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9.2: Prorrateo - Métodos de Jefferson, Adams y Webster - Matemáticas


El método de Jefferson fue el primer método utilizado para distribuir los escaños en la Cámara de Representantes de Estados Unidos en 1792. Se usó hasta 1832. Ese año, Nueva York tenía una cuota estándar de 38,59 pero se le concedieron 40 escaños por el método de Jefferson. En ese momento, John Quincy Adams y Daniel Webster propusieron cada uno nuevos métodos de distribución, pero las propuestas fueron rechazadas y el método de Jefferson todavía se utilizó. El método de Webster se eligió más tarde para ser utilizado en 1842, pero el método de Adams nunca se utilizó. El método de Webster y el método de Hamilton a menudo dan el mismo resultado. Durante muchos de los años entre 1852 y 1901, el Congreso utilizó una serie de escaños para la Cámara que daría como resultado la misma distribución por los métodos de Webster o Hamilton. Después de que el método de Hamilton fue finalmente descartado en 1901, el método de Webster se utilizó en 1901, 1911 y 1931. Hubo irregularidades en el proceso en 1872 y justo después del censo de 1920. En 1941, el tamaño de la Cámara se fijó en 435 escaños y el método Huntington-Hill se convirtió en el método permanente de distribución.

Los métodos de Jefferson, Adams y Webster se basan todos en la idea de encontrar un divisor que distribuya todos los asientos según la regla de redondeo adecuada. No deben quedar asientos después de redondear el número de asientos. Para que esto suceda, tenemos que ajustar el divisor estándar hacia arriba o hacia abajo. La diferencia entre los tres métodos es la regla para redondear las cuotas. El método de Jefferson redondea las cuotas hacia abajo a sus cuotas más bajas, el método de Adams redondea las cuotas hacia arriba a sus cuotas superiores y el método de Webster redondea las cuotas hacia arriba o hacia abajo siguiendo la regla de redondeo habitual.

Método de Jefferson

El método de Jefferson divide todas las poblaciones por un divisor modificado y luego redondea los resultados a la cuota más baja. A veces, el número total de asientos será demasiado grande y otras veces será demasiado pequeño. Seguimos adivinando divisores modificados hasta que el método asigna el número total correcto de asientos. Dividir por un divisor modificado más grande hará que cada cuota sea más pequeña, por lo que la suma de las cuotas más bajas será menor. Es fácil recordar qué camino tomar. Si la suma es demasiado grande, agranda el divisor. Si la suma es demasiado pequeña, reduzca el divisor. Todas las cuotas se redondean hacia abajo, por lo que usar el divisor estándar dará una suma demasiado pequeña. Nuestra suposición para el primer divisor modificado debería ser un número menor que el divisor estándar.

Resumen del método de Jefferson:

  1. Encuentra el divisor estándar, .
  2. Elija un divisor modificado, d, que sea ligeramente menor que el divisor estándar.
  3. Divida la población de cada estado por el divisor modificado para obtener su cuota modificada.
  4. Redondea cada cuota modificada a su cuota más baja.
  5. Encuentra la suma de las cuotas más bajas.
  6. Si la suma es la misma que la cantidad de asientos que se distribuirán, ya está. Si la suma es demasiado grande, elija un nuevo divisor modificado que sea mayor que d. Si la suma es demasiado pequeña, elija un nuevo divisor modificado que sea más pequeño que d. Repita los pasos del tres al seis hasta distribuir el número correcto de asientos.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): método de Jefferson

Utilice el método de Jefferson para distribuir los 25 asientos en Hamiltonia de Example ( PageIndex {2} ).

Tabla ( PageIndex {1} ): Poblaciones por estado para Hamiltonia

Estado

Alfa

Beta

Gama

Delta

Épsilon

Zeta

Total

Población

24,000

56,000

28,000

17,000

65,000

47,000

237,000

Por ejemplo ( PageIndex {2} ) sabemos que el divisor estándar es 9480 y la suma de las cuotas inferiores es 20. En el método de Jefferson, el divisor estándar siempre nos dará una suma que es demasiado pequeña, por lo que comenzamos haciendo el divisor estándar más pequeño. No hay una fórmula para esto, solo adivina algo. Probemos con el divisor modificado, d = 9000.

Tabla ( PageIndex {2} ): cuotas para d = 9000

Estado

Alfa

Beta

Gama

Delta

Épsilon

Zeta

Total

Población

24,000

56,000

28,000

17,000

65,000

47,000

237,000

d = 9000

2.67

6.22

3.11

1.89

7.22

5.22

Cuota inferior

2

6

3

1

7

5

24

La suma de 24 es demasiado pequeña, por lo que debemos intentarlo de nuevo haciendo que el divisor modificado sea más pequeño. Intentemos d = 8000.

Tabla ( PageIndex {3} ): cuotas para d = 8000

Estado

Alfa

Beta

Gama

Delta

Épsilon

Zeta

Total

Población

24,000

56,000

28,000

17,000

65,000

47,000

237,000

d = 9000

2.67

6.22

3.11

1.89

7.22

5.22

Cuota inferior

2

6

3

1

7

5

24

d = 8000

3.00

7.00

3.50

2.13

8.13

5.88

Cuota inferior

3

7

3

2

8

5

28

Esta vez la suma de 28 es demasiado grande. Intente nuevamente agrandar el divisor modificado. Sabemos que el divisor debe estar entre 8000 y 9000, así que intentemos 8500.

Tabla ( PageIndex {4} ): cuotas para d = 8500

Estado

Alfa

Beta

Gama

Delta

Épsilon

Zeta

Total

Población

24,000

56,000

28,000

17,000

65,000

47,000

237,000

d = 9000

2.67

6.22

3.11

1.89

7.22

5.22

Cuota inferior

2

6

3

1

7

5

24

d = 8000

3.00

7.00

3.50

2.13

8.13

5.88

Cuota inferior

3

7

3

2

8

5

28

d = 8500

2.82

6.59

3.29

2.00

7.65

5.53

Cuota inferior

2

6

3

2

7

5

25

Esta vez la suma es 25, así que hemos terminado. Alpha obtiene dos senadores, Beta obtiene seis senadores, Gamma obtiene tres senadores, Delta obtiene dos senadores, Epsilon obtiene siete senadores y Zeta obtiene cinco senadores.

Nota: Este es el mismo resultado que obtuvimos usando el método de Hamilton en el Ejemplo ( PageIndex {4} ). Los dos métodos no siempre dan el mismo resultado.

Método de Adams

El método de Adams divide todas las poblaciones por un divisor modificado y luego redondea los resultados a la cuota superior. Al igual que el método de Jefferson, seguimos adivinando divisores modificados hasta que el método asigna el número correcto de asientos. Todas las cuotas se redondean hacia arriba, por lo que el divisor estándar dará una suma demasiado grande. Nuestra suposición para el primer divisor modificado debería ser un número mayor que el divisor estándar.

Resumen del método de Adams:

  1. Encuentra el divisor estándar, .
  2. Elija un divisor modificado, d, que sea un poco más que el divisor estándar.
  3. Divida la población de cada estado por el divisor modificado para obtener la cuota modificada.
  4. Redondea cada cuota modificada hasta la cuota superior.
  5. Calcula la suma de las cuotas superiores.
  6. Si la suma es la misma que la cantidad de asientos que se distribuirán, ya está. Si la suma es demasiado grande, elija un nuevo divisor modificado que sea mayor que d. Repita los pasos del tres al seis hasta distribuir el número correcto de asientos.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): método de Adams

Utilice el método de Adams para distribuir los 25 asientos en Hamiltonia de Example ( PageIndex {2} ).

Tabla ( PageIndex {5} ): Poblaciones por estado para Hamiltonia

Estado

Alfa

Beta

Gama

Delta

Épsilon

Zeta

Total

Población

24,000

56,000

28,000

17,000

65,000

47,000

237,000

Por ejemplo ( PageIndex {2} ) sabemos que el divisor estándar es 9480 y la suma de las cuotas superiores es 26. En el método de Adams, el divisor estándar siempre nos dará una suma que es demasiado grande, así que comenzamos haciendo el divisor estándar más grande. Probemos con el divisor modificado, d = 10,000.

Tabla ( PageIndex {6} ): cuotas para d = 10,000

Estado

Alfa

Beta

Gama

Delta

Épsilon

Zeta

Total

Población

24,000

56,000

28,000

17,000

65,000

47,000

237,000

d = 10,000

2.40

5.60

2.80

1.70

6.50

4.70

Cuota superior

3

6

3

2

7

5

26

El número total de asientos, 26, es demasiado grande, por lo que debemos intentarlo de nuevo haciendo que el divisor modificado sea más grande. Prueba d = 11.000.

Tabla ( PageIndex {7} ): cuotas para d = 11.000

Estado

Alfa

Beta

Gama

Delta

Épsilon

Zeta

Total

Población

24,000

56,000

28,000

17,000

65,000

47,000

237,000

d = 10,000

2.40

5.60

2.80

1.70

6.50

4.70

Cuota superior

3

6

3

2

7

5

26

d = 11.000

2.18

5.09

2.55

1.55

5.91

4.27

Cuota superior

3

6

3

2

6

5

25

Esta vez, el número total de asientos es 25, el número correcto de asientos que se distribuirán. Dale a Alpha tres asientos, Beta seis asientos, Gamma tres asientos, Delta dos asientos, Epsilon seis asientos y Zeta cinco asientos.

Nota: Este no es el mismo resultado que obtuvimos usando el método de Hamilton en el Ejemplo ( PageIndex {4} ).

Método de Webster

El método de Webster divide todas las poblaciones mediante un divisor modificado y luego redondea los resultados hacia arriba o hacia abajo siguiendo las reglas de redondeo habituales. Debido a que algunas cuotas se redondean hacia arriba y otras hacia abajo, no sabemos si el divisor estándar dará una suma demasiado grande o demasiado pequeña. Nuestra suposición para el primer divisor modificado debería ser el divisor estándar.

Resumen del método Webster:

  1. Encuentra el divisor estándar, . Utilice el divisor estándar como el primer divisor modificado.
  2. Divida la población de cada estado por el divisor modificado para obtener la cuota modificada.
  3. Redondea cada cuota modificada al número entero más cercano usando reglas de redondeo convencionales.
  4. Encuentra la suma de las cuotas redondeadas.
  5. Si la suma es la misma que la cantidad de asientos que se distribuirán, ya está. Repita los pasos del dos al cinco hasta distribuir el número correcto de asientos.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): método de Webster

Utilice el método de Webster para distribuir los 25 asientos en Hamiltonia del Ejemplo ( PageIndex {2} ).

Tabla ( PageIndex {8} ): Poblaciones por estado para Hamiltonia

Estado

Alfa

Beta

Gama

Delta

Épsilon

Zeta

Total

Población

24,000

56,000

28,000

17,000

65,000

47,000

237,000

Por ejemplo ( PageIndex {2} ) sabemos que el divisor estándar es 9480. Debido a que algunas cuotas se redondearán hacia arriba y otras cuotas se redondearán hacia abajo, no sabemos de inmediato si el número total de puestos es demasiado grande o demasiado pequeño. . A diferencia del método de Jefferson y Adam, no sabemos de qué manera ajustar el divisor modificado. Esto nos obliga a utilizar el divisor estándar como primer divisor modificado.

Tenga en cuenta que debemos usar más lugares decimales en este ejemplo que en los últimos ejemplos. El uso de dos lugares decimales brinda más información sobre la forma correcta de redondear. Piense en la cuota estándar de Alpha. Tanto 2,48 como 2,53 se redondearían a 2,5. Sin embargo, 2,48 debe redondearse hacia abajo a 2, mientras que 2,53 debe redondearse a 3 según el método de Webster. Esta situación no ha ocurrido en ninguno de los ejemplos anteriores.

Tabla ( PageIndex {9} ): cuotas para d = 9480

Estado

Alfa

Beta

Gama

Delta

Épsilon

Zeta

Total

Población

24,000

56,000

28,000

17,000

65,000

47,000

237,000

d = 9480

2.53

5.91

2.95

1.79

6.86

4.96

Cuota redondeada

3

6

3

2

7

5

26

Dado que el total de 26 asientos es demasiado grande, debemos agrandar el divisor modificado. Prueba d = 11.000.

