de cuadrados de números impares podría indicarse de cualquiera de las siguientes formas.

Además, los subíndices y superíndices podrían haberse omitido en las notaciones tercera, cuarta y quinta, si se entendiera que el conjunto de indexación son los números naturales. En la segunda y tercera viñetas, hay una secuencia bien definida (a k) k = 1 ∞ < displaystyle (a_)_^ < infty >>, pero no es lo mismo que la secuencia denotada por la expresión.

Definición de una secuencia por recursividad Editar

Las secuencias cuyos elementos están relacionados con los elementos anteriores de forma sencilla se definen a menudo mediante la recursividad. Esto contrasta con la definición de secuencias de elementos en función de sus posiciones.

Para definir una secuencia por recursividad, se necesita una regla, llamada relación de recurrencia para construir cada elemento en términos de los anteriores. Además, deben proporcionarse suficientes elementos iniciales para que todos los elementos posteriores de la secuencia puedan calcularse mediante aplicaciones sucesivas de la relación de recurrencia.

La secuencia de Fibonacci es un ejemplo clásico simple, definido por la relación de recurrencia

Un ejemplo complicado de una secuencia definida por una relación de recurrencia es la secuencia de Recamán, [5] definida por la relación de recurrencia

A recurrencia lineal con coeficientes constantes es una relación de recurrencia de la forma

Una secuencia holonómica es una secuencia definida por una relación de recurrencia de la forma

donde c 1,…, c k < displaystyle c_ <1>, dots, c_> son polinomios en n. Para la mayoría de las secuencias holonómicas, no existe una fórmula explícita para expresar explícitamente a n < displaystyle a_> en función de n. Sin embargo, las secuencias holonómicas juegan un papel importante en varias áreas de las matemáticas. Por ejemplo, muchas funciones especiales tienen una serie de Taylor cuya secuencia de coeficientes es holonómica. El uso de la relación de recurrencia permite un cálculo rápido de los valores de tales funciones especiales.

No todas las secuencias se pueden especificar mediante una relación de recurrencia. Un ejemplo es la secuencia de números primos en su orden natural (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,.).

Hay muchas nociones diferentes de secuencias en matemáticas, algunas de las cuales (p.ej., secuencia exacta) no están cubiertos por las definiciones y notaciones que se presentan a continuación.

Definición Editar

En este artículo, una secuencia se define formalmente como una función cuyo dominio es un intervalo de números enteros. Esta definición cubre varios usos diferentes de la palabra "secuencia", incluidas las secuencias infinitas unilaterales, las secuencias bi-infinitas y las secuencias finitas (ver más abajo las definiciones de este tipo de secuencias). Sin embargo, muchos autores utilizan una definición más estrecha al exigir que el dominio de una secuencia sea el conjunto de números naturales. Esta definición más restringida tiene la desventaja de que descarta las secuencias finitas y las secuencias bi-infinitas, las cuales generalmente se denominan secuencias en la práctica matemática estándar. Otra desventaja es que, si se eliminan los primeros términos de una secuencia, es necesario volver a indexar los términos restantes para ajustarse a esta definición. En algunos contextos, para acortar la exposición, el codominio de la secuencia se fija por contexto, por ejemplo, requiriendo que sea el conjunto R de números reales, [6] el conjunto C de números complejos, [7] o un espacio topológico. [8]

Aunque las secuencias son un tipo de función, generalmente se distinguen de las funciones por notación en que la entrada se escribe como un subíndice en lugar de entre paréntesis, es decir, anorte en vez de a(norte). También existen diferencias terminológicas: el valor de una secuencia en la entrada más baja (a menudo 1) se llama el "primer elemento" de la secuencia, el valor en la segunda entrada más pequeña (a menudo 2) se llama "segundo elemento", etc. Además, mientras que una función abstraída de su entrada generalmente se denota con una sola letra, p. ej. F, una secuencia abstraída de su entrada generalmente se escribe mediante una notación como (a n) n ∈ A < displaystyle (a_)_>, o simplemente como (a n). < Displaystyle (a_).> Aquí A es el dominio o conjunto de índices de la secuencia.

Las secuencias y sus límites (ver más abajo) son conceptos importantes para estudiar espacios topológicos. Una generalización importante de secuencias es el concepto de redes. A neto es una función de un conjunto dirigido (posiblemente incontable) a un espacio topológico. The notational conventions for sequences normally apply to nets as well.

