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11.4: Fracciones parciales - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

Descomponer ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ), donde

  • (Q (x) ) solo tiene factores lineales no repetidos.
  • (Q (x) ) tiene factores lineales repetidos.
  • (Q (x) ) tiene un factor cuadrático irreducible no repetido.
  • (Q (x) ) tiene un factor cuadrático irreducible repetido.

Anteriormente en este capítulo, estudiamos sistemas de dos ecuaciones en dos variables, sistemas de tres ecuaciones en tres variables y sistemas no lineales. Aquí presentamos otra forma en que se pueden utilizar los sistemas de ecuaciones: la descomposición de expresiones racionales. Las fracciones pueden ser complicadas; agregar una variable en el denominador los hace aún más. Los métodos estudiados en esta sección ayudarán a simplificar el concepto de expresión racional.

Descomponer ( frac {P (x)} {Q (x)} ) donde (Q (x) ) tiene solo factores lineales no repetidos

Recuerda el álgebra con respecto a sumar y restar expresiones racionales. Estas operaciones dependen de encontrar un denominador común para que podamos escribir la suma o diferencia como una sola expresión racional simplificada. En esta sección, veremos descomposición de fracción parcial, que es la reversión del procedimiento para sumar o restar expresiones racionales. En otras palabras, es un retorno del único simplificado expresión racional a las expresiones originales, llamado el fracciones parciales.

Por ejemplo, supongamos que sumamos las siguientes fracciones:

[ dfrac {2} {x − 3} + dfrac {−1} {x + 2} nonumber ]

Primero necesitaríamos encontrar un denominador común: ((x + 2) (x − 3) ).

A continuación, escribiríamos cada expresión con este denominador común y hallaríamos la suma de los términos.

[ begin {align *} dfrac {2} {x-3} left ( dfrac {x + 2} {x + 2} right) + dfrac {-1} {x + 2} left ( dfrac {x-3} {x-3} right) & = dfrac {2x + 4-x + 3} {(x + 2) (x-3)} [4pt] & = dfrac {x + 7} {x ^ 2-x-6} end {align *} ]

Fracción parcial descomposición es el reverso de este procedimiento. Comenzaríamos con la solución y la reescribiríamos (descompondríamos) como la suma de dos fracciones.

[ underbrace { dfrac {x + 7} {x ^ 2-x-6}} _ { text {Suma simplificada}} = underbrace { dfrac {2} {x-3} + dfrac {- 1} {x + 2}} _ { text {Descomposición de fracción parcial}} nonumber ]

Investigaremos expresiones racionales con factores lineales y factores cuadráticos en el denominador donde el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Independientemente del tipo de expresión que estemos descomponiendo, lo primero y más importante que debemos hacer es factorizar el denominador.

Cuando el denominador de la expresión simplificada contiene distintos factores lineales, es probable que cada una de las expresiones racionales originales, que fueron sumadas o restadas, tuvieran uno de los factores lineales como denominador. En otras palabras, usando el ejemplo anterior, los factores de (x ^ 2 − x − 6 ) son ((x − 3) (x + 2) ), los denominadores de la expresión racional descompuesta. Entonces, reescribiremos la forma simplificada como la suma de fracciones individuales y usaremos una variable para cada numerador. Luego, resolveremos para cada numerador usando uno de los varios métodos disponibles para la descomposición de fracciones parciales.

LA DESCOMPOSICIÓN DE LA FRACCIÓN PARCIAL DE ( frac {P (x)} {Q (x)} ): (Q (x) ) TIENE FACTORES LINEALES NO REPETIDOS

El descomposición de fracción parcial de ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ) cuando (Q (x) ) tiene factores lineales no repetidos y el grado de (P (x) ) es menor que el grado de (Q (x) ) es

[ dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A_1} {(a_1x + b_1)} + dfrac {A_2} {(a_2x + b_2)} + dfrac {A_3} {( a_3x + b_3)} + ⋅⋅⋅ + dfrac {A_n} {(a_nx + b_n)} ]

Cómo: Dada una expresión racional con distintos factores lineales en el denominador, descomponerla

  1. Use una variable para los numeradores originales, generalmente (A ), (B ) o (C ), según la cantidad de factores, colocando cada variable sobre un solo factor. Para el propósito de esta definición, usamos (A_n ) para cada numerador

    ( dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A_1} {(a_1x + b_1)} + dfrac {A_2} {(a_2x + b_2)} + dfrac {A_3} {( a_3x + b_3)} + ⋅⋅⋅ + dfrac {A_n} {(a_nx + b_n)} )

  2. Multiplica ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar fracciones.
  3. Expande el lado derecho de la ecuación y reúne términos semejantes.
  4. Establezca coeficientes de términos semejantes del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho para crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Descomposición de una función racional con factores lineales distintos

Descompón la expresión racional dada con distintos factores lineales.

( dfrac {3x} {(x + 2) (x − 1)} )

Solución

Separaremos los factores del denominador y le daremos a cada numerador una etiqueta simbólica, como (A ), (B ) o (C ).

( dfrac {3x} {(x + 2) (x − 1)} = dfrac {A} {(x + 2)} + dfrac {B} {(x − 1)} )

Multiplica ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones:

((x + 2) (x − 1) left [ dfrac {3x} {(x + 2) (x − 1)} right] = (x + 2) (x − 1) left [ dfrac {A} {(x + 2)} right] + (x + 2) (x − 1) left [ dfrac {B} {(x − 1)} right] )

La ecuación resultante es

(3x = A (x − 1) + B (x + 2) )

Expande el lado derecho de la ecuación y reúne términos semejantes.

[ begin {align *} 3x & = Ax-A + Bx + 2B [4pt] 3x & = (A + B) x-A + 2B end {align *} ]

Establezca un sistema de ecuaciones que asocie los coeficientes correspondientes.

[ begin {align *} 3 & = A + B [4pt] 0 & = -A + 2B end {align *} ]

Suma las dos ecuaciones y resuelve (B ).

[ begin {align *} 3 & = A + B [4pt] underline {0} & = underline {-A + 2B} [4pt] 3 & = 0 + 3B [4pt] 1 & = B end {align *} ]

Sustituye (B = 1 ) en una de las ecuaciones originales del sistema.

[ begin {align *} 3 & = A + 1 [4pt] 2 & = A end {align *} ]

Por tanto, la descomposición de la fracción parcial es

( dfrac {3x} {(x + 2) (x − 1)} = dfrac {2} {(x + 2)} + dfrac {1} {(x − 1)} )

Otro método a utilizar para resolver (A ) o (B ) es considerar la ecuación que resultó de eliminar las fracciones y sustituir un valor por (x ) que hará que (A- ) o (B - ) término igual a 0. Si dejamos (x = 1 ), el

(A- ) término se convierte en 0 y simplemente podemos resolver para (B ).

[ begin {align *} 3x & = A (x-1) + B (x + 2) [4pt] 3 (1) & = A [(1) -1] + B [(1) +2 ] [4pt] 3 & = 0 + 3B [4pt] 1 & = B end {align *} ]

Luego, sustituya (B = 1 ) en la ecuación y resuelva para (A ), o haga el término (B - ) (0 ) sustituyendo (x = −2 ) en el ecuación.

[ begin {align *} 3x & = A (x-1) + B (x + 2) [4pt] 3 (-2) & = A [(- 2) -1] + B [(- 2 ) +2] [4pt] -6 & = -3A + 0 [4pt] dfrac {-6} {- 3} & = A [4pt] 2 & = A end {align *} ]

Obtenemos los mismos valores para (A ) y (B ) usando cualquier método, por lo que las descomposiciones son las mismas usando cualquier método.

( dfrac {3x} {(x + 2) (x − 1)} = dfrac {2} {(x + 2)} + dfrac {1} {(x − 1)} )

Aunque este método no se ve muy a menudo en los libros de texto, lo presentamos aquí como una alternativa que puede facilitar algunas descomposiciones de fracciones parciales. Es conocido como el Método Heaviside, llamado así por Charles Heaviside, un pionero en el estudio de la electrónica.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Encuentra la descomposición en fracciones parciales de la siguiente expresión.

( dfrac {x} {(x − 3) (x − 2)} )

Respuesta

( dfrac {3} {x − 3} - dfrac {2} {x − 2} )

Descomponer ( frac {P (x)} {Q (x)} ) donde (Q (x) ) tiene factores lineales repetidos

Algunas fracciones que podemos encontrar son casos especiales que podemos descomponer en fracciones parciales con factores lineales repetidos. Debemos recordar que explicamos los factores repetidos escribiendo cada factor en potencias crecientes.

LA DESCOMPOSICIÓN DE LA FRACCIÓN PARCIAL DE ( frac {P (x)} {Q (x)} ): (Q (x) ) TIENE FACTORES LINEALES REPETIDOS

La descomposición en fracción parcial de ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ), cuando (Q (x) ) tiene un factor lineal repetido que ocurre n n veces y el grado de (P (x ) ) es menor que el grado de (Q (x) ), es

[ dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A_1} {(a_1x + b_1)} + dfrac {A_2} {(a_2x + b_2)} + dfrac {A_3} {( a_3x + b_3)} + ⋅⋅⋅ + dfrac {A_n} {(a_nx + b_n)} ]

Escribe las potencias del denominador en orden creciente.

Cómo: descomponer una expresión racional con factores lineales repetidos

  1. Use una variable como (A ), (B ) o (C ) para los numeradores y tenga en cuenta las potencias crecientes de los denominadores. [ Dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A_1} {(a_1x + b_1)} + dfrac {A_2} {(a_2x + b_2)} + dfrac {A_3} {(a_3x + b_3)} + ⋅⋅⋅ + dfrac {A_n} { (a_nx + b_n)} ]
  2. Multiplica ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar fracciones.
  3. Expande el lado derecho de la ecuación y reúne términos semejantes.
  4. Establezca coeficientes de términos semejantes del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho para crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): descomposición con factores lineales repetidos

Descompón la expresión racional dada con factores lineales repetidos.