Tabla ( PageIndex {10} ): cuotas para d = 11.000

Estado

Alfa

Beta

Gama

Delta

Épsilon

Zeta

Total

Población

24,000

56,000

28,000

17,000

65,000

47,000

237,000

d = 9480

2.53

5.91

2.95

1.79

6.86

4.96

Cuota redondeada

3

6

3

2

7

5

26

d = 11.000

2.18

5.09

2.55

1.55

5.91

4.27

Cuota redondeada

2

5

3

2

6

4

22

El número total de asientos es menor como esperábamos, pero 22 es demasiado pequeño. Eso significa que d = 11.000 es demasiado grande. Necesitamos elegir un nuevo divisor modificado entre 9480 y 11,000. Pruebe con un divisor más cercano a 9480, como d = 10,000.

Tabla ( PageIndex {11} ): cuotas para d = 10,000

Estado

Alfa

Beta

Gama

Delta

Épsilon

Zeta

Total

Población

24,000

56,000

28,000

17,000

65,000

47,000

237,000

d = 9480

2.53

5.91

2.95

1.79

6.86

4.96

Cuota redondeada

3

6

3

2

7

5

26

d = 11.000

2.18

5.09

2.55

1.55

5.91

4.27

Cuota redondeada

2

5

3

2

6

4

22

d = 10,000

2.40

5.60

2.80

1.70

6.50

4.70

Cuota redondeada

2

6

3

2

7

5

25

Nota: Esta es la misma distribución que encontramos usando los métodos de Hamilton y Jefferson, pero no el método de Adam.


Math 036 Perspectivas de las matemáticas

Descripción del Libro Azul: Este curso proporcionará a los estudiantes los antecedentes matemáticos y las habilidades cuantitativas en varias aplicaciones matemáticas en áreas relacionadas con la votación, las divisiones justas que incluyen métodos de distribución y la comprensión y aplicación de la teoría de grafos básica como los circuitos de Euler y Hamilton. Este curso puede ser utilizado por estudiantes de especialidades no técnicas para satisfacer 3 créditos de su requisito de Cuantificación de educación general (GQ). Este curso no es un requisito previo para ningún curso de matemáticas y debe tratarse como un curso terminal.

Prerrequisitos: una unidad de álgebra o MATEMÁTICAS 004

Requisito previo para: Ninguno

Licenciatura en Artes: Cuantificación
Educación general: cuantificación (GQ)
Objetivo de aprendizaje de GenEd: pensamiento crítico y analítico
Objetivo de aprendizaje de GenEd: alfabetizaciones clave

Libro de texto sugerido:
Excursiones en matemáticas modernas, novena edición Por Peter Tannenbaum Publicado por Pearson
Consulte con su instructor para asegurarse de que este sea el libro de texto utilizado para su sección.

Temas:
1 Las matemáticas de las elecciones

1.1 Los elementos básicos de una elección
1.2 El método de la pluralidad
1.3 El método de recuento de Borda
1.4 El método de pluralidad con eliminación
1.5 El método de las comparaciones por pares
1.6 Criterios de equidad y teorema de imposibilidad de Arrow

2 Las matemáticas del poder

2.1 Introducción al voto ponderado
2.2 Energía de Banzhaf
2.3 Poder Shapley-Shubik
2.4 Subconjuntos y permutaciones

3 Las matemáticas de compartir

3.1 Juegos de división justa
3.2 El método del divisor-selector
3.3 El método del divisor solitario
3.4 El método del elector solitario
3.5 El método de las ofertas selladas
3.6 El método de los marcadores

4 Las matemáticas de la distribución

4.1 Problemas de reparto y métodos de reparto
4.2 Método de Hamilton
4.3 Método de Jefferson
4.4 Métodos de Adams y Webster
4.5 El método Huntington-Hill
4.6 La regla de las cuotas y las paradojas de la distribución

5 Las matemáticas de moverse

5.1 Problemas con el enrutamiento de calles
5.2 Introducción a los gráficos
5.3 Teoremas de Euler y algoritmo de Fleury
5.4 Eulerización y semi-eulerización de gráficos

6 Las matemáticas del turismo

6.1 ¿Qué es un problema de vendedor ambulante?
6.2 Rutas y circuitos de Hamilton
6.3 El algoritmo de fuerza bruta
6.4 Los algoritmos del vecino más cercano y del vecino más cercano repetitivo
6.5 El algoritmo de enlace más barato


9.2: Prorrateo - Métodos de Jefferson, Adams y Webster - Matemáticas

Los métodos a continuación tienen un número sorprendentemente grande de nombres, en parte porque los métodos se descubrieron de forma independiente por una variedad de razones. Aquí hay una tabla de equivalencia para estos nombres.

El método de Hamilton (para AP) comienza conceptualmente relajando el requisito de que la cantidad de asientos asignados a cada estado sea un número entero y observando cuál sería la cuota exacta a la que cada estado tiene derecho. Esta cuota exacta qI para el estado i se puede calcular mediante cualquiera de dos cálculos, cada uno de los cuales le da a uno una perspectiva ligeramente diferente. En primera instancia, podemos pensar en la participación del estado i como el porcentaje de la población que tiene el estado i multiplicado por la cantidad de escaños disponibles. En el segundo caso, se calcula el número de personas por asiento (P / h) (es decir, el tamaño de un distrito ideal) y se divide entre la población del estado i, para ver su participación

Uno puede pensar en qI como que consta de una parte entera más una parte fraccionaria. Esta parte entera se conoce como cuota inferior, ya que intuitivamente cada estado debería obtener al menos este número de escaños, y una parte más entera se denomina cuota superior. El método de Hamilton para el problema de AP funciona dando a cada estado su cuota más baja. Si hay asientos que no se han distribuido, estos se distribuyen en el orden del resto más grande, es decir, en el orden del tamaño de las partes fraccionarias. Obviamente, existe la necesidad de reglas de desempate en el caso de que los estados tengan la misma población. Sin embargo, tanto con el método de Hamilton como con otros métodos que discutiremos más adelante, los vínculos pueden resultar de otras circunstancias además de la igualdad de la población. (Por supuesto, en el caso de CAP, el gran número involucrado reduce la posibilidad de tales empates. Además, para el problema de CAP, la discusión anterior debe modificarse para que se aborde el requisito de que cada estado obtenga uno o más escaños. ) El método de Hamilton tiene una propiedad muy atractiva. Cada estado obtiene su cuota inferior o superior, es decir, la cantidad de escaños que obtiene un estado en la Cámara de Representantes es el número entero más grande menor o igual a la cuota de un estado qI o uno más que este número. Sin embargo, como se mencionó en la sección histórica, el método de Hamilton puede fallar, utilizando un conjunto fijo de poblaciones, para garantizar que a medida que aumenta el tamaño de la casa, un estado no perderá (!) Un asiento. Por lo tanto, el método de Hamilton viola el requisito sensato, para algunos problemas de AP, de la monotonicidad del tamaño de la casa.

La tabla anterior muestra los resultados de dos censos consecutivos donde hay tres regiones y 100 escaños para distribuir a los tres estados en una legislatura regional. Tenga en cuenta que la población de A ha aumentado y la población de B ha aumentado, mientras que la población de C ha disminuido entre los dos censos.

Apliquemos el método de Hamilton a estos dos conjuntos de datos. Para el primer conjunto de datos, la población total es 1.000.000, por lo que los valores de cuota exactos de A, B y C son 65,7, 23,7 y 10,6, respectivamente. Asignar a cada estado su cuota más baja da A
65 plazas, B 23 plazas y C 10 plazas. Estos suman un total de 98, por lo que los dos asientos restantes se otorgan a los dos estados con las partes fraccionarias más grandes, A y B. El resultado final es que A obtiene 66 asientos, B obtiene 24 asientos y C obtiene 10 asientos. En el último censo, la población total se elevó a 1.010.000. Las cuotas exactas de A, B y C & # 39 ahora son 65.346, 24.267 y 10.386. Ahora, inicialmente, A obtiene 65 asientos, B obtiene 24 asientos y C obtiene 10 asientos para un total de 99. El asiento restante se asigna a C porque su parte fraccionaria es más grande. El resultado es que A obtiene 65 asientos, B obtiene 24 asientos, mientras que C obtiene 11 asientos. Por lo tanto, aunque las poblaciones de A y B & # 39s aumentaron y las de C & # 39s bajaron, el número de asientos de A disminuyó, los de B & # 39 se mantuvieron igual y los de C & # 39 subieron. Tenga en cuenta también lo que sucede con los datos del segundo censo si se decide distribuir 101 escaños en lugar de 100 escaños. La cuota exacta para A, B y C sería: 66,00, 24,51 y 10,49, respectivamente. Por lo tanto, inicialmente A obtendría 66 asientos, B obtendría 24 asientos y C obtendría 10 asientos. Dado que solo se han distribuido 100 asientos, un asiento más iría a B, que tiene el resto más grande. Por lo tanto, A obtiene 66 asientos, B obtiene 25 asientos y C obtiene 10 asientos. Como resultado, ¡C obtiene menos asientos en una casa más grande! Este ejemplo ilustra que el método de Hamilton permite la paradoja de la población y la paradoja de Alabama.

El siguiente ejemplo examinará un enfoque muy diferente para tratar las partes fraccionarias de las cuotas exactas cuando se trata de obtener una distribución razonable.

Supondremos que tenemos 10 escaños para distribuir y notaremos que la población total de todos los estados es de 1100.

Ilustraremos el método de prorrateo de Webster utilizando los datos de este ejemplo. Podemos comenzar calculando la cuota exacta a la que tiene derecho cada estado:

En la escuela primaria probablemente aprendiste a redondear números decimales al entero más cercano. Este procedimiento requería que si la parte fraccionaria era .5 o más, uno redondeado al siguiente entero más grande si la parte fraccionaria era menor que .5, entonces se redondeaba hacia abajo. Si aplicamos este enfoque a los números en el ejemplo anterior, le daríamos 6 asientos a A, 3 asientos a B y 1 asiento a C. Dado que estos números se suman a 10, podemos usar estos valores para distribuir los 10 asientos.

Sin embargo, tuvimos suerte en este caso.El redondeo distribuyó exactamente 10 escaños. Esto no siempre sucederá. Podríamos terminar distribuyendo menos de h asientos o más de h asientos si usamos la regla de redondeo habitual. Para ilustrar qué hacer en estas otras situaciones, consideraremos el siguiente ejemplo. Observe lo poco que se han cambiado los números del ejemplo 2.

Nuevamente supondremos que tenemos 10 escaños para distribuir y notaremos que la población total de todos los estados es 1100. Como hay 1100 personas y 10 escaños para distribuir, lo ideal sería poder tener un distrito por cada 110 personas. (es decir, 1100/10). Este número 110 se conoce como el tamaño de distrito ideal. Tenga en cuenta que normalmente no será un número entero, pero lo permitimos. Usando este tamaño de distrito ideal, podemos calcular la cuota exacta de cada estado.

Usando el enfoque de la escuela primaria para redondear, le daríamos 6 asientos a A, 2 asientos a B y 1 asiento a C, lo que suma solo 9 asientos, uno menos de los 10 que debemos distribuir. El enfoque del método Webster para manejar este problema es que se puede modificar el tamaño de distrito ideal para obtener un tamaño de distrito modificado (MDS). Al dividir las poblaciones estatales por el MDS, se obtienen cuotas modificadas que, con suerte, cuando se redondean de la manera habitual, distribuirán h escaños. Dado que en nuestro ejemplo distribuimos muy pocos asientos, debemos usar un MDS más pequeño, lo que aumentará el tamaño de las partes fraccionarias, por lo que al redondearlas distribuimos más asientos (pero no demasiados). Usaremos un MDS de 107.2. (¿Puede deducir del cálculo a continuación por qué se eligió ese valor?) Generalmente habrá un intervalo de números que, si usamos cualquier número en este rango como un MDS, distribuirá los asientos h deseados).

Calcular cuotas modificadas basadas en el MDS da:

El valor de cuota modificado de & # 39s viene dado por (696 / 107.2) = 6.493
El valor de cuota modificado de B & # 39s viene dado por (268 / 107.2) = 2.5 (¡exactamente!)
El valor de cuota modificado de C & # 39 viene dado por (136 / 107.2) = 1.268.

Cuando redondeamos le damos 6 asientos a A, 3 asientos a B y 1 asiento a C, lo que suma 10 asientos, el número que necesitamos distribuir.

Habiendo visto este enfoque para distribuir asientos, es muy natural darse cuenta de que se obtendrán otros métodos eligiendo una regla de redondeo diferente a la habitual. De hecho, se puede pensar que los otros métodos que se describieron en la sección de historia funcionan exactamente de esta manera.

