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8.3: Medianas y centroide - Matemáticas


La mediana de un triángulo es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Teorema ( PageIndex {1} )

Las tres medianas de cualquier triángulo no degenerado se cruzan en un solo punto. Además, el punto de intersección divide cada mediana en una proporción de 2: 1.

El punto de intersección de las medianas se llama centroide del triángulo; generalmente se denota por M. En la demostración aplicaremos el Ejercicio 3.4.3 y el Ejercicio 7.3.1; sus soluciones completas se dan en los aciertos.

Prueba

Considere un triángulo no degenerado (ABC ). Sean ([AA '] ) y ([BB'] ) sus medianas. Según el ejercicio 3.4.3, ([AA '] ) y ([BB'] ) tienen un punto de intersección; denotarlo por (M ).

Dibuja una línea ( ell ) a través de (A ') paralela a ((BB') ). Aplicando el ejercicio 7.3.1 para ( triangle BB'C ) y ( ell ), obtenemos que ( ell ) cruza ([B'C] ) en algún punto (X ) y

( dfrac {CX} {CB '} = dfrac {CA'} {CB} = dfrac {1} {2}; )

es decir, (X ) es el punto medio de ([CB '] ).

Dado que (B ') es el punto medio de ([AC] ) y (X ) es el punto medio de ([B'C] ), obtenemos que

( dfrac {AB '} {AX} = dfrac {2} {3}. )

Aplicando el ejercicio 7.3.1 para ( triangle XA'A ) y la recta ((BB ') ), obtenemos que

[ dfrac {AM} {AA '} = dfrac {AB'} {AX} = dfrac {2} {3}; ]

es decir, (M ) divide ([AA '] ) en la proporción 2: 1.

Tenga en cuenta que 8.3.1 define de forma única (M ) en ([AA '] ). Repitiendo el mismo argumento para las medianas ([AA '] ) y ([CC'] ), obtenemos que también se intersecan en (M ), de ahí el resultado.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Sea ( square ABCD ) un cuadrilátero no degenerado y (X, Y, V, W ) los puntos medios de sus lados ([AB], [BC], [CD] ) y ([ DA] ). Muestre que ( square XYVW ) es un paralelogramo.

Pista

Usa la idea de la demostración del teorema ( PageIndex {1} ) para demostrar que ((XY) paralelo (AC) paralelo (VW) ) y ((XV) paralelo (BD) paralelo (YW) ).


Cada triángulo tiene un solo punto dentro de él que permite que el triángulo se equilibre perfectamente, si el triángulo está hecho de un solo material. Ese punto se llama centríodio o "centro de gravedad" o "centro de masa" del triángulo.

Matemáticamente, un centroide de un triángulo se define como el punto donde se encuentran tres medianas de un triángulo. Es uno de los tres puntos de concurrencia en un triángulo junto con el incentro, el circuncentro y el ortocentro. Un centroide está representado típicamente por el símbolo "G".

A continuación se muestra un ΔABC con centroide 'G'.


Teorema de Apolonio

En un triángulo, es cierto que la suma de los cuadrados de dos de sus lados es igual a la suma de la mitad del cuadrado del tercer lado y el doble del cuadrado de la mediana correspondiente a este tercer lado.

Donde a, B, y C, son las piernas ymB es la mediana correspondiente al lado B.


Propiedad especial del centroide

En el siguiente ejercicio, ya se ha encontrado el centroide (punto C). Para este ejercicio, encuentre el área de cada porción del triángulo general. Cada porción (hay 6 en total) está sombreada con un color diferente. Primero seleccione el Zona herramienta , que se encuentra bajo el Ángulo menú . Luego, simplemente haga clic en cada una de las porciones individuales. Responda las preguntas que siguen.

¿Qué notas sobre el área de cada triángulo más pequeño?

Recuerda que el área de una forma es la cantidad de espacio dentro de esa forma. Con base en esto, ¿de qué podríamos decir que el centroide es el centro?

Suponga que todas las porciones del triángulo tienen una masa (similar al peso) que se distribuye uniformemente en toda su área. Basándonos en esto, ¿de qué podríamos decir ahora que el centroide es el centro? (* Pista, también podríamos llamarlo el punto de equilibrio).