( dfrac {−x ^ 2 + 2x + 4} {x ^ 3−4x ^ 2 + 4x} )

Solución

Los factores del denominador son (x {(x − 2)} ^ 2 ). Para permitir el factor repetido de ((x − 2) ), la descomposición incluirá tres denominadores: (x ), ((x − 2) ) y ({(x − 2)} ^ 2 ). Por lo tanto,

( dfrac {−x ^ 2 + 2x + 4} {x ^ 3−4x ^ 2 + 4x} = dfrac {A} {x} + dfrac {B} {(x − 2)} + dfrac {C} {{(x − 2)} ^ 2} )

A continuación, multiplicamos ambos lados por el denominador común.

[ begin {align *} x {(x-2)} ^ 2 left [ dfrac {-x ^ 2 + 2x + 4x} {{(x-2)} ^ 2} right] & = izquierda [ dfrac {A} {x} + dfrac {B} {(x-2)} + dfrac {C} {{(x-2)} ^ 2} right] x {(x-2) } ^ 2 [4pt] -x ^ 2 + 2x + 4 & = A {(x-2)} ^ 2 + Bx (x-2) + Cx end {align *} ]

En el lado derecho de la ecuación, expandimos y recopilamos términos semejantes.

[ begin {align *} -x ^ 2 + 2x + 4 & = A (x ^ 2-4x + 4) + B (x ^ 2-2x) + Cx [4pt] & = Ax ^ 2-4Ax + 4A + Bx ^ 2-2Bx + Cx [4pt] & = (A + B) x ^ 2 + (- 4A-2B + C) x + 4A end {align *} ]

A continuación, comparamos los coeficientes de ambos lados. Esto le dará al sistema de ecuaciones en tres variables:

Resolviendo para (A ) en la Ecuación ref {2.3}, tenemos

[ begin {align *} 4A & = 4 [4pt] A & = 1 end {align *} ]

Sustituya (A = 1 ) en la ecuación ref {2.1}.

Luego, para resolver (C ), sustituya los valores de (A ) y (B ) en la Ecuación ref {2.2}.

[ begin {align *} -4A-2B + C & = 2 [4pt] -4 (1) -2 (-2) + C & = 2 [4pt] -4 + 4 + C & = 2 [4pt] C & = 2 end {align *} ]

Por lo tanto,

( dfrac {−x ^ 2 + 2x + 4} {x ^ 3−4x ^ 2 + 4x} = dfrac {1} {x} - dfrac {2} {(x − 2)} + dfrac {2} {{(x − 2)} ^ 2} )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Encuentra la descomposición en fracciones parciales de la expresión con factores lineales repetidos.

( dfrac {6x − 11} {{(x − 1)} ^ 2} )

Respuesta

[ dfrac {6} {x − 1} - dfrac {5} {{(x − 1)} ^ 2} nonumber ]

Descomponer ( frac {P (x)} {Q (x)} ), donde (Q (x) ) tiene un factor cuadrático irreducible no repetido

Hasta ahora, hemos realizado una descomposición de fracciones parciales con expresiones que han tenido factores lineales en el denominador y hemos aplicado numeradores (A ), (B ) o (C ) que representan constantes. Ahora veremos un ejemplo donde uno de los factores en el denominador es una expresión cuadrática que no factoriza. Esto se conoce como factor cuadrático irreducible. En casos como este, usamos un numerador lineal como (Ax + B ), (Bx + C ), etc.

LA DESCOMPOSICIÓN DE ( frac {P (x)} {Q (x)} ): (Q (x) ) TIENE UN FACTOR CUADRÁTICO IRREDUCIBLE NO REPETIDO

La descomposición en fracción parcial de ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ) tal que (Q (x) ) tiene un factor cuadrático irreducible no repetido y el grado de (P (x) ) es menor que el grado de (Q (x) ) se escribe como

[ dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A_1x + B_1} {(a_1x ^ 2 + b1_x + c_1)} + dfrac {A_2x + B_2} {(a_2x ^ 2 + b_2x + c_2)} + ⋅⋅⋅ + dfrac {A_nx + B_n} {(a_nx ^ 2 + b_nx + c_n)} ]

La descomposición puede contener expresiones más racionales si hay factores lineales. Cada factor lineal tendrá un numerador constante diferente: (A ), (B ), (C ), etc.

Cómo: descomponer una expresión racional donde los factores del denominador son factores cuadráticos distintos e irreducibles

  1. Utilice variables como (A ), (B ) o (C ) para los numeradores constantes sobre factores lineales y expresiones lineales como (A_1x + B_1 ), (A_2x + B_2 ) , etc., para los numeradores de cada factor cuadrático en el denominador.

    ( dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A} {ax + b} + dfrac {A_1x + B_1} {(a_1x ^ 2 + b1_x + c_1)} + dfrac { A_2x + B_2} {(a_2x ^ 2 + b_2x + c_2)} + ⋅⋅⋅ + dfrac {A_nx + B_n} {(a_nx ^ 2 + b_nx + c_n)} )

  2. Multiplica ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar fracciones.
  3. Expande el lado derecho de la ecuación y reúne términos semejantes.
  4. Establezca coeficientes de términos semejantes del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho para crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Descomposición ( frac {P (x)} {Q (x)} ) cuando (Q (x) ) contiene un factor cuadrático irreducible no repetido

Encuentra una descomposición en fracción parcial de la expresión dada.

( dfrac {8x ^ 2 + 12x − 20} {(x + 3) (x ^ 2 + x + 2)} )

Solución

Tenemos un factor lineal y un factor cuadrático irreducible en el denominador, por lo que un numerador será una constante y el otro numerador será una expresión lineal. Por lo tanto,

( dfrac {8x ^ 2 + 12x − 20} {(x + 3) (x ^ 2 + x + 2)} = dfrac {A} {(x + 3)} + dfrac {Bx + C} {(x ^ 2 + x + 2)} )

Seguimos los mismos pasos que en problemas anteriores. Primero, borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el denominador común.

[ begin {align *} (x + 3) (x ^ 2 + x + 2) left [ dfrac {8x ^ 2 + 12x-20} {(x + 3) (x ^ 2 + x + 2 )} right] & = left [ dfrac {A} {(x + 3)} + dfrac {Bx + C} {(x ^ 2 + x + 2)} right] (x + 3) ( x ^ 2 + x + 2) [4pt] 8x ^ 2 + 12x-20 & = A (x ^ 2 + x + 2) + (Bx + C) (x + 3) end {align *} ]

Observe que podemos resolver fácilmente (A ) eligiendo un valor para (x ) que haga que el término (Bx + C ) sea igual a (0 ). Sea (x = −3 ) y sustitúyalo en la ecuación.

[ begin {align *} 8x ^ 2 + 12x-20 & = A (x ^ 2 + x + 2) + (Bx + C) (x + 3) [4pt] 8 {(- 3)} ^ 2 + 12 (-3) -20 & = A ({(- 3)} ^ 2 + (- 3) +2) + (B (-3) + C) ((- 3) +3) [4pt ] 16 & = 8A [4pt] A & = 2 end {align *} ]

Ahora que conocemos el valor de (A ), reemplácelo de nuevo en la ecuación. Luego expanda el lado derecho y recopile términos similares.

[ begin {align *} 8x ^ 2 + 12x-20 & = 2 (x ^ 2 + x + 2) + (Bx + C) (x + 3) [4pt] 8x ^ 2 + 12x-20 & = 2x ^ 2 + 2x + 4 + Bx ^ 2 + 3B + Cx + 3C [4pt] 8x ^ 2 + 12x-20 & = (2 + B) x ^ 2 + (2 + 3B + C) x + (4+ 3C) end {align *} ]

Si los coeficientes de los términos del lado derecho se igualan a los coeficientes de los términos del lado izquierdo, se obtiene el sistema de ecuaciones.

Resuelva para (B ) usando la Ecuación ref {3.1}

[ begin {align *} 2 + B & = 8 label {1} ​​ [4pt] B & = 6 end {align *}

y resuelva para (C ) usando la Ecuación ref {3.3}.

Por tanto, la descomposición de la fracción parcial de la expresión es

[ dfrac {8x ^ 2 + 12x − 20} {(x + 3) (x ^ 2 + x + 2)} = dfrac {2} {(x + 3)} + dfrac {6x − 8} {(x ^ 2 + x + 2)} nonumber ]

Preguntas y respuestas: ¿Podríamos haber creado un sistema de ecuaciones para resolver el ejemplo anterior?

Sí, podríamos haberlo resuelto estableciendo un sistema de ecuaciones sin resolver primero (A ). La expansión de la derecha sería:

[ begin {align *} 8x ^ 2 + 12x-20 & = Ax ^ 2 + Ax + 2A + Bx ^ 2 + 3B + Cx + 3C [4pt] 8x ^ 2 + 12x-20 & = (A + B ) x ^ 2 + (A + 3B + C) x + (2A + 3C) end {align *} ]

Entonces el sistema de ecuaciones sería:

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Encuentre la descomposición en fracciones parciales de la expresión con un factor cuadrático irreducible no repetible.

[ dfrac {5x ^ 2−6x + 7} {(x − 1) (x ^ 2 + 1)} nonumber ]

Respuesta

( dfrac {3} {x − 1} + dfrac {2x − 4} {x ^ 2 + 1} )

Descomponer ( frac {P (x)} {Q (x)} ) cuando (Q (x) ) tiene un factor cuadrático irreducible repetido

Ahora que podemos descomponer una expresión racional simplificada con un factor cuadrático irreducible, aprenderemos cómo hacer la descomposición de fracciones parciales cuando la expresión racional simplificada tiene factores cuadráticos irreducibles repetidos. La descomposición consistirá en fracciones parciales con numeradores lineales sobre cada factor cuadrático irreducible representado en potencias crecientes.