Finite and infinite Edit

El length of a sequence is defined as the number of terms in the sequence.

A sequence of a finite length norte is also called an norte-tuple. Finite sequences include the empty sequence ( ) that has no elements.

Normally, the term infinite sequence refers to a sequence that is infinite in one direction, and finite in the other—the sequence has a first element, but no final element. Such a sequence is called a singly infinite sequence o un one-sided infinite sequence when disambiguation is necessary. In contrast, a sequence that is infinite in both directions—i.e. that has neither a first nor a final element—is called a bi-infinite sequence, two-way infinite sequence, o doubly infinite sequence. A function from the set Z de todos integers into a set, such as for instance the sequence of all even integers ( . −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, . ), is bi-infinite. This sequence could be denoted ( 2 n ) n = − ∞ ∞ ^> .

Increasing and decreasing Edit

The terms nondecreasing y nonincreasing are often used in place of increasing y decreasing in order to avoid any possible confusion with strictly increasing y strictly decreasing, respectively.

Bounded Edit

If the sequence of real numbers (anorte) is such that all the terms are less than some real number METRO, then the sequence is said to be bounded from above. In other words, this means that there exists METRO such that for all norte, anorteMETRO. Any such METRO is called an upper bound. Likewise, if, for some real metro, anortemetro para todos norte greater than some norte, then the sequence is bounded from below and any such metro se llama un lower bound. If a sequence is both bounded from above and bounded from below, then the sequence is said to be bounded.

Subsequences Edit

A subsequence of a given sequence is a sequence formed from the given sequence by deleting some of the elements without disturbing the relative positions of the remaining elements. For instance, the sequence of positive even integers (2, 4, 6, . ) is a subsequence of the positive integers (1, 2, 3, . ). The positions of some elements change when other elements are deleted. However, the relative positions are preserved.

Other types of sequences Edit

Some other types of sequences that are easy to define include:

  • Un integer sequence is a sequence whose terms are integers.
  • A polynomial sequence is a sequence whose terms are polynomials.
  • A positive integer sequence is sometimes called multiplicative, if anm = anorteametro for all pairs norte, metro tal que norte y metro are coprime. [9] In other instances, sequences are often called multiplicative, if anorte = na1 para todos norte. Moreover, a multiplicative Fibonacci sequence [10] satisfies the recursion relation anorte = anorte−1anorte−2.
  • A binary sequence is a sequence whose terms have one of two discrete values, e.g. base 2 values (0,1,1,0, . ), a series of coin tosses (Heads/Tails) H,T,H,H,T, . the answers to a set of True or False questions (T, F, T, T, . ), and so on.

An important property of a sequence is convergence. If a sequence converges, it converges to a particular value known as the limit. If a sequence converges to some limit, then it is convergent. A sequence that does not converge is divergent.

Formal definition of convergence Edit

Applications and important results Edit

  • lim n → ∞ ( a n ± b n ) = lim n → ∞ a n ± lim n → ∞ b n (a_pm b_)=lim _a_pm lim _b_>
  • lim n → ∞ c a n = c lim n → ∞ a n ca_=clim _a_> for all real numbers c
  • lim n → ∞ ( a n b n ) = ( lim n → ∞ a n ) ( lim n → ∞ b n ) (a_b_)=left(lim _a_ ight)left(lim _b_ ight)>
  • lim n → ∞ a n b n = lim n → ∞ a n lim n → ∞ b n ><>>>=a_>b_>>> , provided that lim n → ∞ b n ≠ 0 b_ eq 0>
  • lim n → ∞ a n p = ( lim n → ∞ a n ) p a_^

    =left(lim _a_ ight)^

    > for all p > 0 and a n > 0 >0>

  • If a n ≤ b n leq b_> for all n greater than some N , then lim n → ∞ a n ≤ lim n → ∞ b n a_leq lim _b_> . [a]
  • (Squeeze Theorem)
    If ( c n ) )> is a sequence such that a n ≤ c n ≤ b n leq c_leq b_> for all n > N and lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n = L a_=lim _b_=L> ,
    then ( c n ) )> is convergent, and lim n → ∞ c n = L c_=L> .
  • If a sequence is bounded and monotonic then it is convergent.
  • A sequence is convergent if and only if all of its subsequences are convergent.

Cauchy sequences Edit

A Cauchy sequence is a sequence whose terms become arbitrarily close together as n gets very large. The notion of a Cauchy sequence is important in the study of sequences in metric spaces, and, in particular, in real analysis. One particularly important result in real analysis is Cauchy characterization of convergence for sequences:

A sequence of real numbers is convergent (in the reals) if and only if it is Cauchy.

