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10.4: Método de inversión - Matemáticas


Aquí hay una aplicación de inversión, que incluimos como ilustración; no lo usaremos más en el libro.

Teorema ( PageIndex {1} ) Identidad de Ptolomeo.

Sea (ABCD ) un cuadrilátero inscrito. Suponga que los puntos (A, B, C ) y (D ) aparecen en la línea circular en el mismo orden. Luego

(AB cdot CD + BC cdot DA = AC cdot BD. )

Prueba

Suponga que los puntos (A, B, C, D ) se encuentran en una línea en este orden.

Establezca (x = AB ), (y = BC ), (z = CD ). Tenga en cuenta que

(x cdot z + y cdot (x + y + z) = (x + y) cdot (y + z). )

Dado que (AC = x + y ), (BD = y + z ) y (DA = x + y + z ), prueba la identidad.

Queda por considerar el caso en el que el cuadrilátero (ABCD ) está inscrito en un círculo, digamos ( Gamma ).

La identidad se puede reescribir como

( dfrac {AB cdot DC} {BD cdot CA} + dfrac {BC cdot AD} {CA cdot DB} = 1. )

En el lado izquierdo tenemos dos relaciones cruzadas. Según el teorema 10.3.1a, el lado izquierdo no cambia si aplicamos una inversión a cada punto.

Considere una inversión en un círculo centrado en un punto (O ) que se encuentra en ( Gamma ) entre (A ) y (D ). Según el Teorema 10.3.2, esta inversión mapea ( Gamma ) a una línea. Esto reduce el problema al caso en que (A, B, C ) y (D ) se encuentran en una línea, que ya se consideró.

En la demostración anterior, reescribimos la identidad de Ptolomeo en una forma que es invariante con respecto a la inversión y luego aplicamos una inversión que hace que el enunciado sea evidente. La solución del siguiente ejercicio se basa en la misma idea; hay que elegir correctamente la inversión.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Suponga que cuatro círculos son mutuamente tangentes entre sí. Muestre que cuatro (entre seis) de sus puntos de tangencia se encuentran en una línea circular.

Pista

Rotula los puntos de tangencia con (X, Y, A, B, P ) y (Q ) como en el diagrama. Aplica una inversión con el centro en (P ). Observe que los dos círculos que son tangentes en (P ) se convierten en líneas paralelas y los dos círculos restantes son tangentes entre sí y estas dos líneas paralelas.

Tenga en cuenta que los puntos de tangencia (A '), (B' ), (X ') y (Y' ) con las líneas paralelas son vértices de un cuadrado; en particular, se encuentran en un círculo. Estos puntos son imágenes de (A, B, X ) y (Y ) bajo la inversión. Según el teorema 10.3.1, los puntos (A, B, X ) y (Y ) también se encuentran en una línea circular.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Suponga que tres círculos son tangentes entre sí y a dos líneas paralelas como se muestra en la imagen.

Muestre que la línea que pasa por (A ) y (B ) también es tangente a dos círculos en (A ).

Pista

Aplica la inversión en un círculo con centro (A ). El punto (A ) irá al infinito, los dos círculos tangentes en (A ) se convertirán en líneas paralelas y las dos líneas paralelas se convertirán en círculos tangentes en (A ); ver el diagrama.

Queda por mostrar que la línea discontinua ( (AB ')) es paralela a las otras dos líneas.


Eliminación de Gauss-Jordan

La eliminación de Gauss-Jordan es una extensión de la eliminación de Gauss, un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Ambos algoritmos utilizan operaciones de fila para resolver el sistema, sin embargo, la diferencia entre los dos es que la eliminación gaussiana ayuda a poner una matriz en forma escalonada de filas, mientras que la eliminación de Gauss-Jordan pone una matriz en forma escalonada de filas reducida. La eliminación de Gauss-Jordan es un método mucho menos eficiente para resolver sistemas de ecuaciones lineales, en comparación con la eliminación de Gauss, sin embargo, es un método excelente para calcular la inversa de una matriz.

Como ejemplo, calcularemos la inversa de la matriz (2 times 2 ) (A ).

Primero, unimos la matriz de identidad al lado derecho de (A ), luego aplicaremos operaciones de fila hasta que la matriz del lado izquierdo se reduzca a la matriz de identidad.

La inversa de la matriz es (A ) es la matriz (2 times 2 ) en el lado derecho.