DESCOMPOSICIÓN DE ( frac {P (x)} {Q (x)} ) CUANDO (Q (X) ) TIENE UN FACTOR CUADRÁTICO IRREDUCIBLE REPETIDO

La descomposición en fracción parcial de ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ), cuando (Q (x) ) tiene un factor cuadrático irreducible repetido y el grado de (P (x) ) es menor que el grado de (Q (x) ), es

[ dfrac {P (x)} {{(ax ^ 2 + bx + c)} ^ n} = dfrac {A_1x + B_1} {(ax ^ 2 + bx + c)} + dfrac {A_2x + B_2} {{(ax ^ 2 + bx + c)} ^ 2} + dfrac {A_3x + B_3} {{(ax ^ 2 + bx + c)} ^ 3} + ⋅⋅⋅ + dfrac {A_nx + B_n} {{(ax ^ 2 + bx + c)} ^ n} ]

Escribe los denominadores en potencias crecientes.

Cómo: descomponer una expresión racional que tiene un factor irreducible repetido

  1. Utilice variables como (A ), (B ) o (C ) para los numeradores constantes sobre factores lineales y expresiones lineales como (A_1x + B_1 ), (A_2x + B_2 ), etc., para los numeradores de cada factor cuadrático en el denominador escrito en potencias crecientes, como

    ( dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A} {ax + b} + dfrac {A_1x + B_1} {(ax ^ 2 + bx + c)} + dfrac { A_2x + B_2} {{(ax ^ 2 + bx + c)} ^ 2} + ⋅⋅⋅ + dfrac {A_nx + B_n} {{(ax ^ 2 + bx + c)} ^ n} )

  2. Multiplica ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar fracciones.
  3. Expande el lado derecho de la ecuación y reúne términos semejantes.
  4. Establezca coeficientes de términos semejantes del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho para crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): descomposición de una función racional con un factor cuadrático irreducible repetido en el denominador

Descompón la expresión dada que tiene un factor irreducible repetido en el denominador.

( dfrac {x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 − x + 1} {x {(x ^ 2 + 1)} ^ 2} )

Solución

Los factores del denominador son (x ), ((x ^ 2 + 1) ) y ({(x ^ 2 + 1)} ^ 2 ). Recuerde que, cuando un factor en el denominador es un cuadrático que incluye al menos dos términos, el numerador debe tener la forma lineal (Ax + B ). Entonces, comencemos la descomposición.

( dfrac {x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 − x + 1} {x {(x ^ 2 + 1)} ^ 2} = dfrac {A} {x} + dfrac {Bx + C} {(x ^ 2 + 1)} + dfrac {Dx + E} {{(x ^ 2 + 1)} ^ 2} )

Eliminamos los denominadores multiplicando cada término por (x {(x ^ 2 + 1)} ^ 2 ). Por lo tanto,

[ begin {align *} x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2-x + 1 & = A {(x ^ 2 + 1)} ^ 2+ (Bx + C) (x) (x ^ 2 + 1) + (Dx + E) (x) [4pt] x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2-x + 1 & = A (x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1) + Bx ^ 4 + Bx ^ 2 + Cx ^ 3 + Cx + Dx ^ 2 + Ex qquad text {Expandir el lado derecho.} [4pt] & = Ax ^ 4 + 2Ax ^ 2 + A + Bx ^ 4 + Bx ^ 2 + Cx ^ 3 + Cx + Dx ^ 2 + Ex end {align *} ]

Ahora recopilaremos términos similares.

(x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 − x + 1 = (A + B) x ^ 4 + (C) x ^ 3 + (2A + B + D) x ^ 2 + (C + E) x + A )

Configure el sistema de ecuaciones que coincidan con los coeficientes correspondientes en cada lado del signo igual.

[ begin {align *} A + B & = 1 [4pt] C & = 1 [4pt] 2A + B + D & = 1 [4pt] C + E & = -1 [4pt] A & = 1 end {align *} ]

Podemos usar la sustitución desde este punto. Sustituye (A = 1 ) en la primera ecuación.

[ begin {align *} 1 + B & = 1 [4pt] B & = 0 end {align *} ]

Sustituye (A = 1 ) y (B = 0 ) en la tercera ecuación.

Sustituye (C = 1 ) en la cuarta ecuación.

Ahora hemos resuelto todas las incógnitas del lado derecho del signo igual. Tenemos (A = 1 ), (B = 0 ), (C = 1 ), (D = −1 ) y (E = −2 ). Podemos escribir la descomposición de la siguiente manera:

( dfrac {x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 − x + 1} {x {(x ^ 2 + 1)} ^ 2} = dfrac {1} {x} + dfrac {1} {(x ^ 2 + 1)} - dfrac {x + 2} {{(x ^ 2 + 1)} ^ 2} )

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Encuentre la descomposición de la fracción parcial de la expresión con un factor cuadrático irreducible repetido.

[ dfrac {x ^ 3−4x ^ 2 + 9x − 5} {{(x ^ 2−2x + 3)} ^ 2} nonumber ]

Respuesta

[ dfrac {x − 2} {x ^ 2−2x + 3} + dfrac {2x + 1} {{(x ^ 2−2x + 3)} ^ 2} nonumber ]

Conceptos clave

  • Descompón ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ) escribiendo las fracciones parciales como [ dfrac {A} {a_1x + b_1} + dfrac {B} {a_2x + b_2}. nonumber ] Resuelva despejando las fracciones, expandiendo el lado derecho, recolectando términos semejantes y estableciendo los coeficientes correspondientes iguales entre sí, luego estableciendo y resolviendo un sistema de ecuaciones (ver Ejemplo ( PageIndex {1} )) .
  • La descomposición de ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ) con factores lineales repetidos debe tener en cuenta los factores del denominador en potencias crecientes (ver Ejemplo ( PageIndex {2} )).
  • La descomposición de ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ) con un factor cuadrático irreducible no repetido necesita un numerador lineal sobre el factor cuadrático, como en ( dfrac {A} {x} + dfrac {Bx + C} {(ax ^ 2 + bx + c)} ) (ver Ejemplo ( PageIndex {3} )).
  • En la descomposición de ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ), donde (Q (x) ) tiene un factor cuadrático irreducible repetido, cuando los factores cuadráticos irreductibles se repiten, las potencias de los factores del denominador deben representarse en potencias crecientes como [ dfrac {A_1x + B_1} {ax ^ 2 + bx + c} + dfrac {A_2x + B_2} {(ax ^ 2 + bx + c) ^ 2} + ⋅ ⋅⋅ + dfrac {A_nx + B_n} {(ax ^ 2 + bx + c) ^ n} nonumber ] Vea el ejemplo ( PageIndex {4} ).

Fracciones parciales

Descomposición de fracción parcial es una técnica utilizada para escribir una función racional como la suma de expresiones racionales más simples.

La descomposición de fracciones parciales es una técnica útil para algunos problemas de integración que involucran expresiones racionales. La descomposición de fracciones parciales también es útil para evaluar sumas telescópicas. Es la base para una prueba de la fórmula de Euler al encontrar la antiderivada de una expresión racional de dos formas diferentes.

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11.4: Fracciones parciales - Matemáticas

> endstream endobj 10 0 obj 112 endobj 11 0 obj> stream q 4.7 0 0 -7.9 227.7 659.3 cm / R9 Do Q q 27.12 0 0 -0.48 216.696 646.536 cm BI / IM true / W 1 / H 1 / BPC 1 / F [/ A85] ID !!

> EI Q endstream endobj 12 0 obj 128 endobj 13 0 obj>] >> flujo 4: n /! N4''Z'0jM6, Nk] _ = 2sR $ o! Ms7h'SrYR K + J "^ rd0: Vs71dAn: U] M * Ze y UpgNrIq% rOF4 eY "9

> endstream endobj 14 0 obj 106 endobj 15 0 obj> stream q 5.4 0 0-5 217.1 640 cm / R13 Do Q endstream endobj 16 0 obj 36 endobj 17 0 obj>] >> stream, D "kSJ-Z. *

> endstream endobj 18 0 obj 13 endobj 19 0 obj> stream q 7.3 0 0-0.5 227 638.1 cm / R17 Do Q endstream endobj 20 0 obj 38 endobj 21 0 obj>] >> stream 3efk_O [- [7 @> $ + / 3FJn_kViVs1: $ 2tnds7g # P i5'k, "en (Ds7em) + t4Ms) DW / 5Q" 0SL "11.4: Fracciones parciales - Matemáticas, [nobr] [H1toH2]

11.4: Fracciones parciales - Matemáticas

de modo que ahora podemos decir que una descomposición de fracciones parciales para es

Este concepto también se puede utilizar con funciones de. Por ejemplo,

de modo que ahora podemos decir que una descomposición de fracciones parciales para es

Por supuesto, lo que nos gustaría poder hacer es encontrar una descomposición de fracciones parciales para una función dada. Por ejemplo, ¿para qué sería una descomposición de fracciones parciales? Comience factorizando el denominador, obteniendo

Ahora ASUME que hay constantes y que

  • 1. Ambos y son polinomios (constantes junto con potencias enteras positivas de solo)
  • 2. el grado (mayor potencia de) de es menor que el grado de.

(Obtenga un denominador común y sume las fracciones).

Dado que las fracciones en la ecuación anterior tienen los mismos denominadores, se deduce que sus numeradores deben ser iguales. Por lo tanto,

El lado derecho de esta ecuación puede considerarse una función de la cual es igual a 6 para todos los valores de. En particular, también debe ser cierto para valores específicos de. Por ejemplo, si elegimos

Ahora podemos decir que una descomposición de fracciones parciales para es

Cabe señalar que y fueron elegidos para su uso en la ecuación (**) por su conveniencia de "poner a cero" los términos de la ecuación. Sin embargo, cualesquiera otras dos opciones para conducirán a los mismos valores exactos para y (después de resolver dos ecuaciones con dos incógnitas). Pruébelo. Después de familiarizarse con este proceso, para ahorrar algo de tiempo, acostúmbrese a ir del paso en la ecuación (*) directamente al paso en la ecuación (**). Aquí está Otro punto importante a considerar al aplicar el método de fracciones parciales a la función racional. Si el grado (mayor potencia) de es igual o mayor que el grado de, entonces debes usar la división polinomial para reescribir la función racional dada como la suma de un polinomio y una nueva función racional que satisface la condición 2 anterior. Por ejemplo, la división de polinomios conduce a

donde la función racional en el lado derecho de la ecuación satisface la condición 2. Hay otros puntos a considerar. Recuerde que el número complejo de modo que y. Además, si dos números complejos son iguales, entonces sus componentes real y complejo son iguales. Es decir, si

Ahora hagamos otro ejemplo. Encuentre una descomposición de fracciones parciales para. Comience factorizando el denominador, obteniendo

Ahora ASUME que hay constantes y que

Dado que es una expresión cuadrática irreducible, asumiendo solo que

NO ES SUFICIENTE GENERAL y no siempre conducirá a una correcta descomposición de fracciones parciales. Continuando, tenemos

(Obtenga un denominador común y sume las fracciones).