El método de Jefferson se basa en tomar la parte fraccionaria de la cuota exacta o cuota modificada y siempre redondearla hacia abajo, sin importar cuán pequeña sea la parte fraccionaria. El método de Adams se basa en tomar la parte fraccionaria de la cuota exacta o la cuota exacta modificada y siempre redondearla hacia arriba, por pequeña que sea la parte fraccionaria. Si el resultado no distribuye el número correcto de asientos h, se cambia el MDS hacia arriba o hacia abajo para distribuir exactamente h asientos.

Si aplicamos el método de Jefferson a las cuotas exactas, redondeamos todas las fracciones hacia abajo, por lo que le damos 6 asientos a A, 2 asientos a B y 1 asiento a C. Esto distribuye muy pocos asientos, solo 9 de los 10 que necesitamos. para distribuir. Si usamos un MDS de 98 y calculamos cuotas modificadas, obtenemos:

Redondear todas las fracciones hacia abajo da la asignación de 7 asientos a A, 2 asientos a B y 1 asiento a C, lo que da el total deseado de 10.

Si aplicamos el método de Adams a las cuotas exactas, redondeamos todas las fracciones hacia arriba, por lo que le damos 7 asientos a A, 3 asientos a B y 2 asientos a C. Esto distribuye demasiados asientos, 12 asientos en lugar de los 10 que tenemos. Necesito distribuir. Si usamos un MDS de 135 y calculamos cuotas modificadas obtenemos:

Redondear todas las fracciones hacia abajo da la asignación de 6 asientos a A, 2 asientos a B y 2 asientos a C, lo que da el total deseado de 10.

Los tres métodos que hemos utilizado han dado resultados bastante diferentes, como se resume en el cuadro siguiente:

Tenga en cuenta que en este ejemplo los tres métodos dan a cada estado su cuota superior o inferior. Sin embargo, es importante darse cuenta de que esto no es cierto para todos los ejemplos. Además, el método utilizado para distribuir la Cámara de Representantes de los Estados Unidos (descrito a continuación) no necesita obedecer esta regla de equidad.

Incluso este escenario muy simplificado sugiere que el método de Jefferson y el método de Adams tienen un comportamiento extremo, el primero tiende a recompensar demasiado a los estados grandes y el segundo tiende a recompensar demasiado a los estados pequeños.

Los otros dos métodos históricos debidos a Dean y Huntington también se pueden describir en términos de reglas de redondeo. El método de Dean se basa en la media armónica de dos números y el de Huntington se basa en la media geométrica de los dos números. (Se puede pensar que el método de Webster se basa en la media aritmética familiar). Aquí hay una forma de describir estos dos métodos. Supongamos que queremos decidir si redondear la cuota exacta o la cuota modificada q hacia arriba o hacia abajo. Para el método de Dean se redondea hacia arriba si q es mayor o igual que la media armónica de qyq +1, de lo contrario se redondea hacia abajo, mientras que para el método de Huntington (el método que se usa actualmente en los Estados Unidos para distribuir nuestra casa de Representantes) se redondea hacia arriba si q es mayor o igual que la media geométrica de qyq + 1 (por ejemplo, q (q + 1)), mientras que en caso contrario se redondea hacia abajo. Recuerde que la media armónica de xey viene dada por 2xy / (x + y), mientras que la media geométrica de xey viene dada por (xy). Para nuestros propósitos lo importante es que la media armónica y la media geométrica de qyq + 1 son números entre q y q +1. Las situaciones en las que surgen diferentes medios es un tema interesante por derecho propio que no se explorará aquí.

Los cinco métodos que hemos analizado, Adams, Dean, Huntington-Hill, Jefferson y Webster, se introdujeron aquí basándose en diferentes reglas de redondeo. Por lo general, se les conoce como métodos divisores porque se basan en dividir la población de un estado por un tamaño de distrito ideal o un MDS, y luego redondear. Sin embargo, es notable que haya una forma diferente de pensar en estos cinco métodos que es de interés tanto para calcular las distribuciones como para pensar en las propiedades de estos métodos. Este logro fue realizado por E. V. Huntington. El punto de vista es el siguiente. Suponga que en lugar de pensar en los h asientos que se van a distribuir como distribuidos todos a la vez, imagine que se están regalando uno a la vez hasta llegar a h. En este entorno dinámico, regalamos los asientos hasta que se acaben. La idea es que se pueda preparar de antemano una tabla de números de prioridad para cada uno de los cinco métodos históricos. Esta tabla se usa para asignar asientos a los estados uno tras otro de una manera notablemente simple: dé el primer asiento al estado con el número más grande en la tabla, el segundo asiento al estado con el siguiente más grande, etc. Este enfoque es a menudo referido como el función de clasificación, pero usaré el lenguaje de las tablas de prioridad en su lugar. La forma de preparar la tabla para cada uno de los cinco métodos funciona de esta manera.

Usando la fórmula asociada con el método, la i-ésima fila de la tabla (i = 1, 2,.) Se obtiene dividiendo las poblaciones de los estados sustituyendo (i-1) por el valor de a en la fórmula. Por lo tanto, para la cuarta fila (i = 4) en el método de Huntington-Hill, divida las poblaciones por ((3 (3 + 1)) = (12) e ingrese el resultado en la cuarta fila. Si la sustitución de 0 en la fórmula implica división por cero, lo indicamos escribiendo el símbolo de infinito en la tabla. Esto será una abreviatura para decir que este método otorga automáticamente un asiento a cada estado. (Los métodos que no tienen el símbolo de infinito en la fila superior deben modificarse para en el problema de la PAC, porque no cumplirán automáticamente con la disposición constitucional de otorgar a cada estado al menos un escaño). Las fórmulas para construir una tabla de prioridades son:


Excursiones en Matemática Moderna 8a

La República de Bandana es un país pequeño que consta de cuatro estados: Apure (población 3.310.000), Barinas (población 2.670.000), Carabobo (población 1.330.000) y Dolores (población 690.000). Suponga que hay $ M = 160 $ ​​escaños en el Congreso de Bandana, que se distribuirán entre los cuatro estados en función de sus respectivas poblaciones.
(a) Encuentre el divisor estándar.
(b) Encuentre la cuota estándar de cada estado.

Problema 2

La República de Wadiya es un país pequeño que consta de cuatro provincias: $ A $ (población 4.360.000 $), B $ (población 2.280.000), $ C $ (población 729.000) y $ D $ (población 2.631.000). Suponga que hay $ M = 200 $ escaños en el Congreso de Wadiya, que se distribuirán entre las cuatro provincias en función de sus respectivas poblaciones.
(a) Encuentre el divisor estándar.
(b) Encuentre la cuota estándar de cada provincia.

Problema 3

El Servicio de Tránsito Rápido del Área Metropolitana de Scotia (SMARTS) opera seis rutas de autobús $ (A, B, C, D, E, $ y $ F) $ y 130 autobuses. La cantidad de autobuses asignados a cada ruta se basa en la cantidad de pasajeros que viajan en esa ruta. La Tabla 23 muestra el promedio diario de pasajeros (en miles) en cada ruta.
(a) Encuentre el divisor estándar.
(b) Explique qué representa el divisor estándar en este problema.
(c) Encuentre las cuotas estándar.
$ begin text & amp A & amp B & amp C & amp D & amp E & amp F hline text & amp 45.3 & amp 31.07 & amp 20.49 & amp 14.16 & amp 10.26 & amp 8.72 end$

Problema 4

El Hospital General de Placerville tiene un personal de enfermería de 225 enfermeras que trabajan en cuatro turnos: $ A $ (7:00 AM a 1:00 PM), $ B $ (1:00 PM a 7:00 PM), C (7:00 AM a 1:00 PM), C (7:00 PM a 7:00 PM) 00 PM a 1:00 AM) y $ D $ (1:00 AM a 7:00 AM). El número de enfermeras asignadas a cada turno se basa en el número promedio de pacientes tratados en ese turno, que se muestra en la Tabla 24.
(a) Encuentre el divisor estándar.
(b) Explique qué representa el divisor estándar en este problema.
(c) Encuentre las cuotas estándar.
$ begin text & amp A & amp B & amp C & amp D hline text & amp 871 & amp 1029 & amp 610 & amp 190 end$

Problema 5

La República de Tropicana es un país pequeño que consta de cinco estados $ (A, B, C, D, $ y $ E) $. La población total de Tropicana es de 27,4 millones. Según la constitución de Tropicana, los escaños en la legislatura se distribuyen entre los estados según su población. La Tabla 25 muestra la cuota estándar de cada estado & # x27s:
(a) Encuentre el número de escaños en la legislatura de Tropicana.
(b) Encuentre el divisor estándar.
(c) Encuentre la población de cada estado.
$ begin text & amp A & amp B & amp C & amp D & amp E hline text & amp 41.2 & amp 31.9 & amp 24.8 & amp 22.6 & amp 16.5 end$

Problema 6

La Universidad Estatal de Tasmania se compone de cinco escuelas diferentes:
Agricultura, negocios, educación, humanidades y ciencia $ (A, B, E, H, $ y $ S $ para abreviar $) $. El número total de estudiantes en $ mathrm$ es $ 12,500. $ Los puestos de profesores en TSU se distribuyen entre las distintas escuelas según las escuelas y las respectivas inscripciones. La Tabla 26 muestra la cuota estándar de cada escuela & # x27s:
(a) Encuentre el número de puestos de profesores en TSU.
(b) Encuentre el divisor estándar.
(c) Encuentre el número de estudiantes matriculados en cada escuela.
$ begin text & amp A & amp B & amp E & amp H & amp S hline text & amp 32.92 & amp 15.24 & amp 41.62 & amp 21.32 & amp 138.90 end$

Problema 7

Según el censo de EE. UU. De 2010, $ 8.14 \% $ de la población de EE. UU. Vivía en Texas. Calcule la cuota estándar de Texas & # x27s en 2010 (redondeada a dos lugares decimales). (Pista: hay 435 escaños en la Cámara de Representantes de los Estados Unidos).

Problema 8

En el momento del censo de EE. UU. De 2010, el estado de Nueva York tenía una cuota estándar de 27,3. Estima qué porcentaje de la población de EE. UU. Vivía en el estado de Nueva York en 2010. Da tu respuesta a la décima de porcentaje más cercana. (Pista: hay 435 escaños en la Cámara de Representantes de los Estados Unidos).

Problema 9

La Federación Interplanetaria de Fraternia consta de seis planetas: Alpha Kappa, Beta Theta, Chi Omega, Delta Gamma, Epsilon Tau y Phi Sigma $ (A, B, C, D, E, $ y $ F $ para abreviar). La federación se rige por el Congreso InterFraternia, que consta de 200 asientos distribuidos entre los planetas según su población. La Tabla 27 muestra las poblaciones del planeta como porcentajes de la población total de Fraternia:
(a) Encuentre el divisor estándar (expresado como porcentaje de la población total).
(b) Encuentre la cuota estándar para cada planeta.
$ begin text & amp A & amp B & amp C & amp D & amp E & amp F hline begin text text end & amp 11.37 & amp 8.07 & amp 38.62 & amp 14.98 & amp 10.42 & amp 16.54 end$

Problema 10

La pequeña nación insular de Margarita se compone de cuatro islas: Aleta, Bonita, Corona y Doritos $ (A, B, C, $ y $ D $ para abreviar). Hay 125 escaños en el Congreso de Margarita, que se reparten entre las islas según su población. La Tabla 28 muestra las poblaciones de la isla como porcentajes de la población total de Margarita:
(a) Encuentre el divisor estándar (expresado como porcentaje de la población total).
(b) Encuentre la cuota estándar para cada isla.

Problema 11

Encuentre la distribución del Congreso de la República de Bandana descrita en el Ejercicio 1 bajo el método de Hamilton & # x27s.

Problema 12

Encuentre la distribución del Congreso de Wadiya descrita en el Ejercicio 2 con el método de Hamilton & # x27s.

Problema 13

Encuentre la distribución de los buses SMARTS descritos en el Ejercicio 3 bajo el método de Hamilton & # x27s.

Problema 14

Encuentre la distribución de las enfermeras del Hospital General de Placerville descritas en el ejercicio 4 con el método de Hamilton & # x27s.

Problema 15

Encuentre la distribución de la legislación de la República de Tropicana descrita en el ejercicio 5 con el método de Hamilton.

Problema 16

Encuentre la distribución de la facultad en la Tasmania State University descrita en el Ejercicio 6 bajo el método de Hamilton & # x27s.

Problema 17

Encuentre la distribución del Congreso Inter-Fraternia descrito en el Ejercicio 9 bajo el método de Hamilton & # x27s.