Para nuestra implementación, hemos dividido el algoritmo en cuatro partes distintas:

  1. Añadiendo una matriz unitaria al lado derecho de nuestra matriz.
  2. Giro parcial para reducir los errores de redondeo, que es un efecto secundario negativo de la forma en que se almacenan los números en una computadora.
  3. Realización de operaciones de fila para reducir nuestra matriz a una matriz diagonal.
  4. Reducir la matriz diagonal a una matriz unitaria.

Hacemos que el método de inversión de Gauss-Jordan sea un miembro de nuestra clase de matriz y pasamos y devolvemos la matriz de salida como referencia, de esa manera evitamos crear y copiar objetos de matriz durante la llamada a la función.

Una de las ventajas del método Gauss-Jordan es que presenta menos operaciones aritméticas en comparación con otros métodos. La desventaja es que presenta muchas sentencias if y bucles que no se pueden desenrollar. Es por eso que se prefiere este método cuando se trabaja con matrices grandes o matrices con una estructura que se puede explotar.


Análisis matemático del método de inversión iterativa completa II

Un gas compuesto por moléculas isotrópicas idénticas tiene una energía potencial de interacción entre pares de partículas que depende únicamente de su distancia de separación. El potencial de par se codifica en los coeficientes viriales de la ecuación de estado virial para un gas. El método de inversión iterativa completa (CIIM) es un algoritmo empleado en un intento de recuperar el potencial de par del segundo coeficiente virial mediante aproximaciones sucesivas. En una investigación anterior identificamos una clase muy general de potenciales de par "admisibles" para los cuales los supuestos implícitos del CIIM son válidos: integrales impropias convergen, existen derivadas, etc. Además, mostramos que el CIIM no puede recuperar el potencial de par incluso si el potencial objetivo y la estimación inicial son infinitamente diferenciables. Para los potenciales analíticos de pares, se sabe que el segundo coeficiente virial determina de forma única el potencial. El presente trabajo representa un avance significativo en el desarrollo del marco matemático adecuado para confirmar este resultado de unicidad de potenciales analíticos admisibles dentro del universo de discurso del CIIM. En particular, formulamos la pregunta de convergencia CIIM como un problema clásico de punto fijo en el espacio métrico local de potenciales analíticos admisibles. Un resultado adicional muestra un conjunto de condiciones naturales simples suficientes para garantizar que el operador CIIM sea un automapa en un subespacio de potenciales analíticos "normales".


Muestreo por transformada inversa

Muestreo por transformada inversa (también conocido como muestreo de inversión, la transformada integral de probabilidad inversa, la método de transformación inversa, Transformación de Smirnov, o la regla de oro [1]) es un método básico para el muestreo de números pseudoaleatorios, es decir, para generar números de muestra al azar a partir de cualquier distribución de probabilidad dada su función de distribución acumulativa.

Transformación de muestra uniforme a normal
tu F - 1 (u) < Displaystyle F ^ <-1> (u)>
.5 0
.975 1.95996
.995 2.5758
.999999 4.75342
1-2 -52 8.12589

Elegimos aleatoriamente una proporción del área bajo la curva y devolvemos el número en el dominio de manera que exactamente esta proporción del área se encuentre a la izquierda de ese número. Intuitivamente, es poco probable que elijamos un número en el extremo más alejado de las colas porque hay muy poca área en ellas que requeriría elegir un número muy cercano a cero o uno.

Computacionalmente, este método implica calcular la función cuantílica de la distribución; en otras palabras, calcular la función de distribución acumulativa (CDF) de la distribución (que asigna un número en el dominio a una probabilidad entre 0 y 1) y luego invertir esa función. Esta es la fuente del término "inverso" o "inversión" en la mayoría de los nombres de este método. Tenga en cuenta que para una distribución discreta, calcular la CDF no es en general demasiado difícil: simplemente sumamos las probabilidades individuales para los diversos puntos de la distribución. Sin embargo, para una distribución continua, necesitamos integrar la función de densidad de probabilidad (PDF) de la distribución, lo cual es imposible de hacer analíticamente para la mayoría de las distribuciones (incluida la distribución normal). Como resultado, este método puede ser computacionalmente ineficiente para muchas distribuciones y se prefieren otros métodos; sin embargo, es un método útil para construir muestreadores de aplicación más general, como los basados ​​en el muestreo de rechazo.