Dado que las fracciones en la ecuación anterior tienen los mismos denominadores, se deduce que sus numeradores deben ser iguales. Por lo tanto,

Esta ecuación se puede considerar dos funciones de las cuales son iguales entre sí para todos los valores de. En particular, también debe ser cierto para valores específicos de. Por ejemplo, si "convenientemente" elegimos

Ahora podemos decir que una descomposición de fracciones parciales para es

Si elige NO usar números complejos para resolver las constantes desconocidas en el ejemplo anterior, usar otros DOS valores reales de en lugar de conducirá a los mismos valores exactos para y. Hay un caso final a considerar. ¿Cómo se deben manejar los factores repetidos en el denominador? El siguiente ejemplo ilustra la descomposición de fracciones parciales de una función racional, donde el factor lineal se repite tres veces y el factor cuadrático irreducible se repite dos veces. Por lo tanto,

Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 1.

Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 2.

Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 3.

Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 4.

Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 5.

Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 6.

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Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 9.

Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 10.

Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 11.

Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 12.

Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 13.

Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 14.

Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 15.

Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 16.

Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 17.

Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 18.

Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 19.

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Tus comentarios y sugerencias son bienvenidos. Envíe por correo electrónico cualquier correspondencia a Duane Kouba haciendo clic en la siguiente dirección:


Fracciones parciales

El álgebra es un componente importante de las matemáticas que se utiliza para unificar conceptos matemáticos. El álgebra se basa en experiencias con números y operaciones junto con geometría y análisis de datos. La palabra "álgebra" se deriva de la palabra árabe "al-Jabr". El matemático árabe Al-Khwarizmi ha sido conocido tradicionalmente como el "Padre del álgebra". El álgebra se usa para encontrar el perímetro, el área, el volumen de cualquier figura plana y sólida.



Una fracción impropia se puede expresar como la suma de una función integral y una fracción propia.



El proceso de escribir una sola fracción como una suma o diferencia de dos o más fracciones más simples se llama dividir en fracciones parciales .

Generalmente si pag (X) y q (X) son dos funciones algebraicas integrales racionales de X y la fracción p (x) / q (x) se expresa como la suma (o diferencia) algebraica de fracciones más simples de acuerdo con ciertas reglas especificadas, entonces se dice que la fracción p (x) / q (x) se resuelve en parciales. fracciones.


Fracciones parciales

Una expresión de la forma ( frac ), donde f (x) y g (x) son polinomios en x, se llama fracción racional.

  1. Funciones racionales adecuadas: Las funciones de la forma ( frac ), donde f (x) y g (x) son polinomios y g (x) ≠ 0, se denominan funciones racionales de x.
    Si el grado de f (x) es menor que el grado de g (x), entonces se llama función racional propia.
  2. Funciones racionales inadecuadas: Si el grado de f (x) es mayor o igual que el grado de g (x), entonces ( frac ) se llama función racional impropia.
  3. Fracciones parciales: Cualquier función racional propia puede dividirse en un grupo de diferentes fracciones racionales, cada una de las cuales tiene un factor simple del denominador de la función racional original. Cada una de estas fracciones se llama fracción parcial.

Si por algún proceso, podemos dividir una función racional dada ( frac ) en diferentes fracciones, cuyos denominadores son los factores de g (x), entonces el proceso de obtener ellos se llama la resolución o descomposición de ( frac ) en sus fracciones parciales.

Diferentes casos de fracciones parciales.

(1) Cuando el denominador consta de factores lineales no repetidos:
A cada factor lineal (x & # 8211 a) que aparece una vez en el denominador de una fracción propia, corresponde una única fracción parcial de la forma ( frac ), donde A es una constante a ser determinado.
Si g (x) = (x - a1) (x - a2) (x - a3) ……. (x - anorte), entonces asumimos que,

donde un1, A2, A3, ………. Anorte son constantes, se pueden determinar igualando el numerador de L.H.S. al numerador de R.H.S. (después de L.C.M.) y sustituyendo x = a1, a2,…… anorte.
(2) Cuando el denominador consta de factores lineales, algunos repiten:
A cada factor lineal (x - a) que ocurre r veces en el denominador de una función racional propia, corresponde una suma de r fracciones parciales.
Sea g (x) = (x - a) k (x - a1) (x - a2) ……. (x - ar). Entonces asumimos que

Donde un1, A2, A3, ………. Ak son constantes. Para determinar el valor de las constantes, adopte el procedimiento anterior.
(3) Cuando el denominador consta de factores cuadráticos no repetidos:
A cada factor cuadrático irreducible no repetido ax 2 + bx + c, corresponde una fracción parcial de la forma ( frac <
^ <2> + bx + c>> ), donde A y B son constantes por determinar.
Ejemplo :

(4) Cuando el denominador consta de factores cuadráticos repetidos:
A cada factor cuadrático irreducible ax 2 + bx + c que ocurre r veces en el denominador de una fracción racional propia, corresponde una suma de r fracciones parciales de la forma.

donde, A y B son constantes por determinar.

Fracciones parciales de funciones racionales impropias

Si el grado de es mayor o igual que el grado de g (x), entonces ( frac ) se llama un función racional inadecuada y cada función racional se puede transformar en una función racional propia dividiendo el numerador por el denominador.
Dividimos el numerador por denominador hasta obtener un resto de menor grado que el denominador.


Factores cuadráticos

Teorema. Suponga que $ f (x) = P (x) / Q (x) $, donde $ P (x) $ y $ Q $ son polinomios sin factores comunes y con el grado de $ P $ menor que el grado de $ Q $. Si $ Q $ es el producto de factores cuadráticos irreducibles, entonces para cada factor de la forma $ (ax ^ 2 + bx + c) ^ n $, la descomposición de la fracción parcial es la siguiente suma de $ n $ fracciones parciales: begin frac + frac <(ax ^ 2 + bx + c) ^ 2> cdots + frac <(ax ^ 2 + bx + c) ^ n> end donde $ A_i $, $ B_i $ para $ i = 1, 2, ldots, n $ son constantes por determinar.

Ejemplo. Evalúa $ displaystyle int frac <8 (x ^ 2 + 4)> , dx $.

Solución. Usamos el método de fracciones parciales y escribimos begin frac <8 (x ^ 2 + 4)> & amp = frac + frac fin Después de igualar los coeficientes, obtenemos $ A = 4 $, $ B = 0 $ y $ C = 4 $, por lo que tenemos begin int frac <8 (x ^ 2 + 4)> , dx & amp = int left ( frac <4x> + frac <4> right) , dx = ln [(x ^ 2 + 8) ^ 2 x ^ 4] + C end como se desee.

Ejemplo. Evalúa $ displaystyle int frac <20x> <(x-1) (x ^ 2 + 4x + 5)> , dx $.

Ejemplo. Evaluar $ Displaystyle int frac <2> , dx $.

Ejemplo. Evalúa $ displaystyle int frac <3x ^ 4 + 4x ^ 3 + 16x ^ 2 + 20x + 9> <(x + 2) (x ^ 2 + 3) ^ 2> , dx $.


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1. Acerca de las fracciones parciales

Para obtener más información sobre las fracciones parciales, haga clic en cualquiera de los enlaces de la Guía teórica en la Sección 2 a continuación. Para los estudiantes que trabajan con el libro de texto Maths In Action, las preguntas recomendadas sobre este tema se encuentran en la Sección 3. Se recomiendan las hojas de trabajo que incluyan las preguntas reales del examen SQA.

Si desea obtener más ayuda para comprender Fracciones parciales Hay soluciones completas, fáciles de seguir y trabajadas paso a paso para docenas de preguntas del examen AH Maths Past & amp Practice sobre todos los temas en el Paquete de estudio en línea de AH Maths. También se incluyen en el paquete de estudio soluciones completas y trabajadas a las preguntas recomendadas del libro de texto MIA. Aproveche todas las oportunidades de éxito, hable con sus padres y suscríbase al examen centrado Paquete de estudio en línea hoy.

Fracciones parciales

  • Las fracciones parciales son una forma de & # 8216 separar & # 8217 fracciones con polinomios en ellas
  • Algunos tipos de funciones racionales p (x) / q (x) se pueden descomponer en fracciones parciales
  • Si el numerador es de un grado mayor (o igual) que el denominador, entonces se debe usar primero la división algebraica larga para obtener una función racional adecuada.
  • En los exámenes, q (x) puede ser cuadrático o cúbico, que se puede factorizar fácilmente en uno de tres tipos: Factores lineales, factor lineal repetido o factor irreducible.

A continuación se muestra un ejemplo de cada uno de los tres tipos.

Ejemplo uno & # 8211 Factores lineales distintos

Ejemplo dos & # 8211 Factor lineal repetido

Si el denominador contiene un factor lineal repetido, se debe incluir más de una fracción parcial para este factor, como se ilustra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo tres & # 8211 factor irreducible

Pregunta de examen

Fuente: SQA AH Maths Paper 2017 Pregunta 2

.

2. Fracciones parciales y hoja de trabajo del examen n. ° 8211 y guías de teoría de amp

Gracias al SQA y a los autores por hacer que la excelente Hoja de trabajo de matemáticas de AH y las guías de teoría de amp estén disponibles gratuitamente para que todos las utilicen. Estos serán un recurso fantástico para ayudar a consolidar su comprensión de AH Maths. Las soluciones claras, fáciles de seguir y paso a paso para todas las preguntas de matemáticas de SQA AH en la hoja de trabajo a continuación están disponibles en el paquete de estudio en línea.