Problema 18

Encuentre la distribución del Congreso de Margarita descrito en el Ejercicio 10 según el método de Hamilton.

Problema 19

El condado de Happy Rivers consta de tres ciudades: Dunes, Smithville y Johnstown. Cada año, los trabajadores sociales empleados por el condado se distribuyen entre las tres ciudades según el número de casos en cada ciudad durante el año calendario anterior. El número de casos en cada ciudad en 2011 se muestra en la Tabla $ 29. $
(a) Suponga que el número total de trabajadores sociales empleados por el condado es $ M = 24 $. Utilice el método de Hamilton & # x27s para distribuir a los trabajadores sociales en las ciudades según el número de casos que se muestra en la Tabla $ 29.
(b) Suponga que el número total de trabajadores sociales empleados por el condado es $ M = 25. $ Utilice el método de Hamilton & # x27s para distribuir a los trabajadores sociales entre las ciudades según el número de casos que se muestra en la Tabla 29
(c) Compare sus respuestas en (a) y (b). ¿Qué tienen de extraño las dos distribuciones?
$ begin text & amp text & amp text & amp text hline text & amp 41 & amp 106 & amp 253 end$

Problema 20

Plainville Hospital tiene tres alas $ (A, B, $ y $ C) $. Las enfermeras del hospital se asignan a las tres alas según el número de camas en cada ala, que se muestra en la Tabla $ 30. $
(a) Suponga que el número total de enfermeras que trabajan en el hospital es $ M = 20. $ Utilice el método de Hamilton para distribuir las enfermeras en las alas según la Tabla 30.
(b) Suponga que se contrata una enfermera adicional en el hospital, lo que eleva el número total de enfermeras a $ M = 21 $. Utilice el método de Hamilton & # x27s para distribuir las enfermeras según la Tabla 30
(c) Compare sus respuestas en (a) y (b). ¿Qué tienen de extraño las dos distribuciones?
$ begin text & amp A & amp B & amp C hline text & amp 154 ​​& amp 66 & amp 30 end$

Problema 21

La pequeña nación de Fireland se divide en cuatro condados:
Arcadia, Belarmine, Crowley y Dandia. Fireland usa el método de Jefferson & # x27s para distribuir los 100 escaños en la Cámara de Diputados entre los cuatro condados. La Tabla 31 muestra las poblaciones de los cuatro condados después de los Censuls más recientes.
(a) Encuentre el divisor estándar y las cuotas estándar para cada condado.
(b) Determine cuántos escaños se distribuirían si a cada condado se le diera su cuota más baja.
(c) Determine cuántos escaños se distribuirían si se usara el divisor $ d = 197 000 $ para calcular las cuotas modificadas y luego todas se redondean hacia abajo.
(d) Determine cuántos escaños se distribuirán si se usa el divisor $ d = 195 000 $ para calcular las cuotas modificadas y luego todas se redondean hacia abajo.
(e) Determine cuántos escaños se distribuirán si se usa el divisor $ d = 195.800 $ para calcular las cuotas modificadas y luego todas se redondean hacia abajo.
(f) Determine cuántos escaños se distribuirían si se usara el divisor $ d = 196 000 $ para calcular las cuotas modificadas y luego todas se redondean hacia abajo.
(g) Sin hacer ningún cálculo adicional, encuentre tres difbrs que funcionen con el método de Jefferson & # x27s.
$ begin text & amp text & amp text & amp text & amp text hline text & amp 4,500,000 & amp 4,900,000 & amp 3,900,000 & amp 6,700,000 end$

Problema 22

La República de Galacia se divide en cuatro provincias:
Anline, Brock, Clanwin y Drundell. Galatia utiliza el método de Jefferson para distribuir los 50 escaños en su Cámara de Representantes entre las cuatro provincias. La Tabla 32 muestra las poblaciones de las cuatro provincias (en millones) después del censo más reciente.
(a) Encuentre el divisor estándar y las cuotas estándar para cada provincia.
(b) Determine cuántos escaños se distribuirían si a cada provincia se le diera su cuota más baja.
(c) Determine cuántos escaños se distribuirán si se usa el divisor $ d = 500 000 $ para calcular las cuotas modificadas y luego todas se redondean hacia abajo.
(d) Determine cuántos escaños se distribuirán si se usa el divisor $ d = 530 000 $ para calcular las cuotas modificadas y luego todas se redondean hacia abajo.
(e) Determine cuántos escaños se distribuirán si se usa el divisor $ d = 520 000 $ para calcular las cuotas modificadas y luego todas se redondean hacia abajo.
(f) Determine cuántos escaños se distribuirán si el divisor $ d = 510 000 $ se usa para calcular las cuotas modificadas y luego todas se redondean hacia abajo.
(g) Sin hacer ningún cálculo adicional, encuentre tres divisores diferentes que funcionen con el método de Jefferson & # x27s.
$ begin text & amp text & amp text & amp text & amp text hline begin text text <(en millones)> end y amp 5.9 y amp 7.8 y amp 6.1 y amp 6.9 end$

Problema 23

Encuentre la distribución del Congreso de la República de Bandana como se describe en el Ejercicio 1 bajo el método de Jefferson & # x27s.

Problema 24

Encuentre la distribución del Congreso de Wadiya descrita en el Ejercicio 2 bajo el método de Jefferson & # x27s.

Problema 25

Encuentre la distribución de los buses SMARTS descritos en el Ejercicio 3 bajo el método de Jefferson & # x27s.

Problema 26

Encuentre la distribución de las enfermeras del Hospital General de Placerville descritas en el Ejercicio 4 según el método de Jefferson & # x27s.

Problema 27

Encuentre la distribución de la legislatura de la República de Tropicana descrita en el Ejercicio 5 según el método de Jefferson.

Problema 28

Encuentre la distribución de la facultad en la Tasmania State University descrita en el Ejercicio 6 bajo el método de Jefferson & # x27s.

Problema 29

Encuentre la distribución del Congreso Inter-Fraternia descrita en el Ejercicio 9 bajo el método de Jefferson & # x27s. (Pista:
Exprese los divisores modificados en términos de porcentajes de la población total.

Problema 30

Encuentre la distribución del Congreso de Margarita descrita en el Ejercicio 10 bajo el método de Jefferson & # x27s. (Pista:
Exprese los divisores modificados en términos de porcentajes de la población total.

Problema 31

Encuentre la distribución de la legislatura de la República de Tropicana descrita en el Ejercicio 5 bajo el método de Adams.

Problema 32

Encuentre la distribución de la facultad en la Tasmania State University descrita en el Ejercicio 6 bajo el método de Adams & # x27s.

Problema 33

Encuentre la distribución del Congreso Inter-Fraternia descrito en el Ejercicio 9 bajo el método de Adams & # x27s. (Sugerencia. Exprese los divisores modificados en términos de porcentajes de la población total).

Problema 34

Encuentre la distribución del Congreso de Margarita descrita en el Ejercicio 10 bajo el método de Adams & # x27s. (Pista:
Exprese los divisores modificados en términos de porcentajes de la población total.)

Problema 35

Encuentre la distribución del Congreso de Bandana Republic descrita en el Ejercicio 1 bajo el método Webster & # x27s.

Problema 36

Encuentre la distribución del Congreso de Wadiya descrita en el Ejercicio 2 con el método Webster & # x27s.

Problema 37

Encuentre la distribución de la legislatura de la República de Tropicana discutida en el Ejercicio 5 bajo el método Webster & # x27s.

Problema 38

Encuentre la distribución del profesorado en Tasmania State University discutida en el Ejercicio 6 bajo el método Webster & # x27s.

Problema 39

Encuentre la distribución del Congreso Inter-Fraternia descrita en el Ejercicio 9 con el método Webster & # x27s (Sugerencia: exprese los divisores modificados en términos de porcentajes de la población total).

Problema 40

La pequeña república de Guayuru (vea el ejemplo 11) consta de cinco estados $ (A, B, C, D, $ y $ E $ para abreviar $) $. Las poblaciones de los cinco estados se muestran en la Tabla 33. Encuentre la distribución de los $ M = 40 $ escaños en la Cámara de Representantes de Guayuru según el método Webster & # x27s.

Problema 41

Redondea cada número usando las reglas de redondeo de Huntington-Hill. (Sugerencia: $ sqrt <2> approx 1.414 $ es toda la información que necesita. No necesitará una calculadora o buscar tablas).
(a) 1,5
(b) 1.4
(c) 1,41
(d) 1,42

Problema 42

Redondea cada número usando las reglas de redondeo de Huntington-Hill. (Sugerencia: $ sqrt <72> approx 8.48528 $ es toda la información que necesita. No necesitará una calculadora o buscar tablas).
(a) 8.5
(b) 8.4
(c) 8.483
(d) 8.486

Problema 43

En la distribución de 2010 de la Cámara de Representantes de EE. UU., Rhode Island tenía una cuota estándar de 1.488879 y una cuota modificada de $ 1.485313. $ ¿Cuántos escaños se asignaron a Rhode Island?

Problema 44

En la distribución de 2010 de la Cámara de Representantes de EE. UU., Missouri tenía una cuota estándar de 8.458641 y una cuota modificada de $ 8.483. $ ¿Cuántos escaños se asignaron a Missouri?

Problema 45

Un país pequeño consta de cinco estados: $ A, B, C, D, $ y $ E $. Las cuotas estándar para cada estado se dan en la Tabla 34.
(a) Encuentre el número de asientos que se distribuyen.
(b) Encuentre la distribución según el método de Huntington-Hill.
$ begin text & amp A & amp B & amp C & amp D & amp E hline text & amp 3.52 & amp 10.48 & amp 1.41 & amp 12.51 & amp 12.08 end$

Problema 46

Un país pequeño consta de cinco estados: $ A, B, C, D $ y $ E $. Las cuotas estándar para cada estado se dan en la Tabla 35.
(a) Encuentre el número de asientos que se distribuyen.
(b) Encuentre la distribución según el método de Huntington-Hill.
$ begin text & amp A & amp B & amp C & amp D & amp E hline text & amp 25.49 & amp 14.52 & amp 8.48 & amp 30.71 & amp 20.8 end$

Problema 47

Un país pequeño consta de cinco estados: $ A, B, C, D, $ y $ E $. Las cuotas estándar para cada estado se dan en la Tabla $ 36.
(a) Encuentre el número de asientos que se distribuyen.
(b) Encuentre la distribución según el método de Huntington-Hill.
$ begin text & amp A & amp B & amp C & amp D & amp E hline text & amp 3.46 & amp 10.49 & amp 1.42 & amp 12.45 & amp 12.18 end$

Problema 48

Un país pequeño consta de cinco estados: $ A, B, C, D, $ y $ E $. Las cuotas estándar para cada estado se dan en la Tabla $ 37.
(a) Encuentre el número de asientos que se distribuyen.
(b) Encuentre la distribución según el método de Huntington-Hill.
$ begin text & amp A & amp B & amp C & amp D & amp E hline text & amp 25.496 & amp 14.491 & amp 8.486 & amp 30.449 & amp 21.078 end$

Problema 49

Un país consta de seis estados, con las poblaciones estatales & # x27s indicadas en la Tabla 38. El número de asientos a repartir es
$ M = 200 $
(a) Encuentre la distribución según el método Webster & # x27s.
(b) Encuentre la distribución según el método de Huntington-Hill.
(c) Compare las distribuciones encontradas en (a) y (b).
$ begin text & amp A & amp B & amp C & amp D & amp E & amp F hline text & amp 344,970 & amp 408,700 & amp 219,200 & amp 587,210 & amp 154,920 & amp 285,000 end$

Problema 50

Un país consta de seis estados, con las poblaciones estatales & # x27s indicadas en la Tabla $ 39. $ El número de escaños que se distribuirán es $ M = 200 $
(a) Encuentre la distribución según el método Webster & # x27s.
(b) Encuentre la distribución según el método de Huntington-Hill.
(c) Compare las distribuciones encontradas en (a) y (b).
$ begin text & amp A & amp B & amp C & amp D & amp E & amp F hline text & amp 344,970 & amp 204,950 & amp 515,100 & amp 84,860 & amp 154,960 & amp 695,160 end$

Problema 51

Suponga que está tomando un cuestionario de opción múltiple sobre el capítulo de prorrateo. La pregunta es encontrar cuántos asientos se asignan al estado $ X $ según el método de Hamilton & # x27s. Se le proporciona toda la información necesaria para realizar el cálculo, incluido el hecho de que la cuota estándar para el estado $ X $ es 35,41. Se le presentan cuatro opciones: (A) $ 37, $ (B) $ 34, $ (C) 33 y (D) 36. Puede responder a esta pregunta sin hacer ningún trabajo. ¿Cuál es la respuesta correcta y por qué?