Python3

  • Análisis de complejidad:
    • Complejidad del tiempo: O (n ^ 2), se necesitan dos bucles anidados para atravesar la matriz de principio a fin, por lo que la complejidad del tiempo es O (n ^ 2)
    • Espacio Complejidad:O (1), No se requiere espacio adicional.
    • Acercarse:
      Suponga el número de inversiones en la mitad izquierda y la mitad derecha de la matriz (sean inv1 e inv2). ¿Qué tipos de inversiones no se tienen en cuenta en Inv1 + Inv2? La respuesta es & # 8211 las inversiones que deben contarse durante el paso de fusión. Por lo tanto, para obtener el número total de inversiones que deben agregarse son el número de inversiones en el subarreglo izquierdo, el subarreglo derecho y merge ().

    • Cómo llegar la número de inversiones en merge ()?
      En el proceso de fusión, let i se usa para indexar la submatriz izquierda y j para la submatriz derecha. En cualquier paso de merge (), si a [i] es mayor que a [j], entonces hay inversiones (mid - i). porque los subarreglos izquierdo y derecho están ordenados, por lo que todos los elementos restantes en el subarreglo izquierdo (a [i + 1], a [i + 2]… a [mid]) serán mayores que a [j]
    • Algoritmo:
      1. La idea es similar a fusionar ordenación, dividir la matriz en dos mitades iguales o casi iguales en cada paso hasta que se alcance el caso base.
      2. Cree una función de combinación que cuente el número de inversiones cuando se combinan dos mitades de la matriz, cree dos índices i y j, i es el índice de la primera mitad y j es un índice de la segunda mitad. si a [i] es mayor que a [j], entonces hay inversiones (mid - i). debido a que los subarreglos izquierdo y derecho están ordenados, todos los elementos restantes en el subarreglo izquierdo (a [i + 1], a [i + 2]… a [mid]) serán mayores que a [j].
      3. Cree una función recursiva para dividir la matriz en mitades y encuentre la respuesta sumando el número de inversiones es la primera mitad, el número de inversiones en la segunda mitad y el número de inversiones fusionando las dos.
      4. El caso base de la recursividad es cuando solo hay un elemento en la mitad dada.
      5. Imprime la respuesta
    • Implementación:

    10.4.1. Intercambio de elementos de matriz¶

    Comenzaremos por presentarle un método simple, cuyo único propósito en la vida es intercambiar dos valores de datos en posiciones metro y norte en una matriz de enteros dada:

    En general, intercambiar dos valores en una matriz no es diferente a intercambiar dos números enteros. Supongamos que tenemos los siguientes enteros a y B :

    Una vez que este código hace su trabajo, el valor de a sería 35 y el valor de B sería 25.

    Entonces en el intercambio() función anterior, si tenemos dos elementos de matriz diferentes en las posiciones metro y norte , básicamente obtenemos cada valor en estas posiciones, p. ej. datos [m] y datos [n] y tratándolos como si fueran a y B en el código anterior.

    Puede que le resulte útil en este momento verificar que el código anterior hace lo que le decimos, y una buena forma es escribirlo directamente en el intérprete de C # (csharp) para que pueda verlo usted mismo.

    El intercambio() La función es vital para todos los algoritmos de clasificación de la siguiente manera. Se utiliza siempre que se detecten dos elementos fuera de servicio. Cuando esto ocurra, serán intercambiado. Esto no significa que el elemento llegue a su lugar de descanso final en la matriz. Simplemente significa que, por el momento, los elementos se han reordenado, por lo que estaremos más cerca de tener una matriz ordenada.

    Echemos un vistazo a los distintos algoritmos de ordenación.


    Inverso de un punto Editar

    Invertir un número en aritmética generalmente significa tomar su recíproco. Una idea muy relacionada en geometría es la de "invertir" un punto. En el avión, el inverso de un punto PAG con respecto a un círculo de referencia (Ø) con centro O y radio r es un punto PAG ', acostado sobre el rayo de O mediante PAG tal que

    Se llama inversión de círculo o inversión de plano. La inversión tomando cualquier punto PAG (otro que O) a su imagen PAG 'también toma PAG ' de regreso PAG, por lo que el resultado de aplicar la misma inversión dos veces es la transformación de identidad en todos los puntos del plano que no sean O (autoinversión). [1] [2] Para hacer de la inversión una involución es necesario introducir un punto en el infinito, un solo punto colocado en todas las líneas, y extender la inversión, por definición, para intercambiar el centro. O y este punto en el infinito.