Hoja de trabajo / guías teóricas
__________________________
Enlace de recursos
________________________________
Respuestas
____________
Preguntas del examen AHPreguntas del examen de fracciones parcialesRespuestas
Lista de fórmulas matemáticas AHLista de fórmulas de matemáticas AH
Guía teórica 1Guía teórica de fracciones parciales 1
Guía teórica 2Guía teórica de fracciones parciales 2
Guía teórica 3 (HSN)Guía teórica de fracciones parciales 3 (HSN)

.

3. Fracciones parciales y preguntas recomendadas del libro de texto n.º 8211

A continuación se muestran las preguntas recomendadas del libro de texto Maths In Action (2ª edición) de Edward Mullan. En el Paquete de estudio en línea se encuentran disponibles soluciones claras, fáciles de seguir y paso a paso para todas las preguntas a continuación.

Subtema
_______________________________
Número de página
_____________
Ejercicio
_____________
Preguntas recomendadas
_______________________
Comentario
________________
Tipo uno: fracciones parcialesPágina 23Ejercicio 2.2Q1, 5, 12, 18, 19, 22, 25
Tipo dos: fracciones parcialesPágina 24Ejercicio 2.3Q1, 3, 5, 10, 14, 18
Tipo tres: fracciones parcialesPágina 25Ejercicio 2.4Q1, 5, 7, 9, 11
Hoja de trabajo de división larga algebraica Hoja de cálculoSoluciones trabajadas
Fracción parcial - División largaPágina 26Ejercicio 2.5Q1 a, b, e, j, l



4. Hojas de trabajo del examen anterior de AH Maths por tema

Gracias a la SQA por ponerlos a disposición. Las hojas de trabajo por tema a continuación son un excelente recurso de estudio, ya que son preguntas reales de exámenes anteriores en papel de SQA. Las soluciones claras, fáciles de seguir y trabajadas paso a paso para todas las preguntas de matemáticas de SQA AH a continuación están disponibles en el paquete de estudio en línea.

Número
______
Tema
____________________________________________
Respuestas
_________
1Teorema del binomioRespuestas
2Números complejosRespuestas
3DiferenciaciónRespuestas
4Diferenciación (más)Respuestas
5Ecuaciones diferenciales - Variables separablesRespuestas
6Ecuaciones diferenciales (más)Respuestas
7Funciones y gráficos de amplificadorRespuestas
8IntegraciónRespuestas
9Integración (más)Respuestas
10MatricesRespuestas
11Teoría de números: métodos de pruebaRespuestas
12Teoría de números (más) - Bases numéricas euclidianas y ampRespuestas
13Fracciones parcialesRespuestas
14Secuencias y series de amplificadoresRespuestas
15 Secuencias y series de amplificadores - Maclaurin Respuestas
16Sistemas de ecuacionesRespuestas
17VectoresRespuestas

5. Preguntas del trabajo anterior de AH Maths por tema

Gracias a la SQA por ponerlos a disposición. Las preguntas y respuestas se han dividido por tema para facilitar su consulta. Las soluciones claras, fáciles de seguir y paso a paso para todas las preguntas de SQA AH Maths a continuación están disponibles en el Paquete de estudio en línea.

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Papel
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Calificación
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Binomio
Teorema
________
Parcial
Fracciones
________
.
Diferenciación
___________
Mayor diferenciación
___________
.
Integración
___________
Más lejos
Integración
____________
Funciones
& amp Graphs
___________
Sistemas de
Ecuaciones
____________
Complejo
Números
__________
Seq & amp
Serie
_________
Más Seq
& amp Series
____________
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Matrices
_________
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Vectores
__________
Métodos
de prueba
__________
Además no
Teoría
___________
Diferencial
Ecuaciones
____________
Más lejos
Eqns diferenciales
_________________
Muestra P1Calificación Q2 Cuarto trimestreQ6Q8Tercer trimestreQ5 Q1 Q7
Muestra P2CalificaciónTercer trimestreQ1 Q2,4,8,10 Q7Q11 Q5P13Q9 Q6Q12
2019CalificaciónQ9Cuarto trimestreQ1a, b, 6Q1c, 5,10Q16bQ16aTercer trimestre Q18Q7,17 Q2Q15Q11,14Q12P13Q8
2018CalificaciónTercer trimestreQ2Q1bQ1a, c, 6,13Q8Q15a Q16aQ4,10Q14Q17Q7,11P16Q9,12Q5 Q15b
2017CalificaciónQ1Q2Tercer trimestreQ11,18P16Q6Q12Q5Q17Q4,10 Q7Q15P13Q8Q9Q14
2016CalificaciónTercer trimestreP13Q1a, bQ1c, 11P13Q9Q12Cuarto trimestreQ8Q2Q6Q7Q14Q5,10 P16Q15
2015CalificaciónQ1,9 Q2Q4,6,8Q17Q10Q14 P13Tercer trimestre Q5,11Q15Q12Q7Q18P16
2014CalificaciónQ214bQ1,13Q1,4,6Q10,12Q15Q11Tercer trimestreP16Q14Q9Q7Q5Q7 Q8
2013CalificaciónQ1 Q2Q11Q4,6Q8P13 Q7,10Q17 Tercer trimestreQ15Q9,12Q5P16Q14
2012CalificaciónCuarto trimestre15aQ1Q12,13Q8Q11Q7Q14Q3,16bQ2Q6Q9Q516aQ10 Q15
2011CalificaciónQ2Q13b, 73aQ1,11aQ1,11,16Q6 Q10Q8,13Q5Cuarto trimestreQ15Q12 Q9Q14
2010CalificaciónQ5 Q1P13Q15Q3,7Q10 P16Q2Q9Q4,14Q6Q8,12 Q11
2009CalificaciónQ8Q14Q1aQ1b, 11Q5,7Q9P1316aQ6Q12Q14Q2P16Cuarto trimestreQ10Tercer trimestreQ15
2008CalificaciónQ8Cuarto trimestreQ10,15Q2,5Q4,9,10Q7Tercer trimestre P16Q1Q12Q6Q14Q11 P13
2007CalificaciónQ1Cuarto trimestreQ2P13Q4,10Cuarto trimestreP16 Q3,11Q9Q6Q5Q15Q12Q7Q14Q8
MezcladoMezcladoMezcladoMezcladoMezcladoMezcladoMezcladoMezcladoMezcladoMezcladoMezcladoMezcladoMezcladoMezcladoMezcladoMezcladoMezclado

6. Documentos de exámenes de práctica previa y de práctica de AH Maths

Gracias a la SQA por ponerlos a disposición. Las soluciones claras, fáciles de seguir y paso a paso para todas las preguntas de SQA AH Maths a continuación están disponibles en el Paquete de estudio en línea.

Año
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Tipo de papel
_________________
Papel de examen
______________
Esquema de puntuación
_______________________________________
2019Muestra AHMuestraEsquema de puntuación
2019Avanzado superiorPapel de examenEsquema de puntuación
2018Avanzado superiorPapel de examenEsquema de puntuación
2017Avanzado superiorPapel de examenEsquema de puntuación
2016Avanzado superiorPapel de examenEsquema de puntuación
2016Muestra AHMuestraEsquema de puntuación
2016AH ejemplarEjemplarEsquema de puntuación
2015Avanzado superiorPapel de examenEsquema de puntuación
2014Avanzado superiorPapel de examenEsquema de puntuación
2013Avanzado superiorPapel de examenEsquema de puntuación
2012Avanzado superiorPapel de examenEsquema de puntuación
2011Avanzado superiorPapel de examenEsquema de puntuación
2010Avanzado superiorPapel de examenEsquema de puntuación
2009Avanzado superiorPapel de examenEsquema de puntuación
2008Avanzado superiorPapel de examenEsquema de puntuación
2007Avanzado superiorPapel de examenEsquema de puntuación
2006Avanzado superiorPapel de examenEsquema de puntuación
2005Avanzado superiorPapel de examenEsquema de puntuación
2004Avanzado superiorPapel de examenEsquema de puntuación
2003Avanzado superiorPapel de examenEsquema de puntuación
2002Avanzado superiorPapel de examenEsquema de puntuación
2001Avanzado superiorPapel de examenEsquema de puntuación

7. Prueba de examen de muestra de AH Maths 2020

A continuación, encontrará dos documentos de muestra cortesía de SQA. Soluciones claras, fáciles de seguir y trabajadas paso a paso para el documento de muestra de matemáticas SQA AH disponible en el paquete de estudio en línea.

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Fecha
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Papel
___________
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Calificación
______
Binomio
Teorema
________
Parcial
Fracciones
________
.
Diferenciación
___________
Mayor diferenciación
___________
.
Integración
___________
Más lejos
Integración
____________
Funciones
& amp Graphs
___________
Sistemas de
Ecuaciones
____________
Complejo
Números
__________
Seq & amp
Serie
_________
Más Seq
& amp Series
____________
.
Matrices
_________
.
Vectores
__________
Métodos
de prueba
__________
Además no
Teoría
___________
Diferencial
Ecuaciones
____________
Más lejos
Eqns diferenciales
_________________
Junio ​​de 2019Muestra P1Calificación Q2 Cuarto trimestreQ6Q8Tercer trimestreQ5 Q1 Q7
Junio ​​de 2019Muestra P2CalificaciónTercer trimestreQ1 Q2,4,8,10 Q7Q11 Q5P13Q9 Q6Q12

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8. Documentos de práctica del examen preliminar y final de AH Maths

Gracias a SQA y a los autores por ponerlos a disposición gratuitamente. Úselo regularmente para revisión antes de las evaluaciones, pruebas y el examen final. En el Paquete de estudio en línea se encuentran disponibles soluciones claras, fáciles de seguir y trabajadas paso a paso para los primeros cinco artículos de práctica a continuación.

Prueba de examen de práctica AH
_____________________
Calificación
___________
Prueba de examen de práctica AH
_____________________
Calificación
___________
Prueba de examen de práctica 1AQUÍPrueba de examen de práctica 5AQUÍ
Prueba de examen de práctica 2AQUÍPrueba de examen de práctica 6AQUÍ
Prueba de examen de práctica 3AQUÍPrueba de examen de práctica 7AQUÍ
Prueba de examen de práctica 4AQUÍPrueba de examen de práctica 8AQUÍ

9. Guías de teoría de las matemáticas AH

Gracias a los autores por hacer que las excelentes Guías de teoría de las matemáticas de AH estén disponibles gratuitamente para que todos las usen. Estos serán un recurso fantástico para ayudar a consolidar su comprensión de AH Maths.