Metric spaces that satisfy the Cauchy characterization of convergence for sequences are called complete metric spaces and are particularly nice for analysis.

Infinite limits Edit

In calculus, it is common to define notation for sequences which do not converge in the sense discussed above, but which instead become and remain arbitrarily large, or become and remain arbitrarily negative. If a n > becomes arbitrarily large as n → ∞ , we write

In this case we say that the sequence diverges, or that it converges to infinity. An example of such a sequence is anorte = norte .

and say that the sequence diverges o converges to negative infinity.


Interactive Real Analysis

It is important to try to develop a more intuitive understanding about lim sup y lim inf. The next results will attempt to make these concepts somewhat more clear.

  1. there is a subsequence converging to C
  2. there is a subsequence converging to d
  3. d lim inf lim sup c for any subsequence <>
  • A j picks out the greatest lower bound for the truncated sequences . Therefore A j tends to the smallest possible limit of any convergent subsequence.
  • Similarly, B j picks the smallest upper bound of the truncated sequences, and hence tends to the greatest possible limit of any convergent subsequence.
  • If is the sequence of all rational numbers in the interval [0, 1], enumerated in any way, find the lim sup y lim inf of that sequence.

The final statement relates lim sup y lim inf with our usual concept of limit.

To see that even simple concepts like lim inf y lim sup can result in interesting math consider the following unproven conjecture:

The first equation is a conjecture, not yet proven, called the twin prime conjecture. In fact, it is not even known if the lim inf is finite. On the other hand, the second equation involving lim sup is known to be infinite because of arbitrary spaces between two primes.


2 Completeness

The main reason for introducing the reals is that the reals contain all limits. More technically, the reals are complete (in the sense of metric spaces or uniform spaces, which is a different sense than the Dedekind completeness of the order in the previous section ). This means the following:

A sequence ( x n ) of real numbers is called a Cauchy sequence if for any ε > 0 there exists an integer N (possibly depending on ε ) such that the distance | x n - x m | is less than ε provided that n and m are both greater than N . In other words, a sequence is a Cauchy sequence if its elements x n eventually come and remain arbitrarily close to each other.

A sequence ( x n ) converges to the limit x if for any ε > 0 there exists an integer N (possibly depending on ε ) such that the distance | x n - x | is less than ε provided that n is greater than N . In other words, a sequence has limit x if its elements eventually come and remain arbitrarily close to x .

It is easy to see that every convergent sequence is a Cauchy sequence. Now the important fact about the real numbers is that the converse is true:

Every Cauchy sequence of real numbers is convergent .

That is, the reals are complete.

Note that the rationals are not complete. For example, the sequence 1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 , 1.4142 , 1.41421 , … is Cauchy but it does not converge to a rational number. (In the real numbers, in contrast, it converges to the square root of 2 .)

The existence of limits of Cauchy sequences is what makes calculus work and is of great practical use. The standard numerical test to determine if a sequence has a limit is to test if it is a Cauchy sequence, as the limit is typically not known in advance.

For example the standard series of the exponential function

converges to a real number because for every x the sums

can be made arbitrarily small by choosing N sufficiently large. This proves that the sequence is Cauchy, so we know that the sequence converges even if we don’t know ahead of time what the limit is.


Completeness in (R^n)

Recall that the set of real numbers is complete - if we have a sequence of real numbers where the terms get closer together, then the sequence has a real number as a limit. This property is not true in the set of rational numbers, for example, which originally motivated the construction of the reals. Unfortunately, the characterization of completeness from first-year calculus, that nonempty subsets of real numbers which are bounded above have least upper bounds, does not translate easily to (R^n) .

The fundamental issue is that since (R) is a line it makes sense to ask which of any two elemets is bigger. In other words, given any two numbers (x,yin R) , it is always the case that either (xleq y) or (yleq x) . That is, (R) is totally ordered.

On the other hand, given two vectors (,inR^2) (or more generally in (R^n) for (ngeq 2) ), it doesn’t make sense to ask which of the two vectors is bigger. We could try defining an order by saying (leq ) whenever (| |leq| |) but this turns out to not satisfy some nice properties that we would expect of an order, for example there are many nonequal vectors of the same magnitude, so with this definition (leq ) and (leq ) does not imply that (=) .