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Los conceptos cubiertos en el capítulo 4 de la Junta Estatal Estándar de Matemáticas de Maharashtra 8 Altitudes y medianas de un triángulo son Altitudes de un triángulo, Mediana de un triángulo, Construcción de una altitud de un triángulo, Dibujar medianas de un triángulo.

Uso de Balbharati 8th Standard solutions El ejercicio de altitudes y medianas de un triángulo por parte de los estudiantes es una manera fácil de prepararse para los exámenes, ya que implican soluciones organizadas por capítulos y páginas. Las preguntas involucradas en Balbharati Solutions son preguntas importantes que se pueden hacer en el examen final. El número máximo de estudiantes del octavo estándar de la Junta Estatal de Maharashtra prefieren Balbharati Textbook Solutions para obtener más puntajes en el examen.


Altitudes y medianas de un triángulo

ii. Dibuja una perpendicular desde el vértice P en el lado QR usando un cuadrado. Nombra el punto donde se encuentra con el lado QR como M. Seg PM es una altitud en el lado QR.

iii. Considerando el lado PR como base, dibuje una altitud QX en el lado XZ. Seg QX es una altitud en el lado PR.

iv. Considere el lado PQ como base, dibuje una altitud RN en seg PQ. Seg RN es una altitud en el lado PQ.

Seg PM, seg QO, seg RN son las altitudes de & # 8710PQR. El punto de concurrencia, es decir, el ortocentro se denota con el punto O.

Dibuja un & # 8710STV de ángulo obtuso. Dibuja sus medianas y muestra el centroide.

Para dibujar un & # 8710STV de ángulo obtuso.

I. Dibuja una línea base de cualquier longitud, márcala TV. En T, dibuje una marca de ángulo obtuso que la línea punto S. Una los puntos S y V. ΔSTV así formado es un triángulo angulado obtuso.

ii. Encuentre el punto medio A del lado TV, construyendo la bisectriz perpendicular del segmento de línea TV. Dibujar AS.

iii. Encuentre el punto medio B del lado SV, construyendo la bisectriz perpendicular del segmento de recta SV. Dibuja seg BT.

iv. Encuentre el punto medio C del lado ST, construyendo la bisectriz perpendicular del segmento de recta ST. Dibujar seg CV.

Seg AS, seg BT y seg CV son medianas de & # 8710STV.

Su punto de coincidencia se denota por O.

Dibuja un & # 8710LMN de ángulo obtuso. Dibuje sus altitudes y denote el ortocentro con & # 8216O & # 8217.

Para dibujar un & # 8710LMN de ángulo obtuso.

I. Dibuja una línea base de cualquier longitud, márcala MN. En M, dibuje una marca de ángulo obtuso que la línea punto L. Una los puntos L y N. ΔLMN así formado es un triángulo obtuso angulado.

ii. Para dibujar una altitud desde el vértice L, extienda el lado MN del triángulo desde el punto M con una línea discontinua, como se muestra en la figura, y luego dibuje las líneas perpendiculares desde M.

iii. Considerando el lado LN como base, dibuje una altitud MP en el lado LN. Seg MP es una altitud en el lado LN.

iv. Para dibujar la altitud desde el vértice N, extienda el lado LM del triángulo desde el punto M con la línea discontinua, como se muestra en la figura, y luego dibuje la línea perpendicular desde el vértice N.

v. Ahora para el ortocentro, como no todas las altitudes se cruzan, tendremos que extenderlas para que puedan encontrarse dándonos un ortocentro del triángulo.

vi. Por lo tanto, extienda la altitud LQ, desde el punto Q MP desde el punto M, y NR desde el punto R.

vii. El centro orto del triángulo obtuso se encuentra fuera del triángulo.

viii. El punto O denota el ortocentro del & # 8710LMN de ángulo obtuso.

Dibuja un & # 8710XYZ en ángulo recto. Dibuje sus medianas y muestre su punto de coincidencia por G.

Para dibujar un & # 8710XYZ en ángulo recto.