Tema 1
______________________
Tema 2
___________________
Tema 3
_____________________
Tema 4
___________________
Tema 5
___________________
Tema 6
___________________
Fracciones parciales 1Binomio 1Gaussiano 1Funciones 1Diferenciación 1Integración 1
Fracciones parciales 2Binomio 2Gaussiano 2Funciones (HSN)Diferenciación 2Integración (HSN)
Fracciones parciales (HSN)Binomial (HSN)Gaussiano (HSN) Diferenciación (HSN)

Tema 1
______________________
Tema 2
________________________
Tema 3
___________________
Tema 4
____________________
Tema 5
_________________________
Mayor diferenciación 1Mayor integración 1Números complejos 1Secuencias y amplificador Serie 1Métodos de prueba
Mayor diferenciación 2Mayor integración 2Números complejos 2Secuencias y amplificador Serie 2Prueba por inducción
Diferenciación (HSN)Integración (HSN)Nos complejos (HSN)Serie Seq & amp (HSN)Métodos de prueba (HSN)

Tema 1
________________________
Tema 2
_________________
Tema 3
_____________________
Tema 4
_____________________
Tema 5
______________________________
Vectores 1Matrices 1Maclaurin Serie 1Ecuación diferencial 1Teoría de números adicional
Vectores 2Matrices 2MacLaurin Serie 2Eqns diferenciales 2
Vectores 3Matrices 3Serie Maclaurin (HSN)Eqns diferenciales (HSN)
Vectores (HSN)Matrices (HSN)

.

10. Esquema del curso de matemáticas AH, hojas de fórmulas y lista de verificación de amp

Gracias a SQA y a los autores por hacer que los excelentes recursos a continuación estén disponibles gratuitamente. Estas son listas de verificación fantásticas para evaluar su conocimiento de AH Math. Intente utilizarlos con regularidad para revisarlos antes de las pruebas, las preliminares y el examen final.

Título
____________________________________
Enlace
___________
Cortesía
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Esquema del curso AH Maths y tiempos de amplificaciónAQUÍ
Lista de fórmulas del examen de matemáticas SQA AHAQUÍCortesía de SQA
Lista de fórmulas de exámenes de matemáticas superiores de SQAAQUÍCortesía de SQA
Notas de soporte de matemáticas de SQA AHAQUÍCortesía de SQA
Lista de verificación completa de AH MathsAQUÍ

11. Tiempos recomendados del libro de texto y preguntas sobre el amplificador & # 8211 Unidad uno

Los horarios de los cursos, junto con los ejercicios / preguntas específicos del libro de texto para la Unidad Uno, cortesía de Teejay Publishers, se pueden encontrar AQUÍ.

Fracciones parciales

A continuación se muestran las preguntas recomendadas del Libro de texto Maths In Action (2ª edición) de Edward Mullan. En el Paquete de estudio en línea se encuentran disponibles soluciones claras, fáciles de seguir y paso a paso para todas las preguntas a continuación.

Subtema
_______________________________
Número de página
_____________
Ejercicio
_____________
Preguntas recomendadas
_______________________
Comentario
________________
Tipo uno: fracciones parcialesPágina 23Ejercicio 2.2Q1, 5, 12, 18, 19, 22, 25
Tipo dos: fracciones parcialesPágina 24Ejercicio 2.3Q1, 3, 5, 10, 14, 18
Tipo tres: fracciones parcialesPágina 25Ejercicio 2.4Q1, 5, 7, 9, 11
Hoja de trabajo de división larga algebraica Hoja de cálculoSoluciones trabajadas
Fracción parcial - División largaPágina 26Ejercicio 2.5Q1 a, b, e, j, l

Teorema del binomio

A continuación se muestran las preguntas recomendadas del Libro de texto Maths In Action (2ª edición) de Edward Mullan. En el Paquete de estudio en línea se encuentran disponibles soluciones claras, fáciles de seguir y paso a paso para todas las preguntas a continuación.

Subtema
____________________________________
Número de página
_____________
Ejercicio
___________
Preguntas recomendadas
_______________________________
Notas para la lección
__________________________________________________________________________________
Combinaciones nCrPágina 33Ejercicio 3.3Q1a, b, c, 2a, b, c, 4a-d, 5a, b, 6a, 7a, b, d
Expansión - Lección 1Página 36Ejercicio 3.4Q1a, b, c, 2a, i, ii, iii, iv
Expansión - Lección 2Página 36Ejercicio 3.4Q3a-d, 4a-fTEORÍA - Preguntas 3 y 4
Encontrar coeficientesPágina 38Ejercicio 3.5Q1a, b, c, 4a, 5a, 6
Aproximación, por ejemplo, 1.05 ^ 5 =?Página 40Ejercicio 3.6Q1a, b, c, d
Simplificación del término general (preguntas SQA) Preguntas y respuestas de SQAPreguntas binomiales comunes de SQA que no están en el libro de texto AH

Sistemas de ecuaciones

A continuación se muestran las preguntas recomendadas del Libro de texto Maths In Action (2ª edición) de Edward Mullan. En el Paquete de estudio en línea se encuentran disponibles soluciones claras, fáciles de seguir y paso a paso para todas las preguntas a continuación.

Subtema
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Número de página
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Ejercicio
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Preguntas recomendadas
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Eliminación gaussianaPágina 265Ejercicio 14.4Q1a, b, c, d, 2a, b, c
Redundancia e inconsistencia de amplificadorPágina 268Ejercicio 14.6Q1a, b, c, 2
Pregunta SQA de redundancia 2016 Q4 (SQA)
Pregunta de inconsistencia SQA 2017 Q5 (SQA)
Acondicionamiento ILLPágina 274Ejercicio 14.9Q2a, b, c, d
Pregunta de SQA de acondicionamiento de ILL 2012 Q14c (SQA)

Funciones y gráficos de amplificador

A continuación se muestran las preguntas recomendadas del Libro de texto Maths In Action (2ª edición) de Edward Mullan. En el Paquete de estudio en línea se encuentran disponibles soluciones claras, fáciles de seguir y paso a paso para todas las preguntas a continuación.

Subtema
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Número de página
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Ejercicio
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Preguntas recomendadas
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Esquema de la función de módulo y = | x |Página 66Ejercicio 5.2T1-9
Funciones inversasPágina 67Ejercicio 5.3Q1a, c, e, g, i, 2a, c, e, 3
Funciones pares e imparesPágina 74Ejercicio 5.8Q3a-l
Asíntotas verticales y comportamiento del amplificadorPágina 75Ejercicio 5.9Q1a-f
Asíntotas oblicuas y horizontalesPágina 76Ejercicio 5.10Q1a, b, f, g, k, l
Dibujar gráficosPágina 77Ejercicio 5.11Q1a, c, e, i, k

Calculo diferencial

A continuación se muestran las preguntas recomendadas del Libro de texto Maths In Action (2ª edición) de Edward Mullan. En el Paquete de estudio en línea se encuentran disponibles soluciones claras, fáciles de seguir y paso a paso para todas las preguntas a continuación.

Subtema
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Número de página
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Ejercicio
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Preguntas recomendadas
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Derivado de los primeros principiosPágina 45Ejercicio 4.1Q1,3,5,7
La regla de la cadenaPágina 48Ejercicio 4.3Q1a, d, 2a, c, 3b, 4a, 5a
La regla del productoPágina 51Ejercicio 4.5Q1a-h, Q2b, Q3a-l
La regla del cocientePágina 52Ejercicio 4.6Q1,2,3,4
Diferenciación: ¡una mezcla!Página 53Ejercicio 4.7Q1,2,3,4,5
Sec, Cosec y amp CotPágina 55Ejercicio 4.8Q1a, b, 2a, c, d, 3a, c, e, g
Funciones exponencialesPágina 58Ejercicio 4.9Q1a, c, e, 2a, 3e, 4a, b, 5a, e
Funciones logarítmicasPágina 58Ejercicio 4.9Q1k, m, o, q, s, 2f, g, 3a, b, c, 4d, mi, 5d
Naturaleza y esbozo de polinomiosPágina 70Ejercicio 5.5Q1a, b, c, 2a, b
ConcavidadPágina 73Ejercicio 5.7Q5a, b, c, Q1a, b
AplicacionesPágina 187Ej 11.1Q1a, b, e, f, 2a, c, 3a, c

Cálculo integral

A continuación se muestran las preguntas recomendadas del Libro de texto Maths In Action (2ª edición) de Edward Mullan. En el Paquete de estudio en línea se encuentran disponibles soluciones claras, fáciles de seguir y paso a paso para todas las preguntas a continuación.

Subtema
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Página No
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Ejercicio
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Preguntas recomendadas
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Integración (revisión superior)Página 100Ejercicio 7.1Q1a-i, 2a-i, 3a-l, 4a-f
Integración por sustituciónPágina 103Ejercicio 7.2Q1a, c, e, g, i, k, m, o, q, s, u, w
Integración por sustitución - ¡Revisión adicional!Página 103Ejercicio 7.2Q1b, d, f, h, j, l, n, p, r, t, v, x
Mayor integración por sustituciónPágina 105Ejercicio 7.3P2a, b, c, d, 4a, b, c, d
Mayor integración por sustituciónPágina 105Ejercicio 7.3Q6a, b, c, d
Más Int'n por Sub'n - sin ^ m (x), cos ^ n (x)Página 105Ejercicio 7.3Q7a, b, c, d, e, f
Mayor integración por sustitución: registrosPágina 105Ejercicio 7.3Q11a, b, c, d
Sustitución & amp; integrales definidasPágina 107Ejercicio 7.4Q1a, c, e, g, i, k
Área entre la curva y el eje x del amperioPágina 120Ejercicio 7.10Q1,3
Área entre la curva y el eje y ampPágina 120Ejercicio 7.10Q6,7
Volumen: gira en torno a la pregunta SQA del eje x 2014 Q10 (SQA)
Volumen: gira en torno a la pregunta SQA del eje y 2017 Q16 (SQA)
Volumen: gira alrededor del eje xPágina 120Ejercicio 7.10Q11,12
Aplicaciones del cálculo integralPágina 187Ejercicio 11.1Q4,14

12. Tiempos recomendados del libro de texto y preguntas sobre el amplificador & # 8211 Unidad dos

Los horarios de los cursos, junto con los ejercicios / preguntas específicos del libro de texto para la Unidad Dos, cortesía de Teejay Publishers, se pueden encontrar AQUÍ.