Problema 52

Suponga que está tomando un cuestionario de opción múltiple sobre el capítulo de prorrateo. La pregunta es encontrar cuántos asientos se asignan al estado $ Y $ según el método de Hamilton & # x27s. Se le proporciona toda la información necesaria para realizar el cálculo, incluido el hecho de que la cuota estándar para el estado $ Y $ es 78,24. Se le presentan cuatro opciones: (A) $ 80, $ (B) 77,
(C) 79 y (D) 81. Puede responder esta pregunta sin hacer ningún trabajo. ¿Cuál es la respuesta correcta y por qué?

Problema 53

En el momento del censo de 2000, la cuota estándar de California & # x27s era de $ 52,45. $ Según el método de Jefferson & # x27s, California obtendría una distribución de 55 escaños. ¿Qué dice esto sobre el método Jefferson & # x27s?

Problema 54

En el momento del censo de 2000, la cuota estándar de California & # x27s era de $ 52,45. $ Según el método de Adams & # x27s, California obtendría una distribución de 50 escaños. ¿Qué dice esto sobre el método Adams & # x27s?

Problema 55

Suponga que está tomando un cuestionario de opción múltiple sobre el capítulo de prorrateo. La pregunta es encontrar cuántos asientos se asignan al estado $ X $ según el método de Jefferson & # x27s. Se le proporciona toda la información necesaria para realizar el cálculo.
incluido el hecho de que la cuota estándar para el estado $ X $ es 35,41. Se le presentan cuatro opciones: (A) $ 37, $ (B) 32,
(C) $ 33, $ y (D) 34. Puede responder esta pregunta sin hacer ningún trabajo. ¿Cuál es la respuesta correcta y por qué?

Problema 56

Suponga que está tomando un cuestionario de opción múltiple sobre el capítulo de prorrateo. La pregunta es encontrar cuántos escaños se asignan al estado $ Y $ según el método de Adams & # x27s. Se le proporciona toda la información necesaria para realizar el cálculo, incluido el hecho de que la cuota estándar para el estado $ Y $ es 78,24. Se le presentan cuatro opciones: (A) 80, (B) $ 81, $ (C) $ 76, $ y (D) 82. Puede responder esta pregunta sin hacer ningún trabajo. ¿Cuál es la respuesta correcta y por qué?

Problema 57

Suponga que está tomando un cuestionario de opción múltiple sobre el capítulo de prorrateo. Se le dice que la cuota estándar para el estado $ X $ es 35,41. La pregunta es determinar cuál de las respuestas dadas puede descartarse como $ una posible distribución del estado $ X $ según el método Webster & # x27s. Se le presentan cinco opciones: $ ( mathrm) 33, ( mathrm <

B>) 34, ( mathrm) 37, ( mathrm) 38, $ y $ ( mathrm) $ Ninguno
de las opciones anteriores pueden descartarse. ¿Cuál es la respuesta correcta y por qué?

Problema 58

Suponga que está tomando un cuestionario de opción múltiple sobre el capítulo de prorrateo. Se le dice que la cuota estándar para el estado $ Y $ es $ 78.24. $ La pregunta es determinar cuál de las respuestas dadas puede descartarse como una posible distribución para el estado $ Y $ según el método Webster & # x27s. Se le presentan cinco opciones: (A) $ 77, $ (B) $ 76, $ (C) $ 80, $ (D) $ 81, $ y
(E) No se puede descartar ninguna de las opciones anteriores. ¿Cuál es la respuesta correcta y por qué?

Problema 59

Este ejercicio se refiere a la distribución de trabajadores sociales en el condado de Happy Rivers presentada en el ejercicio $ 19. $ Las respuestas a las partes (a) y (b) del ejercicio 19 son una ilustración de ¿cuál paradoja? Explicar. [Obviamente, necesita resolver las partes (a) y (b) del ejercicio 19 si aún no lo ha hecho.

Problema 60

Este ejercicio se refiere a la distribución de enfermeras por alas en Plainsville Hospital presentada en el ejercicio $ 20. $ Las respuestas a las partes (a) y (b) en el ejercicio 20 son una ilustración de ¿cuál paradoja? [Obviamente, necesitas resolver partes
(a) y (b) del ejercicio 20 si aún no lo ha hecho.

Problema 61

Basado en la siguiente historia: Mamá encontró una caja abierta de las barras de chocolate favoritas de sus hijos. Decide repartir las barras de chocolate entre sus tres hijos más pequeños de acuerdo con la cantidad de minutos que cada niño dedica a hacer la tarea durante la semana.
(a) Suponga que hay 11 barras de chocolate en la caja. Dado que Bob hizo la tarea durante un total de 54 minutos, Peter hizo la tarea durante un total de 243 minutos y Ron hizo la tarea durante un total de 703 minutos, distribuya las 11 barras de chocolate entre los niños utilizando el método de Hamilton.
(b) Suponga que antes de que mamá reparta las barras de chocolate, los niños deciden dedicar un "poco" de tiempo extra a la tarea. Bob dedica 2 minutos adicionales (para un total de 56 minutos), Peter 12 minutos adicionales (para un total de 255 minutos) y Ron 86 minutos adicionales (para un total de 789 minutos). Usando estos nuevos totales, distribuya las 11 barras de chocolate entre los niños usando el método de Hamilton & # x27s.
(c) Los resultados de (a) y (b) ilustran una de las paradojas del método de Hamilton. ¿Cuál? Explicar.

Problema 62

Basado en la siguiente historia: Mamá encontró una caja abierta de las barras de chocolate favoritas de sus hijos. Decide repartir las barras de chocolate entre sus tres hijos más pequeños de acuerdo con la cantidad de minutos que cada niño dedica a la tarea durante la semana.
(a) Suponga que hay 10 barras de chocolate en la caja. Dado que Bob hizo la tarea durante un total de 54 minutos, Peter hizo la tarea durante un total de 243 minutos y Ron hizo la tarea durante un total de 703 minutos, distribuya las 10 barras de chocolate entre los niños utilizando el método de Hamilton.
(b) Suponga que justo antes de repartir las barras de chocolate, mamá encuentra una barra de chocolate extra. Usando el mismo total de minutos que en (a), distribuya ahora las 11 barras de chocolate entre los niños usando el método de Hamilton.
(c) Los resultados de (a) y (b) ilustran una de las paradojas del método de Hamilton. ¿Cuál? Explicar.

Problema 63

Este ejercicio consta de dos partes. Lea la Parte $ I $ y responda
(a) y (b), luego lea la Parte II y responda (c) y (d).
Parte I. La Federación Intergaláctica consta de tres planetas soberanos: Aila, con una población de 5,2 millones, Balin. con una población de 15,1 millones, y Cona, con una población de 10,6 millones. El Parlamento Intergaláctico tiene 50 escaños que se distribuyen entre los tres planetas en función de sus poblaciones.
(a) Encuentre el divisor estándar en el Parlamento Intergaláctico.
(b) Encuentre la distribución de los 50 asientos a los tres planetas con el método de Hamilton & # x27s.

Parte II. Con base en los resultados de un referéndum, la federación se expande para incluir un cuarto planeta, Dent, con una población de 9.5 millones. Para tener en cuenta la población adicional, el número de escaños en el Parlamento Intergaláctico se incrementa en 15 a un total de 65 dólares. [9,5 millones de personas representan aproximadamente 15 escaños según el divisor estándar que se encuentra en
(a).]
(c) Encuentre la distribución de los 65 asientos a los cuatro planetas usando el método de Hamilton & # x27s.
(d) ¿Qué paradoja se ilustra con los resultados de (b) y
(C)? Explicar.

Problema 64

Este ejercicio consta de dos partes. Lea la Parte I y responda
(a) y (b), luego lea la Parte II y responda (c) y (d).
Parte I. Una empresa de catering contrata la prestación de servicios de catering a tres escuelas: Alexdale, con 617 estudiantes, Bromville, con 1.292 estudiantes, y Canley, con 981 estudiantes. Los 30 trabajadores del servicio de alimentos empleados por la empresa de catering se distribuyen entre las escuelas en función de la matrícula de estudiantes.
(a) Encuentre el divisor estándar, redondeado al número entero más cercano.
(b) Encuentre la distribución de los 30 trabajadores a las tres escuelas según el método de Hamilton & # x27s.

Parte II. La empresa de catering obtiene un contrato para dar servicio a una escuela adicional, Dillwood, con 885 estudiantes. Para dar cuenta de los estudiantes adicionales, la empresa contrata a 9 trabajadores adicionales del servicio de alimentos. [885 estudiantes representan aproximadamente 9 trabajadores según el divisor estándar que se encuentra en (a).
(c) Encuentre la distribución de los 39 trabajadores a las cuatro escuelas según el método de Hamilton.
(d) ¿Qué paradoja se ilustra con los resultados de (b) y
(C)? Explicar.

Problema 65

La pequeña nación insular de Margarita consta de cuatro islas:
Aleta, Bonita, Corona y Doritos. La población estatal y # x27s de cada isla se da en la Tabla $ 40. $ El número de escaños que se distribuirán es $ M = 100 $.
(a) Encuentre la distribución según el método de Huntington-Hill.
(b) Describa cualquier posible violación a la regla de cuotas que ocurrieron bajo la distribución en (a).
$ begin text & amp A & amp B & amp C & amp D hline text & amp 86,915 & amp 4,325 & amp 5,400 & amp 3,360 end$

Problema 66

Considere un problema de distribución con estados de $ N $. Las poblaciones de los estados están dadas por $ p_ <1>, p_ <2>, ldots, p_, $ y las cuotas estándar son $ q_ <1>, q_ <2>, ldots, q_, $ respectivamente. Describe en palabras lo que representa cada una de las siguientes cantidades.
(a) $ q_ <1> + q_ <2> + cdots + q_$
(b) $ frac+ p_ <2> + cdots + p_>+ q_ <2> + cdots + q_>$
(c) $ izquierda ( frac<>>+ p_ <2> + cdots + p_> right) times 100 $

Problema 67

Para un estado arbitrario $ X $, deje que $ q $ represente su cuota estándar y $ s $ represente el número de escaños asignados a $ X $ bajo algún método de reparto no especificado. Interprete en palabras el significado de cada uno de los siguientes enunciados matemáticos.
(a) $ s-q geq 1 $
(b) $ q-s geq 1 $
(c) $ | s-q | leq 0.5 $
(d) .5 & lt | s-q | & lt1 $

Problema 68

Problema 69

Problema 70

Problema 71

(a) Explique por qué, cuando se usa el método de Jefferson & # x27s, cualquier violación de la regla de la cuota debe ser una violación de la cuota superior.
(b) Explique por qué, cuando se utiliza el método de Adams & # x27s, cualquier infracción de la regla de la cuota debe ser infracción de la cuota inferior.
(c) Explique por qué, en el caso de un problema de distribución con dos estados, las violaciones de la regla de la cuota no pueden ocurrir ni con el método de Jefferson & # x27s ni con el de Adams & # x27s. [Pista:
Utilice los resultados de (a) y (b).

Problema 72

Versión alternativa del método Hamilton & # x27s. Considere la siguiente descripción de un método de distribución:
Paso 1. Encuentre la cuota estándar de cada estado.
Paso 2. Otorgue a cada estado (temporalmente) su cuota superior de escaños. (Ahora ha regalado más asientos que el número de asientos disponibles).

Paso 3. Deje que $ K $ denote la cantidad de asientos adicionales que ha regalado en el Paso $ 2. $ Quite los $ K $ asientos adicionales de los estados de $ K $ con las partes fraccionarias más pequeñas en sus cuotas estándar.

Explique por qué este método produce exactamente la misma distribución que el método de Hamilton.

