Artículos

8.3E: Serie de Fourier II (Ejercicios) - Matemáticas


En Ejercicio 8.3.2 grafica (f ) y algunas sumas parciales de la serie requerida.

Q8.3.1

En Ejercicios 8.3.1-8.3.10 encuentre la serie del coseno de Fourier.

1. (f (x) = x ^ 2 ); ([0, L] )

2. (f (x) = 1-x ); ([0,1] )

3. (f (x) = x ^ 2-2Lx ); ([0, L] )

4. (f (x) = sin kx ) ( (k ne ) entero); ([0, pi] )

5. (f (x) = left { begin {array} {cl} 1, & 0 le x le {L over2} 0, & {L over2}

6. (f (x) = x ^ 2-L ^ 2 ); ([0, L] )

7. (f (x) = (x-1) ^ 2 ); ([0,1] )

8. (f (x) = e ^ x ); ([0, pi] )

9. (f (x) = x (L-x) ); ([0, L] )

10. (f (x) = x (x-2L) ); ([0, L] )

Q8.3.2

En Ejercicios 8.3.11-8.3.17 encontrar la serie sinusoidal de Fourier

11. (f (x) = 1 ); ([0, L] )

12. (f (x) = 1-x ); ([0,1] )

13. (f (x) = cos kx ) ( (k ne ) entero); ([0, pi] )

14. (f (x) = left { begin {array} {cl} 1, & 0 le x le {L over2} 0, & {L over2}

15. (f (x) = left { begin {array} {cl} x, & 0 le x le {L over2}, Lx, & {L over2} le x le L; end {matriz} right. ) ([0, L] ).

16. (f (x) = x sin x ); ([0, pi] )

17. (f (x) = e ^ x ); ([0, pi] )

Q8.3.3

En Ejercicios 8.3.18-8.3.24 Encuentre la serie de coseno de Fourier mixta.

18. (f (x) = 1 ); ([0, L] )

19. (f (x) = x ^ 2 ); ([0, L] )

20. (f (x) = x ); ([0,1] )

21. (f (x) = left { begin {array} {cl} 1, & 0 le x le {L over2} 0, & {L over2}

22. (f (x) = cos x ); ([0, pi] )

23. (f (x) = sin x ); ([0, pi] )

24. (f (x) = x (L-x) ); ([0, L] )

Q8.3.4

En Ejercicios 8.3.25-8.3.30 encuentre la serie sinusoidal mixta de Fourier.

25. (f (x) = 1 ); ([0, L] )

26. (f (x) = x ^ 2 ); ([0, L] )

27. (f (x) = left { begin {array} {cl} 1, & 0 le x le {L over2} 0, & {L over2}

28. (f (x) = cos x ); ([0, pi] )

29. (f (x) = sin x ); ([0, pi] )

30. (f (x) = x (L-x) ); ([0, L] ).

Q8.3.5

En Ejercicios 8.3.31-8.3.34 use el teorema 8.3.5a para encontrar la serie de cosenos de Fourier de (f ) en ([0, L] ).

31. (f (x) = 3x ^ 2 (x ^ 2-2L ^ 2) )

32. (f (x) = x ^ 3 (3x-4L) )

33. (f (x) = x ^ 2 (3x ^ 2-8Lx + 6L ^ 2) )

34. (f (x) = x ^ 2 (x-L) ^ 2 )

Q8.3.6

35.

  1. Demuestre el teorema 8.3.5b.
  2. Además de los supuestos del teorema 8.3.5b, suponga que (f '' (0) = f '' (L) = 0 ), (f '' ') es continua y (f ^ {( 4)} ) es continuo por partes en ([0, L] ). Muestre que [b_n = {2L ^ 3 over n ^ 4 pi ^ 4} int_0 ^ L f ^ {(4)} (x) sin {n pi x over L} , dx, quad n ge1. nonumber ]

Q8.3.7

En Ejercicios 8.3.36-8.3.41 utilizar el teorema 8.3.5b o, cuando corresponda, Ejercicios 8.1.35b para encontrar la serie sinusoidal de Fourier de (f ) en ([0, L] ).

36. (f (x) = x (L-x) )

37. (f (x) = x ^ 2 (L-x) )

38. (f (x) = x (L ^ 2-x ^ 2) )

39. (f (x) = x (x ^ 3-2Lx ^ 2 + L ^ 3) )

40. (f (x) = x (3x ^ 4-10L ^ 2x ^ 2 + 7L ^ 4) )

41. (f (x) = x (3x ^ 4-5Lx ^ 3 + 2L ^ 4) )

Q8.3.8

42.

  1. Demuestre el teorema 8.3.5c.
  2. Además de los supuestos del teorema 8.3.5c, suponga que (f '' (L) = 0 ), (f '' ) es continua y (f '' ') es continua por partes en ( [0, L] ). Muestre que [c_n = {16L ^ 2 over (2n-1) ^ 3 pi ^ 3} int_0 ^ L f '' '(x) sin {(2n-1) pi x over2L} , dx, quad n ge1. nonumber ]

Q8.3.9

En Ejercicios 8.3.43-8.3.49 utilizar el teorema 8.3.5c, o cuando corresponda, Ejercicio 8.1.42b, para encontrar la serie de coseno de Fourier mixta de (f ) en ([0, L] ).