Mayor diferenciación

A continuación se muestran las preguntas recomendadas del Libro de texto Maths In Action (2ª edición) de Edward Mullan. En el Paquete de estudio en línea se encuentran disponibles soluciones claras, fáciles de seguir y paso a paso para todas las preguntas a continuación.

Subtema
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Número de página
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Ejercicio
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Preguntas recomendadas
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Funciones de disparo inverso y regla de cadena de amplificadorPágina 85Ejercicio 6.2Q1a, b, c, Q2b, c, dQ3a, d
Fns de disparo inverso y reglas de cociente / producto de amplificadorPágina 86Ejercicio 6.3Q2, Q3
Funciones implícitas y explícitas de amplificador - 1Página 89Ejercicio 6.4Q1, Q2
Funciones implícitas y explícitas de amplificador - 2Página 89Ejercicio 6.4Q5, Q9, Q4
Segundas derivadas de funciones implícitasPágina 90Ejercicio 6.5Q1a, d, f, k (i), 6
Diferenciación logarítmicaPágina 92Ejercicio 6.6Q1, Q2
Ecuaciones paramétricasPágina 95Ejercicio 6.7Q1a, b, c
Eqns paramétricas - Diferenciación Página 96Ejercicio 6.8Q1,2,3
Eqns paramétricas - Diferenciación (alternativa)Página 96Ejercicio 6.8Q1 (i)
Eqns paramétricas - Diferenciación (alternativa)Página 96Ejercicio 6.8Q1 (ii), Q2, Q3
Aplicaciones de una mayor diferenciaciónPágina 193Ejercicio 11.2Q1, Q2, Q3

Mayor integración

Preguntas recomendadas del Libro de texto Maths In Action (2ª edición) de Edward Mullan que se muestran a continuación. En el Paquete de estudio en línea se encuentran disponibles soluciones claras, fáciles de seguir y paso a paso para todas las preguntas a continuación.

Subtema
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Página No
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Ejercicio
_________________
Preguntas recomendadas
__________________________
Integración mediante funciones de activación inversaPágina 111Ejercicio 7.6Q1,2,3,4a, b
Integración usando fracciones parcialesPágina 113Ejercicio 7.7Q1a, b, 2a, b, 3a, b, 4a, b, 5a, b, 6a, b
Integración por partes - 1Página 116Ejercicio 7.8Q1a-l
Integración por partes - 2Página 116Ejercicio 7.8Q2a, c, d, e, f, g, h
Integración por partes - 3Página 116Ejercicio 7.8Q5a, b, Q6a, b
Integración por piezas - Casos especiales - 1Página 118Ejercicio 7.9 Q1a, b, c, d
Integración por piezas - Casos especiales - 2Página 118Ejercicio 7.9P2a, b, c, d, e
Eqns de diferencia de primer orden - Soln generalPágina 128Ejercicio 8.1Q1a-j
Eqns de diferencia de primer orden - Soln particularPágina 128Ejercicio 8.1Q2a-g
Ecuaciones diferenciales en contextoPágina 131Ejercicio 8.2Q2,4,5,6

Números complejos

A continuación se muestran las preguntas recomendadas del Libro de texto Maths In Action (2ª edición) de Edward Mullan. En el Paquete de estudio en línea se encuentran disponibles soluciones claras, fáciles de seguir y paso a paso para todas las preguntas a continuación.

Subtema
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Número de página
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Ejercicio
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Preguntas recomendadas
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Aritmética con números complejosPágina 207Ejercicio 12.1Q1,2,3,6,7,8
División y raíces cuadradas de números complejosPágina 209Ejercicio 12.2Q1a, b, c, 2c, e, 3a, b, f, 5a, b
Diagramas de ArgandPágina 211Ejercicio 12.3Q3a, b, d, e, f, i, 6a, b, f, 7a, b, c
Multiplicar / dividir en forma polarPágina 215Ejercicio 12.5Q1a, b, f, g
Teorema de De MoivrePágina 218Ejercicio 12.6Q1,2,3a, 4g, h, i, j
Polinomios y números complejos ampPágina 224Ejercicio 12.8Q2a, d, 3a, b, 4,5,6a, b
Loci en el plano complejoPágina 213Ejercicio 12.4Q1a, b, d, f, j, 3a, b, 4a, b, c
Fórmula de activación expansivaPágina 219Ejercicio 12.6Q5,6,7a
Raíces de un número complejoPágina 222Ejercicio 12.7Q2a, b, c, d, e, f, 1a (i)

Secuencias y series de amplificadores, notación Sigma

A continuación se muestran las preguntas recomendadas del Libro de texto Maths In Action (2ª edición) de Edward Mullan. En el Paquete de estudio en línea se encuentran disponibles soluciones claras, fáciles de seguir y paso a paso para todas las preguntas a continuación.

Subtema
_______________________________
Número de página
_____________
Ejercicio
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Preguntas recomendadas
__________________________
Secuencias aritméticasPágina 151Ejercicio 9.1Q1a-f, 2a-f, Q3, Q4, Q6
Hallar la suma: secuencia aritméticaPágina 153Ejercicio 9.2Q1a, b, c, Q3a-d, Q4a, b, Q5a
Secuencia geométricaPágina 156Ejercicio 9.3Q1a-e, Q2, Q3, Q5
Hallar la suma: secuencia geométricaPágina 159Ejercicio 9.4Q1a-f, Q2a-d, Q3a-d, Q4
Encontrar la suma al infinitoPágina 162Ejercicio 9.5Q1,2,3,4,6
Notación sigmaPágina 168Ejercicio 10.1Q1a-e, Q2a-e

Teoría de números y prueba de amplificador

Tema
_______________________________
Lecciones
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Preguntas
_________
Soluciones escritas
_______________
Soluciones escritas a mano
______________________
Preguntas del examen: soluciones trabajadas en el paquete de estudio en línea
______________________________________________________
Prueba directaLección 1Ex 1 y amp 2 Ex 1 & amp 2 Solns manuscritos2018-Q9,2015-Q12, 2010-Q8a
Prueba por contraejemplo Lección 2Ej 3Ex 3 Solns tipoEx 3 Solns manuscritos2016-Q10, 2013-Q12, 2008-Q11
Prueba por contraejemplo Ej 4Ej 4 Solns mecanografiadosEj 4 Solns manuscritos2016-Q10, 2013-Q12, 2008-Q11
Prueba por contradicciónLección 3Ej 5Ej 5 Solns mecanografiadosEj 5 Solns manuscritos2010-Q12
Prueba por contrapositivoLección 4Ej 6Ex 6 solns mecanografiadosEj 6 Solns manuscritos2017-Q13
Prueba por inducciónLección 5Ej 7Ej 7 Solns tipoEj 7 Solns manuscritos2014-Q7,2013-Q9,2012-Q16a, 2011-Q12,2010-Q8b, 2009-Q4,2007-Q12
Prueba por inducción - Notación SigmaLección 6Ej 8Ex 8 Soles tipográficosEx 8 Solns manuscritos2018-Q12,2016-Q5, 2013-Q9,2009-Q4

13. Tiempos recomendados del libro de texto y preguntas sobre el amplificador & # 8211 Unidad tres

Los horarios de los cursos, junto con los ejercicios / preguntas específicos del libro de texto para la Unidad Tres, cortesía de Teejay Publishers, se pueden encontrar AQUÍ.

A continuación se muestran las preguntas recomendadas del Libro de texto Maths In Action (2ª edición) de Edward Mullan. En el Paquete de estudio en línea se encuentran disponibles soluciones claras, fáciles de seguir y paso a paso para todas las preguntas a continuación.

Subtema
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Número de página
_____________
Ejercicio
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Preguntas recomendadas
________________________
Lección / Notas
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Revisión superior de vectoresPágina 282Ejercicio 15.1Q6,7,8
El producto vectorial - 1Página 286Ejercicio 15.3Q1,2a, b, 5,7,8a, b, 10Lección 1
El producto vectorial - 2Página 286Ejercicio 15.3Q3,4,6,12Lección 2
Las ecuaciones de una rectaPágina 298Ejercicio 15.8Q1a, b, 2a, 3a, c, e, 5Lección 3
Ecuación vectorial de una línea rectaPágina 298Ejercicio 15.9Q2Lección 3
La ecuación de un planoPágina 291Ejercicio 15.5Q1a, b, c, d, 2a, b, 3,4a, c, 9,10Lección 4
Ángulo entre 2 planosPágina 293Ejercicio 15.6Q1,2,3Lección 5
Intersección de línea y plano de amplificadorPágina 300Ejercicio 15.10Q1a, b, c, 2a, b, 3,4aLección 6
Intersección de 2 líneasPágina 302Ejercicio 15.11 Q1,2Lección 7
Intersección de 2 planos usando gaussianoPágina 303Ejercicio 15.12Q1,2Lección 8
Intersección de 2 planos - AlternativaPágina 303Ejercicio 15.12Q1,2
Intersección de 3 planosPágina 307Ejercicio 15.3Q1a, c, 2a, cLección 9

A continuación se muestran las preguntas recomendadas del Libro de texto Maths In Action (2ª edición) de Edward Mullan. En el Paquete de estudio en línea se encuentran disponibles soluciones claras, fáciles de seguir y paso a paso para todas las preguntas a continuación.