Problema 73

Método Lowndes & # x27s. Los ejercicios 73 y 74 se refieren a una variación del método de Hamilton & # x27s conocido como método de Lowndes & # x27s, propuesto por primera vez en 1822 por el representante de Carolina del Sur William Lowndes. La diferencia básica entre los métodos de Hamilton & # x27s y Lowndes & # x27s es que en el método de Lowndes & # x27s, después de que a cada estado se le asigna la cuota más baja, los asientos sobrantes se distribuyen en orden de partes fraccionarias relativas. (La parte fraccionaria relativa de un número es la parte fraccional dividida por la parte entera.Por ejemplo, la parte fraccionaria relativa de 41.82 es $ frac <0.82> <41> = 0.02, $ y la parte fraccionaria relativa de 3.08 es $ frac <0.08> <3> = 0.027. $ Observe que mientras 41.82 tendría prioridad sobre 3,08 según el método de Hamilton & # x27s, 3,08 tiene prioridad sobre 41,82 según el método de Lowndes & # x27s porque 0,027 es mayor que 0,02). $
(a) Encuentre la distribución de Parador & # x27s Congress (Ejemplo 3) según el método de Lowndes & # x27s.
(b) Verifique que la distribución resultante sea diferente de cada una de las distribuciones encontradas bajo los otros métodos discutidos en el capítulo. En particular, enumere qué estados obtienen mejores resultados con el método de Lowndes & # x27s que con el método de Hamilton & # x27s.

Problema 74

Método Lowndes & # x27s. Los ejercicios 73 y 74 se refieren a una variación del método de Hamilton & # x27s conocido como método de Lowndes & # x27s, propuesto por primera vez en 1822 por el representante de Carolina del Sur William Lowndes. La diferencia básica entre los métodos de Hamilton & # x27s y Lowndes & # x27s es que en el método de Lowndes & # x27s, después de que a cada estado se le asigna la cuota más baja, los asientos sobrantes se distribuyen en orden de partes fraccionarias relativas. (La parte fraccionaria relativa de un número es la parte fraccionaria dividida por la parte entera. Por ejemplo, la parte fraccionaria relativa de 41.82 es $ frac <0.82> <41> = 0.02, $ y la parte fraccionaria relativa de 3.08 es $ frac <0.08> <3> = 0.027. $ Observe que mientras 41.82 tendría prioridad sobre 3.08 bajo el método Hamilton & # x27s, 3.08 tiene prioridad sobre 41.82 bajo el método Lowndes & # x27s porque 0.027 es mayor que .02.) $
Considere un problema de prorrateo con dos estados, $ A $ y
B. Suponga que el estado $ A $ tiene una cuota estándar $ q_ <1> $ y el estado $ B $ tiene una cuota estándar $ q_ <2> $, ninguno de los cuales es un número entero. (Por supuesto, $ q_ <1> + q_ <2> = M $ debe ser un número entero.) Sea $ f_ <1> $ la parte fraccionaria de $ q_ <1> $ y $ f_ <2> $ el parte fraccionaria de $ q_ <2> $
(a) Encuentre valores $ q_ <1> $ y $ q_ <2> $ tales que el método de Lowndes & # x27s y el método de Hamilton & # x27s den como resultado la misma distribución.
(b) Encuentre valores $ q_ <1> $ y $ q_ <2> $ tales que el método de Lowndes & # x27s y el método de Hamilton & # x27s den como resultado distribuciones diferentes.
(c) Escriba una desigualdad que involucre $ q_ <1>, q_ <2>, f_ <1>, $ y $ f_ <2> $ que garantice que el método de Lowndes & # x27 y el método de Hamilton & # x27s dan como resultado distribuciones diferentes.

Problema 75

El método híbrido de Hamilton-Jefferson. El método híbrido de HamiltonIefferson comienza dando a cada estado su cuota más baja (según el método de Hamilton & # x27s) y luego distribuyendo los asientos sobrantes utilizando el método de Jefferson & # x27s.
(a) Utilice el método híbrido de Hamilton-Jefferson para distribuir $ M = 22 $ escaños entre cuatro estados de acuerdo con las siguientes poblaciones: $ A $ (población 18.000 $), B $ (población 18.179 $), C $ (población 40.950 $) ), $ y $ D $ (población 122.871).
(b) Explique por qué el método híbrido de Hamilton-Jefferson puede producir distribuciones diferentes de las distribuciones de Hamilton y Jefferson.
(c) Explique por qué el método híbrido de Hamilton-Jefferson puede violar la regla de la cuota.

Problema 76

Explique por qué el método Jefferson & # x27s no puede producir
(a) la paradoja de Alabama
(b) la paradoja de los nuevos estados

Problema 77

Explique por qué el método Adams & # x27s no puede producir
(a) la paradoja de Alabama
(b) la paradoja de los nuevos estados

Problema 78

Explique por qué el método Webster & # x27s no puede producir
(a) la paradoja de Alabama
(b) la paradoja de los nuevos estados


¿Cuál de los siguientes métodos de distribución puede infringir la regla de cuotas? (Seleccione todas las opciones que correspondan). Método Webster, método Jefferson, método Hamilton, método Huntington-Hill

P: 4. (а) Resuelva el PVI para y (t): y & quot + 4y = 3 8 (t - n), y (0) = 0, y & # x27 (0) = 0 (b) 2n. Asegúrese de etiquetar y.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: Construya una función sinusoidal con la información proporcionada y luego responda las preguntas. En un ce.

R: Sea Y el número de días en los que se monitoriza la precipitación. Sea el tiempo en meses. Estafa.

P: Una familia tiene un plan telefónico que incluye 4 GB de datos al mes. 10 días en un mes de 30 días, el fam.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: La salida en una determinada fábrica es Q (x, y) = 6x² + 3e36. ỹ + 3 años. % 3D donde xey denotan, respectivamente.

R: La función es Qx, y = 6x2 + 3ex36y + 3y2. La tasa marginal de sustitución viene dada por dydx = -QxQy Diffe.

P: Si z = 2cis60 °, encuentre z® en forma rectangular x + iy dando valores exactos para xey

R: Se da que, z = 2cis60 °.

R: Tenemos que encontrar el valor de & quott & quot y la relación AC: CB

P: necesito ayuda con las expansiones de funciones propias

A: El método de la función propia y & quot = x2, y0 = y1 = 0

P: 5. Dado el mapa de contorno de z = f (x, y) a continuación, determine si cada una de las siguientes derivadas es po.

R: Desde el gráfico de contorno a medida que avanzamos por el eje x derecho o positivo cuando x & ampgt0 el valor de la función z = f.

P: La vida media del kriptón-91 (91Kr) es de 10 s. En el tiempo t = 0, un bote pesado contiene 3 g de este radio.


Introducción

Visión general

Comience con estas actividades / escenarios

(1.) Anote el número de estudiantes en su clase.
Se le puede pedir a un estudiante que cuente.
Otros dos estudiantes pueden confirmar el número.

(2.) Caso 1:
El distrito escolar donó computadoras portátiles a su salón de clases.
Las computadoras portátiles se deben entregar a sus estudiantes.
La cantidad de computadoras portátiles que se donaron es igual a la cantidad de estudiantes en su salón de clases.
Resultado: ¡No hay problema!
Cada alumno recibe una computadora portátil.

(3.) Caso 2:
El distrito escolar donó computadoras portátiles a su salón de clases.
Las computadoras portátiles se deben entregar a sus estudiantes.
La cantidad de computadoras portátiles que se donaron es menor que la cantidad de estudiantes en su salón de clases.
Resultado: Hmmmm. ¡Hay un problema!
¿Qué debemos hacer?

Anote las respuestas de sus alumnos.

(1.) Sr. C, no importa. Tengo una laptop en casa.
No necesito uno.

OK gracias.
Pero, las computadoras portátiles aún son menos que el número restante de estudiantes.

(2.) Encuentre otras formas de obtener más computadoras portátiles.
Busque subvenciones.
Pida ayuda a filántropos adinerados.

De acuerdo, pero ¿qué pasa si su distrito escolar no le permite escribir subvenciones o solicitar donaciones?

(3.) Consideración basada en la necesidad
Sr. C, puedo ir a la biblioteca de la escuela o la biblioteca pública para hacer mi trabajo.
Tengo transporte confiable.
Algunos no.
Puede darles las computadoras portátiles.

Querida, muchas gracias por tu consideración.
Pero, las computadoras portátiles aún son menos que el número restante de estudiantes.

(4.) Decisión basada en méritos
Bueno, como puede ver, las computadoras portátiles no son suficientes.
Por lo tanto, asignaré computadoras portátiles al mejor "número de computadoras portátiles" de estudiantes en la primera prueba de Matemáticas.

Estudiante: Sr. C, ¿habla en serio?
¿Es este enfoque realmente justo?
Es el supervivencia del más apto Acercarse.
¿Qué pasa con aquellos estudiantes que no son buenos en Matemáticas pero excelentes en el Idioma Inglés?
Maestra: Muy bien, ¿qué quieres que haga?

(5.) ¡Votemos!
Esta es la democracia.
Los estudiantes con mayor "número de laptops" obtienen las laptops.

Esta puede parecer ser un justa solución.
Sin embargo, cualquiera que no haya adquirido una computadora portátil puede sentirse rechazado. especialmente si son niños

(6.) Muestreo aleatorio
Retirar a aquellos alumnos que tengan portátiles en casa.
Retire a los estudiantes que tengan transporte confiable.
Para los estudiantes restantes:
Escribe sus nombres en trozos de papel.
Dobla los papeles
Colócalos en un recipiente.
Pídale a alguien que cierre los ojos y elija una a la vez hasta la cantidad de computadoras portátiles que se le dio.
Esto se conoce como el enfoque de lista y selección del muestreo aleatorio (estadísticas)

Esta fue una de las sugerencias de mis alumnos.
Y todavía tenemos que cubrir las estadísticas introductorias.
Hasta ahora, esta parece ser la sugerencia que estuvo de acuerdo con la Mayoría.
Pero aquí está el problema.
Puede hacer este método para una población pequeña.
¿Haría este método para una gran población?
Supongamos que tiene $ 25 $ estudiantes restantes y la cantidad de computadoras portátiles es $ 7 $:
Puede utilizar el enfoque de lista y selección del muestreo aleatorio
Pero, ¿qué pasa si tienes estudiantes de $ 300 $?
¿Usaría el mismo enfoque?
Bueno, uno puede sugerir que utilice el enfoque tecnológico del muestreo aleatorio

Anote otras respuestas y escríbalas.
Discuta los pros y los contras con sus alumnos.

¿Qué nos dice esto?
Hay muchos individuos.
Hay recursos / artículos limitados.
Hay muchas personas que compiten por recursos limitados.
Es posible que se tomen decisiones difíciles.
Lo más probable es que cualquier elección no sea aceptable para todos.

Estamos aprendiendo este tema porque: nos gustaría saber cómo asignar o (prorratear) elementos indivisibles (elementos que no se pueden dividir, como computadoras portátiles) bastante (proporcionalmente) entre individuos o grupos.

Estudiaremos las sugerencias / métodos de distribución de algunas personas.
Estudiaremos los méritos y deméritos de estos métodos.
Discutiremos casos del mundo real en los que se utilizan estos métodos.
Luego, resolveremos problemas aplicados usando estos métodos.
Luego, intentaremos inventar cualquier método nuevo que se considere Muy justo y imparcial.
Estamos aprendiendo lo que hicieron otras personas, por lo que podemos intentar mejorar sus métodos o inventar mejores métodos.
NOTA: Este tema solo trata sobre elementos indivisibles

Para elementos divisibles, no hay ningún problema. Solo divídelo.
Para elementos indivisibles, necesitamos tomar decisiones.

Bienvenido a ¡Prorrateo!

Tráelo a los Estados Unidos de América
EN DIOS CONFIAMOS
DIOS bendiga a los Estados Unidos de América.

Escenario profesor-alumno
Objetivo: Para comprender el tema de la prorrateo

Maestro: ¿Cuántos estados tiene Estados Unidos?
Estudiante: $ 50 $ estados
Maestro: Eso es correcto.
¿Cuántos senadores tenemos?
Estudiante: $ 100 $ senadores
Maestro: Entonces eso significa.
Estudiante: $ 2 $ senadores de cada estado.
Maestro: ¡Correcto!