    De la definición se deduce que la inversión de cualquier punto dentro del círculo de referencia debe estar fuera de él, y viceversa, con el centro y el punto en el infinito cambiando de posición, mientras que cualquier punto del círculo no se ve afectado (es invariante bajo inversión). En resumen, cuanto más cerca está un punto del centro, más lejos está su transformación, y viceversa.

    Construcción de brújula y regla

    Para construir la inversa PAG ' de un punto PAG fuera de un círculo Ø:

    • Dibuja el segmento de O (centro del círculo Ø) para PAG.
    • Dejar METRO ser el punto medio de OP.
    • Dibuja el circulo C con centro METRO ir a través PAG.
    • Dejar norte y N ' ser los puntos donde Ø y C intersecarse.
    • Dibujar segmento NN ' .
    • PAG ' es donde OP y NN ' intersecarse.

    Para construir la inversa PAG de un punto PAG ' dentro de un circulo Ø:

    • Dibujar rayo r desde O (centro del círculo Ø) mediante PAG ' .
    • Dibujar linea s mediante PAG ' perpendicular a r.
    • Dejar norte ser uno de los puntos donde Ø y s intersecarse.
    • Dibuja el segmento EN.
    • Dibujar linea t mediante norte perpendicular a EN.
    • PAG es donde ray r y linea t intersecarse.

    Construcción de Dutta Editar

    Hay una construcción del punto inverso para A con respecto a un círculo PAG eso es independiente de si A está adentro o afuera PAG. [3]

    Considere un círculo PAG con centro O y un punto A que puede estar dentro o fuera del círculo PAG.

    • Toma el punto de intersección C del rayo OA con el circulo PAG.
    • Conecta el punto C con un punto arbitrario B en el circulo PAG (diferente de C)
    • Refleja el rayo licenciado en Letras En la linea antes de Cristo y deja h ser el reflejo que corta el rayo jefe en un punto A’. A"Es el punto inverso de A con respecto al círculo PAG. [3] : § 3.2

    Propiedades Editar

    La inversa, con respecto al círculo rojo, de un círculo que atraviesa O (azul) es una línea que no pasa O (verde) y viceversa.

    La inversa, con respecto al círculo rojo, de un círculo. no ir a través O (azul) es un círculo que no atraviesa O (verde) y viceversa.

    La inversión con respecto a un círculo no asigna el centro del círculo al centro de su imagen

    La inversión de un conjunto de puntos en el plano con respecto a un círculo es el conjunto de inversas de estos puntos. Las siguientes propiedades hacen que la inversión de círculos sea útil.

    • Un círculo que pasa por el centro O del círculo de referencia se invierte a una línea que no pasa por O, pero paralelo a la tangente al círculo original en Oy viceversa, mientras que una línea que pasa por O se invierte en sí mismo (pero no invariante puntualmente). [4]
    • Un círculo que no pasa O se invierte a un círculo que no pasa a través O. Si el círculo se encuentra con el círculo de referencia, estos puntos invariantes de intersección también están en el círculo inverso. Un círculo (o línea) no cambia por inversión si y solo si es ortogonal al círculo de referencia en los puntos de intersección. [5]

    Las propiedades adicionales incluyen:

    • Si un circulo q pasa por dos puntos distintos A y A 'que son inversos con respecto a un círculo k, luego los círculos k y q son ortogonales.
    • Si los circulos k y q son ortogonales, luego una línea recta que pasa por el centro O de k y cruzando q, lo hace en puntos inversos con respecto a k.
    • Dado un triángulo OAB en el que O es el centro de un círculo k, y los puntos A 'y B' inversos de A y B con respecto a k, luego
    • Los puntos de intersección de dos círculos. pag y q ortogonal a un círculo k, son inversas con respecto a k.
    • Si M y M 'son puntos inversos con respecto a un círculo k en dos curvas my m ', también inversa con respecto a k, entonces las tangentes am y m 'en los puntos M y M' son perpendiculares a la línea recta MM 'o forman con esta línea un triángulo isósceles con base MM'.
    • La inversión deja inalterada la medida de los ángulos, pero invierte la orientación de los ángulos orientados. [6]

    Ejemplos en dos dimensiones Editar

    • La inversión de una línea es un círculo que contiene el centro de inversión o es la línea misma si contiene el centro
    • La inversión de un círculo es otro círculo o es una línea si el círculo original contiene el centro
    • La inversión de una parábola es cardioide.
    • La inversión de hipérbola es una lemniscata de Bernoulli.