Subtema
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Número de página
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Ejercicio
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Preguntas recomendadas
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Propiedades básicas y operaciones de amplificación de matricesPágina 231Ejercicio 13.1Q1,2,3a, 4a, c, e, i, p, t, 7a, f, 9,10
Multiplicación de matricesPágina 235Ejercicio 13.3Q1a, c, 2a, c, k, m, o, 3a, 4,5a, c
Propiedades de la multiplicación de matricesPágina 236Ejercicio 13.4Q6a, b, 7a, b, 8a
Determinante de una matriz de 2 x 2Página 240Ejercicio 13.6Q1a, b, d, h
Determinante de una matriz de 3 x 3Página 247Ejercicio 13.9Q4a, b, c, d, 5a, b
Inversa de una matriz de 2 x 2Página 243Ejercicio 13.7Q1,2,4,8,9a, b, c
Inversa de una matriz de 3 x 3Página 275Ejercicio 14.10Q1a, b, c, d
Matrices de transformaciónPágina 251Ejercicio 13.10Q1,2,5

Más secuencias y series de amplificadores (serie Maclaurin)

A continuación se muestran las preguntas recomendadas del Libro de texto Maths In Action (2ª edición) de Edward Mullan. En el Paquete de estudio en línea se encuentran disponibles soluciones claras, fáciles de seguir y paso a paso para todas las preguntas a continuación.

Subtema
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Número de página
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Ejercicio
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Preguntas recomendadas
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Serie Maclaurin para f (x)Página 179Ejercicio 10.5Q1a, b, c, d, 3a, b
Serie Maclaurin - Funciones compuestasPágina 182Ejercicio 10.7Q1a, f, 2a, 3a, 6a, 7a, 8a, b
Serie Maclaurin - Preguntas SQA Preguntas y respuestas de SQA

Otras ecuaciones diferenciales

A continuación se muestran las preguntas recomendadas del Libro de texto Maths In Action (2ª edición) de Edward Mullan. En el Paquete de estudio en línea se encuentran disponibles soluciones claras, fáciles de seguir y paso a paso para todas las preguntas a continuación.

Subtema
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Número de página
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Ejercicio
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Preguntas recomendadas
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Ecuaciones diferenciales lineales de primer ordenPágina 136Ejercicio 8.3Q1a, b, 2a, 3a, b
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
(Raíces reales y distintas)
Página 140Ejercicio 8.4Q1a, b, c, 2a, b
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
(Roots Real & amp Coincidente)
Página 141Ejercicio 8.5Q1a, b, c, 2a, b
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
(Raíces no reales)
Página 142Ejercicio 8.6Q1a, b, c, 2a, b
Ecuaciones diferenciales no homogéneas
(Encontrar una solución general)
Página 146Ejercicio 8.9Q1a, b, c
Ecuaciones diferenciales no homogéneas
(Encontrar una solución particular)
Página 146Ejercicio 8.9Q2a, b, c

Más teoría de números y prueba de amplificador

A continuación se muestran las preguntas recomendadas del Libro de texto Maths In Action (2ª edición) de Edward Mullan. En el Paquete de estudio en línea se encuentran disponibles soluciones claras, fáciles de seguir y paso a paso para todas las preguntas a continuación.

Subtema
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Número de página
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Ejercicio
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Preguntas recomendadas
____________________________
Encontrar el máximo divisor común (GCD)Página 318Ej 16.3Q1a, c, e, g, i
Expresando MCD en la forma xa + yb = dPágina 320Ej 16.4Q1,2,3,4
Bases numéricasPágina 322Ej 16.5Q1a-d, 2a-f
Más teoría de números: preguntas de SQA Preguntas y respuestas de SQA

14. Evaluaciones de la unidad de práctica de matemáticas AH y soluciones n. ° 8211 incluidas

Gracias a maths777 por hacer que los excelentes recursos estén disponibles gratuitamente para que todos los usen. Esto resultará un recurso fantástico que le ayudará a prepararse para las evaluaciones, las pruebas y el examen final.

Métodos en álgebra y cálculo amp
__________________________
Aplicaciones de álgebra y cálculo amp
____________________________
Sistemas de ecuaciones de geometría, prueba y amplificación
____________________________________
Práctica 1Práctica 1Práctica 1
Práctica 2Práctica 2Práctica 2
Práctica 3Práctica 3Práctica 3

15. Vínculos de videos de AH Maths

Haga clic en DLB Maths para ver las soluciones de video de AH Maths Past Paper. También hay muchos videos que muestran ejemplos resueltos por tema en el enlace del canal de YouTube StAnd Maths de St Andrews. Ambos enlaces de video son recursos excelentes que lo ayudarán a prepararse para las evaluaciones, las pruebas y el examen final.

16. Libro de texto AH Maths - Maths In Action (2da edición) por Edward Mullan

Un curso completamente revisado para el nuevo examen Curriculum for Excellence que está diseñado para respaldar completamente la nueva estructura del curso y la evaluación de unidades. Como parte de la prestigiosa serie Maths in Action, brinda a los estudiantes una experiencia de aprendizaje familiar, clara y cuidadosamente estructurada que los alienta a desarrollar confianza y comprensión.

17. Paquete de estudio en línea de matemáticas avanzadas avanzadas

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Mr M, suscriptor de toda la escuela


Introducción

Para calcular los coeficientes usando el método de encubrimiento, primero configure una descomposición de fracción parcial con un término para cada uno de los factores en el denominador. Por ejemplo, si el denominador tiene tres términos lineales distintos, tenemos la descomposición

Nota: Tenga en cuenta que para aplicar fracciones parciales, el grado del polinomio en el numerador debe ser estrictamente menor que el grado del polinomio en el denominador. Si este no es el caso, entonces es necesario aplicar primero la división polinomial para obtener un polinomio cociente y un resto, para lo cual el grado del numerador es estrictamente menor que el del denominador. A continuación, se pueden aplicar fracciones parciales al resto.

A continuación, se muestra un ejemplo básico sobre cómo utilizar la regla de fracción parcial para la factorización.

Pruebe el siguiente problema basándose en la comprensión de la aplicación de fracciones parciales.

La ecuación anterior representa una descomposición de fracción parcial para las constantes A, B, C A, B, C A, B, C y P P P.

¿Cuál es el valor más pequeño del número primo P P P tal que A, B A, B A, B y C C C son todos enteros?


11.4: Fracciones parciales - Matemáticas

Estas a punto de borra tu trabajo en esta actividad. ¿Seguro que quieres hacer esto?

Versión actualizada disponible

Hay un Versión actualizada de esta actividad. Si actualiza a la versión más reciente de esta actividad, se borrará su progreso actual en esta actividad. Independientemente, se mantendrá su registro de finalización. ¿Cómo te gustaría proceder?

Editor de expresiones matemáticas

En la sección ?? vimos que las expansiones en fracciones parciales es una herramienta necesaria cuando se aplica el método de las transformadas de Laplace. En el caso más simple, las fracciones parciales funcionan de la siguiente manera. Suponga que y son dos polinomios tales que

(a) el grado de es menor o igual al grado de (b) no tiene raíces múltiples.

Las raíces de pueden ser reales o complejas. Entonces la expansión en fracciones parciales de tiene la forma

de dónde se determinan los escalares y.

Hay una forma sencilla de calcular la constante. Definir el polinomio de grados Multiplica ambos lados de (??) por y evalúa en para obtener

Por ejemplo, calcule la expansión de fracción parcial para En este ejemplo,, y. Los polinomios relevantes son: De ello se deduce que

Fracciones parciales con raíces complejas

Suponga que el denominador tiene raíces conjugadas complejas y. Cuando es una raíz simple compleja de, entonces la expansión de fracciones parciales de contiene los dos términos donde. Juntos, estos dos términos deben tener un valor real, y se deduce de eso. Por lo tanto, la expansión es para algún escalar complejo. Estos términos se combinan como dónde. Teniendo en cuenta las transformadas inversas de Laplace, preferimos escribir esta expresión como

En la tercera parte de la Sección ?? vimos cómo calcular transformadas inversas de Laplace de funciones como las de (??).

Fracciones parciales usando MATLAB

El residuo del comando MATLAB se puede utilizar para determinar expansiones de fracciones parciales. Comenzamos discutiendo cómo se definen los polinomios en MATLAB. El polinomio se almacena en MATLAB mediante el vector q = [ad a1 a0] que consta de los coeficientes de en orden descendente. Por ejemplo, en MATLAB, el polinomio se identifica con el vector.

Suponga que los dos vectores pyq representan los dos polinomios (de grado menor que) y (de grado). Tanto el vector de raíces como los vectores de escalares se determinan usando el comando

Para ilustrar este comando, encuentre la expansión de fracción parcial de (que calculamos previamente en (??)) escribiendo MATLAB responde con Tenga en cuenta que este resultado concuerda con nuestro cálculo anterior en (??).

Observe que no se excluye la situación en la que el polinomio tiene raíces complejas. De hecho, deje y, y escriba para obtener la respuesta En particular, tiene las tres raíces y tenemos la expansión

El regreso a la forma real en fracciones parciales

Podemos volver a una representación en números reales combinando los términos correspondientes a raíces conjugadas complejas. Cuando es una raíz simple compleja de, entonces la expansión de fracciones parciales de contiene los dos términos para algún escalar complejo. Estos términos se combinan para dar dónde, como en (??).

Podemos escribir un archivo m MATLAB para realizar los cálculos en (??) de la siguiente manera: Se accede a este archivo m usando el comando donde i es el índice correspondiente a la raíz conjugada compleja de. Por ejemplo, si consideramos la expansión en (??), entonces escribimos dando la respuesta Esta salida corresponde a la expresión La combinación del segundo y tercer término en el lado derecho conduce a

Repetición de un cálculo con MATLAB

La expansión de fracción parcial de (??), es decir, se encuentra tecleando Obtenemos De ahí tenemos la expansión Ahora usamos realform para volver a una representación evitando números complejos. Escriba para obtener cuál corresponde a (??).

Ejercicios

¿En Ejercicios? - ?? use fracciones parciales para encontrar una función cuya transformada de Laplace es la función dada.

¿En Ejercicios? - ?? use el residuo del comando MATLAB para calcular la expansión en fracciones parciales de para los polinomios dados y.


Ver el vídeo: Integración por fracciones parciales. Ejemplo 11 Factores lineales repetidos (Noviembre 2021).