43. (f (x) = x ^ 2 (L-x) )

44. (f (x) = L ^ 2-x ^ 2 )

45. (f (x) = L ^ 3-x ^ 3 )

46. ​​ (f (x) = 2x ^ 3 + 3Lx ^ 2-5L ^ 3 )

47. (f (x) = 4x ^ 3 + 3Lx ^ 2-7L ^ 3 )

48. (f (x) = x ^ 4-2Lx ^ 3 + L ^ 4 )

49. (f (x) = x ^ 4-4Lx ^ 3 + 6L ^ 2x ^ 2-3L ^ 4 )

Q8.3.10

50.

  1. Demuestre el teorema 8.3.5d.
  2. Además de los supuestos del teorema 8.3.5d, suponga que (f '' (0) = 0 ), (f '' ) es continua y (f '' ') es continua por partes en ( [0, L] ). Muestre que [d_n = - {16L ^ 2 over (2n-1) ^ 3 pi ^ 3} int_0 ^ L f '' '(x) cos {(2n-1) pi x over2L} , dx, quad n ge1. sin número]

Q8.3.11

En Ejercicios 8.3.51-8.3.56 utilizar el teorema 8.3.5d o, cuando corresponda, Ejercicio 8.3.50b, para encontrar la serie sinusoidal mixta de Fourier de (f ) en ([0, L] ).

51. (f (x) = x (2L -x) )

52. (f (x) = x ^ 2 (3L-2x) )

53. (f (x) = (x-L) ^ 3 + L ^ 3 )

54. (f (x) = x (x ^ 2-3L ^ 2) )

55. (f (x) = x ^ 3 (3x-4L) )

56. (f (x) = x (x ^ 3-2Lx ^ 2 + 2L ^ 3) )

Q8.3.12

57. Demuestre que la serie de coseno de Fourier mixta de (f ) en ([0, L] ) es la restricción a ([0, L] ) de la serie de coseno de Fourier de

[f_3 (x) = left { begin {array} {cl} f (x), & 0 le x le L, - f (2L-x), & L

en ([0,2L] ). Use esto para demostrar el teorema 8.3.3.

58. Demuestre que la serie de senos de Fourier mixta de (f ) en ([0, L] ) es la restricción a ([0, L] ) de la serie de senos de Fourier de

[f_4 (x) = left { begin {array} {cl} f (x), & 0 le x le L, f (2L-x), & L

en ([0,2L] ). Use esto para demostrar el teorema 8.3.4.

59. Demuestre que la serie sinusoidal de Fourier de (f ) en ([0, L] ) es la restricción a ([0, L] ) de la serie sinusoidal de Fourier de

[f_3 (x) = left { begin {array} {cl} f (x), & 0 le x le L, - f (2L-x), & L

en ([0,2L] ).

60. Demuestre que la serie del coseno de Fourier de (f ) en ([0, L] ) es la restricción a ([0, L] ) de la serie del coseno de Fourier de

[f_4 (x) = left { begin {array} {cl} f (x), & 0 le x le L, f (2L-x), & L

en ([0,2L] ).


Prefacio

Esta sección trata sobre series de Fourier y sus propiedades básicas. En las siguientes secciones se presentan más discusiones y sus aplicaciones.

Contenido [ocultar]

Regresar a la página de computación para el primer curso APMA0330
Regresar a la página de computación para el segundo curso APMA0340
Regresar al tutorial de Mathematica para el primer curso APMA0330
Regresar al tutorial de Mathematica para el segundo curso APMA0340
Volver a la página principal del primer curso APMA0330
Regrese a la página principal del segundo curso APMA0340
Regresar a la Parte V del curso APMA0340
Introducción al álgebra lineal con Mathematica


Un primer vistazo a la serie de Fourier: un preludio al análisis armónico

En esta entrada de blog voy a presentar la serie de Fourier.

Definición: (funciones periódicas)
Si es un número real positivo, entonces se dice que una función es periódico si es cierto para cada número real.

Observe que una función es periódica para algunos si y solo si la función es periódica, por lo tanto, para comprender las propiedades de las funciones periódicas, es suficiente comprender estas propiedades para las funciones periódicas.

Terminología: en esta entrada de blog, a menos que se indique lo contrario, al decir un periódico función queremos decir que es periódica.

Ejercicio 1:

Si son funciones periódicas, entonces demuestre que para cualquiera la función también es periódica.

Por tanto, el conjunto de todas las funciones periódicas forma un espacio vectorial. Consideramos el subespacio lineal de este espacio vectorial que consta de las funciones periódicas continuas que denotamos. En este espacio vectorial definimos un producto interno estableciendo

Comprobar que (1) efectivamente define un producto interno se deja como ejercicio para los lectores.

Ejercicio 2:

Demuestre que la función definida en (1) es de hecho un producto interno en.

Como resultado, una clase importante de funciones periódicas se compone de las funciones exponenciales que definimos a continuación.

Definición (funciones exponenciales)
Para cada número entero que definimos.
Estas funciones s (para) se denominan funciones exponenciales.

Resulta que estas funciones son linealmente independientes.

Prueba: Tenemos y para el integrando es la función constante, de modo que para cualquiera obtenemos.

Si entonces de donde tenemos y así se sigue que si.

Ahora, suponga que para algunos escalares tenemos

entonces de la conclusión derivada arriba, se sigue que

y así poniendo uno se obtiene por linealidad y así se sigue que las funciones son linealmente independientes.

Finalmente, mediante un argumento completamente paralelo, se sigue que si una función es expresable como

para algunos coeficientes, luego para cada uno.