    Aplicación Editar

    Para un círculo que no pasa por el centro de inversión, el centro del círculo que se invierte y el centro de su imagen bajo inversión son colineales con el centro del círculo de referencia. Este hecho puede usarse para probar que la línea de Euler del triángulo intouch de un triángulo coincide con su línea OI. La prueba es aproximadamente la siguiente:

    Invertir con respecto al círculo del triángulo A B C. El triángulo medial del triángulo intouch se invierte en triángulo A B C, es decir, el circuncentro del triángulo medial, es decir, el centro de nueve puntos del triángulo intouch, el incentro y el circuncentro del triángulo A B C son colineales.

    Cualquier dos círculos que no se crucen se pueden invertir en círculos concéntricos. Entonces, la distancia inversa (generalmente denotada como δ) se define como el logaritmo natural de la razón de los radios de los dos círculos concéntricos.

    Además, dos círculos cualesquiera que no se crucen se pueden invertir en círculos congruentes, utilizando un círculo de inversión centrado en un punto del círculo de antisimilitud.

    El enlace Peaucellier-Lipkin es una implementación mecánica de la inversión en un círculo. Proporciona una solución exacta al importante problema de convertir entre movimiento lineal y circular.

    Polo y polar Editar

    Si el punto R es el inverso del punto PAG luego las líneas perpendiculares a la línea PR a través de uno de los puntos es el polar del otro punto (el polo).

    Los polos y los polares tienen varias propiedades útiles:

    • Si un punto PAG yace en una línea l, luego el poste L de la linea l yace en el polar pag de punto PAG.
    • Si un punto PAG se mueve a lo largo de una línea l, es polar pag gira sobre el poste L de la linea l.
    • Si se pueden dibujar dos rectas tangentes desde un polo al círculo, entonces su polar pasa a través de ambos puntos tangentes.
    • Si un punto se encuentra en el círculo, su polar es la tangente que pasa por este punto.
    • Si un punto PAG se encuentra en su propia línea polar, entonces PAG está en el círculo.
    • Cada línea tiene exactamente un polo.

    Ejemplos en tres dimensiones Editar

    Esfera Editar

    La superficie más simple (además de un plano) es la esfera. La primera imagen muestra una inversión no trivial (el centro de la esfera no es el centro de inversión) de una esfera junto con dos lápices de círculos que se cruzan ortogonales.

    Cilindro, cono, toroide Editar

    La inversión de un cilindro, cono o toro da como resultado un ciclón de Dupin.

    Esferoide editar

    Un esferoide es una superficie de revolución y contiene un lápiz de círculos que está mapeado en un lápiz de círculos (ver imagen). La imagen inversa de un esferoide es una superficie de grado 4.

    Hiperboloide de una hoja Editar

    Un hiperboloide de una hoja, que es una superficie de revolución, contiene un lápiz de círculos que está mapeado en un lápiz de círculos. Un hiperboloide de una hoja contiene dos lápices de líneas adicionales, que se asignan a lápices de círculos. La imagen muestra una de esas líneas (azul) y su inversión.

    Proyección estereográfica como inversión de una esfera Editar

    Coordenadas de 6 esferas Editar

    Las coordenadas de 6 esferas son un sistema de coordenadas para el espacio tridimensional obtenido al invertir las coordenadas cartesianas.

    Uno de los primeros en considerar los fundamentos de la geometría inversa fue Mario Pieri en 1911 y 1912. [7] Edward Kasner escribió su tesis sobre la "Teoría invariante del grupo de inversión". [8]

    Más recientemente, la estructura matemática de la geometría inversa se ha interpretado como una estructura de incidencia donde los círculos generalizados se denominan "bloques": en la geometría de incidencia, cualquier plano afín junto con un solo punto en el infinito forma un plano de Möbius, también conocido como plano inverso. El punto en el infinito se agrega a todas las líneas. Estos planos de Möbius se pueden describir axiomáticamente y existen tanto en versiones finitas como infinitas.

    Un modelo para el plano de Möbius que proviene del plano euclidiano es la esfera de Riemann.