I. Dibuja una línea base de cualquier longitud, márcala YZ. En Y dibuje una marca en ángulo recto que la línea punto X. Una los puntos X y Z. ΔXYZ así formado es un triángulo rectángulo.

ii. Encuentre el punto medio A del lado YZ, construyendo la bisectriz perpendicular del segmento de recta YZ. Dibuja AX.

iii. Encuentre el punto medio B del lado XZ, construyendo la bisectriz perpendicular del segmento de recta XZ. Dibuja seg BY.

iv. Encuentre el punto medio C del lado XY, construyendo la bisectriz perpendicular del segmento de recta XY. Dibuja seg CZ.

Seg AX, seg BY y seg CZ son medianas de & # 8710XYZ.

Su punto de coincidencia se denota por G.

Dibuja un triángulo isósceles. Dibuja todas sus medianas y altitudes. Escriba su observación sobre sus puntos de coincidencia.

I. Dibuja un triángulo isósceles y nómbralo como PQR.

Un triángulo isósceles es aquel triángulo cuya base es el lado que no es igual a los otros dos lados o Un triángulo isósceles es un triángulo que tiene dos lados iguales.

ii. Ahora, marque el punto medio, es decir, A, B, C, de todos los lados del triángulo y únalo con el vértice opuesto, es decir, P, Q, R. El segmento de línea es decir, PA, QB, RC, por lo tanto, se encuentra la mediana del triángulo.

iii. Marque el punto de coincidencia como 'O'.

iv. Nuevamente, dibuja un segmento de línea perpendicular desde cada vértice.

v. Marque el punto de coincidencia X.

Aquí vemos que coinciden tanto el punto de concurrencia de medianas como las altitudes.

En el caso del triángulo isósceles, los dos lados que son iguales se encuentran en un vértice, que se encuentra directamente sobre el punto medio de la base. Debido a esto, la altitud que va de P a la base se cruza con la base en su punto medio, lo que la convierte en la mediana de P a la base también, que es la misma para los otros dos lados.

Por lo tanto, en un triángulo isósceles, la altitud y la mediana son el mismo segmento de línea, que se muestra a través de la línea en negrita en la figura anterior.

El punto G es el centroide de & # 8710ABC.

(1) Si l (RG) = 2,5 luego l (GC) = .

(2) Si l (BG) = 6 luego l (BQ) = .

(3) Si l (AP) = 6 luego l (AG) = . yl (GP) = .

1) Si entonces, como sabemos que el centroide divide cada mediana en la razón 2: 1.

2) Si entonces, como sabemos que el centroide divide cada mediana en la razón 2: 1.

Dado que tenemos que encontrar I (BQ), y en la figura se puede ver que,

Por lo tanto, yo (BQ) = 6 + 3

3) Si entonces yl (GP) = 2, ya que sabemos que el centroide divide cada mediana en la razón 2: 1 -------- (i)


El Centro de gravedad es el mismo que el centroide cuando la densidad es la misma en todas partes.

Centro de gravedad, centro de masa y centroide son todos iguales para sólidos simples.

A menudo están marcados por un cruzar o punto y a veces las letras CG o solo GRAMO


Para un toro, el centroide está en el mismo centro.
(¡aunque no hay parte del toro allí!)


Para un cono sólido recto, el centroide está en
la línea central y & frac14 del camino desde la base

El centro de gravedad de un automóvil puede ser muy difícil de determinar, ya que hay mucho espacio vacío y materiales de diferente densidad (como el motor frente a los asientos).

Al hacer cálculos, a menudo podemos Reemplazar un objeto con su centro de gravedad..

Ejemplo: ¡Dejas caer un martillo!

Puede girar un poco, pero es el centro de gravedad caerá hacia abajo.

También cae cada vez más rápido debido a la gravedad.

(La única complicación es la resistencia del aire, que afecta más su movimiento a medida que avanza más rápido).

Una fuerza que va a través del centro de gravedad no causará ninguna rotación. De hecho, puede equilibrar un objeto apoyándolo directamente debajo de su centro de gravedad.


¡Crea y encuentra un centroide!

Puede aprender a encontrar el centroide y demostrarse a sí mismo que realmente es el centro de gravedad (CG) del triángulo, utilizando un trozo de cartón resistente (como cartulina o aglomerado), una regla, un lápiz y unas tijeras.