En vista de la Proposición 3, uno puede desear ahora obtener una expresión para una función como una combinación lineal de las funciones exponenciales. Pero como se puede ver, esto no debería ser factible para todas las funciones, ya que se pueden tener funciones periódicas continuas con muy mal comportamiento que no se pueden expresar como una suma finita de las funciones exponenciales suaves. Sin embargo, tenemos un resultado importante que dice que cualquier función de este tipo puede aproximarse en el sentido de una secuencia de sumas parciales de funciones exponenciales, y esto nos lleva a la importante teoría de las series de Fourier.

Definición (norma)
Para una función, definimos su norma escrita como definida por
.

Ejercicio 4:

Demuestre que, como se define en (3), es de hecho una norma.

Demuestre que se extiende al espacio de todas las funciones periódicas que son integrables en Riemann pero que aquí pierden su definición positiva.

Resulta que es más adecuado tratar con la clase más grande de funciones periódicas integrables de Riemann.

Definición (coeficientes de Fourier)
Para una función y un entero definimos el o coeficiente de Fourier ser la cantidad.

En primer lugar, para que la definición de los coeficientes de Fourier (como se indicó anteriormente) sea válida, debemos asegurarnos de que la cantidad realmente existe, y demostrar esto se deja como un ejercicio para los lectores.

Ejercicio 5

Demuestre eso si entonces.

En lo que sigue nos gustaría mostrar que la secuencia de sumas parciales converge a la función en la norma. Para ello, necesitamos la poderosa herramienta de la desigualdad de Bessel.

Lema 6 (identidad de Bessel)
Sea y para cualquier sea el coeficiente de Fourier de. Entonces por todo lo que tenemos

y así sigue la afirmación.

Teorema 7 (desigualdad de Bessel)
Si con los coeficientes de Fourier, entonces uno tiene

Prueba: El resultado se deriva de (4) tomando en el lado derecho.

convergencia

En la sección anterior ya introdujimos la norma de una función y, como se señaló en el ejercicio 4, esta norma se puede extender a una pseudo-norma (es decir, una función que satisface todas las propiedades de una norma excepto la definición positiva). sobre el espacio de todas las funciones periódicas integrables de Riemann. La convergencia con respecto a esta (pseudo) norma se denomina convergencia. En un tono más preciso tenemos la siguiente definición.

Definición (convergencia)
Decimos que una secuencia de funciones converge en norma a una función si la distancia como

Las otras dos nociones útiles de convergencia son la convergencia puntual y la convergencia uniforme. Veamos cómo se relaciona la convergencia con estos modos de convergencia. Resulta que la convergencia y la convergencia puntual son, en cierto sentido, inconexas en el sentido de que ninguna implica la otra.

Ejercicio 8:

Sea una secuencia de funciones en.

(i.) Demuestre que si converge a una función en la norma y a una función puntual, entonces debemos tener.

(ii.) Construya tal secuencia de funciones que converja puntualmente a una función pero no converge a ninguna función en la norma.

(iii.) Construya tal secuencia de funciones que converja a una función en la norma pero no converja a ninguna función puntual.

Así, como vemos en el ejercicio anterior, la convergencia puntual no implica convergencia en la norma. Pero la noción más fuerte de convergencia uniforme implica convergencia en la norma.

Proposición 9
Si una secuencia de funciones en converge uniformemente a una función, entonces converge en la norma.

Prueba: Dejemos entonces que exista tal que para todos y cada uno tenga y así tomando por ambos lados nos den y así se sigue el reclamo.

Ahora estamos en condiciones de enunciar el primer teorema principal en esta entrada de blog.

Teorema 10
Si entonces la serie de Fourier de converge en la norma.

Hay varias formas de probar la convergencia de la serie de Fourier aquí discutimos una de las pruebas más elementales del resultado. La siguiente fórmula jugará un papel clave en nuestra demostración del Teorema 10.

Ejercicio 11:

Para demostrar que

Definición (función escalonada de Riemann)
Porque definimos su función indicadora o función característica para que sea definida por si y de otra manera.
Sea subintervalos de Una función escalonada de Riemann es una función de la forma de algunos coeficientes reales s.

Ejercicio 12:

Demuestre que si es una función escalonada de Riemann y si nos extendemos definiendo de acuerdo con la ecuación para cada uno, entonces demuestre que

Por tanto, ahora podemos hablar de demostrar el teorema 10 para la clase especial de funciones escalonadas de Riemann.

Lema 13:
Sea tal que sea una función escalonada de Riemann. Entonces la serie de Fourier de converge en la norma.

De hecho, resulta que demostrar el teorema 10 para este caso especial es suficientemente bueno.

Ejercicio 13:

Demuestre que el Teorema 10 y el Lema 13 son lógicamente equivalentes.

Por tanto, basta con demostrar el Lema 13. Podemos hacer algunas simplificaciones adicionales.

Ejercicio 14:

Demuestre que si la serie de Fourier de una función converge en la norma y la serie de Fourier de una función converge en la norma y son tres constantes reales arbitrarias, entonces lo siguiente es cierto:

(i.) La serie de Fourier de la función converge en la norma.

(ii.) La serie de Fourier de la función converge con la función en la norma.

Por tanto, basta con demostrar el Lema 13 en el caso especial cuando es la función característica de un intervalo de la forma para algunos, ya que cualquier función escalonada de Riemann puede escribirse como una combinación lineal real de la función característica de traslados de un número finito de intervalos de la forma .

Prueba del lema 13: Basta con demostrarlo, gracias a la identidad de Bessel. Primero mostraremos esto para el caso especial cuando para algunos

En este caso, los coeficientes de Fourier de son y

Ahora usando (5) podemos calcular

Y un cálculo directo también muestra eso, probando así la afirmación.