"El Senado de los Estados Unidos estará compuesto por dos senadores de cada estado".
[NOSOTROS. Constitución, artículo I, sección 3, cláusula 1]

¿Cuántos miembros de la Cámara de Representantes / Congresistas tenemos?
Estudiante: $ 435 $ congresistas
Maestro: ¡Correcto!
Eso se traduce en.
Estudiante: Sé que no son representantes de $ 8.7 $ por estado.
Los humanos son indivisibles
Maestro: Bueno.
¿Qué implica eso?
Estudiante: Algunos estados tienen más miembros que otros.
Maestro: ¡Correcto!
¿Cómo hacemos el número de congresistas por estado?
Estudiante: Puedo buscarlo en Google.
O simplemente puedo revisar los recursos que proporcionó en las Referencias
Pero, ¿cómo se asigna esto?
Dame unos minutos por favor
A partir de hoy. el 4 de febrero de 2020
El estado de Alabama tiene representantes de $ 7 $
El estado de California tiene representantes de $ 53 $.
Que injusto.
Maestro: Espere por favor.
Antes de que digas que es injusto, revisemos sus poblaciones.
Estudiante: Basado en la Oficina del Censo de Estados Unidos,
A partir del $ 1er $ día de julio, $ 2018 $
La población del Estado de Alabama es de $ 4,887,871 $
Mientras que la población del estado de California es $ 39,557,045 $
Oh. Veo.
El número de representantes de cada estado depende de la población del estado.
Maestro: Eso es correcto

"Los Representantes e Impuestos directos serán prorrateados entre los diversos Estados que podrán ser incluidos dentro de esta Unión, de acuerdo con sus respectivos Números, los cuales se determinarán sumando al total de Personas libres, incluidas las vinculadas al Servicio por Término de Años. y excluyendo a los indios no gravados, tres quintas partes de todas las demás Personas. La enumeración real se hará dentro de los tres años siguientes a la primera reunión del Congreso de los Estados Unidos, y dentro de cada período subsiguiente de diez años, de la manera que corresponda. por Ley. El Número de Representantes no excederá de uno por cada treinta Mil, pero cada Estado tendrá al menos un Representante… ”
[NOSOTROS. Constitución, artículo I, sección 2, cláusula 3]

"Los representantes se repartirán entre los distintos Estados de acuerdo con su número respectivo, contando el número total de personas en cada Estado, excluidos los indígenas no gravados. Pero cuando el derecho a votar en cualquier elección para la elección de electores para Presidente y Vicepresidente de Estados Unidos, Representantes en el Congreso, los funcionarios ejecutivos y judiciales de un Estado, o los miembros de la Legislatura del mismo, se le niega a cualquiera de los habitantes varones de dicho Estado, que tenga veintiún años de edad, y ciudadanos de los Estados Unidos. Estados, o de cualquier manera abreviada, excepto por la participación en rebeliones u otros delitos, la base de representación en ellos se reducirá en la proporción que el número de ciudadanos varones corresponderá al número total de ciudadanos varones veintiún años de edad en tal estado ".
[NOSOTROS. Constitución, Enmienda XIV, Sección 2]

Estudiante: Personas libres. o Artículo I, sección 2, cláusula 3.
¿No es todo el mundo libre?
Maestro: Buena pregunta.
Todo el mundo es libre.
Pero Estados Unidos tomó a varias personas de África, las tomó como rehenes y las obligó a trabajar como esclavas.
Cuando se escribió, la esclavitud se practicaba en los Estados Unidos.
Los esclavos no eran considerados personas libres.
Estudiante: Vaya, eso es malo.
Maestro: Sí, la esclavitud es mala. La esclavitud es mala.
Pero volvamos al tema de prorrateo.
Estudiante: Uno por cada treinta mil personas. para el artículo I, sección 2, cláusula 3.
¿Cómo se les ocurrieron esos valores?
Maestro: ¿Cómo crees que se les ocurrió? Responder preguntas con preguntas. típico de los nigerianos & # 128522
Recuerde el año en que se firmó y ratificó.
Firmado en convención el 17 de septiembre de 1787.
Ratificado el 21 de junio de 1788.
¿O cuál cree que debería ser un enfoque normal para asignar estos escaños entre los Estados?
Estudiante: Supongo que dividieron a toda la población por el número de escaños que se asignarían
Luego, se les ocurrió un número
Luego, pidieron a cada estado que dividiera su población por ese número.
Maestro: 👋
Ese número se conoce como el Divisor estándar
Es el Cociente del Tamaño de la poblacion y el Número de artículos a prorratear
También se puede definir como el Número promedio de personas por artículo
En este caso, es el Número promedio de personas por asiento
Entonces, obtenemos el Divisor estándar
Luego, dividimos el tamaño de cada muestra (cada estado) por el divisor estándar.
Eso nos da otro cociente (número)
Ese número se conoce como el Cuota estándar
Estudiante: ¿Qué pasa si la cuota estándar para cada estado no es un número entero?
Maestro: ¡Estoy impresionado con tu pregunta!
Estudiante: Pero, por favor, no me pida que lo conteste.
Maestro: Vale, pero ¿qué te parece?
Estudiante: En ese caso, creo que debería redondearse al número entero más cercano.
Porque no podemos tener personas "decimales"
Maestro: ¡Buena respuesta!
La suma de las cuotas estándar debe ser igual al número de artículos a prorratear
¿Qué pasa si redondeamos las cuotas estándar a los números enteros más cercanos y nos sobran?
¿Qué debería pasar con esas sobras?
Estudiante: no tengo idea
Maestro: Podríamos redondeo en ese caso y ver si la suma de las cuotas estándar nos daría el número de escaños para distribuir
Estudiante: Para que podamos ¿redondeo?
Maestro: Si podemos Redondee las cuotas estándar
En ese caso, se conoce como Cuotas superiores
Similar:
Podemos Redondee las cuotas estándar
En ese caso, se conoce como Cuotas más bajas
El Redondeo normal de la cuota estándar es el Cuota normal
Estudiante: ¿Qué pasa si redondeamos hacia abajo, redondeamos normal y redondeamos hacia arriba y la suma de las cuotas estándar no es igual al número de escaños?
Maestro: ¡Muy buena pregunta!

Bienvenida a la Métodos de reparto.

Para problemas de distribución

(1.) Determine el Divisor estándar

(2.) Determine el Cuotas estándar

NOTA:
(a.) El La suma de las cuotas estándar debe ser igual al número de artículos a prorratear
(b.) El Cuotas inferiores, cuotas normales y cuotas superiores son los valores redondeados de la Cuotas estándar

(3.) Encuentre el Cuotas más bajas

(4.) Calcule el Suma de las cuotas inferiores
Si la suma de las cuotas inferiores no es igual al número de partidas a prorratear:

(5.) Encuentre el Cuotas normales

(6.) Calcule el Suma de las cuotas normales
Si la suma de las cuotas normales no es igual al número de partidas a prorratear:

(7.) Encuentre el Cuotas superiores

(8.) Calcule el Suma de las cuotas superiores
Si la suma de las cuotas superiores no es igual al número de partidas a prorratear:


Distribución de representantes en el Congreso de los Estados Unidos - Método de distribución de Jefferson & # 039s

¿Lo suficientemente justo? No necesariamente. Cuando el proyecto de ley llegó al escritorio del presidente Washington para su firma, hubo una gran división de opiniones entre los miembros de su gabinete (uno de los cuales era Alexander Hamilton, el secretario del Tesoro). Después de escuchar sus opiniones, Washington emitió el primer veto presidencial en la historia de Estados Unidos. Él objetó que el proyecto de ley resultó inconstitucional en que los miembros de la Cámara representaran a menos de 30,000 personas, y que no había un solo divisor que pudiera haber resultado en la distribución final. Ver http://avalon.law.yale.edu/18th_century/gwveto1.asp para el texto del mensaje de veto del presidente y rsquos al Congreso.

Diez días después del veto, el Congreso aprobó un nuevo método de reparto, ahora conocido como Método Jefferson & rsquos en honor a su creador, Thomas Jefferson.

El & ldquoD& rdquo aquí es el mismo que fue para Hamilton. Disminuyendo D por algún valor D, Jefferson rebaja el valor del denominador de la Cuota estatal, aumentando así la cuota. Finalmente, el total de todas las cuotas estatales, redondeado hacia abajo, coincidirá con el número predeterminado de escaños de la Cámara. Por lo tanto, el método aborda una de las dos objeciones de Washington & rsquos: un solo divisor producirá la distribución.

Para abordar la otra preocupación, el Congreso cambió el número de escaños de la Cámara de 120 a 105. Por lo tanto, un divisor de 33.000 era suficiente para producir la distribución, y ningún estado tenía una proporción de "personas por representante" de menos de 30.000.

Este método fue aprobado por el presidente y se utilizó para distribuir la Cámara de los Estados Unidos desde 1792 hasta 1842.Pero, ¿qué tan diferente es de Hamilton? Si el método de Hamilton & rsquos se hubiera aplicado en 1792 a una Cámara del tamaño de 105, a 13 de los 15 estados se les habría asignado el mismo número de Representantes que recibieron bajo Jefferson. Fue Virginia la que se benefició con Jefferson (¡sorpresa!), Mientras que Delaware habría ganado un escaño con Hamilton que, en cambio, perdió ante Virginia.

Consulte la hoja de cálculo 1792 Jefferson para obtener una ilustración de la distribución real de Jefferson de 1792 y una comparación con Hamilton.

Michael J. Caulfield (Universidad de Gannon), "Distribución de representantes en el Congreso de los Estados Unidos: método de distribución de Jefferson", Convergencia (Noviembre de 2010), DOI: 10.4169 / loci003163


Métodos de reparto

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9.2: Prorrateo - Métodos de Jefferson, Adams y Webster - Matemáticas

Práctica de la teoría de juegos: prorrateo (primavera de 2013)

Preparado por:

Joseph Malkevitch
Departamento de Matemáticas
York College (CUNY)
Jamaica, Nueva York 11451

Email:

1. Suponga que uno tiene un país con cuatro estados A, B, C y D con poblaciones respectivamente de 80, 70 50 y 20. La legislatura del país tiene 20 escaños.
Suponga que cada estado tiene derecho a al menos un escaño.

un. Encuentre la parte justa exacta de cada estado.

B. Encuentre el tamaño de distrito ideal para cada estado.

C. Utilice el método de Hamilton para distribuir la legislatura.

D. (i) Utilice el enfoque de la regla de redondeo del método de Webster para distribuir la legislatura.

ii. Utilice el enfoque de & quot; método estable & quot; para el método de Webster para distribuir la legislatura.

mi. (i) Utilice el enfoque de la regla de redondeo del método de Jefferson para distribuir la legislatura.

ii. Utilice el enfoque de & quot; método estable & quot; para el método de Jefferson para distribuir la legislatura.

F. (i) Utilice el enfoque de la regla de redondeo del método de Adams para distribuir la legislatura.

ii. Utilice el enfoque del "método estable" del método de Adams para distribuir la legislatura.
gramo. Para cada una de estas 4 distribuciones, calcule el número de representantes por persona para cada estado y el número de personas por representante para cada estado. ¿Qué estados están subrepresentados y cuáles sobrerrepresentados?


9.2: Prorrateo - Métodos de Jefferson, Adams y Webster - Matemáticas

Cálculo político
Por Barry A. Cipra

SIAM News, 10 de junio de 2001

Una breve historia numérica del Congreso


La Cámara de Representantes ha tenido el mismo tamaño durante tanto tiempo que muchos de nosotros asumimos que el número 435 aparece en algún lugar de la Constitución. De hecho, es sólo la política lo que la mantuvo constante durante casi un siglo. Al igual que Alicia en el país de las maravillas, el Congreso tiene el poder de cambiar su tamaño con un simple acto. Podría expandirse a más de 20 veces su tamaño actual antes de chocar con cualquier cosa prohibida por los Padres Fundadores.

El Artículo I, Sección 2, de la Constitución ordena que se haga un prorrateo del Congreso cada diez años, con base en las cifras de población de un censo decenal. La única restricción es que & ldquoEl número de Representantes no excederá de uno por cada treinta mil, pero cada Estado tendrá al menos un Representante & rdquo Con una & ldquopoblación de reparto & rdquo de 281,424,177 almas en el censo de 2000, podríamos tener una Cámara con tantos como 9380.8059 miembros.

El primer reparto, basado en el censo de 1792, tenía una Cámara con 105 miembros. El número se determinó dando a cada estado un representante por cada 33.000 personas, sin tener en cuenta las fracciones. El número de escaños se elevó a 141 después del censo de 1800, nuevamente con la proporción de 33.000 personas por representante, ya 181 en 1810, cuando se adoptó una proporción de 35.000 / representante. En 1820, la proporción se aumentó a 40.000 / representante, y el número de escaños se convirtió en 213, y en 1830, la proporción se elevó a 47.700 / representante, produciendo una Cámara con 240 escaños y mdash y un aullido de protesta de Daniel Webster.