    Según Coxeter, [9] la transformación por inversión en círculo fue inventada por L. I. Magnus en 1831. Desde entonces, este mapeo se ha convertido en una vía hacia las matemáticas superiores. A través de algunos pasos de aplicación del mapa de inversión circular, un estudiante de geometría de transformación pronto aprecia la importancia del programa Erlangen de Felix Klein, una consecuencia de ciertos modelos de geometría hiperbólica.

    Dilatación Editar

    La combinación de dos inversiones en círculos concéntricos da como resultado una similitud, transformación homotética o dilatación caracterizada por la relación de los radios de los círculos.

    Reciprocación Editar

    En consecuencia, la forma algebraica de la inversión en un círculo unitario viene dada por z ↦ w < displaystyle z mapsto w> donde:

    La reciprocidad es clave en la teoría de la transformación como generadora del grupo Möbius. Los otros generadores son la traslación y la rotación, ambos familiares a través de manipulaciones físicas en el 3-espacio ambiental. La introducción de la reciprocidad (que depende de la inversión del círculo) es lo que produce la naturaleza peculiar de la geometría de Möbius, que a veces se identifica con la geometría inversa (del plano euclidiano). Sin embargo, la geometría inversa es el estudio más amplio, ya que incluye la inversión bruta en un círculo (aún no realizado, con conjugación, en reciprocidad). La geometría inversora también incluye el mapeo de conjugación. Ni la conjugación ni la inversión en un círculo están en el grupo de Möbius ya que no son conformes (ver más abajo). Los elementos del grupo de Möbius son funciones analíticas de todo el plano y, por lo tanto, son necesariamente conformes.

    Transformar círculos en círculos Editar

    Considere, en el plano complejo, el círculo de radio r < displaystyle r> alrededor del punto a

    es sencillo demostrar que w < displaystyle w> obedece a la ecuación

    Geometría superior Editar

    Como se mencionó anteriormente, cero, el origen, requiere una consideración especial en el mapeo de inversión circular. El enfoque consiste en unir un punto en el infinito designado como ∞ o 1/0. En el enfoque de números complejos, donde la reciprocidad es la operación aparente, este procedimiento conduce a la línea proyectiva compleja, a menudo llamada esfera de Riemann. Fueron los subespacios y subgrupos de este espacio y grupo de mapeos los que se aplicaron para producir los primeros modelos de geometría hiperbólica de Beltrami, Cayley y Klein. Así, la geometría inversa incluye las ideas originadas por Lobachevsky y Bolyai en su geometría plana. Además, Felix Klein estaba tan abrumado por esta facilidad de mapeo para identificar fenómenos geométricos que entregó un manifiesto, el programa Erlangen, en 1872. Desde entonces, muchos matemáticos reservan el término geometría para un espacio junto con un grupo de mapeos de ese espacio. Las propiedades significativas de las figuras en la geometría son las que son invariantes en este grupo.

    Por ejemplo, Smogorzhevsky [10] desarrolla varios teoremas de geometría inversa antes de comenzar la geometría lobachevskiana.

    En norte-espacio dimensional donde hay una esfera de radio r, inversión en la esfera es dado por

    La transformación por inversión en hiperplanos o hiperesferas en E norte se puede utilizar para generar dilataciones, traslaciones o rotaciones. De hecho, dos hiperesferas concéntricas, utilizadas para producir inversiones sucesivas, dan como resultado una dilatación o contracción en el centro de las hiperesferas. Tal mapeo se llama similitud.

    Cuando se utilizan dos hiperplanos paralelos para producir reflexiones sucesivas, el resultado es una traducción. Cuando dos hiperplanos se cruzan en un (norte-2) -plano, las reflexiones sucesivas producen una rotación en la que cada punto del (norte–2) -flat es un punto fijo de cada reflejo y, por tanto, de la composición.

    Todos estos son mapas conformes y, de hecho, donde el espacio tiene tres o más dimensiones, los mapeos generados por inversión son los únicos mapeos conformes. El teorema de Liouville es un teorema clásico de geometría conforme.