La serie de Fourier disfruta de varias otras propiedades interesantes, pero no las discutiremos aquí, ya que esta entrada de blog está pensada para una primera lectura del tema.


Series de Fourier

Esta es una introducción concisa a las series de Fourier que cubren historia, temas principales, teoremas, ejemplos y aplicaciones. Se puede utilizar para aprender el tema y también para complementar, mejorar y embellecer los cursos de pregrado sobre análisis matemático. El libro comienza con un breve resumen de la rica historia de las series de Fourier durante tres siglos. El tema se presenta de una manera que permite al lector apreciar cómo una teoría matemática se desarrolla en etapas desde un problema práctico (como la conducción de calor) hasta una teoría abstracta que trata con conceptos como conjuntos, funciones, infinito y convergencia. La teoría abstracta proporciona entonces aplicaciones imprevistas en diversas áreas. El autor parte de una descripción del problema que llevó a Fourier a presentar su famosa serie. Los problemas matemáticos a los que esto conduce se discuten luego rigurosamente. Se proporcionan ejemplos, ejercicios e instrucciones para lecturas e investigaciones adicionales, junto con un capítulo que proporciona materiales de un nivel más avanzado adecuado para estudiantes de posgrado. El autor demuestra aplicaciones de la teoría a una amplia gama de problemas. Los ejercicios de diferentes niveles de dificultad que se encuentran dispersos a lo largo del libro ayudarán a los lectores a evaluar su comprensión del material.

Reseñas y respaldos

Este libro es una introducción muy legible a la serie de Fourier adecuada para científicos e ingenieros. Está salpicado de pistas sobre desarrollos más recientes y tiene muchos comentarios históricos agradables que intrigarán a los mejores estudiantes y estudiantes de matemáticas. El autor casi habla con los lectores y destaca hábilmente lo que es importante. Una buena cantidad de material se encuentra en el extenso conjunto de ejercicios. Si este texto tan agradable hubiera estado disponible cuando estaba enseñando, lo habría usado para un curso de nivel junior-senior para las especialidades de ciencias y matemáticas.


Investigaciones relevantes anteriores

Gueudet y Quéré (2018) plantean la pregunta sobre cómo la enseñanza de las matemáticas puede responder a las necesidades de los cursos de ingeniería y cuáles deberían ser las características de dicha enseñanza. Flegg y col. (2012) mencionan que existen diferentes visiones sobre el grado de rigor y formalidad en la ingeniería matemática. Argumentan que “[sin] la conexión explícita entre teoría y práctica, los estudiantes pueden no considerar relevante el contenido matemático de los programas de ingeniería” (Flegg et al., 2012, p. 718). También afirman que en los casos en que los departamentos de matemáticas enseñan el contenido matemático a los estudiantes de ingeniería, los departamentos de ingeniería pueden tener poca idea de a qué contenido matemático están expuestos los estudiantes.

Biehler, Kortemeyer y Schaper (2015) investigaron un curso de primer año en ingeniería eléctrica, analizando tareas que requerían conocimientos y recursos cognitivos tanto de las matemáticas como de la ingeniería eléctrica. Identificaron casos en los que había una brecha entre las matemáticas aprendidas, en la escuela o en la universidad, y las matemáticas necesarias para resolver tareas de ingeniería. Gueudet y Quéré (2018) enfatizan la necesidad de hacer conexiones y discuten la conectividad en varios niveles. Aquí, la conectividad en el nivel micro podría ser, por ejemplo, conexiones entre diferentes áreas temáticas, entre diferentes representaciones semióticas y entre diferentes conceptos.

Recientemente, varios investigadores han demostrado cómo ATD puede ser una herramienta útil para investigar matemáticas para grupos de usuarios, como estudiantes de ingeniería. Hochmuth, Biehler y Schreiber (2014) discuten y contrastan el uso de ciclos de modelado con el uso de ATD para estudiar las relaciones epistémicas entre las matemáticas en los cursos de matemáticas superiores y las matemáticas en los cursos de ingeniería. Argumentan que ATD podría ser una herramienta relevante para usar, por ejemplo, para abordar preguntas como "¿qué significados se actualizan en el contexto de tareas y situaciones específicas?" (Hochmuth y col., Pág. 697). Peters, Hochmuth y Schreiber (2017) utilizan lo que ellos denominan el modelo praxeológico extendido ATD para analizar la relación entre diferentes discursos matemáticos en cursos de ingeniería, como Señales y Teoría de Sistemas. Aquí, el modelo 4 T se amplía en el sentido de que las técnicas y tecnologías se dividen en dos ramas, en función de si la justificación proviene del razonamiento electrotécnico o físico, o del razonamiento matemático. Esto es similar a mi distinción entre los sistemas didácticos y las praxeologías correspondientes. BM y mi.

De particular relevancia para mi estudio son varios trabajos recientes de González-Martín y Hernandes-Gomes (2017, 2018, 2019a, b). Estos autores han comparado presentaciones en libros de texto de Cálculo con presentaciones en libros de texto para cursos profesionales de ingeniería para ver hasta qué punto se requieren los conceptos y técnicas de Cálculo para hacer frente a las tareas en los temas de ingeniería. Daré ahora una breve reseña de su trabajo.