El método de Webster & rsquos prevaleció con el censo de 1840 y, utilizando una proporción de 76,680 personas por escaño, creó una Cámara con 223 miembros y es la única vez que el Congreso ha votado para hacerse más pequeño. Pero con el siguiente censo se cambió al método de Hamilton & rsquos y un tamaño total de 234 asientos. El método de Hamilton & rsquos se utilizó durante el resto del siglo XIX, excepto por cambios ad hoc en los resultados de los censos de 1860 y 1870. En particular, una ley suplementaria en 1872 agregó nueve escaños a un total inicial de 283, dando un escaño adicional. cada uno a New Hampshire, Vermont, Nueva York, Pensilvania, Indiana, Tennessee, Luisiana, Alabama y Florida, que no es como el método de Hamilton & rsquos habría redistribuido las cosas. Las repercusiones presidenciales se sintieron casi de inmediato: si se hubiera seguido fielmente el método de Hamilton & rsquos (o Webster & rsquos), la elección de 1876 habría tenido al presidente Tilden, no a Hayes, en la Casa Blanca.

La Cámara alcanzó su tamaño actual en 1913, después de que Arizona y Nuevo México se convirtieran en estados. El total se elevó a 437 durante algunos años después de 1959, cuando Alaska y Hawai se unieron a la unión, hasta la distribución basada en el censo de 1960.

Según el censo de 2000, siete estados tendrán un representante, cinco tendrán dos o tres y tres tendrán cuatro. Los números correspondientes de estados a partir de 1990 fueron siete, seis, cuatro y dos. En el otro extremo del espectro están California, que pasa de 52 a 53 representantes, Texas, que pasa de 30 a 32, Nueva York, que baja de 31 a 29, y el Hanging Chad State de Florida, que pasa de 23 a 32. 25.

Lo que parece ser más litigiosamente interesante en la distribución de 2000 es el hecho de que, si la población de distribución de Utah & rsquos (2,236,714) hubiera sido mayor en 856, habría recibido cuatro escaños en la Cámara en lugar de tres, y Carolina del Norte habría obtenido 12 en lugar de 13. Esto es preocupante porque Carolina del Norte puede contar una población militar en el extranjero bastante grande, mientras que Utah no tiene permitido un contingente bastante considerable de misioneros en el extranjero & mdash 11,176, para ser exactos, como el fiscal general de Utah y rsquos señaló en una queja registrada el Tribunal de Distrito de los Estados Unidos.

Peyton Young, profesor de economía en la Universidad Johns Hopkins y miembro principal de la Brookings Institution, abordó estas preguntas en una sesión sobre las matemáticas de las asignaciones del Congreso y de otro tipo en la reunión anual de la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia, celebrada en febrero 15 & ndash20, en San Francisco. La fórmula, que se ha utilizado desde 1941, involucra la media geométrica. Y según Young, no es justo estar sesgado hacia los estados pequeños. Aboga por un retorno a un sistema anterior, ideado en 1832 por el estadista Daniel Webster. En una nueva edición actualizada * de su libro de 1982 Representación justa: encontrar el ideal de un hombre, un voto, Young y el coautor Michel Balinski (de la Ecole Polytechnique, en París) argumentan que el método Webster & rsquos es esencialmente la única forma imparcial de distribuir escaños en el Congreso.

Reglas de redondeo

Idealmente, cada miembro de la Cámara representaría exactamente el mismo número de personas que todos los demás miembros. A primera vista, podría parecer que la forma de acercarse más a ese ideal sería simplemente calcular la fracción de cada estado de la población total, multiplicar por 435 (el número total de escaños en la Cámara hoy) y luego redondear hacia arriba o hacia abajo según corresponda. para hacer que la asignación total sume 435. De hecho, rsquos es la esencia de lo que rsquos llamó el método de Hamilton, en honor a Alexander Hamilton. En el método de Hamilton, las partes fraccionarias más grandes se redondean hacia arriba hasta que se alcanza el total de 435, y todas las demás se redondean hacia abajo. Este método se adoptó en 1852, cuando la Casa tenía aproximadamente la mitad de su tamaño actual (ver recuadro), y se utilizó (más o menos) hasta 1901.

Pero el método de Hamilton tiene algunos problemas. La más notoria se llama la "paradoja de Alabama". En 1881, el Congreso pidió al secretario jefe de la Oficina del Censo que calculara la distribución de escaños para cada tamaño total de la Cámara entre 275 y 350 (en ese momento había 293 escaños). encontró algo divertido: cuando el número total de asientos pasó de 299 a 300, Alabama en realidad perdió un escaño en el Congreso, pasando de ocho a siete.

Es fácil ver cómo puede suceder esto. Supongamos que solo hay tres "quostatos" con poblaciones de 44, 44 y 12. Si hay una "casa" con tres escaños, las cuotas son 1,32, 1,32 y 0,36, por lo que cada estado tiene un representante. Pero expandirse a cuatro escaños hace que las cuotas sean de 1.76, 1.76 y .48, lo que, según el método de Hamilton, haría la distribución 2, 2 y 0. (La Constitución, por supuesto, requiere que cada estado tenga al menos un representante. En la paradoja real de Alabama de 1880, un aumento de 299 a 300 habría beneficiado a Texas e Illinois a expensas del estado de Yellowhammer).

La paradoja de Alabama y otra, llamada "paradoja de la población", en la que un estado pierde escaños a pesar de que aumenta su fracción de la población de la nación, fueron denunciadas y ocasionalmente explotadas por los políticos. En 1901, por ejemplo, el presidente del Comité Selecto de la Cámara sobre el 12º censo, que tenía razones políticas para no gustarle Colorado, notó que el Estado Centennial obtendría tres escaños para cualquier tamaño de la Cámara entre 350 y 400, con la única excepción de 357 , lo que le dio a Colorado solo dos asientos. Inmediatamente propuso un tamaño de la Cámara de 357 escaños.

Afortunadamente, estas y otras paradojas pueden evitarse mediante el uso de lo que ahora se denominan "métodos quodivisores". El primer método de este tipo fue propuesto por Thomas Jefferson. En el método de Jefferson & rsquos, las fracciones de los estados y rsquo se multiplican simultáneamente por un número ligeramente mayor que 435, después de lo cual todos los resultados se redondean hacia abajo. El multiplicador es la clave: debe elegirse de modo que los números redondeados hacia abajo sumen 435. Aquí hay un pequeño milagro matemático, en el sentido de que aunque hay un rango de posibles multiplicadores, todos dan la misma distribución.

El método de Jefferson & rsquos, sin embargo, está sesgado hacia los estados grandes. En el extremo, no da representación a estados muy pequeños. (El método de Hamilton también hace esto. En cualquier caso, una disposición adicional le da a cada estado al menos un escaño en la Cámara de Representantes). Jefferson, por supuesto, vino del estado más grande de su época. En 1832, el ex presidente John Quincy Adams propuso una variante simple: multiplicar por un número ligeramente menor que 435 y redondear todas las fracciones. arriba. Esto garantiza que todos estén representados, pero está sesgado hacia los estados pequeños.

Según Webster

Aproximadamente al mismo tiempo, Daniel Webster sugirió dividir la diferencia: multiplique por un número apropiado cerca de 435 y redondee las fracciones al número entero más cercano. El método de Webster & rsquos fue adoptado en 1842, reemplazado por el método de Hamilton & rsquos en 1852, vuelto a adoptar en 1901 (en parte en respuesta a la artimaña de Colorado) y utilizado hasta 1941. (La historia de la distribución del Congreso es en realidad un poco más bizantina, porque el tamaño la Cámara cambió y aumentó en su mayor parte, pero ocasionalmente se redujo de 105 escaños en 1792 a su tamaño actual, y aparentemente dado por Dios, de 435 en 1913. La adopción oficial del método de Hamilton y rsquos en 1852, por ejemplo, fue emparejada con un aumento en el número de escaños de 223 a 234. Este último número se eligió en parte porque los dos métodos & mdashHamilton & rsquos y Webster & rsquos & mdash sucedieron para dar la misma distribución para el censo de 1850. Este tipo de retoques, y mucho peor, complica cualquier discusión sobre la historia de los métodos de distribución . Pero durante los últimos 60 años, al menos, las cosas se han asentado en una rutina bastante establecida. En las últimas décadas, las peleas se han centrado en la números que se introducen en el algoritmo de distribución, no sobre el algoritmo en sí).

El sucesor de 1941 del método Webster & rsquos fue inventado en 1911 por Joseph Hill, un estadístico de la Oficina del Censo, y posteriormente perfeccionado por el matemático de Harvard Edward V. Huntington. Todavía multiplica las fracciones de estados y rsquo por un número cercano a 435, pero su regla de redondeo es más complicada. Para números entre norte y norte + 1 (norte siendo un número entero), el umbral de redondeo es la media geométrica, (norte (norte + 1)) 1/2. Así, por ejemplo, 1,45 se redondea a 2 porque (1 x 2) 1/2 = 1,41. . . , mientras que 52,45 se redondea hacia abajo porque (52 x 53) 1/2 = 52,49. . . .

El argumento a favor del método de Hill & rsquos es que, entre los métodos divisores (los únicos métodos que evitan las paradojas de Alabama y la población), minimiza las diferencias relativas entre los tamaños de los representantes y distritos electorales. Por ejemplo, según el censo de 2000, Carolina del Norte y rsquos 8.067.673 personas obtienen 13 representantes por el método de Hill & rsquos, o 620.590 habitantes de Carolina del Norte por representante, mientras que Utah y rsquos 2.236.714 personas justifican tres representantes, o 745.571 personas por representante, con una diferencia relativa de aproximadamente 20,14%. Si cambiara un asiento, dando a Carolina del Norte 12 y Utah cuatro, los números serían 672,306 y 559,179, respectivamente, para una diferencia relativa del 20.23% & mdashein absoluto la diferencia ha disminuido (de 124,981 a 113,127)!

El método fue defendido en un informe de 1929 de la Academia Nacional de Ciencias. Fue catalogado nuevamente como el mejor método en 1948, en un informe de NAS firmado por los eminentes matemáticos Luther Eisenhart, Marston Morse y John von Neumann. Sin embargo, la verdadera razón por la que se adoptó fue un cálculo puramente político: en 1941, el cambio de Webster a Hill trasladó un escaño del estado de transición de Michigan al bastión demócrata de Arkansas.

Es tiempo de un cambio

Pero el método de Hill & rsquos está sesgado, dice Young. La fuente del sesgo está en el redondeo variable: los estados más pequeños tienen un umbral más bajo para redondear al alza. El efecto neto, dice, es que, con el tiempo, los estados pequeños terminan con un 3 & ndash4% más de representación per cápita que los estados grandes.


Figura 1. Sesgos acumulativos de los distintos métodos de reparto del Congreso.

El análisis, que se presenta en el libro de Young y Balinski & rsquos, analiza los 22 censos de 1790 a 2000. Ignora los estados cuyas cuotas estrictas son menos de la mitad de un escaño, y divide aproximadamente a los estados restantes en tres grupos: pequeño, mediano y grande. . Los sesgos acumulativos de los diversos métodos & mdashJefferson & rsquos, Adams & rsquos, Webster & rsquos, Hill & rsquos, y uno que lleva el nombre de James Dean, que
usa el armónico significado de norte y norte + 1 (es decir, 2norte(norte + 1)/(2norte + 1)) por su umbral de redondeo y mdashmuestra los sesgos incorporados sustanciales
de Jefferson y Adams y la virtual ausencia de sesgo en Webster (ver Figura 1).

Para Young, eso es suficiente para demostrar la superioridad del método Webster. Pero la justicia, como la belleza, está en los ojos del espectador. Steven Brams, de la Universidad de Nueva York, se encuentra entre los que consideran que el método de Hamilton, a pesar de todos sus defectos paradójicos, es superior a cualquiera de los métodos divisores. (Uno de los aspectos objetables de los métodos de división, dice, es que pueden distribuir & ldquotoo muchos & rdquo o & ldquotoo pocos & rdquo asientos a un estado grande. California, por ejemplo, recibiría 55 asientos por el método de Jefferson & rsquos, a pesar de que su cuota estricta & mdasa fracción de la población total multiplicada por 435 y mdashis 52.447.) Pero está de acuerdo en que Webster es "mejor" que Hill.

Si se va a realizar un cambio, este podría ser el momento perfecto para hacerlo, dice Young. Por feliz accidente, los números del censo de 2000 están alineados de modo que los métodos Webster y Hill producen exactamente los mismos resultados. Esto le da al Congreso la oportunidad de hacer lo correcto sin ser impulsado por ningún resultado partidista inmediato. Además, señala Young, los estados grandes y mdash por ser grandes tienen los votos para hacer el cambio, que los beneficiará a largo plazo.


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