Usa la regla para dibujar cualquier tipo de triángulo que quieras: agudo, recto, obtuso. ¡En cada triángulo, el centroide siempre está dentro del triángulo!

Mide y localiza el punto medio de cada lado del triángulo. Marque el punto medio claramente. Conecta los tres puntos medios con sus vértices opuestos. Esas líneas son las medianas.

Donde las medianas se cruzan es el centroide. Recorta el triángulo con cuidado. Sosténgalo sobre su dedo índice, de modo que el centroide esté en la punta de su dedo. Déjalo ir con la otra mano. ¡El triángulo debe equilibrarse perfectamente!


Construya el centroide de & # xa0 Δ ABC cuyos lados sean AB = 6cm, BC = 7cm, & # xa0 y AC = 5cm

Dibuje & # xa0 ΔABC usando las medidas dadas. & # Xa0

Construya las bisectrices perpendiculares & # xa0 de dos lados cualesquiera & # xa0 (AC y BC) para encontrar los puntos medios & # xa0 D y E de AC & # xa0 y BC respectivamente.

Dibuja las medianas AE y & # xa0 BD y deja que se encuentren en G.

El punto G es el centroide del & # xa0 ΔABC dado.

Construya & # xa0 Δ ABC cuyos lados sean AB = 6cm, BC = 4cm y AC = 5.5cm y ubique & # xa0 su ortocentro.

Dibuje & # xa0 ΔABC usando las medidas dadas. & # Xa0

Construya altitudes desde cualesquiera dos vértices & # xa0 (A y C) a sus lados & # xa0 opuestos (BC y AB respectivamente).

El punto de intersección de las altitudes H es el ortocentro del & # xa0 Δ ABC dado.

¿Dónde está ubicado el ortocentro en cada tipo de triángulo?

Dibuja un ejemplo de cada tipo de triángulo y localiza su ortocentro.

Δ ABC es un triángulo agudo. Las tres altitudes se cruzan en G, un punto dentro del triángulo

ΔKLM & # xa0 es un triángulo rectángulo. Los dos tramos LM y KM, también son altitudes. Se cruzan en el ángulo recto del triángulo. & # Xa0 Esto implica que el ortocentro está & # xa0 en el triángulo en M, el vértice del ángulo recto del triángulo.

Δ YPR & # xa0 es un triángulo obtuso. Las tres líneas que contienen las altitudes se cruzan en W, un punto que está fuera del triángulo.

Encuentre las coordenadas del centroide de & # xa0 ΔJKL que se muestra a continuación. & # Xa0

Sabemos que el centroide está a dos tercios de la distancia desde cada vértice hasta el punto medio del lado opuesto.

Elija la mediana KN. Encuentre las coordenadas de N, el punto medio de JL.

Encuentre la distancia desde el vértice K hasta el punto medio N. La distancia desde K (5, 2) a N (5, 8) es 8 - 2 o 6 unidades.

Determine las coordenadas del centroide, que es 2/3 ⋅6 & # xa0 o & # xa0 4 unidades hacia arriba desde el vértice K a lo largo de la mediana KN. & # Xa0 & # xa0

Por tanto, las coordenadas del centroide & # xa0P son

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Línea Euler

En cualquier triángulo no equilátero el ortocentroH), la centroide (GRAMO) y el circuncentro (O) están alineados. La línea que contiene estos tres puntos se llama línea de Euler.

En un triángulo equilátero, los tres centros están en el mismo lugar.

Las distancias relativas entre los centros de los triángulos permanecen constantes.

Distancias entre centros:

Es cierto que la distancia del ortocentro (H) al centroide (GRAMO) es el doble que el centroide (GRAMO) al circuncentro (O). O dicho de otra manera, el HG segmento es el doble del VAMOS segmento:

Cuando el triángulo es equilátero, el baricentro, ortocentro, circuncentro e incentro coinciden en el mismo punto interior, que se encuentra a la misma distancia de los tres vértices.

Esta distancia a los tres vértices de un triángulo equilátero es igual a de un lado y, por tanto, al vértice, siendo h su altitud (o altura).