En el primero de la gama de artículos (González-Martín & amp Hernandes-Gomes, 2017), los autores analizan el uso de integrales en relación con los momentos flectores en la ingeniería civil y mecánica. Una parte importante de su análisis se basa en analizar partes de un libro de texto en Cálculo y partes de un libro de texto en un curso de Fortaleza de los materiales, usado para los mismos estudiantes. Descubrieron que aunque la noción de integral se usaba para enseñar el tema de los momentos flectores en el curso de ingeniería, las técnicas se basaban principalmente en consideraciones geométricas. Encontraron que el libro de texto del curso de ingeniería evitaba el uso de notación y propiedades institucionalizadas en Cálculo y concluyeron que la forma en que se enseñan las integrales en el curso de Cálculo sigue praxeologías matemáticas que están demasiado lejos de la forma en que se utilizan las integrales en los cursos profesionales. En otros dos artículos, (González-Martín & amp Hernandes-Gomes, 2018, 2019a), los mismos autores investigan el uso de integrales para calcular los primeros momentos de regiones planas en un curso de ingeniería civil. También en este caso encontraron que las tareas y técnicas desarrolladas en la carrera de ingeniería no surgen de las matemáticas sino de un discurso de ingeniería, y que es solo en la tecnología (θ) donde aparecen las integrales (González-Martín & amp Hernandes-Gomes, 2019a, pág.283). En el trabajo más reciente, (González-Martín & amp Hernandes-Gomes, 2019b), los autores han extendido sus investigaciones al uso de integrales en electromagnetismo. Parece que los resultados también en este caso apuntan en la misma dirección que en las investigaciones anteriores. Se utilizan integrales para definir las nociones en cuestión, pero las tareas se pueden resolver mediante consideraciones geométricas, tablas y fórmulas listas para usar (González-Martín & amp Hernandes-Gomes, 2019b). Por lo tanto, son los aspectos conceptuales de la integral los que son importantes, no las técnicas de cálculo.

También hay estudios interesantes que no usan ATD comparando libros de texto en matemáticas con libros de texto usados ​​en áreas de ingeniería. A modo de ejemplo, Alpers (2017) investigó dos libros de texto en ingeniería estática, uno de EE. UU. Y otro de Alemania, y comparó la presentación de estos libros con lo que describió como “el tratamiento habitual en los libros de texto de matemáticas” (Alpers, 2017, p 137). Esto significa que no consultó un libro de texto específico de matemáticas, sino que se basó en su percepción de cuál sería el tratamiento común en los libros de matemáticas. Realizando un análisis documental de los dos libros de texto de ingeniería, encontró diferencias esenciales con respecto al concepto, construcción y notación de vectores, así como el uso de diferenciales y el concepto y notación de desplazamientos virtuales. Afirma que las diferencias entre la presentación en los libros de texto investigados y una presentación estándar en matemáticas contienen potencial para desajustes cognitivos entre el aprendizaje de los estudiantes en matemáticas y en estática (Alpers, 2017, p. 140).

El trabajo sobre ingeniería mecánica mencionado anteriormente indica una brecha bastante grande entre las praxeologías en matemáticas y partes de la ingeniería. Agregaré a la literatura existente comparando praxeologías en matemáticas y teoría de señales.


Análisis de Fourier una introducción Capítulo 3 Ejercicio 17

[Sugerencia: se puede suponer que $ f $ está aumentando y decir $ | f | le M. $ Primero verifique que los coeficientes de Fourier de la función característica de $ [a, b] $ satisfagan $ O (1 / | n |). $ Ahora demuestre que una suma de la forma $ sum_^alfa_ chi _ <[a_k, a_k + 1]> (x) $ con $ - pi = a_1 & lta_2 . & lta_N & lta_= pi $ y $ -M le alpha_ <1> le. le alpha_ le M $ tiene coeficientes de Fourier que son $ O (1 / | n |) $ uniformemente en $ N $. Sumando por partes uno obtiene una suma telescópica $ sum ( alpha_-alfa_) $ que puede estar acotado por $ 2M. $ Ahora aproximar por la función del tipo anterior.]

Realmente no sé cómo calcular: $ int _ <- pi> ^ < pi> sum_^alfa_ chi _ <[a_k, a_k + 1]> (x) e ^ <-inx> dx $ Ya que no sé qué función característica se usa en este caso.


8.3E: Serie de Fourier II (Ejercicios) - Matemáticas

Métodos lineales de matemáticas aplicadas

Evans M. Harrell II y James V. Herod *

* (c) Copyright 1994, 1997, 2000 de Evans M. Harrell II y James V. Herod. Reservados todos los derechos.

Si desea imprimir una versión bien formateada de este capítulo, puede descargar el archivo rtf, que será interpretado y abierto por Microsoft Word o el archivo pdf, que será interpretado y abierto por Adobe Acrobat Reader.

IV. Cálculo de la serie de Fourier

En esta sección calculamos varias series de Fourier. Como sabemos, encontrar una serie de Fourier simplemente significa calcular varias integrales, lo que a menudo se puede hacer con software o con tablas de integrales. Dado que realizar integrales no es mucho más interesante en la era moderna que la división larga, nuestros objetivos en esta sección serán obtener una impresión visual y analítica de qué esperar de las series de Fourier y comprender el r & ocírculo de simetría en los cálculos. Muchos de los cálculos de este capítulo están disponibles en un cuaderno de Mathematica o en una hoja de trabajo de Maple.

Comencemos evaluando la serie de Fourier para las funciones:

La longitud L se ha elegido como.

Queremos representar estas funciones en la forma que comienza con f (x).

Problema modelo IV.1. Utilice un software para calcular la serie de Fourier completa para la función f (x) como se definió anteriormente, e investigue su convergencia.