There is no way of ordering elements of (R^n) for our purposes, so we can’t generalize the definition of least upper bound to (R^n) . This means the first-year calculus characterization of completeness does not help us directly.

When trying to generalize a concept to (R^n) , we will try to find equivalent formulations of the statement until we have a statement that makes sense in (R^n) . Then we will use this as the definition of the concept in (R^n) .

For example, in (R) we saw above that the Bounded Sequence Theorem follows from the Monotone Convergence Theorem, and the Monotone Convergence Theorem follows from the completeness of (R) : [ ext R implies ext implies ext]

You can check that these are all actually equivalences, in other words, that you can prove the completeness of (R) (the least upper bound property) from the Monotone Convergence Theorem and that you can prove the Monotone Convergence Theorem from the Bounded Sequence Theorem: [ ext R iff ext iff ext] Hence in (R) the notion of completeness is equivalent to the Bounded Sequence Theorem. Finally notice that the statement of the Bounded Sequence Theorem no longer requires the definition of a least upper bound (or an order between vectors) and has a generalization to the Bounded Sequence Theorem in (R^n) as above.

This allows us to define completeness of (R^n) in terms of the bounded sequence theorem. The analogue of the completeness axiom in higher dimensions thus becomes

For (n=1) this notion of completeness is equivalent to the usual single-variable calculus completeness axiom so we have arrived at a generalization of completeness which now works in any dimension, since it does not rely on a least upper bound property in higher dimensions. We could also show that completeness is equivalent to the Intermediate Value Theorem, or to the statement that every absolutely convergent sequence converges.


No doubt, most readers of this book think of real numbers as values on a number line, which has long been accepted by scientists and engineers as a model for measurements of length, mass, and time.

Although there is nothing wrong with this intuitive interpretation, it is the goal of this section to show how the real numbers can be logically created from more primitive number systems like the natural numbers, as well as introducing aspects of the real numbers decimal expansions, the least upper bound property, types of real numbers like rational, irrational, algebraic, and transcendental, and completeness properties.

Without going into the history of how numbers went from 1, 2, 3, … to the real numbers, there are two fundamental approaches to how to define the real numbers. First, we can state axioms that we believe characterize our interpretation of the real numbers. This is the here they are, the real numbers. This approach is called the synthetic approach, whereby axioms hopefully embody what we believe a “continuum” should be.

On the other hand, we can “construct” .

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Problem 10

A basketball team's players were successful on 50% of their two-point shots and 40% of their three-point shots, which resulted in 54 points. They attempted 50% more two-point shots than three-point shots. How many three-point shots did they attempt?


Number Sequences Examples & Types

Number sequences consist of a finite row of numbers of which one of the numbers is missing in the sequence. As the term sequence already indicates, it is an ordered row of numbers in which the same number can appear multiple times. On his page the most common number sequences examples are presented.

Practice the number sequence tests used by employers with JobTestPrep.

Arithmetic Sequences

An arithmetic sequence is a mathematical sequence consisting of a sequence in which the next term originates by adding a constant to its predecessor. When the first term x1 and the difference of the sequence d is known, the whole sequence is fixed, or in formula:

An example of this type of number sequence could be the following:

This sequence has a difference of 5 between each number. The pattern is continued by adding the constant number 5 to the last number each time. The value added each time is called the “common difference”. The common difference could also be negative, like this:

This common difference is -2. The pattern is continued by subtracting 2 each time.


I would start by thinking about why the cardinality of ##[0,1)^2## is equal to the cardinality ##[0,1)##. To do this you think realize that any element of ##[0,1)^2## can be written as ##(x,y)## where ##x## and ##y## have infinite decimal expansions ##x = a_1 a_2 a_3 . ## and ##y = b_1 b_2 b_3 . ##, then you can combine these into a unique real number ##z = a_1 b_1 a_2 b_2 a_3 b_3 . ## .

From here, you can generalize this proof to show that ##|[0,1)^mathbb| = |[0,1)|## by recalling the proof that the rational and natural numbers have the same cardinality. At this point you should be almost home.

Great point, jbunniii, we should definitely make sure to deal with multiple expansions.

(By the way, I'm sorry that I have edited and updated my post multiple times. I'm still trying to figure out how to use the Tex features properly.)

Sure, but the number of elements in the sequences is.

"the cardinality of the set of ([countable] infinite) sequences of real numbers"
I added "()" to clarify the structure.


Ver el vídeo: sequences of Real Numbers part 1 (Noviembre 2021).