    La adición de un punto en el infinito al espacio obvia la distinción entre hiperplano e hiperesfera.La geometría inversa dimensional superior se estudia con frecuencia en el supuesto contexto de una norte-esfera como espacio base. Las transformaciones de la geometría inversa a menudo se denominan transformaciones de Möbius. La geometría inversora se ha aplicado al estudio de coloraciones, o particiones, de una norte-esfera. [11]

    El mapa de inversión circular es anticonformal, lo que significa que en cada punto conserva ángulos e invierte la orientación (un mapa se llama conforme si conserva orientado anglos). Algebraicamente, un mapa es anticonformal si en cada punto el jacobiano es un escalar por una matriz ortogonal con determinante negativo: en dos dimensiones el jacobiano debe ser un escalar por un reflejo en cada punto. Esto significa que si J es el jacobiano, entonces J ⋅ J T = k I < displaystyle J cdot J ^= kI> y det (J) = - k. < Displaystyle det (J) = - < sqrt >.> Computando el jacobiano en el caso zI = XI/|| X || 2, donde || X || 2 = X1 2 + . + Xnorte 2 da JJ T = kI , con k = 1/|| X || 4, y además det (J) es negativo, por lo tanto, el mapa inverso es anticonformal.

    En el plano complejo, el mapa de inversión de círculo más obvio (es decir, utilizando el círculo unitario centrado en el origen) es el conjugado complejo del mapa inverso complejo tomando z a 1/z. El mapa inverso analítico complejo es conforme y su conjugado, inversión circular, es anticonformal. En este caso, una homografía es conforme, mientras que una anti-homografía es anticonformal.

    tendrá un radio positivo si a1 2 + . + anorte 2 es mayor que C, y en la inversión da la esfera

    Por lo tanto, será invariante bajo inversión si y solo si C = 1. Pero esta es la condición de ser ortogonal a la esfera unitaria. Por lo tanto, nos vemos llevados a considerar el (norte - 1) -esferas con ecuación

    que son invariantes bajo inversión, ortogonales a la esfera unitaria y tienen centros fuera de la esfera. Estos, junto con los hiperplanos subespaciales que separan los hemisferios, son las hipersuperficies del modelo de disco de Poincaré de geometría hiperbólica.

    Dado que la inversión en la esfera unitaria deja las esferas ortogonales a ella invariantes, la inversión mapea los puntos dentro de la esfera unitaria hacia el exterior y viceversa. Por lo tanto, esto es cierto en general para las esferas ortogonales y, en particular, la inversión en una de las esferas ortogonales a la esfera unitaria asigna la esfera unitaria a sí misma. También mapea el interior de la esfera unitaria a sí misma, con puntos fuera de la esfera ortogonal mapeando el interior, y viceversa esto define los reflejos del modelo de disco de Poincaré si también incluimos con ellos los reflejos a través de los diámetros que separan los hemisferios de la esfera unitaria . Estas reflexiones generan el grupo de isometrías del modelo, lo que nos dice que las isometrías son conformes. Por tanto, el ángulo entre dos curvas en el modelo es el mismo que el ángulo entre dos curvas en el espacio hiperbólico.


    Revista SIAM de Ciencias de la Imagen

    El mapeo cuantitativo de susceptibilidad (QSM) es una nueva técnica de imágenes médicas que puede visualizar la susceptibilidad magnética, cuyos cambios en el tejido indican varios procesos de enfermedad que involucran el transporte de hierro. El problema inverso de QSM es recuperar la distribución de susceptibilidad del cuerpo humano a partir del campo local medido que se expresa por la convolución de la distribución de susceptibilidad con el campo magnético generado por un dipolo unitario. El problema inverso está mal planteado debido a la presencia de ceros en un cono en la representación de Fourier del núcleo del dipolo unitario. Los métodos de reconstrucción se han mejorado enormemente para proporcionar una mejor recuperación de los datos de susceptibilidad tisular para QSM, y se han buscado varias aplicaciones clínicas. Sin embargo, aún no se han presentado análisis matemáticos rigurosos para el problema inverso, como demostraciones de la existencia y unicidad de soluciones y caracterizaciones de errores. Este documento proporciona por primera vez no solo un fundamento teórico para QSM, sino también la causa subyacente de los artefactos rayados.


    El método es muy simple, así que lo describiré con palabras sencillas. Primero, tome la función de distribución acumulativa $ F_X $ de alguna distribución de la que desee tomar una muestra. La función toma como entrada un valor $ x $ y le dice cuál es la probabilidad de obtener $ X leq x $. Entonces

    inversa de dicha función, $ F_X ^ <-1> $ tomaría $ p $ como entrada y devolvería $ x $. Observe que $ p


    Ver el vídeo: Área de financiación e inversión 4: Métodos de selección estáticos (Noviembre 2021).