Solución. Las fórmulas para estos coeficientes se dieron en el Capítulo II: (es decir, el promedio de f), y para los demás coeficientes:
y
Estos son los resultados del cálculo (ver cuaderno u hoja de trabajo): a0 = 1/2
ametro = 0 para m = 1, 2,.
Bnorte = (1 - (-1) n) / (n) Un punto para reflexionar: ¿por qué todos los ametro = 0? ¡Seguramente esto no es una coincidencia!

El tipo de expresión que obtuvimos para la bnorte simplifica de una manera que surge a menudo en las series de Fourier para funciones elementales: si n = 2k es par, b2k = 0. Por lo tanto, solo sobreviven los términos impares, en cuyo caso b2k + 1 = 2 / ((2k + 1)). Podemos trazar la serie de Fourier y verla converger a la función original a medida que se incluyen más y más términos (consulte el cuaderno o la hoja de trabajo para los cálculos):

Etcétera. Llamamos la atención sobre el rebasamiento sistemático que se produce en los bordes del salto. Curiosamente, el tamaño de este último rebasamiento no tiende a 0 ya que incluimos más términos. (Puede ver esto en una animación preparada para nosotros por Ning Wu, estudiante de Georgia Tech, el hecho de que la función de Ning tenga un rango vertical de -1 a 1 no es significativo para este propósito). Las protuberancias al lado del salto se vuelven más delgadas en lugar de más cortas. Esto se conoce como fenómeno de Gibbs.

Problema modelo IV.2. Ahora podemos investigar algunas cuestiones sobre la excitación de resonancias mecánicas. Suponga que los experimentos de K. Battle en la Wiener Staatsoper en Austria muestran que una copa de cristal se romperá si la intensidad del tono en la frecuencia de 1760 Hz (A alta) excede .01. Usamos unidades físicas en las que la proporcionalidad entre la potencia y el cuadrado de la amplitud es 1, es decir, definimos la intensidad simplemente como I = ak 2 + bk 2. En Georgia Tech, que no es un lugar particularmente musical, podemos generar un pulso cuadrado con amplitud A durante 1/704 seg., Luego amplitud 0 durante el mismo período de tiempo, luego A, etc., periódicamente con un período de 1/352.

Pregunta: ¿Qué amplitud A hará que el vidrio se rompa en nuestro laboratorio?

Solución. El problema es esencialmente estimar la magnitud del coeficiente de Fourier para nuestra función correspondiente a la frecuencia 1760 Hertz.

El mapeo de funciones a sus coeficientes de Fourier es lineal. Por tanto, los coeficientes se pueden obtener a partir de los que acabamos de calcular.

Paso 1. Escale la variable independiente reemplazando x con ty L con 1/352.

Paso 2. Multiplica todos los coeficientes por A.

El armónico con frecuencia 1760 es el que tiene n = 5, por lo que los coeficientes de Fourier correspondientes a esta frecuencia son un5 = 0 y
B5 = 2A / (5) La intensidad es 4 A 2 / (25 2). La amplitud A por encima de la cual el vidrio se romperá es / 4, numéricamente aproximadamente 0,78539816.

Problema modelo IV.3. A modo de comparación, busquemos otra serie de Fourier, a saber, la de la extensión periódica de g (x) = x, 0 cuaderno o la hoja de trabajo Maple. Para x entre 1 y 2, la función es (x-r1L), para x entre 2 y 3 es (x-2), etc. Su gráfica tiene forma de diente de sierra:

Debido a que el intervalo tiene una longitud de 1, las funciones de base de Fourier son 1, cos (2n x) y sin (2n x).

Los coeficientes de Fourier se calculan como: a0 = 1/2
ametro = 0 para m = 1, 2,.
Bnorte = (-1) / (n) Los coeficientes ametro son todos cero, de nuevo. ¿Por qué?

Permítanos tener una impresión de cómo converge la serie, trazando las contribuciones de los dos primeros senos y luego de los seis senos:

También recordamos que en un intervalo más largo, la serie de Fourier produce una función periódica:

La serie de Fourier converge muy bien con la función, excepto en los puntos finales del intervalo, que son lugares donde la función periódica completa del diente de sierra tiene saltos, y vimos algo similar con el pulso cuadrado. En ambos casos vemos evidencia numérica del teorema de que la serie de Fourier converge af (x) donde f (x) es continua, y donde tiene un salto, la serie de Fourier converge al promedio de los valores superior e inferior en el salto.

Probemos un tipo diferente de ejemplo, donde necesitamos integrarnos numéricamente (ver cuaderno).

Problema modelo IV.4. Encuentre la serie de Fourier para la función sin (/ x).

Solución. Las integrales solicitadas no están en las tablas de integrales. Por supuesto, la mayoría& # 160 las integrales no están en las tablas de integrales, incluso cuando no son tan salvajes como esta función (pregúntese qué sucede cerca de x = 0). En la era de la información, esto no es una barrera. Simplemente recurrimos al software para hacer las integrales numéricamente. Dado que la función sin (/ x) es impar en x, los coeficientes asociados con las funciones pares, ametro, todo será cero. Con algunas quejas sobre la convergencia, el software calcula los primeros seis coeficientes sinusoidales como: Tracemos la serie de Fourier con estos seis términos y comparemos con la función en sí:

Observe que la convergencia es bastante buena lejos de la desagradable singularidad en x = 0. En efecto, truncar la serie de Fourier ha filtrado las oscilaciones de alta frecuencia.

Problema modelo IV.5. Encuentre la serie de Fourier para una función que sea integrable al cuadrado pero que tenga un salto infinito.

Solución. El ejemplo que vemos es x -1/3. Como en el ejemplo anterior, la función es impar y solo habrá contribuciones sinusoidales. Los primeros coeficientes son numéricos: Aquí hay una comparación de la función y su aproximación de Fourier:

Piense en el cálculo de la serie en x = 0 y en x = + / - 1. ¿Sucedió lo que esperabas?

Como hemos visto en los cálculos, las simetrías se pueden utilizar para simplificar el cálculo de las series de Fourier. Recuerde que una función es par si f (-x) = f (x) para todo x, e impar si f (-x) = -f (x) para todo x. Si f es una función periódica par, entonces todos los coeficientes seno bnorte = 0: bnorte es el producto interno de f con una función seno, pero cualquier función par y cualquier función impar son ortogonales en el intervalo [-A, A]. (Si f (x) es periódica con período L, entonces podemos analizarlo en cualquier intervalo de longitud L, por lo que incluso si se define originalmente en [0, L], también podemos mirarlo en [-L / 2, L / 2]. Mira una gráfica de una función periódica para entender por qué.) Por razones similares, si f es periódica e impar, todos los coeficientes ametro = 0.

Cualquier función se puede escribir como la suma de una función par y una función impar, y la serie de Fourier selecciona las dos partes. Si, por ejemplo, queremos encontrar la serie de Fourier de una función como x - x 2, -, podemos ahorrar algo de trabajo pensando en las simetrías.

Problema modelo IV.6. Utilice simetrías para encontrar eficientemente la serie de Fourier para la función x - x 2 en el intervalo - & lt x & lt.

Solución. Esta función no es ni par ni impar cuando cambiamos x por -x, pero su "parte impar" es x, y su "parte par" es -x 2. Los coeficientes de seno en la serie de Fourier provendrán completamente de la parte impar y los coeficientes pares completamente de la parte par -x 2 es ortogonal a todas las funciones del coseno de Fourier, y x es ortogonal a todas las funciones del seno de Fourier. Además, la simetría se puede utilizar para cambiar el rango de integración de modo que comience en 0:

Los coeficientes bnorte se calculan de la siguiente manera:
   
El producto de dos funciones impares es par, por lo que esta integral es:
   
El resultado final fue calculado por software. En una clase de cálculo probablemente lo habrías calculado mediante integración por partes. El cálculo de los coeficientes an también se puede simplificar. Primero, observe que solo -x 2 contribuye:
   
El valor de esta integral es
   

Cuando combina estos, tiene los coeficientes de Fourier para x - x 2 en este intervalo.

¡Quien fuera el experto en marketing consultado cuando inventaron los "números complejos" debería ser despedido! Los números complejos casi siempre simplifican mucho las cosas, y esto es cierto en particular para las series de Fourier. La clave de la simplificación es la fórmula de Euler: eix: = exp (ix): = cos (x) + i sin (x), & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 (4.1) Es útil conocer varios casos especiales, especialmente, exp (in) = (- 1) n.
y
exp (i (2k + 1) / 2) = (-1) ki, la fórmula de Euler nos permite discutir números complejos no solo en el sistema cartesiano, z = x + iy, sino también en el sistema polar: z = r exp (i ), where , the argument of z, is the polar angle in the complex plans, and r = |z| (the modulus of z) is the distance from the origin. One of the truly great things about this formula is that is allows us to replace calculations with trigonometric functions with much easier calculations with exponential functions. As an example, let us think of how to calculate the Fourier series for the function f(x) = x, 0

If you don't have software or integral tables handy, you can do these integrals with integration by parts. Or you can reason as follows:

Model Problem IV.7. Evaluate this integral by a method different from integration by parts.

Solución. We can use the following useful trick:

After the calculation, we set A=2 i m/L. Calling the integral in (4.2) INT, we find

which starts looking nice after we substitute A=2 im/L, which reveals that these exponential terms are both equal to 1:

This is purely imaginary, so all ametro = 0.

Model Problem IV.8. Evaluate the coefficients bnorte with a similar method.

Solución. STOP! Don't go back to the beginning of the calculation. We don't have to start all over, since

which is the integral we already did. From (4.3) we see that this imaginary part is just

Actually, we can be much more systematic if we simply replace the complete set of functions (2.8) by (2.9):

These are simply related to the sines and cosines by Euler's formula (4.1) and its easy consequence:

Definition IV.9. The Fourier exponential series is an expansion (for an arbitrary square-integrable function):

Since the exponential functions are an orthonormal set, a familiar kind of calculation shows us that the formula for ck es:

Notice the tricky minus sign - this is a place where the complex conjugate in the inner product is important.

Let's observe how much more convenient this formula is than the one without complex numbers. There is only one sum, not two sums and a constant term. There is only one formula for ck, not separate ones for a0, ametro, and bnorte. The constant term c0 fits in with all the others, for instance, and is not put aside as a special case. The Parseval formula (3.4) is now much simpler:

Here, the coefficients for g have the tildes. En particular,

Notice that the Parseval formula is similar to the Pythagorean theorem, since, other than the normalization factor L, it states that a certain length squared is equal to the sum of the squares of its components in an orthogonal basis. We see here, however, that the space in which f lives is infinite-dimensional.

The important thing to know is that the Fourier exponential series is completely equivalent to the usual "full" Fourier series. We will later look at the Fourier sine and Fourier cosine series, which are truly different series, but the exponential series is not. If we substitute with Euler's formula, the full series becomes the exponential series or vice versa. We can recombine ck with c-k como sigue:


Acerca de

The Laplace transform with applications to solving ordinary differential equations and integral equations. Fourier series and the Fourier transform with applications to solving linear partial differential equations. The Laplace transform with applications to solving ordinary differential equations and integral equations. Numerical methods: Interpolation, differentiation, and integration. Methods for solving linear and non-linear systems of equations. Runge-Kutta methods for solving systems of ordinary differential equations. Difference methods for solving partial differential equations. Introduction to computational tools with examples.

Learning outcome

1. Knowledge. The student is able to recognize, understand and apply concepts and methods from the theory of Fourier series, Fourier transformation, Laplace transformation, ordinary and partial differential equations and numerical solution of systems of equations and differential equations. 2. Skills. The student is able to apply his or her knowledge of Fourier theory, ordinary and partial differential equations and numerical methods to formulate and solve problems in mathematics and the natural sciences/technology, if necessary with the additional aid of mathematical software.

Learning methods and activities

Lectures and compulsory exercises. Grade based on written final examination. Retake of examination may be given as an oral examination. The course may be lectured in English.

Compulsory assignments

Further on evaluation

See «Teaching methods and activities».

Specific conditions

Compulsory activities from previous semester may be approved by the department.


Active Learning Resources forMathematical Methods in Engineering and Physics

"The only way a skill is developed—skiing, cooking, writing, critical thinking, or solving thermodynamics problems—is practice: trying something, seeing how well or poorly it works, reflecting on how to do it differently, then trying it again and seeing if it works better."
-Richard Felder

The practice of "active learning" uses student-centered activities in class to encourage them to adopt an engaged and reflective attitude. See www.ncsu.edu/effective_teaching/Student-Centered.html for a general introduction to active learning, and a list of relevant publications.

Research has validated the success of this approach for student understanding and retention, but as an instructor you may have found that supporting students in active learning requires a lot of work. Traditional textbooks and other available resources can be at cross-purposes with active learning and require not just your own creativity but many long hours to rework these materials into an active form. The materials that have been developed to support active learning are mostly at the introductory level.

Thanks to a grant from NSF we have been able to develop a full set of active-learning based "motivating" and "discovery" exercises and computer-based problems for math methods courses for physicists and engineers.

These exercises and computer problems are all incorporated in our math methods textbook. Click here for information about the book.

Ejercicios

    A "motivating exercise" sets up the physical motivation for a given mathematical technique. When you are done with the "Taylor Series" motivating exercise you don't know how to build a Taylor series, but you know why you might want one.

All of the individual exercises are listed below, but you can also download the entire set as a zip file.

At home or in class? Alone or in groups?
Mix it up. See what works for you. We sometimes assign them as homework due on the day we are going to cover the material, and sometimes as an in-class exercise to begin the lecture. You can have students do them individually or in groups, or a mix of the two. One professor we spoke to starts them in class, and then has her students finish them at home&mdashan approach we never even thought of. You will probably keep your students' interest better if you vary your approach.

Do I need to assign all the exercises?
No. If you are uncomfortable with the process, you may want to try only one or two. We hope you will find them easy to use and valuable, and over time you will use them more, but you will probably never use them all.

How long do they take?
Some are five minutes or less some are twenty minutes or even more. Very few of them should take the students more than half an hour.

That was all pretty noncommittal. Do you have any solid advice at all?
Actually, we do. First, we hope you will use at least some of the exercises, because we believe they contribute a valuable part of the learning process. Second, exercises should almost always be used before you introduce a particular topic&mdashnot as a follow-up. You can start your lecture by taking questions and finding out where the students got stuck.

The "Linear Algebra" Motivating Exercise (The Three-Spring Problem)

This exercise is very different from the rest. It starts with an Explanation (with nothing for the student to do except read it), and then a set of Problems meant to help the students explore the Explanation. A professor would assign a carefully chosen subset of those Problems, not all of them. In all those senses this is like a typical section of our book, rather than being like an exercise.

But the entire section does not teach the first thing about matrices! It sets up a problem and steps through the solution, leaving holes that will be filled in with matrices. In that sense, it is very much like most of our other motivating exercises.

We find this to be a powerful way to introduce linear algebra and tie together many of the most important topics in that field, but it only makes sense to use this if you keep referring back to it throughout the unit. When you teach them how to use matrices to change bases, have them use that to convert between initial positions and amplitudes of normal modes. When you teach eigenvectors and eigenvalues, have them derive the normal modes of the coupled springs as eigenvectors of the matrix of coefficients. The exercise sets this up by pointing out which linear algebra topics will be used for various parts of the solution.

At the end of the unit you can come back and tie it all together with a section where we revisit the three spring problem, using linear algebra in every step of the solution.

Computer Problems

Computers can be used in a number of ways in math methods courses: to illustrate complicated math problems, to apply techniques to problems too complicated to solve by hand, or to skip tedious algebra steps and focus on the math you're trying to teach. In addition, computer skills may be one of the things you want to teach in your class.

The problems below are all platform independent. The instructions simply tell the students what to do, but the details of how to do it will of course be different if they are using Mathematica, Matlab, Maple, or some other platform.

The computer problems for all of the topics are listed below, but you can also download the entire set as a zip file.


Formative

This is how we’ll give you feedback as you are learning. It is not a formal test or exam.

Exam Weekly exercises / tests and assignments

Summative

This is how we’ll formally assess what you have learned in this module.

Referral

This is how we’ll assess you if you don’t meet the criteria to pass this module.

Repeat

An internal repeat is where you take all of your modules again, including any you passed. An external repeat is where you only re-take the modules you failed.